Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań, aby ulepszyć świadczone przez nas usługi i przedstawić Państwu rekomendacje dotyczące naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Instrukcje
Aby znaleźć odległość od zwrotnica zanim samolot stosując metody opisowe: wybierz włączone samolot dowolny punkt; narysuj przez niego dwie proste linie (leżące w tym samolot); przywrócić prostopadle do samolot przechodząc przez ten punkt (skonstruuj linię prostopadłą do obu przecinających się linii jednocześnie); narysuj linię prostą równoległą do zbudowanej prostopadłej przechodzącej przez dany punkt; znajdź odległość między punktem przecięcia tej prostej z płaszczyzną a danym punktem.
Jeśli stanowisko zwrotnica określone przez jego trójwymiarowe współrzędne i położenie samolot– równanie liniowe, a następnie znaleźć odległość od samolot zanim zwrotnica, zastosuj metody geometrii analitycznej: podaj współrzędne zwrotnica poprzez odpowiednio x, y, z (x – odcięta, y – rzędna, z – zastosowanie); oznaczmy równaniami A, B, C, D samolot(A – parametr na odciętej, B – na , C – na miejscu, D – termin dowolny); obliczyć odległość od zwrotnica zanim samolot według wzoru: s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,gdzie s jest odległością punktu od płaszczyzny,|| - wartość bezwzględna (lub moduł).
Przykład. Znajdź odległość punktu A o współrzędnych (2, 3, -1) od płaszczyzny określonej równaniem: 7x-6y-6z+20=0. Z warunków wynika, że: x=2,y =3,z =-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. Podstaw te wartości do powyższego Otrzymasz: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2. Odpowiedź: Dystans z zwrotnica zanim samolot równa się 2 (jednostki dowolne).
Wskazówka 2: Jak określić odległość punktu od płaszczyzny
Określanie odległości od zwrotnica zanim samolot- jedno z typowych zadań planimetrii szkolnej. Jak wiadomo, najmniejszy dystans z zwrotnica zanim samolot z tego zostanie poprowadzona prostopadła zwrotnica do tego samolot. Dlatego długość tej prostopadłej przyjmuje się jako odległość od zwrotnica zanim samolot.
Będziesz potrzebować
- równanie płaszczyzny
Instrukcje
Niech pierwszy z równoległych f1 będzie dany równaniem y=kx+b1. Tłumacząc wyrażenie na postać ogólną, otrzymujemy kx-y+b1=0, czyli A=k, B=-1. Normalna do tego będzie wynosić n=(k, -1).
Teraz następuje dowolna odcięta punktu x1 na f1. Wtedy jego rzędna wynosi y1=kx1+b1.
Niech równanie drugiej z prostych równoległych f2 będzie miało postać:
y=kx+b2 (1),
gdzie k jest takie samo dla obu prostych ze względu na ich równoległość.
Następnie musisz utworzyć równanie kanoniczne prostej prostopadłej do f2 i f1, zawierającej punkt M (x1, y1). W tym przypadku przyjmuje się, że x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). W rezultacie powinieneś otrzymać następującą równość:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).
Po rozwiązaniu układu równań składającego się z wyrażeń (1) i (2) znajdziesz drugi punkt określający wymaganą odległość między równoległymi N(x2, y2). Sama wymagana odległość będzie równa d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.
Przykład. Niech równania danych prostych równoległych na płaszczyźnie f1 – y=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Wybierz dowolny punkt x1=1 na f1. Wtedy y1=3. Pierwszy punkt będzie zatem miał współrzędne M (1,3). Ogólne równanie prostopadłe (3):
(x-1)/2 = -y+3 lub y=-(1/2)x+5/2.
Podstawiając tę wartość y do (1), otrzymujesz:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
Druga podstawa prostopadłej znajduje się w punkcie o współrzędnych N (-1, 3). Odległość między liniami równoległymi będzie wynosić:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.
Źródła:
- Rozwój lekkoatletyki w Rosji
Wierzchołek dowolnej płaskiej lub trójwymiarowej figury geometrycznej jest jednoznacznie określony przez jej współrzędne w przestrzeni. W ten sam sposób można jednoznacznie określić dowolny punkt w tym samym układzie współrzędnych, co umożliwia obliczenie odległości między tym dowolnym punktem a wierzchołkiem figury.
Będziesz potrzebować
- - papier;
- - długopis lub ołówek;
- - kalkulator.
Instrukcje
Sprowadź zadanie do znalezienia długości odcinka pomiędzy dwoma punktami, jeśli znane są współrzędne punktu wskazanego w zadaniu oraz wierzchołki figury geometrycznej. Długość tę można obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa w odniesieniu do rzutów odcinka na oś współrzędnych – będzie ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów długości wszystkich rzutów. Przykładowo, niech punkt A(X₁;Y₁;Z₁) i wierzchołek C dowolnej figury geometrycznej o współrzędnych (X₂;Y₂;Z₂) zostaną podane w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Wówczas długości rzutów odcinka pomiędzy nimi na osie współrzędnych mogą wynosić X₁-X₂, Y₁-Y₂ i Z₁-Z₂, a długość odcinka √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂ )²+(Z₁-Z₂)² ). Przykładowo, jeśli współrzędne punktu to A(5;9;1), a wierzchołki to C(7;8;10), to odległość między nimi będzie równa √((5-7)²+ (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.
Najpierw oblicz współrzędne wierzchołka, jeśli nie są one wyraźnie przedstawione w warunkach problemu. Konkretna metoda zależy od rodzaju figury i znanych dodatkowych parametrów. Na przykład, jeśli znane są trójwymiarowe współrzędne trzech wierzchołków A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) i C(X₃;Y₃;Z₃), to współrzędne jego czwartego wierzchołka (przeciwnego do wierzchołka B) będzie wynosić (X₃+X₂ -X₁;Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). Po ustaleniu współrzędnych brakującego wierzchołka obliczenie odległości pomiędzy nim a dowolnym punktem ponownie sprowadza się do określenia długości odcinka pomiędzy tymi dwoma punktami w danym układzie współrzędnych - należy to zrobić analogicznie jak opisano w rozdziale Poprzedni krok. Przykładowo dla wierzchołka równoległoboku opisanego w tym kroku i punktu E o współrzędnych (X₄;Y₄;Z₄) wzór na obliczenie odległości z poprzedniego kroku może wyglądać następująco: √((X₃+X₂-X₁- X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁- Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).
Do praktycznych obliczeń można wykorzystać np. ten wbudowany w wyszukiwarkę Google. Zatem, aby obliczyć wartość ze wzoru otrzymanego w poprzednim kroku, dla punktów o współrzędnych A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), wpisz następujące zapytanie: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Wyszukiwarka obliczy i wyświetli wynik obliczenia (5.19615242).
Wideo na ten temat
Powrót do zdrowia prostopadły Do samolot jest jednym z ważnych problemów geometrii; leży u podstaw wielu twierdzeń i dowodów. Aby skonstruować linię prostopadłą samolot, musisz wykonać kilka kroków po kolei.
Będziesz potrzebować
- - dany samolot;
- - punkt, z którego chcesz narysować prostopadłą;
- - kompas;
- - linijka;
- - ołówek.
Rozważmy algorytm rozwiązania problemu nr 3.
1. Z danego punktu P poprowadź prostopadłą t do płaszczyzny α (płaszczyzna α jest płaszczyzną figury zbudowanej w zadaniu nr 1); (·)Dół; t ^ α (patrz przykład 5.1).
2. Wyznaczyć punkt przecięcia (punkt T) prostopadłej z płaszczyzną α; t ∩ α = (·) T (patrz przykład 5.2).
3. Wyznacz rzeczywistą wartość │PT│ odległości punktu P od płaszczyzny (patrz przykład 5.3).
Rozważmy bardziej szczegółowo każdy punkt powyższego algorytmu, korzystając z poniższych przykładów.
Przykład 5.1. Z punktu P narysuj prostopadłą t do płaszczyzny α, wyznaczonej przez trzy punkty α (ABC), (ryc. 5.1).
Z twierdzenia o prostopadłości linii i płaszczyzny wiadomo, że jeśli linia t ^ α, to na diagramie jej rzut poziomy t 1 jest prostopadły do rzutu płaszczyzny poziomej o tej samej nazwie, to znaczy: t 1 ^ h 1, a jego rzut czołowy t 2 jest prostopadły do rzutu czołowego o tej samej nazwie, wtedy jest t 2 ^ f 2 . Dlatego rozwiązanie problemu należy rozpocząć od konstrukcji płaszczyznę poziomą i czołową α, jeżeli nie mieszczą się one w danej płaszczyźnie. W tym przypadku należy pamiętać, że konstrukcję dowolnego poziomu należy rozpocząć od rzutu czołowego, ponieważ rzut czołowy h 2 poziomego h jest zawsze równoległy do osi OX (h 2 ││OX). A konstrukcja dowolnego frontu rozpoczyna się od poziomego rzutu f 1 frontu f, który powinien być równoległy do osi OX (f 1 ││OX). Zatem na ryc. 5.1, przez punkt C rysuje się linię poziomą C-1 (C 2 -1 2; C 1 -1 1), a przez punkt A rysuje się linię czołową A-2 (A 1 -2 1; A 2 -2 2). Rzut czołowy t 2 pożądanej prostopadłej t przechodzi przez punkt P 2 prostopadły do A 2 -2 2, a rzut poziomy t 1 przechodzi przez punkt P 1 prostopadły do C 1 -1 1.
Przykład 5.2. Wyznacz punkt przecięcia prostopadłej t z płaszczyzną α (czyli wyznacz podstawę prostopadłej).
Niech płaszczyznę α wyznaczają dwie przecinające się linie α (h ∩ f). Linia prosta t jest prostopadła do płaszczyzny α, ponieważ t 1 ^ f 1, i
t 2 ^ fa 2 . Aby znaleźć podstawę prostopadłej, należy wykonać następujące konstrukcje:
1. tÎb (b – pomocnicza płaszczyzna projekcji). Jeśli b jest płaszczyzną wystającą poziomo, to jej zdegenerowany rzut poziomy (ślad poziomy b 1) pokrywa się z rzutem poziomym t 1 prostej t, czyli b 1 ≡ t 1. Jeśli b jest płaszczyzną wystającą do przodu, to jej zdegenerowany rzut czołowy (ślad czołowy b 2) pokrywa się z rzutem czołowym t 2 linii prostej t, czyli b 2 ≡ t 2. W tym przykładzie użyto płaszczyzny projekcji czołowej (patrz ryc. 5.2).
2. α ∩ b = 1-2 – linia przecięcia dwóch płaszczyzn;
3. wyznaczyć punkt T - podstawę prostopadłej; (·)T= t ∩ 1-2.
Przykład 5.3. Wyznacz odległość punktu P od płaszczyzny.
Odległość punktu P od płaszczyzny wyznacza długość prostopadłego odcinka PT. Prosta PT zajmuje ogólne położenie w przestrzeni, dlatego procedura wyznaczania wartości naturalnej odcinka znajduje się na stronach 7, 8 (ryc. 3.4 i 3.5).
Schemat rozwiązania zadania nr 3 poprzez określenie odległości punktu P od figury płaskiej, czyli od płaszczyzny kwadratu zbudowanego według zadanych warunków*, pokazano na rys. 5.3. Przypominamy, że rzuty punktu P należy skonstruować według podanych współrzędnych (patrz wersja zadania).
6. OPCJE ZADANIA I PRZYKŁAD WYKONANIA PRACY
Warunki zadań i współrzędne punktów podano w tabeli 6.1.
OPCJE ZADANIA 148
Państwowy Uniwersytet Techniczny Morski w Petersburgu
Katedra Grafiki Komputerowej i Wspomagania Informacji
LEKCJA 4
ZADANIE PRAKTYCZNE nr 4
Samolot.
Wyznaczanie odległości punktu od płaszczyzny.
1. Wyznaczanie odległości punktu od płaszczyzny wystającej.
Aby znaleźć rzeczywistą odległość punktu od płaszczyzny, należy:
· z punktu obniżyć prostopadłą do płaszczyzny;
· znaleźć punkt przecięcia narysowanej prostopadłej z płaszczyzną;
· określić rzeczywistą wielkość odcinka, którego początkiem jest dany punkt, a końcem znaleziony punkt przecięcia.
Samolot może zajmować przestrzeń ogólny I prywatny pozycja. Pod prywatny odnosi się do położenia, w którym znajduje się samolot prostopadły do płaszczyzny projekcji - taką płaszczyznę nazywamy rzutowaniem. Główna cecha pozycji projekcyjnej: płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny rzutowania, jeśli przechodzi przez linię rzutowania. W tym przypadku jednym z rzutów płaszczyzny jest linia prosta – tzw podążanie za samolotem.
Jeśli płaszczyzna wystaje, łatwo jest określić rzeczywistą odległość punktu od płaszczyzny. Pokażmy to na przykładzie wyznaczania odległości od punktu W do wystającej do przodu płaszczyzny określonej dalej Q2 na powierzchni P2(ryc. 1).
Samolot Q jest prostopadła do przedniej płaszczyzny rzutów, zatem każda linia prostopadła do niej będzie równoległa do płaszczyzny P2. A potem kąt prosty do płaszczyzny P2 będzie wyświetlany bez zniekształceń i jest to możliwe z punktu widzenia O 2 narysuj prostopadle do śladu Q2 . Odcinek VC znajduje się w określonej pozycji, w której projekcja czołowa V2K2 równa rzeczywistej wartości wymaganej odległości.
Ryc.1. Wyznaczanie odległości punktu od płaszczyzny rzutowania.
2. Wyznaczanie odległości punktu od płaszczyzny ogólnej.
Jeśli samolot zajmuje pozycję ogólną, konieczne jest przeniesienie go do pozycji wystającej. W tym celu rysuje się w nim linię prostą o określonej pozycji (równoległą do jednej z płaszczyzn rzutowania), którą można przenieść do pozycji rzutowania za pomocą jednej transformacji rysunku.
Linia prosta równoległa do płaszczyzny P1, nazywa się płaszczyzną poziomą i jest oznaczona literą H. Linia prosta równoległa do przedniej płaszczyzny występów P2, nazywany jest frontem płaszczyzny i jest oznaczony literą F.Linie H I F są nazywane główne linie samolotu. Rozwiązanie problemu pokazano na poniższym przykładzie (rys. 2).
Stan początkowy: trójkąt ABC definiuje płaszczyznę. M- punkt poza płaszczyzną. Dana płaszczyzna zajmuje ogólne położenie. Aby przesunąć go do pozycji wystającej, wykonaj następujące kroki. Włącz tryb LUB (ORTO), użyj polecenia Odcinek (Linia) – narysuj dowolną poziomą linię przecinającą przedni rzut trójkąta А2В2С2 w dwóch punktach. Wskazany jest rzut linii poziomej przechodzącej przez te punkty H2 . Następnie konstruowany jest rzut poziomy H1 .
Magistrala H można przekształcić w pozycję wystającą, w której dana płaszczyzna również staje się wystająca. Aby to zrobić, konieczne jest obrócenie rzutów poziomych wszystkich punktów (pomocniczy czworobok ABCM) do nowej pozycji, w której znajduje się linia H1 zajmie położenie pionowe, prostopadłe do osi X. Konstrukcje te wygodnie jest wykonywać metodą transferu płaszczyznowo-równoległego (kopia projekcji umieszczana jest na wolnej przestrzeni ekranu).
W rezultacie nowy rzut czołowy płaszczyzny będzie wyglądał jak linia prosta (ślad płaszczyzny) A2*B2*. Teraz od rzeczy M2* możesz narysować prostopadłą do śladu płaszczyzny. Nowa projekcja czołowa M2*K2* = MK te. jest wymaganą odległością od punktu M do danego samolotu ABC.
Następnie należy skonstruować rzuty odległości w stanie początkowym. Aby to zrobić od razu M1 narysuj odcinek prostopadły do prostej H1 , i na tym należy odłożyć punkt M1 odcinek o równej wielkości M1*K1*. Aby skonstruować rzut czołowy punktu K2 z punktu K1 rysowana jest pionowa linia komunikacyjna i od punktu K2* poziomy. Efekt konstrukcji pokazano na rys. 2.
ZADANIE nr 4. Znajdź rzeczywistą odległość od punktu M do płaszczyzny wyznaczonej przez trójkąt ABC. Podaj odpowiedź w mm (tabela 1)
Tabela 1
|
Opcja |
Punkt A |
Punkt B |
||||
|
Opcja |
Punkt C |
Punkt M |
||||
Sprawdzenie i zaliczenie wykonanego ZADANIA nr 4.
Wyznaczanie odległości pomiędzy: 1 - punktem a płaszczyzną; 2 - proste i płaskie; 3 - samoloty; 4 - przecinające się proste rozpatrywane są łącznie, ponieważ algorytm rozwiązania wszystkich tych problemów jest zasadniczo taki sam i składa się z konstrukcji geometrycznych, które należy wykonać, aby wyznaczyć odległość między danym punktem A a płaszczyzną α. Jeżeli jest jakaś różnica, to polega ona jedynie na tym, że w przypadkach 2 i 3 przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania należy zaznaczyć dowolny punkt A na prostej m (przypadek 2) lub płaszczyźnie β (przypadek 3). odległości pomiędzy przecinającymi się prostymi, najpierw zamykamy je w równoległych płaszczyznach α i β, a następnie wyznaczamy odległość pomiędzy tymi płaszczyznami.
Rozważmy każdy z odnotowanych przypadków rozwiązania problemu.
1. Wyznaczanie odległości punktu od płaszczyzny.
Odległość punktu od płaszczyzny wyznacza się na podstawie długości odcinka prostopadłego poprowadzonego z punktu do płaszczyzny.
Dlatego rozwiązanie tego problemu polega na sekwencyjnym wykonaniu następujących operacji graficznych:
1) z punktu A obniżamy prostopadłą do płaszczyzny α (ryc. 269);
2) znajdź punkt M przecięcia tej prostopadłej z płaszczyzną M = a ∩ α;
3) określić długość odcinka.
Jeżeli płaszczyzna α znajduje się w położeniu ogólnym, to w celu obniżenia prostopadłej na tę płaszczyznę należy najpierw określić kierunek rzutów poziomych i czołowych tej płaszczyzny. Znalezienie punktu styku tej prostopadłej z płaszczyzną również wymaga dodatkowych konstrukcji geometrycznych.
Rozwiązanie problemu jest uproszczone, jeżeli płaszczyzna α zajmuje określone położenie względem płaszczyzn rzutowania. W tym przypadku zarówno rzut prostopadłej, jak i znalezienie punktu jej styku z płaszczyzną odbywa się bez dodatkowych konstrukcji pomocniczych.
PRZYKŁAD 1. Wyznacz odległość punktu A od wystającej do przodu płaszczyzny α (ryc. 270).
ROZWIĄZANIE. Przez A” rysujemy rzut poziomy prostopadłej l” ⊥ h 0α, a przez A” - jej rzut czołowy l” ⊥ f 0α. Zaznaczamy punkt M" = l" ∩ f 0α . Od południa || π 2, następnie [A" M"] == |AM| = re.
Z rozważanego przykładu jasno wynika, jak łatwo rozwiązać problem, gdy samolot zajmuje pozycję wystającą. Jeżeli więc w danych źródłowych podana jest ogólna płaszczyzna położenia, to przed przystąpieniem do rozwiązywania płaszczyznę należy przesunąć do położenia prostopadłego do dowolnej płaszczyzny rzutowania.
PRZYKŁAD 2. Wyznacz odległość punktu K od płaszczyzny określonej przez ΔАВС (ryc. 271).
1. Przenosimy płaszczyznę ΔАВС do pozycji wystającej *. W tym celu przechodzimy z układu xπ 2 /π 1 do x 1 π 3 /π 1: kierunek nowej osi x 1 wybieramy prostopadle do rzutu poziomego płaszczyzny poziomej trójkąta.
2. Rzuć ΔABC na nową płaszczyznę π 3 (płaszczyzna ΔABC zostanie rzucona na π 3, w [ C " 1 B " 1 ]).
3. Rzuć punkt K na tę samą płaszczyznę (K" → K" 1).
4. Przez punkt K" 1 rysujemy (K" 1 M" 1)⊥ odcinek [C" 1 B" 1]. Wymagana odległość d = |K" 1 M" 1 |
Rozwiązanie problemu jest uproszczone, jeśli płaszczyzna jest zdefiniowana śladami, ponieważ nie ma potrzeby rysowania rzutów linii poziomu.
PRZYKŁAD 3. Wyznacz odległość punktu K od płaszczyzny α wyznaczonej przez tory (ryc. 272).
* Najbardziej racjonalnym sposobem przeniesienia płaszczyzny trójkąta do pozycji wystającej jest zastąpienie płaszczyzn projekcji, ponieważ w tym przypadku wystarczy skonstruować tylko jeden rzut pomocniczy.
ROZWIĄZANIE. Zastępujemy płaszczyznę π 1 płaszczyzną π 3, w tym celu rysujemy nową oś x 1 ⊥ f 0α. Na h 0α zaznaczamy dowolny punkt 1” i wyznaczamy jego nowy rzut poziomy na płaszczyznę π 3 (1” 1). Przez punkty X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) i 1" 1 rysujemy h 0α 1. Wyznaczamy nowy rzut poziomy punktu K → K" 1. Z punktu K” 1 obniżamy prostopadłą do h 0α 1 i zaznaczamy punkt jej przecięcia z h 0α 1 - M” 1. Długość odcinka K" 1 M" 1 wskaże wymaganą odległość.
2. Wyznaczanie odległości prostej od płaszczyzny.
Odległość między linią a płaszczyzną wyznaczana jest przez długość prostopadłego odcinka zrzuconego z dowolnego punktu na linii na płaszczyznę (patrz ryc. 248).
Dlatego rozwiązanie problemu wyznaczania odległości między prostą m a płaszczyzną α nie różni się od przykładów omówionych w paragrafie 1 dotyczących wyznaczania odległości między punktem a płaszczyzną (patrz ryc. 270 ... 272). Za punkt możesz przyjąć dowolny punkt należący do prostej m.
3. Wyznaczanie odległości pomiędzy płaszczyznami.
Odległość między płaszczyznami jest określona przez wielkość prostopadłego odcinka zrzuconego z punktu wziętego na jedną płaszczyznę na inną płaszczyznę.
Z tej definicji wynika, że algorytm rozwiązania problemu znalezienia odległości między płaszczyznami α i β różni się od podobnego algorytmu rozwiązania problemu wyznaczenia odległości między prostą m a płaszczyzną α tylko w tym, że prosta m musi należeć do płaszczyzny α , czyli w celu wyznaczenia odległości płaszczyzn α i β stosuje się:
1) poprowadź linię prostą m w płaszczyźnie α;
2) wybrać dowolny punkt A na prostej m;
3) z punktu A obniżyć prostopadłą l do płaszczyzny β;
4) wyznaczyć punkt M – miejsce styku prostopadłej l z płaszczyzną β;
5) określić wielkość segmentu.
W praktyce wskazane jest zastosowanie innego algorytmu rozwiązania, który będzie różnił się od podanego jedynie tym, że przed przystąpieniem do pierwszego kroku należy przenieść płaszczyzny do pozycji rzutowej.
Uwzględnienie tej dodatkowej operacji w algorytmie upraszcza wykonanie wszystkich pozostałych punktów bez wyjątku, co ostatecznie prowadzi do prostszego rozwiązania.
PRZYKŁAD 1. Wyznacz odległość pomiędzy płaszczyznami α i β (ryc. 273).
ROZWIĄZANIE. Przechodzimy od układu xπ 2 /π 1 do x 1 π 1 /π 3. W stosunku do nowej płaszczyzny π 3 płaszczyzny α i β zajmują pozycję wystającą, dlatego odległość pomiędzy nowymi śladami czołowymi f 0α 1 i f 0β 1 jest pożądana.
W praktyce inżynierskiej często konieczne jest rozwiązanie problemu zbudowania płaszczyzny równoległej do danej płaszczyzny i oddalonej od niej w zadanej odległości. Przykład 2 poniżej ilustruje rozwiązanie takiego problemu.
PRZYKŁAD 2. Należy skonstruować rzuty płaszczyzny β równoległej do danej płaszczyzny α (m || n), jeśli wiadomo, że odległość między nimi wynosi d (ryc. 274).
1. W płaszczyźnie α rysujemy dowolne linie poziome h (1, 3) i linie frontu f (1,2).
2. Z punktu 1 przywracamy prostopadłą l do płaszczyzny α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").
3. Na prostopadłej l zaznaczamy dowolny punkt A.
4. Wyznacz długość odcinka - (położenie wskazuje na wykresie niezniekształcony metrycznie kierunek prostej l).
5. Rozłóż odcinek = d na linii prostej (1"A 0) od punktu 1".
6. Zaznacz na występach l” i l” punkty B” i B”, odpowiadające punktowi B 0.
7. Przez punkt B rysujemy płaszczyznę β (h 1 ∩ f 1). Do β || α, należy spełnić warunek h 1 || h i f 1 || F.
4. Wyznaczanie odległości pomiędzy przecinającymi się liniami.
Odległość między przecinającymi się liniami wyznacza się na podstawie długości prostopadłej zawartej pomiędzy równoległymi płaszczyznami, do których należą przecinające się linie.
Aby poprowadzić wzajemnie równoległe płaszczyzny α i β poprzez przecinające się proste m i f, wystarczy przez punkt A (A ∈ m) poprowadzić prostą p równoległą do prostej f, a przez punkt B (B ∈ f) linia prosta k równoległa do prostej m . Przecinające się linie m i p, f i k wyznaczają wzajemnie równoległe płaszczyzny α i β (patrz ryc. 248, e). Odległość między płaszczyznami α i β jest równa wymaganej odległości między przecinającymi się liniami m i f.
Można zaproponować inny sposób wyznaczania odległości pomiędzy przecinającymi się liniami, który polega na tym, że stosując jakąś metodę transformacji rzutów ortogonalnych, jedna z przecinających się linii zostaje przeniesiona do pozycji rzutowania. W tym przypadku jeden rzut linii ulega degeneracji w punkt. Odległość pomiędzy nowymi rzutami przecinających się linii (punkt A" 2 i odcinek C" 2 D" 2) jest wymagana.
Na ryc. 275 przedstawiono rozwiązanie problemu wyznaczania odległości pomiędzy przecinającymi się liniami a i b, na danych odcinkach [AB] i [CD]. Rozwiązanie wykonuje się w następującej kolejności:
1. Przenieś jedną z przecinających się linii (a) do położenia równoległego do płaszczyzny π 3; W tym celu należy przejść z układu płaszczyzn rzutowania xπ 2 /π 1 do nowego x 1 π 1 /π 3, oś x 1 jest równoległa do rzutu poziomego prostej a. Określ a" 1 [A" 1 B" 1 ] i b" 1.
2. Zastępując płaszczyznę π 1 płaszczyzną π 4, tłumaczymy prostą
i ustawić a" 2, prostopadle do płaszczyzny π 4 (nowa oś x 2 jest narysowana prostopadle do a" 1).
3. Skonstruuj nowy rzut poziomy prostej b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].
4. Odległość od punktu A" 2 do prostej C" 2 D" 2 (odcinek (A" 2 M" 2 ] (jest wymagana).
Należy mieć na uwadze, że przeniesienie jednej z przecinających się linii do pozycji wystającej to nic innego jak przeniesienie płaszczyzn równoległości, w których można ująć linie aib, również do pozycji wystającej.
Faktycznie, przesuwając linię a do położenia prostopadłego do płaszczyzny π 4, zapewniamy, że każda płaszczyzna zawierająca linię a jest prostopadła do płaszczyzny π 4, włączając płaszczyznę α określoną przez linie a i m (a ∩ m, m | |.b ). Jeśli teraz narysujemy linię n, równoległą do a i przecinającą się z linią b, otrzymamy płaszczyznę β, która jest drugą płaszczyzną równoległości, która zawiera przecinające się linie a i b. Ponieważ β || α, następnie β ⊥ π 4 .