Nombor asli
banyak nombor asli, digunakan untuk invois atau pemindahan.
Secara formal, set nombor asli boleh ditakrifkan menggunakan sistem aksiom Peano.
DENGANSistem aksiom peano
1. Unit 
- nombor asli yang tidak mengikut sebarang nombor.
2. Untuk sebarang nombor asli 
wujud tunggal 
yang segera menyusul.
3. Setiap nombor asli 
serta-merta hanya mengikut satu nombor.
4. Jika ada yang ditetapkan 
mengandungi dan bersama-sama dengan setiap nombor asli mengandungi nombor serta-merta selepas itu 
(aksiom aruhan).
Operasi pada set
Pendaraban
|
Penolakan :
Sifat Tolak: Jika 
Itu
Jika 
Itu
Kebolehbahagi nombor asli
Bahagian
:
dibahagikan dengan 
sedemikian rupa 
Hartanahoperasi:
1. Jika 
dibahagikan kepada 
Itu 
dibahagikan dengan 
2. Jika 
Dan 
dibahagikan kepada 
Itu 
dibahagikan dengan 
3. Jika 
Dan 
boleh dibahagi dengan itu boleh dibahagi dengan
4. Jika boleh dibahagikan pada masa itu 
dibahagikan dengan
5. Jika 
boleh dibahagikan dengan a 
tidak dibahagikan kepada ini dan itu 
tidak boleh dibahagikan dengan
6. Jika atau 
dibahagikan dengan itu 
dibahagikan dengan
7. Jika boleh dibahagikan dengan 
maka ia dibahagikan dengan 
dan dibahagikan dengan
Teoremtentang pembahagian dengan baki Untuk sebarang nombor asli 
hanya ada satu nombor positif 
sedemikian rupa 
dan 
Bukti. biarlah 
Pertimbangkan algoritma berikut:
| Jika Jika Kami meneruskan proses penolakan sehingga bakinya kurang daripada nombor Ada nombor |
| Mari kita tambah semua baris algoritma ini dan dapatkan ungkapan yang diperlukan, di mana
|
lepas tu mari buat penolakan lagi
sedemikian rupa 
Kami akan membuktikan keunikan perwakilan dengan percanggahan.
Katakan terdapat dua perwakilan
Dan 
Kurangkan satu ungkapan daripada yang lain dan 
Kesamaan terakhir dalam integer hanya mungkin dalam kes sejak itu 
di 
□
Akibat 1. Mana-mana nombor asli boleh diwakili sebagai: 
atau atau
Akibat 2. Jika 
nombor asli berturut-turut, maka salah satu daripadanya boleh dibahagi dengan 
Akibat 3. Jika 
dua nombor genap berturut-turut, maka satu daripadanya boleh dibahagi dengan 
Definisi.
Nombor asli 
dipanggil perdana jika ia tidak mempunyai pembahagi selain daripada satu dan dirinya sendiri.
Akibat4.
Setiap nombor perdana mempunyai bentuk 
atau 
Malah, sebarang nombor boleh diwakili dalam bentuk bagaimanapun, semua nombor dalam siri ini, kecuali 
sudah pasti komposit. □
Akibat5
. Jika 
nombor perdana kemudian 
dibahagikan dengan 
sungguh, 
tiga nombor asli berturut-turut, dan 
malah, dan 
perdana ganjil. Oleh itu, salah satu daripada nombor genap 
Dan 
boleh dibahagi dengan 4, dan satu juga boleh dibahagi dengan 
□
Contoh 2 . Pernyataan berikut adalah benar:
1. Kuasa dua nombor ganjil apabila dibahagi dengan 8 memberikan baki 
2. Untuk tiada nombor asli n ialah nombor n 2 +1 boleh dibahagi dengan 3.
3. Hanya menggunakan nombor 2, 3, 7, 8 (mungkin beberapa kali), adalah mustahil untuk mengduakan nombor asli.
Bukti1.
Macam-macam nombor ganjil boleh diwakili dalam bentuk 
atau 
Mari kita kuasa duakan setiap nombor ini dan dapatkan pernyataan yang diperlukan.
Bukti 2. Setiap nombor asli boleh diwakili sebagai 
Kemudian ungkapan 
akan sama dengan salah satu ungkapan 
yang tidak dibahagikan kepada 
Bukti3. Sesungguhnya, digit terakhir kuasa dua nombor asli tidak boleh berakhir dengan mana-mana digit ini.
Tanda-tanda pembahagian
Definisi. Perwakilan perpuluhan bagi nombor asli ialah perwakilan nombor dalam bentuk
Notasi ringkas 
Tanda-tanda boleh berpecah kepada
Diluluskan 6 biarlah 
perwakilan perpuluhan nombor nombor Kemudian:
1. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila nombor 
- genap;
2. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila nombor itu ialah dua digit 
dibahagikan dengan 
3. Nombor boleh dibahagi dengan 
bila 
atau 
4. Nombor boleh dibahagi dengan 
bila 
5. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila nombor itu ialah dua digit 
- dibahagikan dengan 
6. Nombor boleh dibahagi dengan 
7. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila hasil tambah digit bagi suatu nombor dibahagikan dengan 
8. Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila hasil tambah digit bagi suatu nombor dengan tanda berselang-seli dibahagi dengan 
Bukti. Bukti tanda 1)-5) mudah diperolehi daripada notasi perpuluhan nombor tersebut. sungguh,
Ia berikutan bahawa jika boleh dibahagikan (atau 
maka hasil tambah digit nombor itu juga boleh dibahagi dengan 
Mari kita buktikan 11). Biarkan ia boleh dibahagikan dengan Mari kita wakili nombor dalam bentuk
Oleh kerana semua jumlah tambah boleh dibahagikan dengan 
maka jumlah itu juga dibahagikan dengan □
Contoh 3
.
Cari semua nombor lima digit bagi borang itu 
, yang boleh dibahagi dengan 45.
Bukti.
Oleh itu, nombor itu boleh dibahagikan dengan 5, dan digit terakhirnya ialah 0 atau 5, i.e. 
atau 
Nombor asal juga boleh dibahagikan dengan 9, jadi ia boleh dibahagikan dengan 9, i.e. 
atau boleh dibahagikan dengan 9, i.e. 
Jawapan:
Ujian pembahagian pada 
Dan 
Diluluskan 7 Biarkan perwakilan perpuluhan bagi nombor nombor Nombor boleh dibahagi dengan 
apabila perbezaan antara nombor tanpa tiga digit terakhir dan nombor yang terdiri daripada tiga digit terakhir dibahagikan dengan 
Bukti. Mari kita wakili dalam bentuk Sejak nombor 
dibahagikan dengan dan 
Itu 
boleh dibahagikan dengan dan □
Contoh
4
.
biarlah 
Kemudian 
boleh dibahagi dengan dan oleh itu nombor 
dibahagikan dengan 
biarlah 
Kemudian 
boleh dibahagi dengan Kemudian nombor 
dibahagikan dengan
Nombor perdana
Penapis Eratosthenes
(Algoritma mudah untuk mendapatkan semua nombor perdana)
Algoritma. Kami menulis semua nombor dari 1 hingga 100 dan memotong semua yang genap terlebih dahulu. Kemudian, daripada yang selebihnya kita potong yang boleh dibahagikan dengan 3, 5, 7, dsb. Akibatnya, hanya nombor perdana akan kekal.
Teorem Euclid. Nombor nombor perdana tanpa henti.
Bukti"dengan percanggahan." Biarkan bilangan nombor perdana terhingga - 
Pertimbangkan nombornya 
Soalan: nombor 
- mudah atau majmuk?
Jika ialah nombor komposit, maka ia boleh dibahagikan dengan beberapa nombor perdana 
dan oleh itu satu dibahagikan dengan nombor perdana ini. Percanggahan.
Jika ialah nombor perdana, maka ia lebih besar daripada sebarang nombor perdana 
dan kami menulis dan menomborkan semua nombor perdana. Sekali lagi percanggahan. □
Diluluskan 8 Jika suatu nombor adalah komposit, maka ia mempunyai pembahagi utama sedemikian 
Bukti. If ialah pembahagi perdana terkecil bagi nombor komposit 
Itu 
Akibat. Untuk menentukan sama ada nombor adalah perdana, anda perlu menentukan sama ada ia mempunyai pembahagi perdana. 
Contoh
5
. biarlah 
Untuk menyemak sama ada nombor adalah 
mudah, anda perlu menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan nombor perdana Jawapan: nombor 
ringkas.
Penjana nombor perdana
Hipotesis: Semua nombor borang 
ringkas.
Pada 
- ini adalah nombor perdana 
Untuk 
Ia telah dibuktikan secara manual dan dengan bantuan komputer bahawa semua nombor adalah komposit.
Contohnya, (Euler)
Hipotesis: Semua nombor borang 
ringkas.
Pada 
itu benar, eh 
boleh dibahagikan dengan 17.
Hipotesis: Semua nombor borang 
ringkas.
Pada 
itu benar, eh 
Hipotesis: Semua nombor dalam bentuk adalah perdana. Pada 
itu benar, eh 
Teorem.(Kaedah pemfaktoran Fermat) Integer ganjil bukan perdana 
terdapat nombor asli seperti itu 
Bukti.
□
Contoh
6
.
Faktorkan nombor menjadi faktor perdana 
Contoh
7
.
Faktorkan nombor 
Nombor ini boleh dibahagi dengan 3 
Selanjutnya, mengikut kaedah pemilihan faktor, 
Contoh
8
. Pada integer berapakah nombor itu 
mudah?
Perhatikan bahawa sejak 
mudah, kemudian sama ada 
atau 
Jawapan: 
Diluluskan 10 Adakah nombor asli mempunyai bilangan pembahagi ganjil apabila ia adalah segi empat sama sempurna?
Bukti. Jika 
pembahagi 
kemudian mempunyai dua pasangan pembahagi yang berbeza 
Dan 
dan bila 
kedua-dua pasangan akan sama.
Contoh 9 . Nombor-nombor itu mempunyai tepat 99 pembahagi. Bolehkah nombor mempunyai tepat 100 pembahagi?
Jawapan: tidak. Sesungguhnya, dengan harta sebelumnya dan - petak sempurna, tetapi kerja mereka tidak.
Contoh
10
.
Nombor 
ringkas. Cari 
Penyelesaian. Sebarang nombor boleh diwakili sebagai 
Jika 
maka anda mendapat tiga nombor perdana 
memenuhi syarat masalah. Jika 
Itu 
komposit. Jika 
nombor itu 
dibahagikan dengan 
bagaimana jika 
nombor itu 
boleh dibahagi dengan Oleh itu, dalam semua pilihan yang dipertimbangkan, tiga nombor perdana tidak boleh diperolehi. Jawapan: 
Definisi.
Nombor 
dipanggil pembahagi sepunya terbesar bagi nombor dan jika ia membahagi dan dan merupakan yang terbesar daripada nombor tersebut.
Jawatan: 
Definisi
.
Nombor dan dikatakan sebagai relatif perdana jika 
Contoh 1
2
.
Selesaikan persamaan dalam nombor asli 
Penyelesaian. biarlah 
Oleh itu, persamaan kelihatan seperti Jawapan: Tiada penyelesaian.
TENTANGteorem asas aritmetik
Teorem. Sebarang nombor asli yang lebih besar daripada sama ada nombor perdana atau boleh ditulis sebagai hasil darab nombor perdana, dan hasil darab ini adalah unik mengikut susunan faktor.
Akibat 1. biarlah 
Kemudian 
sama dengan produk semua faktor perdana sepunya dengan kuasa terkecil.
Akibat 2. biarlah 
Kemudian 
adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang berbeza dengan setakat yang paling besar. dibahagikan dengan
10. Cari digit terakhir bagi nombor 7 2011 + 9 2011.
11. Cari semua nombor asli yang meningkat sebanyak 9 kali jika sifar dimasukkan di antara digit unit dan digit puluhan.
12. Pada beberapa nombor dua digit, satu telah ditambah ke kiri dan kanan. Hasilnya adalah nombor 23 kali lebih besar daripada yang asal. Cari nombor ini.
Soalan mengenai teori atau latihan boleh diajukan kepada Valery Petrovich Chuvakov
chv @ uriit . ru
Bacaan lanjut
1. Vilenkin N.Ya. dan lain-lain di sebalik halaman buku teks matematik. Aritmetik. Algebra. –M.: Pendidikan, 2008.
2. Sevryukov P.F. Bersedia untuk keputusan masalah olimpik dalam matematik. –M.: Ilexa, 2009.
3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Bagaimana mereka membuat keputusan tugas bukan standard. –M. MCNMO, 2009.
4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Olimpik Matematik wilayah Moscow. –M.: Fizmatkniga, 2006
5. Gorbachev N.V. Koleksi masalah Olympiad, –M.:MCNMO, 2004
SyarahanNota kuliah untuk kursus "teori nombor"
SyarahanBahagian teori berikut nombor: teori kebolehpecahan, ringkas dan komposit... Teorem. Biarkan x>0, xR, dN. Kuantiti semula jadinombor, gandaan d dan tidak melebihi x, adalah sama dengan... Syarahan 12 13 Syarahan 13 15 Kesusasteraan. 17 Abstrakkuliah dalam kursus "Teori" nombor" ...
Nota kuliah tentang ulturologi
AbstrakPavlyuchenkov Abstrakkuliah dalam kajian budaya... tidak sekata dan wujud dalam semula jadi ladang. Ia adalah dalam polis... penyelidikan infinitesimals nombor sebahagian besarnya telah menyiapkan penciptaan... manakala bahan boleh dibahagikan ad infinitum. rohani...
D A nota syarahan Logik Shadrin
AbstrakMewakili abstrakkuliah dalam disiplin "Logik". Abstrakkuliah disusun dalam ... ini adalah definisi semula jadinombor. Jadi, jika 1 - semula jadi nombor dan n - semula jadi nombor, kemudian 1 ... habiskan keseluruhan isipadu boleh dibahagikan konsep, jadi...
Kebolehbahagiaan nombor. Nombor perdana dan komposit.
Kebolehbahagi nombor asli.............................................. ..................... ................................. ............................ .................... | |
Teorem asas aritmetik................................................ ...... ................................................ ............ .............. | |
Tanda-tanda perpecahan .............................................. .......... ............................................ ................ ................................. ...... | |
Pernyataan berkaitan kebolehbahagi nombor............................................. ....... .............................................. .... | |
Tugasan lisan................................................ ......... ......................................... ............... ................................... ........ | |
Tugasan “separuh lisan”................................................ ..................... ................................. ........................ ....................... ................. | |
Bila kepada bilangan penuh sepuluh ............................................... ........ .............................................. .............. .............. | |
Masalah kebolehbahagiaan jumlah:................................................ ....... .............................................. ............. .............................. | |
Tugasan bukan standard................................................. .................. ................................ ........................ .......................... .. | |
Beberapa masalah daripada buku teks................................................ ............... ................................... ..................... ................ | |
Perbandingan................................................. ....... .............................................. ............. ..................................... .............. | |
Teorem Kecil Fermat.............................................. ............. ..................................... ................... ................................. | |
Menyelesaikan persamaan dalam integer................................................ ...... ................................................ ............ .......... | |
Rujukan:................................................ ........ .............................................. .............. .................................... |
Heinrich G.N. | FMS No. 146, Perm |
Salah satu matlamat pendidikan matematik, tercermin dalam komponen persekutuan standard negeri dalam matematik, ialah perkembangan intelek pelajar.
Topik: Kebolehbahagi nombor. Nombor perdana dan komposit" ialah salah satu topik yang dibenarkan, bermula dari gred 5 ke tahap yang lebih besar membangun kemahiran matematik kanak-kanak. Bekerja di sekolah dengan kajian yang mendalam Matematik, fizik dan sains komputer, di mana pengajaran dijalankan dari gred ke-7, jabatan matematik sekolah kami berminat untuk memastikan pelajar dalam gred 5-7 menjadi lebih biasa dengan topik ini. Kami cuba melaksanakan ini dalam kelas di Sekolah Ahli Matematik Muda (SYUM), serta dalam kem matematik musim panas serantau, tempat saya mengajar bersama-sama dengan guru sekolah kami. Saya cuba memilih tugasan yang menarik minat pelajar dari darjah 5 hingga 11. Lagipun, pelajar sekolah kita belajar topik ini mengikut program. Dan selama 2 tahun kebelakangan ini, graduan sekolah telah menghadapi masalah mengenai topik ini pada Peperiksaan Negeri Bersepadu (dalam masalah jenis C6). Bahan teori dalam kes yang berbeza saya menganggapnya pada tahap yang berbeza.
Kebolehbahagi nombor asli.
Beberapa definisi:
Nombor asli a dikatakan boleh dibahagikan dengan nombor asli b jika terdapat nombor asli c sehingga a=bc. Pada masa yang sama mereka menulis: a b. Dalam ini
Dalam kes ini, b dipanggil pembahagi a, dan a ialah gandaan b. Nombor asli dipanggil perdana jika ia tidak mempunyai pembahagi.
berbeza daripada dirinya dan daripada unit (contohnya: 2, 3, 5, 7, dll.). Nombor dipanggil komposit jika ia bukan perdana. Unit ini tidak mudah mahupun komposit.
Nombor n boleh dibahagi dengan nombor perdana p jika dan hanya jika p berlaku di antara faktor perdana di mana n terurai.
Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a dan b dipanggil nombor terhebat, yang merupakan pembahagi a dan pembahagi b, dilambangkan dengan GCD (a;b) atau D (a;b).
Gandaan sepunya terkecil dipanggil nombor terkecil, boleh dibahagikan dengan kedua-dua a dan b, dilambangkan dengan LCM (a;b) atau K (a;b).
Nombor a dan b dipanggil saling perdana, jika mereka terhebat pembahagi biasa sama dengan satu.
Heinrich G.N. | FMS No. 146, Perm |
Teorem Asas Aritmetik
Setiap nombor asli n boleh dikembangkan secara unik (sehingga tertib faktor) menjadi hasil darab kuasa faktor perdana:
n = p1 k 1 p2 k 2 petang k m
di sini p1, p2,…pm ialah pelbagai pembahagi perdana bagi nombor n, dan k1, k2,…km ialah darjah kejadian (darjah kepelbagaian) pembahagi ini.
Tanda-tanda pembahagian
∙ Nombor boleh dibahagi dengan 2 jika dan hanya jika digit terakhir boleh dibahagi dengan 2 (iaitu, genap).
∙ Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 jika dan hanya jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3.
∙ Nombor boleh dibahagi dengan 4 jika dan hanya jika nombor dua digit yang terdiri daripada dua digit terakhir boleh dibahagi dengan 4.
∙ Nombor boleh dibahagi dengan 5 jika dan hanya jika digit terakhir boleh dibahagi dengan 5 (iaitu, sama dengan 0 atau 5).
∙ Untuk mengetahui sama ada nombor boleh dibahagi dengan 7 (dengan 13), anda perlu membahagikan notasi perpuluhannya dari kanan ke kiri kepada kumpulan 3 digit setiap satu (kumpulan paling kiri boleh mengandungi 1 atau 2 digit), kemudian ambil nombor ganjil. kumpulan dengan tanda tolak ", dan dengan nombor genap - dengan tanda tambah. Jika ungkapan yang terhasil boleh dibahagi dengan 7 (dengan 13), maka nombor yang diberi boleh dibahagi dengan 7 (dengan 13).
∙ Nombor boleh dibahagi dengan 8 jika dan hanya jika nombor tiga digit yang terdiri daripada tiga digit terakhir boleh dibahagi dengan 8.
∙ Suatu nombor boleh dibahagi dengan 9 jika dan hanya jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 9.
∙ Nombor boleh dibahagi dengan 10 jika dan hanya jika digit terakhir ialah sifar.
∙ Suatu nombor boleh dibahagi dengan 11 jika dan hanya jika jumlah digitnya di tempat genap dalam tatatanda perpuluhan dan hasil tambah digitnya di tempat ganjil dalam tatatanda perpuluhan memberikan baki yang sama apabila dibahagikan dengan 11.
Pernyataan berkaitan pembahagian nombor.
∙ Jika a b dan b c , maka a c .
∙ Jika a m, maka ab m.
∙ Jika a m dan b m, maka a+b m
∙ Jika a+.b m dan a m, maka b m
∙ Jika a m dan a k, dan m dan k ialah coprime, maka a mk
∙ Jika ab m dan a adalah coprime kepada m, maka b m
Heinrich G.N. | FMS No. 146, Perm |
∙ Dalam kelas mengenai topik ini, bergantung pada umur pelajar, tempat dan masa kelas, saya pertimbangkan pelbagai tugas. Saya memilih masalah ini terutamanya daripada sumber yang ditunjukkan pada akhir kerja, termasuk daripada bahan kejohanan serantau Perm ahli matematik muda tahun lalu dan bahan II dan III peringkat Olimpik Rusia untuk pelajar sekolah dalam matematik tahun-tahun sebelumnya.
Saya menggunakan tugas-tugas berikut untuk mengendalikan kelas dalam gred 5, 6, 7 di SHYuM1 e apabila merangkumi topik “Kebolehbahagiaan nombor. Nombor perdana dan komposit. Tanda-tanda perpecahan."
Tugasan lisan.
1. Tambahkan 1 digit di kiri dan kanan nombor 15 supaya nombor itu boleh dibahagi dengan 15.
Jawapan: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.
2. Tambahkan 1 digit di kiri dan kanan nombor 10 supaya nombor itu boleh dibahagi dengan 72.
Jawapan: 4104.
3. Nombor tertentu boleh dibahagi dengan 6 dan 4. Adakah ia perlu dibahagi dengan 24?
Jawapan: tidak, contohnya 12.
4. Cari nombor asli terbesar yang merupakan gandaan 36 dan semua digitnya diwakili sekali.
Jawapan: 9876543120.
5. Nombor yang diberi ialah 645*7235. Gantikan * dengan nombor supaya nombor yang terhasil ialah gandaan 3. Jawapan: 1, 4, 7.
6. Nombor 72*3* diberi. Gantikan * dengan nombor supaya nombor yang terhasil ialah gandaan 45. Jawapan: 72630, 72135.
Tugasan "separuh lisan".
1. Berapa banyak hari Ahad yang boleh ada dalam setahun?
2. Dalam bulan tertentu, tiga hari Ahad jatuh pada nombor genap. Apakah hari dalam minggu itu 7 haribulan ini?
3. Mari kita mula mengira jari kita seperti berikut: biar dia yang pertama ibu jari, kedua - telunjuk, ketiga - tengah, keempat - cincin, kelima - jari kelingking, keenam - cincin lagi, ketujuh - tengah, kelapan - telunjuk, kesembilan - ibu jari, kesepuluh - jari telunjuk dll. Jari yang mana akan jadi 2000?
1 SHUM - Sekolah Ahli Matematik Muda - Sekolah Sabtu di Sekolah Fizik No. 146
Heinrich G.N. | FMS No. 146, Perm |
Pada n berapakah nombor 1111...111 boleh dibahagi dengan 7?
Pada n berapakah nombor 1111...111 boleh dibahagikan dengan 999,999,999?
6. Pecahan b a boleh dikurangkan. Adakah pecahan a + − b b boleh dikurangkan?
7. Di negara Anchur, terdapat wang kertas dalam edaran dalam denominasi 1 Anchur, 10 Anchur, 100 Anchur, 1000 Anchur. Adakah mungkin untuk mengira 1,000,000 sauh menggunakan 500,000 wang kertas?
8. Cari nombor dua digit yang digit pertamanya sama dengan perbezaan antara nombor ini dan nombor yang ditulis dalam digit yang sama, tetapi dalam susunan terbalik.
1. Boleh ada 365 atau 366 hari dalam setahun, setiap hari ketujuh adalah hari Ahad, yang bermaksud 365 = 52 × 7 + 1 atau 366 = 52 × 7 + 2, boleh ada 52, atau 53 jika Ahad jatuh pada hari pertama. hari.
2. 3 hari Ahad ini jatuh pada 2hb, 16hb dan 30hb. Ini bermakna 7 haribulan ini adalah hari Jumaat.
3. Bilangan jari semasa mengira akan diulang dengan tempoh 8, bermakna cukup untuk mengira baki pembahagian 2000 dengan 8. Ia sama dengan 0. Kerana jari telunjuk datang kelapan, kemudian Yang ke-2000 akan menjadi jari telunjuk.
ialah tepat 7, dan 111111 = 7× 15873. Ia berikutan bahawa jika dalam rekod nombor yang diberi lebih daripada 6 unit, maka selepas setiap 6 unit baki seterusnya ialah 0. Oleh itu,
nombor dalam bentuk 1111...111 boleh dibahagi dengan 7 jika dan hanya jika kuantitinya
digit boleh dibahagi dengan 6, i.e. n=7× t, di mana tО Z.
serentak. Dalam nombor ini, bilangan unit ialah gandaan 9. Walau bagaimanapun, nombor pertama dan kedua 111 111 111 dan 111 111 111 111 111 111 tidak boleh dibahagikan dengan 999 999 999. Dan nombor dengan 18 unit boleh dibahagi dengan 999 999 999. Selain itu, bermula dari Pada 18hb, setiap nombor ke-18 dibahagikan dengan 999,999,999, i.e. n=18× t, di mana tО N.
6. Pecahan | a boleh dikurangkan, i.e. a=bn, di mana nО Z. Kemudian kita tulis semula pecahan itu | a−b | ||||||
a+b | ||||||||
bn−b | b(n−1) | n − 1 | Jelaslah bahawa pecahan a a + − b b | boleh dikurangkan. | ||||
bn + b | b(n+1) | n+1 | ||||||
7. Biarkan terdapat bil dalam denominasi 1 anchur, b dalam denominasi 10 anchur, c dalam denominasi 100 anchur dan d dalam denominasi 1000 anchur. Kami dapat
Seperti yang telah dinyatakan, nombor asli a boleh dibahagi dengan nombor asli b jika terdapat nombor asli c, yang apabila didarab dengan b menghasilkan a:
Perkataan "sepenuhnya" biasanya ditinggalkan demi ringkasnya.
Jika a boleh dibahagikan dengan b, maka mereka juga mengatakan bahawa a ialah gandaan b. Sebagai contoh, nombor 48 ialah gandaan 24.
Teorem 1. Jika salah satu faktor boleh dibahagi dengan nombor tertentu, maka hasil darab juga boleh dibahagikan dengan nombor ini.
Sebagai contoh, 15 boleh dibahagikan dengan 3, yang bermaksud 15∙11 boleh dibahagikan dengan 3, kerana 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).
Hujah-hujah ini juga terpakai kepada kes umum. Biarkan nombor a boleh dibahagi dengan c, maka terdapat nombor asli n sehingga a = n∙c. Mari kita pertimbangkan hasil darab nombor a dan nombor asli arbitrari b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Dari sini, mengikut takrifan, ia berikutan bahawa hasil darab a∙b juga boleh dibahagikan dengan c. Q.E.D.
Teorem 2. Jika nombor pertama boleh dibahagikan dengan kedua, dan kedua boleh dibahagikan dengan ketiga, maka nombor pertama boleh dibahagikan dengan ketiga.
Sebagai contoh, 777 boleh dibahagi dengan 111 kerana 777 = 7∙111, dan 111 boleh dibahagi dengan 3 kerana 111 = 3∙37. Ia berikutan daripada ini bahawa 777 boleh dibahagikan dengan 3, kerana 777 = 3∙(37∙7).
DALAM kes am Hujah-hujah ini boleh diulang hampir secara verbatim. Biarkan nombor a dibahagikan dengan nombor b, dan nombor b dibahagikan dengan nombor c. Ini bermakna terdapat nombor asli n dan m sehingga a = n∙b dan b = m∙c. Kemudian nombor a boleh diwakili sebagai: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Kesamaan a = (n∙m)∙c bermakna nombor a juga boleh dibahagikan dengan c.
Teorem 3. Jika setiap dua nombor boleh dibahagi dengan nombor tertentu, maka jumlah dan perbezaannya boleh dibahagi dengan nombor ini.
Sebagai contoh, 100 boleh dibahagi dengan 4 kerana 100=25∙4; 36 juga boleh dibahagikan dengan 4, kerana 36 = 9∙4. Ia berikutan bahawa 136 boleh dibahagi dengan 4 kerana
136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.
Kita juga boleh membuat kesimpulan bahawa nombor 64 boleh dibahagikan dengan 4 kerana
64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.
Mari kita buktikan teorem dalam kes umum. Biarkan setiap nombor a dan b boleh dibahagi dengan nombor c. Kemudian, mengikut definisi, terdapat nombor asli n dan m sedemikian
a = n∙c dan b = m∙c. Pertimbangkan hasil tambah nombor a dan b.
a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.
Ia berikutan bahawa a + b boleh dibahagi dengan c.
Begitu juga, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Oleh itu, a – b dibahagikan dengan c.
Teorem 4. Jika satu daripada dua nombor boleh dibahagi dengan nombor tertentu, dan satu lagi tidak boleh dibahagikan dengannya, maka jumlah dan perbezaannya tidak boleh dibahagikan dengan nombor ini.
Sebagai contoh, 148 boleh dibahagikan dengan 37 kerana 148 = 4∙37, dan 11 tidak boleh dibahagikan dengan 37. Jelas sekali, jumlah 148 + 11 dan perbezaan 148 – 11 tidak boleh dibahagikan dengan 37, jika tidak, ini akan bercanggah dengan sifat 3 .
Tanda-tanda pembahagian
Jika nombor berakhir dengan 0, maka ia boleh dibahagi dengan 10.
Sebagai contoh, nombor 4560 berakhir dengan nombor 0, ia boleh diwakili sebagai hasil darab 456∙10, yang dibahagikan dengan 10 (mengikut Teorem 1).
Nombor 4561 tidak boleh dibahagikan dengan 10, kerana 4561 = 4560+1 ialah jumlah nombor 4560, boleh dibahagikan dengan 10, dan nombor 1, tidak boleh dibahagikan dengan 10 (oleh Teorem 4).
Jika nombor berakhir dengan salah satu digit 0 atau 5, maka ia boleh dibahagi dengan 5.
Sebagai contoh, nombor 2300 boleh dibahagi dengan 5 kerana nombor ini boleh dibahagi dengan 10, dan 10 boleh dibahagi dengan 5 (oleh Teorem 2).
Nombor 2305 berakhir dengan nombor 5, ia boleh dibahagikan dengan 5, kerana ia boleh ditulis sebagai jumlah nombor yang boleh dibahagikan dengan 5: 2300 + 5 (mengikut Teorem 3).
Nombor 52 tidak boleh dibahagikan dengan 5, kerana 52 = 50 + 2 ialah hasil tambah nombor 50, boleh dibahagikan dengan 5, dan nombor 2, tidak boleh dibahagikan dengan 5 (oleh Teorem 4).
Jika nombor berakhir dengan salah satu digit 0, 2, 4, 6, 8, maka ia boleh dibahagi dengan 2.
Sebagai contoh, nombor 130 berakhir dengan 0, ia boleh dibahagi dengan 10, dan 10 boleh dibahagikan dengan 2, oleh itu 130 boleh dibahagikan dengan 2.
Nombor 136 berakhir dengan nombor 6, ia boleh dibahagikan dengan 2, kerana ia boleh ditulis sebagai jumlah nombor yang boleh dibahagikan dengan 2: 130 + 6 (mengikut Teorem 3).
Nombor 137 tidak boleh dibahagikan dengan 2, kerana 137 = 130 + 7 ialah hasil tambah nombor 130, boleh dibahagikan dengan 2, dan nombor 7, tidak boleh dibahagikan dengan 2 (oleh Teorem 4).
Nombor yang boleh dibahagi dengan 2 dipanggil genap.
Nombor yang tidak boleh dibahagikan dengan 2 dipanggil ganjil.
Sebagai contoh, nombor 152 dan 790 adalah genap, dan nombor 111 dan 293 adalah ganjil.
Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 9, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 9..
Sebagai contoh, jumlah digit 7 + 2 + 4 + 5 = 18 daripada nombor 7245 boleh dibahagikan dengan 9. Nombor 7245 boleh dibahagikan dengan 9 kerana ia boleh diwakili sebagai hasil tambah 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), di mana jumlah dalam kurungan pertama boleh dibahagi dengan 9, dan dalam kurungan kedua - jumlah digit bagi nombor yang diberikan - juga dibahagikan dengan 9 ( mengikut Teorem 3).
Nombor 375 tidak boleh dibahagikan dengan 9, kerana hasil tambah digitnya 3 + 7 + 5=15 tidak boleh dibahagikan dengan 9. Ini boleh dibuktikan seperti berikut: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), di mana jumlah dalam kurungan pertama boleh dibahagikan dengan 9, dan dalam kurungan kedua - jumlah digit nombor 375 - tidak boleh dibahagikan sebanyak 9 (mengikut Teorem 4).
Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 3..
Sebagai contoh, nombor 375 mempunyai jumlah digit 3 + 7 + 5 = 15 yang boleh dibahagi dengan 3, dan ia sendiri boleh dibahagikan dengan 3 kerana 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), di mana jumlah dalam dalam kurungan pertama boleh dibahagikan dengan 3, dan dalam kurungan kedua - jumlah digit nombor 375 - juga boleh dibahagikan dengan 3.
Jumlah digit bagi nombor 679, sama dengan 6 + 7 + 9 = 22, tidak boleh dibahagikan dengan 3, dan nombor itu sendiri tidak boleh dibahagikan dengan 3, kerana 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), di mana jumlah dalam kurungan pertama boleh dibahagikan dengan 3, dan dalam kurungan kedua - jumlah digit nombor 679 - tidak boleh dibahagikan dengan 3.
Nota. Apabila mereka menyebut "nombor berakhir dengan digit..." mereka bermaksud " tatatanda perpuluhan nombor berakhir dengan nombor..."
Nombor perdana dan komposit
Setiap nombor asli p boleh dibahagi dengan 1 dan dirinya sendiri:
p:1=p, p:p=1.
Nombor perdana ialah nombor asli yang lebih besar daripada satu dan hanya boleh dibahagikan dengan 1 dan dirinya sendiri..
Berikut ialah sepuluh nombor perdana pertama:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Nombor semula jadi kompleks unit besar, dipanggil komposit. Setiap nombor komposit boleh dibahagi dengan 1, itu sendiri dan sekurang-kurangnya satu nombor asli yang lain.
Berikut ialah semua nombor komposit kurang daripada 20:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.
Oleh itu, set semua nombor asli terdiri daripada nombor perdana, nombor komposit dan satu.
Terdapat banyak nombor perdana, terdapat nombor pertama - 2, tetapi tidak ada nombor perdana terakhir.
Pembahagi nombor asli
Jika nombor asli a boleh dibahagi dengan nombor asli b, maka nombor b dipanggil pembahagi nombor a.
Sebagai contoh, pembahagi nombor 13 ialah nombor 1 dan 13, pembahagi nombor 4 ialah nombor 1, 2, 4, dan pembahagi nombor 12 ialah nombor 1, 2, 3, 4, 6. , 12.
Setiap nombor perdana hanya mempunyai dua pembahagi - satu dan dirinya sendiri, dan setiap nombor komposit, kecuali satu dan dirinya sendiri, mempunyai pembahagi lain.
Jika pembahagi ialah nombor perdana, maka ia dipanggil pembahagi perdana. Sebagai contoh, nombor 13 mempunyai faktor perdana 13, nombor 4 mempunyai faktor perdana 2, dan nombor 12 mempunyai faktor perdana 2 dan 3.
Setiap nombor komposit boleh diwakili sebagai hasil darab pembahagi utamanya. Sebagai contoh,
28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;
81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;
100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .
Bahagian sebelah kanan kesamaan yang diperoleh dipanggil penguraian ke faktor utama nombor 28, 22, 81 dan 100.
Memfaktorkan nombor komposit yang diberikan kepada faktor perdana bermakna mewakilinya sebagai hasil darab pelbagai faktor perdananya atau kuasanya.
Mari tunjukkan bagaimana anda boleh memfaktorkan nombor 90 ke dalam faktor perdana.
1) 90 dibahagikan dengan 2, 90:2 = 45;
2) 45 tidak boleh dibahagikan dengan 2, tetapi boleh dibahagikan dengan 3, 45:3= 15;
3) 15 dibahagikan dengan 3, 15:3 = 5;
4) 5 boleh dibahagi dengan 5, 5:5 = 1.
Oleh itu, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.
Pembahagi sepunya terbesar
Nombor 12 mempunyai faktor 1, 2, 3, 4, 12. Nombor 54 mempunyai faktor 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Kita melihat bahawa nombor 12 dan 54 mempunyai faktor sepunya 1, 2 , 3 , 6.
Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 12 dan 54 ialah nombor 6.
Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a dan b dilambangkan dengan: gcd (a, b).
Contohnya, GCD (12, 54) = 6.
Gandaan sepunya terkecil
Nombor yang boleh dibahagikan dengan 12 dipanggil gandaan 12. Nombor 12 ialah gandaan 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, dsb. Nombor 18 ialah gandaan 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, dsb.
Kami melihat bahawa terdapat nombor yang merupakan gandaan bagi kedua-dua 12 dan 18. Contohnya, 36, 72, 108, .... Nombor ini dipanggil gandaan sepunya bagi 12 dan 18.
Gandaan sepunya terkecil bagi nombor asli a dan b ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan a dan b. Nombor ini dilambangkan dengan: LOC (a, b).
Gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor biasanya ditemui dalam salah satu daripada dua cara. Mari lihat mereka.
Mari cari LCM(18, 24).
Kaedah I Kami akan menulis nombor yang merupakan gandaan 24 (yang lebih besar daripada nombor ini), menyemak sama ada setiap satu daripadanya boleh dibahagikan dengan 18: 24∙1=24 – tidak boleh dibahagikan dengan 18, 24∙2 = 48 – tidak boleh dibahagikan dengan 18, 24∙3 = 72 – boleh dibahagi dengan 18, jadi LCM (24, 18) =
= 72.
II kaedah. Mari faktorkan nombor 24 dan 18 ke dalam faktor perdana: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.
LCM(24, 18) mesti boleh dibahagikan dengan kedua-dua 24 dan 18. Oleh itu, nombor yang diperlukan mengandungi semua faktor perdana bagi nombor yang lebih besar 24 (iaitu, nombor 2, 2, 2, 3) dan faktor yang hilang daripada pengembangan bilangan yang lebih kecil 18 (nombor 3 lagi). Oleh itu LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.
Oleh kerana nombor koprima tidak mempunyai faktor perdana sepunya, gandaan sepunya terkecilnya adalah sama dengan hasil darab nombor ini. Sebagai contoh, 24 dan 25 adalah nombor perdana secara relatif. Oleh itu LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.
Jika satu daripada dua nombor boleh dibahagi dengan yang lain, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini adalah sama dengan yang lebih besar daripadanya. Sebagai contoh, 120 boleh dibahagikan dengan 24, oleh itu LCM (120, 24) = 120.
Nombor bulat
Peringatan. Nombor yang digunakan untuk mengira bilangan objek dipanggil nombor asli. Sifar tidak dianggap sebagai nombor asli. Nombor asli dan sifar, ditulis dalam tertib menaik dan tanpa jurang, membentuk satu siri integer nombor bukan negatif:
Nombor baharu akan diperkenalkan dalam bahagian ini - integer negatif.
keseluruhan nombor negatif
Contoh asas daripada kehidupan - termometer. Katakan ia menunjukkan suhu 7°C. Jika suhu turun sebanyak 4°, termometer akan menunjukkan haba 3°. Penurunan suhu sepadan dengan tindakan penolakan: 7 – 4 = 3. Jika suhu turun sebanyak 7°, termometer akan menunjukkan 0°: 7 – 7 = 0.
Jika suhu turun sebanyak 8°, termometer akan menunjukkan –1° (1° di bawah sifar). Tetapi hasil penolakan 7 – 8 tidak boleh ditulis menggunakan nombor asli dan sifar, walaupun ia mempunyai maksud sebenar.
Adalah mustahil untuk mengira 8 nombor dari nombor 7 ke kiri dalam satu siri integer bukan negatif. Untuk menjadikan tindakan 7 – 8 boleh dilaksanakan, mari kembangkan julat integer bukan negatif. Untuk melakukan ini, di sebelah kiri sifar, kami menulis (dari kanan ke kiri) semua nombor asli mengikut urutan, menambah setiap satu daripada mereka tanda "–", menunjukkan bahawa nombor ini berada di sebelah kiri sifar.
Entri –1, –2, –3, ... dibaca “tolak 1”, “tolak 2”, “tolak 3”, dsb.:
–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .
Siri nombor yang terhasil dipanggil siri integer. Titik di kiri dan kanan dalam entri ini bermakna siri ini boleh diteruskan tanpa batas ke kanan dan kiri.
Di sebelah kanan nombor 0 dalam baris ini ialah nombor yang dipanggil nombor asli atau integer positif.