Według segmentu nazywamy część linii prostej składającą się ze wszystkich punktów tej linii, które znajdują się pomiędzy tymi dwoma punktami - nazywane są one końcami odcinka.

Spójrzmy na pierwszy przykład. Niech pewien odcinek zostanie zdefiniowany przez dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych. W tym przypadku jego długość możemy wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Zatem w układzie współrzędnych rysujemy odcinek o podanych współrzędnych jego końców(x1; y1) I (x2; y2) . Na osi X I Y Narysuj prostopadłe od końców odcinka. Zaznaczmy na czerwono odcinki będące rzutami z pierwotnego odcinka na oś współrzędnych. Następnie przenosimy segmenty projekcyjne równolegle do końców segmentów. Otrzymujemy trójkąt (prostokątny). Przeciwprostokątną tego trójkąta będzie sam odcinek AB, a jego ramiona to przeniesione występy.

Obliczmy długość tych występów. Zatem na oś Y długość projekcji wynosi y2-y1 i na osi X długość projekcji wynosi x2-x1 . Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . W tym przypadku |AB| jest długością odcinka.

Jeśli użyjesz tego diagramu do obliczenia długości odcinka, nie będziesz musiał nawet konstruować odcinka. Obliczmy teraz długość odcinka za pomocą współrzędnych (1;3) I (2;5) . Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Oznacza to, że długość naszego odcinka jest równa 5:1/2 .

Rozważ następującą metodę znajdowania długości odcinka. Aby to zrobić, musimy znać współrzędne dwóch punktów w jakimś układzie. Rozważmy tę opcję, używając dwuwymiarowego kartezjańskiego układu współrzędnych.

Zatem w dwuwymiarowym układzie współrzędnych podawane są współrzędne skrajnych punktów odcinka. Jeśli przez te punkty poprowadzimy linie proste, muszą one być prostopadłe do osi współrzędnych, wtedy otrzymamy trójkąt prostokątny. Oryginalny odcinek będzie przeciwprostokątną powstałego trójkąta. Nogi trójkąta tworzą segmenty, ich długość jest równa rzutowi przeciwprostokątnej na osie współrzędnych. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa wnioskujemy: aby znaleźć długość danego odcinka, należy znaleźć długości rzutów na dwie osie współrzędnych.

Znajdźmy długości projekcji (X i Y) oryginalny segment na osie współrzędnych. Obliczamy je, znajdując różnicę współrzędnych punktów na osobnej osi: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Oblicz długość odcinka A , w tym celu znajdujemy pierwiastek kwadratowy:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Jeśli nasz odcinek znajduje się pomiędzy punktami, których współrzędne 2;4 I 4;1 , wówczas jego długość jest odpowiednio równa √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta ABC.
Znajdź: 1) długość boku AB; 2) równania boków AB i AC oraz ich współczynniki kątowe; 3) Kąt wewnętrzny A w radianach z dokładnością do 0,01; 4) równanie na wysokość CD i jego długość; 5) równanie okręgu, dla którego wysokość CD jest średnicą; 6) układ nierówności liniowych definiujący trójkąt ABC.

Długość boków trójkąta:
|AB| = 15
|AK| = 11,18
|BC| = 14.14
Odległość d od punktu M: d = 10
Podano współrzędne wierzchołków trójkąta: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Długość boków trójkąta
Odległość d między punktami M 1 (x 1 ; y 1) i M 2 (x 2 ; y 2) określa się wzorem:

8) Równanie prostej
Prostą przechodzącą przez punkty A 1 (x 1 ; y 1) i A 2 (x 2 ; y 2) reprezentują równania:

Równanie prostej AB
Lub
lub y = -3 / 4 x -7 / 4 lub 4y + 3x +7 = 0
Równanie prostej AC
Równanie kanoniczne prostej: Lub
lub y = 1 / 2 x + 9 / 2 lub 2y -x - 9 = 0
Równanie prostej BC
Równanie kanoniczne prostej: Lub
lub y = -7x + 42 lub y + 7x - 42 = 0
3) Kąt pomiędzy liniami prostymi
Równanie prostej AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Równanie linii AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Kąt φ między dwiema prostymi, wyznaczony równaniami o współczynnikach kątowych y = k 1 x + b 1 i y 2 = k 2 x + b 2, oblicza się według wzoru:

Nachylenia tych linii wynoszą -3/4 i 1/2. Skorzystajmy ze wzoru i weźmy jego prawą stronę modulo:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 lub 1,107 rad.
9) Równanie wysokości przez wierzchołek C
Linia prosta przechodząca przez punkt N 0 (x 0 ; y 0) i prostopadła do prostej Ax + By + C = 0 ma wektor kierunkowy (A;B) i dlatego jest reprezentowana przez równania:



Równanie to można znaleźć w inny sposób. Aby to zrobić, znajdźmy nachylenie k 1 prostej AB.
Równanie AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, tj. k 1 = -3 / 4
Znajdźmy współczynnik kątowy k prostopadłej z warunku prostopadłości dwóch prostych: k 1 *k = -1.
Zastępując nachylenie tej linii zamiast k 1, otrzymujemy:
-3 / 4 k = -1, skąd k = 4 / 3
Ponieważ prostopadła przechodzi przez punkt C(5,7) i ma k = 4 / 3, jej równania będziemy szukać w postaci: y-y 0 = k(x-x 0).
Podstawiając x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 otrzymujemy:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
Lub
y = 4 / 3 x + 1 / 3 lub 3y -4x - 1 = 0
Znajdźmy punkt przecięcia z prostą AB:
Mamy układ dwóch równań:
4y + 3x +7 = 0
3 lata -4x - 1 = 0
Z pierwszego równania wyrażamy y i podstawiamy je do drugiego równania.
Otrzymujemy: x = -1; y=-1
D(-1;-1)
9) Długość wysokości trójkąta narysowanego z wierzchołka C
Odległość d od punktu M 1 (x 1 ;y 1) do prostej Ax + By + C = 0 jest równa wartości bezwzględnej wielkości:

Znajdź odległość pomiędzy punktem C(5;7) a linią AB (4y + 3x +7 = 0)


Długość wysokości można obliczyć za pomocą innego wzoru, jako odległość między punktem C(5;7) a punktem D(-1;-1).
Odległość między dwoma punktami wyraża się we współrzędnych wzorem:

5) równanie okręgu, dla którego wysokość CD jest średnicą;
Równanie okręgu o promieniu R ze środkiem w punkcie E(a;b) ma postać:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Ponieważ CD jest średnicą pożądanego okręgu, jego środek E jest środkiem odcinka CD. Korzystając ze wzorów na podzielenie odcinka na pół, otrzymujemy:


Dlatego E(2;3) i R = CD / 2 = 5. Korzystając ze wzoru otrzymujemy równanie pożądanego okręgu: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) układ nierówności liniowych definiujący trójkąt ABC.
Równanie prostej AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Równanie prostej AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Równanie prostej BC: y = -7x + 42

Co to jest funkcja? Jest to zależność jednej wielkości od drugiej. W funkcji matematycznej najczęściej występują dwie niewiadome: niezależna i zależna, czyli odpowiednio x i y.

Co to znaczy? Oznacza to, że x może przyjąć absolutnie dowolną wartość, a y dostosuje się do niej, zmieniając się zgodnie ze współczynnikami funkcji.

Istnieją sytuacje, w których funkcja ma wiele zmiennych. Zależność wynosi zawsze 1, ale może mieć na nią wpływ kilka czynników. Nie zawsze da się przedstawić taką funkcję na wykresie. W najlepszym wypadku można graficznie przedstawić zależność y od 2 zmiennych.

Jak najłatwiej przedstawić zależność y(x)?

Tak, bardzo proste. Wyobraź sobie rozpieszczone dziecko i bogatą, kochającą matkę. Przychodzą razem do sklepu i zaczynają błagać o słodycze. Kto wie, ilu cukierków chłopiec dzisiaj zażąda?

Nikt, ale w zależności od ilości cukierków, kwota, którą mama zapłaci przy kasie, będzie wzrastać. W tym przypadku zmienną zależną jest kwota czeku, a zmienną niezależną jest liczba słodyczy, na jaką chłopiec ma dziś ochotę.

Bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że jedna wartość funkcji y zawsze odpowiada 1 wartości argumentu x. Ale podobnie jak w przypadku pierwiastków równania kwadratowego, wartości te mogą się pokrywać.

Równanie prostej

Dlaczego potrzebujemy równania linii prostej, jeśli mówimy o równaniu długości boków trójkąta?

Tak, ponieważ każdy bok trójkąta jest odcinkiem. Odcinek to ograniczona część linii prostej. Oznacza to, że możemy określić równania linii prostych. A w punktach ich przecięcia ogranicz linie, odcinając w ten sposób linie proste i zamieniając je w segmenty.

Równanie prostej wygląda następująco:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Równanie boków trójkąta

Należy znaleźć równanie na długości boków trójkąta o wierzchołkach w punktach A(3,7); B(5,3); C(12;9)

Wszystkie współrzędne są dodatnie, co oznacza, że ​​trójkąt będzie zlokalizowany w 1 ćwiartce współrzędnych.

Narysujmy równania dla każdej linii trójkąta, jedna po drugiej.

• Pierwsza linia będzie AB. Podstawiamy współrzędne punktów do równania prostej w miejsce x i y. Otrzymujemy w ten sposób układ dwóch równań liniowych. Po rozwiązaniu możesz znaleźć wartość współczynników funkcji:

A(3,7) ; B(5,3):

Z pierwszego równania wyrażamy b i zastępujemy je w drugim.

Podstawmy wartość a i znajdźmy b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Utwórzmy równanie dla linii prostej.

• W ten sam sposób utwórzmy pozostałe dwa równania.

B(5,3); C(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\nad7)=-(9\nad7)$$

$$y=(6\nad7)x-(9\nad7)$$

• A(3,7) ; C(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\nad9)=(57\nad9)$$

$$y=(2\nad9)x+(57\nad9)$$

• Zapiszmy równanie na długości boków trójkąta:

$$y=(6\nad7)x-(9\nad7)$$

$$y=(2\nad9)x+(57\nad9)$$

Czego się nauczyliśmy?

Dowiedzieliśmy się, czym jest funkcja, rozmawialiśmy o funkcji prostej i nauczyliśmy się wyprowadzać równania boków trójkąta ze współrzędnych jego wierzchołków.

Testuj w temacie

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.8. Łączna liczba otrzymanych ocen: 45.

Jak nauczyć się rozwiązywać problemy z geometrii analitycznej?
Typowy problem z trójkątem na płaszczyźnie

Lekcja ta powstaje na temat podejścia do równika pomiędzy geometrią płaszczyzny a geometrią przestrzeni. W chwili obecnej istnieje potrzeba usystematyzowania zgromadzonych informacji i odpowiedzi na bardzo ważne pytanie: jak nauczyć się rozwiązywać problemy z geometrii analitycznej? Trudność polega na tym, że można wymyślić nieskończoną liczbę problemów z geometrii, a żaden podręcznik nie będzie zawierał całej mnogości i różnorodności przykładów. Nie jest pochodna funkcji z pięcioma regułami różnicowania, tabelą i kilkoma technikami….

Jest rozwiązanie! Nie będę mówił głośno o tym, że opracowałem jakąś imponującą technikę, jednak moim zdaniem istnieje skuteczne podejście do rozważanego problemu, które pozwala nawet kompletnemu manekinowi osiągnąć dobre i doskonałe wyniki. Przynajmniej ogólny algorytm rozwiązywania problemów geometrycznych uformował się bardzo wyraźnie w mojej głowie.

CO MUSISZ WIEDZIEĆ I UMIEĆ
za skuteczne rozwiązywanie problemów z geometrią?

Nie ma od tego ucieczki – aby przypadkowo nie szturchać nosami guzików, trzeba opanować podstawy geometrii analitycznej. Dlatego jeśli dopiero zacząłeś uczyć się geometrii lub całkowicie o niej zapomniałeś, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów . Oprócz wektorów i działań z nimi musisz znać podstawowe pojęcia z geometrii płaskiej, w szczególności: równanie prostej w płaszczyźnie I . Geometria przestrzeni jest prezentowana w artykułach Równanie płaszczyzny , Równania prostej w przestrzeni , Podstawowe zagadnienia na prostych i płaszczyznach i kilka innych lekcji. Zakrzywione linie i powierzchnie przestrzenne drugiego rzędu są nieco od siebie oddalone i nie ma z nimi zbyt wielu specyficznych problemów.

Załóżmy, że student posiada już podstawową wiedzę i umiejętności rozwiązywania najprostszych problemów geometrii analitycznej. Ale dzieje się tak: czytasz opis problemu i... chcesz zamknąć całą sprawę, rzucić ją w najdalszy kąt i zapomnieć, jak zły sen. Co więcej, zasadniczo nie zależy to od poziomu Twoich kwalifikacji, sam od czasu do czasu natrafiam na zadania, dla których rozwiązanie nie jest oczywiste. Co zrobić w takich przypadkach? Nie musisz bać się zadania, którego nie rozumiesz!

Po pierwsze, należy zainstalować - Czy jest to problem „płaski”, czy przestrzenny? Na przykład, jeśli warunek obejmuje wektory z dwiema współrzędnymi, to oczywiście jest to geometria płaszczyzny. A jeśli nauczyciel załadował wdzięcznego słuchacza piramidą, wówczas wyraźnie widać geometrię przestrzeni. Wyniki pierwszego kroku są już całkiem niezłe, bo udało nam się odciąć ogromną ilość informacji niepotrzebnych do tego zadania!

Drugi. Warunek będzie zazwyczaj dotyczył jakiejś figury geometrycznej. Rzeczywiście, idź korytarzami swojego rodzimego uniwersytetu, a zobaczysz wiele zmartwionych twarzy.

W problemach „płaskich”, nie wspominając o oczywistych punktach i liniach, najpopularniejszą figurą jest trójkąt. Przeanalizujemy to bardzo szczegółowo. Następny jest równoległobok, a znacznie mniej popularne są prostokąt, kwadrat, romb, okrąg i inne kształty.

W zadaniach przestrzennych mogą latać te same płaskie figury + same płaszczyzny i zwykłe trójkątne piramidy z równoległościanami.

Pytanie drugie - Czy wiesz wszystko o tej postaci? Załóżmy, że warunek mówi o trójkącie równoramiennym, a ty bardzo mgliście pamiętasz, jaki to rodzaj trójkąta. Otwieramy podręcznik szkolny i czytamy o trójkącie równoramiennym. Co robić...lekarz powiedział romb, to znaczy romb. Geometria analityczna jest geometrią analityczną, ale problem zostanie rozwiązany dzięki właściwościom geometrycznym samych figur, znane nam ze szkolnego programu nauczania. Jeśli nie wiesz, jaka jest suma kątów trójkąta, możesz cierpieć przez długi czas.

Trzeci. ZAWSZE staraj się postępować zgodnie z rysunkiem(na wersji roboczej/kopię końcową/w pamięci), nawet jeśli warunek nie wymaga tego. W przypadku „płaskich” problemów sam Euklides kazał wziąć linijkę i ołówek - i to nie tylko po to, aby zrozumieć stan, ale także w celu autotestu. W tym przypadku najwygodniejszą skalą jest 1 jednostka = 1 cm (2 komórki notesu). Nie mówmy o nieostrożnych studentach i matematykach przewracających się w grobach - w takich zadaniach prawie niemożliwe jest popełnienie błędu. W przypadku zadań przestrzennych wykonujemy rysunek schematyczny, który pomoże również w analizie stanu.

Rysunek lub schematyczny rysunek często pozwala od razu zobaczyć sposób rozwiązania problemu. Oczywiście do tego trzeba znać podstawy geometrii i rozumieć właściwości kształtów geometrycznych (patrz poprzedni akapit).

Czwarty. Opracowanie algorytmu rozwiązania. Wiele problemów z geometrią ma charakter wieloetapowy, dlatego rozwiązanie i jego projekt można bardzo wygodnie rozbić na punkty. Często algorytm przychodzi na myśl od razu po przeczytaniu warunku lub ukończeniu rysunku. W przypadku trudności zaczynamy od PYTANIA o zadanie. Na przykład zgodnie z warunkiem „musisz zbudować linię prostą…”. Tutaj najbardziej logiczne pytanie brzmi: „Co wystarczy wiedzieć, aby skonstruować tę linię prostą?” Załóżmy, że „znamy punkt, musimy znać wektor kierunku”. Zadajemy następujące pytanie: „Jak znaleźć ten wektor kierunkowy? Gdzie?" itp.

Czasami pojawia się „błąd” - problem nie został rozwiązany i tyle. Przyczyny zatrzymania mogą być następujące:

– Poważna luka w podstawowej wiedzy. Innymi słowy, nie wiesz i/lub nie widzisz jakiejś bardzo prostej rzeczy.

– Nieznajomość właściwości figur geometrycznych.

– Zadanie było trudne. Tak, to się zdarza. Nie ma sensu parować godzinami i zbierać łez w chusteczkę. Poproś o poradę swojego nauczyciela, innych uczniów lub zadaj pytanie na forum. Co więcej, lepiej jest skonkretyzować jego stwierdzenie - dotyczące tej części rozwiązania, której nie rozumiesz. Krzyk w formie „Jak rozwiązać problem?” nie wygląda zbyt dobrze... a przede wszystkim dla własnej reputacji.

Etap piąty. Decydujemy – sprawdzamy, decydujemy – sprawdzamy, decydujemy – sprawdzamy – udzielamy odpowiedzi. Warto sprawdzić każdy punkt zadania zaraz po jego zakończeniu. Pomoże to natychmiast wykryć błąd. Oczywiście nikt nie zabrania szybkiego rozwiązania całego problemu, jednak istnieje ryzyko przepisania wszystkiego od nowa (często kilka stron).

Są to być może wszystkie główne kwestie, którymi należy się kierować przy rozwiązywaniu problemów.

Część praktyczna lekcji prowadzona jest na geometrii płaskiej. Będą tylko dwa przykłady, ale to nie wystarczy =)

Przejdźmy przez wątek algorytmu, któremu właśnie się przyjrzałem w mojej małej pracy naukowej:

Przykład 1

Dane są trzy wierzchołki równoległoboku. Znajdź szczyt.

Zacznijmy rozumieć:

Krok pierwszy: Jest oczywiste, że mówimy o problemie „płaskim”.

Krok drugi: Problem dotyczy równoległoboku. Czy wszyscy pamiętają tę figurę równoległoboku? Nie ma co się uśmiechać, wiele osób zdobywa wykształcenie w wieku 30-40-50 lat i więcej, więc nawet proste fakty można wymazać z pamięci. Definicja równoległoboku znajduje się w przykładzie nr 3 lekcji Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów .

Krok trzeci: Zróbmy rysunek, na którym zaznaczymy trzy znane wierzchołki. Zabawne, że nie jest trudno od razu skonstruować pożądany punkt:

Zbudowanie go jest oczywiście dobre, jednak rozwiązanie należy sformułować analitycznie.

Krok czwarty: Opracowanie algorytmu rozwiązania. Pierwszą rzeczą, która przychodzi na myśl, jest to, że punkt można znaleźć jako przecięcie linii. Nie znamy ich równań, więc będziemy musieli uporać się z tym zagadnieniem:

1) Przeciwne boki są równoległe. Według punktów Znajdźmy wektor kierunkowy tych boków. To najprostszy problem omawiany na zajęciach. Wektory dla manekinów .

Notatka: bardziej poprawne jest powiedzenie „równanie prostej zawierającej bok”, ale w tym miejscu i dalej dla zwięzłości będę używał wyrażeń „równanie boku”, „wektor kierunku boku” itp.

3) Przeciwne boki są równoległe. Korzystając z punktów, znajdujemy wektor kierunkowy tych boków.

4) Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunkowego

W akapitach 1-2 i 3-4 faktycznie rozwiązaliśmy ten sam problem dwukrotnie, nawiasem mówiąc, zostało to omówione w przykładzie nr 3 lekcji Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie . Można było wybrać dłuższą trasę - najpierw znajdź równania prostych, a dopiero potem „wyciągnij” z nich wektory kierunkowe.

5) Teraz znane są równania linii. Pozostaje tylko ułożyć i rozwiązać odpowiedni układ równań liniowych (patrz przykłady nr 4, 5 z tej samej lekcji Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie ).

Punkt został znaleziony.

Zadanie jest dość proste i jego rozwiązanie oczywiste, ale jest krótsza droga!

Drugie rozwiązanie:

Przekątne równoległoboku są podzielone na pół przez punkt przecięcia. Zaznaczyłem punkt, ale żeby nie zaśmiecać rysunku, nie rysowałem samych przekątnych.

Utwórzmy równanie dla boku punkt po punkcie:

Aby to sprawdzić, należy w myślach lub na szkicu zastąpić współrzędne każdego punktu w wynikowym równaniu. Teraz znajdźmy nachylenie. Aby to zrobić, przepisujemy równanie ogólne w postaci równania ze współczynnikiem nachylenia:

Zatem nachylenie wynosi:

Podobnie znajdujemy równania boków. Nie widzę większego sensu opisywania tego samego, więc od razu podam gotowy wynik:

2) Znajdź długość boku. To najprostszy problem omawiany na zajęciach. Wektory dla manekinów . Za punkty używamy wzoru:

Korzystając z tego samego wzoru, łatwo jest znaleźć długości pozostałych boków. Sprawdzenie można przeprowadzić bardzo szybko za pomocą zwykłej linijki.

Używamy wzoru .

Znajdźmy wektory:

Zatem:

Nawiasem mówiąc, po drodze znaleźliśmy długości boków.

W rezultacie:

No cóż, wydaje się, że to prawda, żeby było przekonująco, można do narożnika przymocować kątomierz.

Uwaga! Nie myl kąta trójkąta z kątem pomiędzy liniami prostymi. Kąt trójkąta może być rozwarty, ale kąt między liniami prostymi nie może (patrz ostatni akapit artykułu Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie ). Jednakże, aby znaleźć kąt trójkąta, można również skorzystać ze wzorów z powyższej lekcji, ale problem polega na tym, że te wzory zawsze dają kąt ostry. Z ich pomocą rozwiązałem ten problem w wersji roboczej i uzyskałem wynik. A na ostatecznym egzemplarzu musiałbym dopisać dodatkowe wymówki, że .

4) Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​tej prostej.

Zadanie standardowe, szczegółowo omówione w przykładzie nr 2 lekcji Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie . Z ogólnego równania prostej Wyjmijmy wektor prowadzący. Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Jak znaleźć wysokość trójkąta?

5) Stwórzmy równanie na wysokość i znajdźmy jej długość.

Od ścisłych definicji nie ma ucieczki, więc trzeba będzie ukraść ze szkolnego podręcznika:

Wysokość trójkąta nazywa się prostopadłą poprowadzoną od wierzchołka trójkąta do linii zawierającej przeciwny bok.

Oznacza to, że konieczne jest utworzenie równania dla prostopadłej narysowanej od wierzchołka na bok. Zadanie to omówiono w przykładach nr 6, 7 lekcji Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie . Z równania usuń wektor normalny. Utwórzmy równanie wysokości, używając punktu i wektora kierunku:

Należy pamiętać, że nie znamy współrzędnych punktu.

Czasami równanie wysokości oblicza się ze stosunku współczynników kątowych linii prostopadłych: . W tym wypadku zatem: . Utwórzmy równanie wysokości za pomocą punktu i współczynnika kątowego (patrz początek lekcji Równanie prostej na płaszczyźnie ):

Długość wysokości można znaleźć na dwa sposoby.

Jest okrężny sposób:

a) znajdź – punkt przecięcia wysokości i boku;
b) znajdź długość odcinka, korzystając z dwóch znanych punktów.

Ale w klasie Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie rozważono wygodny wzór na odległość punktu od prostej. Punkt jest znany: , znane jest również równanie prostej: , Zatem:

6) Oblicz pole trójkąta. W przestrzeni obszar trójkąta jest tradycyjnie obliczany za pomocą iloczyn wektorowy wektorów , ale tutaj mamy trójkąt na płaszczyźnie. Korzystamy ze wzoru szkolnego:
– Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego podstawy i wysokości.

W tym przypadku:

Jak znaleźć środkową trójkąta?

7) Utwórzmy równanie dla mediany.

Mediana trójkąta nazywany odcinkiem łączącym wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

a) Znajdź punkt - środek boku. Używamy wzory na współrzędne środka odcinka . Znane są współrzędne końców odcinka: , to współrzędne środka:

Zatem:

Ułóżmy równanie mediany punkt po punkcie :

Aby sprawdzić równanie, należy podstawić do niego współrzędne punktów.

8) Znajdź punkt przecięcia wysokości i środkowej. Myślę, że każdy już nauczył się wykonywać ten element łyżwiarstwa figurowego bez upadku: