(100-96) - pierwsza akcja
Podziel 320 przez to, co wydarzyło się w nawiasach – drugi krok
pomnóż przez pięć - przez trzecią akcję
plus 350 - przy czwartej akcji
1 350+320=670:4=167.5=837.5
Podobne zadania:
1. Wpisz puste pola: 18t 4t = kg
6280 g = kg g
48ts = kg
26302 kg = t kg
7350 kg = kg kg
35 kg = g
2. Porównaj 18t 78kg 1t 878kg
22t 63kg 2t 263kg
380000g 38kg
5kg 320g 532g
3kg 490g 349g
3. Zakończ nagrywanie:
1/4 tony to kg
1/5 kilograma to g
1/10 kwintala to kg
4. Wyraź mniejszą miarą:
86ts =
3t =
25 kg =
2t 3t =
5. Rozwiąż problem.
Każdy z trzech wagonów przewoził 28 kwintali zboża, a czwarty 16 kwintali. Wszystkie cztery pojazdy przewoziły tony zboża.
6. Rozwiąż problem.
Sklep przyniósł 3 tony arbuzów. Pierwszego dnia sprzedaliśmy 900 kg, drugiego dwa razy więcej niż pierwszego, a trzeciego dnia resztę. Ile kilogramów arbuzów sprzedano trzeciego dnia?
Rozwiązanie:
7. Rozwiąż problem. Ile kilogramów mąki znajduje się w dwóch workach, jeśli w jednym jest 1/4 kwintala, a w drugim 1/4 kwintala?
Odpowiedź:
8. Rozwiąż problem 1/2 kg słodyczy kosztuje 28 rubli. Ile kosztuje 1 kg słodyczy?
Odpowiedź:
9.* Rozwiąż problem.
Gena ma 900 rubli. A Walenty ma 9 razy mniej. Ile rubli Gena powinna dać Walentynowi, aby mieli tyle samo pieniędzy?
Odpowiedź:
10. Rozwiąż problem (ustnie):
72 kg ogórków podzielono po równo do 8 koszy. Sprzedaliśmy trzy takie kosze. Ile kilogramów ogórków zostało?
Odpowiedź:
1. Wypełnij puste pola:
3t 005 kg = kg
3t 5 c = kg
19 kg = g
39ts = kg
5830 kg = kg kg
46500 kg = t kg
2. Porównaj
14t 260kg 14260kg
7670c 76t 7c
73000g 73kg
260000g 26kg
345t 34500ts
3. Zakończ nagrywanie:
1/4 części kwintala to kg
1/5 tony to kwintal
1/10 kilograma to g
4. Wyraź w większych miarach:
73 ts =
640 kg =
2830g =
3200kg =
5. Rozwiąż problem.
Każdy z trzech kupujących kupił 18 kg marchwi, a czwarty 46 kg. Cała czwórka kupiła 1/2 marchewki
6. Rozwiąż problem. Od trzech uczestników zebrano 2 tony marchwi. Z pierwszego poletka zebrano 500 kg, z drugiego 2 razy więcej niż z pierwszego, a z trzeciego resztę marchwi. Ile kilogramów marchwi zebrano z trzeciego poletka?
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
7. Porównaj
1/4kg 1/2kg
1/2c 1/10c
1/10t 1/2t
8. Rozwiąż problem.
Samica płetwala błękitnego podczas karmienia cielęcia traci 30 ton wagi. Stanowi to 1/4 jego całkowitej masy. Określ masę matki płetwala błękitnego.
Odpowiedź:
9. Oblicz i zapisz odpowiedź:
816:6
x5
+490
:2
_________
100:2
x7
-250
:100
________
10.* Przestaw cyfry liczby 810 tak, aby zmniejszyła się o 630.
Odpowiedź.
Aby zapisać liczbę wymierną m/n w postaci ułamka dziesiętnego, należy podzielić licznik przez mianownik. W tym przypadku iloraz jest zapisywany jako skończony lub nieskończony dziesiętny.
Zapisz tę liczbę jako ułamek dziesiętny.
Rozwiązanie. Podziel licznik każdego ułamka na kolumnę przez jego mianownik: A) podziel 6 przez 25; B) podzielić 2 przez 3; V) podziel 1 przez 2, a następnie dodaj powstały ułamek do jednego - części całkowitej tej liczby mieszanej.
Nieredukowalne ułamki zwyczajne, których mianowniki nie zawierają czynników pierwszych innych niż 2 I 5 , zapisuje się jako końcowy ułamek dziesiętny.
W Przykład 1 Kiedy A) mianownik 25=5,5; Kiedy V) mianownik wynosi 2, więc otrzymujemy końcowe miejsca po przecinku 0,24 i 1,5. Gdy B) mianownik wynosi 3, zatem wyniku nie można zapisać w postaci skończonego ułamka dziesiętnego.
Czy można zamienić poniższe liczby na ułamek dziesiętny bez długiego dzielenia? ułamek wspólny, którego mianownik nie zawiera żadnych dzielników innych niż 2 i 5? Rozwiążmy to! Jaki ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym i zapisuje się go bez kreski ułamkowej? Odpowiedź: ułamek o mianowniku 10; 100; 1000 itd. A każda z tych liczb jest produktem równy liczba dwójek i piątek. W rzeczywistości: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 itd.
W związku z tym mianownik nieredukowalnego ułamka zwykłego będzie musiał zostać przedstawiony jako iloczyn „dwójek” i „piątek”, a następnie pomnożony przez 2 i (lub) 5, tak aby „dwójki” i „piątki” stały się równe. Wtedy mianownik ułamka będzie równy 10, 100 lub 1000 itd. Aby mieć pewność, że wartość ułamka się nie zmieni, mnożymy licznik ułamka przez tę samą liczbę, przez którą pomnożyliśmy mianownik.
Wyraź następujące ułamki zwykłe w postaci ułamków dziesiętnych:
Rozwiązanie. Każdy z tych ułamków jest nieredukowalny. Rozwińmy mianownik każdego ułamka do czynniki pierwsze.
20=2,2,5. Wniosek: brakuje jednego „A”.
8=2·2·2. Wniosek: brakuje trzech liter „A”.
25=5,5. Wniosek: brakuje dwóch „dwójek”.
Komentarz. W praktyce często nie stosują faktoryzacji mianownika, a po prostu zadają pytanie: przez ile należy pomnożyć mianownik, aby wynik był jedynką z zerami (10 lub 100 lub 1000 itp.). A następnie licznik jest mnożony przez tę samą liczbę.
Tak na wszelki wypadek A)(przykład 2) z liczby 20 możesz uzyskać 100, mnożąc przez 5, dlatego musisz pomnożyć licznik i mianownik przez 5.
Gdy B)(przykład 2) z liczby 8 nie zostanie uzyskana liczba 100, ale liczba 1000 zostanie uzyskana poprzez pomnożenie przez 125. Zarówno licznik (3), jak i mianownik (8) ułamka mnoży się przez 125.
Gdy V)(przykład 2) z 25 otrzymasz 100, jeśli pomnożysz przez 4. Oznacza to, że licznik 8 należy pomnożyć przez 4.
okresowy jako ułamek dziesiętny. Zbiór powtarzających się cyfr nazywany jest okresem tego ułamka. Dla uproszczenia okres ułamka zapisuje się raz, ujęty w nawiasy.
Gdy B)(przykład 1) powtarza się tylko jedna cyfra i jest równa 6. Dlatego nasz wynik 0,66... będzie zapisywany w ten sposób: 0,(6) . Czytają: punkt zerowy, kropka szósta.
Jeśli między przecinkiem a pierwszą kropką znajduje się jedna lub więcej niepowtarzających się cyfr, wówczas taki ułamek okresowy nazywany jest mieszanym ułamkiem okresowym.
Nieredukowalny ułamek wspólny, którego mianownikiem jest razem z innymi mnożnik zawiera mnożnik 2 Lub 5 , staje się mieszany frakcja okresowa.
Zapisz liczby w postaci ułamka dziesiętnego:
Dowolną liczbę wymierną można zapisać w postaci nieskończonego okresowego ułamka dziesiętnego.
Zapisz to jako nieskończone frakcja okresowa liczby:
Rozwiązanie.
Drodzy przyjaciele!
Drodzy przyjaciele! Wkrótce staniesz przed (lub już stanąłeś) przed koniecznością podjęcia decyzji procentowe problemy. Zaczynają rozwiązywać takie zadania w piątej klasie i kończą… ale nie kończą rozwiązywania zadań z procentami! Zadania te znajdują się zarówno na testach, jak i na egzaminach: zarówno transferowych, jak i Unified State Exam i Unified State Exam. Co robić? Musimy nauczyć się rozwiązywać takie problemy. Pomoże Ci w tym moja książka „Jak rozwiązać problemy procentowe”.
Dodawanie liczb.
- a+b=c, gdzie aib są terminami, c jest sumą.
- Aby znaleźć nieznany termin, należy odjąć znany termin od sumy.
Odejmowanie liczb.
- a-b=c, gdzie a jest odjemną, b jest odejmowaniem, c jest różnicą.
- Aby znaleźć nieznaną odjemną, musisz dodać odejmowanie do różnicy.
- Znaleźć nieznany subtrahent, musisz odjąć różnicę od odejmowania.
Mnożenie liczb.
- a·b=c, gdzie aib są czynnikami, c jest iloczynem.
- Znaleźć nieznany mnożnik, musisz podzielić iloczyn przez znany współczynnik.
Dzielenie liczb.
- a:b=c, gdzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, c jest ilorazem.
- Aby znaleźć nieznaną dywidendę, należy pomnożyć dzielnik przez iloraz.
- Znaleźć nieznany dzielnik, musisz podzielić dywidendę przez iloraz.
Prawa dodawania.
- a+b=b+a(przemienne: przestawianie wyrazów nie zmienia sumy).
- (a+b)+c=a+(b+c)(kombinowane: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch wyrazów, możesz dodać sumę drugiego i trzeciego do pierwszej liczby).
Tabela dodatków.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Prawa mnożenia.
- a·b=b·a(przemienne: przestawianie czynników nie zmienia iloczynu).
- (a b) c=a (b c)(kombinowane: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej).
- (a+b)c=ac+bc(rozdzielne prawo mnożenia względem dodawania: aby pomnożyć sumę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane wyniki).
- (a-b) c=a c-b do(prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania: aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć odjemną i odjąć tę liczbę osobno, a drugą od pierwszego wyniku odjąć).
Tabliczka mnożenia.
2.1=2; 3.1=3; 4.1=4; 5·1=5; 6.1=6; 7,1=7; 8·1=8; 9·1=9.
2,2=4; 3,2=6; 4,2=8; 5,2=10; 6,2=12; 7,2=14; 8,2=16; 9,2=18.
2,3=6; 3,3=9; 4,3=12; 5,3=15; 6,3=18; 7,3=21; 8,3=24; 9,3=27.
2,4=8; 3,4=12; 4,4=16; 5,4=20; 6,4=24; 7,4=28; 8,4=32; 9,4=36.
2,5=10; 3,5=15; 4,5=20; 5,5=25; 6,5=30; 7,5=35; 8,5=40; 9,5=45.
2,6=12; 3,6=18; 4,6=24; 5,6=30; 6,6=36; 7,6=42; 8,6=48; 9,6=54.
2,7=14; 3,7=21; 4,7=28; 5,7=35; 6,7=42; 7,7=49; 8,7=56; 9,7=63.
2,8=16; 3,8=24; 4,8=32; 5,8=40; 6,8=48; 7,8=56; 8,8=64; 9,8=72.
2,9=18; 3,9=27; 4,9=36; 5,9=45; 6,9=54; 7,9=63; 8,9=72; 9,9=81.
2·10=20; 3·10=30; 4·10=40; 5·10=50; 6·10=60; 7·10=70; 8·10=80; 9·10=90.
Dzielniki i wielokrotności.
- Rozdzielacz Liczba naturalna A podaj liczbę naturalną do której A podzielone bez reszty. (Liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 są dzielnikami liczby 24, ponieważ 24 dzieli się przez każdą z nich bez reszty) 1 jest dzielnikiem dowolnej liczby naturalnej. Największy dzielnik dowolna liczba jest samą liczbą.
- Wielokrotności Liczba naturalna B jest liczbą naturalną podzielną przez B. (Liczby 24, 48, 72,... są wielokrotnościami liczby 24, ponieważ dzielą się przez 24 bez reszty). Najmniejszą wielokrotnością dowolnej liczby jest sama liczba.
Znaki podzielności liczby naturalne.
- Liczby używane do liczenia obiektów (1, 2, 3, 4,...) nazywane są liczbami naturalnymi. Zbiór liczb naturalnych jest oznaczony literą N.
- Liczby 0, 2, 4, 6, 8 zwany nawet w liczbach. Liczby zakończone cyframi parzystymi nazywane są liczbami parzystymi.
- Liczby 1, 3, 5, 7, 9 zwany dziwne w liczbach. Liczby zakończone cyframi nieparzystymi nazywane są liczbami nieparzystymi.
- Test podzielności przez liczbę 2 . Wszystkie liczby naturalne zakończone cyfrą parzystą są podzielne przez 2.
- Test podzielności przez liczbę 5 . Wszystkie liczby naturalne kończące się na 0 lub 5 są podzielne przez 5.
- Test podzielności liczby 10 . Wszystkie liczby naturalne kończące się na 0 są podzielne przez 10.
- Test podzielności przez liczbę 3 . Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to sama liczba jest podzielna przez 3.
- Test podzielności liczby 9 . Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to sama liczba jest podzielna przez 9.
- Test podzielności przez liczbę 4 . Jeśli liczba składa się z dwóch ostatnich cyfr podany numer, jest podzielna przez 4, to sama liczba jest podzielna przez 4.
- Test podzielności liczby 11. Jeżeli różnica między sumą cyfr w miejscach nieparzystych a sumą cyfr w miejscach parzystych jest podzielna przez 11, to sama liczba jest podzielna przez 11.
- Liczba pierwsza to liczba, która ma tylko dwa dzielniki: jeden i samą liczbę.
- Liczbę, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy złożoną.
- Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.
- Zapisywanie liczby złożonej wyłącznie jako iloczynu liczby pierwsze nazywa się rozkładaniem liczby złożonej na czynniki pierwsze. Każdy liczba złożona można jednoznacznie przedstawić jako iloczyn czynników pierwszych.
- Największym wspólnym dzielnikiem danych liczb naturalnych jest największa liczba naturalna, przez którą podzielona jest każda z tych liczb.
- Największa wspólny dzielnik podane liczby równy produktowi wspólne czynniki pierwsze w rozwinięciach tych liczb. Przykład. NWD(24, 42)=2·3=6, ponieważ 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, ich wspólne czynniki pierwsze to 2 i 3.
- Jeśli liczby naturalne mają tylko jeden wspólny dzielnik - jeden, wówczas liczby te nazywane są względnie pierwszymi.
- Najmniejszą wspólną wielokrotnością danych liczb naturalnych jest najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością każdej z podanych liczb. Przykład. LCM(24, 42)=168. Dokładnie to mały numer, który jest podzielny zarówno przez 24, jak i 42.
- Aby znaleźć LCM kilku danych liczb naturalnych, należy: 1) rozłożyć każdą z podanych liczb na czynniki pierwsze; 2) zapisz rozkład większej liczby i pomnóż go przez brakujące czynniki z rozkładu innych liczb.
- Najmniejsza wielokrotność dwóch względnie pierwszych liczb jest równa iloczynowi tych liczb.
B-mianownik ułamka pokazuje ile równe części podzielony;
A-licznik ułamka pokazuje, ile takich części zostało wziętych. Kreska ułamkowa oznacza znak dzielenia.
Czasami zamiast poziomej linii ułamkowej umieszcza się ukośną linię, a zwykły ułamek zapisuje się w ten sposób: a/b.
- U Prawidłowa frakcja licznik jest mniejszy od mianownika.
- U ułamek niewłaściwy licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi.
Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę naturalną, otrzymasz ułamek równy.
Dzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólny dzielnik inny niż jeden nazywa się redukcją ułamka.
- Liczbę składającą się z części całkowitej i części ułamkowej nazywamy liczbą mieszaną.
- Aby przedstawić ułamek niewłaściwy jako liczbę mieszaną, należy podzielić licznik ułamka przez mianownik, wówczas iloraz częściowy będzie wynosił cała część liczba mieszana, reszta jest licznikiem części ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.
- Aby przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy, należy pomnożyć część całkowitą liczby mieszanej przez mianownik, dodać licznik części ułamkowej do otrzymanego wyniku i zapisać go w liczniku ułamka niewłaściwego, pozostawiając mianownik ten sam.
- Promień Oh z punktem początkowym w punkcie O, na których są wskazane pojedyncze cięcie do i kierunek, zwany wiązka współrzędnych.
- Numer, odpowiadający punktowi promień współrzędnych, zwany koordynować ten punkt. Na przykład , Za(3). Przeczytaj: punkt A o współrzędnej 3.
- Najniższy wspólny mianownik ( NCD) dane frakcje nieredukowalne jest najmniejszą wspólną wielokrotnością ( NOC) mianowniki tych ułamków.
- Aby skrócić ułamek do najmniejszego wspólny mianownik, należy: 1) znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych ułamków, będzie to najmniejszy wspólny mianownik. 2) znajdź dodatkowy współczynnik dla każdej frakcji, po co dzielić nowy mianownik do mianownika każdego ułamka. 3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.
- Z dwóch ułamków z same mianowniki ten z większym licznikiem jest większy, a ten z mniejszym licznikiem jest mniejszy.
- Z dwóch ułamków o tych samych licznikach, ten o mniejszym mianowniku jest większy, a ten o większym mianowniku jest mniejszy.
- Aby porównać ułamki o różnych licznikach i różne mianowniki, musisz sprowadzić ułamki do najniższego wspólnego mianownika, a następnie porównać ułamki o tych samych mianownikach.
Działania na ułamkach zwyczajnych.
- Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
- Jeśli chcesz dodać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadź ułamki do najniższego wspólnego mianownika, a następnie dodaj ułamki o tych samych mianownikach.
- Aby odjąć ułamki o podobnych mianownikach, odejmij licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, pozostawiając mianownik bez zmian.
- Jeśli chcesz odjąć ułamki o różnych mianownikach, najpierw doprowadza się je do wspólnego mianownika, a następnie odejmuje ułamki o tych samych mianownikach.
- Podczas wykonywania operacji dodawania lub odejmowania liczby mieszane czynności te wykonuje się oddzielnie dla części całkowitych i dla części ułamkowych, a następnie wynik zapisuje się jako liczbę mieszaną.
- Iloczyn dwóch ułamków zwykłych jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy iloczynowi liczników, a mianownik jest równy iloczynowi mianowników tych ułamków.
- Aby pomnożyć ułamek zwykły przez liczbę naturalną, należy pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę, ale mianownik pozostawić bez zmian.
- Dwie liczby, których iloczyn jest równy jeden, nazywane są liczbami odwrotnymi.
- Przy mnożeniu liczb mieszanych najpierw zamienia się je na ułamki niewłaściwe.
- Aby znaleźć ułamek liczby, należy pomnożyć liczbę przez ten ułamek.
- Aby podzielić ułamek zwykły przez ułamek zwykły, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.
- Dzieląc liczby mieszane, najpierw zamienia się je na ułamki niewłaściwe.
- Aby podzielić ułamek zwykły przez liczbę naturalną, należy pomnożyć mianownik ułamka przez tę liczbę naturalną, a licznik pozostawić bez zmian. ((2/7):5=2/(7,5)=2/35).
- Aby znaleźć liczbę przez jej ułamek, należy podzielić odpowiadającą jej liczbę przez ten ułamek.
- Ułamek dziesiętny to liczba zapisana w systemie dziesiętnym i posiadająca cyfry mniejsze niż jeden. (3,25; 0,1457 itd.)
- Miejsca po przecinku w ułamku dziesiętnym nazywane są miejscami dziesiętnymi.
- Liczba dziesiętna nie zmieni się, jeśli dodasz lub usuniesz zera na końcu przecinka.
Aby dodać ułamki dziesiętne należy: 1) wyrównać liczbę miejsc po przecinku w tych ułamkach; 2) zapisz je jeden po drugim, tak aby pod przecinkiem wstawić przecinek; 3) wykonaj dodawanie, nie zwracając uwagi na przecinek, i wstaw przecinek w sumie pod przecinkami w dodanych ułamkach.
Aby odjąć ułamki dziesiętne, należy: 1) wyrównać liczbę miejsc po przecinku w odejmowaniu i odejmowaniu; 2) podpisz odejmowanie pod odjemnikiem tak, aby przecinek znalazł się pod przecinkiem; 3) wykonaj odejmowanie, nie zwracając uwagi na przecinek, i w otrzymanym wyniku umieść przecinek pod przecinkami odjemnika i odejmowania.
- Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, należy go pomnożyć przez tę liczbę, ignorując przecinek, a w otrzymanym iloczynie oddzielić przecinkiem w prawo tyle cyfr, ile było po przecinku w tym ułamku.
- Aby pomnożyć jeden ułamek dziesiętny przez drugi, należy wykonać mnożenie, nie zwracając uwagi na przecinki, i w otrzymanym wyniku oddzielić przecinkiem tyle cyfr po prawej stronie, ile było po przecinku w obu czynnikach razem.
- Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo o 1, 2, 3 itd. cyfry.
- Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 0,1; 0,01; 0,001 itd. należy przesunąć przecinek w lewo o 1, 2, 3 itd. cyfry.
- Aby podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, należy podzielić ułamek przez tę liczbę, tak jak dzielą się liczby naturalne, a po zakończeniu dzielenia całej części wstawić przecinek w iloraz.
- Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd., należy przesunąć przecinek w lewo o 1, 2, 3 itd. cyfry.
- Aby podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny, należy przesunąć przecinki w dzielnej i dzielniku o tyle cyfr w prawo, ile jest po przecinku w dzielniku, a następnie podzielić przez liczbę naturalną.
- Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 0,1; 0,01; 0,001 itd. należy przesunąć przecinek w prawo o 1, 2, 3 itd. cyfry. (Dzielenie ułamka dziesiętnego przez 0,1, 0,01, 0,001 itd. jest równoznaczne z pomnożeniem tego ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000 itd.)
Aby zaokrąglić liczbę do dowolnej cyfry, podkreślamy cyfrę tej cyfry, a następnie wszystkie cyfry po podkreślonej zastępujemy zerami, a jeśli są po przecinku, odrzucamy je. Jeśli pierwszą cyfrą zastąpioną przez zero lub odrzuconą jest 0, 1, 2, 3 lub 4, wówczas podkreślona cyfra pozostaje niezmieniona. Jeżeli pierwsza cyfra zastąpiona zerem lub odrzucona to 5, 6, 7, 8 lub 9, wówczas podkreśloną cyfrę zwiększa się o 1.
Średnia arytmetyczna kilku liczb.
Średnia arytmetyczna kilku liczb to iloraz podzielenia sumy tych liczb przez liczbę wyrazów.
Zakres wielu liczb.
Różnica między największym i najniższe wartości serii danych nazywa się zakresem serii liczb.
Tryb szeregu liczbowego.
Liczbę, która występuje z największą częstotliwością wśród podanych liczb w szeregu, nazywa się modą szeregu liczb.
- Jedna setna część nazywana jest procentem.
- Aby wyrazić procenty w postaci ułamka zwykłego lub liczby naturalnej, należy podzielić procent przez 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
- Aby wyrazić liczbę w procentach, należy ją pomnożyć przez 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
- Aby znaleźć procent liczby, należy wyrazić procent jako ułamek zwykły lub dziesiętny i otrzymany ułamek pomnożyć przez podaną liczbę.
- Aby znaleźć liczbę według jej procentu, należy wyrazić procent w postaci ułamka zwykłego lub dziesiętnego i podzielić daną liczbę przez ten ułamek.
- Aby dowiedzieć się, jaki procent pierwszej liczby różni się od drugiej, musisz podzielić pierwszą liczbę przez drugą i pomnożyć wynik przez 100%.
- Iloraz dwóch liczb nazywany jest stosunkiem tych liczb. a:b Lub a/b– stosunek liczb aib, gdzie a jest wyrazem poprzednim, b jest wyrazem następnym.
- Jeśli przestawimy elementy danej relacji, wówczas powstałą relację nazywamy odwrotnością danej relacji. Zależności b/a i a/b są wzajemnie odwrotne.
- Stosunek nie ulegnie zmianie, jeśli oba wyrazy stosunku zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę różną od zera.
- Równość dwóch stosunków nazywa się proporcją.
- a:b=c:d. To jest proporcja. Czytać: A Dotyczy to B, Jak C odnosi się do D. Liczby a i d nazywane są skrajnymi wyrazami proporcji, a liczby b i c nazywane są środkowymi wyrazami proporcji.
- Iloczyn skrajnych składników proporcji jest równy iloczynowi jej środkowych składników. Dla proporcji a:b=c:d Lub a/b=c/d główna właściwość jest zapisana w ten sposób: a·d=b·c.
- Aby znaleźć nieznany skrajny wyraz proporcji, należy podzielić iloczyn środkowych wyrazów proporcji przez znany skrajny wyraz.
- Aby znaleźć nieznane przeciętny członek proporcje, należy podzielić iloczyn skrajnych składników proporcji przez znany składnik środkowy.
Niech wartość y zależy od rozmiaru X. Jeśli przy zwiększaniu X kilka razy większy Na wzrasta o tę samą kwotę, to takie wartości X I Na nazywane są wprost proporcjonalnymi.
Jeżeli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch dowolnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.
Stosunek długości odcinka na mapie do długości odpowiadającej mu odległości w terenie nazywa się skalą mapy.
Niech wartość Na zależy od rozmiaru X. Jeśli przy zwiększaniu X kilka razy większy Na zmniejsza się o tę samą kwotę, to takie wartości X I Na nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi.
Jeśli dwie wielkości są odwrotne zależność proporcjonalna, wówczas stosunek dwóch dowolnie przyjętych wartości jednej wielkości jest równy odwrotna zależność odpowiadające wartości innej wielkości.
- Zbiór to zbiór pewnych obiektów lub liczb, skompilowany według niektórych właściwości ogólne lub prawa (wiele liter na stronie, wiele właściwe ułamki z mianownikiem 5, wiele gwiazd na niebie itp.).
- Zbiory składają się z elementów i mogą być skończone lub nieskończone. Zbiór, który nie zawiera ani jednego elementu, nazywa się pusty zestaw i oznaczać Ø.
- Pęczek W nazywany podzbiorem zbioru A, jeśli wszystkie elementy zbioru W są elementami zestawu A.
- Przecięcie zbiorów A I W jest zbiorem, którego elementy należą do zbioru A i wiele W.
- Suma zbiorów A I W jest zbiorem, którego elementy należą do co najmniej jednego z tych zbiorów A I W.
Dużo liczb.
- N– zbiór liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4,…
- Z– zbiór liczb całkowitych: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q- pęczek liczby wymierne, reprezentowalny jako ułamek m/n, Gdzie M- cały, N– naturalny (-2; 3/5; √9; √25 itd.)
- Linia współrzędnych to prosta, na której podany jest kierunek dodatni, punkt odniesienia (punkt O) i odcinek jednostkowy.
- Każdemu punktowi na linii współrzędnych odpowiada pewna liczba, która nazywa się współrzędną tego punktu. Na przykład, A(5). Czytają: punkt A o współrzędnej piątej. W 3). Czytają: punkt B o współrzędnej minus trzy.
- Moduł liczby a (napisz |a|) nazwać odległość od początku do punktu odpowiadającego danej liczbie A. Moduł dowolnej liczby jest nieujemny. |3|=3; |-3|=3, ponieważ odległość od początku do liczby -3 i do liczby 3 jest równa trzem segmentom jednostkowym. |0|=0 .
- Z definicji modułu liczby: |a|=a, Jeśli a≥0 I |a|=-a, Jeśli A<0 .
Działania na liczbach wymiernych.
Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Moduł sumy jest równy sumie modułów składników (-3-5=-8).
Suma dwóch liczb o różnych znakach ma znak wyrazu o dużej wartości bezwzględnej. Aby znaleźć moduł sumy, należy od większego modułu odjąć mniejszy (-4+6=2; -7+3=-4).
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. Moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów tych liczb (-5·(-6)=30).
Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną. Moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów tych liczb (-3,7=-21; 4,(-7)=-28).
Iloraz dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. Moduł ilorazu jest równy ilorazowi modułu dzielnej i dzielnika (-8:(-2)=4).
Iloraz dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną. Moduł ilorazu jest równy ilorazowi modułu dzielnej i dzielnika (-20:4=-5; 12:(-2)=-6).
- Aby zapisać liczbę wymierną m/n w postaci ułamka dziesiętnego, należy podzielić licznik przez mianownik. W tym przypadku iloraz zapisuje się jako ułamek dziesiętny skończony lub nieskończony.
- Ułamki zwyczajne nieredukowalne, których mianowniki nie zawierają czynników pierwszych innych niż 2 i 5, zapisuje się jako końcowy ułamek dziesiętny (3/2=1,5; 1/5=0,2).
- Nazywa się nieskończony ułamek dziesiętny, w którym jedna lub więcej cyfr niezmiennie powtarza się w tej samej kolejności okresowy jako ułamek dziesiętny. Zbiór powtarzających się cyfr nazywany jest okresem tego ułamka. Dla uproszczenia okres ułamka zapisuje się raz, umieszczając go w nawiasach: 1/3=0,(3); 1/9=0,(1). Jeśli między przecinkiem dziesiętnym a pierwszą kropką znajduje się jedna lub więcej niepowtarzających się cyfr, wówczas taki ułamek okresowy nazywany jest mieszanym ułamkiem okresowym: 7/15 = 0,4 (6); 5/12 = 0,41 (6).
- Nieredukowalny ułamek zwykły, którego mianownik wraz z innymi czynnikami zawiera współczynnik 2 lub 5, staje się mieszanym ułamkiem okresowym.
- Dowolną liczbę wymierną można zapisać w postaci nieskończonego okresowego ułamka dziesiętnego. Przykłady: 5=5,(0); 3/5=0,6 (0).
Nieskończony okresowy ułamek dziesiętny jest równy ułamkowi zwykłemu, którego licznikiem jest różnica między liczbą całkowitą po przecinku a liczbą po przecinku przed kropką, a mianownik składa się z „dziewiątek” i „zer” , i „dziewiątek” jest tyle, ile jest cyfr w kropce, i „ jest tyle zer, ile jest cyfr po przecinku przed kropką. Przykłady:
1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12
2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75
3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55
4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33
5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.
Zbiór liczb rzeczywistych.
- Każdy nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny zwany Liczba niewymierna. Przykłady: π ; √2 ; mi itp.
- Wszystkie liczby wymierne i niewymierne tworzą zbiór liczb rzeczywistych. Zbiór liczb rzeczywistych jest oznaczony literą R.
Mediana danego ciągu liczb.
Aby znaleźć medianę danego szeregu, należy ułożyć te liczby w kolejności rosnącej lub malejącej. Liczba znajdująca się w środku wynikowego szeregu będzie medianą tego ciągu liczb. Jeżeli liczba danych liczb jest parzysta, to mediana szeregu jest równa średniej arytmetycznej dwóch liczb znajdujących się w środku szeregu uporządkowanych rosnąco lub malejąco.
- Wyrażenia, w których można używać liczb, symboli arytmetycznych i nawiasów wraz z literami, nazywane są wyrażeniami algebraicznymi.
- Wartości liter, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są prawidłowymi wartościami liter.
- Jeśli w wyrażeniu algebraicznym zastąpisz litery ich wartościami i wykonasz wskazane czynności, wówczas otrzymana liczba nazywana będzie wartością wyrażenia algebraicznego.
- Mówi się, że dwa wyrażenia są identycznie równe, jeżeli dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych odpowiadające im wartości tych wyrażeń są równe.
- Formuła to wyrażenie algebraiczne zapisane jako równość i wyrażające związek między dwiema lub większą liczbą zmiennych. Przykład: formuła ścieżki s=v t(s – przebyta droga, v – prędkość, t – czas).
- Jeśli przed nawiasami znajduje się znak „+” lub w ogóle go nie ma, to po otwarciu nawiasów znaki terminów algebraicznych zostają zachowane.
- Jeżeli nawiasy poprzedzone są znakiem „ — ”, wówczas po otwarciu nawiasów znaki wyrazów algebraicznych zmieniają się na znaki przeciwne.
Terminy, które mają tę samą część literową, nazywane są terminami podobnymi. Znalezienie sumy algebraicznej podobnych wyrazów nazywa się redukcją podobnych wyrazów. Aby wprowadzić podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i pomnożyć wynikowy wynik przez wspólną część literową.
- Równość ze zmienną nazywa się równaniem.
- Rozwiązanie równania oznacza znalezienie jego wielu pierwiastków. Równanie może mieć jeden, dwa, kilka, wiele pierwiastków lub nie mieć ich wcale.
- Każdą wartość zmiennej, przy której dane równanie zamienia się w prawdziwą równość, nazywamy pierwiastkiem równania.
- Równania mające te same pierwiastki nazywane są równaniami równoważnymi.
- Dowolny wyraz równania można przenieść z jednej części równości do drugiej, zmieniając jednocześnie znak wyrazu na przeciwny.
- Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu.
- a-b – Liczba dodatnia, To a>b.
- Jeśli porównując liczby a i b, różnica a-b jest zatem liczbą ujemną A
- Jeśli nierówności są zapisywane znakami< или >, wówczas nazywane są nierównościami ścisłymi.
- Jeśli nierówności zapisuje się znakami ≤ lub ≥, to nazywa się je nierównościami nieścisłymi.
Własności nierówności numerycznych.
- Jeśli prawą stronę nierówności zamienimy z lewą, wówczas znak nierówności zmieni się na przeciwny. (Jeśli a>b, To B ).
- Jeśli numer A więcej numeru B i numer B więcej numeru C, a następnie numer A więcej numeru C. (Jeśli A> B, B> C, To A> C).
- Jeśli do obu stron nierówności dodamy tę samą liczbę, znak nierówności nie ulegnie zmianie. (Jeśli a>b, To a+c>b+c, gdzie c jest dowolną liczbą).
- Każdy wyraz można przenieść z jednej części nierówności do drugiej, zmieniając znak tego wyrazu na przeciwny.
- Jeśli obie strony nierówności zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę dodatnią, to znak nierówności nie ulegnie zmianie. (Jeśli a>b; C jest zatem liczbą dodatnią ac>bc; a/c>b/c).
- Jeśli obie strony nierówności zostaną pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę ujemną, wówczas znak nierówności zostanie odwrócony. (Jeśli a>b; C jest zatem liczbą ujemną AC
- Jeśli liczba jest dodatnia A większa niż liczba dodatnia B, a następnie numer 1/ A mniejsza liczba 1/ B. (Jeśli A> B; A>0; B>0 , To 1/ A<1/ B).
Przedziały numeryczne.
Odstęp pomiędzy punktami odpowiadającymi liczbom aib określonym na osi współrzędnych reprezentuje liczbowy odstęp pomiędzy liczbami aib. Rodzaje przedziałów numerycznych: interwał, odcinek, półprzerwa, Promień, otwarty Promień. Rozwiązania nierówności numerycznych można przedstawić na przedziałach numerycznych.
A) b) Nierówność postaci x≤a. Odpowiedź: (-∞; a]. V) d) Nierówność postaci x≥a. Odpowiedź: . G) Prosto w samolocie. Centralna symetria. Funkcjonować. Funkcja odwrotna. Reguła znajdowania funkcji odwrotnej do danej: 1) z tej równości wyrażają X Poprzez y; 2) w powstałej równości zamiast X pisać y, i zamiast y pisać X. Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych są względem siebie symetryczne względem prostej y=x (dwusieczne kątów współrzędnych I i III). Funkcja liniowa. Bezpośrednia proporcjonalność. Proporcjonalność bezpośrednia jest funkcją określoną wzorem w postaci y=kx, gdzie x jest zmienną niezależną, k- współczynnik prosty proporcjonalność. Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Odwrotna proporcjonalność. Odwrotna proporcjonalność jest funkcją określoną wzorem w postaci y=k/x, gdzie x jest zmienną niezależną różną od zera, k- współczynnik odwracać proporcjonalność. Wykres odwrotnej proporcjonalności jest hiperbolą składającą się z dwóch gałęzi. Dla k>0 gałęzie hiperboli znajdują się w I i III, a dla k<0 – во II и IV координатных четвертях. Równanie liniowe dwóch zmiennych i jego wykres. Układy równań liniowych z dwiema zmiennymi. Rozwiązywanie układów nierówności liniowych z jedną zmienną. Błędy bezwzględne i względne. Strona 1 z 1 1 Opcja nr 3329663 Podczas wykonywania zadań 1-23 odpowiedzią jest jedna cyfra, która odpowiada liczbie prawidłowej odpowiedzi lub cyfra, ciąg liter lub cyfr. Odpowiedź należy wpisać bez spacji i znaków dodatkowych. Jeśli nauczyciel wyrazi taką możliwość, możesz wpisać odpowiedzi do zadań w Części C lub przesłać je do systemu w jednym z formatów graficznych. Nauczyciel zobaczy wyniki wykonania zadań z Części B i będzie mógł ocenić przesłane odpowiedzi z Części C. Przydzielone przez nauczyciela oceny pojawią się w Twoich statystykach. Wersja do druku i kopiowania w programie MS Word 1. wyrównaj, 2. dodaj 1. Pierwszy z nich podwyższa liczbę na ekranie do kwadratu, drugi zwiększa ją o 1. Zapisz kolejność poleceń w programie, który zamienia liczbę 2 na liczbę 36 i zawiera nie więcej niż 4 polecenia. Wprowadź tylko numery poleceń. (Na przykład program 2122
- Ten program dodaj 1 wyrównać dodaj 1 dodaj 1. Ten program konwertuje liczbę 1 na liczbę 6. Odpowiedź: 1. dodaj 1, 2. pomnóż przez 5. Pierwszy z nich zwiększa liczbę na ekranie o 1, drugi ją mnoży. Na przykład program 121 określa następującą sekwencję poleceń: dodaj 1 pomnóż przez 5 dodaj 1 Ten program konwertuje na przykład liczbę 7 na liczbę 41. Zapisz w swojej odpowiedzi program zawierający nie więcej niż pięć poleceń i konwertujący liczbę 2 na liczbę 280. Odpowiedź: Wejściem algorytmu jest liczba naturalna N. Algorytm konstruuje z tego nową liczbę R w następujący sposób. 1. Konstruowanie zapisu binarnego liczby N. 2. Do tego wpisu po prawej stronie dodaje się jeszcze dwie cyfry, zgodnie z następującą zasadą: a) dodaje się wszystkie cyfry zapisu binarnego, a resztę z dzielenia sumy przez 2 dodaje się na końcu liczby (po prawej). Na przykład rekord 10000 jest konwertowany na rekord 100001; b) te same czynności wykonuje się na tym wpisie - reszta z dzielenia sumy cyfr przez 2 jest dodawana po prawej stronie. Uzyskany w ten sposób zapis (zawiera o dwie cyfry więcej niż w zapisie pierwotnego numeru). N) jest binarną reprezentacją żądanej liczby R. Wpisz najmniejszą liczbę N, dla którego wynik algorytmu jest większy niż 97. W odpowiedzi wpisz tę liczbę w systemie dziesiętnym. Odpowiedź: Urządzenie otrzymuje na wejściu pięciocyfrowy numer. Na podstawie tej liczby budowany jest nowy numer według poniższych zasad. 1. Cyfrę pierwszą, trzecią i piątą oraz drugą i czwartą dodaje się oddzielnie. 2. Powstałe dwie liczby są zapisywane jedna po drugiej w kolejności niemalejącej, bez separatorów. Przykład. Oryginalna liczba: 63 179. Sumy: 6 + 1 + 9 = 16; 3 + 7 = 10. Wynik: 1016. Określ najmniejszą liczbę przetwarzaną przez maszynę, aby uzyskać wynik 621. Odpowiedź: 1. Pierwszą i drugą cyfrę oraz drugą i trzecią cyfrę mnoży się oddzielnie. 2. Powstałe dwie liczby są zapisywane jedna po drugiej w kolejności nierosnącej, bez separatorów. Przykład. Numer oryginalny: 179. Produkty: 1*7 = 7; 7*9 = 63. Wynik: 637. Podaj najmniejszą liczbę, po przetworzeniu maszyna wygeneruje wynik 205. Odpowiedź: Urządzenie otrzymuje na wejściu czterocyfrowy numer. Na podstawie tej liczby konstruowany jest nowy numer według następujących zasad: 1. Mnoży się pierwszą i drugą oraz trzecią i czwartą cyfrę pierwotnej liczby. Przykład. Numer oryginalny: 2466. Produkty: 2 × 4 = 8; 6 × 6 = 36. Wynik: 368. Podaj najmniejszą liczbę, w wyniku której maszyna wygeneruje liczbę 124. Odpowiedź: Słowo powstaje z liter alfabetu rosyjskiego. Wiadomo, że słowo powstaje według następujących zasad: a) w słowie nie ma powtarzających się liter; b) wszystkie litery słowa są ułożone w bezpośredniej lub odwrotnej kolejności alfabetycznej, ewentualnie z wyłączeniem pierwszej. Które z poniższych słów spełnia wszystkie wymienione warunki? Odpowiedź: Wykonawca Accord-4 ma dwa zespoły, którym przypisano numery: 1. odejmij 1 2. pomnóż przez 4 Wykonując pierwszą z nich, Accord-4 odejmuje 1 od liczby na ekranie, a wykonując drugą, mnoży tę liczbę przez 4. Zapisz kolejność poleceń w programie, który zawiera nie więcej niż pięć poleceń i konwertuje liczbę 5 na liczbę 62. Jeśli istnieje więcej niż jeden taki program, zapisz którykolwiek z nich. W swojej odpowiedzi podaj tylko numery poleceń. Tak, dla programu pomnóż przez 4 musisz napisać: 211. Ten program konwertuje np. liczbę 7 na liczbę 26. Odpowiedź: Wykonawca Kalkulatora ma dwie drużyny, którym przypisane są numery: 1. odejmij 1 2. podziel przez 3 Wykonując pierwszą z nich Kalkulator odejmuje od liczby na ekranie 1, a wykonując drugą dzieli ją przez 3 (jeżeli dzielenie nie jest możliwe, Kalkulator wyłącza się). Zapisz kolejność poleceń w programie do uzyskania liczby 1 z liczby 37, zawierającej nie więcej niż 5 poleceń, wskazując jedynie numery poleceń. (Na przykład program 21121 jest programem podzielić przez 3 podzielić przez 3 Ten program na przykład konwertuje liczbę 60 na liczbę 5.) Odpowiedź: Masza zapomniała hasła do uruchomienia komputera, ale przypomniała sobie algorytm uzyskania go z ciągu podpowiedzi „KBMAM9KBK”: jeśli wszystkie ciągi znaków „MAM” zostaną zastąpione przez „RP”, „KBK” przez „1212”, a następnie z wynikowego ciągu zostaną usunięte ostatnie trzy znaki, wówczas wynikowa sekwencja będzie hasłem. Zdefiniuj hasło: Odpowiedź: Anya zaprosiła do odwiedzenia swoją przyjaciółkę Nataszę, ale nie podała jej kodu cyfrowego zamka swojego wejścia, ale wysłała następującą wiadomość: „W sekwencji 4, 1, 9, 3, 7, 5 ze wszystkich numerów, które są większą niż 4, odejmij 3, a następnie usuń wszystkie liczby nieparzyste z powstałego ciągu.” Po wykonaniu kroków wskazanych w wiadomości Natasza otrzymała następujący kod do zamka cyfrowego: 4) 4, 1, 6, 3, 4, 2 Odpowiedź: Lyuba zapomniała hasła do uruchomienia komputera, ale przypomniała sobie algorytm uzyskiwania go ze znaków „QWER3QWER1” w wierszu podpowiedzi. Jeśli wszystkie ciągi znaków „QWER” zostaną zastąpione przez „QQ”, a z powstałego ciągu usunięte zostaną kombinacje znaków „3Q”, wówczas otrzymana sekwencja będzie hasłem: Odpowiedź: Performer ThreeFive ma dwa zespoły, którym przydzielono numery: 1. dodaj 3, 2. pomnóż przez 5. Wykonując pierwszą z nich, ThreeFive dodaje 3 do liczby na ekranie, a wykonując drugą, mnoży tę liczbę przez 5. Zapisz kolejność poleceń w programie, który zawiera nie więcej niż 5 poleceń i przekonwertuj liczbę 1 na liczbę 515. W swojej odpowiedzi podaj tylko numery poleceń, nie wstawiaj spacji między cyframi. Tak, dla programu pomnóż przez 5 dodaj 3 dodaj 3 musisz napisać: 211. Ten program konwertuje np. liczbę 4 na liczbę 26. Odpowiedź: Wykonawca Kvadrator ma dwa zespoły, którym przydzielono numery: 1. dodaj 1, 2. wyrównaj. Pierwsze z tych poleceń zwiększa liczbę na ekranie o 1, drugie - podwyższa ją do kwadratu. Program dla performera Quadrator jest ciągiem numerów poleceń. Na przykład 21211 jest programem wyrównać dodaj 1 wyrównać dodaj 1 dodaj 1 Ten program konwertuje liczbę 2 na liczbę 27. Napisz program, który konwertuje liczbę 2 na liczbę 102 i zawiera nie więcej niż 6 poleceń. Jeśli istnieje więcej niż jeden taki program, zapisz którykolwiek z nich. Odpowiedź: Urządzenie otrzymuje na wejściu trzycyfrową liczbę. Na podstawie tej liczby budowany jest nowy numer według poniższych zasad. 1. Do numeru pierwotnego dodaje się pierwszą i drugą oraz drugą i trzecią cyfrę. 2. Powstałe dwie liczby są zapisywane jedna po drugiej w kolejności malejącej (bez separatorów). Przykład. Numer oryginalny: 348. Sumy: 3 + 4 = 7; 4 + 8 = 12. Wynik: 127. Podaj najmniejszą liczbę, w wyniku której maszyna wygeneruje liczbę 1412. Odpowiedź: Urządzenie otrzymuje na wejściu czterocyfrową liczbę ósemkową. Na podstawie tej liczby budowany jest nowy numer według poniższych zasad. 1. Dodaje się pierwszą i drugą cyfrę oraz trzecią i czwartą cyfrę. 2. Powstałe dwie liczby w systemie ósemkowym zapisuje się jedna po drugiej w kolejności rosnącej (bez separatorów). Przykład. Numer oryginalny: 4531. Sumy: 4+5 = 9; 3+1 = 4. Wynik: 49. Określ, która z podanych liczb może być wynikiem działania maszyny. Odpowiedź: W niektórych systemach informatycznych informacja jest kodowana w binarnych słowach sześciobitowych. Podczas przesyłania danych możliwe jest zniekształcenie, dlatego na końcu każdego słowa dodawana jest siódma (kontrolna) cyfra, tak aby suma cyfr nowego słowa, łącznie z cyfrą kontrolną, była parzysta. Na przykład 0 zostanie dodane po prawej stronie słowa 110011, a 1 zostanie dodane po prawej stronie słowa 101100. Po otrzymaniu słowa jest ono przetwarzane. W takim przypadku sprawdzana jest suma jego cyfr, w tym kontrolnej. Jeśli jest nieparzyste, oznacza to, że podczas transmisji tego słowa wystąpiła awaria i jest ono automatycznie zastępowane przez słowo zastrzeżone 0000000. Jeśli jest parzyste, oznacza to, że nie było awarii lub było więcej niż jedna awaria. W tym przypadku przyjęte słowo nie ulega zmianie. Wiadomość oryginalna 1100101 0001001 0011000 został przyjęty jako 1100111 0001100 0011000 Jak będzie wyglądać otrzymana wiadomość po przetworzeniu? 1) 0000000 0001100 0011000 2) 0000000 0000000 0011000 3) 1100111 0000000 0011000 4) 1100111 0001100 0000000 Odpowiedź: Wykonawca Calculator1 ma dwa zespoły, którym przydzielono numery: 1. dodaj 1, 2. pomnóż przez 5. Wykonując pierwszą z nich, Kalkulator1 dodaje do liczby na ekranie 1, a wykonując drugą mnoży ją przez 5. Program dla tego executora jest ciągiem numerów poleceń. Na przykład program 121 określa następującą sekwencję poleceń: dodaj 1, pomnóż 5, dodaj 1, Program ten konwertuje np. liczbę 7 na liczbę 41. Wpisz w swojej odpowiedzi program zawierający nie więcej niż sześć poleceń i konwertujący liczbę 1 na liczbę 77. Odpowiedź: Executor CALCULATOR ma tylko dwie komendy, którym przypisane są numery: 2. pomnóż przez 2 Wykonując polecenie nr 1, KALKULATOR odejmuje od liczby na ekranie 1, a wykonując polecenie numer 2, mnoży liczbę na ekranie przez 2. Napisz program zawierający więcej niż 4 drużyny, które z liczby 3 otrzymują liczbę 16. Należy podać jedynie numery drużyn. Na przykład program 21211 to program: pomnóż przez 2 pomnóż przez 2 który konwertuje liczbę 1 na 0. Odpowiedź: Vasya zapomniała hasła do systemu Windows XP, ale przypomniała sobie algorytm uzyskiwania go z ciągu podpowiedzi „B265C42GC4”: jeśli wszystkie ciągi znaków „C4” zostaną zastąpione „F16”, a następnie wszystkie trzycyfrowe liczby zostaną usunięte z wyniku string, wówczas wynikowa sekwencja będzie hasłem. Zdefiniuj hasło: Odpowiedź: Performer TwoFive ma dwa zespoły, którym przydzielono numery: 1. odejmij 2 2. podziel przez 5 Wykonując pierwszą z nich, TwoFive odejmuje 2 od liczby na ekranie, a wykonując drugą dzieli tę liczbę przez 5 (jeżeli dzielenie jest całkowicie niemożliwe, TwoFive zostaje wyłączone). Zapisz kolejność poleceń w programie, który zawiera nie więcej niż 5 poleceń i przekonwertuj liczbę 152 na liczbę 2. W swojej odpowiedzi podaj tylko numery poleceń, nie wstawiaj spacji między cyframi. Tak, dla programu podzielić przez 5 musisz napisać 211. Ten program konwertuje na przykład liczbę 55 na liczbę 7. Odpowiedź: W niektórych systemach informatycznych informacja jest kodowana w binarnych słowach sześciobitowych. Podczas przesyłania danych możliwe jest zniekształcenie, dlatego na końcu każdego słowa dodawana jest siódma (kontrolna) cyfra, tak aby suma cyfr nowego słowa, łącznie z cyfrą kontrolną, była parzysta. Przykładowo, po prawej stronie słowa 110011 zostanie dodane 0, a do słowa 101100 zostanie dodana 1. Po otrzymaniu słowa następuje jego obróbka. W takim przypadku sprawdzana jest suma jego cyfr, w tym kontrolnej. Jeśli jest nieparzyste, oznacza to, że podczas transmisji tego słowa wystąpiła awaria i jest ono automatycznie zastępowane przez słowo zastrzeżone 0000000. Jeśli jest parzyste, oznacza to, że nie było awarii lub było więcej niż jedna awaria. W tym przypadku przyjęte słowo nie ulega zmianie. Oryginalna wiadomość 1100101 0001001 1111000 została odebrana jako 1100111 0001100 1111000. Jak będzie wyglądać otrzymana wiadomość po przetworzeniu? 1) 0000000 0001100 1111000 2) 0000000 0000000 1111000 3) 1100101 0000000 1111000 4) 1100111 0001100 0000000 Odpowiedź: Mitya zaprosił do siebie swojego przyjaciela Wasię, ale nie podał mu kodu cyfrowego zamka swojego wejścia, lecz wysłał następującą wiadomość: „W sekwencji 4, 1, 8, 2, 6 podziel wszystkie liczby większe od 3 przez 2, a następnie usuń z powstałego ciągu wszystkie liczby parzyste.” Po wykonaniu kroków wskazanych w wiadomości Wasia otrzymała następujący kod do zamka cyfrowego: Odpowiedź: Kasjer zapomniał hasła do sejfu, ale zapamiętał algorytm uzyskania go z ciągu „AYY1YABC55”: jeśli sekwencyjnie usuniesz z ciągu znaków „YY” i „ABC”, a następnie zamień znaki A i Y , wynikowa sekwencja będzie hasłem. Zdefiniuj hasło.
Tajniki szybkie mnożenie i podziały 1. Mnożenie i dzielenie przez 5, 50, 500 itd. Mnożenie przez 5, 50, 500 itd. zastępuje się mnożeniem przez 10, 100, 1000 itd., po którym następuje dzielenie otrzymanego iloczynu przez 2 (lub dzielenie przez 2 i mnożenie przez 10, 100, 1000 itd. = 100:2 itd.) 54*5=(54*10):2=540:2=*5 = (54:2)*10= 270). Aby podzielić liczbę przez 5,50, 500 itd., należy podzielić tę liczbę przez 10 100 1000 itd. i pomnożyć przez 2. 10800: 50 = 10800:100*2 =216 10800: 50 = 10800*2:100 =216 2. Mnożenie i dzielenie przez 25, 250, 2500 itd. Mnożenie przez 25, 250, 2500 itd. zastępuje się mnożeniem przez 100, 1000, 10000 itd., a wynik dzieli się przez = 100: 4) 542*25=(542*100):4=13*25=248: 4*100 = 6200) (jeśli liczba jest podzielna przez 4, to mnożenie nie wymaga czasu, może to zrobić każdy uczeń). Aby podzielić liczbę przez 25, 25 250 2500 itd., liczbę tę należy podzielić przez 100 1000, 10 000 itd. i pomnożyć przez 4 31200: 25 = 31200:100*4 = 1248. 3. Mnożenie i dzielenie przez 125, 1250, 12500 itd. Mnożenie przez 125, 1250 itd. zastępuje się mnożeniem przez 1000, 10000 itd., a otrzymany iloczyn należy podzielić przez = 1000: 8) 72*125=72*1000:8=9000 Jeśli liczba jest podzielna przez 8, najpierw podziel ją przez 8, a następnie pomnóż przez 1000, 10000 itd. 48*125 = 48:8*1000 = 6000 Aby podzielić liczbę przez 125, 1250 itd., należy podzielić tę liczbę przez 1000, 10000 itd. i pomnożyć przez 8. 7000: 125 = 7000:1000*8 = 56. 4. Mnożenie i dzielenie przez 75, 750 itd. Aby pomnożyć liczbę przez 75, 750 itd., należy podzielić tę liczbę przez 4 i pomnożyć przez 300, 3000 itd. (75 = 300: 4) 48* 75 = 48:4*300 = 3600 Aby podzielić liczbę przez 75 750 itd., należy podzielić tę liczbę przez 300, 3000 itd. i pomnożyć przez 4 7200: 75 = 7200: 300*4 = 96. 5.Pomnóż przez 15, 150. Jeśli mnożysz przez 15, jeśli liczba jest nieparzysta, pomnóż ją przez 10 i dodaj połowę otrzymanego iloczynu: 23x15=23x(10+5)=230+115=345; jeśli liczba jest parzysta, to postępujemy jeszcze prościej - dodajemy połowę tej liczby i wynik mnożymy przez 10: 18x15=(18+9)x10=27x10=270. Mnożąc liczbę przez 150, używamy tej samej techniki i wynik mnożymy przez 10, ponieważ 150 = 15x10: 24x150=((24+12)x10)x10=(36x10)x10=3600. W ten sam sposób szybko pomnóż liczbę dwucyfrową (zwłaszcza parzystą) przez liczbę dwucyfrową kończącą się na 5: 24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840. 6. Mnożenie liczb dwucyfrowych mniejszych niż 20. Do jednej z liczb należy dodać liczbę jednostek drugiej, pomnożyć tę liczbę przez 10 i dodać do niej iloczyn jednostek tych liczb: 18x16=(18+6)x10+8x6= 240+48=288. Za pomocą opisanej metody można pomnożyć liczby dwucyfrowe mniejsze niż 20, a także liczby mające tę samą liczbę dziesiątek: 23x24 = (23+4)x20+4x6=27x20+12=540+12=562. Wyjaśnienie:
(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a* B. 7.Mnożenie liczby dwucyfrowej przez 101. Być może najprostsza zasada: przypisz sobie swój numer. Mnożenie zostało zakończone. 57 * 101 = 5> 5757 Wyjaśnienie: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b 8. Mnożenie liczby przez 11. Należy „rozsunąć” cyfry liczby mnożonej przez 11 i w powstałą lukę wpisać sumę tych cyfr, a jeżeli suma ta jest większa od 9, to jak przy normalnym dodawaniu należy przesunąć jednostkę do najwyższa cyfra. Przykład: Wyjaśnienie: Mamy: Tworzymy iloczyn: 5 jednostek, 5+2=7 dziesiątek, 2+6=8 setek, 6+3=9 tysięcy, 3+4=7 dziesiątek tysięcy, 4 setki tysięcy. 43625*11=479875. Gdy mnożna wynosi od 1000 do 10000 (na przykład 7543), możesz zastosować następującą metodę mnożenia przez 11. Najpierw podziel mnożną 7543 na dwucyfrowe ściany, a następnie znajdź iloczyn pierwszej twarzy (75) po lewej stronie przez 11, jak wskazano przy mnożeniu liczby dwucyfrowej przez 11. Otrzymana liczba (75*11=725) da iloczyn w setkach, ponieważ setki mnożników zostały pomnożone. Następnie należy pomnożyć drugi bok (43) przez 11, otrzymamy jednostki iloczynu: 43*11=473. Na koniec sumujemy powstałe produkty: 825 setek. +473=82739. Zatem 7543*11=82739. Spójrzmy na inny przykład: 8324*11. 83`24; 83 sto *11=913 komórek. 24*11=264; 913 komórek +264=91564. Zatem 8324*11=91564. 9. Mnożenie przez 22, 33, ..., 99. Aby pomnożyć liczbę dwucyfrową 22,33, ...,99, należy przedstawić ten współczynnik jako iloczyn liczby jednocyfrowej przez 11. Najpierw pomnóż przez liczba jednocyfrowa, a następnie o godzinie 11: 15 *33= 15*3*11=45*11=495. 10.
Mnożenie liczb dwucyfrowych przez 111. Najpierw weźmy za mnożnik liczbę dwucyfrową, której suma cyfr jest mniejsza niż 10. Wyjaśnijmy na przykładach liczbowych: Ponieważ 111=100+10+1, to 45*111=45*(100+10+1). Mnożąc liczbę dwucyfrową, której suma cyfr jest mniejsza niż 10, przez 111, należy wstawić dwukrotność sumy cyfr (tj. liczb przez nie reprezentowanych) jej dziesiątek i jednostek 4+ 5=9 w środku pomiędzy cyframi. 4500+450+45=4995. Zatem 45*111=4995. Gdy suma cyfr mnożnej dwucyfrowej jest większa lub równa 10, na przykład 68*11, należy dodać cyfry mnożnej (6+8) i wstawić 2 jednostki powstałej sumy do środek pomiędzy cyframi 6 i 8. Na koniec dodaj 1100 do utworzonej liczby 6448. Zatem 68*111=7548. 11. Pomnóż przez 37. Jeśli mnożysz liczbę przez 37, jeśli podana liczba jest wielokrotnością 3, dzielisz ją przez 3 i mnożysz przez 111. 27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999 Jeśli podana liczba nie jest wielokrotnością 3, to od iloczynu odejmuje się 37 lub do iloczynu dodaje się 37. 23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851. 12. Podnieś dowolną liczbę dwucyfrową do kwadratu. Jeśli zapamiętasz kwadraty wszystkich liczb od 1 do 25, łatwo będzie znaleźć kwadrat dowolnej liczby dwucyfrowej większej niż 25. Aby znaleźć kwadrat dowolnej liczby dwucyfrowej, należy pomnożyć różnicę między tą liczbą a 25 przez 100 i do powstałego iloczynu dodać kwadrat dopełnienia danej liczby do 50 lub kwadrat jej nadmiaru przez 50. Spójrzmy na przykład: 372=12*100+132=1200+169=1369 (M–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 . 13. Mnożenie liczb bliskich 100. Zwiększając (zmniejszając) jeden z czynników o kilka jednostek, pomnóż wynikową liczbę całkowitą i dodane (odjęte) jednostki przez inny współczynnik i odejmij drugi iloczyn od pierwszego iloczynu (dodaj powstałe produkty) 98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784. Ta technika przedstawiania jednego z czynników jako różnicy pozwala łatwo pomnożyć przez 9, 99, 999. Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć liczbę przez 1000) i od powstałej liczby całkowitej odjąć liczbę, która została pomnożona: 154x9=154x10-154==1386. Ale jeszcze łatwiej jest zapoznać dzieci z zasadą - „aby pomnożyć liczbę przez 9 (99, 999), wystarczy odjąć od tej liczby liczbę jej dziesiątek (setek, tysięcy) powiększoną o jeden i do powstałą różnicę dodaj dodanie jej cyfry jedności do 10 (uzupełnienie liczby utworzonej przez dwie ostatnie cyfry tej liczby): 154x9=(154-16)x10+(10-4)=138x10+6=1380+6=1386 14. Mnożenie liczb dwucyfrowych, których suma jednostek daje 10. Niech zostaną dane dwa liczby dwucyfrowe, którego suma wynosi 10: M=10m + n, K=10a + 10 – n. Skomponujmy ich pracę. M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m). Spójrzmy na kilka przykładów: 17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391; 33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211. 15 .
Mnożenie przez liczbę zapisaną wyłącznie w dziewiątkach. Aby znaleźć iloczyn liczby zapisanej tylko w dziewiątkach przez liczbę o tej samej liczbie cyfr, należy odjąć jeden od współczynnika i dodać do otrzymanej liczby kolejną liczbę, której wszystkie cyfry uzupełniają cyfry określoną liczbę wynikową na 9. 137 * 999= 136 863; Istnienie takiej metody widać z następującego sposobu rozwiązania podanych przykładów: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72, 46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554. 16. Podniesienie do kwadratu liczby kończącej się na 5. Pomnóż liczbę dziesiątek przez Następny numer dziesiątki i dodaj 25. 15*15 = 225 = 10*20+ 25 (lub 1*2 i dodaj 25 po prawej stronie) 35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 i dodaj 25 po prawej stronie) 65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 i dodaj 25 po prawej stronie)
Nierówność postaci x 
Nierówność postaci x>a. Odpowiedź: (a; +∞).
Podwójna nierówność postaci a≤x≤b. Odpowiedź: .
Przykład:
Mnożenie odbywa się w ten sam sposób liczby trzycyfrowe po 1001, czterocyfrowe po 10001 itd.
34 * 11 = 374, ponieważ 3 + 4 = 7, umieszczamy siódemkę pomiędzy trzema i czterema
68 * 11 = 748, ponieważ 6 + 8 = 14, umieszczamy czwórkę pomiędzy siódemką (sześć plus przeniesiony) a ósmą
10a+b - dowolna liczba, gdzie a jest liczbą dziesiątek, b jest liczbą jednostek.
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
gdzie mamy A setki, a+b dziesiątki i B jednostki. tj. wynik zawiera a*(a+1) setki, dwie dziesiątki i pięć jedności.