Wykres funkcji y=k(x) zwany wypukły na przerwie (a; b), jeśli znajduje się poniżej którejkolwiek ze swoich stycznych do tego przedziału.
Wykres funkcji y=k(x) zwany wklęsły na przerwie (a; b), jeśli znajduje się powyżej którejkolwiek ze swoich stycznych do tego przedziału.
Rysunek przedstawia krzywą, która jest wypukła w punkcie (a;b) i wklęsły (pne).
Przykłady.
Rozważmy wystarczające kryterium, aby ustalić, czy wykres funkcji będzie dany interwał wypukły lub wklęsły.
Twierdzenie. Pozwalać y=k(x) różniczkowalne przez (a; b). Jeśli we wszystkich punktach przedziału (a; b) druga pochodna funkcji y = k(x) negatywny, tj. F ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(X) > 0 – wklęsły.
Dowód. Załóżmy dla pewności, że F""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Weźmy funkcje na wykresie y = f(x) dowolny punkt M0 z odciętą x 0 Î ( A; B) i przeciągnij przez punkt M0 tangens. Jej równanie. Musimy pokazać, że wykres funkcji na (a;b) leży poniżej tej stycznej, tj. przy tej samej wartości X rzędna krzywej y = f(x) będzie mniejsza niż rzędna stycznej.
Zatem równanie krzywej ma postać y = f(x). Oznaczmy rzędną stycznej odpowiadającej odciętej X. Następnie . W związku z tym różnica między rzędnymi krzywej i stycznej dla tej samej wartości X będzie .
Różnica f(x) – f(x 0) przekształcić zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a, gdzie C między X I x 0.
Zatem,
Ponownie stosujemy twierdzenie Lagrange'a do wyrażenia w nawiasach kwadratowych: , gdzie c 1 między c 0 I x 0. Zgodnie z warunkami twierdzenia F ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Zatem dowolny punkt na krzywej leży poniżej stycznej do krzywej dla wszystkich wartości X I x 0 Î ( A; B), co oznacza, że krzywa jest wypukła. Drugą część twierdzenia dowodzi się w podobny sposób.
Przykłady.
Punkt wykresu funkcja ciągła, oddzielający jego część wypukłą od wklęsłej, nazywa się punkt przegięcia.
Oczywiście w punkcie przegięcia styczna, jeśli istnieje, przecina krzywą, ponieważ po jednej stronie tego punktu krzywa leży pod styczną, a po drugiej stronie - nad nią.
Ustalmy wystarczające warunki, aby to stwierdzić dany punkt krzywa jest punktem przegięcia.
Twierdzenie. Niech krzywa będzie określona przez równanie y = f(x). Jeśli F ""(X 0) = 0 lub F ""(X 0) nie istnieje nawet przy przejściu przez wartość X = x 0 pochodna F ""(X) zmienia znak, następnie punkt na wykresie funkcji z odciętą X = x 0 istnieje punkt przegięcia.
Dowód. Pozwalać F ""(X) < 0 при X < x 0 I F ""(X) > 0 o godz X > x 0. Następnie o godz X < x 0 krzywa jest wypukła i kiedy X > x 0– wklęsły. Dlatego punkt A, leżący na krzywej, z odciętą x 0 istnieje punkt przegięcia. Drugi przypadek można rozpatrywać podobnie, kiedy F ""(X) > 0 o godz X < x 0 I F ""(X) < 0 при X > x 0.
Zatem punktów przegięcia należy szukać tylko wśród tych punktów, w których druga pochodna zanika lub nie istnieje.
Przykłady. Znaleźć punkty przegięcia i określić odstępy wypukłości i wklęsłości krzywych.
ASYMPTOTY WYKRESU FUNKCJI
Podczas badania funkcji ważne jest ustalenie kształtu jej wykresu w nieograniczonej odległości punktu wykresu od początku.
Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy wykres funkcji po odsunięciu jej punktu zmiennego do nieskończoności zbliża się w nieskończoność do pewnej prostej.
Linia prosta nazywa się asymptota grafika funkcyjna y = k(x), jeśli odległość od punktu zmiennego M grafikę do tej linii podczas usuwania punktu M do nieskończoności dąży do zera, tj. punkt na wykresie funkcji, dążąc do nieskończoności, musi w nieskończoność zbliżać się do asymptoty.
Krzywa może zbliżyć się do swojej asymptoty, pozostając po jednej jej stronie lub z różne strony, nieskończony zestaw po przekroczeniu asymptoty i przejściu z jednej strony na drugą.
Jeśli oznaczymy przez d odległość od punktu M krzywej do asymptoty, to jest jasne, że d dąży do zera w miarę oddalania się punktu M do nieskończoności.
Będziemy dalej rozróżniać asymptoty pionowe i ukośne.
ASYMPTOTY PIONOWE
Niech o X→ x 0 z dowolnej funkcji bocznej y = k(x) rośnie w sposób nieograniczony w wartości bezwzględnej, tj. albo albo 
. Zatem z definicji asymptoty wynika, że jest to linia prosta X = x 0 jest asymptotą. Odwrotność jest również oczywista, jeśli linia X = x 0 jest asymptotą, tj. .
Zatem pionowa asymptota wykresu funkcji y = f(x) nazywa się linią prostą jeśli k(x)→ ∞ pod co najmniej jednym z warunków X→ x 0– 0 lub X → x 0 + 0, X = x 0
Dlatego należy znaleźć pionowe asymptoty wykresu funkcji y = k(x) muszę znaleźć te wartości X = x 0, przy czym funkcja zmierza do nieskończoności (posiada nieskończoną nieciągłość). Wtedy asymptota pionowa ma równanie X = x 0.
Przykłady.
ASYMPTOTY SKOŚNE
Ponieważ asymptota jest linią prostą, to jeśli jest to krzywa y = k(x) ma asymptotę ukośną, to będzie to równanie y = kx + B. Naszym zadaniem jest znalezienie współczynników k I B.
Twierdzenie. Prosty y = kx + B służy jako asymptota ukośna w X→ +∞ dla wykresu funkcji y
= k(x) wtedy i tylko kiedy 
. Podobne stwierdzenie dotyczy X → –∞.
Dowód. Pozwalać poseł– długość odcinka, równa odległości z punktu M do asymptoty. Według warunku. Oznaczmy przez φ kąt nachylenia asymptoty do osi Wół. Następnie od ΔMNP wynika z tego. Ponieważ φ jest kątem stałym (φ ≠ π/2), to , ale
Kiedy tworzymy wykres funkcji, ważne jest określenie przedziałów wypukłości i punktów przegięcia. Potrzebujemy ich, wraz z odstępami spadku i wzrostu, aby wyraźnie przedstawić funkcję w formie graficznej.
Zrozumienie tego tematu wymaga wiedzy, czym jest pochodna funkcji i jak ją oszacować do pewnego rzędu, a także umiejętności rozwiązywania różne rodzaje nierówności
Na początku artykułu zdefiniowano podstawowe pojęcia. Następnie pokażemy, jaki związek istnieje pomiędzy kierunkiem wypukłości a wartością drugiej pochodnej w pewnym przedziale. Następnie wskażemy warunki, w jakich można wyznaczyć punkty przegięcia grafu. Wszystkie argumenty zostaną zilustrowane przykładami rozwiązań problemów.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1
W dół przez pewien przedział w przypadku, gdy jego wykres znajduje się nie niżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie tego przedziału.
Definicja 2
Funkcja różniczkowana jest wypukła w górę o pewien przedział, jeżeli wykres danej funkcji nie znajduje się wyżej niż styczna do niej w dowolnym punkcie tego przedziału.
Funkcję wypukłą skierowaną w dół można również nazwać funkcją wklęsłą. Obie definicje wyraźnie widać na poniższym wykresie:
Definicja 3
Punkt przegięcia funkcji– jest to punkt M (x 0 ; f (x 0)), w którym występuje styczna do wykresu funkcji, pod warunkiem istnienia pochodnej w pobliżu punktu x 0, gdzie od lewej I prawa strona wykres funkcji przyjmuje różne kierunki wypukłości.
Mówiąc najprościej, punkt przegięcia to miejsce na wykresie, w którym znajduje się styczna, a kierunek wypukłości wykresu przechodząc przez to miejsce zmieni kierunek wypukłości. Jeśli nie pamiętasz, w jakich warunkach możliwe jest istnienie stycznej pionowej i niepionowej, zalecamy powtórzenie sekcji dotyczącej stycznej wykresu funkcji w punkcie.
Poniżej znajduje się wykres funkcji, która ma kilka punktów przegięcia, które są podświetlone na czerwono. Wyjaśnijmy, że obecność punktów przegięcia nie jest obowiązkowa. Na wykresie jednej funkcji może być jedna, dwie, kilka, nieskończenie wiele lub żadna.
W tej sekcji omówimy twierdzenie, za pomocą którego można określić przedziały wypukłości na wykresie określonej funkcji.
Definicja 4
Wykres funkcji będzie wypukły w dół lub w górę, jeśli odpowiednia funkcja y = f (x) ma drugą skończoną pochodną na określonym przedziale x, pod warunkiem, że nierówność f „” (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f „” (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) będzie prawdziwe.
Za pomocą to twierdzenie, możesz znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości na dowolnym wykresie funkcji. Aby to zrobić, wystarczy rozwiązać nierówności f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 w dziedzinie definicji odpowiedniej funkcji.
Wyjaśnijmy, że do przedziałów wypukłości i wklęsłości zaliczane będą te punkty, w których nie istnieje druga pochodna, ale jest zdefiniowana funkcja y = f (x).
Spójrzmy na przykład Szczególnym zadaniem jak poprawnie zastosować to twierdzenie.
Przykład 1
Stan : schorzenie: biorąc pod uwagę funkcję y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Określ, w jakich odstępach jego wykres będzie miał wypukłość i wklęsłość.
Rozwiązanie
Dziedziną definicji tej funkcji jest cały zbiór liczby rzeczywiste. Zacznijmy od obliczenia drugiej pochodnej.
y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
Widzimy, że dziedzina definicji drugiej pochodnej pokrywa się z dziedziną samej funkcji. Oznacza to, że aby zidentyfikować przedziały wypukłości, musimy rozwiązać nierówności f „” (x) ≥ 0 i f „” (x). ) ≤ 0.
y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
Mamy ten harmonogram dana funkcja będzie miał wklęsłość na odcinku [ 2 ; + ∞) i wypukłość na odcinku (- ∞; 2 ] .
Dla przejrzystości narysujmy wykres funkcji i zaznaczmy część wypukłą na niebiesko, a wklęsłą na czerwono.
Odpowiedź: wykres danej funkcji będzie miał wklęsłość na odcinku [ 2 ; + ∞) i wypukłość na odcinku (- ∞; 2 ] .
Co jednak zrobić, jeśli dziedzina definicji drugiej pochodnej nie pokrywa się z dziedziną definicji funkcji? Tutaj przyda się nam powyższa uwaga: uwzględnimy także te punkty, w których skończona druga pochodna nie istnieje w odcinku wklęsłym i wypukłym.
Przykład 2
Stan : schorzenie: biorąc pod uwagę funkcję y = 8 x x - 1 . Określ, w jakich przedziałach jej wykres będzie wklęsły, a w jakich wypukły.
Rozwiązanie
Najpierw poznajmy dziedzinę definicji funkcji.
x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)
Teraz obliczamy drugą pochodną:
y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3
Dziedziną definicji drugiej pochodnej jest zbiór x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Widzimy, że x równe zero będzie należeć do dziedziny pierwotnej funkcji, ale nie do dziedziny drugiej pochodnej. Punkt ten musi mieścić się w segmencie wklęsłym lub wypukłym.
Następnie musimy rozwiązać nierówności f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 w dziedzinie definicji danej funkcji. Używamy do tego metody przedziałowej: gdzie x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 lub x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 licznik 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 staje się 0, a mianownik wynosi 0 w x, równy zeru lub jednostka.
Narysujmy powstałe punkty na wykresie i wyznaczmy znak wyrażenia na wszystkich przedziałach, które będą wchodzić w dziedzinę definicji funkcji pierwotnej. Obszar ten zaznaczony jest na wykresie poprzez cieniowanie. Jeśli wartość jest dodatnia, przedział oznaczamy plusem, jeśli ujemny, to minusem.
Stąd,
fa "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , i fa "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)
Uwzględniamy wcześniej zaznaczony punkt x = 0 i uzyskujemy pożądaną odpowiedź. Wykres pierwotnej funkcji będzie wypukły w dół przy 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) i w górę – dla x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
Narysujmy wykres, zaznaczając część wypukłą na niebiesko, a wklęsłą na czerwono. Pionowa asymptota zaznaczone czarną przerywaną linią.
Odpowiedź: Wykres pierwotnej funkcji będzie wypukły w dół przy 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) i w górę – dla x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
Warunki przegięcia wykresu funkcji
Zacznijmy od sformułowania warunku koniecznego przegięcia wykresu pewnej funkcji.
Definicja 5
Załóżmy, że mamy funkcję y = f (x), której wykres ma punkt przegięcia. Przy x = x 0 ma ciągłą drugą pochodną, zatem zachowana zostanie równość f "" (x 0) = 0.
Rozważając ten warunek, należy szukać punktów przegięcia wśród tych, w których druga pochodna osiągnie wartość 0. Warunek ten nie będzie wystarczający: nie wszystkie takie punkty będą dla nas odpowiednie.
Należy także pamiętać, że wg ogólna definicja, będziemy potrzebować linii stycznej, pionowej lub niepionowej. W praktyce oznacza to, że aby znaleźć punkty przegięcia należy brać takie, w których druga pochodna danej funkcji zwraca się do 0. Dlatego, aby znaleźć odciętą punktów przegięcia, musimy wziąć wszystkie x 0 z dziedziny definicji funkcji, gdzie lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ i lim x → x 0 + 0 fa " (x) = ∞. Najczęściej są to punkty, w których mianownik pierwszej pochodnej staje się 0.
Pierwszy warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia na wykresie funkcji
Znaleźliśmy wszystkie wartości x 0, które można przyjąć jako odcięte punktów przegięcia. Następnie musimy zastosować pierwszy warunek wystarczający przegięcie
Definicja 6
Powiedzmy, że mamy funkcję y = f (x), która jest ciągła w punkcie M (x 0 ; f (x 0)). Ponadto ma w tym punkcie styczną, a sama funkcja ma w pobliżu tego punktu drugą pochodną x 0. W takim przypadku, jeśli po lewej i prawej stronie nabywa się drugą pochodną przeciwne znaki, to ten punkt można uznać za punkt przegięcia.
Widzimy, że warunek ten nie wymaga koniecznie istnienia drugiej pochodnej w tym punkcie; wystarczy jej obecność w pobliżu punktu x 0.
Wygodnie jest przedstawić wszystko, co powiedziano powyżej, w formie sekwencji działań.
- Najpierw musisz znaleźć wszystkie odcięte x 0 możliwych punktów przegięcia, gdzie f „” (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f „ (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f ” (x) = ∞ .
- Przekonajmy się, w jakich punktach pochodna zmieni znak. Wartości te są odciętymi punktów przegięcia, a odpowiadające im punkty M (x 0 ; f (x 0)) są samymi punktami przegięcia.
Dla jasności przeanalizujemy dwa problemy.
Przykład 3
Stan : schorzenie: biorąc pod uwagę funkcję y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Określ, gdzie na wykresie tej funkcji będą znajdować się punkty przegięcia i punkty wypukłości.
Rozwiązanie
Podana funkcja jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Obliczamy pierwszą pochodną:
y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2
Znajdźmy teraz dziedzinę definicji pierwszej pochodnej. Jest to także zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Oznacza to, że równości lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ i lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ nie mogą być spełnione dla żadnej wartości x 0 .
Obliczamy drugą pochodną:
y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6
y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3
Znaleziono odciętą dwóch możliwych punktów przegięcia - 2 i 3. Pozostaje nam tylko sprawdzić, w którym momencie pochodna zmienia swój znak. Narysujmy oś liczbową i narysujmy na niej te punkty, po czym na otrzymanych przedziałach umieścimy znaki drugiej pochodnej.
Łuki pokazują kierunek wypukłości wykresu w każdym przedziale.
Druga pochodna zmienia znak na przeciwny (z plusa na minus) w punkcie z odciętą 3, przechodząc przez nią od lewej do prawej, i robi to również (od minus na plus) w punkcie z odciętą 3. Oznacza to, że możemy stwierdzić, że x = - 2 i x = 3 są odciętymi punktów przegięcia wykresu funkcji. Będą one odpowiadać punktom wykresu - 2; - 4 3 i 3; - 15 8 .
Przyjrzyjmy się jeszcze raz obrazowi osi liczb i wynikowym znakom w odstępach, aby wyciągnąć wnioski dotyczące miejsc wklęsłości i wypukłości. Okazuje się, że wypukłość będzie zlokalizowana na segmencie - 2; 3 oraz wklęsłość na segmentach (- ∞; - 2 ] i [ 3; + ∞).
Rozwiązanie problemu wyraźnie przedstawiono na wykresie: Kolor niebieski– wypukłość, czerwony – wklęsłość, kolor czarny oznacza punkty przegięcia.
Odpowiedź: wypukłość będzie zlokalizowana na segmencie - 2; 3 oraz wklęsłość na segmentach (- ∞; - 2 ] i [ 3; + ∞).
Przykład 4
Stan : schorzenie: obliczyć odciętą wszystkich punktów przegięcia wykresu funkcji y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .
Rozwiązanie
Dziedziną definicji danej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Obliczamy pochodną:
y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5
W przeciwieństwie do funkcji, jej pierwsza pochodna nie będzie określona przy wartości x równej 3, ale:
lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞
Oznacza to, że przez ten punkt przejdzie pionowa styczna do wykresu. Dlatego 3 może być odciętą punktu przegięcia.
Obliczamy drugą pochodną. Znajdujemy również dziedzinę jego definicji i punkty, w których zwraca się do 0:
y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675
Mamy teraz dwa kolejne możliwe punkty przegięcia. Narysujmy je wszystkie na osi liczbowej i zaznaczmy powstałe przedziały znakami:
Znak będzie się zmieniał przy przejściu przez każdy wskazany punkt, co oznacza, że wszystkie są punktami przegięcia.
Odpowiedź: Narysujmy wykres funkcji, zaznaczając wklęsłości na czerwono, wypukłości na niebiesko i punkty przegięcia na czarno:
Znając pierwszy warunek wystarczający przegięcia, możemy wyznaczyć niezbędne punkty, w których obecność drugiej pochodnej nie jest konieczna. Na tej podstawie pierwszy warunek można uznać za najbardziej uniwersalny i odpowiedni do rozwiązania różne rodzaje zadania.
Należy zauważyć, że istnieją jeszcze dwa warunki przegięcia, ale można je zastosować tylko wtedy, gdy w określonym punkcie istnieje skończona pochodna.
Jeśli mamy f "" (x 0) = 0 i f """ (x 0) ≠ 0, to x 0 będzie odciętą punktu przegięcia wykresu y = f (x).
Przykład 5
Stan : schorzenie: podana jest funkcja y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Ustal, czy wykres funkcji będzie miał punkt przegięcia w punkcie 3; 4 5 .
Rozwiązanie
Pierwszą rzeczą do zrobienia jest upewnienie się, że ten punkt będzie ogólnie należeć do wykresu tej funkcji.
y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
Podana funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich argumentów będących liczbami rzeczywistymi. Obliczmy pierwszą i drugą pochodną:
y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)
Ustaliliśmy, że druga pochodna będzie wynosić 0, jeśli x będzie równe 0. Oznacza, warunek konieczny zostanie wykonane przegięcie dla tego punktu. Teraz korzystamy z drugiego warunku: znajdź trzecią pochodną i dowiedz się, czy w punkcie 3 zmieni się ona na 0:
y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10
Trzecia pochodna nie zniknie dla żadnej wartości x. Możemy zatem stwierdzić, że ten punkt będzie punktem przegięcia wykresu funkcji.
Odpowiedź: Pokażmy rozwiązanie na ilustracji:
Załóżmy, że f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 i f (n + 1) (x 0) ≠ 0 W tym przypadku dla nawet n otrzymujemy, że x 0 jest odciętą punktu przegięcia wykresu y = f (x).
Przykład 6
Stan : schorzenie: biorąc pod uwagę funkcję y = (x - 3) 5 + 1. Oblicz punkty przegięcia jego wykresu.
Rozwiązanie
Funkcja ta jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Obliczamy pochodną: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Ponieważ będzie to również określone dla wszystkich prawdziwe wartości argumentu, to w dowolnym punkcie jego wykresu będzie styczna niepionowa.
Obliczmy teraz, przy jakich wartościach druga pochodna osiągnie 0:
y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
Stwierdziliśmy, że przy x = 3 wykres funkcji może mieć punkt przegięcia. Aby to potwierdzić, użyjmy trzeciego warunku:
y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0
Mamy n = 4 na podstawie trzeciego warunku wystarczającego. Ten Liczba parzysta, co oznacza, że x = 3 będzie odciętą punktu przegięcia i odpowiada mu punkt wykresu funkcji (3; 1).
Odpowiedź: Oto wykres tej funkcji z zaznaczonymi wypukłościami, wklęsłościami i punktem przegięcia:
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Korzystając z kalkulatora online, możesz znaleźć punkty przegięcia i przedziały wypukłości wykresu funkcji z projektem rozwiązania w programie Word. O tym, czy funkcja dwóch zmiennych f(x1,x2) jest wypukła, decydujemy za pomocą macierzy Hessego.
Zasady wprowadzania funkcji:
Kierunek wypukłości wykresu funkcji. Punkty przegięcia
Definicja: Krzywą y=f(x) nazywamy wypukłą w dół w przedziale (a; b), jeżeli w dowolnym punkcie tego przedziału leży powyżej stycznej.Definicja: Mówi się, że krzywa y=f(x) jest wypukła w górę w przedziale (a; b), jeśli leży poniżej stycznej w dowolnym punkcie tego przedziału. 
Definicja: Przedziały, w których wykres funkcji jest wypukły w górę lub w dół, nazywane są przedziałami wypukłości wykresu funkcji.
Wypukłość w dół lub w górę krzywej będącej wykresem funkcji y=f(x) charakteryzuje się znakiem jej drugiej pochodnej: jeśli w pewnym przedziale f''(x) > 0, to krzywa jest wypukła w dół w tym przedziale; jeśli f’’(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Definicja: Punkt na wykresie funkcji y=f(x) oddzielający przedziały wypukłości przeciwne kierunki tego wykresu nazywa się punktem przegięcia. 
Punkty przegięcia mogą tylko służyć punkt krytyczny II rodzaj, tj. punkty należące do dziedziny definicji funkcji y = f(x), w których druga pochodna f’’(x) zanika lub ma nieciągłość.
Zasada znajdowania punktów przegięcia na wykresie funkcji y = f(x)
- Znajdź drugą pochodną f’’(x) .
- Znajdź punkty krytyczne drugiego rodzaju funkcji y=f(x), tj. punkt, w którym f''(x) zanika lub doświadcza nieciągłości.
- Zbadaj znak drugiej pochodnej f’’(x) w przedziale, na jaki znalezione punkty krytyczne dzielą dziedzinę definicji funkcji f(x). Jeżeli punkt krytyczny x 0 oddziela przedziały wypukłości o przeciwnych kierunkach, to x 0 jest odciętą punktu przegięcia wykresu funkcji.
- Oblicz wartości funkcji w punktach przegięcia.
Przykład 1. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia następującej krzywej: f(x) = 6x 2 –x 3.
Rozwiązanie: Znajdź f’(x) = 12x – 3x 2 , f’(x) = 12 – 6x.
Znajdźmy punkty krytyczne drugiej pochodnej, rozwiązując równanie 12-6x=0. x=2. 
f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Odpowiedź: Funkcja jest wypukła w górę dla x∈(2; +∞) ; funkcja jest wypukła w dół przy x∈(-∞; 2) ; punkt przegięcia (2;16) .
Przykład 2. Czy funkcja ma punkty przegięcia: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1
Przykład 3. Znajdź przedziały, w których wykres funkcji jest wypukły i zakrzywiony: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4
Badając funkcję i konstruując jej wykres, na jednym etapie wyznaczamy punkty przegięcia i przedziały wypukłości. Dane te, wraz z przedziałami wzrostu i spadku, umożliwiają schematyczne przedstawienie wykresu badanej funkcji.
Dalsza prezentacja zakłada, że można wykonać maksymalnie pewną kolejność i różne typy.
Zacznijmy studiować materiał od niezbędne definicje i koncepcje. Następnie wyrazimy związek między wartością drugiej pochodnej funkcji na pewnym przedziale a kierunkiem jej wypukłości. Następnie przejdziemy do warunków, które pozwalają nam wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji. Zgodnie z tekstem, który podamy typowe przykłady ze szczegółowymi rozwiązaniami.
Nawigacja strony.
Wypukłość, wklęsłość funkcji, punkt przegięcia.
Definicja.
wypukły w dół na przedziale X, jeżeli jego wykres znajduje się nie niżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie przedziału X.
Definicja.
Funkcja, która ma być różniczkowana, nazywa się wypukły w górę na przedziale X, jeśli jego wykres nie znajduje się wyżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie przedziału X.
Często nazywa się funkcję wypukłą skierowaną w górę wypukły i wypukły w dół – wklęsły.
Spójrz na rysunek ilustrujący te definicje.
Definicja.
Punkt nazywa się punkt przegięcia wykresu funkcji y=f(x) jeżeli w danym punkcie znajduje się styczna do wykresu funkcji (może być równoległa do osi Oy) i istnieje otoczenie punktu, w obrębie którego na lewo i prawo od punktu M wykres funkcji ma różne kierunki wypukłości.
Innymi słowy, punkt M nazywa się punktem przegięcia wykresu funkcji, jeśli w tym punkcie znajduje się styczna, a wykres funkcji zmienia kierunek wypukłości, przechodząc przez nią.
Jeśli to konieczne, zapoznaj się z sekcją dotyczącą przypomnienia warunków istnienia stycznej niepionowej i pionowej.
Poniższy rysunek przedstawia kilka przykładów punktów przegięcia (oznaczonych czerwonymi kropkami). Należy zauważyć, że niektóre funkcje mogą nie mieć punktów przegięcia, podczas gdy inne mogą mieć jeden, kilka lub nieskończenie wiele punktów przegięcia.
Znajdowanie przedziałów wypukłości funkcji.
Sformułujmy twierdzenie, które pozwala nam wyznaczyć przedziały wypukłości funkcji.
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja y=f(x) ma skończoną drugą pochodną na przedziale X i jeżeli nierówność zachodzi 
(), wówczas wykres funkcji ma wypukłość skierowaną w dół (w górę) przez X.
Twierdzenie to pozwala znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji; wystarczy rozwiązać nierówności i odpowiednio w dziedzinie definicji pierwotnej funkcji.
Należy zaznaczyć, że do przedziałów wklęsłości i wypukłości zaliczane będą punkty, w których funkcja y=f(x) jest zdefiniowana i nie istnieje druga pochodna.
Rozumiemy to na przykładzie.
Przykład.
Znajdź przedziały, na których znajduje się wykres funkcji 
ma wypukłość skierowaną w górę i wypukłość skierowaną w dół.
Rozwiązanie.
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Znajdźmy drugą pochodną. 
Dziedzina definicji drugiej pochodnej pokrywa się z dziedziną definicji funkcji pierwotnej, dlatego aby znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości, wystarczy rozwiązać i odpowiednio. 
Zatem funkcja jest wypukła w dół na przedziale i wypukła w górę na przedziale .
Ilustracja graficzna.
Kolorem niebieskim zaznaczono część wykresu funkcji w przedziale wypukłym, a na czerwono w przedziale wklęsłym.
Rozważmy teraz przykład, gdy dziedzina definicji drugiej pochodnej nie pokrywa się z dziedziną definicji funkcji. W tym przypadku, jak już zauważyliśmy, punkty dziedziny definicji, w których nie istnieje druga skończona pochodna, należy zaliczyć do przedziałów wypukłości i (lub) wklęsłości.
Przykład.
Znajdź przedziały wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji.
Rozwiązanie.
Zacznijmy od dziedziny funkcji:
Znajdźmy drugą pochodną: 
Dziedziną definicji drugiej pochodnej jest zbiór 
. Jak widać, x=0 należy do dziedziny funkcji pierwotnej, ale nie należy do dziedziny drugiej pochodnej. Nie zapomnij o tym punkcie; należy go uwzględnić w przedziale wypukłości i (lub) wklęsłości.
Teraz rozwiązujemy nierówności w dziedzinie definicji funkcji pierwotnej. Aplikujmy. Licznik wyrażenia 
dochodzi do zera o godz 
Lub 
, mianownik – przy x = 0 lub x = 1. Schematycznie nanosimy te punkty na oś liczbową i wyznaczamy znak wyrażenia na każdym z przedziałów wchodzących w zakres definicji pierwotnej funkcji (jest to pokazane jako zacieniony obszar na dolnej osi liczbowej). Na wartość dodatnia Stawiamy znak „plus”, jeśli ujemny – znak „minus”. 
Zatem,
I 
Zatem uwzględniając punkt x=0 otrzymujemy odpowiedź.
Na 
wykres funkcji ma wypukłość skierowaną w dół, z 
- wypukłość skierowana ku górze.
Ilustracja graficzna.
Kolorem niebieskim zaznaczono część wykresu funkcji na przedziale wypukłości, na przedziałach wklęsłości na czerwono, czarna przerywana linia jest asymptotą pionową.
Warunki konieczne i wystarczające przegięcia.
Warunek konieczny przegięcia.
Sformułujmy warunek konieczny przegięcia grafika funkcyjna.
Niech wykres funkcji y=f(x) ma przegięcie w punkcie i ciągłą drugą pochodną, wtedy zachodzi równość.
Z warunku wynika, że odciętych punktów przegięcia należy szukać wśród tych, w których zanika druga pochodna funkcji. ALE ten warunek nie jest wystarczający, to znaczy nie wszystkie wartości, w których druga pochodna jest równa zero, są odciętymi punktów przegięcia.
Należy również zauważyć, że określenie punktu przegięcia wymaga istnienia linii stycznej lub pionowej. Co to znaczy? A to oznacza, że: odciętymi punktów przegięcia może być wszystko z dziedziny definicji funkcji, dla której 
I 
. Są to zazwyczaj punkty, w których znika mianownik pierwszej pochodnej.
Pierwszy warunek wystarczający przegięcia.
Po znalezieniu wszystkiego, co może być odciętymi punktów przegięcia, powinieneś użyć pierwszy warunek wystarczający przegięcia grafika funkcyjna.
Niech funkcja y=f(x) będzie ciągła w punkcie, ma w niej styczną (prawdopodobnie pionową) i niech ta funkcja ma drugą pochodną w jakimś sąsiedztwie punktu. Następnie, jeśli w tym sąsiedztwie po lewej i prawej stronie , druga pochodna ma różne znaki, to jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
Jak widać, pierwszy warunek wystarczający nie wymaga istnienia drugiej pochodnej w samym punkcie, ale wymaga jej istnienia w sąsiedztwie punktu.
Podsumujmy teraz wszystkie informacje w formie algorytmu.
Algorytm znajdowania punktów przegięcia funkcji.
Znajdujemy wszystkie odcięte możliwych punktów przegięcia wykresu funkcji (lub I ) i dowiedz się, przechodząc, przez który znak zmienia się druga pochodna. Takie wartości będą odciętymi punktów przegięcia, a odpowiadające im punkty będą punktami przegięcia wykresu funkcji.
Dla wyjaśnienia spójrzmy na dwa przykłady znajdowania punktów przegięcia.
Przykład.
Znajdź punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji 
.
Rozwiązanie.
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Znajdźmy pierwszą pochodną: 
Dziedziną definicji pierwszej pochodnej jest także cały zbiór liczb rzeczywistych, a zatem równości I nie jest spełniony dla żadnego.
Znajdźmy drugą pochodną:
Dowiedzmy się, przy jakich wartościach argumentu x druga pochodna dąży do zera: 
Zatem odcięte możliwych punktów przegięcia wynoszą x=-2 i x=3.
Pozostaje teraz sprawdzić, korzystając z wystarczającego znaku przegięcia, w którym z tych punktów zmienia znak drugiej pochodnej. W tym celu narysuj punkty x=-2 i x=3 na osi liczbowej i jak w pkt uogólniona metoda przedziałowa, na każdym przedziale umieszczamy znaki drugiej pochodnej. Pod każdym przedziałem kierunek wypukłości wykresu funkcji pokazano schematycznie za pomocą łuków. 
Druga pochodna zmienia znak z plusa na minus, przechodząc przez punkt x=-2 od lewej do prawej, oraz zmienia znak z minus na plus, przechodząc przez x=3. Dlatego zarówno x=-2, jak i x=3 są odciętymi punktów przegięcia wykresu funkcji. Odpowiadają one punktom wykresu i .
Przyglądając się jeszcze raz osi liczbowej i znakom drugiej pochodnej na jej przedziałach, możemy wyciągnąć wnioski dotyczące przedziałów wypukłości i wklęsłości. Wykres funkcji jest wypukły na przedziale i wklęsły na przedziałach i .
Ilustracja graficzna.
Część wykresu funkcji na przedziale wypukłym zaznaczono kolorem niebieskim, na przedziale wklęsłym – kolorem czerwonym, a punkty przegięcia – czarnymi kropkami.
Przykład.
Znajdź odciętą wszystkich punktów przegięcia wykresu funkcji 
.
Rozwiązanie.
Dziedziną definicji tej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Znajdźmy pochodną. 
Pierwsza pochodna, w przeciwieństwie do funkcji pierwotnej, nie jest zdefiniowana przy x=3. Ale 
I 
. Zatem w punkcie o odciętej x=3 znajduje się pionowa styczna do wykresu funkcji pierwotnej. Zatem x=3 może być odciętą punktu przegięcia wykresu funkcji.
Znajdujemy drugą pochodną, jej dziedzinę definicji i punkty, w których zanika: 
Otrzymaliśmy jeszcze dwie możliwe odcięte punktów przegięcia. Zaznaczamy wszystkie trzy punkty na osi liczbowej i wyznaczamy znak drugiej pochodnej na każdym z otrzymanych przedziałów. 
Druga pochodna zmienia znak przy przejściu przez każdy z punktów, zatem wszystkie są odciętymi punktów przegięcia.