Redukcja ułamków jest konieczna, aby zmniejszyć ułamek na więcej prosty widok na przykład w odpowiedzi uzyskanej w wyniku rozwiązania wyrażenia.
Ułamki redukcyjne, definicja i wzór.
Co to jest ułamek redukujący? Co to znaczy skrócić ułamek?
Definicja:
Redukcja ułamków- jest to dzielenie licznika i mianownika ułamka na to samo Liczba dodatnia Nie równy zeru i jeden. W wyniku redukcji otrzymuje się ułamek o mniejszym liczniku i mianowniku, równy ułamkowi poprzedniemu wg.
Wzór na redukcję ułamków główna nieruchomość liczby wymierne.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Spójrzmy na przykład:
Zmniejsz ułamek \(\frac(9)(15)\)
Rozwiązanie:
Możemy rozwinąć ułamek do czynniki pierwsze i redukować wspólne czynniki.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Odpowiedź: po redukcji otrzymaliśmy ułamek \(\frac(3)(5)\). Zgodnie z podstawową właściwością liczb wymiernych ułamki pierwotne i wynikowe są równe.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Jak skrócić ułamki? Sprowadzanie ułamka do jego nieredukowalnej postaci.
Abyśmy mogli uzyskać wynik frakcja nieredukowalna, potrzebować znajdź największy wspólny dzielnik(UKŁON) dla licznika i mianownika ułamka.
Istnieje kilka sposobów znalezienia NWD, w przykładzie wykorzystamy rozkład liczb na czynniki pierwsze.
Znajdź ułamek nieredukowalny \(\frac(48)(136)\).
Rozwiązanie:
Znajdźmy NWD(48, 136). Zapiszmy liczby 48 i 136 na czynniki pierwsze.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
NWD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(czerwony) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Zasada sprowadzania ułamka do postaci nieredukowalnej.
- Musisz znaleźć największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.
- Aby w wyniku dzielenia otrzymać ułamek nieredukowalny, należy podzielić licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik.
Przykład:
Skróć ułamek \(\frac(152)(168)\).
Rozwiązanie:
Znajdźmy NWD(152, 168). Zapiszmy liczby 152 i 168 na czynniki pierwsze.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
NWD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Odpowiedź: \(\frac(19)(21)\) jest ułamkiem nieredukowalnym.
Redukcja ułamków niewłaściwych.
Jak ciąć ułamek niewłaściwy?
Zasady skracania ułamków zwykłych i niewłaściwych są takie same.
Spójrzmy na przykład:
Skróć ułamek niewłaściwy \(\frac(44)(32)\).
Rozwiązanie:
Zapiszmy licznik i mianownik na proste czynniki. A następnie zredukujemy wspólne czynniki.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(czerwony) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Redukcja frakcji mieszanych.
Ułamki mieszane podlegają tym samym zasadom, co ułamki zwykłe. Jedyna różnica jest taka, że możemy nie dotykaj całej części, ale część ułamkowa zmniejszyć Lub frakcja mieszana zamień na ułamek niewłaściwy, skróć i zamień na ułamek właściwy.
Spójrzmy na przykład:
Anuluj ułamek mieszany \(2\frac(30)(45)\).
Rozwiązanie:
Rozwiążmy to na dwa sposoby:
Pierwszy sposób:
Zapiszmy część ułamkową na proste czynniki, ale nie będziemy dotykać całej części.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Drugi sposób:
Najpierw zamieńmy go na ułamek niewłaściwy, a następnie zapiszmy na czynniki pierwsze i skróćmy. Przekształćmy powstały ułamek niewłaściwy na ułamek właściwy.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Powiązane pytania:
Czy potrafisz skracać ułamki zwykłe podczas dodawania lub odejmowania?
Odpowiedź: nie, musisz najpierw dodać lub odjąć ułamki zgodnie z zasadami, a dopiero potem je zmniejszyć. Spójrzmy na przykład:
Oceń wyrażenie \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Rozwiązanie:
Często popełniają błąd, skracając te same liczby W naszym przypadku licznik i mianownik mają liczbę 20, ale nie można ich zmniejszyć, dopóki nie zakończysz dodawania i odejmowania.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Przez jakie liczby można skrócić ułamek?
Odpowiedź: Możesz skrócić ułamek przez największy wspólny dzielnik lub wspólny dzielnik licznika i mianownika. Na przykład ułamek \(\frac(100)(150)\).
Zapiszmy liczby 100 i 150 na czynniki pierwsze.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Największym wspólnym dzielnikiem będzie liczba gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Otrzymaliśmy ułamek nieredukowalny \(\frac(2)(3)\).
Ale nie zawsze trzeba dzielić przez gcd; nie zawsze potrzebny jest ułamek nieredukowalny; można zmniejszyć ułamek przez prosty dzielnik licznika i mianownika. Na przykład liczby 100 i 150 mają wspólny dzielnik 2. Zmniejszmy ułamek \(\frac(100)(150)\) o 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Otrzymaliśmy ułamek redukowalny \(\frac(50)(75)\).
Jakie ułamki można skrócić?
Odpowiedź: Można skrócić ułamki zwykłe, w których licznik i mianownik mają wspólny dzielnik. Na przykład ułamek \(\frac(4)(8)\). Liczby 4 i 8 mają liczbę, przez którą są podzielne - liczbę 2. Dlatego taki ułamek można zmniejszyć o liczbę 2.
Przykład:
Porównaj dwa ułamki \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(8)(12)\).
Te dwa ułamki są równe. Przyjrzyjmy się bliżej ułamkowi \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)
Stąd otrzymujemy, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Dwa ułamki są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich otrzymamy poprzez skrócenie drugiego ułamka przez wspólny mnożnik licznik i mianownik.
Przykład:
Jeśli to możliwe, skróć następujące ułamki: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Rozwiązanie:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) ułamek nieredukowalny
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ razy 5)=\frac(2)(5)\)
Wiemy już, że licznik i mianownik ułamka można pomnożyć i podzielić przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Rozważmy trzy podejścia:
Podejdź do jednego.
Aby dokonać redukcji, podziel licznik i mianownik przez wspólny dzielnik. Spójrzmy na przykłady:
Skróćmy:
Na podanych przykładach od razu widzimy, które dzielniki przyjąć do redukcji. Proces jest prosty – przechodzimy przez 2,3,4,5 i tak dalej. W większości przykładów kursów szkolnych to wystarczy. Ale jeśli to ułamek:
Tutaj proces wybierania dzielników może zająć dużo czasu;). Oczywiście takie przykłady są poza szkolnym programem nauczania, ale trzeba umieć sobie z nimi poradzić. Poniżej przyjrzymy się, jak to się robi. Na razie wróćmy do procesu downsizingu.
Jak omówiono powyżej, aby zmniejszyć ułamek, podzieliliśmy go przez ustalone wspólne dzielniki. Wszystko się zgadza! Wystarczy dodać znaki podzielności liczb:
- jeśli liczba jest parzysta, to jest podzielna przez 2.
- jeśli liczba z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4, to sama liczba jest podzielna przez 4.
— jeśli suma cyfr tworzących liczbę jest podzielna przez 3, to sama liczba jest podzielna przez 3. Na przykład 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dwanaście jest podzielne przez 3, więc 123031 jest podzielne przez 3.
- jeśli liczba kończy się na 5 lub 0, to jest podzielna przez 5.
— jeśli suma cyfr tworzących liczbę jest podzielna przez 9, to sama liczba jest podzielna przez 9. Przykładowo 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Osiemnaście jest podzielne przez 9, co oznacza, że 623032 jest podzielne przez 9.
Drugie podejście.
Krótko mówiąc, cała akcja sprowadza się do rozłożenia licznika i mianownika na czynniki, a następnie sprowadzenia równych współczynników w liczniku i mianowniku (podejście to jest konsekwencją podejścia pierwszego):
Wizualnie, aby uniknąć nieporozumień i błędów, równe współczynniki są po prostu przekreślane. Pytanie - jak rozłożyć liczbę na czynniki? Konieczne jest określenie wszystkich dzielników poprzez wyszukiwanie. To osobny temat, nie jest skomplikowany, poszukaj informacji w podręczniku lub w Internecie. Nie napotkasz większych problemów z faktoringiem liczb występujących w ułamkach szkolnych.
Formalnie zasadę redukcji można zapisać w następujący sposób:
Podejdź do trzech.
Oto najciekawsza rzecz dla zaawansowanych i tych, którzy chcą nimi zostać. Skróćmy ułamek 143/273. Spróbuj sam! No właśnie, jak to się szybko stało? Nowy wygląd!
Odwracamy to (zamieniamy miejsca licznika i mianownika). Podziel powstały ułamek narożnikiem i przekonwertuj go na pomieszane numery, czyli wybieramy całą część:
To już jest łatwiejsze. Widzimy, że licznik i mianownik można zmniejszyć o 13:
Teraz nie zapomnij ponownie odwrócić ułamka, zapiszmy cały łańcuch:
Sprawdzone - zajmuje mniej czasu niż przeszukiwanie i sprawdzanie dzielników. Wróćmy do naszych dwóch przykładów:
Pierwszy. Dzielimy narożnikiem (nie na kalkulatorze), otrzymujemy:
Ten ułamek jest oczywiście prostszy, ale redukcja znów stanowi problem. Teraz osobno analizujemy frakcję 1273/1463 i odwracamy ją:
Tutaj jest łatwiej. Możemy rozważyć dzielnik taki jak 19. Reszta się nie nadaje, to jasne: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurra! Zapiszmy:
Następny przykład. Skróćmy 88179/2717.
Dzielimy, otrzymujemy:
Osobno analizujemy frakcję 1235/2717 i odwracamy ją:
Możemy rozważyć dzielnik taki jak 13 (do 13 nie jest odpowiednie):
Licznik 247:13=19 Mianownik 1235:13=95
*W trakcie procesu zobaczyliśmy kolejny dzielnik równy 19. Okazuje się, że:
Teraz zapisujemy oryginalną liczbę:
I nie ma znaczenia, co jest większe w ułamku - licznik czy mianownik, jeśli jest to mianownik, wówczas odwracamy go i postępujemy zgodnie z opisem. W ten sposób możemy zredukować dowolny ułamek, trzecie podejście można nazwać uniwersalnym.
Oczywiście dwa omówione powyżej przykłady nie są prostymi przykładami. Wypróbujmy tę technologię na „prostych” ułamkach, które już rozważaliśmy:
Dwa kwartały.
Siedemdziesiąt dwa lata sześćdziesiąte. Licznik jest większy od mianownika, nie ma potrzeby go odwracać:
Oczywiście do takich zastosowano trzecie podejście proste przykłady tylko jako alternatywa. Metoda, jak już powiedziano, jest uniwersalna, ale nie wygodna i poprawna dla wszystkich ułamków, zwłaszcza prostych.
Różnorodność ułamków jest ogromna. Ważne jest, abyś rozumiał zasady. Po prostu nie ma ścisłych zasad pracy z ułamkami. Przyjrzeliśmy się, zorientowaliśmy się, jak wygodniej byłoby działać, i ruszyliśmy dalej. Wraz z praktyką przyjdą umiejętności i rozłupiesz je jak nasiona.
Wniosek:
Jeśli widzisz wspólny dzielnik licznika i mianownika, użyj ich, aby zmniejszyć.
Jeśli wiesz, jak szybko rozłożyć liczbę na czynniki, rozłóż licznik i mianownik, a następnie zmniejsz.
Jeśli nie możesz określić wspólnego dzielnika, zastosuj trzecie podejście.
*Aby redukować ułamki, ważne jest opanowanie zasad redukcji, zrozumienie podstawowych właściwości ułamka, znajomość podejść do rozwiązywania i zachowanie szczególnej ostrożności podczas wykonywania obliczeń.
I pamiętaj! Zwyczajowo redukuje się ułamek aż do zatrzymania, to znaczy zmniejsza się go, o ile istnieje wspólny dzielnik.
Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.
Rozumiemy, czym jest ułamek redukujący, dlaczego i jak redukować ułamki, a także podajemy zasadę zmniejszania ułamków i przykłady jej użycia.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Co to jest „ułamki redukujące”
Zmniejsz ułamekSkracanie ułamka polega na podzieleniu jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik, który jest dodatni i różny od jedności.
W wyniku tego działania otrzymany zostanie ułamek o nowym liczniku i mianowniku, równy ułamkowi pierwotnemu.
Weźmy na przykład ułamek wspólny 6 24 i skróć go. Podziel licznik i mianownik przez 2, otrzymując 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. W tym przykładzie zmniejszyliśmy pierwotny ułamek o 2.
Sprowadzanie ułamków do postaci nieredukowalnej
W poprzednim przykładzie zmniejszyliśmy ułamek 6 24 o 2, w wyniku czego otrzymaliśmy ułamek 3 12. Łatwo zauważyć, że ułamek ten można jeszcze bardziej zmniejszyć. Zazwyczaj celem redukcji ułamków jest uzyskanie ułamka nieredukowalnego. Jak zamienić ułamek zwykły na nieredukowalna forma?
Można tego dokonać poprzez redukcję licznika i mianownika przez ich największy wspólny współczynnik (NWD). Wtedy, zgodnie z właściwością największego wspólnego dzielnika, licznik i mianownik będą wzajemnie liczby pierwsze, a ułamek będzie nieredukowalny.
za b = za ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)
Sprowadzanie ułamka do postaci nieredukowalnej
Aby sprowadzić ułamek do postaci nieredukowalnej, należy podzielić jego licznik i mianownik przez ich gcd.
Wróćmy do ułamka 6 24 z pierwszego przykładu i sprowadźmy go do jego nieredukowalnej postaci. Największym wspólnym dzielnikiem liczb 6 i 24 jest 6. Skracamy ułamek:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Redukcja ułamków jest wygodna w użyciu, aby nie pracować z dużymi liczbami. Ogólnie rzecz biorąc, w matematyce obowiązuje niepisana zasada: jeśli możesz uprościć dowolne wyrażenie, musisz to zrobić. Redukcja ułamka najczęściej oznacza sprowadzenie go do postaci nieredukowalnej, a nie po prostu zmniejszenie go przez wspólny dzielnik licznika i mianownika.
Zasada redukcji ułamków
Aby skrócić ułamki, pamiętaj tylko o zasadzie, która składa się z dwóch kroków.
Zasada redukcji ułamków
Aby skrócić ułamek, potrzebujesz:
- Znajdź gcd licznika i mianownika.
- Podziel licznik i mianownik przez ich gcd.
Spójrzmy na praktyczne przykłady.
Przykład 1. Skróćmy ułamek.
Biorąc pod uwagę ułamek 182 195. Skróćmy to.
Znajdźmy gcd licznika i mianownika. Aby to zrobić w w tym przypadku Najwygodniej jest zastosować algorytm Euklidesa.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13
Podziel licznik i mianownik przez 13. Otrzymujemy:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Gotowy. Otrzymaliśmy ułamek nieredukowalny równy ułamkowi pierwotnemu.
Jak inaczej można skrócić ułamki zwykłe? W niektórych przypadkach wygodnie jest rozłożyć licznik i mianownik na proste czynniki, a następnie z górnego i dolne części ułamki, usuń wszystkie wspólne czynniki.
Przykład 2. Zmniejsz ułamek
Biorąc pod uwagę ułamek 360 2940. Skróćmy to.
Aby to zrobić, wyobraź sobie pierwotny ułamek w postaci:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Pozbądźmy się wspólnych czynników w liczniku i mianowniku, otrzymując:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
Na koniec spójrzmy na inny sposób redukcji ułamków. Jest to tak zwana redukcja sekwencyjna. Stosując tę metodę, redukcję przeprowadza się w kilku etapach, w każdym z nich ułamek jest redukowany o jakiś oczywisty wspólny czynnik.
Przykład 3. Zmniejsz ułamek
Skróćmy ułamek 2000 4400.
Od razu widać, że licznik i mianownik mają wspólny współczynnik 100. Zmniejszamy ułamek o 100 i otrzymujemy:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Wynikowy wynik ponownie zmniejszamy o 2 i otrzymujemy ułamek nieredukowalny:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Wielu uczniów popełnia te same błędy podczas pracy z ułamkami zwykłymi. A wszystko dlatego, że zapominają o podstawowych zasadach arytmetyka. Dziś powtórzymy te zasady dalej specyficzne zadania które podaję na swoich zajęciach.
Oto zadanie, które stawiam każdemu przygotowującemu się do Unified State Exam z matematyki:
Zadanie. Morświn zjada dziennie 150 gramów pożywienia. Ale dorosła i zaczęła jeść o 20% więcej. Ile gramów paszy zjada teraz świnia?
Nie prawidłowe rozwiązanie. Jest to problem procentowy, który sprowadza się do równania:
Wiele (bardzo wiele) zmniejsza liczbę 100 w liczniku i mianowniku ułamka:
To jest błąd, który mój student popełnił w dniu pisania tego artykułu. Liczby, które zostały obcięte, są zaznaczone na czerwono.
Nie trzeba dodawać, że odpowiedź była błędna. Oceń sam: świnia zjadła 150 gramów, ale zaczęła jeść 3150 gramów. Wzrost nie jest 20%, ale 21-krotny, tj. o 2000%.
Aby uniknąć takich nieporozumień, pamiętaj o podstawowej zasadzie:
Zmniejszać można jedynie mnożniki. Warunki nie mogą zostać obniżone!
Zatem słuszna decyzja poprzednie zadanie na to wygląda:
Liczby skrócone w liczniku i mianowniku są zaznaczone na czerwono. Jak widać, licznik jest iloczynem, a mianownik jest zwykły numer. Zatem obniżka jest w pełni legalna.
Praca z proporcjami
Kolejnym problematycznym obszarem jest proporcje. Zwłaszcza, gdy zmienna jest po obu stronach. Na przykład:
Zadanie. Rozwiązać równanie:
Złe rozwiązanie - niektórych dosłownie korci, żeby wszystko skrócić o m:
Zredukowane zmienne są pokazane na czerwono. Wyrażenie 1/4 = 1/5 okazuje się kompletną bzdurą, liczby te nigdy nie są równe.
A teraz - słuszna decyzja. Zasadniczo jest zwyczajny równanie liniowe . Można to rozwiązać albo przesuwając wszystkie elementy na jedną stronę, albo korzystając z podstawowej właściwości proporcji:
Wielu czytelników zaprotestuje: „Gdzie jest błąd w pierwszym rozwiązaniu?” Cóż, przekonajmy się. Pamiętajmy o zasadzie pracy z równaniami:
Każde równanie można podzielić i pomnożyć przez dowolną liczbę, niezerowy.
Przegapiłeś tę sztuczkę? Dzielić można tylko przez liczby niezerowy. W szczególności możesz dzielić przez zmienną m tylko wtedy, gdy m != 0. Ale co, jeśli m = 0? Podstawmy i sprawdźmy:
Rozumiem równość liczbowa, tj. m = 0 jest pierwiastkiem równania. Dla pozostałego m != 0 otrzymujemy wyrażenie w postaci 1/4 = 1/5, co jest oczywiście błędne. Zatem nie ma niezerowych pierwiastków.
Wnioski: złożyć wszystko w jedną całość
Zatem do rozwiązania ułamkowe równania wymierne pamiętaj o trzech zasadach:
- Zmniejszać można jedynie mnożniki. Dodatki są niedozwolone. Dlatego naucz się rozkładać na czynniki licznik i mianownik;
- Główna właściwość proporcji: iloczyn skrajnych elementów jest równy iloczynowi środkowych;
- Równania można mnożyć i dzielić jedynie przez liczby k różne od zera. Przypadek k = 0 należy sprawdzić osobno.
Zapamiętaj te zasady i nie popełniaj błędów.