Grzech x grzech x równa się co. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych

– na pewno nie zabraknie zadań z trygonometrii. Trygonometria jest często nielubiana ze względu na konieczność upchania ogromnej liczby trudnych wzorów, pełnych sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów. Serwis już kiedyś udzielał porad, jak zapamiętać zapomnianą formułę, posługując się przykładem formuł Eulera i Peela.

W tym artykule postaramy się pokazać, że wystarczy dobrze znać tylko pięć prostych wzorów trygonometrycznych i wiedzieć o reszcie główny pomysł i wyprowadź je, gdy będziesz szedł. To tak jak z DNA: cząsteczka nie przechowuje pełnych planów gotowej żywej istoty. Zawiera raczej instrukcje składania go z dostępnych aminokwasów. Tak więc w trygonometrii, znając trochę ogólne zasady, dostaniemy wszystko niezbędne formuły z mały zestaw o których trzeba pamiętać.

Będziemy polegać następujące formuły:

Ze wzorów na sumę sinus i cosinus, znając parzystość funkcji cosinus i nieparzystość funkcji sinus, podstawiając -b zamiast b, otrzymujemy wzory na różnice:

1. Sinus różnicy: grzech(a-b) = grzechAsałata(-B)+sałataAgrzech(-B) = grzechAsałataB-sałataAgrzechB
2. Cosinus różnicy: sałata(a-b) = sałataAsałata(-B)-grzechAgrzech(-B) = sałataAsałataB+grzechAgrzechB

Wstawiając a = b do tych samych wzorów, otrzymujemy wzory na sinus i cosinus kątów podwójnych:

1. Zatoka podwójny kąt : grzech2a = grzech(a+a) = grzechAsałataA+sałataAgrzechA = 2grzechAsałataA
2. Cosinus podwójnego kąta: sałata2a = sałata(a+a) = sałataAsałataA-grzechAgrzechA = sałata2a-grzech2a

Wzory na inne kąty wielokrotne uzyskuje się w podobny sposób:

1. Sinus potrójnego kąta: grzech3a = grzech(2a+a) = grzech2asałataA+sałata2agrzechA = (2grzechAsałataA)sałataA+(sałata2a-grzech2a)grzechA = 2grzechAsałata2a+grzechAsałata2a-grzech 3 a = 3 grzechAsałata2a-grzech 3 a = 3 grzechA(1-grzech2a)-grzech 3 a = 3 grzechA-4grzech 3a
2. Cosinus potrójnego kąta: sałata3a = sałata(2a+a) = sałata2asałataA-grzech2agrzechA = (sałata2a-grzech2a)sałataA-(2grzechAsałataA)grzechA = sałata 3 a- grzech2asałataA-2grzech2asałataA = sałata 3 a-3 grzech2asałataA = sałata 3 a-3(1- sałata2a)sałataA = 4sałata 3 a-3 sałataA

Zanim przejdziemy dalej, spójrzmy na jeden problem.
Dane: kąt jest ostry.
Znajdź jego cosinus jeśli
Rozwiązanie podane przez jednego ucznia:
Ponieważ , To grzechA= 3,a sałataA = 4.
(Z humoru matematycznego)

Zatem definicja tangensa wiąże tę funkcję zarówno z sinusem, jak i cosinusem. Ale możesz otrzymać wzór, który wiąże tangens tylko z cosinusem. Aby to wyprowadzić, bierzemy główną tożsamość trygonometryczną: grzech 2 A+sałata 2 A= 1 i podziel przez sałata 2 A. Otrzymujemy:

Zatem rozwiązaniem tego problemu byłoby:

(Ponieważ kąt jest ostry, podczas wyodrębniania korzenia brany jest znak +)

Kolejnym trudnym do zapamiętania wzorem jest wzór na tangens sumy. Wypiszmy to w ten sposób:

Natychmiast wyświetlane i

Ze wzoru na cosinus dla kąta podwójnego można uzyskać wzory na sinus i cosinus dla kąta połówkowego. Aby to zrobić, po lewej stronie wzoru na cosinus podwójnego kąta:
sałata2 A = sałata 2 A-grzech 2 A
dodajemy jeden, a po prawej - jednostkę trygonometryczną, tj. suma kwadratów sinusa i cosinusa.
sałata2a+1 = sałata2a-grzech2a+sałata2a+grzech2a
2sałata 2 A = sałata2 A+1
Wyrażający sałataA Poprzez sałata2 A i dokonując zmiany zmiennych, otrzymujemy:

Znak jest przyjmowany w zależności od ćwiartki.

Podobnie, odejmując jeden od lewej strony równości i sumę kwadratów sinusa i cosinusa od prawej, otrzymujemy:
sałata2a-1 = sałata2a-grzech2a-sałata2a-grzech2a
2grzech 2 A = 1-sałata2 A

I na koniec, aby przeliczyć sumę funkcji trygonometrycznych na iloczyn, stosujemy następującą technikę. Powiedzmy, że musimy przedstawić sumę sinusów jako iloczyn grzechA+grzechB. Wprowadźmy zmienne x i y takie, że a = x+y, b+x-y. Następnie
grzechA+grzechB = grzech(x+y)+ grzech(x-y) = grzech X sałata ty+ sałata X grzech ty+ grzech X sałata y- sałata X grzech y=2 grzech X sałata y. Wyraźmy teraz x i y za pomocą aib.

Ponieważ a = x+y, b = x-y, to . Dlatego

Możesz natychmiast się wycofać

1. Wzór na partycjonowanie produkty sinusa i cosinusa V kwota: grzechAsałataB = 0.5(grzech(a+b)+grzech(a-b))

Zalecamy samodzielne ćwiczenie i wyprowadzanie wzorów na przeliczanie różnicy sinusów oraz sumy i różnicy cosinusów na iloczyn, a także na dzielenie iloczynów sinusów i cosinusów na sumę. Po wykonaniu tych ćwiczeń doskonale opanujesz umiejętność wyprowadzania wzorów trygonometrycznych i nie zgubisz się nawet w najtrudniejszym teście, olimpiadzie czy teście.

Zajmijmy się proste pojęcia: sinus i cosinus i obliczenia cosinus kwadrat i sinus kwadrat.

Sinus i cosinus bada się w trygonometrii (badanie trójkątów prostokątnych).

Dlatego najpierw przypomnijmy sobie podstawowe pojęcia dotyczące trójkąta prostokątnego:

Przeciwprostokątna- strona, która zawsze leży naprzeciwko prosty kąt(kąt 90 stopni). Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego.

Nazywamy pozostałe dwa boki trójkąta prostokątnego nogi.

Należy również pamiętać, że trzy kąty w trójkącie zawsze dają 180°.

Przejdźmy teraz do cosinus i sinus kąta alfa (∠α)(można to nazwać dowolnym kątem pośrednim w trójkącie lub użyć jako oznaczenia x - „x”, co nie zmienia istoty).

Sinus kąta alfa (sin ∠α)– to jest postawa naprzeciwko noga (strona przeciwna do odpowiedniego kąta) do przeciwprostokątnej. Jeśli spojrzysz na rysunek, to grzech ∠ABC = AC / BC

Cosinus kąta alfa (cos ∠α)- postawa przylegający do kąta nogi do przeciwprostokątnej. Patrząc ponownie na powyższy rysunek, cos ∠ABC = AB / BC

I tak dla przypomnienia: cosinus i sinus nigdy nie będą więcej niż jeden, ponieważ każdy rzut jest krótszy niż przeciwprostokątna (a przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem dowolnego trójkąta, ponieważ najdłuższy bok znajduje się naprzeciw największego kąta w trójkącie).

Cosinus do kwadratu, sinus do kwadratu

Przejdźmy teraz do głównych wzory trygonometryczne: Oblicz cosinus kwadrat i sinus kwadrat.

Aby je obliczyć należy pamiętać o podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

grzech 2 α + cos 2 α = 1(sinus kwadrat plus cosinus kwadrat jednego kąta zawsze równa się jeden).

Z tożsamość trygonometryczna wyciągamy wnioski na temat sinusa:

grzech 2 α = 1 - cos 2 α

sinus kwadrat alfa równy jeden minus cosinus podwójnego kąta alfa i podziel wszystko przez dwa.

grzech 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Z tożsamości trygonometrycznej wyciągamy wnioski dotyczące cosinusa:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

albo więcej trudna opcja formuły: cosinus kwadrat alfa jest równe jeden plus cosinus podwójnego kąta alfa i także dzieli wszystko przez dwa.

cos 2 α = (1 + cos (2 α)) / 2

Tych dwóch jest więcej złożone formuły Sinus kwadrat i cosinus kwadrat są również nazywane „zmniejszaniem stopnia kwadratów funkcji trygonometrycznych”. Te. był drugi stopień, obniżyli go do pierwszego i obliczenia stały się wygodniejsze.

Najprostsze rozwiązanie równania trygonometryczne.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych o dowolnym stopniu złożoności ostatecznie sprowadza się do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych. I w tym najlepszy pomocnik znowu okazuje się, że jest to okrąg trygonometryczny.

Przypomnijmy definicje cosinusa i sinusa.

Cosinus kąta jest odciętą (to znaczy współrzędną wzdłuż osi) punktu okrąg jednostkowy, odpowiadający obrotowi o zadany kąt.

Sinus kąta to rzędna (to znaczy współrzędna wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadająca obrotowi o dany kąt.

Dodatni kierunek ruchu na okręgu trygonometrycznym jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Obrót o 0 stopni (lub 0 radianów) odpowiada punktowi o współrzędnych (1;0)

Używamy tych definicji do rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych.

1. Rozwiąż równanie

Równanie to spełniają wszystkie wartości kąta obrotu odpowiadające punktom na okręgu, którego rzędna jest równa .

Zaznaczmy punkt rzędną na osi rzędnych:

Przeprowadźmy linia pozioma równolegle do osi x, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymujemy dwa punkty leżące na okręgu i posiadające rzędną. Punkty te odpowiadają kątom obrotu w i radianach:

Jeśli pozostawimy punkt odpowiadający kątowi obrotu w radianach, obejdziemy się Pełne koło, to dotrzemy do punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian i mającego tę samą rzędną. Oznacza to, że ten kąt obrotu również spełnia nasze równanie. Możemy wykonać dowolną liczbę „jałowych” obrotów, wracając do tego samego punktu, a wszystkie te wartości kątów spełnią nasze równanie. Liczba „jałowych” obrotów będzie oznaczona literą (lub). Ponieważ możemy dokonać tych obrotów zarówno w kierunku dodatnim, jak i ujemnym, (lub) możemy przyjmować dowolne wartości całkowite.

Oznacza to, że pierwsza seria rozwiązań pierwotnego równania ma postać:

, , - zbiór liczb całkowitych (1)

Podobnie druga seria rozwiązań ma postać:

, Gdzie , . (2)

Jak można się domyślić, cała seria rozwiązań opiera się na punkcie na okręgu odpowiadającym kątowi obrotu o .

Te dwie serie rozwiązań można połączyć w jeden wpis:

Jeśli w tym jesteśmy weźmy notatki(to znaczy nawet), wówczas otrzymujemy pierwszą serię rozwiązań.

Jeśli w tym wpisie weźmiemy (to znaczy nieparzyste), wówczas otrzymamy drugą serię rozwiązań.

2. Teraz rozwiążmy równanie

Ponieważ jest to odcięta punktu na okręgu jednostkowym uzyskana przez obrót o kąt, oznaczamy ten punkt odciętą na osi:

Przeprowadźmy pionowa linia równolegle do osi, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na okręgu i posiadające odciętą. Punkty te odpowiadają kątom obrotu w i radianach. Przypomnijmy, że poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara otrzymujemy ujemny kąt obrotu:

Zapiszmy dwie serie rozwiązań:

,

,

(Do pożądanego punktu dochodzimy wychodząc z głównego pełnego okręgu, tj.

Połączmy te dwie serie w jeden wpis:

3. Rozwiąż równanie

Styczna przechodzi przez punkt o współrzędnych (1,0) okręgu jednostkowego równoległych do osi OY

Zaznaczmy na nim punkt o rzędnej równej 1 (szukamy tangensu, którego kąty są równe 1):

Połączmy ten punkt z początkiem współrzędnych linią prostą i zaznaczmy punkty przecięcia tej prostej z okręgiem jednostkowym. Punkty przecięcia prostej i okręgu odpowiadają kątom obrotu na i :

Ponieważ punkty odpowiadające kątom obrotu, które spełniają nasze równanie, leżą w odległości radianów od siebie, rozwiązanie możemy zapisać w ten sposób:

4. Rozwiąż równanie

Linia cotangensów przechodzi przez punkt o współrzędnych okręgu jednostkowego równoległych do osi.

Zaznaczmy punkt odciętą -1 na linii kotangentów:

Połączmy ten punkt z początkiem prostej i kontynuujmy ją aż przetnie się z okręgiem. Ta linia prosta przetnie okrąg w punktach odpowiadających kątom obrotu w i radianach:

Ponieważ punkty te oddalone są od siebie o odległość równą , ogólne rozwiązanie tego równania możemy zapisać w następujący sposób:

W podanych przykładach ilustrujących rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych wykorzystano tabelaryczne wartości funkcji trygonometrycznych.

Jeśli jednak prawa strona równania zawiera wartość nietabelaryczną, to tę wartość podstawiamy do ogólnego rozwiązania równania:

ROZWIĄZANIA SPECJALNE:

Zaznaczmy punkty na okręgu, którego rzędna wynosi 0:

Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego rzędna wynosi 1:

Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego rzędna jest równa -1:

Ponieważ zwyczajowo podaje się wartości najbliższe zeru, rozwiązanie piszemy w następujący sposób:

Zaznaczmy punkty na okręgu, którego odcięta jest równa 0:

5.
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa 1:

Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa -1:

I nieco bardziej złożone przykłady:

1.

Sinus jest równy jeden, jeśli argument jest równy

Argument naszego sinusa jest równy, więc otrzymujemy:

Podzielmy obie strony równości przez 3:

Odpowiedź:

2.

Cosinus równy zeru, jeśli argument cosinus jest równy

Argument naszego cosinusa jest równy , więc otrzymujemy:

Wyraźmy , aby to zrobić, najpierw przesuwamy się w prawo z przeciwnym znakiem:

Uprośćmy prawą stronę:

Podziel obie strony przez -2:

Należy zauważyć, że znak przed terminem się nie zmienia, ponieważ k może przyjmować dowolną wartość całkowitą.

Odpowiedź:

Na koniec obejrzyj samouczek wideo „Wybieranie pierwiastków w równaniu trygonometrycznym za pomocą okrąg trygonometryczny"

Na tym kończy się nasza rozmowa na temat rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych. Następnym razem porozmawiamy o tym, jak podjąć decyzję.

Sinus i cosinus pierwotnie powstały z potrzeby obliczania wielkości w trójkątach prostokątnych. Zauważono, że jeśli miara stopnia kątów w trójkącie prostokątnym nie ulega zmianie, to współczynnik proporcji, niezależnie od tego, jak bardzo zmienią się długości tych boków, zawsze pozostaje taki sam.

W ten sposób wprowadzono pojęcia sinusa i cosinusa. Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym jest stosunek Przeciwna strona do przeciwprostokątnej, a cosinus sąsiaduje z przeciwprostokątną.

Twierdzenia o cosinusach i sinusach

Ale cosinusy i sinusy można używać nie tylko do trójkątów prostokątnych. Aby znaleźć wartość kąta rozwartego lub ostrego lub boku dowolnego trójkąta, wystarczy zastosować twierdzenie o cosinusach i sinusach.

Twierdzenie cosinus jest dość proste: „Kwadrat boku trójkąta równa sumie kwadraty pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi.

Istnieją dwie interpretacje twierdzenia o sinusie: mała i rozszerzona. Według małego: „W trójkącie kąty są proporcjonalne przeciwne partie». To twierdzenie często rozszerzany ze względu na właściwość opisanego koła trójkąta: „W trójkącie kąty są proporcjonalne do przeciwnych boków, a ich stosunek jest równy średnicy opisanego koła”.

Pochodne

Pochodna jest narzędziem matematycznym, które pokazuje, jak szybko zmienia się funkcja w zależności od zmiany jej argumentu. Pochodne są stosowane w geometrii i wielu dyscyplinach technicznych.

Rozwiązując problemy, musisz znać wartości tabelaryczne pochodnych funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus. Pochodna sinusa to cosinus, a cosinus to sinus, ale ze znakiem minus.

Zastosowanie w matematyce

Sinusy i cosinusy są szczególnie często używane podczas rozwiązywania trójkąty prostokątne i zadania z nimi związane.

Wygoda sinusów i cosinusów znajduje również odzwierciedlenie w technologii. Łatwo było wyznaczyć kąty i boki za pomocą twierdzeń o cosinusach i sinusach, załamując się złożone figury i obiekty w „proste” trójkąty. Inżynierowie często zajmują się obliczeniami współczynnika proporcji i środki stopnia, poświęciłem dużo czasu i wysiłku na obliczenie cosinusów i sinusów kątów innych niż tabelaryczne.

Wtedy na ratunek przyszły tablice Bradisa, zawierające tysiące wartości sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów różne kąty. W Czas sowiecki niektórzy nauczyciele zmuszali swoich uczniów do zapamiętywania stron tabel Bradisa.

Radian - wielkość kątowałuki, długość równy promieniowi lub 57,295779513° stopni.

Stopień (w geometrii) - 1/360 część koła lub 1/90 część kąta prostego.

π = 3,141592653589793238462… ( przybliżona wartość liczby Pi).

Tabela cosinusów dla kątów: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kąt x (w stopniach)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Kąt x (w radianach)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11xπ/6	2 x π
bo x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1