Utumiaji wa muhimu kwa suluhisho la shida zilizotumika
Uhesabuji wa eneo
Kiunganishi dhahiri cha kitendakazi kisicho na hasi f(x) kiidadi ni sawa na eneo la curvilinear trapezoid inayopakana na curve y = f(x), mhimili wa O x na mistari iliyonyooka x = a na x. = b. Kwa mujibu wa hili, formula ya eneo imeandikwa kama ifuatavyo:
Hebu tuangalie baadhi ya mifano ya kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege.
Kazi Nambari 1. Kuhesabu eneo lililofungwa na mistari y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Suluhisho. Wacha tujenge takwimu ambayo tutalazimika kuhesabu eneo.
y = x 2 + 1 ni parabola ambayo matawi yake yanaelekezwa juu, na parabola huhamishwa juu na kitengo kimoja kinachohusiana na mhimili wa O y (Mchoro 1).
Kielelezo 1. Grafu ya kazi y = x 2 + 1
Kazi Nambari 2. Kokotoa eneo lililofungwa na mistari y = x 2 - 1, y = 0 katika safu kutoka 0 hadi 1.
 |
Suluhisho. Grafu ya kazi hii ni parabola ya matawi ambayo yanaelekezwa juu, na parabola inabadilishwa kuhusiana na mhimili wa O y chini na kitengo kimoja (Mchoro 2).
Kielelezo 2. Grafu ya kazi y = x 2 - 1
Kazi Nambari 3. Fanya mchoro na uhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari
y = 8 + 2x - x 2 na y = 2x - 4.
Suluhisho. Ya kwanza ya mistari hii miwili ni parabola na matawi yake yanaelekezwa chini, kwani mgawo wa x 2 ni hasi, na mstari wa pili ni mstari wa moja kwa moja unaoingiliana na axes zote mbili za kuratibu.
Ili kuunda parabola, tunapata kuratibu za vertex yake: y'=2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - abscissa ya vertex; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ni mratibu wake, N (1;9) ni kipeo.
Sasa hebu tupate pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja kwa kutatua mfumo wa equations:
Kusawazisha pande za kulia za mlinganyo ambao pande zake za kushoto ni sawa.
Tunapata 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 au x 2 - 12 = 0, kutoka wapi 
.
Kwa hiyo, pointi ni pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja (Mchoro 1).
Kielelezo 3 Grafu za kazi y = 8 + 2x - x 2 na y = 2x - 4
Hebu tujenge mstari wa moja kwa moja y = 2x - 4. Inapita kupitia pointi (0;-4), (2;0) kwenye axes za kuratibu.
Ili kuunda parabola, unaweza pia kutumia sehemu zake za makutano na mhimili wa 0x, ambayo ni, mizizi ya equation 8 + 2x - x 2 = 0 au x 2 - 2x - 8 = 0. Kutumia nadharia ya Vieta, ni rahisi. kupata mizizi yake: x 1 = 2, x 2 = 4.
Kielelezo cha 3 kinaonyesha takwimu (sehemu ya kimfano M 1 N M 2) iliyofungwa na mistari hii.
Sehemu ya pili ya shida ni kupata eneo la takwimu hii. Eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia kiunganishi cha uhakika kulingana na fomula 
.
Kuhusiana na hali hii, tunapata muhimu: 
2 Kuhesabu kiasi cha mwili wa mzunguko
Kiasi cha mwili kilichopatikana kutokana na kuzunguka kwa curve y = f(x) kuzunguka mhimili wa O x huhesabiwa kwa fomula:
Wakati wa kuzunguka mhimili wa O y, fomula inaonekana kama:
Kazi nambari 4. Tambua kiasi cha mwili kilichopatikana kutokana na mzunguko wa trapezoid iliyopigwa iliyofungwa na mistari ya moja kwa moja x = 0 x = 3 na curve y = karibu na mhimili wa O x.
Suluhisho. Hebu tuchore picha (Kielelezo 4).
Kielelezo 4. Grafu ya kazi y =
Kiasi kinachohitajika ni 
Kazi nambari 5. Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kutoka kwa mzunguko wa trapezoid iliyopigwa iliyofungwa na y = x 2 na mistari ya moja kwa moja y = 0 na y = 4 karibu na mhimili wa O y.
Suluhisho. Tuna:
Kagua maswali
A)
Suluhisho.
Jambo la kwanza na muhimu zaidi katika uamuzi ni kuchora.
Wacha tufanye mchoro:
Mlinganyo y=0 huweka mhimili wa "x";
- x=-2 Na x=1- sawa, sambamba na mhimili OU;
- y=x 2 +2 - parabola, matawi ambayo yanaelekezwa juu, na vertex kwa uhakika (0;2).
Maoni. Ili kujenga parabola, inatosha kupata pointi za makutano yake na axes za kuratibu, i.e. kuweka x=0 pata makutano na mhimili OU na kutatua mlinganyo wa quadratic unaolingana, pata makutano na mhimili Oh .
Kipeo cha parabola kinaweza kupatikana kwa kutumia fomula: 
Unaweza pia kujenga mistari hatua kwa hatua.
Kwenye muda [-2;1] grafu ya chaguo za kukokotoa y=x 2 +2 iko juu ya mhimili Ng'ombe, Ndiyo maana:
Jibu: S= 9 sq. vitengo
Baada ya kazi kukamilika, daima ni muhimu kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, "kwa jicho" tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 kwa wazi haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.
Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili Oh?
b) Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y=-e x , x=1 na kuratibu shoka.
Suluhisho.
Hebu tufanye kuchora.
Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko kabisa chini ya mhimili Oh , basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:
Jibu: S=(e-1) sq. vitengo" 1.72 sq. vitengo
Tahadhari! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:
1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.
2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.
Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu iko katika ndege ya juu na ya chini ya nusu.
c) Tafuta eneo la takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari y=2x-x 2, y=-x.
Suluhisho.
Kwanza unahitaji kukamilisha kuchora. Kwa ujumla, wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Wacha tupate sehemu za makutano ya parabola 
na moja kwa moja 
Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi.
Tunatatua equation:
Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ushirikiano a=0, kikomo cha juu cha ushirikiano b=3 .
|
Tunajenga mistari iliyotolewa: 1. Parabola - vertex kwa uhakika (1;1); makutano ya mhimili Oh - pointi (0;0) na (0;2). 2. Mstari wa moja kwa moja - bisector ya pembe za 2 na 4 za kuratibu. Na sasa Makini! Ikiwa kwenye sehemu [ a;b] utendakazi fulani endelevu f(x) kubwa kuliko au sawa na utendakazi fulani endelevu g(x), basi eneo la takwimu inayolingana linaweza kupatikana kwa kutumia formula: Na haijalishi ni wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, lakini jambo muhimu ni grafu ipi ni ya JUU (inayohusiana na grafu nyingine), na ambayo ni CHINI. Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo ni muhimu kuondoa kutoka. |
.Unaweza kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya ujumuishaji inakuwa wazi "yenyewe." Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana).
Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola hapo juu na mstari wa moja kwa moja chini.
Kwenye sehemu 
, kulingana na fomula inayolingana:
Jibu: S= 4.5 sq. vitengo
Jinsi ya kuingiza fomula za hesabu kwenye wavuti?
Ikiwa utahitaji kuongeza fomula moja au mbili za hisabati kwenye ukurasa wa wavuti, basi njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kama ilivyoelezewa katika kifungu hicho: fomula za hisabati huingizwa kwa urahisi kwenye wavuti kwa njia ya picha ambazo hutolewa kiatomati na Wolfram Alpha. . Mbali na unyenyekevu, njia hii ya ulimwengu wote itasaidia kuboresha mwonekano wa tovuti katika injini za utafutaji. Imekuwa ikifanya kazi kwa muda mrefu (na, nadhani, itafanya kazi milele), lakini tayari imepitwa na wakati.
Ikiwa unatumia fomula za hisabati mara kwa mara kwenye tovuti yako, basi ninapendekeza utumie MathJax - maktaba maalum ya JavaScript inayoonyesha nukuu za hesabu katika vivinjari vya wavuti kwa kutumia markup ya MathML, LaTeX au ASCIIMAthML.
Kuna njia mbili za kuanza kutumia MathJax: (1) kwa kutumia msimbo rahisi, unaweza kuunganisha kwa haraka hati ya MathJax kwenye tovuti yako, ambayo itapakiwa kiotomatiki kutoka kwa seva ya mbali kwa wakati unaofaa (orodha ya seva); (2) pakua hati ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali hadi kwenye seva yako na uiunganishe na kurasa zote za tovuti yako. Njia ya pili - ngumu zaidi na inayotumia wakati - itaharakisha upakiaji wa kurasa za tovuti yako, na ikiwa seva kuu ya MathJax haitapatikana kwa muda kwa sababu fulani, hii haitaathiri tovuti yako mwenyewe kwa njia yoyote. Licha ya faida hizi, nilichagua njia ya kwanza kwa kuwa ni rahisi, haraka na hauhitaji ujuzi wa kiufundi. Fuata mfano wangu, na kwa dakika 5 tu utaweza kutumia vipengele vyote vya MathJax kwenye tovuti yako.
Unaweza kuunganisha hati ya maktaba ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali kwa kutumia chaguo mbili za msimbo zilizochukuliwa kutoka kwa tovuti kuu ya MathJax au kwenye ukurasa wa nyaraka:
Moja ya chaguo hizi za msimbo inahitaji kunakiliwa na kubandikwa kwenye msimbo wa ukurasa wako wa wavuti, ikiwezekana kati ya lebo na au mara baada ya lebo. Kulingana na chaguo la kwanza, MathJax hupakia haraka na kupunguza kasi ya ukurasa. Lakini chaguo la pili hufuatilia kiotomatiki na kupakia matoleo ya hivi karibuni ya MathJax. Ukiingiza msimbo wa kwanza, utahitaji kusasishwa mara kwa mara. Ukiingiza msimbo wa pili, kurasa zitapakia polepole zaidi, lakini hutahitaji kufuatilia mara kwa mara masasisho ya MathJax.
Njia rahisi zaidi ya kuunganisha MathJax ni katika Blogger au WordPress: kwenye paneli dhibiti ya tovuti, ongeza wijeti iliyoundwa ili kuingiza msimbo wa JavaScript wa kampuni nyingine, nakili toleo la kwanza au la pili la msimbo wa upakuaji uliowasilishwa hapo juu ndani yake, na uweke wijeti karibu. hadi mwanzo wa template (kwa njia, hii sio lazima kabisa , kwani maandishi ya MathJax yanapakiwa asynchronously). Ni hayo tu. Sasa jifunze sintaksia ya ghafi ya MathML, LaTeX na ASCIIMAthML, na uko tayari kuingiza fomula za hisabati kwenye kurasa za wavuti za tovuti yako.
Fractal yoyote inajengwa kulingana na sheria fulani, ambayo hutumiwa mara kwa mara idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Kila wakati kama huo huitwa kurudia.
Algorithm ya kurudia ya kuunda sifongo cha Menger ni rahisi sana: mchemraba wa asili ulio na upande wa 1 umegawanywa na ndege sambamba na nyuso zake katika cubes 27 sawa. Mchemraba mmoja wa kati na cubes 6 karibu nayo kando ya nyuso huondolewa kutoka kwake. Matokeo yake ni seti inayojumuisha cubes 20 ndogo iliyobaki. Kufanya vivyo hivyo na kila moja ya cubes hizi, tunapata seti inayojumuisha cubes 400 ndogo. Kuendeleza mchakato huu bila mwisho, tunapata sifongo cha Menger.
Kielelezo kinachopakana na grafu ya chaguo za kukokotoa zisizo hasi $f(x)$ kwenye sehemu ya $$ na mistari $y=0, \ x=a$ na $x=b$ inaitwa curvilinear trapezoid.
Eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear huhesabiwa na formula:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Tutagawanya matatizo kwa masharti ili kupata eneo la trapezoid ya curvilinear katika aina $4$. Hebu tuangalie kila aina kwa undani zaidi.
Aina ya I: trapezoid iliyopinda imebainishwa kwa uwazi. Kisha tumia fomula mara moja (*).
Kwa mfano, tafuta eneo la curvilinear trapezoid iliyofungwa na grafu ya chaguo za kukokotoa $y=4-(x-2)^(2)$ na mistari $y=0, \ x=1$ na $x =3$.
Wacha tuchore trapezoid hii iliyopinda.
Kwa kutumia formula (*), tunapata eneo la trapezoid hii ya curvilinear.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) - \kushoto.\frac((x-2)^(3) )(3)\kulia|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\kushoto((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\kulia)=4 \cdoti 2 – \frac (1)(3)\kushoto((1)^(3)-(-1)^(3)\kulia) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (units$^(2)$).
Aina ya II: trapezoid iliyopinda imebainishwa kwa uwazi. Katika kesi hii, mistari iliyonyooka $x=a, \ x=b$ kawaida haijabainishwa au kubainishwa kwa sehemu. Katika kesi hii, unahitaji kupata pointi za makutano ya kazi $y=f(x)$ na $y=0$. Pointi hizi zitakuwa $a$ na $b$.
Kwa mfano, tafuta eneo la kielelezo lililofungwa na grafu za chaguo za kukokotoa $y=1-x^(2)$ na $y=0$.
Wacha tupate sehemu za makutano. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha pande za kulia za kazi.
Kwa hivyo, $a=-1$ na $b=1$. Wacha tuchore trapezoid hii iliyopinda.
Wacha tupate eneo la trapezoid hii iliyopindika.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \mipaka_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) - \kushoto.\frac(x^(3))(3)\kulia|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\kushoto(1^(3)-(-1)^(3)\kulia)=2 – \frac(1)(3) \kushoto(1+1\kulia) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (units$^(2)$).
Aina ya III: eneo la takwimu iliyopunguzwa na makutano ya kazi mbili zinazoendelea zisizo hasi. Takwimu hii haitakuwa trapezoid iliyopinda, ambayo inamaanisha huwezi kuhesabu eneo lake kwa kutumia formula (*). Jinsi ya kuwa? Inabadilika kuwa eneo la takwimu hii linaweza kupatikana kama tofauti kati ya maeneo ya trapezoids ya curvilinear iliyofungwa na kazi ya juu na $y=0$ ($S_(uf)$), na kazi ya chini na $y. =0$ ($S_(lf)$), ambapo jukumu la $x=a, \ x=b$ linachezwa na viwianishi vya $x$ vya pointi za makutano ya kazi hizi, i.e.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Jambo muhimu zaidi wakati wa kuhesabu maeneo kama haya sio "kukosa" na uchaguzi wa kazi za juu na za chini.
Kwa mfano, tafuta eneo la kielelezo linalopakana na chaguo za kukokotoa $y=x^(2)$ na $y=x+6$.
Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu hizi:
Kulingana na nadharia ya Vieta,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Yaani, $a=-2,\b=3$. Wacha tuchore takwimu:
Kwa hivyo, kitendakazi cha juu ni $y=x+6$, na kitendakazi cha chini ni $y=x^(2)$. Kisha, tunapata $S_(uf)$ na $S_(lf)$ kwa kutumia fomula (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\kushoto.\frac(x^(2))(2)\kulia|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (vizio$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\kushoto.\frac(x^(3))(3)\kulia|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (vitengo$^(2)$).
Wacha tubadilishe tulichopata kuwa (**) na tupate:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (units$^(2)$).
Aina ya IV: eneo la kielelezo lililofungwa na chaguo za kukokotoa ambazo hakikidhi hali ya kutokuwa hasi. Ili kupata eneo la takwimu kama hiyo, unahitaji kuwa na ulinganifu kuhusu mhimili wa $Ox$ ( kwa maneno mengine, weka "minuses" mbele ya kazi) onyesha eneo hilo na, kwa kutumia njia zilizoainishwa katika aina I - III, pata eneo la eneo lililoonyeshwa. Eneo hili litakuwa eneo linalohitajika. Kwanza, unaweza kulazimika kupata sehemu za makutano ya grafu za kazi.
Kwa mfano, tafuta eneo la kielelezo lililofungwa na grafu za chaguo za kukokotoa $y=x^(2)-1$ na $y=0$.
Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu za kazi:
hizo. $a=-1$, na $b=1$. Wacha tuchore eneo.
Wacha tuonyeshe eneo hilo kwa ulinganifu:
$y=0 \ \Mshale wa Kulia \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Mshale wa Kulia \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Matokeo yake ni curvilinear trapezoid inayopakana na grafu ya chaguo za kukokotoa $y=1-x^(2)$ na $y=0$. Hili ni shida kupata trapezoid iliyopindika ya aina ya pili. Tayari tumeisuluhisha. Jibu lilikuwa: $S= 1\frac(1)(3)$ (units $^(2)$). Hii inamaanisha kuwa eneo la trapezoid ya curvilinear inayohitajika ni sawa na:
$S=1\frac(1)(3)$ (vizio$^(2)$).
Hebu tuchunguze trapezoid iliyopinda iliyofungwa na mhimili wa Ox, curve y = f (x) na mistari miwili ya moja kwa moja: x = a na x = b (Mchoro 85). Wacha tuchukue dhamana ya kiholela ya x (sio tu a na sio b). Wacha tuipe nyongeza h = dx na tuzingatie ukanda uliofungwa na mistari iliyonyooka AB na CD, mhimili wa Ox na arc BD inayomilikiwa na curve inayozingatiwa. Tutaita strip hii strip ya msingi. Eneo la ukanda wa msingi hutofautiana na eneo la mstatili ACQB na pembetatu ya curvilinear BQD, na eneo la mwisho ni chini ya eneo la mstatili BQDM na pande BQ = = h= dx) QD=Ay na eneo sawa na hAy = Ay dx. Kadiri h inavyopungua, upande wa Du pia hupungua na wakati huo huo na h huelekea sifuri. Kwa hivyo, eneo la BQDM ni la pili lisilo na kipimo. Eneo la ukanda wa msingi ni ongezeko la eneo hilo, na eneo la mstatili ACQB, sawa na AB-AC ==/(x) dx> ni tofauti ya eneo hilo. Kwa hivyo, tunapata eneo lenyewe kwa kuunganisha tofauti yake. Ndani ya kielelezo kinachozingatiwa, tofauti huru l: hubadilika kutoka a hadi b, hivyo eneo linalohitajika 5 litakuwa sawa na 5= \f(x) dx. (I) Mfano 1. Hebu tuhesabu eneo lililofungwa na parabola y - 1 -x *, mistari ya moja kwa moja X =--Fj-, x = 1 na mhimili wa O * (Mchoro 86). kwenye Mtini. 87. Mtini. 86. 1 Hapa f(x) = 1 - l?, mipaka ya ushirikiano ni = - na £ = 1, kwa hiyo J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Mfano 2. Hebu tuhesabu eneo lililopunguzwa na sinusoid y = sinXy, mhimili wa Ox na mstari wa moja kwa moja (Mchoro 87). Kuweka fomula (I), tunapata A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Mfano 3. Piga hesabu ya eneo lililozuiwa na safu ya sinusoid ^у = sin jc, iliyoambatanishwa kati ya sehemu mbili za makutano zilizo karibu na mhimili wa Ox (kwa mfano, kati ya asili na uhakika na abscissa i). Kumbuka kwamba kutokana na masuala ya kijiometri ni wazi kuwa eneo hili litakuwa mara mbili ya eneo la mfano uliopita. Walakini, wacha tufanye mahesabu: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Hakika, dhana yetu iligeuka kuwa sahihi. Mfano 4. Kuhesabu eneo lililofungwa na sinusoid na mhimili wa Ox kwa kipindi kimoja (Mchoro 88). Hesabu za awali zinaonyesha kuwa eneo litakuwa kubwa mara nne kuliko katika Mfano 2. Hata hivyo, baada ya kufanya hesabu, tunapata “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Matokeo haya yanahitaji ufafanuzi. Ili kufafanua kiini cha jambo hilo, tunahesabu pia eneo lililopunguzwa na sinusoid sawa y = sin l: na mhimili wa Ox katika safu kutoka l hadi 2i. Kwa kutumia fomula (I), tunapata 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Kwa hivyo, tunaona kuwa eneo hili liligeuka kuwa hasi. Kuilinganisha na eneo lililohesabiwa katika zoezi la 3, tunaona kuwa maadili yao kamili ni sawa, lakini ishara ni tofauti. Ikiwa tutatumia mali V (tazama Sura ya XI, § 4), tunapata 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Kilichotokea katika mfano huu sio ajali. Kila mara eneo lililo chini ya mhimili wa Ox, mradi tu kigezo huru kinabadilika kutoka kushoto kwenda kulia, kinapatikana wakati kinakokotolewa kwa kutumia viambatanisho. Katika kozi hii tutazingatia kila wakati maeneo bila ishara. Kwa hiyo, jibu katika mfano uliojadiliwa hivi punde litakuwa: eneo linalohitajika ni 2 + |-2| = 4. Mfano 5. Wacha tuhesabu eneo la BAB lililoonyeshwa kwenye Mtini. 89. Eneo hili limepunguzwa na mhimili wa Ox, parabola y = - xr na mstari wa moja kwa moja y - = -x+\. Eneo la trapezoid ya curvilinear Eneo linalohitajika la OAB lina sehemu mbili: OAM na MAV. Kwa kuwa hatua A ni hatua ya makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja, tutapata kuratibu zake kwa kutatua mfumo wa equations 3 2 Y = mx. (tunahitaji tu kupata abscissa ya uhakika A). Kutatua mfumo, tunapata l; = ~. Kwa hiyo, eneo linapaswa kuhesabiwa kwa sehemu, mraba wa kwanza. OAM na kisha pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)