Wyrażenie dosłowne (lub wyrażenie zmienne) to wyrażenie matematyczne składające się z cyfr, liter i symboli matematycznych. Na przykład następujące wyrażenie jest dosłowne:
a+b+4
Używając wyrażeń alfabetycznych, możesz pisać prawa, wzory, równania i funkcje. Umiejętność manipulowania wyrażeniami literowymi jest kluczem do dobrej znajomości algebry i matematyki wyższej.
Każdy poważny problem matematyczny sprowadza się do rozwiązywania równań. Aby móc rozwiązywać równania, musisz umieć pracować z wyrażeniami dosłownymi.
Aby pracować z wyrażeniami dosłownymi, musisz dobrze znać podstawy arytmetyki: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podstawowe prawa matematyki, ułamki zwykłe, działania na ułamkach, proporcje. I nie tylko uczyć się, ale dokładnie rozumieć.
Treść lekcjiZmienne
Nazywa się litery zawarte w wyrażeniach dosłownych zmienne. Na przykład w wyrażeniu a+b+4 zmienne to litery A I B. Jeśli zamiast tych zmiennych podstawimy dowolne liczby, wówczas wyrażenie dosłowne a+b+4 zamieni się w wyrażenie numeryczne, którego wartość można znaleźć.
Nazywa się liczby, które zastępują zmienne wartości zmiennych. Zmieńmy na przykład wartości zmiennych A I B. Znak równości służy do zmiany wartości
a = 2, b = 3
Zmieniliśmy wartości zmiennych A I B. Zmienny A przypisano wartość 2 , zmienny B przypisano wartość 3 . Wynikowe wyrażenie dosłowne a+b+4 zamienia się w regularne wyrażenie liczbowe 2+3+4 którego wartość można znaleźć:
2 + 3 + 4 = 9
Kiedy zmienne są mnożone, są one zapisywane razem. Na przykład nagrywaj ok oznacza to samo, co wpis a×b. Jeśli podstawimy zmienne A I B takty muzyczne 2 I 3 , wtedy otrzymamy 6
2 × 3 = 6
Można także zapisać mnożenie liczby przez wyrażenie w nawiasach. Na przykład zamiast a×(b + c) można zapisać a(b + c). Stosując prawo podziału mnożenia, otrzymujemy a(b + c)=ab+ac.
Szanse
W wyrażeniach dosłownych często można spotkać zapis, w którym na przykład liczba i zmienna są zapisywane razem 3a. W rzeczywistości jest to skrót oznaczający mnożenie liczby 3 przez zmienną. A i ten wpis wygląda 3×a .
Inaczej mówiąc, wyrażenie 3a jest iloczynem liczby 3 i zmiennej A. Numer 3 w tej pracy dzwonią współczynnik. Współczynnik ten pokazuje, ile razy zmienna zostanie zwiększona A. Wyrażenie to można odczytać jako „ A trzy razy” lub „trzy razy A" lub "zwiększ wartość zmiennej A trzy razy”, ale najczęściej czytane jako „trzy A«
Na przykład, jeśli zmienna A równy 5 , a następnie wartość wyrażenia 3a będzie równa 15.
3 × 5 = 15
W uproszczeniu współczynnik to liczba pojawiająca się przed literą (przed zmienną).
Może być na przykład kilka liter 5abc. Tutaj współczynnik jest liczbą 5 . Współczynnik ten pokazuje, że iloczyn zmiennych ABC wzrasta pięciokrotnie. Wyrażenie to można odczytać jako „ ABC pięć razy” lub „zwiększ wartość wyrażenia ABC pięć razy” lub „pięć ABC«.
Jeśli zamiast zmiennych ABC zamień liczby 2, 3 i 4, a następnie wartość wyrażenia 5abc będzie równe 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Możesz sobie wyobrazić, jak najpierw pomnożono liczby 2, 3 i 4, a wynikowa wartość wzrosła pięciokrotnie:
Znak współczynnika odnosi się tylko do współczynnika i nie dotyczy zmiennych.
Rozważ wyrażenie −6b. Minus przed współczynnikiem 6 , dotyczy tylko współczynnika 6 i nie należy do zmiennej B. Zrozumienie tego faktu pozwoli ci nie popełniać błędów w przyszłości ze znakami.
Znajdźmy wartość wyrażenia −6b Na b = 3.
−6b −6×b. Dla jasności napiszmy wyrażenie −6b w formie rozwiniętej i podstawić wartość zmiennej B
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia −6b Na b = −5
Zapiszmy wyrażenie −6b w rozszerzonej formie
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia −5a+b Na a = 3 I b = 2
−5a+b to jest krótka forma dla −5 × a + b, więc dla jasności zapisujemy wyrażenie −5×a+b w rozwiniętej formie i zamień wartości zmiennych A I B
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Czasami litery są pisane na przykład bez współczynnika A Lub ok. W tym przypadku współczynnik wynosi jedność:
ale tradycyjnie jednostka nie jest zapisywana, więc po prostu piszą A Lub ok
Jeśli przed literą znajduje się minus, wówczas współczynnik jest liczbą −1 . Na przykład wyrażenie -a faktycznie wygląda −1a. To jest iloczyn minus jeden i zmiennej A. Okazało się tak:
−1 × a = −1a
Jest tu mały haczyk. W wyrazie -a znak minus przed zmienną A w rzeczywistości odnosi się do „niewidzialnej jednostki”, a nie zmiennej A. Dlatego przy rozwiązywaniu problemów należy zachować ostrożność.
Na przykład, jeśli podano wyrażenie -a i jesteśmy proszeni o znalezienie jego wartości przy a = 2, następnie w szkole podstawiliśmy dwójkę zamiast zmiennej A i otrzymał odpowiedź −2 , nie skupiając się zbytnio na tym, jak to się skończyło. W rzeczywistości minus jeden został pomnożony przez liczbę dodatnią 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Jeśli podano wyrażenie -a i musisz znaleźć jego wartość przy a = −2, następnie zastępujemy −2 zamiast zmiennej A
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Aby uniknąć błędów, na początku można wyraźnie zapisać niewidoczne jednostki.
Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia ABC Na a=2 , b=3 I c=4
Wyrażenie ABC 1×a×b×c. Dla jasności napiszmy wyrażenie ABC a, b I C
1 × a × b × do = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia ABC Na a=−2 , b=−3 I c=−4
Zapiszmy wyrażenie ABC w formie rozwiniętej i zamień wartości zmiennych a, b I C
1 × a × b × do = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Przykład 6. Znajdź wartość wyrażenia − ABC Na a=3, b=5 i c=7
Wyrażenie − ABC to jest krótka forma dla −1×a×b×c. Dla jasności napiszmy wyrażenie − ABC w formie rozwiniętej i zamień wartości zmiennych a, b I C
−abc = −1 × a × b × do = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Przykład 7. Znajdź wartość wyrażenia − ABC Na a=−2 , b=−4 i c=−3
Zapiszmy wyrażenie − ABC w rozszerzonej formie:
−abc = −1 × a × b × do
Zastąpmy wartości zmiennych A , B I C
−abc = −1 × a × b × do = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Jak określić współczynnik
Czasami trzeba rozwiązać problem, w którym trzeba określić współczynnik wyrażenia. W zasadzie to zadanie jest bardzo proste. Wystarczy umieć poprawnie pomnożyć liczby.
Aby określić współczynnik w wyrażeniu, należy osobno pomnożyć liczby zawarte w tym wyrażeniu i osobno pomnożyć litery. Wynikowy współczynnik liczbowy będzie współczynnikiem.
Przykład 1. 7m×5a×(−3)×n
Wyrażenie składa się z kilku czynników. Można to wyraźnie zobaczyć, jeśli napiszesz wyrażenie w formie rozwiniętej. Czyli dzieła 7 m I 5a napisz to w formularzu 7×m I 5×a
7 × m × 5 × a × (-3) × n
Zastosujmy łączne prawo mnożenia, które pozwala mnożyć czynniki w dowolnej kolejności. Mianowicie osobno pomnożymy liczby i osobno pomnożymy litery (zmienne):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man
Współczynnik jest −105 . Po zakończeniu wskazane jest ułożenie części literowej w kolejności alfabetycznej:
−105 rano
Przykład 2. Określ współczynnik w wyrażeniu: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Współczynnik wynosi 6.
Przykład 3. Określ współczynnik w wyrażeniu: 
Pomnóżmy cyfry i litery osobno:
Współczynnik wynosi -1. Należy pamiętać, że jednostka nie jest zapisywana, ponieważ zwyczajowo nie zapisuje się współczynnika 1.
Te pozornie najprostsze czynności potrafią zrobić nam bardzo okrutny żart. Często okazuje się, że znak współczynnika jest ustawiony niepoprawnie: albo brakuje minusa, albo wręcz przeciwnie, został on ustawiony na próżno. Aby uniknąć tych irytujących błędów, należy go studiować na dobrym poziomie.
Dodaje wyrażenia dosłowne
Dodając kilka liczb, uzyskuje się sumę tych liczb. Liczby, które dodają, nazywane są dodatkami. Terminów może być kilka, np.:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Kiedy wyrażenie składa się z terminów, znacznie łatwiej jest je ocenić, ponieważ dodawanie jest łatwiejsze niż odejmowanie. Ale wyrażenie może zawierać nie tylko dodawanie, ale także odejmowanie, na przykład:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
W tym wyrażeniu liczby 3 i 5 są odejmowaniami, a nie dodawaniami. Ale nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy zastąpili odejmowanie dodawaniem. Następnie ponownie otrzymujemy wyrażenie składające się z terminów:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Nie ma znaczenia, że liczby –3 i –5 mają teraz znak minus. Najważniejsze jest to, że wszystkie liczby w tym wyrażeniu są połączone znakiem dodawania, to znaczy wyrażenie jest sumą.
Obydwa wyrażenia 1 + 2 − 3 + 4 − 5 I 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) równa tej samej wartości - minus jeden
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Zatem znaczenie wyrażenia nie ucierpi, jeśli gdzieś zastąpimy odejmowanie dodawaniem.
W wyrażeniach dosłownych można także zastąpić odejmowanie dodawaniem. Rozważmy na przykład następujące wyrażenie:
7a + 6b – 3c + 2d – 4s
7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)
Dla dowolnych wartości zmiennych a, b, c, d I S wyrażenia 7a + 6b – 3c + 2d – 4s I 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) będzie równa tej samej wartości.
Trzeba być przygotowanym na to, że nauczyciel w szkole lub nauczyciel w instytucie może wywołać liczby parzyste (lub zmienne), które nie są dodawane.
Na przykład, jeśli różnica jest zapisana na tablicy a - b, wtedy nauczyciel tak nie powie A jest minusendą i B- odejmowalne. Obie zmienne będzie wywoływał jednym wspólnym słowem - warunki. A wszystko ze względu na ekspresję formy a - b matematyk widzi sumę a+(−b). W tym przypadku wyrażenie staje się sumą, a zmiennymi A I (-b) stać się terminami.
Podobne terminy
Podobne terminy- są to terminy posiadające tę samą część literową. Rozważmy na przykład wyrażenie 7a + 6b + 2a. Komponenty 7a I 2a mają tę samą część literową - zmienną A. Zatem warunki 7a I 2a są podobne.
Zazwyczaj podobne terminy dodaje się w celu uproszczenia wyrażenia lub rozwiązania równania. Ta operacja nazywa się przynosząc podobne warunki.
Aby wprowadzić podobne terminy, należy dodać współczynniki tych terminów i pomnożyć wynikowy wynik przez wspólną część literową.
Na przykład podobne terminy prezentujemy w wyrażeniu 3a + 4a + 5a. W tym przypadku wszystkie terminy są podobne. Dodajmy ich współczynniki i pomnóżmy wynik przez część wspólną literową – przez zmienną A
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Zwykle przywołuje się na myśl podobne terminy i natychmiast zapisuje wynik:
3a + 4a + 5a = 12a
Można też rozumować następująco:
Dodano do nich 3 zmienne a, 4 kolejne zmienne a i 5 kolejnych zmiennych a. W rezultacie otrzymaliśmy 12 zmiennych a
Przyjrzyjmy się kilku przykładom wprowadzenia podobnych terminów. Biorąc pod uwagę, że ten temat jest bardzo ważny, na początku szczegółowo opiszemy każdy najdrobniejszy szczegół. Pomimo tego, że tutaj wszystko jest bardzo proste, większość ludzi popełnia wiele błędów. Głównie z powodu nieuwagi, a nie niewiedzy.
Przykład 1. 3a + 2a + 6a + 8 A
Dodajmy współczynniki w tym wyrażeniu i pomnóżmy uzyskany wynik przez część wspólną literową:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × za = 19a
projekt (3 + 2 + 6 + 8)×a Nie musisz tego zapisywać, więc odpowiedź zapiszemy od razu
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Przykład 2. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 2a+a
Drugi termin A zapisane bez współczynnika, ale w rzeczywistości przed nim znajduje się współczynnik 1 , którego nie widzimy, ponieważ nie jest zarejestrowany. Zatem wyrażenie wygląda następująco:
2a + 1a
Teraz przedstawmy podobne terminy. Oznacza to, że dodajemy współczynniki i mnożymy wynik przez wspólną część literową:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
2a + a = 3a
2a+a możesz myśleć inaczej:
Przykład 3. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 2a-a
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
2a + (-a)
Drugi termin (-a) napisane bez współczynnika, ale w rzeczywistości tak to wygląda (-1a). Współczynnik −1 znów niewidoczny ze względu na to, że nie jest rejestrowany. Zatem wyrażenie wygląda następująco:
2a + (-1a)
Teraz przedstawmy podobne terminy. Dodajmy współczynniki i pomnóżmy wynik przez część wspólną:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Zwykle pisane krócej:
2a - a = a
Podanie podobnych terminów w wyrażeniu 2a-a Możesz myśleć inaczej:
Były 2 zmienne a, odejmij jedną zmienną a i w rezultacie została tylko jedna zmienna
Przykład 4. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 6a – 3a + 4a – 8a
6a - 3a + 4a - 8a = 6a + (-3a) + 4a + (-8a)
Teraz przedstawmy podobne terminy. Dodajmy współczynniki i pomnóżmy wynik przez całkowitą część literową
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
6a – 3a + 4a – 8a = –a
Istnieją wyrażenia zawierające kilka różnych grup podobnych terminów. Na przykład, 3a + 3b + 7a + 2b. W przypadku takich wyrażeń obowiązują te same zasady, co w przypadku pozostałych, a mianowicie dodawanie współczynników i mnożenie otrzymanego wyniku przez część wspólną literową. Aby jednak uniknąć błędów, wygodnie jest wyróżnić różne grupy terminów różnymi wierszami.
Na przykład w wyrażeniu 3a + 3b + 7a + 2b te terminy, które zawierają zmienną A, można podkreślić jedną linią, a terminy zawierające zmienną B, można podkreślić dwoma linijkami:
Teraz możemy przedstawić podobne terminy. Oznacza to, że dodaj współczynniki i pomnóż wynikowy wynik przez całkowitą część literową. Należy to zrobić dla obu grup terminów: dla terminów zawierających zmienną A oraz dla terminów zawierających zmienną B.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Jeszcze raz powtarzamy, wyrażenie jest proste i można mieć na uwadze podobne terminy:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Przykład 5. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 5a – 6a –7b + b
Jeśli to możliwe, zastąpmy odejmowanie dodawaniem:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Podkreślmy podobne terminy różnymi liniami. Terminy zawierające zmienne A podkreślamy jedną linią, a terminy są zawartością zmiennych B, podkreśl dwiema liniami:
Teraz możemy przedstawić podobne terminy. Oznacza to, że dodaj współczynniki i pomnóż wynikowy wynik przez wspólną część literową:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Jeśli wyrażenie zawiera zwykłe liczby bez czynników literowych, są one dodawane osobno.
Przykład 6. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 4a + 3a - 5 + 2b + 7
Jeśli to możliwe, zastąpmy odejmowanie dodawaniem:
4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7
Przedstawmy podobne określenia. Takty muzyczne −5 I 7 nie mają współczynników literowych, ale są to terminy podobne - wystarczy je dodać. I termin 2b pozostanie niezmieniony, ponieważ jako jedyny w tym wyrażeniu ma współczynnik literowy B, i nie ma co tego dodawać:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Terminy można uporządkować w taki sposób, aby te terminy, które mają tę samą część literową, znajdowały się w tej samej części wyrażenia.
Przykład 7. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 5t+2x+3x+5t+x
Ponieważ wyrażenie jest sumą kilku terminów, pozwala to ocenić je w dowolnej kolejności. Dlatego terminy zawierające zmienną T, można zapisać na początku wyrażenia, a terminy zawierające zmienną X na końcu wyrażenia:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Teraz możemy przedstawić podobne terminy:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Suma liczb przeciwnych wynosi zero. Ta zasada działa również w przypadku wyrażeń dosłownych. Jeśli wyrażenie zawiera terminy identyczne, ale z przeciwnymi znakami, możesz się ich pozbyć na etapie redukcji terminów podobnych. Innymi słowy, po prostu usuń je z wyrażenia, ponieważ ich suma wynosi zero.
Przykład 8. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 3t – 4t – 3t + 2t
Jeśli to możliwe, zastąpmy odejmowanie dodawaniem:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Komponenty 3t I (-3t) są przeciwne. Suma przeciwnych wyrazów wynosi zero. Jeśli usuniemy to zero z wyrażenia, wartość wyrażenia nie ulegnie zmianie, więc je usuniemy. I usuniemy to, po prostu skreślając warunki 3t I (-3t)
W rezultacie pozostanie nam wyrażenie (−4t) + 2t. W tym wyrażeniu możesz dodać podobne terminy i uzyskać ostateczną odpowiedź:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
Upraszczanie wyrażeń
„uprość wyrażenie” a poniżej znajduje się wyrażenie, które należy uprościć. Uprość wyrażenie oznacza uczynienie go prostszym i krótszym.
W rzeczywistości upraszczaliśmy już wyrażenia, gdy redukowaliśmy ułamki zwykłe. Po redukcji ułamek stał się krótszy i łatwiejszy do zrozumienia.
Rozważ następujący przykład. Uprość wyrażenie.
Zadanie to można dosłownie rozumieć w następujący sposób: „Zastosuj dowolne prawidłowe działania do tego wyrażenia, ale uprość je”. .
W takim przypadku możesz zmniejszyć ułamek, a mianowicie podzielić licznik i mianownik ułamka przez 2:
Co jeszcze możesz zrobić? Możesz obliczyć powstały ułamek. Następnie otrzymujemy ułamek dziesiętny 0,5
W rezultacie ułamek został uproszczony do 0,5.
Pierwszym pytaniem, które musisz sobie zadać przy rozwiązywaniu takich problemów, powinno być „Co można zrobić?” . Ponieważ są działania, które możesz wykonać i są działania, których nie możesz wykonać.
Kolejną ważną kwestią do zapamiętania jest to, że znaczenie wyrażenia nie powinno się zmieniać po uproszczeniu wyrażenia. Wróćmy do wyrażenia. To wyrażenie reprezentuje podział, który można wykonać. Po dokonaniu tego podziału otrzymujemy wartość tego wyrażenia, która jest równa 0,5
Ale uprościliśmy wyrażenie i otrzymaliśmy nowe uproszczone wyrażenie. Wartość nowego uproszczonego wyrażenia nadal wynosi 0,5
Ale próbowaliśmy także uprościć wyrażenie, obliczając je. W rezultacie otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź na poziomie 0,5.
Zatem niezależnie od tego, jak uprościmy wyrażenie, wartość otrzymanych wyrażeń będzie nadal równa 0,5. Oznacza to, że uproszczenie zostało przeprowadzone prawidłowo na każdym etapie. Właśnie do tego powinniśmy dążyć przy upraszczaniu wyrażeń – znaczenie wyrażenia nie powinno ucierpieć na skutek naszych działań.
Często konieczne jest uproszczenie wyrażeń dosłownych. Obowiązują wobec nich te same zasady uproszczenia, co w przypadku wyrażeń liczbowych. Możesz wykonać dowolne prawidłowe działania, o ile wartość wyrażenia nie ulegnie zmianie.
Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 1. Uprość wyrażenie 5,21 s × t × 2,5
Aby uprościć to wyrażenie, możesz pomnożyć liczby osobno i osobno pomnożyć litery. To zadanie jest bardzo podobne do tego, któremu się przyjrzeliśmy, gdy uczyliśmy się wyznaczać współczynnik:
5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Zatem wyrażenie 5,21 s × t × 2,5 uproszczone do 13025.
Przykład 2. Uprość wyrażenie −0,4 × (−6,3b) × 2
Drugi kawałek (-6.3b) można przełożyć na zrozumiałą dla nas formę, czyli zapisać w postaci ( −6,3)×b , następnie pomnóż osobno liczby i osobno pomnóż litery:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Zatem wyrażenie −0,4 × (−6,3b) × 2 uproszczone do 5.04b
Przykład 3. Uprość wyrażenie 
Zapiszmy to wyrażenie bardziej szczegółowo, aby wyraźnie zobaczyć, gdzie są liczby i gdzie są litery:
Teraz pomnóżmy osobno liczby i osobno pomnóżmy litery:
Zatem wyrażenie uproszczone do −abc. Rozwiązanie to można krótko zapisać:
Upraszczając wyrażenia, ułamki można redukować w trakcie rozwiązywania, a nie na samym końcu, jak to zrobiliśmy w przypadku zwykłych ułamków zwykłych. Na przykład, jeśli w trakcie rozwiązywania natkniemy się na wyrażenie postaci , to wcale nie jest konieczne obliczanie licznika i mianownika i robienie czegoś takiego:
Ułamek można skrócić, wybierając czynnik w liczniku i mianowniku i redukując te czynniki przez ich największy wspólny dzielnik. Innymi słowy użycie, w którym nie opisujemy szczegółowo, na co podzielono licznik i mianownik.
Np. w liczniku współczynnik wynosi 12, a w mianowniku współczynnik 4 można zmniejszyć o 4. Zapamiętujemy tę czwórkę i dzieląc 12 i 4 przez tę czwórkę, zapisujemy odpowiedzi obok tych liczb, najpierw je przekreśliwszy
Teraz możesz pomnożyć powstałe małe czynniki. W tym przypadku jest ich niewiele i można je mnożyć w myślach:
Z biegiem czasu może się okazać, że przy rozwiązywaniu konkretnego problemu wyrażenia zaczynają „przybierać na wadze”, dlatego wskazane jest przyzwyczajenie się do szybkich obliczeń. To, co można obliczyć w umyśle, należy obliczyć w umyśle. To, co można szybko zredukować, należy szybko zredukować.
Przykład 4. Uprość wyrażenie 
Zatem wyrażenie uproszczone do
Przykład 5. Uprość wyrażenie 
Pomnóżmy osobno cyfry i osobno litery:
Zatem wyrażenie uproszczone do mn.
Przykład 6. Uprość wyrażenie 
Zapiszmy to wyrażenie bardziej szczegółowo, aby wyraźnie zobaczyć, gdzie są liczby i gdzie są litery:
Teraz pomnóżmy osobno cyfry i osobno litery. Dla ułatwienia obliczeń ułamek dziesiętny -6,4 i liczbę mieszaną można zamienić na ułamki zwykłe:
Zatem wyrażenie uproszczone do
Rozwiązanie tego przykładu można zapisać znacznie krócej. Będzie to wyglądać tak:
Przykład 7. Uprość wyrażenie 
Pomnóżmy cyfry osobno i litery osobno. Dla ułatwienia obliczeń liczby mieszane i ułamki dziesiętne 0,1 i 0,6 można zamienić na ułamki zwykłe:
Zatem wyrażenie uproszczone do abcd. Jeśli pominiesz szczegóły, rozwiązanie to można zapisać znacznie krócej:
Zwróć uwagę, jak został zmniejszony ułamek. Nowe współczynniki, które powstają w wyniku redukcji poprzednich czynników, również można redukować.
Porozmawiajmy teraz o tym, czego nie robić. Przy upraszczaniu wyrażeń surowo zabrania się mnożenia cyfr i liter, jeśli wyrażenie jest sumą, a nie iloczynem.
Na przykład, jeśli chcesz uprościć wyrażenie 5a+4b, to nie możesz napisać tego w ten sposób:
To tak, jakby poproszono nas o dodanie dwóch liczb i pomnożyliśmy je zamiast dodawać.
Podczas zastępowania dowolnych wartości zmiennych A I B wyrażenie 5a +4b zamienia się w zwykłe wyrażenie numeryczne. Załóżmy, że zmienne A I B mają następujące znaczenia:
a = 2, b = 3
Wtedy wartość wyrażenia będzie równa 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Najpierw wykonywane jest mnożenie, a następnie wyniki są dodawane. A gdybyśmy próbowali uprościć to wyrażenie, mnożąc cyfry i litery, otrzymalibyśmy:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Okazuje się zupełnie inne znaczenie tego wyrażenia. W pierwszym przypadku zadziałało 22 , w drugim przypadku 120 . Oznacza to uproszczenie wyrażenia 5a+4b zostało wykonane nieprawidłowo.
Po uproszczeniu wyrażenia jego wartość nie powinna się zmieniać przy tych samych wartościach zmiennych. Jeżeli podstawiając do pierwotnego wyrażenia dowolne wartości zmiennych otrzyma się jedną wartość, to po uproszczeniu wyrażenia należy otrzymać taką samą wartość jak przed uproszczeniem.
Z ekspresją 5a+4b naprawdę nic nie możesz zrobić. To nie upraszcza.
Jeśli wyrażenie zawiera podobne terminy, można je dodać, jeśli naszym celem jest uproszczenie wyrażenia.
Przykład 8. Uprość wyrażenie 0,3a-0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
lub krócej: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a
Zatem wyrażenie 0,3a-0,4a+a uproszczone do 0,9a
Przykład 9. Uprość wyrażenie −7,5a − 2,5b + 4a
Aby uprościć to wyrażenie, możemy dodać podobne terminy:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
lub krócej −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Termin (-2,5b) pozostał niezmieniony, bo nie było do czego go przyczepić.
Przykład 10. Uprość wyrażenie 
Aby uprościć to wyrażenie, możemy dodać podobne terminy:
Współczynnik podano dla ułatwienia obliczeń.
Zatem wyrażenie uproszczone do
Przykład 11. Uprość wyrażenie 
Aby uprościć to wyrażenie, możemy dodać podobne terminy:
Zatem wyrażenie uproszczone do.
W tym przykładzie bardziej właściwe byłoby dodanie najpierw pierwszego i ostatniego współczynnika. W tym przypadku mielibyśmy krótkie rozwiązanie. Wyglądałoby to tak:
Przykład 12. Uprość wyrażenie 
Aby uprościć to wyrażenie, możemy dodać podobne terminy:
Zatem wyrażenie uproszczone do 
.
Termin pozostał niezmieniony, bo nie było do czego go dodać.
Rozwiązanie to można zapisać znacznie krócej. Będzie to wyglądać tak:
W krótkim rozwiązaniu pominięto etapy zastąpienia odejmowania dodawaniem i szczegółowego opisywania sposobu sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika.
Kolejna różnica polega na tym, że w szczegółowym rozwiązaniu odpowiedź wygląda , ale w skrócie jako . W rzeczywistości są to te same wyrażenia. Różnica polega na tym, że w pierwszym przypadku odejmowanie zastępuje się dodawaniem, ponieważ na początku, kiedy szczegółowo spisaliśmy rozwiązanie, tam, gdzie było to możliwe, zastępowaliśmy odejmowanie dodawaniem i to zastąpienie zostało zachowane w odpowiedzi.
Tożsamości. Identycznie równe wyrażenia
Kiedy uprościmy dowolne wyrażenie, stanie się ono prostsze i krótsze. Aby sprawdzić, czy uproszczone wyrażenie jest poprawne, wystarczy podstawić dowolne wartości zmiennych najpierw do poprzedniego wyrażenia, które wymagało uproszczenia, a następnie do nowego, które zostało uproszczone. Jeśli wartość w obu wyrażeniach jest taka sama, wówczas uproszczone wyrażenie jest prawdziwe.
Spójrzmy na prosty przykład. Niech będzie konieczne uproszczenie wyrażenia 2a×7b. Aby uprościć to wyrażenie, możesz pomnożyć cyfry i litery osobno:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Sprawdźmy, czy poprawnie uprościliśmy wyrażenie. W tym celu podstawimy dowolne wartości zmiennych A I B najpierw do pierwszego wyrażenia, które wymagało uproszczenia, a następnie do drugiego, które zostało uproszczone.
Niech wartości zmiennych A , B będzie następująco:
a = 4, b = 5
Zastąpmy je pierwszym wyrażeniem 2a×7b
Podstawmy teraz te same wartości zmiennych do wyrażenia powstałego w wyniku uproszczenia 2a×7b, czyli w wyrażeniu 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Widzimy to, kiedy a=4 I b=5 wartość pierwszego wyrażenia 2a×7b i znaczenie drugiego wyrażenia 14ab równy
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
To samo stanie się z każdą inną wartością. Na przykład niech a=1 I b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Zatem dla dowolnych wartości zmiennych wyrażeń 2a×7b I 14ab są równe tej samej wartości. Takie wyrażenia nazywane są identycznie równe.
Dochodzimy do wniosku, że pomiędzy wyrażeniami 2a×7b I 14ab możesz postawić znak równości, ponieważ są one równe tej samej wartości.
2a × 7b = 14ab
Równość to dowolne wyrażenie połączone znakiem równości (=).
I równość formy 2a×7b = 14ab zwany tożsamość.
Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych.
Inne przykłady tożsamości:
za + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Tak, prawa matematyki, które badaliśmy, są tożsamościami.
Prawdziwe równości liczbowe są także tożsamościami. Na przykład:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Przy rozwiązywaniu złożonego problemu, aby ułatwić obliczenia, wyrażenie złożone zastępuje się wyrażeniem prostszym, identycznie równym poprzedniemu. To zastąpienie nazywa się identyczna transformacja wyrażenia lub po prostu przekształcanie wyrażenia.
Na przykład uprościliśmy wyrażenie 2a×7b i otrzymałem prostsze wyrażenie 14ab. Uproszczenie to można nazwać transformacją tożsamości.
Często można znaleźć zadanie, które mówi „udowodnić, że równość jest tożsamością” a następnie podana jest równość, którą należy udowodnić. Zwykle ta równość składa się z dwóch części: lewej i prawej części równości. Naszym zadaniem jest dokonanie przekształceń tożsamościowych jedną z części równości i uzyskanie drugiej części. Lub wykonaj identyczne przekształcenia obiema stronami równości i upewnij się, że obie strony równości zawierają te same wyrażenia.
Udowodnimy na przykład, że równość 0,5a × 5b = 2,5ab jest tożsamością.
Uprośćmy lewą stronę tej równości. Aby to zrobić, pomnóż cyfry i litery osobno:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
W wyniku małej transformacji tożsamości lewa strona równości zrównała się z prawą stroną równości. Udowodniliśmy więc, że równość 0,5a × 5b = 2,5ab jest tożsamością.
Z identycznych przekształceń nauczyliśmy się dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby, zmniejszać ułamki zwykłe, dodawać podobne wyrazy, a także upraszczać niektóre wyrażenia.
Ale to nie wszystkie identyczne transformacje, które istnieją w matematyce. Takich transformacji jest więcej. Zobaczymy to jeszcze nie raz w przyszłości.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
Wiadomo, że w matematyce nie da się obejść bez upraszczania wyrażeń. Jest to konieczne do prawidłowego i szybkiego rozwiązywania szerokiej gamy problemów, a także różnego rodzaju równań. Omawiane tutaj uproszczenie oznacza zmniejszenie liczby działań niezbędnych do osiągnięcia celu. W rezultacie obliczenia są zauważalnie uproszczone, a czas znacznie zaoszczędzony. Ale jak uprościć wyrażenie? W tym celu stosuje się ustalone zależności matematyczne, często zwane wzorami lub prawami, które pozwalają na znacznie krótsze wyrażenia, upraszczając w ten sposób obliczenia.
Nie jest tajemnicą, że dziś uproszczenie wypowiedzi w Internecie nie jest trudne. Oto linki do niektórych z najpopularniejszych:
Nie jest to jednak możliwe w przypadku każdego wyrażenia. Dlatego przyjrzyjmy się bliżej bardziej tradycyjnym metodom.
Wyjmowanie wspólnego dzielnika
W przypadku, gdy jedno wyrażenie zawiera jednomiany o tych samych dzielnikach, można znaleźć sumę ich współczynników, a następnie pomnożyć je przez wspólny współczynnik. Operację tę nazywa się także „usuwaniem wspólnego dzielnika”. Konsekwentnie stosując tę metodę, czasami można znacznie uprościć wyrażenie. W końcu algebra w ogóle opiera się na grupowaniu i porządkowaniu czynników i dzielników.
Najprostsze wzory na skrócone mnożenie
Jedną z konsekwencji opisanej wcześniej metody są skrócone wzory na mnożenie. Sposób upraszczania wyrażeń za ich pomocą jest znacznie jaśniejszy dla tych, którzy nawet nie zapamiętali tych formuł na pamięć, ale wiedzą, jak je wyprowadzić, to znaczy skąd pochodzą i, odpowiednio, ich matematyczny charakter. W zasadzie poprzednie stwierdzenie pozostaje aktualne w całej współczesnej matematyce, od pierwszej klasy do wyższych kursów wydziałów mechanicznych i matematycznych. Różnica kwadratów, kwadrat różnicy i sumy, suma i różnica kostek - wszystkie te wzory są szeroko stosowane w matematyce elementarnej i wyższej w przypadkach, gdy konieczne jest uproszczenie wyrażeń w celu rozwiązania problemów. Przykłady takich przekształceń można łatwo znaleźć w dowolnym szkolnym podręczniku do algebry, a jeszcze łatwiej w Internecie.
Korzenie stopni
Matematyka elementarna, jeśli spojrzeć na nią całościowo, nie oferuje wielu sposobów na uproszczenie wyrażeń. Stopnie i operacje z nimi są z reguły stosunkowo łatwe dla większości uczniów. Jednak wiele współczesnych uczniów i studentów ma znaczne trudności, gdy konieczne jest uproszczenie wyrażenia za pomocą korzeni. A to jest całkowicie bezpodstawne. Ponieważ matematyczna natura pierwiastków nie różni się od natury tych samych stopni, z którymi z reguły jest znacznie mniej trudności. Wiadomo, że pierwiastek kwadratowy liczby, zmiennej lub wyrażenia to nic innego jak ta sama liczba, zmienna lub wyrażenie do potęgi połowy, pierwiastek sześcienny jest taki sam do potęgi jednej trzeciej i tak dalej zgodnie z korespondencją.
Upraszczanie wyrażeń za pomocą ułamków zwykłych
Przyjrzyjmy się także typowemu przykładowi upraszczania wyrażeń za pomocą ułamków zwykłych. W przypadkach, gdy wyrażenia są ułamkami naturalnymi, należy oddzielić wspólny czynnik od mianownika i licznika, a następnie zmniejszyć o niego ułamek. Gdy jednomiany mają identyczne współczynniki podniesione do potęg, należy podczas ich sumowania upewnić się, że potęgi są równe.
Upraszczanie podstawowych wyrażeń trygonometrycznych
To, co dla niektórych wyróżnia się, to rozmowa o tym, jak uprościć wyrażenie trygonometryczne. Najszersza dziedzina trygonometrii jest być może pierwszym etapem, na którym studenci matematyki zetkną się z nieco abstrakcyjnymi pojęciami, problemami i metodami ich rozwiązywania. Istnieją tu odpowiednie wzory, z których pierwszym jest podstawowa tożsamość trygonometryczna. Mając wystarczający umysł matematyczny, możesz prześledzić systematyczne wyprowadzenie z tej tożsamości wszystkich podstawowych tożsamości i wzorów trygonometrycznych, w tym wzorów różnicowych i sum argumentów, argumentów podwójnych, potrójnych, wzorów redukcyjnych i wielu innych. Oczywiście nie należy tutaj zapominać o pierwszych metodach, takich jak dodanie wspólnego czynnika, które są w pełni wykorzystywane wraz z nowymi metodami i formułami.
Podsumowując, przekażemy czytelnikowi kilka ogólnych rad:
- Wielomiany należy rozłożyć na czynniki, to znaczy przedstawić je w postaci iloczynu określonej liczby czynników - jednomianów i wielomianów. Jeśli istnieje taka możliwość, należy wyjąć wspólny czynnik z nawiasów.
- Lepiej zapamiętać wszystkie skrócone wzory na mnożenie bez wyjątku. Nie ma ich zbyt wiele, ale stanowią podstawę do upraszczania wyrażeń matematycznych. Nie zapominajmy także o metodzie izolowania idealnych kwadratów w trójmianach, która jest działaniem odwrotnym do jednego ze skróconych wzorów na mnożenie.
- Wszystkie ułamki występujące w wyrażeniu należy redukować tak często, jak to możliwe. Nie zapominaj jednak, że zmniejszane są tylko mnożniki. Kiedy mianownik i licznik ułamków algebraicznych pomnoży się przez tę samą liczbę, która jest różna od zera, znaczenie ułamków nie ulegnie zmianie.
- Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie wyrażenia można przekształcać poprzez działania lub w łańcuchu. Pierwsza metoda jest bardziej preferowana, ponieważ wyniki działań pośrednich są łatwiejsze do sprawdzenia.
- Dość często w wyrażeniach matematycznych musimy wyodrębniać pierwiastki. Należy pamiętać, że pierwiastki potęg parzystych można wyprowadzić tylko z nieujemnej liczby lub wyrażenia, a pierwiastki potęg nieparzystych można wyprowadzić z absolutnie dowolnych wyrażeń lub liczb.
Mamy nadzieję, że nasz artykuł pomoże Ci w przyszłości zrozumieć wzory matematyczne i nauczy Cię, jak zastosować je w praktyce.
Uwaga 1
Funkcję boolowską można zapisać za pomocą wyrażenia boolowskiego, a następnie przenieść do obwodu logicznego. Należy uprościć wyrażenia logiczne, aby otrzymać możliwie najprostszy (a przez to tańszy) obwód logiczny. W rzeczywistości funkcja logiczna, wyrażenie logiczne i obwód logiczny to trzy różne języki, które mówią o jednej istocie.
Aby uprościć wyrażenia logiczne, użyj prawa logiki algebry.
Niektóre przekształcenia przypominają przekształcenia formuł w algebrze klasycznej (wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów, zastosowanie praw przemienności i kombinacji itp.), inne natomiast opierają się na własnościach, których nie mają działania algebry klasycznej (stosując rozdzielność prawo koniunkcji, prawa absorpcji, sklejania, reguły de Morgana, itp.).
Prawa algebry logicznej formułowane są dla podstawowych operacji logicznych - „NOT” – inwersja (negacja), „AND” – koniunkcja (mnożenie logiczne) i „OR” – dysjunkcja (dodawanie logiczne).
Prawo podwójnej negacji oznacza, że operacja „NIE” jest odwracalna: jeśli zastosujesz ją dwukrotnie, to ostatecznie wartość logiczna się nie zmieni.
Prawo wyłączonego środka stwierdza, że każde wyrażenie logiczne jest albo prawdziwe, albo fałszywe („nie ma trzeciego”). Zatem jeśli $A=1$, to $\bar(A)=0$ (i odwrotnie), co oznacza, że koniunkcja tych wielkości jest zawsze równa zero, a alternatywna zawsze równa jeden.
$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$
Uprośćmy tę formułę:
Rysunek 3.
Wynika z tego, że $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.
Odpowiedź: Uczniowie $B$, $C$ i $D$ grają w szachy, ale uczeń $A$ nie gra.
Upraszczając wyrażenia logiczne, możesz wykonać następującą sekwencję działań:
- Zastąp wszystkie „niepodstawowe” operacje (równoważność, implikacja, wyłączne OR itp.) ich wyrażeniami poprzez podstawowe operacje inwersji, koniunkcji i alternatywy.
- Rozwiń inwersje wyrażeń złożonych zgodnie z regułami De Morgana w taki sposób, aby operacje negacji pozostały tylko dla poszczególnych zmiennych.
- Następnie uprość wyrażenie za pomocą nawiasów otwierających, umieszczając wspólne czynniki poza nawiasami i innymi prawami algebry logicznej.
Przykład 2
Tutaj stosuje się kolejno regułę De Morgana, prawo rozdzielności, prawo wyłączonego środka, prawo przemienności, prawo powtarzania, ponownie prawo przemienności i prawo absorpcji.
Wyrażenie algebraiczne, w którym oprócz operacji dodawania, odejmowania i mnożenia wykorzystuje się także dzielenie na wyrażenia literowe, nazywa się ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Są to na przykład wyrażenia
Ułamek algebraiczny nazywamy wyrażeniem algebraicznym, które ma postać ilorazu podziału dwóch wyrażeń algebraicznych w liczbach całkowitych (na przykład jednomianów lub wielomianów). Są to na przykład wyrażenia
Trzecie z wyrażeń).
Identyczne przekształcenia ułamkowych wyrażeń algebraicznych mają na celu najczęściej przedstawienie ich w postaci ułamka algebraicznego. Aby znaleźć wspólny mianownik, stosuje się faktoryzację mianowników ułamków - terminy w celu znalezienia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podczas redukcji ułamków algebraicznych może zostać naruszona ścisła tożsamość wyrażeń: konieczne jest wykluczenie wartości wielkości, przy których współczynnik redukcji staje się zerowy.
Podajmy przykłady identycznych przekształceń ułamkowych wyrażeń algebraicznych.
Przykład 1: Uprość wyrażenie
Wszystkie terminy można sprowadzić do wspólnego mianownika (wygodnie jest zmienić znak w mianowniku ostatniego wyrazu i znak przed nim):
Nasze wyrażenie jest równe jeden dla wszystkich wartości z wyjątkiem tych wartości; jest niezdefiniowane i zmniejszenie ułamka jest niedozwolone).
Przykład 2. Przedstaw wyrażenie jako ułamek algebraiczny
Rozwiązanie. Wyrażenie można potraktować jako wspólny mianownik. Znajdujemy po kolei:
Ćwiczenia
1. Znajdź wartości wyrażeń algebraicznych dla określonych wartości parametrów:
2. Rozłóż na czynniki.
Kalkulator inżynieryjny online
Z przyjemnością oddajemy każdemu darmowy kalkulator inżynierski. Za jego pomocą każdy uczeń może szybko i co najważniejsze łatwo wykonać różnego rodzaju obliczenia matematyczne online.
Kalkulator pochodzi z witryny - kalkulator naukowy web 2.0Prosty i łatwy w użyciu kalkulator inżynieryjny z dyskretnym i intuicyjnym interfejsem będzie naprawdę przydatny dla szerokiego grona użytkowników Internetu. Teraz, kiedy tylko potrzebujesz kalkulatora, wejdź na naszą stronę i skorzystaj z bezpłatnego kalkulatora inżynierskiego.
Kalkulator inżynierski może wykonywać zarówno proste operacje arytmetyczne, jak i dość złożone obliczenia matematyczne.
Web20calc to kalkulator inżynierski, który ma ogromną liczbę funkcji, na przykład obliczanie wszystkich funkcji elementarnych. Kalkulator obsługuje także funkcje trygonometryczne, macierze, logarytmy, a nawet wykresy.
Bez wątpienia Web20calc zainteresuje tę grupę osób, które w poszukiwaniu prostych rozwiązań wpisują w wyszukiwarkach hasło: kalkulator matematyczny online. Bezpłatna aplikacja internetowa pomoże Ci błyskawicznie obliczyć wynik jakiegoś wyrażenia matematycznego, na przykład odjąć, dodać, podzielić, wyodrębnić pierwiastek, podnieść do potęgi itp.
W wyrażeniu można zastosować operacje potęgowania, dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, wartości procentowych i stałej PI. W przypadku skomplikowanych obliczeń należy uwzględnić nawiasy.
Funkcje kalkulatora inżynierskiego:
1. podstawowe działania arytmetyczne;
2. praca z liczbami w standardowej formie;
3. obliczanie pierwiastków trygonometrycznych, funkcji, logarytmów, potęgowania;
4. obliczenia statystyczne: dodawanie, średnia arytmetyczna lub odchylenie standardowe;
5. wykorzystanie komórek pamięci i funkcji własnych 2 zmiennych;
6. pracować z kątami w radianach i stopniach.
Kalkulator inżynieryjny umożliwia wykorzystanie różnorodnych funkcji matematycznych:
Wyodrębnianie pierwiastków (pierwiastek kwadratowy, sześcienny i n-ty);
ex (e do potęgi x), wykładniczy;
funkcje trygonometryczne: sinus – sin, cosinus – cos, tangens – tangens;
odwrotne funkcje trygonometryczne: arcusinus - sin-1, arcuscosinus - cos-1, arcustangens - tan-1;
funkcje hiperboliczne: sinus – sinh, cosinus – cosh, tangens – tanh;
logarytmy: logarytm binarny o podstawie drugiej - log2x, logarytm dziesiętny o podstawie dziesiątej - log, logarytm naturalny - ln.
Ten kalkulator inżynieryjny zawiera również kalkulator ilości z możliwością konwersji wielkości fizycznych dla różnych systemów miar - jednostek komputerowych, odległości, masy, czasu itp. Korzystając z tej funkcji, możesz błyskawicznie przeliczyć mile na kilometry, funty na kilogramy, sekundy na godziny itp.
Aby dokonać obliczeń matematycznych, najpierw wpisz ciąg wyrażeń matematycznych w odpowiednim polu, następnie kliknij znak równości i zobacz wynik. Wartości możesz wprowadzać bezpośrednio z klawiatury (w tym celu obszar kalkulatora musi być aktywny, dlatego przydatne byłoby umieszczenie kursora w polu wprowadzania). Dane można wprowadzać między innymi za pomocą przycisków samego kalkulatora.
Aby zbudować wykresy należy w polu wejściowym wpisać funkcję zgodnie ze wskazaniami w polu z przykładami lub skorzystać ze specjalnie do tego przeznaczonego paska narzędzi (aby przejść do niej należy kliknąć przycisk z ikoną wykresu). Aby przeliczyć wartości, kliknij Jednostka; aby pracować z macierzami, kliknij Matryca.