Równania nieliniowe z dwiema niewiadomymi
Definicja 1. Niech A będzie jakimś zbiór par liczb (X; y) . Mówią, że zbiór A jest dany funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y, jeśli zostanie podana reguła, za pomocą której każda para liczb ze zbioru A jest powiązana z określoną liczbą.
Ćwiczenia funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y często oznaczać Więc:
Gdzie F (X , y) – dowolna funkcja inna niż funkcja
F (X , y) = topór+by+c ,
gdzie a, b, c – podane liczby.
Definicja 3. Rozwiązywanie równania (2) zadzwoń pod parę liczb ( X; y), dla którego wzór (2) jest prawdziwą równością.
Przykład 1. Rozwiązać równanie
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, ze wzoru (4) wynika, że niewiadome x i y spełniają układ równań
którego rozwiązaniem jest para liczb (6; 3).
Odpowiedź: (6; 3)
Przykład 2. Rozwiązać równanie
Dlatego rozwiązaniem równania (6) jest nieskończony zbiór pary liczb Uprzejmy
(1 + y ; y) ,
gdzie y jest dowolną liczbą.
liniowy
Definicja 4. Rozwiązywanie układu równań
zadzwoń pod parę liczb ( X; y) , podstawiając je do każdego z równań tego układu, otrzymujemy prawdziwa równość.
Układy dwóch równań, z których jedno jest liniowe, mają postać
G(X , y)
Przykład 4. Rozwiązać układ równań
Rozwiązanie . Wyraźmy niewiadome y z pierwszego równania układu (7) poprzez nieznane x i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania układu:
Rozwiązanie równania
X 1 = - 1 , X 2 = 9 .
Stąd,
y 1 = 8 - X 1 = 9 ,
y 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne
Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne, mają postać
gdzie a, b, c są danymi liczbami i G(X , y) – funkcja dwóch zmiennych x i y.
Przykład 6. Rozwiązać układ równań
Rozwiązanie . Rozwiążmy równanie jednorodne
3X 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3X 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
traktując to jako równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą x:
.
W razie X = - 5y, z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie
5y 2 = - 20 ,
który nie ma korzeni.
W razie
z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie
,
którego pierwiastkiem są liczby y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Znajdując dla każdej z tych wartości y odpowiednią wartość x, otrzymujemy dwa rozwiązania układu: (- 2 ; 3), (2; - 3).
Odpowiedź: (- 2; 3), (2; - 3)
Przykłady rozwiązywania układów równań innych typów
Przykład 8. Rozwiąż układ równań (MIPT)
Rozwiązanie . Wprowadźmy nowe niewiadome u i v, które wyrażamy poprzez x i y według wzorów:
Aby przepisać układ (12) w kategoriach nowych niewiadomych, najpierw wyrażamy niewiadome x i y w kategoriach u i v. Z układu (13) wynika, że
Rozwiążmy układ liniowy (14) usuwając zmienną x z drugiego równania tego układu. W tym celu dokonujemy na układzie (14) następujących przekształceń:
- Pierwsze równanie układu pozostawimy bez zmian;
- od drugiego równania odejmujemy pierwsze równanie i zastępujemy drugie równanie układu powstałą różnicą.
W rezultacie układ (14) zostaje przekształcony w układ równoważny
z którego znajdujemy
Korzystając ze wzorów (13) i (15) przepisujemy oryginalny układ (12) w postaci
Pierwsze równanie układu (16) jest liniowe, zatem możemy z niego wyrazić nieznane u poprzez nieznane v i podstawić to wyrażenie do drugiego równania układu.
Temat lekcji: „Jednorodne równania trygonometryczne”
(10. klasa)
Cel: wprowadzić pojęcie homogeniczności równania trygonometryczne I i II stopień; formułować i opracowywać algorytm rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych stopnia I i II; uczyć studentów rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych stopnia I i II; rozwinąć umiejętność identyfikowania wzorców i generalizowania; pobudzać zainteresowanie tematem, rozwijać poczucie solidarności i zdrowej rywalizacji.
Typ lekcji: lekcja tworzenia nowej wiedzy.
Formularz: Praca w grupach.
Sprzęt: komputer, instalacja multimedialna
Podczas zajęć
Organizowanie czasu
Powitanie uczniów, mobilizacja uwagi.
Na lekcji system oceniania ocena wiedzy (nauczyciel objaśnia system oceniania wiedzy, wypełniając kartę oceny przez niezależnego eksperta wybranego przez nauczyciela spośród uczniów). Lekcji towarzyszy prezentacja. .
Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Prace domowe są sprawdzane i oceniane przez niezależnego eksperta i konsultantów przed zajęciami i zapisywane dokument ewaluacyjny.
Nauczyciel podsumowuje występ Praca domowa.
Nauczyciel: Kontynuujemy naukę tematu „Równania trygonometryczne”. Dziś na lekcji przedstawimy Wam inny rodzaj równań trygonometrycznych i metody ich rozwiązywania, dlatego powtórzymy to, czego się nauczyliśmy. Rozwiązując wszelkiego rodzaju równania trygonometryczne, sprowadzają się one do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych.
Sprawdzana jest indywidualna praca domowa wykonywana w grupach. Obrona prezentacji „Rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych”
(Praca grupy oceniana jest przez niezależnego eksperta)
Motywacja do nauki.
Nauczyciel: Mamy pracę do wykonania, aby rozwiązać krzyżówkę. Po rozwiązaniu poznamy nazwę nowego typu równań, które dzisiaj nauczymy się rozwiązywać na zajęciach.
Pytania są wyświetlane na tablicy. Uczniowie zgadują, a niezależny ekspert wpisuje do arkusza ocen wyniki uczniów, którzy udzielili odpowiedzi.
Po rozwiązaniu krzyżówki dzieci przeczytają słowo „jednorodny”.
Asymilacja nowej wiedzy.
Nauczyciel: Temat lekcji to „Jednorodne równania trygonometryczne”.
Zapiszmy temat lekcji w zeszycie. Równania trygonometryczne jednorodne są pierwszego i drugiego stopnia.
Zapiszmy definicję równania jednorodnego pierwszego stopnia. Pokazuję przykład rozwiązania tego typu równania, tworzy się algorytm rozwiązywania jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia.
Równanie postaci A grzech + B cosx = 0 nazywa się jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia.
Rozważmy rozwiązanie równania, gdy współczynniki A I V są różne od 0.
Przykład: sinx + cosx = 0
R 
dzieląc obie strony równania przez cosx, otrzymujemy
Uwaga! Możesz dzielić przez 0 tylko wtedy, gdy to wyrażenie nigdzie nie zmieni się na 0. Przeanalizujmy. Jeśli cosinus jest równy 0, to sinus również będzie równy 0, biorąc pod uwagę, że współczynniki są różne od 0, ale wiemy, że sinus i cosinus dążą do zera różne punkty. Dlatego operację tę można wykonać przy rozwiązywaniu tego typu równań.
Algorytm rozwiązywania jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia: dzielenie obu stron równania przez cosx, cosx 0
Równanie postaci A grzech mx +B cos mx = 0 zwane także jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia, a także rozwiązują dzielenie obu stron równania przez cosinus mx.
Równanie postaci A grzech 2 x+B sinx cos +C cos2x = 0 nazywa się jednorodnym równaniem trygonometrycznym drugiego stopnia.
Przykład : grzech 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0
Współczynnik a jest różny od 0 i dlatego, podobnie jak w poprzednim równaniu, cosx nie jest równy 0, dlatego można zastosować metodę dzielenia obu stron równania przez cos 2 x.
Otrzymujemy tg 2 x + 2tgx – 3 = 0
Rozwiązujemy wprowadzając nową zmienną niech tgx = a, wtedy otrzymujemy równanie
za 2 + 2a – 3 = 0
D = 4 – 4 (–3) = 16
za 1 = 1 za 2 = –3
Powrót do wymiany
Odpowiedź:
Jeżeli współczynnik a = 0, to równanie przyjmie postać 2sinx cosx – 3cos2x = 0, rozwiązujemy je metodą odejmowania wspólny mnożnik cosx poza nawiasami. Jeżeli współczynnik c = 0, to równanie ma postać sin2x +2sinx cosx = 0, rozwiązujemy je poprzez usunięcie wspólnego czynnika sinx z nawiasów. Algorytm rozwiązywania jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia:
Sprawdź, czy równanie zawiera wyraz asin2 x.
Jeżeli w równaniu występuje wyraz asin2 x (tj. 0), to równanie rozwiązuje się dzieląc obie strony równania przez cos2x i następnie wprowadzając nową zmienną.
Jeżeli w równaniu nie występuje wyraz asin2 x (tzn. a = 0), to równanie rozwiązuje się poprzez faktoryzację: cosx jest usuwany z nawiasów. Równania jednorodne postaci a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 rozwiązuje się w ten sam sposób
Algorytm rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych napisano w podręczniku na stronie 102.
Minuta wychowania fizycznego
Kształtowanie umiejętności rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych
Otwieranie książek z zadaniami, strona 53
Grupy 1. i 2. postanawiają nr 361-v
Grupy 3. i 4. decydują nr 363-v
Pokaż rozwiązanie na tablicy, wyjaśnij, uzupełnij. Niezależny ekspert ocenia.
Rozwiązywanie przykładów z zeszytu zadań nr 361-v
sinx – 3cosx = 0
dzielimy obie strony równania przez cosx 0 i otrzymujemy 
nr 363-w
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
dzielimy obie strony równania przez cos2x, otrzymujemy tg2x + tanx – 2 = 0
rozwiązać, wprowadzając nową zmienną
niech tgx = a, wtedy otrzymamy równanie
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
powrót do wymiany
Niezależna praca.
Rozwiąż równania.
2 cosx – 2 = 0
2cos2x – 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0
Pod koniec samodzielnej pracy zmieniają pracę i wzajemnie się sprawdzają. Prawidłowe odpowiedzi są wyświetlane na tablicy.
Następnie przekazują sprawę niezależnemu ekspertowi.
Rozwiązanie „zrób to sam”.
Podsumowanie lekcji.
O jakim typie równań trygonometrycznych uczyliśmy się na zajęciach?
Algorytm rozwiązywania równań trygonometrycznych pierwszego i drugiego stopnia.
Praca domowa: § 20,3 przeczytane. nr 361(d), 363(b), zwiększona trudność dodatkowo nr 380(a).
Krzyżówka.
Jeśli wejdziesz Prawdziwe słowa, wówczas otrzymasz nazwę jednego z typów równań trygonometrycznych.
Wartość zmiennej, która sprawia, że równanie jest prawdziwe? (Źródło)
Jednostka miary kątów? (Radian)
Czynnik liczbowy w produkcie? (Współczynnik)
Dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych? (Trygonometria)
Który model matematyczny niezbędne do włożenia funkcje trygonometryczne? (Koło)
Która funkcja trygonometryczna jest parzysta? (Cosinus)
Jak nazywa się prawdziwa równość? (Tożsamość)
Równość ze zmienną? (Równanie)
Równania posiadające identyczne korzenie? (równowartość)
Zbiór pierwiastków równania ? (Rozwiązanie)
Dokument ewaluacyjny
№
n\n
Nazwisko, imię nauczyciela
Praca domowa
Prezentacja
Aktywność poznawcza
uczenie się
Rozwiązywanie równań
Niezależny
Stanowisko
Praca domowa – 12 punktów (za pracę domową przypisano 3 równania 4 x 3 = 12)
Prezentacja – 1 punkt
Aktywność studenta – 1 odpowiedź – 1 punkt (maksymalnie 4 punkty)
Rozwiązywanie równań 1 punkt
Samodzielna praca – 4 punkty
Ocena grupowa:
„5” – 22 punkty lub więcej
„4” – 18 – 21 punktów
„3” – 12 – 17 punktów
Zatrzymywać się! Spróbujmy zrozumieć tę uciążliwą formułę.
Pierwsza zmienna w potędze z pewnym współczynnikiem powinna być pierwsza. W naszym przypadku tak
W naszym przypadku tak. Jak się dowiedzieliśmy, oznacza to, że stopień przy pierwszej zmiennej jest zbieżny. I druga zmienna pierwszego stopnia jest na swoim miejscu. Współczynnik.
Mamy to.
Pierwsza zmienna to potęga, druga zmienna jest podniesiona do kwadratu ze współczynnikiem. To jest ostatni wyraz w równaniu.
Jak widać, nasze równanie pasuje do definicji w formie wzoru.
Przyjrzyjmy się drugiej (werbalnej) części definicji.
Mamy dwie niewiadome i. Tutaj się to zbiega.
Rozważmy wszystkie warunki. W nich suma stopni niewiadomych powinna być taka sama.
Suma stopni jest równa.
Suma potęg jest równa (at i at).
Suma stopni jest równa.
Jak widać wszystko pasuje!!!
Poćwiczmy teraz definiowanie równań jednorodnych.
Określ, które z równań są jednorodne:
Równania jednorodne - równania z liczbami:
Rozważmy równanie osobno.
Jeśli podzielimy każdy wyraz przez rozłożenie na czynniki każdego wyrazu, otrzymamy
I to równanie całkowicie mieści się w definicji równań jednorodnych.
Jak rozwiązywać równania jednorodne?
Przykład 2.
Podzielmy równanie przez.
Zgodnie z naszym warunkiem y nie może być równe. Dlatego możemy bezpiecznie dzielić przez
Dokonując podstawienia otrzymujemy proste równanie kwadratowe:
Ponieważ jest to zredukowane równanie kwadratowe, używamy twierdzenia Viety:
Po dokonaniu odwrotnego podstawienia otrzymujemy odpowiedź
Odpowiedź:
Przykład 3.
Podzielmy równanie przez (według warunku).
Odpowiedź:
Przykład 4.
Znajdź jeśli.
Tutaj nie musisz dzielić, ale mnożyć. Pomnóżmy całe równanie przez:
Dokonajmy zamiany i rozwiążmy równanie kwadratowe:
Po dokonaniu odwrotnego podstawienia otrzymujemy odpowiedź:
Odpowiedź:
Rozwiązywanie jednorodnych równań trygonometrycznych.
Rozwiązywanie jednorodnych równań trygonometrycznych nie różni się od metod rozwiązywania opisanych powyżej. Tylko tutaj między innymi trzeba znać trochę trygonometrii. I umieć rozwiązywać równania trygonometryczne (w tym celu możesz przeczytać sekcję).
Przyjrzyjmy się takim równaniom na przykładach.
Przykład 5.
Rozwiązać równanie.
Widzimy to, co typowe równanie jednorodne: i są niewiadomymi, a suma ich potęg w każdym wyrazie jest równa.
Takie jednorodne równania nie są trudne do rozwiązania, ale przed podzieleniem równań na rozważ przypadek, kiedy
W tym przypadku równanie przyjmie postać: , więc. Ale sinus i cosinus nie mogą być równe jednocześnie, bo w zasadzie tożsamość trygonometryczna. Dlatego możemy bezpiecznie podzielić go na:
Skoro równanie jest podane, to zgodnie z twierdzeniem Viety:
Odpowiedź:
Przykład 6.
Rozwiązać równanie.
Podobnie jak w przykładzie, musisz podzielić równanie przez. Rozważmy przypadek, gdy:
Ale sinus i cosinus nie mogą być równe jednocześnie, ponieważ zgodnie z podstawową tożsamością trygonometryczną. Dlatego.
Dokonajmy zamiany i rozwiążmy równanie kwadratowe:
Wykonajmy odwrotne podstawienie i znajdź i:
Odpowiedź:
Rozwiązywanie jednorodnych równań wykładniczych.
Równania jednorodne rozwiązuje się w taki sam sposób, jak te omówione powyżej. Jeśli zapomniałeś, jak podjąć decyzję równania wykładnicze- spójrz na odpowiednią sekcję ()!
Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 7.
Rozwiązać równanie
Wyobraźmy sobie to tak:
Widzimy typowe jednorodne równanie z dwiema zmiennymi i sumą potęg. Podzielmy równanie na:
Jak widać dokonując podstawienia otrzymamy poniższe równanie kwadratowe (nie ma się co bać dzielenia przez zero - zawsze jest ono ściśle większe od zera):
Zgodnie z twierdzeniem Viety:
Odpowiedź: .
Przykład 8.
Rozwiązać równanie
Wyobraźmy sobie to tak:
Podzielmy równanie na:
Dokonajmy zamiany i rozwiążmy równanie kwadratowe:
Korzeń nie spełnia warunku. Wykonajmy odwrotne podstawienie i znajdźmy:
Odpowiedź:
RÓWNANIA HOMOGENICZNE. ŚREDNI POZIOM
Na początek przypomnę na przykładzie jednego problemu czym są równania jednorodne i jakie jest rozwiązanie równań jednorodnych.
Rozwiąż problem:
Znajdź jeśli.
Tutaj możesz zauważyć ciekawą rzecz: jeśli podzielimy każdy wyraz przez, otrzymamy:
Oznacza to, że teraz nie ma oddzielnych i - teraz zmienna w równaniu ma pożądaną wartość. I to jest zwykłe równanie kwadratowe, które można łatwo rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety: iloczyn pierwiastków jest równy, a suma to liczby i.
Odpowiedź:
Równania postaci
nazywa się jednorodnym. Oznacza to, że jest to równanie z dwiema niewiadomymi, z których każdy wyraz ma tę samą sumę potęg tych niewiadomych. Przykładowo w powyższym przykładzie kwota ta wynosi. Równania jednorodne rozwiązuje się dzieląc przez jedną z niewiadomych do tego stopnia:
Oraz późniejsze zastąpienie zmiennych: . W ten sposób otrzymujemy równanie potęgowe z jedną niewiadomą:
Najczęściej spotkamy się z równaniami drugiego stopnia (czyli kwadratowymi) i wiemy jak je rozwiązać:
Zauważ, że całe równanie możemy podzielić (i pomnożyć) przez zmienną tylko wtedy, gdy jesteśmy przekonani, że zmienna ta nie może być równa zeru! Na przykład, jeśli zostaniemy poproszeni o znalezienie, od razu to zrozumiemy, ponieważ nie da się dzielić. W przypadkach, gdy nie jest to takie oczywiste, należy osobno sprawdzić przypadek, gdy zmienna ta jest równa zero. Na przykład:
Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie:
Widzimy tu typowe równanie jednorodne: i są niewiadomymi, a suma ich potęg w każdym wyrazie jest równa.
Ale zanim podzielimy przez i otrzymamy względne równanie kwadratowe, musimy rozważyć przypadek, kiedy. W tym przypadku równanie będzie miało postać: , co oznacza . Ale sinus i cosinus nie mogą być jednocześnie równe zeru, ponieważ zgodnie z podstawową tożsamością trygonometryczną: . Dlatego możemy bezpiecznie podzielić go na:
Mam nadzieję, że to rozwiązanie jest całkowicie jasne? Jeśli nie, przeczytaj sekcję. Jeśli nie jest jasne, skąd pochodzi, musisz wrócić jeszcze wcześniej - do sekcji.
Zdecyduj sam:
- Znajdź jeśli.
- Znajdź jeśli.
- Rozwiązać równanie.
Tutaj krótko napiszę bezpośrednio rozwiązanie równań jednorodnych:
Rozwiązania:
Odpowiedź: .
Ale tutaj musimy mnożyć, a nie dzielić:
Odpowiedź:
Jeśli nie wykonałeś jeszcze równań trygonometrycznych, możesz pominąć ten przykład.
Ponieważ tutaj musimy dzielić przez, upewnijmy się najpierw, że nie jest to sto równy zeru:
A to jest niemożliwe.
Odpowiedź: .
RÓWNANIA HOMOGENICZNE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Rozwiązanie wszystkich równań jednorodnych sprowadza się do dzielenia przez jedną z niewiadomych do potęgi i dalszej zmiany zmiennych.
Algorytm:
„Wielkość człowieka leży w jego zdolności myślenia”.
Blaise Pascal.
Cele Lekcji:
1) Edukacyjny– zapoznawanie uczniów z równaniami jednorodnymi, rozważanie metod ich rozwiązywania oraz promowanie rozwoju umiejętności rozwiązywania poznanych wcześniej typów równań trygonometrycznych.
2) Rozwojowy– rozwijać aktywność twórczą uczniów, ich aktywność poznawcza, logiczne myślenie, pamięć, zdolność do pracy problematyczna sytuacja, osiągnięcie umiejętności prawidłowego, konsekwentnego, racjonalnego wyrażania swoich myśli, poszerzenia horyzontów uczniów i podniesienia poziomu ich kultury matematycznej.
3) Edukacyjny– kultywowanie chęci samodoskonalenia, ciężkiej pracy, rozwijanie umiejętności kompetentnego i dokładnego wykonywania notatek matematycznych, kultywowanie aktywności, pomaganie w rozbudzaniu zainteresowań matematyką.
Typ lekcji:łączny.
Sprzęt:
- Karty dziurkowane dla sześciu uczniów.
- Karty dla niezależnych i Praca indywidualna studenci.
- Oznacza „Rozwiązywanie równań trygonometrycznych”, „Numeryczny okrąg jednostkowy”.
- Zelektryfikowane tablice trygonometryczne.
- Prezentacja na lekcję (Aneks 1).
Podczas zajęć
1. Etap organizacyjny(2 minuty)
Wzajemne powitanie; sprawdzenie przygotowania uczniów do zajęć ( Miejsce pracy, wygląd); organizacja uwagi.
Nauczyciel podaje uczniom temat lekcji, cele (slajd 2) i wyjaśnia, że podczas lekcji ten będzie używany Rozdawać, który leży na biurkach.
2. Powtórzenie materiał teoretyczny(15 minut)
Zadania z kart dziurkowanych(6 osób) . Czas pracy z kartami perforowanymi – 10 min (Załącznik 2)
Po rozwiązaniu zadań uczniowie dowiedzą się, gdzie mają zastosowanie obliczenia trygonometryczne. Uzyskuje się następujące odpowiedzi: triangulacja (technika pozwalająca w astronomii mierzyć odległości do pobliskich gwiazd), akustyka, ultradźwięki, tomografia, geodezja, kryptografia.
(slajd 5)
Badanie frontalne.
- Jakie równania nazywamy trygonometrycznymi?
- Jakie znasz rodzaje równań trygonometrycznych?
- Jakie równania nazywane są najprostszymi równaniami trygonometrycznymi?
- Jakie równania nazywane są kwadratowymi trygonometrycznymi?
- Sformułuj definicję arcsinusa a.
- Sformułuj definicję arcus cosinus a.
- Sformułuj definicję arcustangensa.
- Sformułuj definicję arcus cotangens liczby a.
Gra „Zgadnij zaszyfrowane słowo”
Blaise Pascal powiedział kiedyś, że matematyka jest tak poważną nauką, że nie należy przepuścić okazji, aby uczynić ją trochę bardziej zabawną. Dlatego polecam zagrać. Po rozwiązaniu przykładów ustal kolejność liczb, z których składa się zaszyfrowane słowo. W języku łacińskim słowo to oznacza „sinus”. (slajd 3)
2) łuk tg (-√3)
4) tg (łuk cos (1/2))
5) tg (łuk ctg √3)
Odpowiedź: „Zginaj się”
Gra „Matematyk abstrakcyjny”»
Na ekranie wyświetlane są zadania do pracy ustnej:
Sprawdź, czy równania zostały rozwiązane poprawnie.(poprawna odpowiedź pojawia się na slajdzie po odpowiedzi ucznia). (slajd 4)
Odpowiedzi z błędami |
Prawidłowe odpowiedzi |
|
x = ± π/6+2πn |
x = ± π/3+2πn |
|
x = π/3+πn |
X = (-1) nπ/3+πn |
|
tg x = π/4 |
x = 1 +πn |
tg x =1, x = π/4+πn |
x = ±π/6+ π N |
x = ± π/6+2πN |
|
x = (-1)n arcsin1/3+ 2πn |
x = (-1)n arcsin1/3+ πn |
|
x = ± π/6+2πn |
x = ± 5π/6+2πn |
|
ponieważ x = π/3 |
x = ± 1/2 +2πn |
cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn |
Sprawdzanie pracy domowej.
Nauczyciel sprawdza poprawność i świadomość odrabiania zadań domowych przez wszystkich uczniów; identyfikuje luki w wiedzy; doskonali wiedzę, umiejętności i zdolności uczniów w zakresie rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych.
1 równanie. Uczeń komentuje rozwiązanie równania, którego linie pojawiają się na slajdzie w kolejności komentowania). (slajd 6)
√3tg2x = 1;
tg2x =1/√3;
2х= arctan 1/√3 +πn, n ∈Z.
2х= π/6 +πn, n ∈Z.
x= π/12 + π/2 N, N ∈Z.
2 równanie. Rozwiązanie H napisane do uczniów na tablicy.
2 grzech 2 x + 3 cosx = 0.
3. Aktualizacja nowej wiedzy (3 minuty)
Uczniowie na prośbę nauczyciela przypominają sobie sposoby rozwiązywania równań trygonometrycznych. Wybierają te równania, które już wiedzą, jak rozwiązać, podają metodę rozwiązania równania i wynikowy wynik. . Odpowiedzi pojawiają się na slajdzie. (slajd 7) .
Wprowadzenie nowej zmiennej:
nr 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.
Niech sinx = t, wtedy:
2t 2 – 7t + 3 = 0.
Faktoryzacja:
№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;
сos4x(3sinx – 1) = 0;
cos4x = 0 lub 3 sinx – 1 = 0; ...
Nr 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,
Nr 4. 3 grzech 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Nauczyciel: Nadal nie wiesz, jak rozwiązać dwa ostatnie typy równań. Obydwa są tego samego gatunku. Nie można ich sprowadzić do równania dotyczącego funkcje sinx lub cosx. Są nazywane jednorodne równania trygonometryczne. Ale tylko pierwsze jest jednorodnym równaniem pierwszego stopnia, a drugie jest jednorodnym równaniem drugiego stopnia. Dzisiaj na lekcji zapoznamy się z takimi równaniami i nauczymy się je rozwiązywać.
4. Wyjaśnienie nowego materiału (25 minut)
Nauczyciel podaje uczniom definicje jednorodnych równań trygonometrycznych i przedstawia metody ich rozwiązywania.
Definicja. Równanie w postaci a sinx + b cosx =0, gdzie a ≠ 0, b ≠ 0 nazywa się jednorodne równanie trygonometryczne pierwszego stopnia.(slajd 8)
Przykładem takiego równania jest równanie nr 3. Napiszemy to forma ogólna równanie i przeanalizuj je.
a sinx + b cosx = 0.
Jeśli cosx = 0, to sinx = 0.
– Czy taka sytuacja może mieć miejsce?
- NIE. Otrzymaliśmy sprzeczność z podstawową tożsamością trygonometryczną.
Oznacza to cosx ≠ 0. Dokonajmy podziału wyraz po wyrazie przez cosx:
a tgx + b = 0
tgx = –b/a– najprostsze równanie trygonometryczne.
Wniosek: Jednorodne równania trygonometryczne pierwszego stopnia rozwiązuje się dzieląc obie strony równania przez cosx (sinx).
Na przykład: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Ponieważ cosx ≠ 0, wówczas
tgx = 3/2 ;
x = arctan (3/2) +πn, n ∈Z.
Definicja. Równanie w postaci a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, gdzie a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 nazywa się równanie trygonometryczne drugiego stopnia. (slajd 8)
Przykładem takiego równania jest równanie nr 4. Zapiszmy ogólną postać równania i przeanalizujmy ją.
a grzech 2 x + b sinx cosx + do cos 2 x = 0.
Jeśli cosx = 0, to sinx = 0.
Znów otrzymaliśmy sprzeczność z podstawową tożsamością trygonometryczną.
Oznacza to cosx ≠ 0. Dokonajmy dzielenia wyraz po wyrazie przez cos 2 x:
oraz tg 2 x + b tgx + c = 0 jest równaniem sprowadzającym się do równania kwadratowego.
Wniosek: Och jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia rozwiązuje się dzieląc obie strony równania przez cos 2 x (sin 2 x).
Na przykład: 3 grzech 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Ponieważ cos 2 x ≠ 0, zatem
3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Poproś ucznia, aby podszedł do tablicy i samodzielnie uzupełnił równanie).
Zastąpienie: tgx = y. 3у 2 – 4 у + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4
y 1 = 1 lub y 2 = 1/3
tgx = 1 lub tgx = 1/3
x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.
x = arctan + πn, n ∈Z.
x = π/4 + πn, n ∈Z.
5. Etap sprawdzania zrozumienia przez uczniów nowego materiału (1 min.)
Wybierz niepasujący do reszty:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;
√3sinx + cosx = 0; grzech 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;
4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.
(slajd 9)
6. Utrwalenie nowego materiału (24 min).
Uczniowie wraz z osobami udzielającymi odpowiedzi rozwiązują równania na tablicy nowy materiał. Zadania zapisywane są na slajdzie w formie tabeli. Podczas rozwiązywania równania otwiera się odpowiednia część obrazu na slajdzie. W wyniku rozwiązania 4 równań uczniowie otrzymują portret matematyka, który wywarł znaczący wpływ na rozwój trygonometrii. (uczniowie rozpoznają portret François Viety, wielkiego matematyka, który wniósł wielki wkład w trygonometrię, który odkrył własność pierwiastków zredukowanych równanie kwadratowe i pracował w kryptografii) . (slajd 10)
1) √3sinx + cosx = 0,
Ponieważ cosx ≠ 0, wówczas
√3tgx + 1 = 0;
tgx = –1/√3;
x = arctan (–1/√3) + πn, n ∈Z.
x = –π/6 + πn, n ∈Z.
2) grzech 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.
Ponieważ cos 2 x ≠ 0, wtedy tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0
Wymiana: tgx = y.
y 2 – 10 y + 21 = 0
y 1 = 7 lub y 2 = 3
tgx = 7 lub tgx = 3
x = arctan7 + πn, n ∈Z
x = arctan3 + πn, n ∈Z
3) grzech 2 2x – 6 grzech2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.
Ponieważ cos 2 2x ≠ 0, wtedy 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0
Wymiana: tg2x = y.
3у 2 – 6у + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16
y 1 = 5 lub y 2 = 1
tg2x = 5 lub tg2x = 1
2х = arctan5 + πn, n ∈Z
x = 1/2 arctan5 + π/2 n, n ∈Z
2х = arctan1 + πn, n ∈Z
x = π/8 + π/2 n, n ∈Z
4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx – grzech 2 x – cos 2 x = 0.
5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.
Ponieważ cos 2 x ≠0, wtedy 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0
Wymiana: tg x = y.
5у 2 + 4у - 1 = 0
D = 16 + 20 = 36
y 1 = 1/5 lub y 2 = –1
tg x = 1/5 lub tg x = –1
x = arctan1/5 + πn, n ∈Z
x = arctan(–1) + πn, n ∈Z
x = –π/4 + πn, n ∈Z
Dodatkowo (na karcie):
Rozwiąż równanie i wybierając jedną opcję z czterech zaproponowanych, odgadnij nazwisko matematyka, który wyprowadził wzory redukcyjne:
2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.
Możliwe odpowiedzi:
x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Czebyszew
x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euklides
x = arctan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofya Kovalevskaya
x = arctan2,5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler
Prawidłowa odpowiedź: Leonhard Euler.
7. Zróżnicowana praca samodzielna (8 min.)
Wielki matematyk i filozof ponad 2500 lat temu zaproponował sposób rozwijania zdolności myślenia. „Myślenie zaczyna się od zadziwienia” – powiedział. Dziś wielokrotnie przekonaliśmy się, że te słowa są słuszne. Po samodzielnej pracy nad 2 opcjami będziesz mógł pokazać, jak opanowałeś materiał i dowiedzieć się, jak nazywa się ten matematyk. Do samodzielnej pracy korzystaj z materiałów informacyjnych znajdujących się na Twoich stołach. Możesz sam wybrać jedno z trzech proponowanych równań. Pamiętaj jednak, że rozwiązując równanie odpowiadające żółty kolor, możesz uzyskać tylko „3”, rozwiązując równanie odpowiadające kolorowi zielonemu - „4”, kolorowi czerwonemu - „5”. (Załącznik 3)
Niezależnie od tego, jaki poziom trudności wybiorą uczniowie, po dobra decyzja Pierwsza wersja równania tworzy słowo „ARIST”, druga – „HOTEL”. Słowo na slajdzie brzmi: „ARIST-HOTEL”. (slajd 11)
Liście z niezależna praca przekazywane są do weryfikacji. (Załącznik 4)
8. Nagrywanie pracy domowej (1 min)
D/z: §7.17. Ułóż i rozwiąż 2 równania jednorodne pierwszego stopnia i 1 równanie jednorodne drugiego stopnia (układając twierdzenie Viety). (slajd 12)
9. Podsumowanie lekcji, ocena (2 minuty)
Nauczyciel jeszcze raz zwraca uwagę na tego typu równania i fakty teoretyczne, które zostały przywołane na lekcji, mówiąc o konieczności ich poznania.
Uczniowie odpowiadają na pytania:
- Jakie rodzaje równań trygonometrycznych znamy?
- Jak rozwiązuje się te równania?
Najwięcej zauważa nauczyciel udana praca na lekcjach indywidualnych uczniów wystawia oceny.
Oznacza to znalezienie kąta pomiędzy tą prostą a jej rzutem na daną płaszczyznę.
Na rysunku przedstawiono model przestrzenny ilustrujący zadanie.
Plan rozwiązania problemu:
1. Od dowolny punkt A∈A obniżyć prostopadle do płaszczyzny α
;
2. Wyznacz punkt styku tej prostopadłej z płaszczyzną α
. Kropka α - rzut ortograficzny A do samolotu α
;
3. Znajdź punkt przecięcia linii A z samolotem α
. Kropka α- prosta trasa A na powierzchni α
;
4. Wykonujemy ( α i α) - rzut linii prostej A do samolotu α
;
5. Wyznacz wartość rzeczywistą ∠ Aa α A α, tj. ∠ φ
.
Rozwiązanie problemu znaleźć kąt między linią a płaszczyzną można znacznie uprościć, jeśli nie zdefiniujemy ∠ φ między linią prostą a płaszczyzną i komplementarnie do 90° ∠ γ . W tym przypadku nie ma potrzeby wyznaczania rzutu punktu A i rzuty liniowe A do samolotu α . Znając wielkość γ , obliczane według wzoru:
$ φ = 90° - γ $
A i samolot α , określone przez linie równoległe M I N.
A α
Obracanie wokół poziomu podane punktami 5 i 6 określamy rzeczywisty rozmiar ∠ γ
. Znając wielkość γ
, obliczane według wzoru:
$ φ = 90° - γ $
Wyznaczanie kąta pomiędzy prostą A i samolot α , dany przez trójkąt BCD.
Z dowolnego punktu na linii A obniżyć prostopadle do płaszczyzny α
Obracając się wokół linii poziomej określonej w punktach 3 i 4, wyznaczamy wielkość naturalną ∠ γ
. Znając wielkość γ
, obliczone za pomocą wzoru.