Wszystko o funkcji y sinx. Funkcje y = sin x, y = cos x, ich własności i wykresy - Hipermarket Wiedzy

>>Matematyka: Funkcje y = sin x, y = cos x, ich własności i wykresy

Funkcje y = sin x, y = cos x, ich własności i wykresy

W tej sekcji omówimy niektóre właściwości funkcji y = sin x, y = cos x i skonstruujemy ich wykresy.

1. Funkcja y = grzech X.

Powyżej w § 20 sformułowaliśmy regułę, która pozwala na powiązanie każdej liczby t z liczbą kosztową t, tj. scharakteryzowano funkcję y = sin t. Zwróćmy uwagę na niektóre jego właściwości.

Własności funkcji u = sin t.

Dziedziną definicji jest zbiór K liczb rzeczywistych.
Wynika to z faktu, że dowolnej liczbie 2 odpowiada punkt M(1) na okręgu liczbowym, który ma dobrze określoną rzędną; ta współrzędna to koszt t.

u = sin t jest funkcją nieparzystą.

Wynika to z faktu, że jak udowodniono w § 19, dla dowolnego t równość
Oznacza to, że wykres funkcji u = sin t, podobnie jak wykres dowolnej funkcji nieparzystej, jest symetryczny względem początku w prostokątnym układzie współrzędnych tOi.

Funkcja u = sin t rośnie w przedziale
Wynika to z faktu, że gdy punkt przemieszcza się po pierwszej ćwiartce koła liczbowego, rzędna stopniowo wzrasta (od 0 do 1 – patrz rys. 115), a gdy punkt przesuwa się po drugiej ćwiartce koła liczbowego, rzędna rzędna stopniowo maleje (od 1 do 0 - patrz ryc. 116).

Funkcja u = sint jest ograniczona zarówno od dołu, jak i od góry. Wynika to z faktu, że jak widzieliśmy w § 19, dla dowolnego t zachodzi nierówność

(funkcja osiąga tę wartość w dowolnym punkcie formularza (funkcja osiąga tę wartość w dowolnym punkcie formularza
Korzystając z uzyskanych właściwości skonstruujemy wykres interesującej nas funkcji. Ale (uwaga!) zamiast u - sin t napiszemy y = sin x (w końcu jesteśmy bardziej przyzwyczajeni do pisania y = f(x), a nie u = f(t)). Oznacza to, że wykres zbudujemy w zwykłym układzie współrzędnych xOy (a nie toOy).

Zróbmy tabelę wartości funkcji y - sin x:

Komentarz.

Podajmy jedną z wersji pochodzenia terminu „sinus”. Po łacinie sinus oznacza zgięcie (sznurek).

Skonstruowany wykres w pewnym stopniu uzasadnia tę terminologię.

Linię służącą jako wykres funkcji y = sin x nazywamy falą sinusoidalną. Ta część sinusoidy pokazana na ryc. 118 lub 119 nazywa się falą sinusoidalną, a ta część fali sinusoidalnej, która jest pokazana na ryc. 117, nazywany jest półfali lub łukiem fali sinusoidalnej.

2. Funkcja y = cos x.

Badanie funkcji y = cos x można przeprowadzić w przybliżeniu według tego samego schematu, który zastosowano powyżej dla funkcji y = sin x. Ale my wybierzemy drogę, która szybciej doprowadzi do celu. Najpierw udowodnimy dwie formuły, które same w sobie są ważne (zobaczysz to w szkole średniej), ale na razie mają dla naszych celów jedynie znaczenie pomocnicze.

Dla dowolnej wartości t obowiązują następujące równości:

Dowód. Niech liczba t odpowiada punktowi M koła numerycznego n, a liczba * + - punktowi P (ryc. 124; dla uproszczenia punkt M przyjęliśmy w pierwszej ćwiartce). Łuki AM i BP są równe, a trójkąty prostokątne OKM i OLBP są odpowiednio równe. Oznacza to O K = Ob, MK = Pb. Z tych równości oraz z położenia trójkątów OCM i OBP w układzie współrzędnych wyciągamy dwa wnioski:

1) rzędna punktu P zarówno pod względem wielkości, jak i znaku pokrywa się z odciętą punktu M; to znaczy, że

2) odcięta punktu P jest w wartości bezwzględnej równa rzędnej punktu M, ale różni się od niej znakiem; to znaczy, że

W przybliżeniu to samo rozumowanie przeprowadza się w przypadkach, gdy punkt M nie należy do pierwszego kwartału.
Skorzystajmy ze wzoru (jest to wzór udowodniony powyżej, tyle że zamiast zmiennej t używamy zmiennej x). Co daje nam ta formuła? Pozwala nam to stwierdzić, że funkcje

są identyczne, co oznacza, że ich wykresy są zbieżne.
Narysujmy funkcję W tym celu przejdźmy do pomocniczego układu współrzędnych, którego początek znajduje się w punkcie (linia przerywana jest narysowana na ryc. 125). Powiążmy funkcję y = sin x z nowym układem współrzędnych - będzie to wykres tej funkcji (ryc. 125), tj. wykres funkcji y - cos x. To, podobnie jak wykres funkcji y = sin x, nazywa się sinusoidą (co jest całkiem naturalne).

Własności funkcji y = cos x.

y = cos x jest funkcją parzystą.

Etapy budowy pokazano na rys. 126:

1) zbuduj wykres funkcji y = cos x (dokładniej jedna półfala);
2) rozciągając skonstruowany wykres od osi x o współczynnik 0,5, otrzymujemy jedną półfalę żądanego wykresu;
3) korzystając z powstałej półfali konstruujemy cały wykres funkcji y = 0,5 cos x.

Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok, zalecenia metodyczne, program dyskusji Zintegrowane Lekcje

W tej lekcji przyjrzymy się szczegółowo funkcji y = sin x, jej podstawowym własnościom i wykresowi. Na początku lekcji podamy definicję funkcji trygonometrycznej y = sin t na okręgu współrzędnych i rozważymy wykres funkcji na okręgu i prostej. Pokażmy na wykresie okresowość tej funkcji i rozważmy główne właściwości tej funkcji. Na koniec lekcji rozwiążemy kilka prostych problemów wykorzystując wykres funkcji i jej własności.

Temat: Funkcje trygonometryczne

Lekcja: Funkcja y=sinx, jej podstawowe własności i wykres

Rozważając funkcję, ważne jest, aby powiązać każdą wartość argumentu z pojedynczą wartością funkcji. Ten prawo korespondencji i nazywa się funkcją.

Zdefiniujmy prawo korespondencyjne dla .

Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada pojedynczy punkt na okręgu jednostkowym.Punkt ma jedną rzędną, którą nazywamy sinusem liczby (ryc. 1).

Każda wartość argumentu jest powiązana z pojedynczą wartością funkcji.

Oczywiste właściwości wynikają z definicji sinusa.

Rysunek to pokazuje ponieważ jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym.

Rozważmy wykres funkcji. Przypomnijmy geometryczną interpretację argumentu. Argumentem jest kąt środkowy mierzony w radianach. Wzdłuż osi nakreślimy liczby rzeczywiste lub kąty w radianach, wzdłuż osi odpowiednie wartości funkcji.

Np. kąt na okręgu jednostkowym odpowiada punktowi na wykresie (ryc. 2)

Otrzymaliśmy wykres funkcji w obszarze, ale znając okres sinusa, możemy przedstawić wykres funkcji w całym obszarze definicji (rys. 3).

Główny okres funkcji to Oznacza to, że wykres można otrzymać na odcinku, a następnie kontynuować go w całym obszarze definicji.

Rozważ właściwości funkcji:

1) Zakres definicji:

2) Zakres wartości:

3) Funkcja nieparzysta:

4) Najmniejszy okres dodatni:

5) Współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią odciętych:

6) Współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią rzędnych:

7) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

8) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

9) Zwiększanie interwałów:

10) Zmniejszające się odstępy:

11) Minimalna liczba punktów:

12) Funkcje minimalne:

13) Maksymalna liczba punktów:

14) Maksymalne funkcje:

Przyjrzeliśmy się właściwościom funkcji i jej wykresowi. Właściwości będą wielokrotnie wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Podręcznik dla szkół ogólnokształcących (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Pogłębione studium algebry i analizy matematycznej.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Symulator algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zagadnienia algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatkowe zasoby internetowe

3. Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminów ().

Lekcja wideo „Funkcja y = sinx, właściwości ee i wykres” przedstawia materiał wizualny na ten temat, a także komentarze na ten temat. Podczas demonstracji rozważany jest rodzaj funkcji, jej właściwości, zachowanie na różnych odcinkach płaszczyzny współrzędnych, szczegółowo opisane cechy wykresu oraz opisano przykład graficznego rozwiązania równań trygonometrycznych zawierających sinus. Za pomocą lekcji wideo nauczycielowi łatwiej jest sformułować rozumienie tej funkcji przez uczniów i nauczyć ich graficznego rozwiązywania problemów.

Lekcja wideo wykorzystuje narzędzia ułatwiające zapamiętywanie i zrozumienie informacji edukacyjnych. W prezentacji wykresów i opisie rozwiązania problemów wykorzystywane są efekty animacyjne, które pomagają zrozumieć zachowanie funkcji i sekwencyjnie prezentują postęp rozwiązania. Również udźwiękowienie materiału uzupełnia go ważnymi komentarzami, które zastępują wyjaśnienia nauczyciela. Tym samym materiał ten można wykorzystać także jako pomoc wizualną. Oraz jako samodzielna część lekcji zamiast objaśnień nauczyciela na nowy temat.

Pokaz rozpoczyna się od przedstawienia tematu lekcji. Przedstawiona jest funkcja sinus, której opis jest podświetlony w okienku do zapamiętania - s=sint, w którym argumentem t może być dowolna liczba rzeczywista. Opis własności tej funkcji rozpoczyna się od dziedziny definicji. Należy zauważyć, że dziedziną definicji funkcji jest cała oś numeryczna liczb rzeczywistych, czyli D(f)=(- ∞;+∞). Drugą właściwością jest nieparzystość funkcji sinus. Przypomina się uczniom, że tę właściwość badano w dziewiątej klasie, kiedy zauważono, że dla funkcji nieparzystej zachodzi równość f(-x)=-f(x). W przypadku sinusa potwierdzenie nieparzystości funkcji pokazano na okręgu jednostkowym podzielonym na ćwiartki. Wiedząc, jaki znak przyjmuje funkcja w różnych ćwiartkach układu współrzędnych, należy zauważyć, że dla argumentów o przeciwnych znakach, na przykładzie punktów L(t) i N(-t), warunek nieparzystości jest spełniony dla sinusa. Zatem s=sint jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku.

Trzecia właściwość sinusa pokazuje odstępy między funkcjami rosnącymi i malejącymi. Zauważa, że funkcja ta rośnie na odcinku, a maleje na odcinku [π/2;π]. Właściwość pokazano na rysunku, który przedstawia okrąg jednostkowy i podczas przemieszczania się od punktu A w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara rzędna rośnie, czyli wartość funkcji wzrasta do π/2. Podczas przemieszczania się z punktu B do C, czyli przy zmianie kąta z π/2 na π, wartość rzędnej maleje. W trzeciej ćwiartce koła podczas przemieszczania się z punktu C do punktu D rzędna maleje od 0 do -1, czyli wartość sinusa maleje. W ostatniej ćwiartce, przechodząc z punktu D do punktu A, wartość rzędnej wzrasta od -1 do 0. W ten sposób możemy wyciągnąć ogólny wniosek na temat zachowania funkcji. Na ekranie wyświetlana jest moc wyjściowa, której sint wzrasta w segmencie [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], maleje w przedziale [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] dla dowolnej liczby całkowitej k.

Czwarta właściwość sinusa uwzględnia ograniczenie funkcji. Należy zauważyć, że funkcja sint jest ograniczona zarówno od góry, jak i od dołu. Uczniom przypominają się informacje z algebry w klasie IX, kiedy zapoznawano ich z pojęciem ograniczenia funkcji. Na ekranie wyświetlany jest stan funkcji ograniczonej od góry, dla której istnieje pewna liczba, dla której w dowolnym punkcie funkcji zachodzi nierówność f(x)>=M. Przypomnijmy sobie także warunek funkcji ograniczonej poniżej, dla której liczba m jest mniejsza od każdego punktu funkcji. Dla sinta warunek -1 jest spełniony<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Piąta właściwość uwzględnia najmniejsze i największe wartości funkcji. Notuje się osiągnięcie najmniejszej wartości -1 w każdym punkcie t=-(π/2)+2πk, a największej w punktach t=(π/2)+2πk.

Na podstawie rozważanych właściwości tworzony jest na odcinku wykres funkcji sint. Aby skonstruować funkcję, stosuje się wartości tabelaryczne sinusa w odpowiednich punktach. Na płaszczyźnie współrzędnych zaznaczono współrzędne punktów π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Zaznaczając w tych punktach wartości tabeli funkcji i łącząc je gładką linią, budujemy wykres.

Aby wykreślić wykres funkcji sint na odcinku [-π;π], wykorzystuje się własność symetrii funkcji względem początku współrzędnych. Rysunek pokazuje, jak otrzymana w wyniku konstrukcji linia jest płynnie przenoszona symetrycznie względem początku współrzędnych na odcinek [-π;0].

Korzystając z własności funkcji sint, wyrażonej wzorem redukcyjnym sin(x+2π) = sin x, zauważamy, że co 2π wykres sinusa się powtarza. Zatem na przedziale [π; 3π] wykres będzie taki sam jak na [-π;π]. Zatem wykres tej funkcji przedstawia powtarzające się fragmenty [-π;π] w całym obszarze definicji. Odrębnie zauważono, że taki wykres funkcji nazywa się sinusoidą. Wprowadzono także pojęcie fali sinusoidalnej – fragmentu wykresu zbudowanego na odcinku [-π;π] oraz łuku sinusoidalnego zbudowanego na segmencie . Fragmenty te są pokazane ponownie w celu zapamiętania.

Należy zauważyć, że funkcja sint jest funkcją ciągłą w całej dziedzinie definicji, a także, że zakres wartości funkcji leży w zbiorze wartości odcinka [-1;1].

Na koniec lekcji wideo rozważane jest graficzne rozwiązanie równania sin x=x+π. Oczywiście graficznym rozwiązaniem równania będzie przecięcie wykresu funkcji danej przez wyrażenie po lewej stronie i funkcji określonej przez wyrażenie po prawej stronie. Aby rozwiązać zadanie, konstruuje się płaszczyznę współrzędnych, na której zarysowuje się odpowiednią sinusoidę y=sin x i konstruuje się linię prostą odpowiadającą wykresowi funkcji y=x+π. Skonstruowane wykresy przecinają się w jednym punkcie B(-π;0). Zatem x=-π będzie rozwiązaniem równania.

Lekcja wideo „Funkcja y = sinx, ee właściwości i wykres” pomoże zwiększyć efektywność tradycyjnej lekcji matematyki w szkole. Podczas nauczania na odległość można także korzystać z materiałów wizualnych. Podręcznik może pomóc w opanowaniu tematu uczniom, którzy potrzebują dodatkowych lekcji w celu głębszego zrozumienia materiału.

DEKODOWANIE TEKSTU:

Temat naszej lekcji brzmi: „Funkcja y = sin x, jej własności i wykres”.

Wcześniej poznaliśmy już funkcję s = sin t, gdzie tϵR (es jest równe sinus te, gdzie te należy do zbioru liczb rzeczywistych). Przeanalizujmy właściwości tej funkcji:

WŁAŚCIWOŚCI 1. Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych R (er), czyli D(f) = (- ; +) (de od ef oznacza przedział od minus nieskończoności do plus nieskończoności).

WŁAŚCIWOŚĆ 2. Funkcja s = sin t jest nieparzysta.

Na lekcjach w IX klasie dowiedzieliśmy się, że funkcja y = f (x), x ϵX (y jest równe ef od x, gdzie x należy do zbioru x jest duże) nazywa się nieparzystą, jeśli dla dowolnej wartości x ze zbioru X równość

f (- x) = - f (x) (eff od minus x jest równe minus ef od x).

A ponieważ współrzędne punktów L i N symetrycznych względem osi odciętych są przeciwne, to sin(- t) = -sint.

Oznacza to, że s = sin t jest funkcją nieparzystą, a wykres funkcji s = sin t jest symetryczny względem początku w prostokątnym układzie współrzędnych doOs(te o es).

Rozważmy WŁAŚCIWOŚĆ 3. Na przedziale [ 0; ] (od zera do pi o dwa) funkcja s = sin t rośnie i maleje na odcinku [; ](od pi przez dwa do pi).

Widać to wyraźnie na rysunkach: gdy punkt przesuwa się po okręgu liczbowym od zera do pi o dwa (od punktu A do B), rzędna stopniowo zwiększa się od 0 do 1, a podczas przemieszczania się od pi o dwa do pi (od punktu punkt B do C), rzędna stopniowo maleje od 1 do 0.

Gdy punkt przemieszcza się wzdłuż trzeciej ćwiartki (od punktu C do punktu D), rzędna poruszającego się punktu zmniejsza się od zera do minus jeden, a podczas poruszania się po czwartej ćwiartce rzędna wzrasta od minus jeden do zera. Można zatem wyciągnąć ogólny wniosek: funkcja s = sin t rośnie na przedziale

(od minus pi przez dwa plus dwa pi ka do pi przez dwa plus dwa pi ka) i maleje na odcinku [; (od pi przez dwa plus dwa pi ka do trzech pi przez dwa plus dwa pi ka), gdzie

(ka należy do zbioru liczb całkowitych).

WŁAŚCIWOŚĆ 4. Funkcja s = sint jest ograniczona od góry i od dołu.

Z kursu 9. klasy przypomnij sobie definicję ograniczenia: funkcja y = f (x) nazywana jest ograniczoną od dołu, jeśli wszystkie wartości funkcji są nie mniejsze niż pewna liczba M M tak, że dla dowolnej wartości x z dziedziny definicji funkcji nierówność f (x) ≥ M(ef od x jest większe lub równe em). Mówi się, że funkcja y = f (x) jest ograniczona powyżej, jeśli wszystkie wartości funkcji nie są większe niż pewna liczba M, oznacza to, że istnieje liczba M tak, że dla dowolnej wartości x z dziedziny definicji funkcji nierówność f (x) ≤ M(eff od x jest mniejsze lub równe em) Funkcja nazywana jest ograniczoną, jeśli jest ograniczona zarówno od dołu, jak i od góry.

Wróćmy do naszej funkcji: ograniczenie wynika z faktu, że dla dowolnego te prawdziwa jest nierówność - 1 ≤ sint≤ 1. (sinus te jest większy lub równy minus jeden, ale mniejszy lub równy jedności).

WŁAŚCIWOŚĆ 5. Najmniejsza wartość funkcji jest równa minus jeden i funkcja osiąga tę wartość w dowolnym punkcie postaci t = (te jest równe minus pi przez dwa plus dwa szczyty, a największa wartość funkcji jest równa do jedności i osiąga się przez funkcję w dowolnym punkcie postaci t = (te równa się pi razy dwa plus dwa pi ka).

Największe i najmniejsze wartości funkcji s = sin t oznaczają s najbardziej. i s maks. .

Korzystając z uzyskanych własności skonstruujemy wykres funkcji y = sin x (y jest równe sinus x), ponieważ jesteśmy bardziej przyzwyczajeni do pisania y = f (x) niż s = f (t).

Na początek wybierzmy skalę: wzdłuż osi rzędnych weźmy dwie komórki jako segment jednostkowy, a wzdłuż osi odciętych dwie komórki to pi x trzy (od ≈ 1). Najpierw zbudujmy wykres funkcji y = sin x na segmencie. Potrzebujemy tabeli wartości funkcji w tym segmencie, do jej skonstruowania użyjemy tabeli wartości dla odpowiednich kątów cosinus i sinus:

Dlatego budując tabelę wartości argumentów i funkcji, trzeba o tym pamiętać X(x) liczba ta jest odpowiednio równa kątowi w przedziale od zera do pi, oraz Na(Grecki) wartość sinusa tego kąta.

Zaznaczmy te punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Według NIERUCHOMOŚCI 3 na segmencie

[ 0; ] (od zera do pi o dwa) funkcja y = sin x rośnie i maleje na odcinku [; ](od pi przez dwa do pi) i łącząc powstałe punkty gładką linią, otrzymujemy część wykresu (ryc. 1)

Korzystając z symetrii wykresu funkcji nieparzystej względem początku, otrzymujemy wykres funkcji y = sin x już na odcinku

[-π; π ] (od minus pi do pi) (ryc. 2)

Przypomnijmy sobie, że sin(x + 2π)= sinx

(sinus x plus dwa pi jest równy sinusowi x). Oznacza to, że w punkcie x + 2π funkcja y = sin x przyjmuje taką samą wartość jak w punkcie x. A ponieważ (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus dwa pi należy do odcinka od pi do trzech pi), jeśli xϵ[-π; π ], następnie na odcinku [π; 3π ] wykres funkcji wygląda dokładnie tak samo jak na odcinku [-π; π]. Podobnie na odcinkach , , [-3π; -π ] i tak dalej, wykres funkcji y = sin x wygląda tak samo jak na odcinku

[-π; π].(Rys. 3)

Prostą będącą wykresem funkcji y = sin x nazywamy falą sinusoidalną. Część fali sinusoidalnej pokazana na rysunku 2 nazywana jest falą sinusoidalną, natomiast na rysunku 1 nazywana jest falą sinusoidalną lub półfalą.

Korzystając ze skonstruowanego wykresu, zapisujemy jeszcze kilka właściwości tej funkcji.

WŁASNOŚĆ 6. Funkcja y = sin x jest funkcją ciągłą. Oznacza to, że wykres funkcji jest ciągły, to znaczy nie ma na nim skoków ani przebić.

WŁAŚCIWOŚĆ 7. Zakres wartości funkcji y = sin x to odcinek [-1; 1] (od minus jeden do jednego) lub można to zapisać w ten sposób: (e od ef równa się segmentowi od minus jeden do jednego).

Spójrzmy na PRZYKŁAD. Rozwiąż graficznie równanie sin x = x + π (sinus x równa się x plus pi).

Rozwiązanie. Zbudujmy wykresy funkcji y = grzech X I y = x + π.

Wykres funkcji y = sin x jest sinusoidą.

y = x + π jest funkcją liniową, której wykresem jest linia prosta przechodząca przez punkty o współrzędnych (0; π) i (- π ; 0).

Skonstruowane wykresy mają jeden punkt przecięcia - punkt B(- π;0) (o współrzędnych minus pi, zero). Oznacza to, że równanie to ma tylko jeden pierwiastek - odciętą punktu B - -π. Odpowiedź: X = - π.

Funkcjonowaćy = grzechX

Wykres funkcji jest sinusoidą.

Kompletna, niepowtarzająca się część fali sinusoidalnej nazywana jest falą sinusoidalną.

Połowa fali sinusoidalnej nazywana jest połową fali sinusoidalnej (lub łukiem).

Właściwości funkcjiy = grzechX:

3) To jest funkcja dziwna.

4) Jest to funkcja ciągła.

- z osią odciętych: (πn; 0),
- z osią rzędnych: (0; 0).

6) Na odcinku [-π/2; funkcja π/2] rośnie w przedziale [π/2; 3π/2] – maleje.

7) Na przedziałach funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Na przedziałach [-π + 2πn; 2πn] przyjmuje wartości ujemne.

8) Przedziały funkcji rosnącej: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn].
Malejące przedziały funkcji: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].

9) Minimalne punkty funkcji: -π/2 + 2πn.
Maksymalne punkty funkcji: π/2 + 2πn

najwyższa wartość to 1.

Aby wykreślić funkcję y= grzech X Wygodnie jest używać następujących skal:

Na kartce papieru z kwadratem długość dwóch kwadratów przyjmujemy jako jednostkę odcinka.

Na osi X Zmierzmy długość π. Jednocześnie dla wygody podajemy 3,14 w postaci 3 - czyli bez ułamka. Następnie na kartce papieru w komórce π będzie 6 komórek (trzy razy 2 komórki). I każda komórka otrzyma swoją naturalną nazwę (od pierwszej do szóstej): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. To są znaczenia X.

Na osi Y zaznaczamy 1, co obejmuje dwie komórki.

Stwórzmy tabelę wartości funkcji, korzystając z naszych wartości X:


			√3 - 2		√3 - 2

Następnie stworzymy harmonogram. Rezultatem jest półfala, której najwyższy punkt to (π/2; 1). To jest wykres funkcji y= grzech X na segmencie. Dodajmy do skonstruowanego wykresu symetryczną półfalę (symetryczną względem początku, czyli na odcinku -π). Wierzchołek tej półfali znajduje się pod osią x o współrzędnych (-1; -1). Rezultatem będzie fala. To jest wykres funkcji y= grzech X na odcinku [-π; π].

Możesz kontynuować falę, konstruując ją na odcinku [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] itd. Na wszystkich tych odcinkach wykres funkcji będzie wyglądał tak samo jak na odcinku [-π; π]. Otrzymasz ciągłą falistą linię z identycznymi falami.

Funkcjonowaćy = sałataX.

Wykresem funkcji jest fala sinusoidalna (czasami nazywana falą cosinus).

Właściwości funkcjiy = sałataX:

1) Dziedziną definicji funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

2) Zakres wartości funkcji to segment [–1; 1]

3) To jest funkcja parzysta.

4) Jest to funkcja ciągła.

5) Współrzędne punktów przecięcia wykresu:
- z osią odciętych: (π/2 + πn; 0),
- z osią rzędnych: (0;1).

6) Na odcinku funkcja maleje, na odcinku [π; 2π] – wzrasta.

7) Na przedziałach [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] przyjmuje wartości dodatnie.
Na przedziałach [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] przyjmuje wartości ujemne.

8) Zwiększające się przedziały: [-π + 2πn; 2πn].
Zmniejszające się odstępy: ;

9) Minimalne punkty funkcji: π + 2πn.
Maksymalne punkty funkcji: 2πn.

10) Funkcja jest ograniczona od góry i od dołu. Najmniejsza wartość funkcji to –1,
najwyższa wartość to 1.

11) Jest to funkcja okresowa o okresie 2π (T = 2π)

Funkcjonowaćy = mf(X).

Weźmy poprzednią funkcję y=co X. Jak już wiesz, jego wykresem jest fala sinusoidalna. Jeśli pomnożymy cosinus tej funkcji przez pewną liczbę m, wówczas fala będzie się rozchodzić od osi X(lub skurczy się, w zależności od wartości m).
Ta nowa fala będzie wykresem funkcji y = mf(x), gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Zatem funkcja y = mf(x) jest znaną funkcją y = f(x) pomnożoną przez m.

JeśliM< 1, то синусоида сжимается к оси X przez współczynnikM. Jeślim > 1, wówczas sinusoida jest rozciągana od osiX przez współczynnikM.

Wykonując rozciąganie lub ściskanie, można najpierw wykreślić tylko jedną półfali fali sinusoidalnej, a następnie uzupełnić cały wykres.

Funkcjonowaćy = F(kx).

Jeśli funkcja y =mf(X) prowadzi do rozciągnięcia sinusoidy od osi X lub ściskanie w kierunku osi X, to funkcja y = f(kx) prowadzi do rozciągnięcia od osi y lub ściskanie w kierunku osi y.

Ponadto k jest dowolną liczbą rzeczywistą.

O godzinie 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y przez współczynnikk. Jeślik > 1, wówczas sinusoida jest ściskana w kierunku osiy przez współczynnikk.

Rysując wykres tej funkcji, możesz najpierw zbudować jedną półfalę sinusoidy, a następnie użyć jej do uzupełnienia całego wykresu.

Funkcjonowaćy = tgX.

Wykres funkcji y= tg X jest tangensem.

Wystarczy skonstruować część wykresu w przedziale od 0 do π/2, a następnie można go symetrycznie kontynuować w przedziale od 0 do 3π/2.

Właściwości funkcjiy = tgX:

Funkcjonowaćy = ctgX

Wykres funkcji y=ctg X jest także styczną (czasami nazywaną kotangentoidą).

Właściwości funkcjiy = ctgX: