Moment siły względem osi koła. Chwila mocy

Rozwiązując problemy poruszających się obiektów, w wielu przypadkach zaniedbuje się ich wymiary przestrzenne, wprowadzając koncepcję punkt materialny. W przypadku innego rodzaju problemu, w którym rozważane są ciała w spoczynku lub wirujące, ważna jest znajomość ich parametrów i punktów zastosowania siły zewnętrzne. W tym przypadku mówimy o o momencie sił względem osi obrotu. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu w artykule.

Pojęcie momentu siły

Zanim sprowadzimy go względem ustalonej osi obrotu, należy wyjaśnić, jakie zjawisko porozmawiamy. Poniżej rysunek przedstawiający klucz o długości d, na jego koniec przykładana jest siła F. Łatwo sobie wyobrazić, że skutkiem jej działania będzie obrócenie klucza w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i odkręcenie nakrętki.

Zgodnie z definicją moment siły wokół osi obrotu jest iloczynem ramienia (d in w tym przypadku) siłą (F), czyli możemy zapisać następujące wyrażenie: M = d*F. Należy od razu zauważyć, że powyższy wzór jest zapisany w postaci skalarnej, czyli pozwala na obliczenia całkowita wartość moment M. Jak widać ze wzoru, jednostką miary rozważanej wartości jest niuton na metr (N*m).

- wielkość wektorowa

Jak wspomniano powyżej, moment M jest w rzeczywistości wektorem. Aby wyjaśnić to stwierdzenie, rozważmy inną liczbę.

Widzimy tutaj dźwignię o długości L, która jest przymocowana do osi (pokazanej strzałką). Na jego koniec działa siła F pod kątem Φ. Nietrudno sobie wyobrazić, że siła ta spowoduje podniesienie dźwigni. Wzór na moment w forma wektorowa w tym przypadku będzie to zapisane w następujący sposób: M¯ = L¯*F¯, tutaj kreska nad symbolem oznacza, że dana wielkość jest wektorem. Należy wyjaśnić, że L¯ jest skierowany od do punktu przyłożenia siły F¯.

Podane wyrażenie jest iloczynem krzyżowym. Powstały wektor (M¯) będzie skierowany prostopadle do płaszczyzny utworzonej przez L¯ i F¯. Aby określić kierunek momentu M¯, istnieje kilka zasad ( prawa ręka, świder). Aby ich nie zapamiętać i nie pomylić kolejności mnożenia wektorów L¯ i F¯ (od tego zależy kierunek M¯), powinieneś zapamiętać jedno prosta rzecz: moment siły zostanie skierowany w taki sposób, że patrząc od końca jego wektora, działająca siła F¯ obróci dźwignię w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ten kierunek chwili jest tradycyjnie uznawany za pozytywny. Jeśli układ obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wówczas powstały moment siły ma wartość ujemną.

Zatem w rozpatrywanym przypadku z dźwignią L wartość M¯ jest skierowana w górę (od figury do czytelnika).

W formie skalarnej wzór na chwilę zostanie zapisany jako: M = L*F*sin(180-Φ) lub M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)) . Zgodnie z definicją sinusa możemy zapisać równość: M = d*F, gdzie d = L*sin(Φ) (patrz rysunek i odpowiadające mu trójkąt prostokątny). Ostatni wzór jest podobny do podanego w poprzednim akapicie.

Powyższe obliczenia pokazują, jak pracować z wektorami i wielkości skalarne chwile siły, aby zapobiec błędom.

Fizyczne znaczenie wielkości M¯

Ponieważ dwa omówione w poprzednie akapity sprawy dot ruch obrotowy, to możesz odgadnąć, jakie jest znaczenie momentu siły. Jeśli siła działająca na punkt materialny jest miarą wzrostu prędkości ruch liniowy w tym drugim przypadku moment siły jest miarą jego zdolności obrotowej względem rozpatrywanego układu.

Dajmy jasny przykład. Każda osoba otwiera drzwi trzymając za klamkę. Można to również zrobić poprzez naciśnięcie drzwi w obszarze klamki. Dlaczego nikt go nie otworzy, wpychając go w okolicę zawiasów? To bardzo proste: im bliżej zawiasów zostanie przyłożona siła, tym trudniej otworzyć drzwi i odwrotnie. Konkluzja poprzedniego zdania wynika ze wzoru na chwilę (M = d*F), z którego wynika, że przy M = const wartości d i F są w odwrotna relacja.

Moment siły – wielkość addytywna

We wszystkich omówionych powyżej przypadkach istniała tylko jedna siła czynna. Decydując prawdziwe problemy sytuacja jest znacznie bardziej skomplikowana. Zazwyczaj układy, które obracają się lub są w równowadze, podlegają działaniu kilku sił skręcających, z których każda wytwarza swój własny moment. W tym przypadku rozwiązywanie problemów sprowadza się do znalezienia całkowitego momentu sił względem osi obrotu.

Moment całkowity oblicza się poprzez zwykłą sumę poszczególnych momentów dla każdej siły, należy jednak pamiętać o zastosowaniu prawidłowego znaku dla każdej z nich.

Przykład rozwiązania problemu

W celu utrwalenia zdobytej wiedzy proponuje się rozwiązanie następującego problemu: należy obliczyć całkowity moment siły dla układu pokazanego na poniższym rysunku.

Widzimy, że na dźwignię o długości 7 m działają trzy siły (F1, F2, F3) i tak się stało różne punkty zastosowań względem osi obrotu. Ponieważ kierunek sił jest prostopadły do dźwigni, nie ma potrzeby stosowania wyrażenie wektorowe na moment skręcający. Moment całkowity M można obliczyć korzystając ze wzoru skalarnego, nie zapominając o wzorze żądany znak. Ponieważ siły F1 i F3 mają tendencję do obracania dźwigni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a F2 - zgodnie z ruchem wskazówek zegara, moment obrotowy dla pierwszego będzie dodatni, a dla drugiego - ujemny. Mamy: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 N*m. Oznacza to, że moment całkowity jest dodatni i skierowany w górę (w stronę czytelnika).

Chwila mocy (synonimy: moment obrotowy, moment obrotowy, moment obrotowy, moment obrotowy) - wektorowa wielkość fizyczna równa iloczynowi wektora promienia poprowadzonego od osi obrotu do punktu przyłożenia siły przez wektor tej siły. Charakteryzuje obrotowe działanie siły na ciało stałe.

Pojęcia momentów „obrotowych” i „momentów obrotowych”. przypadek ogólny nie są identyczne, ponieważ w technologii pojęcie momentu „obrotowego” traktuje się jako siłę zewnętrzną przyłożoną do obiektu, a „moment obrotowy” siła wewnętrzna, powstające w obiekcie pod wpływem przyłożonych obciążeń (pojęcie to stosowane jest w wytrzymałości materiałów).

Encyklopedyczny YouTube

1 / 5

7. klasa - 39. Moment siły. Zasada momentów

Moment ciężkości. Hantle i ręka

Siła i masa

Chwila mocy. Dźwignie w przyrodzie, technologii, życiu codziennym | Fizyka 7. klasa #44 | Lekcja informacyjna

Zależność przyspieszenia kątowego od momentu obrotowego 1

Napisy na filmie obcojęzycznym

Informacje ogólne

Specjalne przypadki

Wzór momentu obrotowego dźwigni

Bardzo interesujące szczególny przypadek, reprezentowany jako definicja momentu siły w polu:

Problem z tym przedstawieniem polega na tym, że nie podaje on kierunku momentu siły, a jedynie jego wielkość. Jeśli siła jest prostopadła do wektora r → (\ Displaystyle (\ vec (r))), będzie moment dźwigni równa odległości do środka, a moment siły będzie maksymalny:

| T → | = | r → | | F → | (\ Displaystyle \ lewo | (\ vec (T)) \ prawo | = \ lewo | (\ vec (r)) \ prawo | \ lewo | (\ vec (F)) \ prawo |)

Siła pod kątem

Jeśli siła fa → (\ displaystyle (\ vec (F))) skierowany pod kątem θ (\ displaystyle \ teta) następnie podważyć r M = r fa grzech ⁡ θ (\ displaystyle M = rF \ sin \ teta).

Równowaga statyczna

Aby obiekt był w równowadze, nie tylko suma wszystkich sił musi wynosić zero, ale także suma wszystkich momentów sił wokół dowolnego punktu. Dla przypadku dwuwymiarowego z siłami poziomymi i pionowymi: suma sił w dwóch wymiarach ΣH=0, ΣV=0 i moment siły w trzecim wymiarze ΣM=0.

Moment siły w funkcji czasu

M → = re L → re t (\ Displaystyle (\ vec (M)) = (\ Frac (d (\ vec (L))) (dt)}),

Gdzie L → (\ Displaystyle (\ vec (L)))- moment impulsu.

Weźmy ciało stałe. Ruch solidny można przedstawić jako ruch określonego punktu i obrót wokół niego.

Moment pędu względem punktu O ciała sztywnego można opisać poprzez iloczyn momentu bezwładności i prędkości kątowej względem środka masy oraz ruch liniowyśrodek masy

L o → = ja do ω → + [ M (r o → - r do →) , v do → ] (\ Displaystyle (\ vec (L_ (o))) = I_ (c) \, (\ vec (\ omega)) +)

Rozważymy ruchy obrotowe w układzie współrzędnych Koeniga, ponieważ znacznie trudniej jest opisać ruch ciała sztywnego w światowym układzie współrzędnych.

Zróżniczkujmy to wyrażenie ze względu na czas. I jeśli Ja (\ displaystyle I) - stały zatem na czas

M → = ja re ω → re t = ja α → (\ Displaystyle (\ vec (M)) = ja (\ frac (d (\ vec (\ omega))) (dt)) = ja (\ vec (\ alfa ))),

Gdzie α → (\ Displaystyle (\ vec (\ alfa)})- przyspieszenie kątowe, mierzone w radianach na sekundę na sekundę (rad/s 2). Przykład: jednorodny dysk obraca się.

Jeżeli tensor bezwładności zmienia się w czasie, wówczas ruch względem środka masy opisuje się równaniem dynamicznym Eulera:

M do → = ja do re ω → re t + [ w → , ja do w → ] (\ Displaystyle (\ vec (M_ (c))) = I_ (c) (\ Frac (d (\ vec (\ omega))) (dt))+[(\vec (w)),I_(c)(\vec (w))]).

Moment siły względem osi lub po prostu moment siły to rzut siły na linię prostą, prostopadłą do promienia i narysowaną w miejscu przyłożenia siły, pomnożony przez odległość od ten punkt do osi. Lub iloczyn siły i ramienia jej zastosowania. Ramię w tym przypadku jest odległością od osi do punktu przyłożenia siły. Moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły na ciało. Oś w tym przypadku jest punktem mocowania korpusu, wokół którego może się on obracać. Jeśli ciało nie jest nieruchome, wówczas oś obrotu można uznać za środek masy.

Formuła 1 - Moment siły.

F - Siła działająca na ciało.

r - Dźwignia siły.

Rysunek 1 - Moment siły.

Jak widać na rysunku, ramię siły to odległość od osi do punktu przyłożenia siły. Ale dzieje się tak, jeśli kąt między nimi wynosi 90 stopni. Jeśli tak nie jest, należy narysować linię wzdłuż działania siły i opuścić na nią prostopadłą od osi. Długość tej prostopadłej będzie równa ramieniu siły. Jednak przesunięcie punktu przyłożenia siły wzdłuż kierunku siły nie zmienia jej momentu.

Powszechnie przyjmuje się, że moment siły powodujący obrót ciała względem punktu obserwacyjnego w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara uważa się za dodatni. I odpowiednio ujemne, powodując obrót przeciwko niemu. Moment siły mierzony jest w niutonach na metr. Jeden niutonometr to siła 1 niutona działająca na ramię o długości 1 metra.

Jeżeli siła działająca na ciało przechodzi wzdłuż linii przechodzącej przez oś obrotu ciała lub przez środek masy, jeżeli ciało nie posiada osi obrotu. Wtedy będzie moment siły w tym przypadku równy zeru. Ponieważ ta siła nie spowoduje obrotu ciała, ale po prostu przesunie je translalnie wzdłuż linii przyłożenia.

Rysunek 2 - Moment siły wynosi zero.

Jeżeli na ciało działa kilka sił, to moment siły będzie określony przez ich wypadkową. Na przykład na ciało mogą oddziaływać dwie siły o jednakowej wielkości i przeciwnych kierunkach. W tym przypadku całkowity moment siły będzie równy zeru. Ponieważ siły te będą się wzajemnie kompensować. Mówiąc najprościej, wyobraź sobie karuzelę dla dzieci. Jeśli jeden chłopiec popchnie ją zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugi z taką samą siłą, karuzela pozostanie nieruchoma.

Wykład 3. Prawo zachowania momentu pędu.

Chwila mocy. Pęd punktu materialnego i układ mechaniczny. Równanie momentów układu mechanicznego. Prawo zachowania momentu pędu układu mechanicznego.

Informacje matematyczne.

Grafika wektorowa dwa (niezerowe) wektory i nazywa się wektorem, który in Układ kartezjański współrzędne (z wektorami jednostkowymi , , ) określa wzór

Wartość (obszar prostokąta na wektorach i ).

Nieruchomości produkt wektorowy.

1) Wektor jest skierowany prostopadle do płaszczyzny wektorów i. Dlatego dla dowolnego wektora leżącego w płaszczyźnie (liniowo niezależnych) wektorów i (tj.) otrzymujemy . Dlatego jeśli dwa niezerowe wektory i równoległy, To .

2) Pochodna iloczynu wektorowego po czasie jest wektorem .

Rzeczywiście, (wektory bazowe , , są stałe)

Wektor pędu

Wektor chwili pęd względem punktu O nazywany jest wektorem

gdzie jest wektorem promienia punktu O, jest wektorem pędu punktu. Wektor jest skierowany prostopadle do płaszczyzny wektorów i . Czasami nazywany jest punkt O Polak. Znajdźmy pochodną wektora pędu po czasie

Pierwszy wyraz po prawej stronie: . Od w układ inercyjny odniesienie zgodnie z drugim prawem Newtona (w postać pulsacyjna), to drugi wyraz ma postać .

Ogrom zwany wektorem moment siły względem punktu O.

Wreszcie dostajemy :

pochodna wektora pędu względem punktu jest równa momentowi siły aktywne w stosunku do tego punktu.

Własności wektora momentu siły.

3) Moment sumy sił równa sumie momenty każdej siły .

4) Suma momentów sił względem punktu

przy przejściu do innego punktu O 1, w którym zmieni się zgodnie z regułą

Dlatego moment siły nie ulegnie zmianie, jeśli .

5) Niech , gdzie , to .

Dlatego jeśli dwa ten sam siła leży na jednej linii prostej, a potem ich chwile ten sam. Ta linia nazywa się linię działania siły. Długość wektora nazywana jest ramieniem siły względem zwrotnica O.

Moment siły względem osi.

Jak wynika z definicji momentu siły, współrzędne wektorowych momentów siły względem osie współrzędnych są określone przez wzory

, , .

Rozważmy metodę znajdowania momentu siły względem Niektóre oś z Aby to zrobić, musimy rozważyć wektor momentu siły względem pewnego punktu O na tej osi i znajdź rzut wektora momentu siły na tę oś.

1) Rzut wektora momentu siły na oś z nie zależy od wyboru punktu O.

Weźmy dwa różne punkty O 1 i O 2 na osi z i znajdź momenty siły F względem tych punktów.

Różnica wektorowa jest skierowany prostopadle do wektora leżącego na osi z. Zatem jeśli weźmiemy pod uwagę wektor jednostkowy osi z – wektor, to rzuty na oś z są sobie równe

Dlatego moment siły względem osi z jest określany jednoznacznie.

Konsekwencja. Jeżeli moment siły względem pewnego punktu na osi jest równy zeru, to moment siły względem tej osi jest równy zeru.

2) Jeżeli wektor siły jest równoległy do osi z, to moment siły względem osi wynosi zero.

Rzeczywiście wektor momentu siły względem dowolnego punktu na osi musi być prostopadły do wektora siły, a zatem jest również prostopadły do osi równoległej do tego wektora. Zatem rzut wektora momentu siły na tę oś będzie równy zeru. Dlatego też, jeśli rozkład wektora siły na składowe równolegle do osi i komponent, prostopadle do osi, To

3) Jeżeli wektor siły i oś nie są równoległe, ale leżą w tej samej płaszczyźnie, to moment siły względem osi wynosi zero. Rzeczywiście w tym przypadku wektor momentu siły względem dowolnego punktu na osi jest skierowany prostopadle do tej płaszczyzny (ponieważ wektor również leży w tej płaszczyźnie). Można to powiedzieć inaczej. Jeśli weźmiemy pod uwagę punkt przecięcia linii działania siły i prostej z, to moment siły względem tego punktu jest równy zero, zatem moment siły względem osi jest równy zero.

Aby więc znaleźć moment siły względem osi Z, należy:

1) znajdź rzut siły na każdy płaszczyznę p prostopadłą do tej osi i wskazać punkt O – punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią z;

Powiązana informacja.

Zasada dźwigni istnieje od prawie dwóch tysięcy lat, odkryte przez Archimedesa już w III wieku p.n.e., aż do XVII wieku od lekka ręka francuski naukowiec Varignon nie otrzymał bardziej ogólnej formy.

Zasada momentu obrotowego

Wprowadzono pojęcie momentu obrotowego. Moment siły jest wielkość fizyczna, równy produktowi siła na jej ramieniu:

gdzie M jest momentem siły,
F - siła,
l - dźwignia siły.

Bezpośrednio z reguły równowagi dźwigni Zasada dotycząca momentów sił jest następująca:

F1 / F2 = l2 / l1 lub, zgodnie z właściwością proporcji, F1 * l1= F2 * l2, czyli M1 = M2

W wyrażeniu werbalnym brzmi zasada momentów sił w następujący sposób: dźwignia znajduje się w równowadze pod działaniem dwóch sił, jeżeli moment siły obracającej ją w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest równy równy chwili siłowo obracając go w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Zasada momentów siły obowiązuje dla dowolnego ciała zamocowanego wokół ustalonej osi. W praktyce moment siły wyznacza się następująco: w kierunku działania siły rysuje się linię działania siły. Następnie z punktu, w którym znajduje się oś obrotu, rysuje się prostopadłą do linii działania siły. Długość tej prostopadłej będzie równa ramieniu siły. Mnożąc wartość modułu siły przez jej ramię, otrzymujemy wartość momentu siły względem osi obrotu. Oznacza to, że moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły. Efekt siły zależy zarówno od samej siły, jak i od jej dźwigni.

Zastosowanie reguły momentów sił w różnych sytuacjach

Oznacza to zastosowanie reguły momentów sił w różne sytuacje. Przykładowo, jeśli otworzymy drzwi, to odepchniemy je w okolicy klamki, czyli od zawiasów. Można to zrobić elementarne doświadczenie i upewnij się, że pchanie drzwi jest łatwiejsze, im dalej przyłożymy siłę od osi obrotu. Praktyczny eksperyment w tym przypadku bezpośrednio potwierdza wzór. Ponieważ, aby momenty sił na różnych ramionach były równe, konieczne jest, aby większe ramię odpowiadało mniejszej sile i odwrotnie, mniejsze ramię odpowiadało większemu. Im bliżej osi obrotu przyłożymy siłę, tym większa powinna być. Im dalej od osi operujemy dźwignią, obracając korpus, tym mniejszą siłę będziemy musieli przyłożyć. Wartości numeryczne można łatwo znaleźć ze wzoru na regułę momentu.

Dokładnie opiera się na zasadzie momentów siły, że jeśli chcemy podnieść coś ciężkiego, bierzemy łom lub długi kij i wsuwając jeden koniec pod ciężar, przyciągamy łom do drugiego końca. Z tego samego powodu wkręcamy śruby śrubokrętem z długą rączką, a nakrętki dokręcamy długim kluczem.