Wyimaginowane przecinające się linie. Równanie pary linii równoległych lub pokrywających się

równanie (1) definiuje wyimaginowaną krzywą drugiego rzędu. Równanie x 2 + y 2 = - 1 puszka

służyć jako przykład równania drugiego stopnia definiującego urojoną krzywą, w w tym przypadku wyimaginowany okrąg.

Ważne sprawy równanie ogólne krzywa drugiego rzędu

Równanie elipsy

1 (a ≥b >0)

z półosiami o długości a i b. W szczególności dla a = b równanie okręgu

x 2+ y 2= za 2

ze środkiem w początku układu współrzędnych i promieniem a.

Równanie hiperboli

1 (a ≥b >0)

z półosiami a i b.

Równanie paraboli

y2 = 2 px(p> 0) .

Równanie pary przecinających się prostych

a2 x2 − b2 y2 = 0 , (0< a, b) или y= ± b a x.

Równanie pary linii równoległych lub pokrywających się

x 2 −a 2 =0 (a ≥0) lub x = ±a. y 2 −b 2 = 0, (b ≥ 0) lub y = ±b.

Równanie definiujące punkt

Elipsa

Elipsa to zbiór punktów, suma odległości od których do dwóch dane punkty, zwane ogniskami, jest wielkością stałą.

Twierdzenie 1.7.1

Jeśli znana: odległość pomiędzy ogniskami F 1

oraz elipsa F 2 równa 2 c i sumie odległości

z dowolnego punktu elipsy do ognisk, równe

2a, następnie w prostokątnym układzie kartezjańskim

współrzędne miejsca, w którym oś Wół przechodzi przez ogniska

F 1 i F 2 (od F 1 do F 2 ) i początek

w połowie drogi między nimi znajduje się równanie elipsy

1, gdzie 2 = za 2 - do 2.

Dowód

−c

W wprowadzonym układzie współrzędnych ogniska znajdują się na osi

Wół i mają współrzędne

F 1 (- do , 0 ) i F 2 ( do , 0 ) . Niech punkt M (x, y) należy do elipsy (ryc. 1.7.1). Następnie

MF = (x+ c) 2

Y2 , MF= (x− c) 2

2 za =(x +c) 2 +y 2 +(x -c) 2 +y 2,

przenosząc pierwszy rodnik z prawej strony na lewą, piszemy

2 za −(x +c) 2 +y 2 =(x −c) 2 +y 2.

Podnieśmy obie strony równania do kwadratu

4 za 2 +(x +c) 2 +y 2 -4 za (x +c) 2 +y 2 =(x -c) 2 +y 2

i otwórz kwadraty po lewej i prawej stronie

4 za 2 +x 2 +2 cx +y 2 + do 2 -4 za (x +c ) 2 +y 2 =x 2 -2 xc + do 2 +y 2 .

Przynosząc podobne wyrazy, otrzymujemy równanie

4 a2 + 4 cx= 4 za (x+ do) 2 + y2 ,

Dzielimy obie strony przez 4 i ponownie podnosimy do kwadratu. wtedy równanie przyjmie postać

za 4+ 2 za 2cx + do 2x 2= za 2[ x 2+ 2 cx + do 2+ y 2] .

Ostatnie równanie można uprościć, otwierając nawiasy i dodając podobne wyrazy,

za 4+ 2 za 2cx + do 2x 2= za 2x 2+ 2 za 2cx + za 2c 2+ za 2y 2, − (za 2− do 2) x 2= − za 2(za 2− do 2) + za 2 lata 2.

Ponieważ z definicji elipsy wynika, że ​​2 a > 2 c, to liczba a 2 - c 2 > 0 i można ją oznaczyć jako b 2 = a 2 - c 2. Następnie równanie elipsy zostanie zapisane w postaci

− b 2x 2= − za 2b 2+ za 2 lata 2 lub za 2b 2= b 2x 2+ za 2 lata 2.

Takie równanie elipsy nazywa się kanonicznym.

Badanie kształtu krzywej

Jeśli w równaniu elipsy

1 zamieńx na - x,

wtedy jego wygląd się nie zmieni. Ten

oznacza, że ​​jeśli punkt M (x, y)

należy do krzywej, a następnie do punktu

M 1 (− x, y) również należy

ta krzywa. Dlatego krzywa jest symetryczna względem rzędnej. Elipsa jest symetryczna i

względem osi x, ponieważ jej równanie nie zmienia się, gdy y zostanie zastąpione przez - y. Rozważając

to wystarczy zbadać postać krzywej w pierwszym kwartale, czyli pod warunkiem x, y ≥ 0.

Dla x, y ≥ 0 można określić krzywą w postaci jawnego równania

2− x 2,

(0 ≤x ≤a) . Z

z tego równania widać, że krzywa przechodzi przez punkty B (0, b)

i A(a, 0). Punkty te nazywane są

wierzchołki elipsy.

Elipsa – ograniczona krzywa znajdująca się wewnątrz prostokąta

0 ≤ x ≤a

wyraźne równanie elipsy jasne jest, że rzędna y z ciągłym wzrostem

0 ≤ y ≤b

na segmencie

[ 0 , a ] maleje monotonicznie. W konsekwencji elipsa jest w pierwszej kolejności ciągłą, zamkniętą krzywą

w ćwiartkach jest wypukła w górę; styczną można narysować w dowolnym punkcie. W pozostałych ćwiartkach krzywa jest konstruowana z uwzględnieniem symetrii względem osie współrzędnych.

Liczby a i b nazywane są półosiami elipsy. Ponieważ b 2 = a 2 - c 2, to a > b i elipsa jest wydłużona wzdłuż osi Ox. W tym przypadku nazywa się a oś główna, ab - oś mała elipsa. Rodzaj krzywej pokazano na rysunku 1.7.2.

- za

−c

−b

Gdy a = b, elipsa jest kołem o promieniu

a ze środkiem na początku.

x 2+ y 2= za 2.

Ekscentryczność elipsę nazywa się liczbą ε = a c. Dla mimośrodu elipsy

nierówność 0 jest prawdziwa< ε <1 , поскольку из определения эллипса следует, чтоc >a > 0 . Mimośród okręgu wynosi ε = 0, ponieważ dla okręgu a = b i c = 0.

Biorąc pod uwagę, że mimośród okręgu ε = 0, można stwierdzić, że im większy mimośród elipsy, tym bardziej jest ona wydłużona względem jednej z osi symetrii.

Hiperbola

Hiperbola to zbiór punktów, różnica odległości, z których do dwóch danych punktów, zwanych ogniskami, ma wartość stałą.

Twierdzenie 1.7.2

Jeżeli znane są: odległość między ogniskami F 1 i F 2 hiperboli równa 2 c oraz różnica odległości od dowolnego punktu hiperboli do ognisk równa 2 a, to w prostokątnym kartezjańskim system

współrzędne, w których oś Wół przechodzi przez ogniska F 1 i F 2 (od F 1

F 2 ) i pochodzenie

w połowie odległości między ogniskami równanie hiperboli ma postać

1, gdzie a, b > 0 i

b 2= do 2− za 2.

b 2 = do 2 - za 2

Dowód

−c

We wprowadzonym układzie xOy współrzędne ognisk to F 1 (− c, 0), F 2 (c, 0). Jeśli punktA (x, y)

należy do hiperboli, wówczas AF 1 – AF 2 = 2 a lub AF 1 – AF 2 = ±2 a (ryc. 1.7.3).

Podstawiając współrzędne punktów A, F 1, F 2 do ostatniej równości, otrzymujemy

(x +c ) 2 +y 2 −(x −c ) 2 +y 2 = ±2a ,

lub (x +c) 2 +y 2 =(x -c) 2 +y 2 ± 2a.

Podnieśmy obie strony ostatniego równania do kwadratu

(x +c ) 2 +y 2 =(x -c ) 2 +y 2 ±4 za (x -c ) 2 +y 2 +4 za 2

i uprość go, odsłaniając wszystkie kwadraty

x 2 +2 cx +c 2 +y 2 =x 2 −2 cx +c 2 +y 2 ±4 za (x −c ) 2 +y 2 +4 za 2

i wprowadzenie podobnych warunków

4 cx− 4 a2 = ± 4 za (x− do) 2 + y2 .

Podzielmy ostatnie równanie przez 4 i wyrównaj ponownie do 2x 2− 2 cxa 2+ za 4= za 2(x 2− 2 cx + do 2+ y 2) .

Otwierając nawiasy i dokonując uproszczeń, otrzymujemy równanie

(c 2- za 2) x 2- za 2y 2= za 2(c 2- za 2) ,

w którym c 2 − a 2 > 0, ponieważ 2 c > 2 a z definicji hiperboli. Wynika z tego, że możemy wprowadzić zapis i zapisać równanie hiperboli w postaci b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 .

Dzieląc przez a 2 b 2, otrzymujemy równanie hiperboli

za x 22 - b y 2 2= 1 ,

co nazywa się kanonicznym.

Badanie kształtu krzywej.

Z formy równania jest jasne

że hiperbola jest symetryczna względem osi Ox i osi Oy. Na

x = 0 otrzymujemy równanie

który nie ma prawdziwych korzeni. Stąd,

krzywa nie przecina osi

Oj. Na

y = 0 otrzymujemy równanie

1, którego pierwiastki to x = ± a.

W konsekwencji krzywa przecina oś Wółu w punktach A 1 (a, 0) i

ZA 2 (- za , 0 ) . Punkty te nazywane są

wierzchołki hiperboli.

Pobierz z plików depozytowych

Wykład nr 9. Temat 3: Linie drugiego rzędu

Niech w jakimś DSC będzie dana prosta określona równaniem drugiego stopnia

gdzie są współczynniki
nie są jednocześnie równe zeru. Ta linia nazywa się krzywa lub linia drugiego zamówienia.

Może się zdarzyć, że nie będzie punktów
o współrzędnych rzeczywistych spełniających równanie (1). W tym przypadku uważa się, że równanie (1) definiuje prostą urojoną drugiego rzędu. Na przykład,
To jest równanie wyimaginowanego okręgu.

Rozważmy trzy ważne szczególne przypadki równania (1).

3.1. Elipsa

Elipsę definiuje równanie

(2)

Szanse A I B nazywane są odpowiednio osią półdużą i półmałą, a równanie (2) to kanoniczny równanie elipsy.

Włóżmy
i zaznaczyć na osi O Xzwrotnica

zwany wydziwianie elipsa. Następnie elipsę można zdefiniować jako

zbiór punktów, suma odległości, z których do ognisk ma stałą wartość równą 2A.

Na

B

M K

— AF 1 o F 2 A X

— B

Pokażmy to. Niech chodzi
bieżący punkt elipsy. W tym przypadku otrzymujemy Wtedy równość musi być spełniona

Przedstawmy wyrażenie (3) w postaci

i podnieś obie strony wyrażenia do kwadratu

Stąd dostajemy

Jeszcze raz wyprostujmy to wyrażenie i skorzystajmy z relacji
, Następnie

(4)

Dzielenie obu stron wyrażenia (4) przez
, ostatecznie otrzymujemy równanie kanoniczne elipsy

Przeanalizujmy równanie (2). Jeśli zastąpimy w równaniu, równanie (2) nie ulegnie zmianie. Oznacza to, że elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych. Dlatego rozważmy szczegółowo część elipsy znajdującą się w pierwszym kwartale. Jest to określone równaniem
Jest oczywiste, że elipsa przechodzi przez punkty
. Po ukończeniu schematycznej konstrukcji w pierwszym kwartale, będziemy symetrycznie wyświetlać jej wykres we wszystkich kwartałach. Zatem elipsa jest ciągłą zamkniętą krzywą. Punkty to tzw wierzchołki elipsy.

Postawa
zwanyekscentrycznośćelipsa. Dla elipsy
.

Bezpośredni
są nazywane kierownice elipsy.

Następująca własność kierownic jest prawdziwa::

Stosunek odległości od ogniska do kierownicy dla punktów elipsy jest wartością stałą równą mimośrodowi, tj.

Dowodzi się tego w taki sam sposób, jak równość (3).

Notatka 1. Koło
jest szczególnym przypadkiem elipsy. Dla niej

3.2. Hiperbola

Równanie kanoniczne hiperboli ma postać

te. w równaniu (1) musimy umieścić

Szanse A I B nazywane są odpowiednio półosiami rzeczywistymi i urojonymi.

Układanie
, zaznacz na osi O Xzwrotnica
zwany wydziwianie hiperbola. Następnie hiperbolę można zdefiniować jako

miejsce punktów, różnica odległości od ognisk w wartości bezwzględnej wynosi 2A, tj.


Na

DO M

F 1 —A O AF 2 X


Dowód jest podobny jak dla elipsy. Na podstawie postaci równania hiperboli wnioskujemy również, że jego wykres jest symetryczny względem osi układu współrzędnych. Część hiperboli leżąca w pierwszej ćwiartce ma równanie
Z tego równania jasno wynika, że ​​dla wystarczająco dużychXhiperbola jest zbliżona do linii prostej
. Po schematycznej konstrukcji w pierwszym kwartale, wyświetlamy wykres symetrycznie we wszystkich kwartałach.

Zwrotnica
są nazywane szczyty hiperbola. Bezpośredni
są nazywane asymptoty - są to linie proste, do których zmierzają gałęzie hiperboli, nie przecinając ich.

Związek nazywa sięekscentrycznośćhiperbola. Za hiperbolę
.

Nazywa się linie bezpośrednie dyrektorki hiperbola. W przypadku kierownic hiperboli zachodzi właściwość podobna do właściwości kierownic elipsy.

Przykład. Znajdź równanie elipsy, której wierzchołki znajdują się w ogniskach, a ogniska w wierzchołkach hiperboli
.

Według warunku
A

Wreszcie dostajemy

10.3. Parabola

Parabola jest zdefiniowana równanie kanoniczne
te. w równaniu (1) musimy umieścić

DO współczynnikR zwany DONa

parametr ogniskowy. M

Zaznaczmy na osi O Xpunkt

zwane skupieniem

- elipsa;

- parabola;

- hiperbola.

Zainstaluj w samolocie układ prostokątny współrzędne i rozważ ogólne równanie drugiego stopnia

w którym
.

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie (8.4.1), nazywa się krzywy (linia) drugie zamówienie.

Dla każdej krzywej drugiego rzędu istnieje prostokątny układ współrzędnych, zwany kanonicznym, w którym równanie tej krzywej ma jedną z następujących postaci:

1)
(elipsa);

2)
(wyimaginowana elipsa);

3)
(para wyimaginowanych przecinających się linii);

4)
(hiperbola);

5)
(para przecinających się linii);

6)
(parabola);

7)
(para równoległych linii);

8)
(para wyimaginowanych linii równoległych);

9)
(para pokrywających się linii).

Równania 1)–9) są wywoływane równania kanoniczne krzywych drugiego rzędu.

Rozwiązanie problemu sprowadzenia równania krzywej drugiego rzędu do postaci kanonicznej polega na znalezieniu równania kanonicznego krzywej i kanonicznego układu współrzędnych. Sprowadzenie do postaci kanonicznej pozwala obliczyć parametry krzywej i określić jej położenie względem pierwotnego układu współrzędnych. Przejście z pierwotnego prostokątnego układu współrzędnych
do kanonicznego
przeprowadza się poprzez obrót osi pierwotnego układu współrzędnych wokół punktu O pod określonym kątem  i późniejsze równoległe przesunięcie układu współrzędnych.

Niezmienniki krzywej drugiego rzędu(8.4.1) to takie funkcje współczynników jego równania, których wartości nie zmieniają się przy przechodzeniu z jednego prostokątnego układu współrzędnych do drugiego tego samego układu.

Dla krzywej drugiego rzędu (8.4.1): suma współczynników dla kwadratów współrzędnych

,

wyznacznik złożony ze współczynników wyrazów wiodących

i wyznacznik trzeciego rzędu

są niezmiennikami.

Wartość niezmienników s, ,  można wykorzystać do określenia typu i ułożenia równania kanonicznego krzywej drugiego rzędu (tabela 8.1).

Tabela 8.1

Klasyfikacja krzywych drugiego rzędu na podstawie niezmienników

Przyjrzyjmy się bliżej elipsie, hiperboli i paraboli.

Elipsa(Rys. 8.1) to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, dla których suma odległości do dwóch stałych punktów
ten samolot, tzw ogniska elipsy, jest wartością stałą (większą niż odległość pomiędzy ogniskami). W tym przypadku nie wyklucza się zbieżności ognisk elipsy. Jeśli ogniska pokrywają się, wówczas elipsa jest kołem.

Połowa sumy odległości od punktu elipsy do jej ognisk jest oznaczona wzorem A, połowa odległości między ogniskami – Z. Jeśli prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie zostanie wybrany w taki sposób, że ogniska elipsy znajdują się na osi OX symetrycznie względem początku, to w tym układzie współrzędnych elipsę wyznacza równanie

, (8.4.2)

zwany kanoniczne równanie elipsy, Gdzie
.

Ryż. 8.1

Przy określonym wyborze prostokątnego układu współrzędnych elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych i początku. Nazywa się osie symetrii elipsy osie, a środek symetrii to środek elipsy. Jednocześnie osie elipsy często nazywane są liczbami 2 A i 2 B i liczby A I B – duży I oś mała odpowiednio.

Nazywa się punkty przecięcia elipsy z jej osiami wierzchołki elipsy. Wierzchołki elipsy mają współrzędne ( A, 0), (–A, 0), (0, B), (0, –B).

Ekscentryczność elipsy wywołany numer

. (8.4.3)

Od 0  C < A, mimośrodowość elipsy 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

To pokazuje, że mimośrodowość charakteryzuje kształt elipsy: im bliżej  jest zero, tym bardziej elipsa przypomina okrąg; wraz ze wzrostem  elipsa staje się bardziej wydłużona.

Pozwalać
– dowolny punkt elipsa,
I
– odległość od punktu M przed sztuczkami F 1 i F 2 odpowiednio. Liczby R 1 i R 2 są tzw promienie ogniskowe punktu M elipsa i oblicza się je za pomocą wzorów

Dyrektorki różni się od koła elipsa za pomocą równania kanonicznego (8.4.2) wywoływane są dwie proste

.

Kierownice elipsy znajdują się na zewnątrz elipsy (ryc. 8.1).

Stosunek promienia ogniskowego zwrotnicaMelipsa na odległość tej elipsy (ognisko i kierownica są uważane za odpowiadające sobie, jeśli znajdują się po tej samej stronie środka elipsy).

Hiperbola(Rys. 8.2) to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, dla których moduł różnicy odległości do dwóch stałych punktów I ten samolot, tzw sztuczki hiperboliczne, jest wartością stałą (nie równą zeru i mniejszą niż odległość między ogniskami).

Niech odległość między ogniskami będzie wynosić 2 Z, a określony moduł różnicy odległości jest równy 2 A. Wybierzmy prostokątny układ współrzędnych w taki sam sposób, jak w przypadku elipsy. W tym układzie współrzędnych hiperbola jest określona równaniem

, (8.4.4)

zwany równanie kanoniczne hiperboli, Gdzie
.

Ryż. 8.2

Przy takim wyborze prostokątnego układu współrzędnych osie współrzędnych są osiami symetrii hiperboli, a początek jest jej środkiem symetrii. Nazywa się osie symetrii hiperboli osie, a środek symetrii to środek hiperboli. Prostokąt o bokach 2 A i 2 B, umiejscowiony jak pokazano na rys. 8.2, tzw podstawowy prostokąt hiperboli. Liczby 2 A i 2 B to osie hiperboli i liczby A I B- jej półosie. Tworzą się linie proste będące kontynuacją przekątnych głównego prostokąta asymptoty hiperboli

.

Punkty przecięcia hiperboli z osią Wół są nazywane wierzchołki hiperboli. Wierzchołki hiperboli mają współrzędne ( A, 0), (–A, 0).

Ekscentryczność hiperboli wywołany numer

. (8.4.5)

Ponieważ Z > A, mimośród hiperboli  > 1. Równość (8.4.5) przepiszemy w postaci

.

To pokazuje, że mimośrodowość charakteryzuje kształt głównego prostokąta, a co za tym idzie, kształt samej hiperboli: im mniejsze , tym bardziej rozciąga się główny prostokąt, a po nim sama hiperbola wzdłuż osi Wół.

Pozwalać
– dowolny punkt hiperboli,
I
– odległość od punktu M przed sztuczkami F 1 i F 2 odpowiednio. Liczby R 1 i R 2 są tzw promienie ogniskowe punktu M hiperbole i oblicza się je za pomocą wzorów

Dyrektorki hiperbole za pomocą równania kanonicznego (8.4.4) wywoływane są dwie proste

.

Kierownice hiperboli przecinają główny prostokąt i przechodzą między środkiem a odpowiednim wierzchołkiem hiperboli (ryc. 8.2).

O współczynnik promienia ogniskowej zwrotnicaM hiperbole na odległość od tego punktu do punktu odpowiadającego ostrości kierownica równa się ekscentryczności tej hiperboli (ognisko i kierownica uważa się za odpowiadające sobie, jeśli znajdują się po tej samej stronie środka hiperboli).

Parabola(Rys. 8.3) to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie, dla których odległość do jakiegoś stałego punktu F (ognisko paraboli) tej płaszczyzny jest równa odległości do jakiejś ustalonej linii prostej ( kierownice paraboli), również znajdujący się w rozważanej płaszczyźnie.

Wybierzmy początek O prostokątny układ współrzędnych w środku odcinka [ FD], czyli prostopadłość nieostrości F na kierownicy (zakłada się, że ognisko nie należy do kierownicy) i osiach Wół I Oj Skierujmy to tak, jak pokazano na ryc. 8.3. Niech długość odcinka [ FD] jest równy P. Następnie w wybranym układzie współrzędnych
I kanoniczne równanie paraboli wygląda jak

. (8.4.6)

Ogrom P zwany parametr paraboli.

Parabola ma oś symetrii zwaną oś paraboli. Nazywa się punkt przecięcia paraboli z jej osią wierzchołek paraboli. Jeżeli parabolę podaje jej równanie kanoniczne (8.4.6), to osią paraboli jest oś Wół. Oczywiście wierzchołek paraboli jest początkiem.

Przykład 1. Kropka A= (2, –1) należy do elipsy, punkt F= (1, 0) jest jego ogniskiem, odpowiadającym F kierownica jest określona równaniem
. Napisz równanie tej elipsy.

Rozwiązanie. Rozważymy układ współrzędnych jako prostokątny. Potem dystans z punktu A do dyrektorki
zgodnie z zależnością (8.1.8), w której


, równa się

.

Dystans z punktu A skupiać się F równa się

,

co pozwala nam określić mimośród elipsy

.

Pozwalać M = (X, y) jest dowolnym punktem elipsy. Potem dystans
z punktu M do dyrektorki
według wzoru (8.1.8) równa się

i odległość z punktu M skupiać się F równa się

.

Ponieważ dla dowolnego punktu elipsy relacja jest stałą wielkością równą mimośrodowi elipsy, stąd mamy

,

Przykład 2. Krzywą wyznacza równanie

w prostokątnym układzie współrzędnych. Znajdź kanoniczny układ współrzędnych i równanie kanoniczne tej krzywej. Określ rodzaj krzywej.

Rozwiązanie. Kwadratowy kształt
ma macierz

.

Jego charakterystyczny wielomian

ma pierwiastki  1 = 4 i  2 = 9. Dlatego w bazie ortonormalnej wektorów własnych macierzy A rozważana postać kwadratowa ma postać kanoniczną

.

Przejdźmy do konstrukcji macierzy transformacji ortogonalnej zmiennych, sprowadzając rozważaną formę kwadratową do wskazanej postaci kanonicznej. W tym celu będziemy budować systemy podstawowe rozwiązania jednorodnych układów równań
i ortonormalizować je.

Na
ten system wygląda

Jego ogólne rozwiązanie to
. Jest tu jedna wolna zmienna. Dlatego podstawowy układ rozwiązań składa się z jednego wektora, na przykład wektora
. Normalizując to, otrzymujemy wektor

.

Na
skonstruujmy także wektor

.

Wektory I są już ortogonalne, ponieważ odnoszą się do różnych wartości własnych macierzy symetrycznej A. Stanowią one kanoniczną bazę ortonormalną danego forma kwadratowa. Wymaganą macierz ortogonalną (macierz rotacji) buduje się z kolumn ich współrzędnych

.

Sprawdźmy, czy macierz została znaleziona poprawnie R według formuły
, Gdzie
– macierz postaci kwadratowej w podstawie
:

Matryca R znalezione poprawnie.

Przekształćmy zmienne

i zapisz równanie tej krzywej w nowym prostokątnym układzie współrzędnych ze starymi wektorami środka i kierunku
:

Gdzie
.

Otrzymaliśmy równanie kanoniczne elipsy

.

Z uwagi na fakt, że wynikową transformację współrzędnych prostokątnych określają wzory

,

,

kanoniczny układ współrzędnych
ma początek
i wektory kierunkowe
.

Przykład 3. Korzystając z teorii niezmienników, określ typ i utwórz równanie kanoniczne krzywej

Rozwiązanie. Ponieważ

,

zgodnie z tabelą. 8.1 wnioskujemy, że jest to hiperbola.

Ponieważ s = 0, charakterystyczny wielomian macierzy ma postać kwadratową

Jego korzenie
I
pozwalają nam napisać równanie kanoniczne krzywej

Gdzie Z można znaleźć na podstawie warunku

,

.

Wymagane równanie kanoniczne krzywej

.

W zadaniach tej sekcji współrzędneX, yprzyjmuje się, że są prostokątne.

8.4.1. Dla elips
I
znajdować:

a) półosie;

b) sztuczki;

c) ekscentryczność;

d) równania kierownicze.

8.4.2. Napisz równania elipsy, znając jej ognisko
, odpowiadający dyrektorce X= 8 i ekscentryczność . Znajdź drugie ognisko i drugą kierownicę elipsy.

8.4.3. Napisz równanie elipsy, której ogniska mają współrzędne (1, 0) i (0, 1) i której główna oś wynosi dwa.

8.4.4. Biorąc pod uwagę hiperbolę
. Znajdować:

a) półosie A I B;

b) sztuczki;

c) ekscentryczność;

d) równania asymptot;

e) równania kierownicze.

8.4.5. Biorąc pod uwagę hiperbolę
. Znajdować:

a) półosie A I B;

b) sztuczki;

c) ekscentryczność;

d) równania asymptot;

e) równania kierownicze.

8.4.6. Kropka
należy do hiperboli, której ogniskiem jest
, a odpowiednia kierownica jest podana przez równanie
. Napisz równanie tej hiperboli.

8.4.7. Napisz równanie paraboli ze względu na jej ostrość
i dyrektorka
.

8.4.8. Biorąc pod uwagę wierzchołek paraboli
oraz równanie kierownicy
. Napisz równanie tej paraboli.

8.4.9. Napisz równanie paraboli, której ognisko znajduje się w punkcie

a kierownica jest określona równaniem
.

8.4.10. Napisz równanie drugiego rzędu dla krzywej, znając jej mimośród
, centrum
i odpowiednia dyrektorka
.

8.4.11. Określ typ krzywej drugiego rzędu, ułóż jej równanie kanoniczne i znajdź kanoniczny układ współrzędnych:

G)
;

8.4.12.

jest elipsą. Znajdź długości półosi i mimośród tej elipsy, współrzędne środka i ognisk, utwórz równania dla osi i kierownic.

8.4.13. Udowodnij, że krzywa drugiego rzędu dana równaniem

jest hiperbolą. Znajdź długości półosi i mimośród tej hiperboli, współrzędne środka i ognisk, utwórz równania na osie, kierownice i asymptoty.

8.4.14. Udowodnij, że krzywa drugiego rzędu dana równaniem

,

jest parabolą. Znajdź parametr tej paraboli, współrzędne wierzchołków i ogniska, napisz równania osi i kierownicy.

8.4.15. Sprowadź każde z poniższych równań do postaci kanonicznej. Narysuj na rysunku odpowiednią krzywą drugiego rzędu względem pierwotnego prostokątnego układu współrzędnych:

8.4.16. Korzystając z teorii niezmienników, określ typ i utwórz równanie kanoniczne krzywej.

zanikające linie:

x 2 - a 2 = 0 - pary prostych równoległych,

x 2 + a 2 = 0 - pary wyimaginowanych linii równoległych,

x 2 = 0 - pary pokrywających się linii równoległych.

Studium typu L. v. można przeprowadzić bez sprowadzania równania ogólnego do postaci kanonicznej. Osiąga się to poprzez wspólne rozważenie znaczeń tzw. podstawowe niezmienniki liniowego v. n. - wyrażenia złożone ze współczynników równania (*), których wartości nie zmieniają się, gdy transfer równoległy i obrót układu współrzędnych:

S = za 11 + za 22,(a ij = a ji).

I tak np. elipsy, podobnie jak linie nierozpadające się, charakteryzują się tym, że dla nich Δ ≠ 0; wartość dodatnia niezmiennik δ odróżnia elipsy od innych typów linii nierozpadających się (dla hiperboli δ

Trzy główne niezmienniki Δ, δ i S określają ruch liniowy. p. (z wyjątkiem przypadku linii równoległych) aż do ruchu (patrz Ruch) płaszczyzny euklidesowej: jeśli odpowiednie niezmienniki Δ, δ i S dwóch linii są równe, wówczas takie linie można połączyć ruchem. Innymi słowy, linie te są równoważne w odniesieniu do grupy ruchów płaszczyzny (równoważne metrycznie).

Istnieją klasyfikacje L. v. z punktu widzenia innych grup transformacji. Zatem stosunkowo bardziej ogólnie niż grupa ruchów - grupa przekształceń afinicznych (patrz Przekształcenia afiniczne) - dowolne dwie proste określone równaniami jednego Forma kanoniczna. Na przykład dwa podobne L. v. rzeczownik (patrz Podobieństwo) są uważane za równoważne. Połączenia pomiędzy różnymi klasami afinicznymi liniowego v. p. pozwala nam ustalić klasyfikację z punktu widzenia geometrii rzutowej (patrz Geometria rzutowa), w której elementy w nieskończoności nie odgrywają szczególnej roli. Prawdziwe, nierozpadające się leki. p.: elipsy, hiperbole i parabole tworzą jedną klasę rzutową - klasę rzeczywistych linii owalnych (owali). Rzeczywista linia owalna to elipsa, hiperbola lub parabola, w zależności od jej położenia względem prostej w nieskończoności: elipsa przecina linię niewłaściwą w dwóch urojonych punktach, hiperbola w dwóch różnych rzeczywistych punktach, parabola dotyka niewłaściwa linia; istnieją transformacje projekcyjne, które przekształcają te linie jedna w drugą. Istnieje tylko 5 klas równoważności rzutowej wektorów liniowych. dokładnie,

linie niezdegenerowane

(x 1 , x 2 , x 3- współrzędne jednorodne):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - prawdziwy owal,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - wyimaginowany owal,

linie degenerujące:

x 1 2 - x 2 2= 0 - para prostych rzeczywistych,

x 1 2 + x 2 2= 0 - para wyimaginowanych linii,

x 1 2= 0 - para pokrywających się linii rzeczywistych.

A. B. Iwanow.


Duży Encyklopedia radziecka. - M .: Encyklopedia radziecka. 1969-1978 .

Zobacz, jakie „linie drugiego rzędu” znajdują się w innych słownikach:

    Płaskie linie, Prostokątne współrzędne punkty, które spełniają równanie algebraiczne 2 stopień. Do linii drugiego rzędu zaliczają się elipsy (w szczególności koła), hiperbole, parabole... Duży słownik encyklopedyczny

    Linie płaskie, których prostokątne współrzędne punktów spełniają równanie algebraiczne II stopnia. Do linii drugiego rzędu zaliczają się elipsy (w szczególności koła), hiperbole i parabole. * * * LINIE DRUGIEGO PORZĄDKU LINII DRUGIEGO PORZĄDKU,... ... słownik encyklopedyczny

    Linie płaskie, prostokątne. współrzędne punktów spełniają algebry. Poziom II stopnia. Wśród L. v. itp. elipsy (w szczególności koła), hiperbole, parabole... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

    Płaska linia, prostokątne współrzędne kartezjańskie spełniają algebraikę. równanie drugiego stopnia Równanie (*) może nie określać rzeczywistej geometrii. obrazu, ale dla zachowania ogólności w takich przypadkach mówią, że to determinuje... ... Encyklopedia matematyczna

    Zbiór punktów trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej (lub zespolonej), których współrzędne w układzie kartezjańskim spełniają algebraikę. równanie II stopnia (*) Równanie (*) może nie wyznaczać rzeczywistej geometrii. obrazy, w taki... ... Encyklopedia matematyczna

    To słowo, bardzo często używane w geometrii linii zakrzywionych, nie do końca konkretna wartość. Kiedy to słowo odnosi się do niezamkniętych i nierozgałęzionych linii krzywych, wówczas przez odgałęzienie krzywej rozumie się każdą ciągłą oddzielną... ... Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhausa i I.A. Efrona

    Linie drugiego rzędu, dwie średnice, z których każda przecina cięciwy tej krzywej na pół, równolegle do drugiej. grać w SD ważna rola V ogólna teoria linie drugiego rzędu. Na projekt równoległy elipsa na obwodzie S. d.... ...

    Linie otrzymane poprzez przecięcie prawego okrągłego stożka płaszczyznami, które nie przechodzą przez jego wierzchołek. K. s. może być trzy typy: 1) płaszczyzna cięcia przecina wszystkie tworzące stożka w punktach jednego z jego wgłębień; linia... ... Wielka encyklopedia radziecka

    Linie uzyskiwane poprzez przecięcie linii prostej okrągły stożek płaszczyzny, które nie przechodzą przez jego wierzchołek. K. s. może być trzech typów: 1) płaszczyzna cięcia przecina wszystkie tworzące stożka w punktach jednej z jego wnęk (ryc., a): linia przecięcia... ... Encyklopedia matematyczna

    Sekcja geometrii. Podstawowymi pojęciami geometrii geometrycznej są najprostsze obrazy geometryczne (punkty, linie proste, płaszczyzny, krzywe i powierzchnie drugiego rzędu). Głównymi środkami badawczymi w AG są metoda współrzędnych (patrz poniżej) i metody... ... Wielka encyklopedia radziecka

Książki

  • Krótki kurs geometrii analitycznej. Podręcznik. Grif Ministerstwo Obrony Federacji Rosyjskiej Jefimow Nikołaj Władimirowicz. Przedmiot badań geometria analityczna to są liczby współrzędne kartezjańskie są dane równaniami pierwszego lub drugiego stopnia. Na płaszczyźnie są to linie proste i linie drugiego rzędu. W…

1. Linie drugiego rzędu na płaszczyźnie euklidesowej.

2. Niezmienniki równań liniowych drugiego rzędu.

3. Wyznaczanie rodzaju prostych drugiego rzędu na podstawie niezmienników ich równania.

4. Włączone linie drugiego rzędu płaszczyzna afiniczna. Twierdzenie o wyjątkowości.

5. Środki linii drugiego rzędu.

6. Asymptoty i średnice prostych drugiego rzędu.

7. Sprowadzenie równań prostych drugiego rzędu do najprostszych.

8. Główne kierunki i średnice linii drugiego rzędu.

BIBLIOGRAFIA


1. Linie drugiego rzędu na płaszczyźnie euklidesowej.

Definicja:

Płaszczyzna euklidesowa jest przestrzenią o wymiarze 2,

(dwuwymiarowa przestrzeń rzeczywista).

Linie drugiego rzędu to linie przecięcia okrągłego stożka z płaszczyznami, które nie przechodzą przez jego wierzchołek.

Linie te często znajdują się w Róźne problemy nauki przyrodnicze. Na przykład ruch punkt materialny pod wpływem centralnego pola grawitacyjnego następuje wzdłuż jednej z tych linii.

Jeśli płaszczyzna cięcia przecina wszystko generatory prostoliniowe jedno wgłębienie stożka, wówczas na przekroju powstanie linia zwana elipsa(ryc. 1.1, a). Jeżeli płaszczyzna cięcia przecina tworzące obu wnęk stożka, wówczas na przekroju powstanie linia zwana hiperbola(ryc. 1.1,6). I wreszcie, jeśli płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z tworzących stożka (przy 1,1, V- to jest generator AB), wówczas sekcja utworzy linię o nazwie parabola. Ryż. 1.1 daje reprezentacja wizualna o kształcie rozważanych linii.


Rysunek 1.1

Ogólne równanie linii drugiego rzędu ma następny widok:

(1)

(1*)

Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których suma odległości wynosi dwa punkty stałe F 1 I F 2 ta płaszczyzna, zwana ogniskami, jest wartością stałą.

W tym przypadku nie wyklucza się zbieżności ognisk elipsy. Oczywiście jeśli ogniska pokrywają się, wówczas elipsa jest kołem.

Aby wyprowadzić równanie kanoniczne elipsy, wybieramy początek O kartezjańskiego układu współrzędnych w środku odcinka F 1 F 2 , i osie Oh I Jednostka organizacyjna Skierujmy to tak, jak pokazano na ryc. 1.2 (jeśli sztuczki F 1 I F 2 pokrywają się, to O pokrywa się z F 1 I F 2 i dla osi Oh możesz przyjąć dowolną oś przechodzącą O).

Niech długość odcinka F 1 F 2 F 1 I F 2 mają odpowiednio współrzędne (-с, 0) i (с, 0). Oznaczmy przez 2a stała, o której mowa w definicji elipsy. Oczywiście 2a > 2c, tj. a > c ( Jeśli M- punkt elipsy (patrz ryc. 1.2), następnie | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 A , i od sumy dwóch stron M.F. 1 I M.F. 2 trójkąt M.F. 1 F 2 więcej osób trzecich F 1 F 2 = 2c, następnie 2a > 2c. Naturalne jest wykluczenie przypadku 2a = 2c, bo wtedy o to chodzi M zlokalizowany na segmencie F 1 F 2 a elipsa degeneruje się w segment. ).

Pozwalać M- punkt płaszczyzny ze współrzędnymi (x, y)(ryc. 1.2). Oznaczmy przez r 1 i r 2 odległości od punktu M do punktów F 1 I F 2 odpowiednio. Zgodnie z definicją elipsy równość

R 1 + R 2 = 2a (1.1)

jest warunkiem koniecznym i wystarczającym położenia punktu M (x, y) na danej elipsie.

Korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami, otrzymujemy

(1.2)

Z (1.1) i (1.2) wynika, że stosunek

(1.3)

jest konieczne i warunek wystarczający położenie punktu M o współrzędnych x i y na danej elipsie. Zatem zależność (1.3) można uznać za równanie elipsy. Stosując standardową metodę „niszczenia rodników” równanie to sprowadza się do postaci

(1.4) (1.5)

Ponieważ równanie (1.4) ma postać konsekwencja algebraiczna równanie elipsy (1.3), następnie współrzędne x i y dowolny punkt M elipsa będzie również spełniać równanie (1.4). Ponieważ podczas przekształceń algebraicznych związanych z pozbywaniem się rodników „ dodatkowe korzenie", musimy upewnić się, że dowolny punkt M, którego współrzędne spełniają równanie (1.4), znajduje się na tej elipsie. Aby to zrobić, oczywiście wystarczy udowodnić, że wartości r 1 i r 2 dla każdego punktu spełniają zależność (1.1). Więc niech współrzędne X I Na zwrotnica M spełniają równanie (1.4). Zastąpienie wartości o 2 z (1.4) na prawą stronę wyrażenia (1.2) dla r 1 po prostych przekształceniach stwierdzamy, że

, Następnie .

Dokładnie w ten sam sposób to znajdujemy

. A zatem w omawianym punkcie M , (1.6)

tj. R 1 + R 2 = 2a, i dlatego punkt M leży na elipsie. Równanie (1.4) nazywa się równanie kanoniczne elipsy. Wielkie ilości A I B są odpowiednio nazywane większą i mniejszą półoś elipsy(nazwy „duży” i „mały” tłumaczy się tym, że a>b).

Komentarz. Jeśli półosie elipsy A I B są równe, wówczas elipsą jest okrąg, którego promień jest równy R = A = B, a środek pokrywa się z początkiem.

Hiperbola jest zbiorem punktów na płaszczyźnie, dla których całkowita wartość różnica odległości do dwóch punktów stałych, F 1 I F 2 tej płaszczyzny, zwanej ogniskami, istnieje stała wartość ( Wydziwianie F 1 I F 2 naturalne jest, aby uważać hiperbole za różne, ponieważ jeśli stała wskazana w definicji hiperboli nie jest równa zeru, to nie ma ani jednego punktu płaszczyzny, jeśli się pokrywają F 1 I F 2 , co spełniałoby wymagania definicji hiperboli. Jeśli ta stała wynosi zero i F 1 zbiega się z F 2 , wówczas dowolny punkt na płaszczyźnie spełnia wymagania definicji hiperboli. ).

Aby wyprowadzić równanie kanoniczne hiperboli, wybieramy początek współrzędnych w środku odcinka F 1 F 2 , i osie Oh I Jednostka organizacyjna Skierujmy to tak, jak pokazano na ryc. 1.2. Niech długość odcinka F 1 F 2 równe 2s. Następnie w wybranym układzie współrzędnych punkty F 1 I F 2 mają odpowiednio współrzędne (-с, 0) i (с, 0). Oznaczmy przez 2 A stała, o której mowa w definicji hiperboli. Oczywiście 2a< 2с, т. е. A < с. Musimy upewnić się, że równanie (1.9), otrzymane przez przekształcenia algebraiczne równanie (1.8) nie uzyskało nowych pierwiastków. Aby to zrobić, wystarczy to udowodnić dla każdego punktu M, współrzędne X I Na które spełniają równanie (1.9), wartości r 1 i r 2 spełniają zależność (1.7). Wykonując argumenty podobne do tych, które zostały zastosowane przy wyprowadzaniu wzorów (1.6), znajdujemy następujące wyrażenia dla interesujących nas ilości r 1 i r 2:

(1.11)

A zatem w omawianym punkcie M mamy

, i dlatego znajduje się na hiperboli.

Równanie (1.9) nazywa się równanie kanoniczne hiperboli. Wielkie ilości A I B nazywane są odpowiednio rzeczywistymi i urojonymi półosie hiperboli.

Parabola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których wynosi odległość do jakiegoś stałego punktu F płaszczyzna ta jest równa odległości do jakiejś ustalonej linii prostej, również znajdującej się w rozważanej płaszczyźnie.