NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE W UŻYCIU
Sieczin Michaił Aleksandrowicz
Mała Akademia nauki dla studentów Republiki Kazachstanu „Iskatel”
MBOU „Sowiecka Szkoła Średnia nr 1”, klasa 11, m. radziecki Rejon sowiecki
Gunko Ludmiła Dmitriewna, Nauczyciel MBOU„Radziecka Szkoła Średnia nr 1”
Rejon sowiecki
Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązania nierówności logarytmiczne C3 z wykorzystaniem metod niestandardowych, identyfikacja interesujące fakty logarytm
Przedmiot badań:
3) Nauczyć się rozwiązywać określone nierówności logarytmiczne C3 metodami niestandardowymi.
Wyniki:
Treść
Wprowadzenie…………………………………………………………………………….4
Rozdział 1. Historia zagadnienia…………………………………………………...5
Rozdział 2. Zbieranie nierówności logarytmicznych ………………………… 7
2.1. Przejścia równoważne i uogólnione metoda interwałowa…………… 7
2.2. Metoda racjonalizacji…………………………………………………………… 15
2.3. Zastępstwo niestandardowe .................................................................................. ............... 22
2.4. Zadania z pułapkami…………………………………………………27
Zakończenie…………………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Wstęp
Jestem w 11 klasie i planuję wstąpić na uniwersytet, gdzie przedmiot specjalistyczny jest matematyka. Dlatego dużo pracuję z problemami z części C. W zadaniu C3 muszę rozwiązać niestandardową nierówność lub układ nierówności, zwykle związany z logarytmami. Przygotowując się do egzaminu, stanąłem przed problemem braku metod i technik rozwiązywania egzaminacyjnych nierówności logarytmicznych oferowanych w C3. Metody, które są badane w program nauczania na ten temat nie stanowią podstawy do rozwiązywania zadań C3. Nauczycielka matematyki zasugerowała, żebym samodzielnie pracowała nad zadaniami na poziomie C3 pod jej okiem. Dodatkowo zainteresowało mnie pytanie: czy w naszym życiu spotykamy logarytmy?
Mając to na uwadze, wybrano temat:
„Nierówności logarytmiczne na egzaminie jednolitym”
Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania problemów C3 metodami niestandardowymi, identyfikowanie interesujących faktów dotyczących logarytmu.
Przedmiot badań:
1) Znajdź niezbędne informacje O metody niestandardowe rozwiązania nierówności logarytmicznych.
2) Znajdź Dodatkowe informacje o logarytmach.
3) Naucz się decydować specyficzne zadania C3 metodami niestandardowymi.
Wyniki:
Praktyczne znaczenie polega na rozbudowie aparatury do rozwiązywania problemów C3. Ten materiał można wykorzystać na niektórych lekcjach, w klubach i na zajęciach fakultatywnych z matematyki.
Produkt projektu będzie zbiorem „C3 Nierówności logarytmiczne z rozwiązaniami”.
Rozdział 1. Tło
Przez cały XVI wiek liczba obliczeń przybliżonych gwałtownie wzrosła, głównie w astronomii. Udoskonalanie instrumentów, badanie ruchów planet i inne prace wymagały kolosalnych, czasem wieloletnich obliczeń. Astronomia była zagrożona prawdziwe niebezpieczeństwo utonąć w niespełnionych obliczeniach. Trudności pojawiły się w innych obszarach, na przykład w branży ubezpieczeniowej potrzebne były tabele odsetki składane Dla różne znaczenia procent. Główna trudność reprezentował mnożenie, dzielenie liczby wielocyfrowe, zwłaszcza wielkości trygonometryczne.
Odkrycie logarytmów opierało się na właściwościach progresji, które były dobrze znane pod koniec XVI wieku. O powiązaniach między członkami postęp geometryczny q, q2, q3, ... i postęp arytmetyczny ich wskaźniki to 1, 2, 3,... Archimedes wypowiadał się w swoim „Psalmitis”. Kolejnym warunkiem wstępnym było rozszerzenie pojęcia stopnia na ujemne i wskaźniki ułamkowe. Wielu autorów zwróciło uwagę, że mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcja pierwiastków w postępie geometrycznym odpowiadają w arytmetyce – w tej samej kolejności – dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.
Oto idea logarytmu jako wykładnika.
W historii rozwoju doktryny logarytmów minęło kilka etapów.
Scena 1
Logarytmy zostały wynalezione nie później niż w 1594 roku niezależnie przez szkockiego barona Napiera (1550-1617), a dziesięć lat później przez szwajcarskiego mechanika Bürgi (1552-1632). Obaj chcieli dać nowy, wygodny sposób obliczenia arytmetyczne choć inaczej podeszli do tego zadania. Napier kinematycznie wyraził funkcję logarytmiczną i w ten sposób ją wprowadził Nowa okolica teoria funkcji. Bürgi pozostał w oparciu o rozważenie dyskretnych progresji. Jednak definicja logarytmu dla obu nie jest podobna do współczesnej. Termin „logarytm” (logarytm) należy do Napiera. Powstało z połączenia Greckie słowa: logos - „relacja” i ariqmo - „liczba”, co oznaczało „liczbę relacji”. Początkowo Napier używał innego określenia: numeri Artificiales – „liczby sztuczne”, w przeciwieństwie do numeri naturalts – „liczby naturalne”.
W 1615 roku w rozmowie z Henrym Briggsem (1561-1631), profesorem matematyki w Gresh College w Londynie, Napier zaproponował przyjęcie zera jako logarytmu jedności i 100 jako logarytmu dziesięciu, czyli co równa się temu rzecz, po prostu 1. Tak się pojawiły logarytmy dziesiętne i wydrukowano pierwsze tablice logarytmiczne. Później tablice Briggsa uzupełnił holenderski księgarz i miłośnik matematyki Adrian Flaccus (1600-1667). Napier i Briggs, choć do logarytmów doszli wcześniej niż wszyscy inni, swoje tablice opublikowali później niż pozostali – w roku 1620. Znaki dziennika i dziennika wprowadził w 1624 r. I. Kepler. Termin „logarytm naturalny” wprowadził Mengoli w 1659 r., a następnie N. Mercator w 1668 r., a londyński nauczyciel John Speidel opublikował tablice logarytmów naturalnych liczb od 1 do 1000 pod nazwą „Nowe logarytmy”.
Pierwsze tablice logarytmiczne opublikowano w języku rosyjskim w 1703 roku. Ale we wszystkich tabelach logarytmicznych wystąpiły błędy obliczeniowe. Pierwsze bezbłędne tablice ukazały się w 1857 roku w Berlinie, a ich opracowaniem zajął się niemiecki matematyk K. Bremiker (1804-1877).
Etap 2
Dalszy rozwój teorii logarytmów wiąże się z szerszym zastosowaniem geometria analityczna i rachunek nieskończenie mały. Do tego czasu ustanowiono połączenie między kwadraturą hiperbola równoboczna I naturalny logarytm. Teoria logarytmów tego okresu jest związana z nazwiskami wielu matematyków.
Niemiecki matematyk, astronom i inżynier Nikolaus Mercator w eseju
„Logarithmotechnics” (1668) podaje szereg dający rozwinięcie ln(x+1) w
potęgi x:
To wyrażenie dokładnie odpowiada jego tokowi myślenia, chociaż oczywiście nie użył znaków d, ..., ale bardziej uciążliwą symbolikę. Wraz z odkryciem szeregu logarytmicznego zmieniła się technika obliczania logarytmów: zaczęto je wyznaczać za pomocą szeregów nieskończonych. W swoich wykładach” Matematyka elementarna Z najwyższy punkt wizji”, czytanej w latach 1907-1908, F. Klein zaproponował przyjęcie wzoru jako punktu wyjścia do konstruowania teorii logarytmów.
Etap 3
Definicja funkcja logarytmiczna jako funkcja odwrotna
wykładniczy, logarytm jako wykładnik tę podstawę
nie został sformułowany od razu. Esej Leonharda Eulera (1707-1783)
„Wprowadzenie do analizy nieskończoności” (1748) posłużyło do dalszego rozwoju
rozwój teorii funkcji logarytmicznych. Zatem,
Od czasu pierwszego wprowadzenia logarytmów minęły 134 lata
(licząc od 1614 r.), zanim matematycy doszli do definicji
pojęcie logarytmu, które jest obecnie podstawą zajęć szkolnych.
Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych
2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów.
Równoważne przejścia
, jeśli a > 1
, jeśli 0 <
а <
1
Metoda uogólniona interwały
Ta metoda najbardziej uniwersalny przy rozwiązywaniu nierówności niemal każdego typu. Schemat rozwiązania wygląda w następujący sposób:
1. Doprowadź nierówność do postaci, w której występuje funkcja po lewej stronie 
, a po prawej 0.
2. Znajdź dziedzinę funkcji .
3. Znajdź zera funkcji , czyli rozwiązać równanie 
(a rozwiązanie równania jest zwykle łatwiejsze niż rozwiązanie nierówności).
4. Narysuj dziedzinę definicji i zera funkcji na osi liczbowej.
5. Wyznacz znaki funkcji na otrzymanych interwałach.
6. Wybierz przedziały, w których funkcja przyjmuje wymagane wartości i zapisz odpowiedź.
Przykład 1.
Rozwiązanie:
Zastosujmy metodę interwałową
Gdzie
Dla tych wartości wszystkie wyrażenia pod znakami logarytmicznymi są dodatnie.
Odpowiedź:
Przykład 2.
Rozwiązanie:
1 sposób . ADL zależy od nierówności X> 3. Branie logarytmów dla takich X do podstawy 10, otrzymujemy
Ostatnią nierówność można rozwiązać stosując reguły rozwinięcia, tj. porównanie czynników do zera. Jednak w w tym przypadkułatwe do wyznaczenia przedziały znaku stałego funkcji
dlatego można zastosować metodę interwałową.
Funkcjonować F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ jest ciągłe w X> 3 i znika w punktach X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. W ten sposób wyznaczamy przedziały stałego znaku funkcji F(X):
Odpowiedź:
2. metoda . Zastosujmy bezpośrednio idee metody przedziałowej do pierwotnej nierówności.
Aby to zrobić, pamiętaj, że wyrażenia A B- A c i ( A - 1)(B- 1) mają jeden znak. Wtedy nasza nierówność w X> 3 jest równoznaczne z nierównością
Lub
Ostatnią nierówność rozwiązuje się metodą przedziałową
Odpowiedź:
Przykład 3.
Rozwiązanie:
Zastosujmy metodę interwałową
Odpowiedź:
Przykład 4.
Rozwiązanie:
Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 dla wszystkich rzeczywistych X, To
Do rozwiązania drugiej nierówności używamy metody przedziałowej
W pierwszej nierówności dokonujemy zamiany
wtedy dochodzimy do nierówności 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, które spełniają nierówność -0,5< y < 1.
Skąd, ponieważ
otrzymujemy nierówność
który jest wykonywany kiedy X, dla którego 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Teraz, biorąc pod uwagę rozwiązanie drugiej nierówności układu, ostatecznie otrzymujemy
Odpowiedź:
Przykład 5.
Rozwiązanie:
Nierówność jest równoważna zbiorowi systemów
Lub
Użyjmy metody interwałowej lub
Odpowiedź:
Przykład 6.
Rozwiązanie:
Nierówność równa się systemowi
Pozwalać
Następnie y > 0,
i pierwsza nierówność
system przybiera formę
lub rozkładanie
trójmian kwadratowy według czynników,
Stosując metodę przedziałową do ostatniej nierówności,
widzimy, że jego rozwiązania spełniają warunek y> 0 będzie wszystkim y > 4.
Zatem pierwotna nierówność jest równoważna systemowi:
Zatem są wszystkie rozwiązania nierówności
2.2. Metoda racjonalizacji.
Poprzednio metoda Racjonalizacja nierówności nie została rozwiązana, nie było wiadomo. To jest „nowa nowoczesność” skuteczna metoda rozwiązania nierówności wykładniczych i logarytmicznych” (cytat z książki S.I. Kolesnikowej)
A nawet jeśli nauczyciel go znał, był strach – czy go znał? Ekspert ds. jednolitych egzaminów państwowych dlaczego nie dają tego w szkole? Zdarzały się sytuacje, gdy nauczyciel mówił do ucznia: „Skąd to wziąłeś? Usiądź – 2”.
Teraz metoda jest promowana na całym świecie. A dla ekspertów tak wytyczne, związane z tą metodą, oraz w „Najbardziej kompletnych wydaniach typowe opcje..." Rozwiązanie C3 wykorzystuje tę metodę.
WSPANIAŁA METODA!
W innych źródłach
Jeśli a >1 i b >1, następnie log a b >0 i (a -1)(b -1) >0;
Jeśli a >1 i 0 jeśli 0<A<1 и b
>1, następnie zaloguj a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jeśli 0<A<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0. Przeprowadzone rozumowanie jest proste, ale znacznie upraszcza rozwiązanie nierówności logarytmicznych. Przykład 4.
log x (x 2 -3)<0
Rozwiązanie:
Przykład 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Rozwiązanie: Przykład 6.
Aby rozwiązać tę nierówność, zamiast mianownika piszemy (x-1-1)(x-1), a zamiast licznika piszemy iloczyn (x-1)(x-3-9 + x). Przykład 7.
Przykład 8.
2.3. Zamienniki niestandardowe. Przykład 1.
Przykład 2.
Przykład 3.
Przykład 4.
Przykład 5.
Przykład 6.
Przykład 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Dokonajmy zamiany y=3 x -1; wtedy ta nierówność przybierze postać Log 4 log 0,25 Ponieważ log 0,25 Dokonajmy zamiany t =log 4 y i otrzymajmy nierówność t 2 -2t +≥0, której rozwiązaniem są przedziały - Zatem, aby znaleźć wartości y, mamy zestaw dwóch prostych nierówności Dlatego pierwotna nierówność jest równoważna zbiorowi dwóch nierówności wykładniczych, Rozwiązaniem pierwszej nierówności tego zbioru jest przedział 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Przykład 8.
Rozwiązanie:
Nierówność równa się systemowi Rozwiązaniem drugiej nierówności wyznaczającej ODZ będzie ich zbiór X,
dla którego X > 0.
Aby rozwiązać pierwszą nierówność, dokonujemy podstawienia Wtedy otrzymujemy nierówność Lub Metoda polega na znalezieniu zbioru rozwiązań ostatniej nierówności interwały: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, otrzymujemy Lub Dużo tych X, które spełniają ostatnią nierówność należy do ODZ ( X> 0), jest zatem rozwiązaniem układu, i stąd pierwotna nierówność. Odpowiedź: 2.4. Zadania z pułapkami. Przykład 1.
Rozwiązanie. ODZ nierówności to wszystkie x spełniające warunek 0 Przykład 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Odpowiedź. (0; 0,5)U.
Odpowiedź :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , to ostatnią nierówność zapisujemy jako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Rozwiązaniem tego zbioru są przedziały 0<у≤2 и 8≤у<+.
czyli agregaty 
. Zatem pierwotna nierówność jest spełniona dla wszystkich wartości x z przedziałów 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Zatem wszystkie x należą do przedziału 0
Wniosek
Znalezienie konkretnych metod rozwiązywania problemów C3 w dużej liczbie różnych źródeł edukacyjnych nie było łatwe. W trakcie wykonanej pracy miałem okazję poznać niestandardowe metody rozwiązywania złożonych nierówności logarytmicznych. Są to: przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów, metoda racjonalizacji , substytucja niestandardowa , zadania z pułapkami na ODZ. Metody te nie są uwzględnione w programie nauczania w szkole.
Używając różnych metod, rozwiązałem 27 nierówności zaproponowanych na Unified State Exam w części C, czyli C3. Te nierówności z rozwiązaniami metodami stały się podstawą zbioru „C3 Nierówności logarytmiczne z rozwiązaniami”, który stał się produktem projektowym mojej działalności. Hipoteza, którą postawiłem na początku projektu, potwierdziła się: problemy C3 można skutecznie rozwiązać, znając te metody.
Ponadto odkryłem ciekawe fakty dotyczące logarytmów. Zrobienie tego było dla mnie interesujące. Produkty mojego projektu będą przydatne zarówno dla uczniów, jak i nauczycieli.
Wnioski:
Tym samym cel projektu został osiągnięty, a problem rozwiązany. Otrzymałem najbardziej kompletne i różnorodne doświadczenie w zakresie działań projektowych na wszystkich etapach pracy. Podczas pracy nad projektem mój główny wpływ rozwojowy dotyczył kompetencji umysłowych, czynności związanych z logicznymi operacjami umysłowymi, rozwoju kompetencji twórczych, inicjatywy osobistej, odpowiedzialności, wytrwałości i aktywności.
Gwarancja sukcesu przy tworzeniu projektu badawczego dla Zdobyłem: duże doświadczenie szkolne, umiejętność pozyskiwania informacji z różnych źródeł, sprawdzania ich wiarygodności i uszeregowania ich według ważności.
Oprócz bezpośredniej wiedzy przedmiotowej z matematyki, poszerzyłem swoje umiejętności praktyczne z zakresu informatyki, zdobyłem nową wiedzę i doświadczenie z zakresu psychologii, nawiązałem kontakty z kolegami i koleżankami z klasy oraz nauczyłem się współpracy z dorosłymi. W trakcie działań projektowych rozwijane były ogólne umiejętności organizacyjne, intelektualne i komunikacyjne.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiew A. A. Układy nierówności z jedną zmienną (zadania standardowe C3).
2. Malkova A. G. Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.
3. Samarova S. S. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych.
4. Matematyka. Zbiór prac szkoleniowych pod redakcją A.L. Semenow i I.V. Jaszczenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-
Czy uważasz, że do egzaminu Unified State Exam jest jeszcze trochę czasu i będziesz miał czas na przygotowanie się? Być może tak jest. Ale w każdym razie im wcześniej uczeń rozpocznie przygotowania, tym skuteczniej zdaje egzaminy. Dziś postanowiliśmy poświęcić artykuł nierównościom logarytmicznym. To jedno z zadań, co oznacza możliwość zdobycia dodatkowego zaliczenia.
Czy wiesz już, czym jest logarytm? Naprawdę mamy taką nadzieję. Ale nawet jeśli nie znasz odpowiedzi na to pytanie, nie stanowi to problemu. Zrozumienie, czym jest logarytm, jest bardzo proste.
Dlaczego 4? Musisz podnieść liczbę 3 do tej potęgi, aby otrzymać 81. Kiedy zrozumiesz zasadę, możesz przystąpić do bardziej złożonych obliczeń.
Kilka lat temu przeżyłeś nierówności. I od tego czasu stale spotykasz je w matematyce. Jeśli masz problemy z rozwiązaniem nierówności, sprawdź odpowiednią sekcję.
Skoro już zapoznaliśmy się z pojęciami indywidualnie, przejdźmy do ich ogólnego rozważenia.
Najprostsza nierówność logarytmiczna.
Najprostsze nierówności logarytmiczne nie ograniczają się do tego przykładu; są jeszcze trzy, tylko z różnymi znakami. Dlaczego jest to konieczne? Aby lepiej zrozumieć, jak rozwiązywać nierówności za pomocą logarytmów. Podajmy teraz bardziej odpowiedni przykład, wciąż całkiem prosty; złożone nierówności logarytmiczne zostawmy na później.
Jak to rozwiązać? Wszystko zaczyna się od ODZ. Warto dowiedzieć się o tym więcej, jeśli chcesz zawsze łatwo rozwiązać każdą nierówność.
Co to jest ODZ? ODZ dla nierówności logarytmicznych
Skrót oznacza zakres dopuszczalnych wartości. To sformułowanie często pojawia się w zadaniach do egzaminu Unified State Exam. ODZ przyda Ci się nie tylko w przypadku nierówności logarytmicznych.
Spójrz jeszcze raz na powyższy przykład. Na jego podstawie rozważymy ODZ, abyście zrozumieli zasadę, a rozwiązywanie nierówności logarytmicznych nie rodziło pytań. Z definicji logarytmu wynika, że 2x+4 musi być większe od zera. W naszym przypadku oznacza to co następuje.
Liczba ta z definicji musi być dodatnia. Rozwiąż nierówność przedstawioną powyżej. Można to zrobić nawet ustnie; tutaj jest jasne, że X nie może być mniejsze niż 2. Rozwiązaniem nierówności będzie określenie zakresu dopuszczalnych wartości.
Przejdźmy teraz do rozwiązania najprostszej nierówności logarytmicznej.
Odrzucamy same logarytmy z obu stron nierówności. Co nam w rezultacie pozostaje? Prosta nierówność.
Nie jest to trudne do rozwiązania. X musi być większe niż -0,5. Teraz łączymy dwie uzyskane wartości w system. Zatem,
Będzie to zakres dopuszczalnych wartości rozważanej nierówności logarytmicznej.
Po co nam w ogóle ODZ? Jest to okazja do wyeliminowania błędnych i niemożliwych odpowiedzi. Jeśli odpowiedź nie mieści się w dopuszczalnych wartościach, to odpowiedź po prostu nie ma sensu. Warto o tym długo pamiętać, gdyż w Unified State Examination często pojawia się konieczność poszukiwania ODZ i dotyczy to nie tylko nierówności logarytmicznych.
Algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznej
Rozwiązanie składa się z kilku etapów. Najpierw musisz znaleźć zakres akceptowalnych wartości. W ODZ będą dwie wartości, omówiliśmy to powyżej. Następnie musimy rozwiązać samą nierówność. Metody rozwiązania są następujące:
- metoda zamiany mnożnika;
- rozkład;
- metoda racjonalizacji.
W zależności od sytuacji warto skorzystać z jednej z powyższych metod. Przejdźmy bezpośrednio do rozwiązania. Przedstawiamy najpopularniejszą metodę, która jest odpowiednia do rozwiązywania zadań Unified State Examination w prawie wszystkich przypadkach. Następnie przyjrzymy się metodzie rozkładu. Może to pomóc, jeśli natkniesz się na szczególnie trudną nierówność. A więc algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznej.
Przykłady rozwiązań :
Nie bez powodu wzięliśmy właśnie tę nierówność! Zwróć uwagę na podstawę. Pamiętaj: jeśli jest większa niż jeden, znak pozostaje ten sam przy znajdowaniu zakresu dopuszczalnych wartości; w przeciwnym razie musisz zmienić znak nierówności.
W rezultacie otrzymujemy nierówność:
Teraz sprowadzamy lewą stronę do postaci równania równego zero. Zamiast znaku „mniej niż” stawiamy „równa się” i rozwiązujemy równanie. W ten sposób znajdziemy ODZ. Mamy nadzieję, że nie będziesz miał problemów z rozwiązaniem tak prostego równania. Odpowiedzi to -4 i -2. To nie wszystko. Należy wyświetlić te punkty na wykresie, umieszczając „+” i „-”. Co należy w tym celu zrobić? Zastąp liczby z przedziałów do wyrażenia. Tam, gdzie wartości są dodatnie, stawiamy tam „+”.
Odpowiedź: x nie może być większe niż -4 i mniejsze niż -2.
Znaleźliśmy zakres dopuszczalnych wartości tylko dla lewej strony, teraz musimy znaleźć zakres dopuszczalnych wartości dla prawej strony. To jest o wiele łatwiejsze. Odpowiedź: -2. Przecinamy oba powstałe obszary.
Dopiero teraz zaczynamy zajmować się samą nierównością.
Uprośćmy to tak bardzo, jak to możliwe, aby ułatwić rozwiązanie.
W rozwiązaniu ponownie stosujemy metodę przedziałową. Pomińmy obliczenia; z poprzedniego przykładu wszystko jest już jasne. Odpowiedź.
Ale ta metoda jest odpowiednia, jeśli nierówność logarytmiczna ma te same podstawy.
Rozwiązywanie równań logarytmicznych i nierówności o różnych podstawach wymaga wstępnej redukcji do tej samej podstawy. Następnie zastosuj metodę opisaną powyżej. Ale jest bardziej skomplikowany przypadek. Rozważmy jeden z najbardziej złożonych typów nierówności logarytmicznych.
Nierówności logarytmiczne o zmiennej podstawie
Jak rozwiązać nierówności o takich cechach? Tak, i takie osoby można znaleźć w Unified State Examination. Rozwiązanie nierówności w następujący sposób również będzie miało korzystny wpływ na Twój proces edukacyjny. Przyjrzyjmy się temu zagadnieniu szczegółowo. Odrzućmy teorię i przejdźmy od razu do praktyki. Aby rozwiązać nierówności logarytmiczne, wystarczy raz zapoznać się z przykładem.
Aby rozwiązać nierówność logarytmiczną przedstawionej postaci, należy sprowadzić prawą stronę do logarytmu o tej samej podstawie. Zasada przypomina przejścia równoważne. W rezultacie nierówność będzie wyglądać następująco.
Właściwie pozostaje tylko stworzyć system nierówności bez logarytmów. Stosując metodę racjonalizacji, przechodzimy do równoważnego układu nierówności. Sama regułę zrozumiesz, gdy zastąpisz odpowiednie wartości i prześledzisz ich zmiany. Układ będzie miał następujące nierówności.
Stosując metodę racjonalizacji przy rozwiązywaniu nierówności należy pamiętać o następujących kwestiach: od podstawy należy odjąć jedną, x z definicji logarytmu odejmuje się od obu stron nierówności (prawa od lewej), mnoży się dwa wyrażenia i ustawić pod oryginalnym znakiem w stosunku do zera.
Dalsze rozwiązanie odbywa się metodą interwałową, tutaj wszystko jest proste. Ważne jest, abyś zrozumiał różnice w metodach rozwiązywania, wtedy wszystko zacznie się łatwo układać.
Nierówności logarytmiczne mają wiele niuansów. Najprostsze z nich są dość łatwe do rozwiązania. Jak rozwiązać każdy z nich bez problemów? Otrzymałeś już wszystkie odpowiedzi w tym artykule. Teraz przed tobą długa praktyka. Stale ćwicz rozwiązywanie różnych problemów na egzaminie, a będziesz w stanie uzyskać najwyższy wynik. Powodzenia w trudnym zadaniu!
Nierówność nazywa się logarytmiczną, jeśli zawiera funkcję logarytmiczną.
Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych nie różnią się od, z wyjątkiem dwóch rzeczy.
Po pierwsze, przechodząc od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych, należy podążaj za znakiem powstałej nierówności. Przestrzega następującej zasady.
Jeżeli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż 1$, to przy przejściu od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych znak nierówności zostaje zachowany, natomiast jeśli jest mniejszy niż 1$, to zmienia się na przeciwny .
Po drugie, rozwiązaniem dowolnej nierówności jest przedział, dlatego na końcu rozwiązywania nierówności funkcji sublogarytmicznych konieczne jest utworzenie układu dwóch nierówności: pierwszą nierównością tego układu będzie nierówność funkcji sublogarytmicznych, a drugi będzie przedziałem dziedziny definicji funkcji logarytmicznych zawartych w nierówności logarytmicznej.
Ćwiczyć.
Rozwiążmy nierówności:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Podstawą logarytmu jest $2>1$, więc znak się nie zmienia. Korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )