Przyjrzyjmy się trzem sposobom znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Znajdowanie przez faktoryzację
Pierwsza metoda polega na znalezieniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie podanych liczb na czynniki pierwsze.
Powiedzmy, że musimy znaleźć LCM liczb: 99, 30 i 28. Aby to zrobić, rozłóżmy każdą z tych liczb na czynniki pierwsze:
Aby żądana liczba była podzielna przez 99, 30 i 28, konieczne i wystarczające jest, aby zawierała wszystkie czynniki pierwsze tych dzielników. Aby to zrobić, musimy podnieść wszystkie czynniki pierwsze tych liczb do największej możliwej potęgi i pomnożyć je przez siebie:
2 2 3 2 5 7 11 = 13860
Zatem LCM (99, 30, 28) = 13 860. Żadna inna liczba mniejsza niż 13 860 nie jest podzielna przez 99, 30 lub 28.
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność danych liczb, należy je rozłożyć na czynniki pierwsze, następnie wziąć każdy czynnik pierwszy z największym wykładnikiem, w jakim się pojawia, i pomnożyć te czynniki przez siebie.
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb. Na przykład trzy liczby: 20, 49 i 33 są względnie pierwsze. Dlatego
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
To samo należy zrobić, szukając najmniejszej wspólnej wielokrotności różnych liczb pierwszych. Na przykład LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Znalezienie poprzez selekcję
Druga metoda polega na znalezieniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez selekcję.
Przykład 1. Kiedy największa z danych liczb jest dzielona przez inną podaną liczbę, wówczas LCM tych liczb jest równy największej z nich. Przykładowo biorąc pod uwagę cztery liczby: 60, 30, 10 i 6. Każda z nich jest podzielna przez 60, zatem:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
W innych przypadkach, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, stosuje się następującą procedurę:
- Spośród podanych liczb znajdź największą liczbę.
- Następnie znajdujemy liczby będące wielokrotnościami największej liczby, mnożąc ją przez liczby naturalne w kolejności rosnącej i sprawdzając, czy otrzymany iloczyn jest podzielny przez pozostałe podane liczby.
Przykład 2. Mając trzy liczby 24, 3 i 18. Wyznaczamy największą z nich - jest to liczba 24. Następnie znajdujemy liczby będące wielokrotnościami 24, sprawdzając, czy każda z nich jest podzielna przez 18 i 3:
24 · 1 = 24 - dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 18.
24 · 2 = 48 - dzieli się przez 3, ale nie jest podzielna przez 18.
24 · 3 = 72 - podzielne przez 3 i 18.
Zatem LCM (24, 3, 18) = 72.
Wyszukiwanie poprzez sekwencyjne wyszukiwanie LCM
Trzecia metoda polega na znalezieniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez kolejne znalezienie LCM.
LCM dwóch danych liczb jest równy iloczynowi tych liczb podzielonemu przez ich największy wspólny dzielnik.
Przykład 1. Znajdź LCM dwóch danych liczb: 12 i 8. Określ ich największy wspólny dzielnik: GCD (12, 8) = 4. Pomnóż te liczby:
Produkt dzielimy według ich gcd:
Zatem LCM (12, 8) = 24.
Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, wykonaj następującą procedurę:
- Najpierw znajdź LCM dowolnych dwóch z tych liczb.
- Następnie LCM znalezionej najmniejszej wspólnej wielokrotności i trzeciej podanej liczby.
- Następnie LCM wynikowej najmniejszej wspólnej wielokrotności i czwartej liczby itd.
- Zatem poszukiwanie LCM trwa tak długo, jak istnieją liczby.
Przykład 2. Znajdźmy LCM trzech podanych liczb: 12, 8 i 9. LCM liczb 12 i 8 znaleźliśmy już w poprzednim przykładzie (jest to liczba 24). Pozostaje znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczby 24 i trzeciej podanej liczby - 9. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: NWD (24, 9) = 3. Pomnóż LCM przez liczbę 9:
Produkt dzielimy według ich gcd:
Zatem LCM (12, 8, 9) = 72.
Temat „Liczby wielokrotne” jest realizowany w piątej klasie szkoły średniej. Jego celem jest doskonalenie umiejętności wykonywania obliczeń matematycznych w formie pisemnej i ustnej. Na tej lekcji wprowadzane są nowe pojęcia - ćwiczone są „liczby wielokrotne” i „dzielniki”, technika znajdowania dzielników i wielokrotności liczby naturalnej oraz umiejętność znajdowania LCM na różne sposoby.
Ten temat jest bardzo ważny. Znajomość tego można wykorzystać przy rozwiązywaniu przykładów z ułamkami zwykłymi. Aby to zrobić, musisz znaleźć wspólny mianownik, obliczając najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM).
Wielokrotność A to liczba całkowita, która dzieli się przez A bez reszty.
Każda liczba naturalna ma nieskończoną liczbę jej wielokrotności. Sam jest uważany za najmniejszy. Wielokrotność nie może być mniejsza niż sama liczba.
Musisz udowodnić, że liczba 125 jest wielokrotnością 5. Aby to zrobić, musisz podzielić pierwszą liczbę przez drugą. Jeśli 125 dzieli się przez 5 bez reszty, to odpowiedź brzmi „tak”.
Ta metoda ma zastosowanie w przypadku małych liczb.
Istnieją szczególne przypadki przy obliczaniu LOC.
1. Jeśli chcesz znaleźć wspólną wielokrotność 2 liczb (na przykład 80 i 20), gdzie jedna z nich (80) jest podzielna przez drugą (20), to ta liczba (80) jest najmniejszą wielokrotnością tych dwie liczby.
LCM(80, 20) = 80.
2. Jeśli dwie nie mają wspólnego dzielnika, to możemy powiedzieć, że ich LCM jest iloczynem tych dwóch liczb.
LCM(6, 7) = 42.
Spójrzmy na ostatni przykład. 6 i 7 w stosunku do 42 są dzielnikami. Dzielą wielokrotność liczby bez reszty.
W tym przykładzie 6 i 7 to sparowane czynniki. Ich iloczyn jest równy największej liczbie wielokrotnej (42).
Liczbę pierwszą nazywamy liczbą pierwszą, jeśli dzieli się tylko przez samą siebie lub przez 1 (3:1=3; 3:3=1). Pozostałe nazywane są kompozytami.
Inny przykład polega na ustaleniu, czy 9 jest dzielnikiem 42.
42:9=4 (pozostała 6)
Odpowiedź: 9 nie jest dzielnikiem 42, ponieważ odpowiedź ma resztę.
Dzielnik różni się od wielokrotności tym, że dzielnik jest liczbą, przez którą dzielone są liczby naturalne, a sama wielokrotność jest podzielna przez tę liczbę.
Największy wspólny dzielnik liczb A I B, pomnożone przez ich najmniejszą wielokrotność, da iloczyn samych liczb A I B.
Mianowicie: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Wspólne wielokrotności dla bardziej zespolonych liczb można znaleźć w następujący sposób.
Na przykład znajdź LCM dla 168, 180, 3024.
Rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze i zapisujemy je jako iloczyn potęg:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest bezpośrednio powiązana z największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. Ten połączenie pomiędzy GCD i NOC jest określona przez następujące twierdzenie.
Twierdzenie.
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych aib jest równa iloczynowi aib podzielonemu przez największy wspólny dzielnik aib, czyli LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
Dowód.
Pozwalać M jest pewną wielokrotnością liczb a i b. Oznacza to, że M jest podzielne przez a i zgodnie z definicją podzielności istnieje liczba całkowita k taka, że prawdziwa jest równość M=a·k. Ale M jest także podzielne przez b, zatem a·k jest podzielne przez b.
Oznaczmy gcd(a, b) jako d. Wtedy możemy zapisać równości a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d będą liczbami względnie pierwszymi. W rezultacie warunek otrzymany w poprzednim akapicie, że a · k jest podzielne przez b, można przeformułować w następujący sposób: a 1 · d · k dzieli się przez b 1 · d , co ze względu na właściwości podzielności jest równoważne warunkowi że a 1 · k jest podzielne przez b 1 .
Należy także zapisać dwa ważne wnioski z rozważanego twierdzenia.
Wspólne wielokrotności dwóch liczb są takie same, jak wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Rzeczywiście tak jest, ponieważ każda wspólna wielokrotność M liczb aib jest określona przez równość M=LMK(a, b)·t dla pewnej wartości całkowitej t.
Najmniejsza wspólna wielokrotność wzajemnie pierwszych liczb dodatnich aib jest równa ich iloczynowi.
Uzasadnienie tego faktu jest dość oczywiste. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to zatem gcd(a, b)=1 NWD(a, b)=a b: NWD(a, b)=a b:1=a b.
Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb
Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzech lub więcej liczb można sprowadzić do sekwencyjnego znajdowania LCM dwóch liczb. Jak to się robi, pokazuje następujące twierdzenie: a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k-1 i a k zatem pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczby m k . A ponieważ najmniejszą dodatnią wielokrotnością liczby m k jest sama liczba m k, to najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1, a 2, ..., a k jest m k.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. i inne Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
- Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
- Mikhelovich Sh.H. Teoria liczb.
- Kulikov L.Ya. i inne Zbiór zagadnień algebry i teorii liczb: Podręcznik dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.
Ale wiele liczb naturalnych dzieli się także przez inne liczby naturalne.
Na przykład:
Liczba 12 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;
Liczba 36 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.
Liczby, przez które liczba jest podzielna przez całość (dla 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywane są dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej A- jest liczbą naturalną dzielącą daną liczbę A bez śladu. Nazywa się liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki złożony .
Należy pamiętać, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Te liczby to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. Wspólnym dzielnikiem tych dwóch liczb A I B- jest to liczba, przez którą podzielone są obie podane liczby bez reszty A I B.
Wspólne wielokrotności kilka liczb to liczba, która jest podzielna przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są także ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich wspólnych wielokrotności zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Liczba ta nazywana jest najmniejszywspólna wielokrotność (CMM).
LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa niż największa z liczb, dla których jest zdefiniowana.
Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.
Przemienność:
Łączność:
W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi, to:
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych M I N jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności M I N. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, rz pokrywa się ze zbiorem wielokrotności LCM ( m, rz).
Asymptotykę można wyrazić w postaci niektórych funkcji teorii liczb.
Więc, Funkcja Czebyszewa. I:
Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).
Co wynika z prawa rozkładu liczb pierwszych.
Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).
NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:
1. Jeżeli znany jest największy wspólny dzielnik, można wykorzystać jego połączenie z LCM:
2. Niech będzie znany rozkład kanoniczny obu liczb na czynniki pierwsze:
Gdzie p 1 ,...,p k- różne liczby pierwsze i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nieujemne liczby całkowite (mogą być zerami, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie występuje w rozwinięciu).
Następnie NOC ( A,B) oblicza się według wzoru:
Innymi słowy, rozkład LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze zawarte w co najmniej jednym z rozkładów liczb a, b, i bierze się pod uwagę największy z dwóch wykładników tego mnożnika.
Przykład:
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:
Reguła. Aby znaleźć LCM serii liczb, potrzebujesz:
- rozkłada liczby na czynniki pierwsze;
- przenieść największy rozkład (iloczyn czynników największej liczby podanych) na czynniki pożądanego iloczynu, a następnie dodać czynniki z rozkładu innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub w niej występują mniej razy;
— wynikowy iloczyn czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.
Dowolne dwie lub więcej liczb naturalnych mają swój własny LCM. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych współczynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.
Do czynników pierwszych liczby 28 (2, 2, 7) dodaje się współczynnik 3 (liczba 21), wynikowy iloczyn (84) będzie najmniejszą liczbą podzielną przez 21 i 28.
Do czynników pierwszych największej liczby 30 dodaje się współczynnik 5 liczby 25, otrzymany iloczyn 150 jest większy od największej liczby 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), będący wielokrotnością wszystkich podanych liczb.
Liczby 2,3,11,37 są liczbami pierwszymi, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.
Reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, należy pomnożyć wszystkie te liczby przez siebie.
Inna opcja:
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:
1) przedstaw każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) zapisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) zapisz wszystkie pierwsze dzielniki (mnożniki) każdej z tych liczb;
4) wybrać największy stopień każdej z nich, występujący we wszystkich rozwinięciach tych liczb;
5) pomnóż te potęgi.
Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.
Rozwiązanie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Zapisujemy największe potęgi wszystkich dzielników pierwszych i mnożymy je:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Zaprezentowany poniżej materiał stanowi logiczną kontynuację teorii z artykułu LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, związek LCM z NWD. Tutaj będziemy rozmawiać znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), a szczególną uwagę poświęcimy rozwiązywaniu przykładów. Najpierw pokażemy, jak oblicza się LCM dwóch liczb za pomocą NWD tych liczb. Następnie przyjrzymy się znajdowaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.
Nawigacja strony.
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD
Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i GCD. Istniejące połączenie między LCM i GCD pozwala nam obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych poprzez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła to LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Przyjrzyjmy się przykładom znajdowania LCM za pomocą podanego wzoru.
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70.
Rozwiązanie.
W tym przykładzie a=126, b=70. Skorzystajmy z związku pomiędzy LCM i NWD wyrażonego wzorem LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb za pomocą zapisanego wzoru.
Znajdźmy NWD(126, 70) korzystając z algorytmu Euklidesa: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, zatem GCD(126, 70)=14.
Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: NWD(126, 70)=126·70:NWD(126, 70)= 126·70:14=630.
Odpowiedź:
LCM(126, 70)=630 .
Przykład.
Ile wynosi LCM(68, 34)?
Rozwiązanie.
Ponieważ 68 jest podzielne przez 34, wówczas NWD(68, 34)=34. Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: NWD(68, 34)=68·34:NWD(68, 34)= 68.34:34=68.
Odpowiedź:
LCM(68, 34)=68.
Należy zauważyć, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli liczba a jest podzielna przez b, to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a.
Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze
Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli ułożysz iloczyn ze wszystkich czynników pierwszych danych liczb, a następnie wykluczysz z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze występujące w rozkładach danych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności danych liczb .
Podana zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozszerzaniu liczb aib. Z kolei NWD(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych występujących jednocześnie w rozwinięciach liczb a i b (co opisano w rozdziale o znajdowaniu NWD za pomocą rozwinięcia liczb na czynniki pierwsze).
Podajmy przykład. Powiedz nam, że 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Utwórzmy iloczyn ze wszystkich czynników tych rozwinięć: 2,3,3,5,5,5,7 . Teraz z tego iloczynu wykluczymy wszystkie czynniki występujące zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak i rozwinięciu liczby 210 (te czynniki to 3 i 5), wówczas iloczyn przyjmie postać 2,3,5,5,7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności 75 i 210, czyli NOC(75, 210)= 2,3,5,5,7=1050.
Przykład.
Rozłóż liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze i znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.
Rozwiązanie.
Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:
Otrzymujemy 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.
Utwórzmy teraz iloczyn ze wszystkich czynników biorących udział w rozwinięciu tych liczb: 2,2,3,3,5,5,7,7,7. Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik – jest to liczba 7): 2,2,3,3,5,5,7,7. Zatem, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Odpowiedź:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Regułę znajdowania LCM za pomocą faktoryzacji liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b dodamy do czynników z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.
Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozkład na czynniki pierwsze wygląda następująco: 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210 i otrzymujemy iloczyn 2,3,5,5,7, którego wartość wynosi równe LCM(75, 210).
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.
Rozwiązanie.
Najpierw uzyskujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Do czynników 2, 2, 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2, 3, 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 i otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7, co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648 wynosi 4536.
Odpowiedź:
LCM(84, 648) = 4536.
Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb
Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnijmy odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.
Twierdzenie.
Niech zostaną podane dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k, najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona poprzez kolejne obliczenie m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Rozważmy zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.
Przykład.
Znajdź LCM czterech liczb 140, 9, 54 i 250.
Rozwiązanie.
W tym przykładzie a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Najpierw znajdujemy m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Aby to zrobić, korzystając z algorytmu Euklidesa, wyznaczamy NWD(140, 9), mamy 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dlatego NWD(140, 9)=1, skąd NWD(140, 9)=140 9:NWD(140, 9)= 140·9:1=1260. Oznacza to, że m 2 = 1 260.
Teraz znajdujemy m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Obliczmy to poprzez NWD(1 260, 54), które również wyznaczamy za pomocą algorytmu Euklidesa: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Wtedy gcd(1260, 54)=18, skąd gcd(1260, 54)= 1260·54:gcd(1260, 54)= 1260·54:18=3780. Oznacza to, że m 3 =3 780.
Pozostaje tylko znaleźć m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3,780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3,780=250·15+30, 250=30,8+10, 30=10,3. Zatem GCM(3780, 250)=10, skąd GCM(3780, 250)= 3 780 250: NWD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Oznacza to, że m 4 = 94 500.
Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb wynosi 94 500.
Odpowiedź:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
W wielu przypadkach wygodnie jest znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, stosując rozkład na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych czynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.
Spójrzmy na przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze.
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.
Rozwiązanie.
Najpierw otrzymujemy rozkład tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z rozkładem na czynniki pierwsze) i 143=11·13.
Aby znaleźć LCM tych liczb, do współczynników pierwszej liczby 84 (są to 2, 2, 3 i 7), należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6. Rozkład liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozkładzie pierwszej liczby 84. Następnie do czynników 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 i otrzymujemy zbiór czynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7. W następnym kroku nie będzie potrzeby dodawania mnożników do tego zestawu, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do współczynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143. Otrzymujemy iloczyn 2,2,2,2,3,7,11,13, który jest równy 48,048.