Przekrój stożka w kształcie elipsy. Przekrój prawego stożka kołowego

Kiedy powierzchnia stożkowa jest podzielona płaszczyzną, uzyskuje się krzywe drugiego rzędu - okrąg, elipsę, parabolę i hiperbolę. Często w pewnym miejscu płaszczyzny cięcia i gdy przechodzi ona przez wierzchołek stożka (S∈γ), okrąg i elipsa degenerują się w punkt lub jedna lub dwie tworzące stożka wpadają w przekrój.

Daje - okrąg, gdy płaszczyzna cięcia jest prostopadła do swojej osi i przecina wszystkie powierzchnie tworzące.

Daje - elipsę, gdy płaszczyzna cięcia nie jest prostopadła do swojej osi i przecina wszystkie powierzchnie tworzące.

Zbudujmy elipsę ω samolot α , zajmując stanowisko ogólne.

Rozwiązywanie problemu dalej przekrój prawego stożka okrągłego płaszczyzna jest znacznie uproszczona, jeśli płaszczyzna cięcia zajmuje pozycję wystającą.

Stosując metodę zmiany płaszczyzn projekcji, dokonujemy translacji płaszczyzny α od pozycji ogólnej do szczegółowej - wystającej do przodu. Na przedniej płaszczyźnie rzutów V 1 zbudujmy ślad samolotu α i rzut powierzchni stożka ω płaszczyzna daje elipsę, ponieważ płaszczyzna cięcia przecina wszystkie tworzące stożka. Elipsa jest rzutowana na płaszczyznę projekcji jako krzywa drugiego rzędu.
Na tropie samolotu α V przyjąć dowolny punkt 3" mierzymy jego odległość od płaszczyzny projekcji H i połóż go wzdłuż linii komunikacyjnej już w samolocie V 1, zdobywając punkt 3" 1 . Szlak będzie przez nią przechodził αV 1. Linia przekroju stożka ω - punkty A” 1, E” 1 pokrywa się tu ze śladem samolotu. Następnie skonstruujemy pomocniczą płaszczyznę cięcia γ3, opierając się na przedniej płaszczyźnie rzutów V 1 jej ślad γ 3V 1. Płaszczyzna pomocnicza przecinająca powierzchnię stożkową ω da okrąg i przecięcie z płaszczyzną α da poziomą linię h3. Z kolei prosta przecinająca się z okręgiem daje wymagane punkty C` i K` przecięcia płaszczyzn α ze stożkową powierzchnią ω . Rzuty czołowe wymaganych punktów C” i K” skonstruować jako punkty należące do płaszczyzny cięcia α .

Aby znaleźć punkt E(E`, E") linie przekroju, narysuj poziomo wystającą płaszczyznę przechodzącą przez szczyt stożka y2H, który przetnie płaszczyznę α w prostej lini 1-2(1`-2`, 1"-2") . Skrzyżowanie 1"-2" z linią komunikacyjną daje punkt MI"- najwyższy punkt linii przekroju.

Aby znaleźć punkt wskazujący granicę widoczności rzutu czołowego linii przekroju, narysuj poziomo wystającą płaszczyznę przez górę stożka γ5 H i znajdź rzut poziomy F`żądany punkt. Oraz samolot γ5 H przetnie płaszczyznę α frontalnie f(f`, f"). Skrzyżowanie F" z linią komunikacyjną daje punkt F". Uzyskane na rzucie poziomym punkty łączymy gładką krzywą, zaznaczając na niej skrajnie lewy punkt G – jeden z charakterystycznych punktów linii przecięcia.
Następnie konstruujemy rzuty G na płaszczyznach czołowych rzutów V1 i V. Wszystkie skonstruowane punkty linii przekroju na płaszczyźnie czołowej rzutów V łączymy gładką linią.

Daje - parabolę, gdy płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej tworzącej stożka.

Konstruując rzuty krzywych - przekrojów stożkowych należy pamiętać o twierdzeniu: rzut ortogonalny płaskiego odcinka stożka obrotowego na płaszczyznę prostopadłą do jego osi jest krzywą drugiego rzędu i jedno z jej ognisk ma prostopadłość rzut wierzchołka stożka na tę płaszczyznę.

Rozważmy konstrukcję rzutów przekroju przy płaszczyźnie cięcia α równolegle do jednej tworzącej stożka (SD).

W wyniku przekroju powstanie parabola z wierzchołkiem w punkcie A(A`, A"). Zgodnie z twierdzeniem wierzchołek stożka S rzutowany na ostrość S. Według znanego =R S` określić położenie kierownicy paraboli. Następnie za pomocą równania wykreśla się punkty krzywej p=R.

Konstruowanie rzutów przekroju przy płaszczyźnie cięcia α równolegle do jednej tworzącej stożka, można wykonać następujące czynności:

Za pomocą pomocniczych poziomo wystających płaszczyzn przechodzących przez szczyt stożka γ1 H I y2H.

Najpierw wyznaczane są rzuty czołowe punktów F", G"- na skrzyżowaniu generatorów S"1", S"2" i ślad płaszczyzny cięcia α V. Na skrzyżowaniu linii komunikacyjnych z γ1 H I y2H być zdeterminowanym F`, G`.

W podobny sposób można np. zdefiniować inne punkty linii przekroju D", E" I D`, E`.

Wykorzystanie pomocniczych płaszczyzn projekcji czołowej ⊥ osi stożka γ 3 V I γ 4 V.

Rzuty przekroju płaszczyzn pomocniczych i stożka na płaszczyznę H, pojawią się kółka. Linie przecięcia płaszczyzn pomocniczych z płaszczyzną cięcia α będą wystające do przodu linie proste.

Daje - hiperbolę, gdy płaszczyzna cięcia jest równoległa do dwóch generatorów stożka.

Miejska Instytucja Oświatowa

Gimnazjum nr 4

Przekroje stożkowe

Zakończony

Spiridonow Anton

uczennica klasy 11A

Sprawdzony

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Wstęp

Pojęcie przekrojów stożkowych

Rodzaje przekrojów stożkowych

Badanie

Budowa przekrojów stożkowych

Podejście analityczne

Aplikacja

Bibliografia

Wstęp.

Cel: badanie przekrojów stożkowych.

Cele: nauczyć się rozróżniać rodzaje przekrojów stożkowych, konstruować przekroje kinetyczne i stosować podejście analityczne.

Przekroje stożkowe po raz pierwszy zaproponował starożytny grecki geometr Menaechmus, żyjący w IV wieku p.n.e., przy rozwiązywaniu problemu podwojenia sześcianu. Z zadaniem tym związana jest następująca legenda.

Pewnego dnia na wyspie Delos wybuchła epidemia dżumy. Mieszkańcy wyspy zwrócili się do wyroczni, która stwierdziła, że aby powstrzymać epidemię, konieczne jest podwojenie złotego ołtarza, który miał kształt sześcianu i znajdował się w świątyni Apolla w Atenach. Wyspiarze wykonali nowy ołtarz, którego żebra były dwukrotnie większe od żeber poprzedniego. Jednak zaraza nie ustała. Wściekli mieszkańcy usłyszeli od wyroczni, że źle zrozumieli jego instrukcje - to nie krawędzie sześcianu trzeba było podwoić, ale jego objętość, czyli krawędzie sześcianu należało podwoić. W kategoriach algebry geometrycznej, którą posługiwali się greccy matematycy, problem polegał na tym, że mając dany odcinek a, znajdź takie odcinki x i y, że a: x = x: y = y: 2a. Wtedy długość odcinka x będzie równa .

Podaną proporcję można traktować jako układ równań:

Ale x 2 = ay i y 2 = 2ax są równaniami paraboli. Dlatego, aby rozwiązać problem, należy znaleźć ich punkty przecięcia. Jeśli weźmiemy pod uwagę, że równanie hiperboli xy=2a 2 można również wyprowadzić z układu, to ten sam problem można rozwiązać znajdując punkty przecięcia paraboli i hiperboli.

Aby uzyskać przekroje stożkowe, Menaechmus przeciął stożek - ostry, prostokątny lub rozwarty - z płaszczyzną prostopadłą do jednej z tworzących. W przypadku stożka o kącie ostrym przekrój płaszczyzny prostopadłej do tworzącej ma kształt elipsy. Stożek rozwarty daje hiperbolę, a stożek prostokątny daje parabolę.

Stąd wzięły się nazwy krzywych, które wprowadził Apoloniusz z Perge żyjący w III wieku p.n.e.: elipsa (έλλείψίς), czyli wada, brak (kąta stożka do prostej). ; hiperbola (ύπέρβωλη) - przesada, przewaga (kąta stożka nad prostą); parabola (παραβολη) - przybliżenie, równość (kąta stożka do kąta prostego). Później Grecy zauważyli, że wszystkie trzy krzywe można uzyskać na jednym stożku, zmieniając nachylenie płaszczyzny cięcia. W takim przypadku należy wziąć stożek składający się z dwóch wnęk i pomyśleć, że rozciągają się one w nieskończoność (ryc. 1).

Jeśli narysujemy odcinek okrągłego stożka prostopadle do jego osi, a następnie obrócimy płaszczyznę cięcia, pozostawiając jeden punkt jej przecięcia ze stożkiem nieruchomym, zobaczymy, jak okrąg najpierw się rozciągnie, zamieniając się w elipsę. Wtedy drugi wierzchołek elipsy przejdzie do nieskończoności i zamiast elipsy otrzymasz parabolę, a wtedy płaszczyzna przetnie również drugą wnękę stożka i otrzymasz hiperbolę.

Pojęcie przekrojów stożkowych.

Przekroje stożkowe to krzywe płaskie, które powstają poprzez przecięcie prawego stożka kołowego z płaszczyzną, która nie przechodzi przez jego wierzchołek. Z punktu widzenia geometrii analitycznej przekrój stożkowy jest zbiorem punktów spełniających równanie drugiego rzędu. Z wyjątkiem przypadków zdegenerowanych omówionych w ostatniej sekcji, przekroje stożkowe są elipsami, hiperbolami lub parabolami (ryc. 2).

Kiedy trójkąt prostokątny obraca się wokół jednej ze swoich nóg, przeciwprostokątna wraz z przedłużeniami opisuje powierzchnię stożkową zwaną powierzchnią prawego stożka kołowego, którą można uznać za ciągłą serię linii przechodzących przez wierzchołek i zwanych generatorami, wszystkie generatory spoczywającej na tym samym kręgu, zwanej produkcją. Każdy z generatorów reprezentuje przeciwprostokątną obracającego się trójkąta (w jego znanym położeniu), rozciągniętego w obu kierunkach do nieskończoności. Zatem każda tworząca rozciąga się po obu stronach wierzchołka, w wyniku czego powierzchnia ma dwie wnęki: zbiegają się w jednym punkcie we wspólnym wierzchołku. Jeśli taką powierzchnię przecina płaszczyzna, wówczas na przekroju powstanie krzywa, którą nazywamy przekrojem stożkowym. Może być trzech typów:

1) jeżeli płaszczyzna przecina powierzchnię stożkową wzdłuż wszystkich tworzących, wówczas rozcina się tylko jedną wnękę i w przekroju uzyskuje się zamkniętą krzywą zwaną elipsą;

2) jeśli płaszczyzna cięcia przecina obie wnęki, wówczas uzyskuje się krzywą, która ma dwie gałęzie i nazywa się hiperbolą;

3) jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z tworzących, wówczas uzyskuje się parabolę.

Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do generującego okręgu, wówczas otrzymuje się okrąg, który można uznać za szczególny przypadek elipsy. Płaszczyzna tnąca może przecinać powierzchnię stożkową tylko w jednym wierzchołku, wówczas w przekroju powstaje punkt, co stanowi szczególny przypadek elipsy.

Jeśli płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek przecina obie wnęki, wówczas w przekroju powstaje para przecinających się linii, uważana za szczególny przypadek hiperboli.

Jeśli wierzchołek jest nieskończenie odległy, wówczas powierzchnia stożkowa zmienia się w cylindryczną, a jej przekrój przez płaszczyznę równoległą do generatorów daje parę równoległych linii jako szczególny przypadek paraboli. Przekroje stożkowe wyraża się równaniami drugiego rzędu, których ogólna postać to

Topór 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

i nazywane są krzywymi drugiego rzędu.

Rodzaje przekrojów stożkowych.

Przekroje stożkowe mogą być trzech typów:

1) płaszczyzna cięcia przecina wszystkie tworzące stożka w punktach jednego z jego wgłębień; linia przecięcia jest zamkniętą krzywą owalną - elipsą; okrąg jako szczególny przypadek elipsy uzyskuje się, gdy płaszczyzna cięcia jest prostopadła do osi stożka.

2) Płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z płaszczyzn stycznych stożka; w przekroju powstaje otwarta krzywa sięgająca nieskończoności - parabola leżąca całkowicie w jednej wnęce.

3) Płaszczyzna cięcia przecina obie wnęki stożka; linia przecięcia - hiperbola - składa się z dwóch identycznych otwartych części rozciągających się w nieskończoność (gałęzie hiperboli) leżących na obu wnękach stożka.

Badanie.

W przypadku gdy przekrój stożkowy ma środek symetrii (środek), czyli jest elipsą lub hiperbolą, jego równanie można sprowadzić (przenosząc początek współrzędnych do środka) do postaci:

za 11 x 2 +2a 12 xy + za 22 y 2 = za 33 .

Dalsze badania takich (zwanych centralnie) przekrojów stożkowych pokazują, że ich równania można sprowadzić do jeszcze prostszej postaci:

Topór 2 + Wu 2 = C,

jeśli wybierzemy główne kierunki kierunków osi współrzędnych - kierunki głównych osi (osi symetrii) przekrojów stożkowych. Jeżeli A i B mają te same znaki (zbiegające się ze znakiem C), to równanie definiuje elipsę; jeśli A i B mają różne znaki, to jest to hiperbola.

Równania paraboli nie można sprowadzić do postaci (Ax 2 + By 2 = C). Przy odpowiednim doborze osi współrzędnych (jedna oś współrzędnych jest jedyną osią symetrii paraboli, druga to prosta do niej prostopadła, przechodząca przez wierzchołek paraboli), jej równanie można sprowadzić do postaci:

BUDOWA PRZEKRÓJÓW STOŻKOWYCH.

Badając przekroje stożkowe jako przecięcia płaszczyzn i stożków, starożytni greccy matematycy uważali je również za trajektorie punktów na płaszczyźnie. Stwierdzono, że elipsę można zdefiniować jako zbiór punktów, czyli sumę odległości, z jakich do dwóch danych punktów jest stała; parabola – jako zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu i danej prostej; hiperbola - jako zbiór punktów różnica odległości, z których do dwóch danych punktów jest stała.

Te definicje przekrojów stożkowych jako krzywych płaskich sugerują również metodę ich konstruowania przy użyciu rozciągniętej struny.

Elipsa. Jeżeli końce nici o danej długości są zamocowane w punktach F 1 i F 2 (ryc. 3), wówczas krzywa opisana ostrzem ołówka przesuwającego się po mocno napiętej nitce ma kształt elipsy. Punkty F 1 i F 2 nazywane są ogniskami elipsy, a odcinki V 1 V 2 i v 1 v 2 pomiędzy punktami przecięcia elipsy z osiami współrzędnych - osią większą i mniejszą. Jeśli punkty F 1 i F 2 pokrywają się, wówczas elipsa zamienia się w okrąg (ryc. 3).

Hiperbola. Podczas konstruowania hiperboli punkt P, czubek ołówka, jest zamocowany na nitce, która swobodnie przesuwa się po kołkach zainstalowanych w punktach F 1 i F 2, jak pokazano na rysunku 4, a, odległości dobiera się tak, aby odcinek PF 2 jest dłuższy od odcinka PF 1 o stałą wartość mniejszą niż odległość F 1 F 2 . W takim przypadku jeden koniec nici przechodzi pod kołkiem F 1, a oba końce nici przechodzą nad kołkiem F 2. (Czut ołówka nie powinien ślizgać się po nitce, dlatego należy go zabezpieczyć, robiąc na nitce małą pętelkę i przeciągając przez nią ostrze.) Rysujemy jedną gałąź hiperboli (PV 1 Q), upewniając się, że nić pozostaje cały czas napięta i przeciągając oba końce nitki w dół poza punkt F 2, a gdy punkt P znajdzie się poniżej odcinka F 1 F 2, przytrzymując nić za oba końce i ostrożnie ją puszczając. Rysujemy drugą gałąź hiperboli, zmieniając najpierw kołki F 1 i F 2 (ryc. 4).

Gałęzie hiperboli zbliżają się do dwóch linii prostych, które przecinają się między gałęziami. Te linie proste, zwane asymptotami hiperboli, są zbudowane w sposób pokazany na rysunku 4, b. Narożnik

współczynniki tych linii są równe, gdzie jest odcinek dwusiecznej kąta między asymptotami, prostopadły do odcinka F 2 F 1 ; odcinek v 1 v 2 nazywany jest osią sprzężoną hiperboli, a odcinek V 1 V 2 jest jej osią poprzeczną. Zatem asymptoty są przekątnymi prostokąta, którego boki przechodzą przez cztery punkty v 1, v 2, V 1, V 2 równoległe do osi. Aby skonstruować ten prostokąt, należy określić położenie punktów v 1 i v 2. Są w tej samej odległości, równi

od punktu przecięcia osi O. Wzór ten zakłada budowę trójkąta prostokątnego z nogami Ov 1 i V 2 O oraz przeciwprostokątną F 2 O.

Jeżeli asymptoty hiperboli są wzajemnie prostopadłe, wówczas hiperbolę nazywamy równoboczną. Dwie hiperbole, które mają wspólne asymptoty, ale z przestawionymi osiami poprzecznymi i sprzężonymi, nazywane są wzajemnie sprzężonymi.

Parabola. Ogniska elipsy i hiperboli były znane Apoloniuszowi, jednak ognisko paraboli najwyraźniej zostało po raz pierwszy ustalone przez Pappusa (druga połowa III w.), który zdefiniował tę krzywą jako zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu (ognisko). i daną linię prostą, która nazywa się dyrektorką. Konstrukcję paraboli z naprężonej nici, w oparciu o definicję Pappusa, zaproponował Izydor z Miletu (VI w.) (ryc. 5).

Ustawmy linijkę tak, aby jej krawędź pokrywała się ze kierownicą i do tej krawędzi przymocuj odnogę AC trójkąta rysunkowego ABC. Zamocujmy jeden koniec nitki o długości AB w wierzchołku B trójkąta, a drugi w ognisku paraboli F. Po przeciągnięciu nitki czubkiem ołówka dociśnij końcówkę w punkcie zmiennym P do wolna noga AB trójkąta rysunkowego. Gdy trójkąt porusza się wzdłuż linijki, punkt P będzie opisywał łuk paraboli z ogniskiem F i kierownicą, ponieważ całkowita długość gwintu jest równa AB, odcinek nitki przylega do wolnego ramienia trójkąta i zatem pozostały kawałek gwintu PF musi być równy pozostałej części ramienia AB, czyli PA. Punkt przecięcia V paraboli z osią nazywa się wierzchołkiem paraboli, linia prosta przechodząca przez F i V jest osią paraboli. Jeśli przez ognisko poprowadzono linię prostą, prostopadłą do osi, wówczas odcinek tej prostej odcięty przez parabolę nazywa się parametrem ogniskowym. W przypadku elipsy i hiperboli parametr ogniskowy wyznacza się w podobny sposób.

PODEJŚCIE ANALITYCZNE

gdzie nie wszystkie współczynniki A, B i C są równe zero. Stosując równoległe przesunięcie i obrót osi, równanie (1) można sprowadzić do postaci

topór 2 + o 2 + c = 0

Pierwsze równanie otrzymuje się z równania (1) dla B 2 > AC, drugie - dla B 2 = AC. Przekroje stożkowe, których równania sprowadza się do pierwszej postaci, nazywane są centralnymi. Przekroje stożkowe określone równaniami drugiego typu, w których q > 0, nazywane są niecentralnymi. W ramach tych dwóch kategorii istnieje dziewięć różnych typów przekrojów stożkowych, w zależności od znaków współczynników.

1) Jeżeli współczynniki a, b i c mają ten sam znak, to nie ma punktów rzeczywistych, których współrzędne spełniałyby równanie. Taki przekrój stożkowy nazywa się wyimaginowaną elipsą (lub wyimaginowanym okręgiem, jeśli a = b).

2) Jeśli aib mają ten sam znak, a c przeciwny znak, to przekrój stożkowy jest elipsą; gdy a = b – okrąg.

3) Jeśli a i b mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy jest hiperbolą.

4) Jeżeli a i b mają różne znaki i c = 0, to przekrój stożkowy składa się z dwóch przecinających się linii.

5) Jeśli a i b mają ten sam znak i c = 0, to na krzywej istnieje tylko jeden rzeczywisty punkt spełniający równanie, a przekrój stożkowy to dwie wyimaginowane przecinające się linie. W tym przypadku mówimy także o elipsie przylegającej do punktu lub, jeśli a = b, o okręgu przylegającym do punktu.

6) Jeśli a lub b jest równe zero, a pozostałe współczynniki mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy składa się z dwóch równoległych linii.

7) Jeśli a lub b jest równe zero, a pozostałe współczynniki mają ten sam znak, to nie ma ani jednego punktu rzeczywistego spełniającego równanie. W tym przypadku mówią, że przekrój stożkowy składa się z dwóch wyimaginowanych równoległych linii.

8) Jeśli c = 0 i a lub b również wynosi zero, wówczas przekrój stożkowy składa się z dwóch rzeczywistych zbieżnych linii. (Równanie nie definiuje żadnego przekroju stożkowego dla a = b = 0, ponieważ w tym przypadku pierwotne równanie (1) nie jest drugiego stopnia.)

9) Równania drugiego typu definiują parabole, jeśli p i q są różne od zera. Jeżeli p > 0 i q = 0, to otrzymujemy krzywą z kroku 8. Jeżeli p = 0, to równanie nie definiuje żadnego przekroju stożkowego, gdyż pierwotne równanie (1) nie jest drugiego stopnia.

Aplikacja

Sekcje stożkowe często występują w przyrodzie i technologii. Na przykład orbity planet krążących wokół Słońca mają kształt elips. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, w której główna oś jest równa mniejszej. Zwierciadło paraboliczne ma tę właściwość, że wszystkie promienie padające równolegle do jego osi zbiegają się w jednym punkcie (ognisku). Jest to stosowane w większości teleskopów zwierciadlanych wykorzystujących zwierciadła paraboliczne, a także w antenach radarowych i specjalnych mikrofonach z reflektorami parabolicznymi. Wiązka promieni równoległych pochodzi ze źródła światła umieszczonego w ognisku reflektora parabolicznego. Dlatego w reflektorach dużej mocy i reflektorach samochodowych stosuje się lusterka paraboliczne. Hiperbola to wykres wielu ważnych zależności fizycznych, takich jak prawo Boyle'a (odnoszące ciśnienie i objętość gazu doskonałego) i prawo Ohma, które definiuje prąd elektryczny jako funkcję oporu przy stałym napięciu

Aplikacja

Bibliografia.

1. Aleksiejew. Twierdzenie Abela w problemach i rozwiązaniach. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Podręcznik dla studentów pierwszego roku wydziałów fizyki i matematyki instytutów pedagogicznych. Moskiewskie „oświecenie” 1974

3. Vereshchagin N.K., A.Shen. Wykłady z logiki matematycznej i teorii algorytmów. 1999

4. Gelfand I.M. Wykłady z algebry liniowej. 1998.

5. Gladky A.V. Wprowadzenie do współczesnej logiki. 2001

6. ME Kazaryan. Kurs geometrii różniczkowej (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Geometria Łobaczewskiego 2004

8. Prasolov V.V.. Problemy w planimetrii 2001

9. Sheinman O.K.. Podstawy teorii reprezentacji. 2004

BUDŻET PAŃSTWA

PROFESJONALNA INSTYTUCJA EDUKACYJNA

MIASTA MOSKWA

„KOLEŻA POLICYJNA”

Streszczenie na temat dyscypliny Matematyka

Na temat: „Przekroje stożkowe i ich zastosowania w technologii”

Wykonano

Kadet 15. plutonu

Alekseeva A.I.

Nauczyciel

Zaitseva O.N.

Moskwa

2016

Treść:

Wstęp

1. Pojęcie przekrojów stożkowych………………………………………………………5

2. Rodzaje przekrojów stożkowych……………………………………………...7

3. Badania…………………………………………………………..8

4. Właściwości przekrojów stożkowych…. ……………………………………….9

5. Budowa przekrojów stożkowych………………………………….10

6. Podejście analityczne…………………………………………………………14

7. Wniosek…………………………………………………………….16

8. Przez stożek………………………………………………………..17

Wykaz używanej literatury

Wstęp

Stąd wzięły się nazwy krzywych, które wprowadził Apoloniusz z Perge żyjący w III wieku p.n.e.: elipsa, czyli wada, brak (kąt stożka do linii prostej); hiperbola - przesada, wyższość (kąta stożka nad prostą); parabola - przybliżenie, równość (kąta stożka do kąta prostego). Później Grecy zauważyli, że wszystkie trzy krzywe można uzyskać na jednym stożku, zmieniając nachylenie płaszczyzny cięcia. W takim przypadku należy wziąć stożek składający się z dwóch wnęk i pomyśleć, że rozciągają się one w nieskończoność (ryc. 1)

Przez długi czas przekroje stożkowe nie znajdowały zastosowania, dopóki astronomowie i fizycy nie zainteresowali się nimi poważnie. Okazało się, że linie te występują w przyrodzie (przykładem są trajektorie ciał niebieskich) i graficznie opisują wiele procesów fizycznych (liderem jest tu hiperbola: przypomnijmy sobie prawo Ohma i prawo Boyle'a-Marriotta), nie mówiąc już o ich zastosowanie w mechanice i optyce. W praktyce najczęściej w inżynierii i budownictwie mamy do czynienia z elipsą i parabolą.

Ryc.1

diagram

Pojęcie przekrojów stożkowych

Ryc.2

1) jeżeli płaszczyzna przecina powierzchnię stożkową wzdłuż wszystkich tworzących, wówczas rozcina się tylko jedną wnękę i w przekroju uzyskuje się zamkniętą krzywą zwaną elipsą;

2) jeśli płaszczyzna cięcia przecina obie wnęki, wówczas uzyskuje się krzywą, która ma dwie gałęzie i nazywa się hiperbolą;

3) jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z tworzących, wówczas uzyskuje się parabolę.

Jeśli płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek przecina obie płaszczyzny, wówczas na przekroju powstaje para przecinających się linii, co jest szczególnym przypadkiem hiperboli.

Topór 2 +Whoo+C + Dx + Ej + F= 0 i nazywane są krzywymi drugiego rzędu.
(przekrój stożkowy)

Rodzaje stożkowe Sekcje .

Przekroje stożkowe mogą być trzech typów:

2) Płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z płaszczyzn stycznych stożka; w przekroju powstaje otwarta krzywa sięgająca nieskończoności - parabola leżąca całkowicie w jednej wnęce.

(Rys. 1) parabola (Rys. 2) elipsa (Rys. 3) hiperbola

Badanie

W przypadku gdy przekrój stożkowy ma środek symetrii (środek), czyli jest elipsą lub hiperbolą, jego równanie można sprowadzić (przenosząc początek współrzędnych do środka) do postaci:

A 11 X 2 +2xy+a 22 y 2 =a 33 .

Dalsze badania takich (zwanych centralnie) przekrojów stożkowych pokazują, że ich równania można sprowadzić do jeszcze prostszej postaci:

Oh 2 + Wu 2 = C,

Sprowadź równanie paraboli do postaci (Ah 2 + Wu 2 = C) jest to niemożliwe. Przy odpowiednim doborze osi współrzędnych (jedna oś współrzędnych jest jedyną osią symetrii paraboli, druga to prosta do niej prostopadła, przechodząca przez wierzchołek paraboli), jej równanie można sprowadzić do postaci:

y 2 = 2 piks.

WŁAŚCIWOŚCI PRZEKRÓJÓW STOŻKOWYCH

Definicje Pappusa. Ustalenie ogniska paraboli podsunęło Pappusowi pomysł podania alternatywnej definicji przekrojów stożkowych w ogóle. Niech F będzie danym punktem (ogniskiem), a L daną linią prostą (kierownicą) nieprzechodzącą przez F, a DF i DL odpowiednio odległościami ruchomego punktu P od ogniska F i kierownicy L. Następnie, jak pokazał Papp, przekroje stożkowe definiuje się jako zbiór punktów P, dla których stosunek DF:DL jest stałą nieujemną. Stosunek ten nazywany jest mimośrodem e przekroju stożkowego. Kiedy e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hiperbola; gdy e = 1 - parabola. Jeśli F leży na L, to loci mają postać linii (rzeczywistych lub urojonych), które są zdegenerowanymi przekrojami stożkowymi. Uderzająca symetria elipsy i hiperboli sugeruje, że każda z tych krzywych ma dwie kierownice i dwa ogniska, i ta okoliczność doprowadziła Keplera w 1604 r. do pomysłu, że parabola ma również drugie ognisko i drugą kierownicę - punkt w nieskończoności i prostą . W ten sam sposób okrąg można uznać za elipsę, której ogniska pokrywają się ze środkiem, a kierownice znajdują się w nieskończoności. Mimośród e w tym przypadku wynosi zero.

Nieruchomości. Właściwości przekrojów stożkowych są naprawdę niewyczerpane i każdy z nich można uznać za definiujący. Ważne miejsce w Zbiorze Matematycznym Pappusa, Geometrii Kartezjusza (1637) i Principiów Newtona (1687) zajmuje problem geometrycznego położenia punktów względem czterech prostych. Jeżeli na płaszczyźnie dane są cztery linie L 1 , L 2 , L 3 i L4 (z których dwa mogą się pokrywać), a punkt P jest taki, że iloczyn odległości od P do L 1 i ja 2 proporcjonalna do iloczynu odległości od P do L 3 i ja 4 , to miejsce punktów P jest przekrojem stożkowym.

BUDOWA PRZEKRÓJÓW STOŻKOWYCH

Te definicje przekrojów stożkowych jako krzywych płaskich sugerują również metodę ich konstruowania przy użyciu rozciągniętej struny.

Elipsa. Jeżeli końce nici o danej długości są zamocowane w punktach F 1 i F 2 (ryc. 3), wówczas krzywa opisana czubkiem ołówka przesuwającego się po mocno napiętej nitce ma kształt elipsy. punkty F 1 i F2 nazywane są ogniskami elipsy, a odcinki V 1 V 2 i w 1 w 2 pomiędzy punktami przecięcia elipsy z osiami współrzędnych - osią większą i mniejszą. Jeśli punkty F 1 i F 2 pokrywają się, następnie elipsa zamienia się w okrąg (ryc. 3).

Ryc.3

Hiperbola. Podczas konstruowania hiperboli punkt P, czyli czubek ołówka, mocuje się na nitce, która swobodnie przesuwa się po kołkach zainstalowanych w punktach F 1 i F 2 , jak pokazano na rysunku 4, a, odległości dobiera się tak, aby odcinek PF 2 dłuższy niż odcinek PF 1 o stałą wartość mniejszą niż odległość F 1 F 2 . W takim przypadku jeden koniec nici przechodzi pod sworzniem F 1 , a oba końce nici przechodzą przez kołek F 2 . (Ołówek nie powinien ślizgać się po nitce, dlatego należy go zabezpieczyć, robiąc małą pętlę na nitce i przeciągając przez nią czubek.) Jedna gałąź hiperboli (PV 1 Q) rysujemy, upewniając się, że nitka jest cały czas napięta i ciągnąc oba końce nitki w dół poza punkt F 2 , oraz gdy punkt P znajduje się poniżej odcinka F 1 F 2 , trzymając nić za oba końce i ostrożnie ją puszczając. Rysujemy drugą gałąź hiperboli, zmieniając najpierw kołki F 1 i F 2 (ryc. 4).

Ryc.4

Gałęzie hiperboli zbliżają się do dwóch linii prostych, które przecinają się między gałęziami. Linie te nazywane są asymptotami hiperboli. Współczynniki kątowe tych prostych są równe gdzie jest odcinek dwusiecznej kąta między asymptotami, prostopadły do odcinka F 2 F 1 ; segment w 1 w 2 nazywa się osią sprzężoną hiperboli, a odcinkiem V 1 V 2 – jego oś poprzeczna. Zatem asymptoty są przekątnymi prostokąta, którego boki przechodzą przez cztery punkty v 1 , w 2 , V 1 , V 2 równolegle do osi. Aby skonstruować ten prostokąt, musisz określić położenie punktów v 1 i w 2 . Znajdują się one w tej samej odległości, równej punktowi przecięcia osi O. Wzór ten zakłada budowę trójkąta prostokątnego o nogach Ov 1 i V 2 O i przeciwprostokątna F 2 O.

Parabola. Ogniska elipsy i hiperboli były znane Apoloniuszowi, jednak ognisko paraboli najwyraźniej zostało po raz pierwszy ustalone przez Pappusa (druga połowa III w.), który zdefiniował tę krzywą jako zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu (ognisko). i daną linię prostą, która nazywa się dyrektorką. Konstrukcję paraboli z naprężonej nici, w oparciu o definicję Pappusa, zaproponował Izydor z Miletu (VI w.) (ryc. 5).

Ryc.5

PODEJŚCIE ANALITYCZNE

Klasyfikacja algebraiczna. W ujęciu algebraicznym przekroje stożkowe można zdefiniować jako krzywe płaskie, których współrzędne w kartezjańskim układzie współrzędnych spełniają równanie drugiego stopnia. Innymi słowy, równanie wszystkich przekrojów stożkowych można zapisać w ogólnej formie, w której nie wszystkie współczynniki A, B i C są równe zero. Stosując równoległe przesunięcie i obrót osi, równanie (1) można sprowadzić do postaci

topór 2 + przez 2 + c = 0

Lub

pikseli 2 +q y = 0.

Pierwsze równanie otrzymujemy z równania (1) dla B2 > AC, drugie – dla B 2 = AC. Przekroje stożkowe, których równania sprowadza się do pierwszej postaci, nazywane są centralnymi. Przekroje stożkowe określone równaniami drugiego typu, w których q > 0, nazywane są niecentralnymi. W ramach tych dwóch kategorii istnieje dziewięć różnych typów przekrojów stożkowych, w zależności od znaków współczynników.

2) Jeśli aib mają ten sam znak, a c przeciwny znak, to przekrój stożkowy jest elipsą; gdy a = b - okrąg.

3) Jeśli a i b mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy jest hiperbolą.

4) Jeżeli a i b mają różne znaki i c = 0, to przekrój stożkowy składa się z dwóch przecinających się linii.

5) Jeżeli a i b mają ten sam znak i c = 0, to na krzywej istnieje tylko jeden rzeczywisty punkt spełniający równanie, a przekrój stożkowy to dwie wyimaginowane przecinające się linie. W tym przypadku mówimy także o elipsie przylegającej do punktu lub, jeśli a = b, o okręgu przylegającym do punktu.

6) Jeśli a lub b jest równe zero, a pozostałe współczynniki mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy składa się z dwóch równoległych linii.

Aplikacja

Sekcje stożkowe często występują w przyrodzie i technologii. Na przykład orbity planet krążących wokół Słońca mają kształt elips. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, w której główna oś jest równa mniejszej. Zwierciadło paraboliczne ma tę właściwość, że wszystkie promienie padające równolegle do jego osi zbiegają się w jednym punkcie (ognisku). Jest to stosowane w większości teleskopów zwierciadlanych wykorzystujących zwierciadła paraboliczne, a także w antenach radarowych i specjalnych mikrofonach z reflektorami parabolicznymi. Wiązka promieni równoległych pochodzi ze źródła światła umieszczonego w ognisku reflektora parabolicznego. Dlatego w reflektorach dużej mocy i reflektorach samochodowych stosuje się lusterka paraboliczne. Hiperbola jest wykresem wielu ważnych zależności fizycznych, takich jak prawo Boyle'a (odnoszące ciśnienie i objętość gazu doskonałego) i prawo Ohma, które definiuje prąd elektryczny jako funkcję oporu przy stałym napięciu.

Wszystkie ciała Układu Słonecznego poruszają się wokół Słońca po elipsach. Ciała niebieskie wchodzące do Układu Słonecznego z innych układów gwiazdowych poruszają się wokół Słońca po orbicie hiperbolicznej i jeśli na ich ruch nie wpływają znacząco planety Układu Słonecznego, opuszczają tę samą orbitę. Jej sztuczne satelity i naturalny satelita, Księżyc, poruszają się po elipsach wokół Ziemi, a statki kosmiczne wystrzelone na inne planety poruszają się po zakończeniu pracy silników wzdłuż paraboli lub hiperboli (w zależności od prędkości) aż do momentu, w którym grawitacja innych planet lub Słońca staje się porównywalna z grawitacją (ryc. 3).

Przez stożek

Elipsę i jej szczególny przypadek - okrąg, parabolę i hiperbolę można łatwo wyznaczyć eksperymentalnie. Na przykład rożek lodowy byłby całkiem odpowiedni do roli rożka. Narysuj w myślach jedną z jej tworzących i przetnij róg pod różnymi kątami. Zadanie polega na wykonaniu tylko czterech prób i uzyskaniu na plasterkach wszystkich możliwych przekrojów stożkowych. Jeszcze łatwiej jest przeprowadzić eksperyment z latarką: w zależności od położenia w przestrzeni stożek światła będzie wytwarzał na ścianie pomieszczenia plamy o różnych kształtach. Granicę każdego miejsca stanowi jeden z odcinków stożkowych. Obracając latarkę w płaszczyźnie pionowej, zobaczysz, jak jedna krzywa zastępuje drugą: okrąg rozciąga się w elipsę, następnie zamienia się w parabolę, a to z kolei w hiperbolę.

Matematyk rozwiązuje to samo zadanie teoretycznie porównując dwa kąty: α - pomiędzy osią stożka a tworzącą oraz β - pomiędzy płaszczyzną przecięcia a osią stożka. A oto wynik: dla α< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β jest gałęzią hiperboli. Jeśli rozważymy generatory jako linie proste, a nie odcinki, to znaczy rozważymy nieograniczoną symetryczną figurę dwóch stożków ze wspólnym wierzchołkiem, stanie się jasne, że elipsa jest krzywą zamkniętą, parabola składa się z jednej nieskończonej gałęzi, a hiperbola składa się z dwóch.

Najprostszy przekrój stożkowy - okrąg - można narysować za pomocą nitki i gwoździa. Wystarczy przywiązać jeden koniec nitki do wbitego w papier gwoździa, a drugi do ołówka i mocno zaciągnąć. Po wykonaniu pełnego obrotu ołówek obrysuje okrąg. Możesz też skorzystać z kompasu: zmieniając jego rozwiązanie, możesz łatwo narysować całą rodzinę okręgów.

WYKAZ WYKORZYSTANYCH BIBLIOGRAFII

1.Vereshchagin N.K., A.Shen. Wykłady z logiki matematycznej i teorii algorytmów. 1999

2. Prasolov V.V.. Geometria Łobaczewskiego 2004

4. Prasolov V.V.. Geometria Łobaczewskiego 2004

Miejska Instytucja Oświatowa

Gimnazjum nr 4

Zakończony

Spiridonow Anton

uczennica klasy 11A

Sprawdzony

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Wstęp

Pojęcie przekrojów stożkowych

Rodzaje przekrojów stożkowych

Badanie

Budowa przekrojów stożkowych

Podejście analityczne

Aplikacja

Bibliografia

Wstęp.

Cel: badanie przekrojów stożkowych.

Cele: nauczyć się rozróżniać rodzaje przekrojów stożkowych, konstruować przekroje kinetyczne i stosować podejście analityczne.

Podaną proporcję można traktować jako układ równań:

i nazywane są krzywymi drugiego rzędu.

Rodzaje przekrojów stożkowych.

Przekroje stożkowe mogą być trzech typów:

2) Płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z płaszczyzn stycznych stożka; w przekroju powstaje otwarta krzywa sięgająca nieskończoności - parabola leżąca całkowicie w jednej wnęce.

Badanie.

W przypadku gdy przekrój stożkowy ma środek symetrii (środek), czyli jest elipsą lub hiperbolą, jego równanie można sprowadzić (przenosząc początek współrzędnych do środka) do postaci:

za 11 x 2 +2a 12 xy + za 22 y 2 = za 33 .

Dalsze badania takich (zwanych centralnie) przekrojów stożkowych pokazują, że ich równania można sprowadzić do jeszcze prostszej postaci:

Topór 2 + Wu 2 = C,

BUDOWA PRZEKRÓJÓW STOŻKOWYCH.

Te definicje przekrojów stożkowych jako krzywych płaskich sugerują również metodę ich konstruowania przy użyciu rozciągniętej struny.

Elipsa. Jeżeli końce nici o określonej długości są zamocowane w punktach F 1 i F 2 (ryc. 3), wówczas krzywa opisana ostrzem ołówka przesuwającego się po mocno napiętej nitce ma kształt elipsy. Zwrotnica F 1 i F 2 nazywane są ogniskami elipsy i segmentami V 1 V 2 i w 1 w 2 pomiędzy punktami przecięcia elipsy z osiami współrzędnych - osią większą i mniejszą. Jeśli punkty F 1 i F 2 pokrywają się, następnie elipsa zamienia się w okrąg (ryc. 3).

Hiperbola. Podczas konstruowania hiperboli punkt P, końcówka ołówka, jest zamocowana na nitce, która swobodnie przesuwa się po kołkach zainstalowanych w punktach F 1 i F 2, jak pokazano na rysunku 4, a, odległości są dobrane tak, aby segment PF 2 jest dłuższy niż odcinek PF 1 o ustaloną kwotę mniejszą niż odległość F 1 F 2. W takim przypadku jeden koniec nici przechodzi pod kołkiem F 1, a oba końce nitki przechodzą przez kołek F 2. (Czut ołówka nie powinien ślizgać się po nitce, dlatego należy go zabezpieczyć, robiąc małą pętlę na nitce i przeciągając przez nią czubek.) Jedna gałąź hiperboli ( PV 1 Q) rysujemy, upewniając się, że nitka jest cały czas napięta i ciągnąc oba końce nitki w dół poza punkt F 2 i kiedy punkt P będzie poniżej segmentu F 1 F 2, trzymając nić na obu końcach i ostrożnie ją puszczając. Rysujemy drugą gałąź hiperboli, najpierw zmieniając kołki F 1 i F 2 (ryc. 4).

Gałęzie hiperboli zbliżają się do dwóch linii prostych, które przecinają się między gałęziami. Linie te, tzw asymptoty hiperboli, są zbudowane jak pokazano na rysunku 4, b. Narożnik

współczynniki tych prostych są równe gdzie jest odcinek dwusiecznej kąta między asymptotami prostopadłymi do odcinka F 2 F 1 ; odcinek w 1 w 2 nazywa się osią sprzężoną hiperboli i odcinkiem V 1 V 2 - jego oś poprzeczna. Zatem asymptoty są przekątnymi prostokąta, którego boki przechodzą przez cztery punkty w 1 , w 2 , V 1 , V 2 równolegle do osi. Aby skonstruować ten prostokąt, musisz określić położenie punktów w 1 i w 2. Są w tej samej odległości, równi

od punktu przecięcia osi O. Formuła ta polega na budowie trójkąta prostokątnego z nogami Ow 1 i V 2 O i przeciwprostokątna F 2 O.

Jeżeli asymptoty hiperboli są wzajemnie prostopadłe, wówczas nazywa się hiperbolę równoboczny. Dwie hiperbole, które mają wspólne asymptoty, ale z przestawionymi osiami poprzecznymi i sprzężonymi, nazywane są wzajemnie sprzężone.

Parabola. Apoloniusz znał sztuczki z elipsą i hiperbolą, ale ostrość paraboli, najwyraźniej został po raz pierwszy ustalony przez Pappusa (druga połowa III w.), który zdefiniował tę krzywą jako zbiór geometryczny punktów w jednakowej odległości od danego punktu (ogniska) i danej linii prostej, co nazywa się dyrektorka szkoły. Konstrukcję paraboli z naprężonej nici, w oparciu o definicję Pappusa, zaproponował Izydor z Miletu (VI w.) (ryc. 5).

Ustawmy linijkę tak, aby jej krawędź pokrywała się z kierownicą i przymocuj nogę do tej krawędzi AC rysowanie trójkąta ABC. Mocujemy jeden koniec nici o długości AB na górze B trójkąta, a drugi w ognisku paraboli F. Za pomocą końcówki ołówka naciągnij nić, dociśnij końcówkę w zmiennym punkcie P do wolnej nogi AB rysowanie trójkąta. Gdy trójkąt przesuwa się wzdłuż linijki, punkt P opisze łuk paraboli z ostrością F i kierownica, ponieważ całkowita długość gwintu wynosi AB, kawałek nici przylega do wolnej nogi trójkąta, a tym samym do pozostałego kawałka nici PF musi być równa pozostałej części nogi AB, to jest ROCZNIE. Punkt przecięcia V nazywa się parabolą z osią wierzchołek paraboli, przechodząca przez nią linia prosta F I V, - oś paraboli. Jeśli przez ognisko zostanie poprowadzona linia prosta, prostopadła do osi, wówczas nazywa się odcinek tej prostej odcięty przez parabolę parametr ogniskowy. W przypadku elipsy i hiperboli parametr ogniskowy wyznacza się w podobny sposób.

PODEJŚCIE ANALITYCZNE

gdzie nie wszystkie współczynniki A, B i C są równe zero. Stosując równoległe przesunięcie i obrót osi, równanie (1) można sprowadzić do postaci

topór 2 + o 2 + c = 0

2) Jeśli aib mają ten sam znak, a c przeciwny znak, to przekrój stożkowy jest elipsą; gdy a = b - okrąg.

3) Jeśli a i b mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy jest hiperbolą.

4) Jeżeli a i b mają różne znaki i c = 0, to przekrój stożkowy składa się z dwóch przecinających się linii.

6) Jeśli a lub b jest równe zero, a pozostałe współczynniki mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy składa się z dwóch równoległych linii.

Aplikacja

Bibliografia.

1. Aleksiejew. Twierdzenie Abela w problemach i rozwiązaniach. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Podręcznik dla studentów pierwszego roku wydziałów fizyki i matematyki instytutów pedagogicznych. Moskiewskie „oświecenie” 1974

3. Vereshchagin N.K., A.Shen. Wykłady z logiki matematycznej i teorii algorytmów. 1999

4. Gelfand I.M. Wykłady z algebry liniowej. 1998.

5. Gladky A.V. Wprowadzenie do współczesnej logiki. 2001

6. ME Kazaryan. Kurs geometrii różniczkowej (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Geometria Łobaczewskiego 2004

8. Prasolov V.V.. Problemy w planimetrii 2001

9. Sheinman O.K.. Podstawy teorii reprezentacji. 2004

(cm.) (którego prowadnicą jest okrąg) płaszczyznami, które nie przechodzą przez jego wierzchołek.
Jeżeli płaszczyzna cięcia nie jest równoległa do żadnej z tworzących powierzchni stożkowej, wówczas przekrój stożkowy jest elipsą, w szczególności kołem (ryc. 107). Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa tylko do jednej z tworzących powierzchni stożkowej, wówczas przekrój stożkowy jest parabolą (ryc. 108). Jeżeli sieczna płaszczyzna jest równoległa do dwóch tworzących powierzchni stożkowej, wówczas przekrój stożkowy jest hiperbolą (ryc. 109).
W przypadku elipsy i paraboli płaszczyzna cięcia przecina tylko jedno wgłębienie powierzchni stożkowej, a w przypadku hiperboli płaszczyzna cięcia przecina oba wnęki powierzchni stożkowej.
Przekroje stożkowe nazywane są inaczej krzywymi drugiego rzędu. Przekroje stożkowe były już badane przez matematyków starożytnej Grecji (na przykład Menaechmus w IV wieku p.n.e. rozwiązał problem (patrz) za pomocą przekrojów stożkowych). Najpełniejsze badania przekrojów stożkowych przeprowadził Apoloniusz z Perge (III wiek p.n.e.).

Sekcje stożkowe są stosowane w technologii, na przykład w przekładniach eliptycznych, w instalacjach reflektorów (zwierciadła paraboliczne) itp. Planety Układu Słonecznego poruszają się po elipsach, komety poruszają się po parabolach i hiperbolach.
Badania przekrojów stożkowych za pomocą kul wpisanych w powierzchnię stożkową prowadził belgijski geometr J. Dandelin (XIX w.).

Równanie przekroju stożkowego we współrzędnych biegunowych ma postać:

gdzie r jest wektorem promienia ogniskowego (ryc. 110, F jest prawym ogniskiem przekroju stożkowego);

p - parametr ogniskowy;
e - ekscentryczność;
φ - kąt biegunowy.

Jeśli e 1, to równanie to określa (patrz); w tym przypadku dla kąta φ zmieniającego się od φ 0 do 2π - φ 0 (gdzie 2 φ 0 jest kątem pomiędzy asymptotami tan φ 0 =b/a) otrzymujemy prawą gałąź hiperboli, a dla kątów φ zmieniających się od - φ 0 do φ 0 otrzymujemy lewą gałąź hiperboli.

Nazwę przekrojów stożkowych (elipsa, parabola i hiperbola) starożytni geometrzy wyjaśniają sposobem rozwiązywania problemów sprowadzającym się do rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych – metodą stosowania pól lub metodą paraboliczną, zwaną także metoda algebry geometrycznej.

Niech AB = 2a – średnica elipsy (ryc. 111), AE = 2p, CF – prostopadle do AB; wtedy kwadrat zbudowany na CD będzie równy polu prostokąta (AF):

Stawiając AC=x, CB=2a - x, CD=y, otrzymujemy:

Podobnie dla hiperboli będziemy mieli:

W przypadku elipsy wzór zawiera znak minus, czyli pole prostokąta (CE) stosowane jest z wadą (gr. ελλειψιζ – wada). W przypadku hiperboli we wzorze znajduje się znak plus, czyli pole prostokąta (CE) jest użyte w nadmiarze (gr. υπερβολη – nadmiar, nadmiar).
Jeżeli pomiędzy polem kwadratu a polem prostokąta (CE) istnieje prosta równość (we wzorze nie ma ani minusa, ani plusa - ani nadmiaru, ani niedoboru), tj. y² = 2pх, to krzywa (przekrój stożkowy) nazywa się parabolą (παραβολη - obszary dodatku, wyrównanie).

Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej

Państwowy Uniwersytet Pedagogiczny w Kałudze

Ich. K.E. Ciołkowski

„Przekroje stożkowe”

1. Dzieła Apoloniusza

2. „Przekroje stożkowe” Apoloniusza.

2.1 Wyprowadzenie równania krzywej dla przekroju prostokątnego stożka obrotowego

2.2 Wyprowadzenie równania paraboli

2.3 Wyprowadzenie równania na elipsę i hiperbolę

2.4 Niezmienniczość przekrojów stożkowych

2.5 Dalsze badania przekrojów stożkowych w dziełach Apoloniusza

2.6 Dalszy rozwój teorii przekrojów stożkowych

3. Wniosek

4. Referencje

Dzieła Apoloniusza

Apoloniusz urodził się w Pergeach w Azji Mniejszej. Rozkwit jego działalności przypada na rok 210. PNE. W tym czasie mieszkał w Aleksandrii, dokąd przeprowadził się jako młody człowiek i gdzie uczył się pod okiem matematyków szkoły Euklidesa. Apoloniusz zasłynął jako geometr i astronom. Zmarł około 170. pne mi.

W matematyce Apoloniusz jest najbardziej znany ze swoich przekrojów stożkowych, w których przedstawił pełne wyjaśnienie teorii oraz opracował metody analityczne i rzutowe. Apoloniusz napisał traktat „O wstawkach”, poświęcony klasyfikacji problemów, które można rozwiązać za pomocą wkładek. Problemy takie mogą okazać się rozwiązywalne za pomocą kompasu i linijki (zadania płaskie), za pomocą przekrojów stożkowych (zadania bryłowe) oraz za pomocą innych krzywych (zadania liniowe). Określenie, do której klasy należy dany problem, mogłoby oznaczać początek ich klasyfikacji algebraicznej. Zainteresowanie Apoloniusza problemami algebraicznymi ujawniło się także w jego innym dziele „O nieuporządkowanych irracjonalnościach”, w którym kontynuował klasyfikację Euklidesa.

Czysto geometryczne dzieła Apoloniusza to: dzieło „O liniach spiralnych”, w którym rozważa spirale na powierzchni cylindra, „Na dotyk”, w którym analizowany jest słynny problem Apoloniusza: „Biorąc pod uwagę trzy rzeczy, z których każda może być punktem, linią prostą lub okręgiem; należy narysować okrąg, który przechodziłby przez każdy z podanych punktów i stykał się z każdą z podanych linii lub okręgów.”

Z prac „Na płaskich miejscach geometrycznych” możemy wywnioskować, że Apoloniusz rozważał przekształcenie płaszczyzny w siebie, które przekształca proste i okręgi w proste i okręgi. Szczególnym przypadkiem tych przekształceń są przekształcenia podobieństwa i inwersje pewnego punktu.

Niektóre dzieła Apoloniusza zaginęły i nie zachowały się do dziś.

„Przekroje stożkowe” Apoloniusza

Sekcje stożkowe składają się z ośmiu książek. Pierwsze cztery, które zdaniem autora określały elementy teorii, dotarły do nas w języku greckim, kolejne trzy znajdują się w arabskim tłumaczeniu Thabita ibn Korry, ostatnia – ósma księga – zaginęła. Istnieje rekonstrukcja jego tekstu, należącego do angielskiego astronoma E. Halleya (XVIII w.).

Krzywe drugiego rzędu rozważano po raz pierwszy w związku z problemem podwojenia sześcianu; Menaechmus przedstawił je jako płaskie przekroje stożków obrotowych prostokątnych, rozwartych i ostrych. Ta stereometryczna reprezentacja gwarantowała istnienie i ciągłość omawianych krzywych. Następnie Menaechmus przystąpił do wyprowadzenia podstawowej własności planimetrycznej przekroju, którą starożytni nazywali symptomem (równaniem krzywej).

Wyprowadzenie równania krzywej dla przekroju prostokątnego stożka obrotowego

Niech OAB będzie przekrojem tego stożka przez płaszczyznę przechodzącą przez oś OL, a PLK będzie śladem płaszczyzny prostopadłej do tworzącej tego stożka (rys. 1). Następnie KM 2 = AK KB, ponieważ AMB jest półkolem. Ale AK=PP′=√2LP 2 i KB=√2KP 2, więc KM 2 =2LP KP.

Ryż. 1

Oznaczmy KM przez y, KP przez p i otrzymamy

Jest to równanie lub symptom krzywej zapisanej za pomocą symboli alfabetycznych, a starożytni zapisali ją w formie słowno-geometrycznej: kwadrat na półcięciwie KM w każdym punkcie jest równy prostokątowi PKSR, zbudowanemu na odcinek PK osi do wierzchołka (x) i na odcinku stałym PR (rys. 2).

Ryż. 2

Podobnie równanie wyprowadzono dla przekrojów stożka o kącie ostrym i rozwartym, tj. elipsa i hiperbola:

= i =, (2)

gdzie 2a jest główną osią elipsy lub rzeczywistą osią hiperboli,

oraz p jest stałe.

W przypadku, gdy р=а, równania (2) przyjmują postać

y 2 =x(2a-x) i y 2 =x(2a+x) (3)

z których pierwsze jest równaniem okręgu o promieniu a, a drugie jest równaniem hiperboli równobocznej. Elipsę i hiperbolę (2) można otrzymać z okręgu i hiperboli (3) poprzez kompresję do osi odciętych w stosunku √p/a.

Apoloniusz podaje przede wszystkim definicję bardziej ogólną. Po pierwsze, bierze dowolny okrągły stożek; po drugie, bada obie jej wnęki (co daje mu możliwość zbadania obu gałęzi hiperboli); na koniec rysuje przekrój płaszczyzną umieszczoną pod dowolnym kątem do tworzącej.

W potocznym języku geometrii analitycznej można powiedzieć, że przed Apoloniuszem przekroje stożkowe rozważano w odniesieniu do prostokątnego układu współrzędnych, w którym jedna z osi pokrywa się ze średnicą główną, a druga przechodzi prostopadle do niej przez wierzchołek krzywa; Apoloniusz powiązał krzywe z dowolną średnicą stycznej narysowanej na jednym z jej końców, tj. do jakiegoś skośnego układu współrzędnych.

Po definicji stereometrycznej Apoloniusz podaje także wyprowadzenie symptomów - równań krzywych. Jednocześnie klasyfikuje otrzymane krzywe ze względu na rodzaj równania je definiującego, tj. Podstawą jest punkt widzenia charakterystyczny dla geometrii analitycznej.

Wyprowadzenie równania na parabolę

Niech BAC będzie przekrojem stożka kołowego przez płaszczyznę przechodzącą przez tę oś (rys. 3) i niech płaszczyzna GHD zostanie narysowana w taki sposób, że DE jest prostopadła do BC, a GH jest równoległa do AB (można wybrać GH jako równoległy do AC). Znajdźmy równanie krzywej DGE uzyskane w sekcji.

Ryż. 3

Niech K będzie dowolnym punktem na tej krzywej. Narysujmy KL równolegle do DE i MN równolegle do BC. Płaszczyzna przechodząca przez KL i MN będzie równoległa do płaszczyzny podstawy i, jak już wcześniej udowodnił Apoloniusz, przetnie stożek po okręgu. Dlatego KL 2 = ML LN.

Odcinek GL jest zmienną odległością rzutu punktu D od wierzchołka, wyrazy są stałe. Apoloniusz wybiera taki odcinek GF, że

Wtedy KL2 =GF LG. To jest symptom - równanie przekroju.

Jeśli oznaczymy KL=y, LG=x, GF=2p, to otrzymamy równanie w zwykłej postaci: y 2 =2px.

U Apoloniusza równanie jest również zapisane ustnie - po grecku: jeśli GH jest jedną ze średnic paraboli, a KL jest półcięciwą sprzężoną z tą średnicą, to Apoloniusz stawia GR = 2p prostopadle do GH. Następnie stwierdza się, że w każdym punkcie kwadrat zbudowany na LK (rys. 4) musi być równy prostokątowi GRSL, tj. GL GR.

Nazwa „parabola” pochodzi od imienia Apoloniusza παραβολή (zastosowanie), gdyż problem zbudowania punktu na tej krzywej sprowadza się do problemu zastosowania (przed Apoloniuszem parabolę nazywano odcinkiem prostokątnego stożka obrotowego).

Ryż. 4

Wyprowadzenie równania na elipsę i hiperbolę

Podobnie Apoloniusz otrzymuje równanie elipsy i hiperboli.

Zatem dla elipsy udowodniono, że LK 2 = pl. GLL′G′ (rys. 5), gdzie GH=2a jest pewną średnicą elipsy, LK jest jej sprzężonym półcięciwą, GR=2p jest stałą, a GR jest prostopadła do GH. Aby przejść do bardziej znanej formy notacji, zauważ to

Ryż. 5

W ten sposób problem konstruowania punktów elipsy sprowadza się do problemu zastosowania z wadą („problem eliptyczny”), co wyjaśnia nazwę „elipsa” (έλλειψις - wada). Nazwę tę wprowadził Apoloniusz, przed nim elipsę nazywano odcinkiem stożka obrotowego o ostrym kącie.

Podobnie dla hiperboli (rys. 6) otrzymujemy równanie

ŁK 2 = kwadrat GLL′G′, tj. , Lub.

W konsekwencji problem konstruowania punktów hiperboli sprowadza się do problemu zastosowania nadmiaru („problem hiperboliczny”), co wyjaśnia nazwę „hiperbola” (ύπερβολή - nadmiar). Nazwę tę wprowadził także Apoloniusz, przed nim hiperbolę nazywano odcinkiem rozwartego stożka obrotowego.

Skonstruowany odcinek GR=2p, ułożony prostopadle do średnicy GH, Apoloniusz nazwał „bokiem prostym”.

Ryż. 6

Obecnie wartość p nazywa się parametrem przekroju kanonicznego (w przypadku elipsy i hiperboli z półosiami a i b p=b 2 /a oraz współczynnikiem kompresji √p/a, przekształcającym okrąg lub hiperbola równoboczna w daną elipsę lub hiperbolę, jest równa b/a) .

Klasyfikacja przekrojów stożkowych dokonana przez Apoloniusza była zasadniczo algebraiczna.

Niezmienniczość przekrojów stożkowych

Apoloniusz doskonale rozumiał (co zbliżyło go do geometrii New Age), że taka klasyfikacja jest uprawniona tylko wtedy, gdy postać równania nie zmienia się, gdy krzywą przypiszemy jej drugą średnicę i jej sprzężone cięciwy.

W pierwszej książce porusza tę kwestię. W tym celu konieczne było określenie kierunku cięciw powiązanych z dowolną średnicą. Przy wyznaczaniu stereometrycznym kierunki sprzężone są uzyskiwane automatycznie. Aby jednak rozwiązać problem postawiony przez Apoloniusza, potrzebna jest definicja niezależna od stereometrii. Apoloniusz tak robi: udowadnia, że linia poprowadzona przez punkt A przekroju kanonicznego, równoległa do kierunku cięciw koniugowanych ze średnicą przechodzącą przez A, jest styczną. Następnie konstruuje styczną do paraboli, elipsy, okręgu i hiperboli.

Niech P będzie punktem paraboli, a AA′ jedną ze średnic (rys. 7). Apoloniusz udowadnia, że styczna PR odetnie odcinek AR=AQ od przedłużenia średnicy, jeżeli PL jest cięciwą sprzężoną z AA′. Dla hiperboli, elipsy i okręgu otrzymuje zależność (ryc. 8, dla elipsy)

Ryż. 7

RA:RA′=QA:QA′.

Apoloniusz następnie przekształca równanie elipsy i hiperboli tak, że początek współrzędnych znajduje się w środku krzywej, a równanie paraboli tak, że początek współrzędnych pokrywa się z wierzchołkiem tej krzywej.

Zatem tutaj osie współrzędnych są dwiema średnicami sprzężonymi. Następnie pokazuje, że postać równania nie zmienia się, jeśli którąkolwiek ze średnic krzywej i styczną narysowaną na jednym z jej końców przyjmiemy jako nowe osie.

Ryż. 8

W pierwszej książce Apoloniusz rozważa różne układy współrzędnych w zależności od jednego parametru, ponieważ te układy współrzędnych są określone przez jeden punkt krzywej - koniec średnicy i udowadnia niezmienność równań elipsy, hiperboli i paraboli pod względem transformacji odpowiednich układów współrzędnych.

Na końcu pierwszej księgi Apoloniusz pokazuje, że można wybrać średnicę prostopadłą do powiązanych z nią cięciw. Następnie rozważaną krzywą można przedstawić jako przekrój dowolnego stożka obrotu o kącie rozwartym, ostrym lub prostokątnym przez płaszczyznę prostopadłą do tworzącej. To ustala tożsamość krzywych wprowadzonych przez Apoloniusza z sekcjami kanonicznymi, które rozważano przed nim.

Główną ideą pierwszej książki jest przyjęcie za podstawę klasyfikacji krzywych właściwości ich równań algebraicznych, a dokładnie tych, które pozostają niezmienne przy dopuszczalnych przekształceniach współrzędnych. Dopiero w XIX w. Idea ta została w pełni zrozumiana, gdy Klein w Programie Erlangen ustanowił nowe spojrzenie na geometrię jako naukę o niezmiennikach pewnych grup przekształceń płaszczyzny lub przestrzeni.

Dalsze badania przekrojów stożkowych w dziełach Apoloniusza

W kolejnych trzech książkach Apoloniusz rozwija teorię przekrojów stożkowych: wyjaśnia podstawowe właściwości średnic sprzężonych asymptot, otrzymuje równanie hiperboli ze względu na asymptoty (xy=const) oraz ustala podstawowe właściwości ognisk elipsa i hiperbola. Tutaj po raz pierwszy pojawiają się bieguny i bieguny względem przekrojów stożkowych: jeśli z punktu można narysować dwie styczne do przekroju stożkowego, to linia prosta łącząca punkty styczności nazywana jest biegunem danego punktu , a punkt jest biegunem tej prostej. Jeśli przesuniesz biegun po linii prostej przecinającej ten przekrój, wówczas biegun obróci się wokół bieguna tej prostej, ale jeśli przesuniesz biegun po linii prostej, która nie przecina przekroju, wówczas biegun również obróci się wokół bieguna tej prostej pewien punkt, a w tym przypadku punkt, wokół którego obraca się biegun, oraz linia prosta, wzdłuż której porusza się biegun, nazywana jest także biegunem i biegunem. W czwartej księdze Apoloniusz rozważa kwestię liczby punktów przecięcia dwóch odcinków stożkowych.

W piątej księdze Apoloniusz definiuje wszystkie normalne do przekroju stożkowego (prostopadłe do stycznej, przywrócone w punkcie styczności). Szósta książka bada podobne przekroje stożkowe.

Siódma księga zawiera słynne twierdzenia Apoloniusza:

a) suma kwadratów średnic sprzężonych elipsy jest równa sumie kwadratów głównych osi;

b) różnica kwadratów dwóch średnic sprzężonych hiperboli jest równa różnicy kwadratów na głównych osiach;

c) równoległobok zbudowany na dwóch sprzężonych średnicach elipsy lub hiperboli ma stałe pole.

Dalszy rozwój teorii przekrojów stożkowych

W starożytności metody badania krzywizn stworzone przez Apoloniusza nie były rozwinięte, choć dopiero na początku V wieku. OGŁOSZENIE jego prace były studiowane i komentowane. Jeśli chodzi o same przekroje stożkowe, Archimedes wykorzystał je do rozwiązania i zbadania równania sześciennego. Do tych samych celów przekroje stożkowe wykorzystywali późniejsi starożytni geometrzy i naukowcy z krajów islamskich.

Przez długi czas nie znalazły one żadnego zastosowania w matematyczno-przyrodniczych naukach, z wyjątkiem badania odbicia światła od zwierciadeł parabolicznych. Dopiero w XVII w. Nastąpiło odrodzenie idei Apoloniusza: Fermat i Kartezjusz przełożyli jego metodę na język nowej algebry, zakładając geometrię analityczną, a Newton zastosował te metody do opisu i badania krzywych trzeciego rzędu. Ale jeszcze wcześniej teoria przekrojów stożkowych zyskała najszersze zastosowanie w mechanice ciał ziemskich i niebieskich: Kepler ustalił, że planety naszego Układu Słonecznego poruszają się po elipsach, w jednym z ognisk, w których znajduje się Słońce; Galileusz pokazał, że rzucony kamień leci w przestrzeni po paraboli. Wreszcie w latach 80. XVII w. Newton stworzył swoje „Matematyczne zasady filozofii naturalnej” bezpośrednio opierając się na dziełach Apoloniusza.

Wniosek

Przekroje stożkowe Apoloniusza są przykładem teorii matematycznej stworzonej na długo przed tym, zanim stała się potrzebna. Przy tej okazji A. Einstein napisał: „Oprócz podziwu dla tego wspaniałego człowieka (mówimy o Keplerze) pojawia się jeszcze jedno uczucie podziwu i zachwytu, ale odnoszące się nie do człowieka, ale do tajemniczej harmonii natury, która odpowiadają najprostszym prawom. Oprócz linii prostej i okręgu obejmowały one elipsę i hiperbolę. Widzimy, że to drugie jest realizowane na orbitach ciał niebieskich, przynajmniej z dobrym przybliżeniem.”

Bibliografia:

1. Ścieżki i labirynty. Eseje z historii matematyki. Daan – Dalmedico A., Peiffer J. Trans. z francuskiego – M.: Mir, 1986.

2. Historia matematyki od czasów starożytnych do początków XIX wieku. Juszkiewicz A.P. – M.: Nauka, 1970.

Odwiedziłem nowo otwartą „Starą Księgę” na ulicy Sowieckiej 2. Wrażenia są bardzo pozytywne: sklep uniwersalny, dużo fikcji, duży wybór literatury technicznej i naukowej. Ponieważ proces aranżacji nie został jeszcze zakończony, nie wystawiono jeszcze całej literatury technicznej (w nadchodzących dniach obiecuje się znaczne uzupełnienie) i panuje tam pewien chaos. Traktowanie klientów to „najbardziej pasmanteria”, zapraszają do ponownej wizyty i proszą o poinformowanie znajomych o nowym sklepie.
Spełniam moją ostatnią prośbę:

Naturalnie nie można było wyjść bez zakupu książki:

L. Karpinsky, profesor na Uniwersytecie Michigan, G. Benedict, profesor na Uniwersytecie w Teksasie, J. Kalgun, profesor na Uniwersytecie w Teksasie
Ujednolicona matematyka
Tłumaczenie autoryzowane z języka angielskiego z przypisami i zmianami autorstwa prof. D. A. Kryżanowski
Sekcja Naukowo-Techniczna Państwowej Rady Akademickiej zostaje zatwierdzona jako podręcznik dla szkół technicznych i uczelni technicznych; Polecany jako przewodnik dla nauczycieli
M.-L.: Wydawnictwo Państwowe, 1926. XVI, 596 s.
(Podręczniki i podręczniki dla szkół technicznych i uczelni)

Ze wstępu tłumacza:

Wśród niemal obszernej edukacyjnej literatury matematycznej z różnych krajów, zbiorowa praca trzech amerykańskich profesorów „Unified Mathematics” wyróżnia się zarówno oryginalnym doborem materiału, jak i przede wszystkim metodami przetwarzania i prezentacji. Główną tendencją autorów jest łączenie całości prezentowanego materiału, poprzez organiczne splatanie jego poszczególnych części, w jedną całość – co pozostaje w pełnej harmonii z założeniami naszej szkoły. Jeżeli matematyka jako przedmiot nauczania szkolnego musi być ściśle powiązana z nauką o przyrodzie i społeczeństwie oraz z wymogami życia, to nie może być mowy o podziale szkolnym na izolowane, samowystarczalne dyscypliny i rozdziały. Fizyka, technika i ekonomia nie dostosowują swoich problemów do kategorii, na jakie zwykle dzieli się zbiory problemów matematycznych. Dlatego im szybciej uczeń nauczy się łączyć techniki i wyniki różnych działów matematyki, tym lepiej. W tym celu najpewniejszym sposobem jest wprowadzenie tej metody łączenia do samego procesu studiowania matematyki.
Kolejną cechą wyróżniającą książkę, organicznie związaną z jej ogólną tendencją, o której mowa powyżej, jest niezwykłe bogactwo i różnorodność zastosowanego materiału (zaczerpniętego z fizyki, astronomii, techniki, artylerii, biologii, statystyki, arytmetyki handlowej itp.), zarówno w tekście i oraz w zadaniach - również doskonale wpisuje się w potrzeby naszej szkoły. Materiał ten jest rozrzucony hojną ręką po wszystkich rozdziałach, a w szczególności całkowicie wypełnia rozdziały XXII, XXVI („ruch oscylacyjny”) i XXVII („prawa wzrostu organicznego”). W tym ostatnim (XXVII) rozdziale szczególną uwagę zwraca się na nowość tematu „krzywej gojenia się ran” – wynik obserwacji szpitalnych podczas ostatniej wojny. Dzięki tej obfitości przykładów i problemów „Ujednolicona matematyka” może być użytecznym przewodnikiem dla tych instytucji edukacyjnych, w których teoria jest nauczana przy użyciu innych podręczników.
Do niewątpliwych zalet „Ujednoliconej Matematyki” zaliczają się także liczne, ciekawie skomponowane „notatki historyczne”.

Przedmowa profesora L. Karpińskiego do tłumaczenia rosyjskiego:

Główną ideą „Unified Mathematics” jest nie tyle odejście od tradycyjnej matematyki, naszego wielkiego dziedzictwa przeszłości, ale pokazanie, jak istotną, realną rolę odgrywa matematyka we współczesnym świecie. Grekom wystarczała wiedza, że parabola ma takie a takie wspaniałe właściwości geometryczne. Współczesny uczeń musi wykazać się uderzającym związkiem z elementarnymi równaniami algebraicznymi, a zwłaszcza z lotem pocisku, z różnego rodzaju konstrukcjami mostowymi, z kształtem sal koncertowych, a nawet z reflektorami samochodowymi. Praktyczne zastosowania są nie mniej wspaniałe niż czysto teoretyczne.
Współczesny świat wymaga pracy umysłowej nie mniej niż świat starożytny, ale wymaga kontaktu umysłu z rzeczywistością. W matematyce można tego dokonać, zachowując wiele osiągnięć z przeszłości.
Czytanie takiej książki to świetna zabawa. Wiele podanych w nim przykładów ma już wartość niemal historyczną. Co więcej, niektóre sekcje, bez których wiedza osiemdziesiąt do dziewięćdziesięciu lat temu była niemożliwa dla matematyków i inżynierów, obecnie praktycznie wymarły, a ich odkrywanie jest niezwykle interesujące. Niektóre komentarze są przyjmowane ze smutnym uśmiechem, szczególnie gdy myślą o obecnych studentach.

W ostatnich latach powszechne użycie maszyn liczących, dokonujących mnożenia i dzielenia piętnastu, a nawet dwudziestu cyfr, częściowo wyparło tablice logarytmiczne w biurach dużych towarzystw ubezpieczeniowych, a także w pewnym stopniu w obserwatoriach.
Z ROZDZIAŁU VII: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

§ 10. Pochodzenie funkcji tangens i cotangens.- W astronomii obserwacyjnej ważną rolę odgrywa kąt nachylenia słońca i innych ciał niebieskich do horyzontu. Stosunek długości cienia rzucanego przez jakiś pionowy obiekt do długości samego obiektu daje cotangens kąta nachylenia słońca. Ta funkcja kąta pojawiła się przed styczną w pismach arabskiego astronoma Al-Battaniego w X wieku po Chrystusie i została nazwana cieniem, a później cieniem bezpośrednim lub drugim cieniem. Funkcję styczną, która reprezentuje stosunek długości cienia rzucanego na pionową ścianę przez pręt prostopadły do ściany do długości samego pręta, nazwano później pierwszym cieniem. Arabowie przyjęli długość pręta na 12 jednostek.

Z ROZDZIAŁU XIX: PARABOLA

§ 1. Definicja.- Zdefiniowaliśmy elipsę (rozdział XVIII, § 3) jako położenie punktu, który porusza się w taki sposób, że jego odległość od stałego punktu, czyli ogniska, pozostaje w stałym stosunku mniejszym niż 1 do jego odległości od linia stała, kierownica. Jeśli ten stały stosunek wynosi 1, wówczas krzywa opisana przez poruszający się punkt nazywa się parabolą. Jeżeli ten stosunek, będąc stałym, przekracza 1, wówczas krzywa nazywana jest hiperbolą.

Stan : schorzenie: ,at, wyznaczana jest elipsa.
Warunek: zdefiniowano parabolę.
Stan : schorzenie: , w, hiperbola jest zdefiniowana.
[Z. 345–346.]

Z ROZDZIAŁU XXI: STYCZNE I NORMALNE DO KRZYWYCH DRUGIEGO RZĘDU

§ 2. Równanie drugiego stopnia postaci ogólnej przedstawia przekrój stożkowy.- Jeśli dany jest prosty stożek kołowy, to można wykazać, stosując metody geometryczne geometrii euklidesowej, że przekrój powierzchni stożka przez dowolną płaszczyznę reprezentuje jedną z wymienionych powyżej krzywych; na przykład płaszczyzna równoległa do podstawy stożka daje w przekroju okrąg lub punkt okręgu (okrąg o zerowym promieniu), jeśli przechodzi przez wierzchołek.
Przez stożek rozumiemy tutaj całą powierzchnię stożkową utworzoną przez tworzące stożka, rozciągającą się w nieskończoność w obu kierunkach od punktu ich przecięcia.
Płaszczyzna równoległa tylko do jednego elementu tworzącego (tworząca stożka) przecina stożek po paraboli lub po dwóch zbiegających się liniach prostych, jeżeli płaszczyzna przecinająca przechodzi jednocześnie przez jedną z tworzących i styka się z kołową podstawą stożek.
Płaszczyzna przecinająca w skończonej odległości wszystkie tworzące stożka daje w przekroju elipsę; ta ostatnia zamienia się w punkt elipsy, gdy płaszczyzna przechodzi przez wierzchołek stożka.
Płaszczyzna, która jest jednocześnie równoległa do dowolnych dwóch tworzących stożka, przecina tę ostatnią wzdłuż hiperboli, ale jeśli płaszczyzna przechodzi przez wierzchołek, wówczas hiperbola degeneruje się w parę linii prostych.
§ 3. Notatka historyczna o przekrojach stożkowych.- Podstawowe właściwości przekrojów stożkowych odkryli matematycy greccy niemal dwa tysiące lat przed wynalezieniem geometrii analitycznej przez siedemnastowiecznych matematyków francuskich Kartezjusza i Fermata. Traktat o przekrojach stożkowych napisał Euklides (ok. 320 r. p.n.e.), jednak zdecydowanie wyprzedził go traktat napisany sto lat później Apoloniusz z Pergamonu(ok. 250 pne); ten ostatni traktat zawierał większość podstawowych właściwości, które badaliśmy.
Właściwości paraboli bezpośrednio związane z ogniskiem i kierownicą nie są zawarte w ośmiu księgach (rozdziałach) napisanych przez Apoloniusza na przekrojach stożkowych; nie stosował także kierownicy w przypadku odcinków środkowych (tj. krzywych mających środek symetrii – elipsę i hiperbolę). Wprowadził te koncepcje do swojego Zbiory matematyczne Pappus z Aleksandrii(ok. 300 r.), być może ostatni ze znaczących greckich matematyków.
Starożytni greccy matematycy interesowali się tymi krzywymi z czysto geometrycznego punktu widzenia. Nie wiedzieli, że ścieżki planet są przekrojami stożkowymi; Nie znali też żadnego praktycznego zastosowania tych krzywych. Jednak tylko dzięki badaniu właściwości tych krzywych przez greckich geometrów Johannes Kepler i Izaak Newton byli w stanie ustalić prawa ruchu planet we wszechświecie, w którym żyjemy. Wspomniani naukowcy, a także Mikołaj Kopernik, który odnowił heliocentryczną teorię świata, byli głębokimi znawcami czystej geometrii Greków; ich nowe teorie zostały zbudowane bezpośrednio na podstawie tej czystej geometrii.
[Z. 374–376.]

Z ROZDZIAŁU XXII: ZASTOSOWANIA PRZEKRÓJÓW STOŻKOWYCH

§ 1. Uwagi ogólne.- Liczne zastosowania przekrojów stożkowych - koła, elipsy, paraboli i hiperboli - zostały już częściowo wskazane w zagadnieniach towarzyszących badaniu każdej z tych krzywych. Tak szerokie i różnorodne użyteczne zastosowania tych krzywych wynikają głównie z ich właściwości stycznych i innych cech geometrycznych. Fakt, że proste właściwości geometryczne przynależą właśnie do krzywych, które wyrażają się równaniami algebraicznymi z dwiema zmiennymi pierwszego i drugiego stopnia, zdaje się wskazywać na istnienie pewnej harmonii w świecie algebry i geometrii.

§ 2. Prawa wszechświata.- W 1529 roku polski astronom i matematyk Kopernik (1473 - 1543) odkrył i ustalił znany już starożytnym Grekom fakt, że słońce reprezentuje centrum wszechświata, w którym żyjemy; wierzył, że planety krążą wokół Słońca po orbitach kołowych.
Około sto lat później wielki niemiecki astronom Kepler (1571 - 1630) ustalił następujące prawa wszechświata:
1. Orbity planet są elipsami, których jednym z ognisk jest Słońce.
2. Wektor promienia łączący Słońce z poruszającą się planetą opisuje równe pola w równych odstępach czasu (dla każdej planety osobno).
3. Kwadrat czasu pełnego obrotu każdej planety jest proporcjonalny do sześcianu jej średniej odległości od Słońca, tj.
,
gdzie i to okresy orbitalne dwóch planet, a i to średnice ich orbit.
Kepler mógł dokonać swoich odkryć jedynie dzięki pracy wszystkich swoich poprzedników, zwłaszcza greckich matematyków, którzy przeprowadzili tak kompleksowe badania właściwości przekrojów stożkowych, a także Duńczyka Tycho Brahe (1546 - 1601), którego uważne obserwacje dostarczyły niezbędne dane faktyczne dotyczące ruchu planet.
Newton (1642 - 1727) zakończył prace nad kodyfikacją praw ruchu otaczającego nas świata, pokazując, że wzajemne przyciąganie dowolnych dwóch ciał jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości między nimi i wprost proporcjonalne do ich mas. Co więcej, Newton pokazał, że założenie to prowadzi do ruchu eliptycznego w przypadku Słońca i dowolnej planety.
Ścieżki komet, które pojawiają się tylko raz w Układzie Słonecznym, to, jak wiadomo, parabole lub hiperbole, których mimośród jest bliski 1.
[Z. 391–392.]

§ 6. Zastosowanie kształtowników stożkowych w architekturze i budownictwie mostowym.- Tak zwany „złoty podział” niewątpliwie dobrze ilustruje istnienie ścisłego związku piękna formy z relacjami liczbowymi.

Według jednomyślnego uznania osób kompetentnych w tej kwestii, wymiary prostokąta są najbardziej zadowalające z artystycznego punktu widzenia w przypadku, gdy długi bok prostokąta łączy się z krótkim bokiem w przybliżeniu w taki sam sposób, jak krótki strona jest związana z różnicą między obiema stronami. Innymi słowy, jeśli dana jest podstawa prostokąta, to pożądaną wysokość – w sensie największej urody formy – znajdziemy stosując „złoty podział”, czyli dzieląc dany odcinek w stosunkach skrajnych i średnich . Na przykład przy podstawie równej 40 wysokość określa się z równania:
;
prowadzi to do równania kwadratowego w odniesieniu do. Godne uwagi jest to, że wycinając z powstałego prostokąta kwadrat zbudowany na krótszym boku prostokąta, otrzymujemy prostokąt podobny do pierwotnego; podobny prostokąt otrzymamy, jeśli do pierwotnego prostokąta dodamy kwadrat, zbudowany na dłuższym boku pierwotnego prostokąta.
Spotkaliśmy się już z przykładami związku, jaki najwyraźniej istnieje pomiędzy prostotą formy a prostotą odpowiedniego równania algebraicznego. Zatem linię prostą reprezentuje najprostsze równanie algebraiczne z dwiema zmiennymi, a mianowicie równanie pierwszego stopnia; okrąg, najprostsza krzywa pod względem konstrukcyjnym, jest reprezentowany przez równanie kwadratowe szczególnie prostego typu; Wszystkie inne typy równań kwadratowych z dwiema zmiennymi odpowiadają tylko trzem kolejnym klasom krzywych, a mianowicie elipsom, parabolom i hiperbolom. Poczucie artystycznej satysfakcji, jakie daje nam forma tych krzywych drugiego rzędu – przekrojów stożkowych – potwierdza szerokie zastosowanie, jakie formy te znajdują zarówno wśród starych, jak i nowych artystów.
Podczas konstruowania łuków stwierdzono, że piękno formy geometrycznej jest najściślej związane z prostotą odpowiedniego równania algebraicznego. Parabola i elipsa są szeroko stosowane w konstrukcjach łukowych, nie tylko ze względu na piękno ich formy, ale także ze względu na ich czysto mechaniczną zdolność przystosowania się do naprężeń i odkształceń powodowanych ciężarem tych konstrukcji. Jeden z uznanych ekspertów* w dziedzinie budownictwa mostowego twierdzi, że „łuki powinny mieć idealne krzywizny”, ostrzegając przed stosowaniem tzw. „fałszywych” elips.

Fakt, że w wielu najwspanialszych mostach świata tak często spotyka się regularne elipsy i parabole, pokazuje, jak powszechnie akceptowana jest teoria przypisująca piękno formy łukom eliptycznym i parabolicznym.
Na gigantycznym moście Hell-Gate w Nowym Jorku główny łuk przedstawia geometrycznie regularną parabolę (patrz Problem 11, Rozdział XIX, § 11). Główna część konstrukcji mostu London Bridge składa się z pięciu eliptycznych łuków. Nawet hiperbola, choć bardzo rzadko, znajduje zastosowanie w budownictwie mostowym. Należy zauważyć, że – częściowo ze względu na większą łatwość rysowania – znacznie powszechniejsze są łuki okrągłe (półkoliste), a także przybliżenia do elipsy lub paraboli, konstruowane z kilku łuków kołowych o różnych środkach.
W zastosowaniu łuku parabolicznego w konstrukcji mostów i płyt dachowych można wyróżnić co najmniej cztery różne typy. Pierwszy typ reprezentują mosty wiszące (łańcuchowe), których kable zwisają po parabolicznej krzywiźnie. Do drugiego typu zalicza się przypadek, gdy szczyt łuku parabolicznego znajduje się pod jezdnią. W mostach trzeciego typu łuk paraboliczny przecina jezdnię. Do czwartego typu należą wreszcie konstrukcje, w których łuk paraboliczny znajduje się całkowicie nad ścieżką, jak w przypadku stropów.
Przy projektowaniu dużych sal teatralnych i innych sal zwykle stosuje się łuki eliptyczne lub rzadziej paraboliczne.
Przy projektowaniu rynien wykorzystuje się także łuki paraboliczne i czysto eliptyczne, choć już rzadziej niż łuki okrągłe i podkowy. Czasami używane są nawet kompletne geometrycznie regularne elipsy (patrz zadanie 6 poniżej).
1. Rozwiąż równanie kwadratowe z ostatniego akapitu i sprawdź rozwiązanie, wykreślając krzywą.
2. Jaka jest szerokość prostokąta o wysokości 40, jeżeli wysokość tę uzyskuje się w wyniku „złotego podziału” szerokości odpowiadającej najpiękniejszemu kształtowi prostokąta?
3. Most w Pittsburghu w Ameryce ma łuk paraboliczny o rozpiętości 108 metrów i wzniesieniu 13,5 metra. Narysuj tę parabolę. Zakładając, że pionowe słupy są oddzielone panelami o długości 6 metrów i wznoszą się 4,5 metra nad szczytem łuku, oblicz ich długość.
4. Mniejsze łuki prowadzące do samego mostu, opisane w poprzednim zadaniu, wydają się mieć kształt eliptyczny. Ich rozpiętość wynosi 8,4 metra, a wysokość samych łuków to około 2,4 metra. Narysuj je.
5. W jednym drenie sklepienie paraboliczne ma 1,8 m szerokości i 1,2 m wysokości. Zbuduj dziesięć punktów tego łuku.
6. Jeden z kanałów ściekowych w Chicago, wybudowany w 1910 r., ma w przekroju pionową elipsę o wymiarach 3,6 × 4,2 metra. Narysuj kształt tej sekcji.
7. Narysuj łuk eliptyczny i paraboliczny każdy o rozpiętości 30 metrów i wysokości 9 metrów. Porównaj je ze sobą.
8. Korzystając z skali, zbuduj łuk paraboliczny mostu wiszącego Williamsborg (ryc. 153) o rozpiętości 488 metrów i rozjazdach 55 metrów. Zapisz jego równanie w najprostszej postaci, odpowiednio dobierając osie. Jaka jest długość czterech słupków, od liny do stycznej w wierzchołku paraboli?
* G. H. Tyrrell, Artystyczny projekt mostu, Chicago, 1912.

[Z. 399–403.]

Z ROZDZIAŁU XXVI: RUCH WIBRACYJNY
W większości przypadków wygodnie jest zastosować czas pełnego cyklu do zwykłego włókna w postaci całkowitej liczby jednostek, a wartość jednostki zależy od wartości okresu. W przypadku obrotu trwającego jedną minutę, za jednostkę osi odciętych można przyjąć 10 sekund, a tę samą jednostkę osi rzędnych za długość promienia. Powstała krzywa niewiele różni się od sinusoidy z równymi jednostkami długości na obu osiach współrzędnych. Najwyższy i najniższy punkt znajdują się na odciętych 15 i 45. Momenty: 0, 5, 7,5, 10, 15, 20 i 30 sekund odpowiadają kątom 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° i 180° °.

Fizycy i inżynierowie zwykle używają poniższej, czysto graficznej techniki do rysowania często występujących krzywych sinusoidalnych. Najpierw narysuj okrąg ze środkiem w początku, którego średnica jest równa pożądanej amplitudzie. Kąty między osiami są dzielone na pół, a następnie ponownie na pół (tyle razy, ile chcesz). Na osi poziomej ułożony jest odcinek o odpowiedniej długości, przedstawiający pełny cykl, który dzieli się na tyle równych części (zwykle 16), na ile okrąg jest podzielony przez osie i dwusieczne.
[Z. 466–467.]

Z ROZDZIAŁU XXVII: PRAWA WZROSTU
§ 5. Krzywa postępu gojenia ran.- Ściśle powiązane ze wzorami wyrażającymi prawo organicznego wzrostu i prawo „organicznego ubytku” jest niedawno odkryte prawo, które wiąże, zarówno algebraicznie w postaci równania, jak i graficznie w postaci krzywej, pole powierzchni rana o czasie wyrażonym w dniach, który nastąpił od chwili, gdy rana stała się sterylna lub aseptyczna. Po osiągnięciu stanu aseptycznego dzięki myciu i płukaniu roztworami antyseptycznymi, wówczas na podstawie dwóch obserwacji, dokonywanych zwykle po 4 dniach, oblicza się tzw. „wskaźnik osobisty”; wskaźnik ten, wraz z dwoma pomiarami powierzchni rany, pozwala lekarzowi określić prawidłowy postęp zmniejszania powierzchni rany u danego pacjenta. Na przezroczystym papierze starannie szkicuje się kontury rany, a następnie mierzy się jej powierzchnię za pomocą przyrządu matematycznego zwanego planimetrem.

Czas obserwacji wyrażony w dniach naniesiono wzdłuż osi x, a obszar rany wykreślono w postaci rzędnych. Po każdej obserwacji i obliczeniu powierzchni uzyskany w ten sposób punkt nanosi się na ten sam układ osi, w którym konstruowana jest krzywa idealna lub prorocza (krzywa predykcyjna). Na naszych diagramach przedstawiono dwie takie idealne krzywe, a także faktycznie zaobserwowane krzywe.
Jeśli obserwowany obszar jest zauważalnie większy niż obszar określony przez krzywą idealną, oznacza to, że w ranie nadal występuje infekcja. Przypadek taki przedstawiono na drugim schemacie. Często obserwuje się następujące niezwykle uderzające i dotychczas niewyjaśnione zjawisko: jeśli powierzchnia rany goi się znacznie szybciej, niż pokazuje idealna krzywa, wówczas powstają wtórne owrzodzenia, które przywracają normalną krzywiznę. Nasz pierwszy diagram jest tego typu.

To zastosowanie matematyki w medycynie jest w dużej mierze zasługą dr Alexisa Carrela z Instytutu Badań Medycznych Rockefellera. Zaobserwował, że im większa powierzchnia rany, tym szybciej się ona zagoiła, a tempo gojenia wydawało się proporcjonalne do powierzchni rany. Ale współczynnik tej proporcjonalności nie jest taki sam dla wszystkich wartości obszaru rany, w przeciwnym razie istniałoby równanie postaci
,
gdzie oznacza obszar rany w momencie, gdy staje się ona sterylna i rozpoczynają się obserwacje zapisane na schemacie.
W rzeczywistości (do rysowania idealnych krzywych) stosuje się następujące wzory zaproponowane przez dr. Lecomte du Nouilly(Nooyi wykazał, że istnieje normalna wartość współczynnika w zależności od wieku jednostki i wielkości rany, a wskaźnik osobowy, wyznaczony na podstawie dwóch obserwacji, niewątpliwie ujawnia fakty istotne dla ogólnego stanu zdrowia jednostki *.
[Z. 486–489.]

Miejska Instytucja Oświatowa

Gimnazjum nr 4

Przekroje stożkowe

Zakończony

Spiridonow Anton

uczennica klasy 11A

Sprawdzony

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Wstęp

Pojęcie przekrojów stożkowych

Rodzaje przekrojów stożkowych

Badanie

Budowa przekrojów stożkowych

Podejście analityczne

Aplikacja

Bibliografia

Wstęp.

Cel: badanie przekrojów stożkowych.

Cele: nauczyć się rozróżniać rodzaje przekrojów stożkowych, konstruować przekroje kinetyczne i stosować podejście analityczne.

Podaną proporcję można traktować jako układ równań:

Pojęcie przekrojów stożkowych.

Kiedy trójkąt prostokątny obraca się wokół jednej ze swoich nóg, przeciwprostokątna wraz z przedłużeniami opisuje powierzchnię stożkową zwaną powierzchnią prawego stożka kołowego, którą można uznać za ciągłą serię linii przechodzących przez wierzchołek i zwanych generatorami, wszystkie generatory spoczywającej na tym samym kręgu, zwanej produkcją. Każda z tworzących jest obracającym się trójkątem (w swoim znanym położeniu), rozciągniętym w obu kierunkach do nieskończoności. Zatem każda tworząca rozciąga się po obu stronach wierzchołka, w wyniku czego powierzchnia ma dwie wnęki: zbiegają się w jednym punkcie we wspólnym wierzchołku. Jeśli taką powierzchnię przecina płaszczyzna, wówczas na przekroju powstanie krzywa, którą nazywamy przekrojem stożkowym. Może być trzech typów:

1) jeżeli płaszczyzna przecina powierzchnię stożkową wzdłuż wszystkich tworzących, wówczas rozcina się tylko jedną wnękę i w przekroju uzyskuje się zamkniętą krzywą zwaną elipsą;

2) jeśli płaszczyzna cięcia przecina obie wnęki, wówczas uzyskuje się krzywą, która ma dwie gałęzie i nazywa się hiperbolą;

3) jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z tworzących, wówczas uzyskuje się parabolę.

Jeśli płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek przecina obie wnęki, wówczas w przekroju powstaje para przecinających się linii, co jest przypadkiem szczególnym.

Jeśli wierzchołek jest nieskończenie odległy, wówczas powierzchnia stożkowa zmienia się w cylindryczną, a jej przekrój przez płaszczyznę równoległą do generatorów daje w szczególnym przypadku parę równoległych linii. Przekroje stożkowe wyraża się równaniami drugiego rzędu, których ogólna postać to

Topór 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

i nazywane są krzywymi drugiego rzędu.

Rodzaje przekrojów stożkowych.

Przekroje stożkowe mogą być trzech typów:

1) płaszczyzna cięcia przecina wszystkie tworzące stożka w punktach jednego z jego wgłębień; linia przecięcia jest zamkniętą krzywą owalną -; okrąg jako szczególny przypadek elipsy uzyskuje się, gdy płaszczyzna cięcia jest prostopadła do osi stożka.

2) Płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z płaszczyzn stycznych stożka; w przekroju powstaje otwarta krzywa sięgająca nieskończoności - parabola leżąca całkowicie w jednej wnęce.

Badanie.

W przypadku gdy przekrój stożkowy ma środek symetrii (środek), czyli jest elipsą lub hiperbolą, jego równanie można sprowadzić (przenosząc początek współrzędnych do środka) do postaci:

za 11 x 2 +2a 12 xy + za 22 y 2 = za 33 .

Dalsze badania takich (zwanych centralnie) przekrojów stożkowych pokazują, że ich równania można sprowadzić do jeszcze prostszej postaci:

Topór 2 + Wu 2 = C,

BUDOWA PRZEKRÓJÓW STOŻKOWYCH.

Te definicje przekrojów stożkowych jako krzywych płaskich sugerują również metodę ich konstruowania przy użyciu rozciągniętej struny.

od punktu przecięcia osi O. Wzór ten zakłada budowę trójkąta prostokątnego z nogami Ov 1 i V 2 O oraz przeciwprostokątną F 2 O.

PODEJŚCIE ANALITYCZNE

gdzie nie wszystkie współczynniki A, B i C są równe zero. Stosując równoległe przesunięcie i obrót osi, równanie (1) można sprowadzić do postaci

topór 2 + o 2 + c = 0

2) Jeśli aib mają ten sam znak, a c przeciwny znak, to przekrój stożkowy jest elipsą; gdy a = b – okrąg.

3) Jeśli a i b mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy jest hiperbolą.

4) Jeżeli a i b mają różne znaki i c = 0, to przekrój stożkowy składa się z dwóch przecinających się linii.

6) Jeśli a lub b jest równe zero, a pozostałe współczynniki mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy składa się z dwóch równoległych linii.

PRZEKROJE STOŻKOWE

- krzywe płaskie, które uzyskuje się przez przecięcie prawego stożka kołowego z płaszczyzną, która nie przechodzi przez jego wierzchołek. Z punktu widzenia geometrii analitycznej przekrój stożkowy jest zbiorem punktów spełniających równanie drugiego rzędu. Z wyjątkiem przypadków zdegenerowanych, przekroje stożkowe są elipsami, hiperbolami lub parabolami.

Sekcje stożkowe często występują w przyrodzie i technologii. Na przykład orbity planet krążących wokół Słońca mają kształt elips. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, w której główna oś jest równa mniejszej. Zwierciadło paraboliczne ma tę właściwość, że wszystkie promienie padające równolegle do jego osi zbiegają się w jednym punkcie (ognisku). Jest to stosowane w większości teleskopów zwierciadlanych wykorzystujących zwierciadła paraboliczne, a także w antenach radarowych i specjalnych mikrofonach z reflektorami parabolicznymi. Wiązka promieni równoległych pochodzi ze źródła światła umieszczonego w ognisku reflektora parabolicznego. Dlatego w reflektorach dużej mocy i reflektorach samochodowych stosuje się lusterka paraboliczne. Hiperbola jest wykresem wielu ważnych zależności fizycznych, takich jak prawo Boyle'a (odnoszące ciśnienie i objętość gazu doskonałego) i prawo Ohma, które definiuje prąd elektryczny jako funkcję oporu przy stałym napięciu.

Za odkrywcę przekrojów stożkowych uważa się Menaechmusa (IV w. p.n.e.), ucznia Platona i nauczyciela Aleksandra Wielkiego. Menaechmus użył paraboli i hiperboli równobocznej do rozwiązania problemu podwojenia sześcianu. Traktaty o przekrojach stożkowych napisane przez Aristaeusa i Euklidesa pod koniec IV wieku. p.n.e. zaginęły, ale materiały z nich znalazły się w słynnych Przekrojach Stożkowych Apoloniusza z Perge (ok. 260-170 p.n.e.), które przetrwały do dziś. Apoloniusz porzucił wymóg, aby sieczna płaszczyzna tworząca stożka była prostopadła i zmieniając kąt jej nachylenia, otrzymywał wszystkie przekroje stożkowe z jednego okrągłego stożka, prostego lub nachylonego. Apoloniuszowi zawdzięczamy także współczesne nazwy krzywych - elipsę, parabolę i hiperbolę. W swoich konstrukcjach Apoloniusz zastosował dwuwarstwowy okrągły stożek, dzięki czemu po raz pierwszy stało się jasne, że hiperbola to krzywa o dwóch ramionach. Od czasów Apoloniusza przekroje stożkowe podzielono na trzy typy w zależności od nachylenia płaszczyzny cięcia do tworzącej stożka. Elipsa powstaje, gdy płaszczyzna cięcia przecina wszystkie tworzące stożka w punktach w jednej z jego wnęk; parabola - gdy płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z płaszczyzn stycznych stożka; hiperbola - gdy płaszczyzna cięcia przecina obie wnęki stożka.

Ogniska elipsy i hiperboli były znane Apoloniuszowi, jednak ognisko paraboli najwyraźniej zostało po raz pierwszy ustalone przez Pappusa (2. połowa III w.), który zdefiniował tę krzywą jako zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu (ognisko). i daną linię prostą, która nazywa się reżyserem. Konstrukcję paraboli z rozciągniętej nici, w oparciu o definicję Pappusa, zaproponował Izydor z Miletu (VI w.).

Ustalenie ogniska paraboli podsunęło Pappusowi pomysł podania alternatywnej definicji przekrojów stożkowych w ogóle. Niech F będzie danym punktem (ogniskiem), a L daną linią prostą (kierownicą) nieprzechodzącą przez F, a DF i DL odpowiednio odległościami ruchomego punktu P od ogniska F i kierownicy L. Następnie, jak pokazał Papp, przekroje stożkowe definiuje się jako zbiór punktów P, dla których stosunek DF/DL jest stałą nieujemną. Stosunek ten nazywany jest mimośrodem e przekroju stożkowego. Kiedy e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hiperbola; gdy e = 1 - parabola. Jeśli F leży na L, to loci mają postać linii (rzeczywistych lub urojonych), które są zdegenerowanymi przekrojami stożkowymi. Uderzająca symetria elipsy i hiperboli sugeruje, że każda z tych krzywych ma dwie kierownice i dwa ogniska, i ta okoliczność doprowadziła Keplera w 1604 r. do pomysłu, że parabola ma również drugie ognisko i drugą kierownicę - punkt w nieskończoności i prostą . W ten sam sposób okrąg można uznać za elipsę, której ogniska pokrywają się ze środkiem, a kierownice znajdują się w nieskończoności. Mimośród e w tym przypadku wynosi zero.

LITERATURA
Van der Waerden B.L. Przebudzenie nauki. M., 1959 Aleksandrow P.S. Wykłady z geometrii analitycznej. M., 1968