Zasada dźwigni, odkryta przez Archimedesa w III wieku p.n.e., istniała przez prawie dwa tysiące lat, aż w XVII wieku, za sprawą lekkiej ręki francuskiego naukowca Varignona, otrzymała bardziej ogólną formę.
Zasada momentu obrotowego
Wprowadzono pojęcie momentu obrotowego. Moment siły jest wielkością fizyczną równą iloczynowi siły i jej ramienia:
gdzie M jest momentem siły,
F - siła,
l - dźwignia siły.
Bezpośrednio z reguły równowagi dźwigni Zasada dotycząca momentów sił jest następująca:
F1 / F2 = l2 / l1 lub, zgodnie z właściwością proporcji, F1 * l1= F2 * l2, czyli M1 = M2
W wyrażeniu słownym zasada momentów sił jest następująca: dźwignia znajduje się w równowadze pod działaniem dwóch sił, jeśli moment siły obracającej ją w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest równy momentowi siły obracającej ją w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Zasada momentów siły obowiązuje dla dowolnego ciała zamocowanego wokół ustalonej osi. W praktyce moment siły wyznacza się następująco: w kierunku działania siły rysuje się linię działania siły. Następnie z punktu, w którym znajduje się oś obrotu, rysuje się prostopadłą do linii działania siły. Długość tej prostopadłej będzie równa ramieniu siły. Mnożąc wartość modułu siły przez jej ramię, otrzymujemy wartość momentu siły względem osi obrotu. Oznacza to, że moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły. Efekt siły zależy zarówno od samej siły, jak i od jej dźwigni.
Zastosowanie zasady momentów sił w różnych sytuacjach
Oznacza to zastosowanie reguły momentów sił w różnych sytuacjach. Przykładowo, jeśli otworzymy drzwi, to odepchniemy je w okolicy klamki, czyli od zawiasów. Można wykonać podstawowy eksperyment i upewnić się, że pchanie drzwi będzie łatwiejsze, im dalej przyłożymy siłę od osi obrotu. Praktyczny eksperyment w tym przypadku bezpośrednio potwierdza wzór. Ponieważ, aby momenty sił na różnych ramionach były równe, konieczne jest, aby większe ramię odpowiadało mniejszej sile i odwrotnie, mniejsze ramię odpowiadało większemu. Im bliżej osi obrotu przyłożymy siłę, tym większa powinna być. Im dalej od osi operujemy dźwignią, obracając korpus, tym mniejszą siłę będziemy musieli przyłożyć. Wartości liczbowe można łatwo znaleźć ze wzoru na regułę chwili.
Dokładnie opiera się na zasadzie momentów siły, że jeśli chcemy podnieść coś ciężkiego, bierzemy łom lub długi kij i wsuwając jeden koniec pod ciężar, przyciągamy łom w stronę drugiego końca. Z tego samego powodu wkręcamy śruby śrubokrętem z długą rączką, a nakrętki dokręcamy długim kluczem.
Obrót jest typowym rodzajem ruchu mechanicznego, często spotykanym w przyrodzie i technologii. Każdy obrót następuje w wyniku działania jakiejś siły zewnętrznej na rozważany układ. Siła ta tworzy tzw. Czym jest, od czego zależy, omówiono w artykule.
Proces rotacji
Zanim rozważymy koncepcję momentu obrotowego, scharakteryzujmy układy, do których można zastosować tę koncepcję. System rotacyjny zakłada obecność osi, wokół której wykonywany jest ruch kołowy lub obrót. Odległość tej osi od punktów materialnych układu nazywa się promieniem obrotu.
Z punktu widzenia kinematyki proces charakteryzuje się trzema wielkościami kątowymi:
- kąt obrotu θ (mierzony w radianach);
- prędkość kątowa ω (mierzona w radianach na sekundę);
- przyspieszenie kątowe α (mierzone w radianach na sekundę kwadratową).
Wielkości te powiązane są ze sobą następującymi równościami:
Przykładami rotacji w przyrodzie są ruchy planet na ich orbitach i wokół ich osi oraz ruchy tornad. W życiu codziennym i technologii omawiany ruch jest typowy dla silników silników, kluczy, dźwigów budowlanych, otwieranych drzwi i tak dalej.
Wyznaczanie momentu siły
Przejdźmy teraz do bezpośredniego tematu artykułu. Zgodnie z definicją fizyczną jest to iloczyn wektorowy wektora przyłożenia siły względem osi obrotu i wektora samej siły. Odpowiednie wyrażenie matematyczne można zapisać w następujący sposób:
Tutaj wektor r¯ jest skierowany od osi obrotu do punktu przyłożenia siły F¯.
We wzorze na moment M¯ siłę F¯ można skierować w dowolny sposób względem kierunku osi. Jednakże składowa siły równoległa do osi nie spowoduje obrotu, jeśli oś jest sztywno zamocowana. W większości problemów fizyki należy uwzględnić siły F¯, które leżą w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu. W takich przypadkach wartość bezwzględną momentu obrotowego można wyznaczyć za pomocą następującego wzoru:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Gdzie β jest kątem pomiędzy wektorami r¯ i F¯.
Co to jest dźwignia?
Dźwignia siły odgrywa ważną rolę w określaniu wielkości momentu siły. Aby zrozumieć, o czym mówimy, spójrz na poniższy rysunek.
Pokazano tutaj pręt o długości L, który jest umocowany w punkcie obrotu jednym ze swoich końców. Na drugi koniec działa siła F skierowana pod kątem ostrym φ. Zgodnie z definicją momentu siły możemy napisać:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Kąt (180 o -φ) pojawił się, ponieważ wektor L¯ jest skierowany od końca nieruchomego do końca swobodnego. Biorąc pod uwagę okresowość funkcji trygonometrycznej sinus, możemy tę równość przepisać w następujący sposób:
Skupmy się teraz na trójkącie prostokątnym zbudowanym na bokach L, d i F. Z definicji funkcji sinus iloczyn przeciwprostokątnej L i sinusa kąta φ daje wartość nogi d. Następnie dochodzimy do równości:
Wielkość liniowa d nazywana jest dźwignią siły. Jest ona równa odległości wektora siły F¯ od osi obrotu. Jak widać ze wzoru, koncepcja dźwigni siły jest wygodna w użyciu przy obliczaniu momentu M. Otrzymany wzór mówi, że maksymalny moment obrotowy dla określonej siły F wystąpi tylko wtedy, gdy długość wektora promienia r¯ ( L¯ na powyższym rysunku) jest równa dźwigni siły, czyli r¯ i F¯ będą wzajemnie prostopadłe.
Kierunek działania wielkości M¯
Powyżej pokazano, że moment obrotowy jest wektorem charakterystycznym dla danego układu. Gdzie jest skierowany ten wektor? Odpowiedź na to pytanie nie jest szczególnie trudna, jeśli pamiętamy, że wynikiem iloczynu dwóch wektorów jest trzeci wektor, który leży na osi prostopadłej do płaszczyzny położenia wektorów pierwotnych.
Pozostaje rozstrzygnąć, czy moment siły będzie skierowany w górę, czy w dół (w stronę czytnika czy od niego) względem wspomnianej płaszczyzny. Można to określić za pomocą reguły świdra lub reguły prawej dłoni. Oto oba zasady:
- Reguła prawej ręki. Jeżeli prawą rękę ułożymy tak, aby jej cztery palce przesuwały się od początku wektora r¯ do jego końca, a następnie od początku wektora F¯ do jego końca, wówczas wystający kciuk będzie wskazywał kierunek chwili M¯.
- Zasada świdra. Jeżeli kierunek obrotu wyimaginowanego świdra pokrywa się z kierunkiem ruchu obrotowego układu, wówczas ruch translacyjny świdra będzie wskazywał kierunek wektora M¯. Pamiętaj, że obraca się tylko zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Obie zasady są sobie równe, więc każdy może skorzystać z tej, która jest dla niego wygodniejsza.
Przy rozwiązywaniu problemów praktycznych uwzględnia się różne kierunki momentu obrotowego (góra - dół, lewo - prawo) za pomocą znaków „+” lub „-”. Należy pamiętać, że za dodatni kierunek momentu M¯ uważa się taki, który prowadzi do obrotu układu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Odpowiednio, jeśli pewna siła powoduje obrót układu w kierunku zegara, wówczas moment, w którym zostanie utworzony, będzie miał wartość ujemną.
Fizyczne znaczenie wielkości M¯
W fizyce i mechanice obrotu wartość M¯ określa zdolność siły lub sumy sił do wykonania obrotu. Ponieważ matematyczna definicja wartości M¯ obejmuje nie tylko siłę, ale także wektor promienia jej przyłożenia, to właśnie ten ostatni w dużej mierze determinuje odnotowaną zdolność obrotową. Aby było jaśniejsze o jakim rodzaju zdolności mówimy, oto kilka przykładów:
- Każdy człowiek przynajmniej raz w życiu próbował otworzyć drzwi nie chwytając za klamkę, ale dociskając je blisko zawiasów. W tym drugim przypadku trzeba włożyć znaczny wysiłek, aby osiągnąć pożądany rezultat.
- Aby odkręcić nakrętkę od śruby, użyj specjalnych kluczy. Im dłuższy klucz, tym łatwiej odkręcić nakrętkę.
- Aby poczuć znaczenie dźwigni siły, zapraszamy czytelników do wykonania następującego eksperymentu: weź krzesło i spróbuj utrzymać je w zawieszeniu jedną ręką, w jednym przypadku oprzyj rękę o ciało, w drugim - wykonaj zadanie z proste ramię. To ostatnie dla wielu będzie zadaniem niemożliwym do wykonania, choć waga krzesła pozostaje taka sama.
Jednostki momentu obrotowego
Warto powiedzieć także kilka słów o jednostkach SI, w których mierzony jest moment obrotowy. Zgodnie z zapisanym dla niego wzorem mierzy się go w niutonach na metr (N*m). Jednakże jednostki te mierzą również pracę i energię w fizyce (1 N*m = 1 dżul). Dżul dla chwili M¯ nie ma zastosowania, ponieważ praca jest wielkością skalarną, zaś M¯ jest wektorem.
Jednak zbieżność jednostek momentu siły z jednostkami energii nie jest przypadkowa. Pracę wykonaną w celu obrotu układu, wykonaną w momencie M, oblicza się ze wzoru:
Z tego wynika, że M można również wyrazić w dżulach na radian (J/rad).
Dynamika obrotu
Na początku artykułu spisaliśmy charakterystyki kinematyczne, które służą do opisu ruchu obrotowego. W dynamice obrotowej główne równanie wykorzystujące te cechy jest następujące:
Działanie momentu M na układ posiadający moment bezwładności I prowadzi do pojawienia się przyspieszenia kątowego α.
Wzór ten służy do wyznaczania częstotliwości kątowych obrotu w technologii. Przykładowo, znając moment obrotowy silnika asynchronicznego, który zależy od częstotliwości prądu w uzwojeniu stojana i wielkości zmiennego pola magnetycznego, a także znając właściwości bezwładności obracającego się wirnika, można wyznaczyć do jakiej prędkości obrotowej ω rozkręca się wirnik silnika w znanym czasie t.
Przykład rozwiązania problemu
Nieważka dźwignia o długości 2 metrów posiada podporę pośrodku. Jaki ciężar należy umieścić na jednym końcu dźwigni, aby znalazła się w stanie równowagi, jeżeli po drugiej stronie podpory w odległości 0,5 metra leży ciężar o masie 10 kg?
Oczywiście, co się stanie, jeśli momenty siły wytwarzane przez obciążenia będą równe pod względem wielkości. Siłą tworzącą moment w tym zadaniu jest ciężar ciała. Dźwignie siły są równe odległościom ładunków od podpory. Zapiszmy odpowiednią równość:
m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>
P. 2 = m 2 *g = m 1 *g*d 1 /d 2 .
Masę P 2 otrzymamy, jeśli podstawimy z warunków problemowych wartości m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m. Zapisana równość daje odpowiedź: P 2 = 49,05 niutona.
W fizyce problemy z obracającymi się ciałami lub układami, które są w równowadze, są rozpatrywane przy użyciu koncepcji „momentu siły”. W tym artykule przyjrzymy się wzorowi momentu obrotowego i sposobom jego wykorzystania do rozwiązania tego typu problemu.
w fizyce
Jak zauważono we wstępie, w tym artykule omówione zostaną systemy, które mogą obracać się wokół osi lub wokół punktu. Rozważmy przykład takiego modelu pokazany na poniższym rysunku.
Widzimy, że szara dźwignia jest przymocowana do osi obrotu. Na końcu dźwigni znajduje się czarny sześcian o pewnej masie, na który działa siła (czerwona strzałka). Intuicyjnie jest jasne, że skutkiem działania tej siły będzie obrót dźwigni wokół własnej osi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Moment siły to wielkość w fizyce równa iloczynowi wektorowemu promienia łączącego oś obrotu i punkt przyłożenia siły (zielony wektor na rysunku) oraz samej siły zewnętrznej. Oznacza to, że siła względem osi jest zapisywana w następujący sposób:
Wynikiem tego iloczynu będzie wektor M¯. Jego kierunek wyznacza się na podstawie znajomości wektorów mnożników, czyli r¯ i F¯. Zgodnie z definicją iloczynu poprzecznego M¯ musi być prostopadła do płaszczyzny utworzonej przez wektory r¯ i F¯ i skierowana zgodnie z regułą prawej ręki (jeśli cztery palce prawej ręki ułożymy wzdłuż pierwszego wektora pomnożonego pod koniec sekundy, wówczas kciuk wyciągnięty do góry wskaże, gdzie skierowany jest żądany wektor). Na rysunku widać, gdzie skierowany jest wektor M¯ (niebieska strzałka).
Skalarna forma notacji M¯
Na rysunku w poprzednim akapicie siła (czerwona strzałka) działa na dźwignię pod kątem 90 o. Ogólnie rzecz biorąc, można go nakładać pod absolutnie dowolnym kątem. Rozważ poniższy obrazek.
Widzimy tutaj, że siła F działa już na dźwignię L pod pewnym kątem Φ. Dla tego układu wzór na moment siły względem punktu (zaznaczony strzałką) w postaci skalarnej będzie miał postać:
M = L * F * grzech(Φ)
Z wyrażenia wynika, że moment siły M będzie tym większy, im kierunek działania siły F będzie bliższy kątowi 90 o względem L. Przeciwnie, jeśli F działa wzdłuż L, to sin(0 ) = 0, a siła nie wytwarza żadnego momentu ( M = 0).
Rozważając moment siły w postaci skalarnej, często używa się pojęcia „dźwigni siły”. Wielkość ta reprezentuje odległość osi (punktu obrotu) od wektora F. Stosując tę definicję do powyższego rysunku, możemy powiedzieć, że d = L * sin(Φ) jest dźwignią siły (równość wynika z definicja funkcji trygonometrycznej „sinus”). Korzystając z dźwigni siły, wzór na moment M można przepisać w następujący sposób:
Fizyczne znaczenie wielkości M
Rozważana wielkość fizyczna określa zdolność siły zewnętrznej F do wywierania efektu rotacyjnego na układ. Aby wprowadzić ciało w ruch obrotowy, należy mu nadać pewien moment M.
Wyraźnym przykładem tego procesu jest otwarcie lub zamknięcie drzwi do pokoju. Trzymając klamkę, osoba przykłada siłę i obraca drzwi na zawiasach. Każdy może to zrobić. Jeśli spróbujesz otworzyć drzwi, pracując nad nimi w pobliżu zawiasów, będziesz musiał włożyć wiele wysiłku, aby je przesunąć.
Innym przykładem jest odkręcenie nakrętki kluczem. Im krótszy jest ten klucz, tym trudniej jest wykonać zadanie.
O cechach tych świadczy siła działająca na ramię, o której mowa w poprzednim akapicie. Jeżeli M uznać za wartość stałą, to im mniejsze d, tym większe F należy zastosować, aby wytworzyć dany moment siły.
W układzie działa kilka sił
Omówiliśmy powyżej przypadki, gdy na układ zdolny do obrotu działa tylko jedna siła F, ale co zrobić, gdy takich sił jest kilka? Rzeczywiście, taka sytuacja jest częstsza, ponieważ na układ mogą oddziaływać siły o różnym charakterze (grawitacyjne, elektryczne, tarcia, mechaniczne i inne). We wszystkich tych przypadkach wynikowy moment siły M¯ można otrzymać korzystając z sumy wektorów wszystkich momentów M i ¯, czyli:
M¯ = ∑ i (M i ¯), gdzie i jest liczbą siły F i
Ważny wniosek wynika z właściwości addytywności momentów, zwanej twierdzeniem Varignona, nazwanym na cześć matematyka końca XVII - początku XVIII wieku - Francuza Pierre'a Varignona. Brzmi ono: „Suma momentów wszystkich sił działających na rozpatrywany układ można przedstawić jako moment jednej siły, który jest równy sumie wszystkich pozostałych i przyłożony do pewnego punktu”. Matematycznie twierdzenie można zapisać w następujący sposób:
∑ ja (M ja ¯) = M¯ = re * ∑ ja (F ja ¯)
To ważne twierdzenie jest często wykorzystywane w praktyce do rozwiązywania problemów związanych z rotacją i równowagą ciał.
Czy moment siły działa?
Analizując podane wzory w postaci skalarnej lub wektorowej, można dojść do wniosku, że wielkość M jest pewnego rodzaju pracą. Rzeczywiście, jego wymiar wynosi N*m, co w SI odpowiada dżulowi (J). Tak naprawdę moment siły nie jest pracą, a jedynie wielkością, która jest w stanie ją wykonać. Aby tak się stało niezbędny jest ruch okrężny w układzie i długotrwałe działanie M. Dlatego wzór na pracę momentu siły zapisuje się w postaci:
W tym wyrażeniu θ jest kątem, o który nastąpił obrót pod wpływem momentu siły M. W rezultacie jednostkę pracy można zapisać jako N*m*rad lub J*rad. Przykładowo wartość 60 J*rad wskazuje, że przy obrocie o 1 radian (około 1/3 koła) siła F tworząca moment M wykonała pracę 60 dżuli. Wzór ten jest często używany przy rozwiązywaniu problemów w układach, w których działają siły tarcia, jak zostanie pokazane poniżej.
Moment siły i moment impulsu
Jak wykazano, działanie momentu M na układ powoduje pojawienie się w nim ruchu obrotowego. Ten ostatni charakteryzuje się wielkością zwaną „momentem pędu”. Można to obliczyć korzystając ze wzoru:
Tutaj I jest momentem bezwładności (wielkość, która podczas obrotu pełni tę samą rolę, co masa podczas ruchu liniowego ciała), ω jest prędkością kątową, jest ona powiązana z prędkością liniową wzorem ω = v/r.
Obydwa momenty (pęd i siła) powiązane są ze sobą następującym wyrażeniem:
M = I * α, gdzie α = dω / dt - przyspieszenie kątowe.
Przedstawmy jeszcze inny wzór, ważny przy rozwiązywaniu problemów związanych z pracą momentów sił. Korzystając z tego wzoru, możesz obliczyć energię kinetyczną obracającego się ciała. Wygląda to tak:
Równowaga wielu ciał
Problem pierwszy związany jest z równowagą układu, w którym działa kilka sił. Poniższy rysunek przedstawia układ poddany trzem siłom. Należy obliczyć, jaką masę należy zawiesić na tej dźwigni i w jakim momencie należy to zrobić, aby układ ten był w równowadze.
Z warunków zadania można zrozumieć, że do jego rozwiązania należy posłużyć się twierdzeniem Varignona. Na pierwszą część problemu można odpowiedzieć od razu, ponieważ ciężar przedmiotu, który należy zawiesić na dźwigni, będzie równy:
P = fa 1 - fa 2 + fa 3 = 20 - 10 + 25 = 35 N
Znaki tutaj wybrano biorąc pod uwagę fakt, że siła obracająca dźwignię w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wytwarza ujemny moment obrotowy.
Położenie punktu d, w którym należy zawiesić ten ciężar, oblicza się ze wzoru:
M 1 - M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 m
Zauważ, że korzystając ze wzoru na moment ciężkości, obliczyliśmy wartość M równoważną tej wytworzonej przez trzy siły. Aby układ był w równowadze, należy zawiesić ciało o masie 35 N w punkcie oddalonym o 4,714 m od osi po drugiej stronie dźwigni.
Problem z ruchomym dyskiem
Rozwiązanie poniższego problemu opiera się na wykorzystaniu wzoru na moment siły tarcia i energię kinetyczną ciała wirującego. Problem: dany dysk o promieniu r = 0,3 metra, który obraca się z prędkością ω = 1 rad/s. Należy obliczyć, jaką drogę może pokonać po powierzchni, jeśli współczynnik tarcia tocznego wynosi μ = 0,001.
Problem ten najłatwiej rozwiązać, korzystając z prawa zachowania energii. Mamy początkową energię kinetyczną dysku. Kiedy zaczyna się toczyć, cała ta energia jest wydawana na ogrzewanie powierzchni w wyniku działania tarcia. Przyrównując obie wielkości otrzymujemy wyrażenie:
I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ
Pierwsza część wzoru to energia kinetyczna dysku. Druga część to praca momentu siły tarcia F = μ * N/r przyłożonej do krawędzi krążka (M=F * r).
Biorąc pod uwagę, że N = m * g i I = 1/2m * r 2, obliczamy θ:
θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81 ) = 2,29358 rad
Ponieważ 2pi radianów odpowiada długości 2pi * r, wówczas stwierdzamy, że wymagana odległość, jaką przebędzie dysk, wynosi:
s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 m lub około 69 cm
Należy pamiętać, że masa dysku nie ma żadnego wpływu na ten wynik.
W artykule omówimy moment siły względem punktu i osi, definicje, rysunki i wykresy, jaką jednostkę miary momentu siły, pracy i siły w ruchu obrotowym, a także przykłady i problemy.
moment siły reprezentuje wektor wielkości fizycznej równej iloczynowi wektorów siła ramion(wektor promienia cząstki) i wytrzymałość, działając w punkcie. Dźwignia siły to wektor łączący punkt, przez który przechodzi oś obrotu ciała sztywnego, z punktem, do którego przyłożona jest siła.
gdzie: r to ramię siły, F to siła przyłożona do ciała.
Kierunek wektora siły momentowe zawsze prostopadle do płaszczyzny określonej przez wektory r i F.
Główny punkt- dowolny układ sił na płaszczyźnie względem przyjętego bieguna nazywany jest momentem algebraicznym momentu wszystkich sił tego układu względem tego bieguna.
W ruchach obrotowych ważne są nie tylko same wielkości fizyczne, ale także ich położenie względem osi obrotu, czyli ich chwile. Wiemy już, że w ruchu obrotowym ważna jest nie tylko masa, ale także. W przypadku siły o jej skuteczności w wywoływaniu przyspieszenia decyduje sposób, w jaki siła jest przyłożona do osi obrotu.
Opisuje związek pomiędzy siłą a sposobem jej zastosowania MOMENT SIŁY. Moment siły jest iloczynem wektorowym ramienia siły R do wektora siły F:
Jak w każdym produkcie wektorowym, tak i tutaj
Dlatego siła nie będzie miała wpływu na obrót, gdy kąt między wektorami siły wynosi F i dźwignia R równy 0 o lub 180 o. Jaki jest skutek przyłożenia momentu siły M?
Korzystamy z drugiej zasady dynamiki Newtona i związku między liną a prędkością kątową v = Rω w postaci skalarnej, są ważne, gdy wektory R I ω prostopadle do siebie
Mnożąc obie strony równania przez R, otrzymujemy
Ponieważ mR 2 = I, wnioskujemy, że
Powyższa zależność obowiązuje także w przypadku ciała materialnego. Należy pamiętać, że podczas gdy siła zewnętrzna daje przyspieszenie liniowe A, moment siły zewnętrznej daje przyspieszenie kątowe ε.
Jednostka miary momentu siły
Główną miarą momentu siły we współrzędnych układu SI jest: [M]=Nm
W GHS: [M]=din cm
Praca i siła w ruchu obrotowym
Pracę w ruchu liniowym określa ogólne wyrażenie:
ale w ruchu obrotowym,
i dlatego
Na podstawie właściwości iloczynu mieszanego trzech wektorów możemy napisać
Dlatego otrzymaliśmy wyrażenie dla praca w ruchu obrotowym:
Moc w ruchu obrotowym:
Znajdować moment siły działające na organizm w sytuacjach przedstawionych na poniższych rysunkach. Załóżmy, że r = 1m i F = 2N.
A) ponieważ kąt między wektorami r i F wynosi 90°, to sin(a)=1:
M = r F = 1 m 2 N = 2 N m
B) ponieważ kąt pomiędzy wektorami r i F wynosi 0°, zatem sin(a)=0:
M = 0
tak, reżyserowany wytrzymałość nie mogę przyznać punktu ruch obrotowy.
C) ponieważ kąt pomiędzy wektorami r i F wynosi 30°, to sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 N m.
Zatem skierowana siła spowoduje rotacja ciała jednak jego efekt będzie mniejszy niż w przypadku A).
Moment siły względem osi
Załóżmy, że dane są punktem O(biegun) i moc P. W punkcie O bierzemy początek prostokątnego układu współrzędnych. moment siły R w stosunku do biegunów O reprezentuje wektor M. z (R), (zdjęcie poniżej) .
Dowolny punkt A na linii P
ma współrzędne (xo, jo, zo).
Wektor siły P
ma współrzędne Px, Py, Pz.
Łączenie punktu A (xo, jo, zo) z początkiem układu otrzymujemy wektor P. Współrzędne wektora siły P
względem bieguna O oznaczone symbolami Mx, My, Mz.
Współrzędne te można obliczyć jako minima danego wyznacznika, gdzie ( ja, j, k) - wektory jednostkowe na osiach współrzędnych (opcje): ja, j, k
Po rozwiązaniu wyznacznika współrzędne momentu będą równe:
Współrzędne wektora momentu Pon (P) nazywane są momentami siły względem odpowiedniej osi. Na przykład moment siły P względem osi Oz otacza szablon:
Mz = Pyxo – Pxyo
Ten wzór jest interpretowany geometrycznie, jak pokazano na poniższym rysunku.
Na podstawie tej interpretacji moment siły względem osi Oz można zdefiniować jako moment rzutowania siły P
prostopadle do osi Oz względem punktu przebicia tej płaszczyzny przez oś. Projekcja siły P
jest zaznaczona prostopadle do osi Pxy
i punkt penetracji płaszczyzny Oksy- oś system operacyjny symbol O.
Z powyższej definicji momentu siły względem osi wynika, że moment siły względem osi wynosi zero, gdy siła i oś są sobie równe, w tej samej płaszczyźnie (gdy siła jest równoległa do osi lub gdy siła przecina oś).
Korzystanie ze wzorów na Mx, Mój, Mz,
możemy obliczyć wartość momentu siły P
w stosunku do punktu O i wyznacz kąty zawarte pomiędzy wektorem M
i osie systemowe:
Znak momentu obrotowego:
plus (+) - obrót siły wokół osi O zgodnie z ruchem wskazówek zegara,
minus (-) — obrót siły wokół osi O w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Co jest równe iloczynowi siły działającej na jego ramię.
Moment siły oblicza się ze wzoru:
Gdzie F- wytrzymałość, l- ramię siły.
Ramię mocy- jest to najkrótsza odległość od linii działania siły do osi obrotu ciała. Poniższy rysunek przedstawia sztywny korpus, który może obracać się wokół osi. Oś obrotu tego ciała jest prostopadła do płaszczyzny figury i przechodzi przez punkt oznaczony literą O. Ramię siły Ft oto odległość l, od osi obrotu do linii działania siły. Definiuje się to w ten sposób. Pierwszym krokiem jest narysowanie linii działania siły, następnie z punktu O, przez który przechodzi oś obrotu ciała, obniż prostopadle do linii działania siły. Długość tej prostopadłej okazuje się być ramieniem danej siły.
Moment siły charakteryzuje obrotowe działanie siły. To działanie zależy zarówno od siły, jak i dźwigni. Im większe ramię, tym mniejszą siłę należy przyłożyć, aby uzyskać pożądany efekt, czyli ten sam moment siły (patrz rysunek powyżej). Dlatego znacznie trudniej otworzyć drzwi, dociskając je w pobliże zawiasów, niż chwytając za klamkę, a o wiele łatwiej odkręcić nakrętkę długim kluczem niż krótkim.
Za jednostkę momentu siły w układzie SI przyjmuje się moment siły 1 N, którego ramię jest równe 1 m - niutonometr (N m).
Zasada momentów.
Ciało sztywne, które może obracać się wokół ustalonej osi, znajduje się w równowadze, jeśli moment siły M 1 obrót go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest równy momentowi siły M 2 , który obraca go w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:
Reguła momentów jest konsekwencją jednego z twierdzeń mechaniki, które sformułował francuski naukowiec P. Varignon w 1687 roku.
Parę sił.
Jeżeli na ciało działają 2 równe i przeciwnie skierowane siły, które nie leżą na tej samej prostej, to ciało takie nie jest w równowadze, gdyż wypadkowy moment tych sił względem dowolnej osi nie jest równy zeru, gdyż obie siły mają momenty skierowane w tym samym kierunku. Dwie takie siły działające jednocześnie na ciało nazywamy parę sił. Jeśli ciało jest zamocowane na osi, to pod działaniem pary sił będzie się obracać. Jeśli na wolne ciało przyłoży się kilka sił, wówczas obróci się ono wokół własnej osi. przechodząc przez środek ciężkości ciała, figura B.
Moment pary sił jest taki sam względem dowolnej osi prostopadłej do płaszczyzny pary. Całkowita chwila M par jest zawsze równa iloczynowi jednej z sił F na odległość l pomiędzy siłami, tzw ramię pary, bez względu na segmenty l, i dzieli położenie osi ramienia pary:
Moment kilku sił, których wypadkowa wynosi zero, będzie taki sam względem wszystkich osi równoległych do siebie, dlatego działanie wszystkich tych sił na ciało można zastąpić działaniem jednej pary sił o tych samych moment.