Transformasi Lorentz memberi kita peluang untuk mengira perubahan dalam koordinat sesuatu peristiwa apabila berpindah dari satu sistem rujukan ke sistem rujukan yang lain. Sekarang mari kita kemukakan persoalan bagaimana, apabila sistem rujukan berubah, kelajuan badan yang sama akan berubah?

DALAM mekanik klasik, seperti yang diketahui, kelajuan badan hanya ditambah kepada kelajuan sistem rujukan. Sekarang kita akan melihat bahawa dalam teori relativiti, kelajuan diubah mengikut undang-undang yang lebih kompleks.

Kami sekali lagi akan mengehadkan diri kami untuk mempertimbangkan kes satu dimensi. Biarkan dua sistem rujukan S dan S` "memerhati" pergerakan sesetengah jasad, yang bergerak secara seragam dan selari selari dengan paksi. X Dan x` kedua-dua sistem rujukan. Biarkan kelajuan badan, diukur oleh sistem rujukan S, ada Dan; kelajuan badan yang sama, diukur oleh sistem S`, akan dilambangkan dengan dan` . surat v Kami akan terus menunjukkan kelajuan sistem S` berkenaan S.

Mari kita anggap bahawa dua peristiwa berlaku dengan badan kita, koordinatnya dalam sistem S intipati x 1 ,t 1 , DanX 2 , t 2 . Koordinat peristiwa yang sama dalam sistem S` biarlah mereka x` 1, t` 1 ; x` 2 , t` 2 . Tetapi kelajuan jasad ialah nisbah jarak yang dilalui oleh jasad itu kepada tempoh masa yang sepadan; oleh itu, untuk mencari kelajuan badan dalam satu dan kerangka rujukan yang lain, anda memerlukan perbezaannya koordinat ruang bahagikan kedua-dua peristiwa dengan perbezaan koordinat masa

yang boleh, seperti biasa, diperoleh daripada yang relativistik jika kelajuan cahaya dianggap tidak terhingga. Formula yang sama boleh ditulis sebagai

Untuk kelajuan kecil, "biasa", kedua-dua formula—relativistik dan klasik—memberi hasil yang hampir sama, yang pembaca boleh mengesahkan dengan mudah jika dikehendaki. Tetapi pada kelajuan yang hampir dengan kelajuan cahaya, perbezaannya menjadi sangat ketara. Jadi, jika v=150,000 km/saat, u`=200 000 km/Denganek, km/saat formula relativistik memberi u = 262 500 km/Denganek.

S pada kelajuan v = 150,000 km/saat S` memberikan hasil u =200 000 km/saat km/Denganek.


km/saat, dan yang kedua - 200,000 km/saat, km.

Dengan. Tidak sukar untuk membuktikan kenyataan ini dengan tegas. Ia sangat mudah untuk menyemak.

Untuk kelajuan kecil, "biasa", kedua-dua formula—relativistik dan klasik—memberi hasil yang hampir sama, yang pembaca boleh mengesahkan dengan mudah jika dikehendaki. Tetapi pada kelajuan yang hampir dengan kelajuan cahaya, perbezaannya menjadi sangat ketara. Jadi, jika v=150,000 km/saat, u`=200 000 km/Denganek, maka bukannya keputusan klasik u = 350,000 km/saat formula relativistik memberi u = 262 500 km/Denganek. Mengikut maksud formula untuk menambah kelajuan, keputusan ini bermaksud yang berikut.

Biarkan sistem rujukan S` bergerak relatif kepada sistem rujukan S pada kelajuan v = 150,000 km/saat Biarkan jasad bergerak ke arah yang sama, dan kelajuannya diukur oleh sistem rujukan S` memberikan hasil u` =200 000 km/saat Jika kita sekarang mengukur kelajuan badan yang sama menggunakan bingkai rujukan S, kita mendapat u=262,500 km/Denganek.


Perlu ditekankan bahawa formula yang kami perolehi bertujuan khusus untuk mengira semula halaju badan yang sama dari satu sistem rujukan ke sistem rujukan yang lain, dan bukan sama sekali untuk mengira "kelajuan pendekatan" atau "penyingkiran" dua badan. Jika kita perhatikan dua jasad bergerak ke arah satu sama lain dari kerangka rujukan yang sama, dan kelajuan satu jasad ialah 150,000 km/saat, dan yang kedua - 200,000 km/saat, maka jarak antara jasad ini akan berkurangan sebanyak 350,000 setiap saat km. Teori relativiti tidak menghapuskan hukum aritmetik.

Pembaca telah memahami, tentu saja, bahawa dengan menggunakan formula ini pada kelajuan yang tidak melebihi kelajuan cahaya, kita akan sekali lagi memperoleh kelajuan yang tidak melebihi Dengan. Tidak sukar untuk membuktikan kenyataan ini dengan tegas. Sesungguhnya, adalah mudah untuk memastikan kesamarataan itu berlaku

Kerana u` ≤ с Dan v < c, maka di sebelah kanan kesamaan pengangka dan penyebut, dan dengan mereka seluruh pecahan, adalah bukan negatif. sebab tu kurungan segi empat sama kurang daripada satu, dan oleh itu dan ≤ c .
Jika Dan` = Dengan, kemudian dan dan=Dengan. Ini tidak lebih daripada undang-undang ketekalan kelajuan cahaya. Sudah tentu, seseorang tidak boleh menganggap kesimpulan ini sebagai "bukti" atau sekurang-kurangnya "pengesahan" postulat keteguhan kelajuan cahaya. Lagipun, dari awal lagi kita meneruskan dari dalil ini dan tidak hairanlah kita sampai kepada keputusan yang tidak bercanggah dengannya, dalam sebaliknya postulat ini akan disangkal dengan pembuktian dengan percanggahan. Pada masa yang sama, kita melihat bahawa undang-undang penambahan halaju adalah bersamaan dengan postulat ketekalan kelajuan cahaya;

Apabila memperoleh hukum penambahan halaju, kita mengandaikan bahawa kelajuan jasad adalah selari kelajuan relatif sistem rujukan. Andaian ini tidak boleh dibuat, tetapi formula kami hanya akan berkaitan dengan komponen halaju yang diarahkan sepanjang paksi x, dan formula hendaklah ditulis dalam bentuk

Menggunakan formula ini kita akan menganalisis fenomena tersebut penyelewengan(lihat § 3). Mari hadkan diri kita kepada kes yang paling mudah. Biarkan beberapa penerang dalam sistem rujukan S tidak bergerak, biarkan, selanjutnya, sistem rujukan S` bergerak relatif kepada sistem S dengan laju v dan biarkan pemerhati, yang bergerak dengan S`, menerima sinaran cahaya daripada bintang tepat pada masa ia betul-betul di atas kepalanya (Rajah 21). Komponen halaju rasuk ini dalam sistem S kehendak
u x = 0, u y = 0, u x = -c.

Untuk kerangka rujukan S` formula kami berikan
u` x = -v, u` y = 0,
u` z = -c√ (1 - v 2 /c 2 )
Kita mendapat tangen sudut kecondongan rasuk ke paksi z jika kita membahagi dan`X pada u` z:
tan α = dan`X / dan`z = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

Kalau laju v tidak terlalu besar, maka kita boleh menggunakan formula anggaran yang kita ketahui, dengan bantuan yang kita perolehi
tg α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
Istilah pertama ialah hasil klasik yang terkenal; sebutan kedua ialah pembetulan relativistik.

Kelajuan orbit Bumi adalah kira-kira 30 km/saat, Jadi (v/ c) = 1 0 -4 . Untuk sudut kecil, tangen adalah sama dengan sudut itu sendiri, diukur dalam radian; memandangkan radian mengandungi dalam pusingan 200,000 saat lengkok, kami memperoleh untuk sudut penyimpangan:
α = 20°
Pembetulan relativistik adalah 20,000,000 kali lebih kecil dan jauh melebihi ketepatan pengukuran astronomi. Disebabkan penyimpangan, bintang setiap tahun menggambarkan elips di langit dengan paksi separa utama 20".

Apabila kita melihat badan yang bergerak, kita tidak melihatnya di mana ia berada pada masa ini, tetapi di mana ia lebih awal sedikit, kerana cahaya mengambil sedikit masa untuk mencapai mata kita dari badan. Dari sudut pandangan teori relativiti, fenomena ini adalah bersamaan dengan penyimpangan dan dikurangkan kepadanya apabila bergerak ke kerangka rujukan di mana jasad yang dimaksudkan tidak bergerak. Berdasarkan pertimbangan mudah ini, kita boleh mendapatkan formula penyimpangan dengan cara asas sepenuhnya, tanpa menggunakan hukum relativistik penambahan halaju.

Biarkan kilauan kita bergerak selari permukaan bumi dari kanan ke kiri (Gamb. 22). Apabila ia tiba di titik A, seorang pemerhati yang terletak betul-betul di bawahnya pada titik C melihatnya masih di titik DALAM. Jika kelajuan bintang itu sama v, dan tempoh masa ia melepasi segmen ADALAM, sama Δt, Itu

AB =Δt ,
B.C. = cΔt ,

dosaα = AB/BC = v/c.

Tetapi kemudian, menurut formula trigonometri,

Q.E.D. Perhatikan bahawa dalam kinematik klasik kedua-dua sudut pandangan ini tidak setara.

Menarik juga soalan seterusnya. Seperti yang diketahui, dalam kinematik klasik halaju ditambah mengikut peraturan selari. Kami menggantikan undang-undang ini dengan undang-undang lain yang lebih kompleks. Adakah ini bermakna bahawa dalam teori kelajuan relativiti bukan lagi vektor?

Pertama, hakikat bahawa u≠ u`+ v (kami menandakan vektor dengan huruf tebal), dengan sendirinya tidak memberikan alasan untuk menafikan sifat vektor kelajuan. Daripada dua vektor yang diberikan, vektor ketiga boleh diperolehi bukan sahaja dengan menambahkannya, tetapi, sebagai contoh, dengan pendaraban vektor, dan secara umum dalam pelbagai cara. Ia tidak mengikuti dari mana-mana bahawa apabila sistem rujukan berubah, vektor dan` Dan v mesti betul-betul menambah. Memang ada formula yang menyatakan Dan melalui dan` Dan v menggunakan operasi kalkulus vektor:

Dalam hal ini, perlu diakui bahawa nama "undang-undang penambahan halaju" tidak sepenuhnya sesuai; adalah lebih tepat untuk bercakap, seperti yang dilakukan oleh sesetengah pengarang, bukan tentang penambahan, tetapi tentang perubahan halaju apabila sistem rujukan berubah.

Kedua, dalam teori relativiti adalah mungkin untuk menunjukkan kes apabila halaju masih ditambah secara vektor. Biarkan, sebagai contoh, badan bergerak untuk tempoh masa tertentu Δt dengan laju u 1, dan kemudian - tempoh masa yang sama pada kelajuan u 2. ini pergerakan yang kompleks boleh digantikan dengan pergerakan dengan kelajuan tetap u = u 1+ u 2 . Inilah kelajuannya u 1 dan u 2 tambah seperti vektor, mengikut peraturan selari; teori relativiti tidak membuat sebarang perubahan di sini.
Secara umum, perlu diperhatikan bahawa kebanyakan "paradoks" teori relativiti disambungkan dalam satu cara atau yang lain dengan perubahan dalam kerangka rujukan. Jika kita menganggap fenomena dalam kerangka rujukan yang sama, maka perubahan dalam corak mereka yang diperkenalkan oleh teori relativiti adalah jauh daripada dramatik seperti yang sering difikirkan.

Marilah kita juga ambil perhatian bahawa generalisasi semula jadi yang biasa vektor 3D dalam teori relativiti, vektor adalah empat dimensi; apabila sistem rujukan berubah, ia diubah mengikut formula Lorentz. Sebagai tambahan kepada tiga komponen spatial, mereka mempunyai komponen temporal. Khususnya, seseorang boleh mempertimbangkan vektor empat dimensi kelajuan. "Bahagian" spatial vektor ini, bagaimanapun, tidak bertepatan dengan kelajuan tiga dimensi biasa, dan secara amnya, kelajuan empat dimensi nyata berbeza dalam sifatnya daripada tiga dimensi. Khususnya, jumlah dua halaju empat dimensi tidak akan, secara amnya, menjadi halaju.

Undang-undang relativistik penambahan kelajuan.

Mari kita pertimbangkan pergerakan titik material dalam sistem K’ dengan kelajuan u. Mari kita tentukan kelajuan titik ini dalam sistem K jika sistem K’ bergerak dengan kelajuan v. Mari kita tuliskan unjuran vektor halaju titik berbanding sistem K dan K’:

K: u x =dx/dt, u y =dy/dt, u z =dz/dt; K’: u x ’=dx’/dt’, u y ’ =dy’/dt’, u’ z =dz’/dt’.

Sekarang kita perlu mencari nilai pembezaan dx, dy, dz dan dt. Membezakan transformasi Lorentz, kami memperoleh:

, , , .

Sekarang kita boleh mencari unjuran halaju:

, ,
.

Daripada persamaan ini jelas bahawa formula yang mengaitkan halaju jasad dalam sistem yang berbeza rujukan (hukum penambahan halaju) berbeza dengan ketara daripada undang-undang mekanik klasik. Pada kelajuan yang kecil berbanding dengan kelajuan cahaya, persamaan ini bertukar menjadi persamaan klasik untuk menambah kelajuan.

6. 5. Undang-undang asas kedinamikan zarah relativistik. @

Jisim zarah relativistik, i.e. zarah bergerak pada kelajuan v ~ c tidak tetap, tetapi bergantung pada kelajuannya: . Di sini m 0 ialah jisim selebihnya zarah, i.e. jisim diukur dalam kerangka rujukan relatif kepada zarah berada dalam keadaan rehat. Pergantungan ini telah disahkan secara eksperimen. Berdasarkannya, semua pemecut zarah bercas moden (siklotron, synchrophasotron, betatron, dll.) dikira.

Dari prinsip relativiti Einstein, yang menegaskan invarian semua hukum alam apabila lulus dari satu sistem inersia merujuk kepada yang lain, keadaan invarian berikut undang-undang fizikal berkenaan dengan transformasi Lorentz. Hukum asas dinamik Newton F=dP/dt=d(mv)/dt juga ternyata invarian berkenaan dengan transformasi Lorentz jika ia mengandungi terbitan masa bagi momentum relativistik di sebelah kanan.

Undang-undang asas dinamik relativistik mempunyai bentuk: ,

dan dirumuskan seperti berikut: kadar perubahan momentum relativistik zarah yang bergerak pada kelajuan yang hampir dengan kelajuan cahaya adalah sama dengan daya yang bertindak ke atasnya.

Pada kelajuan yang jauh lebih rendah daripada kelajuan cahaya, persamaan yang kita perolehi menjadi undang-undang asas dinamik mekanik klasik. Undang-undang asas dinamik relativistik adalah invarian berkenaan dengan transformasi Lorentz, tetapi boleh ditunjukkan bahawa pecutan, mahupun daya, mahupun momentum adalah kuantiti invarian dalam diri mereka sendiri. Oleh kerana kehomogenan ruang dalam mekanik relativistik, undang-undang pemuliharaan momentum relativistik dipenuhi: momentum relativistik sistem tertutup tidak berubah dari semasa ke semasa. Sebagai tambahan kepada semua ciri yang disenaraikan, utama dan kesimpulan yang paling penting teori khas

relativiti datang kepada hakikat bahawa ruang dan masa adalah saling berkaitan secara organik dan membentuk satu bentuk kewujudan jirim.

6. 6. Hubungan antara jisim dan tenaga. Undang-undang pemuliharaan tenaga dalam mekanik relativistik. @ Meneroka akibat undang-undang asas dinamik relativistik, Einstein membuat kesimpulan bahawa jumlah tenaga zarah yang bergerak adalah sama dengan

. Daripada persamaan ini ia mengikuti bahawa walaupun zarah pegun (apabila b = 0) mempunyai tenaga E 0 = m 0 c 2, tenaga ini dipanggil tenaga rehat (atau tenaga diri). Jadi, pergantungan sejagat zarah daripada jisimnya: E = mс 2. Ini adalah undang-undang asas alam - undang-undang hubungan antara jisim dan tenaga.

Menurut undang-undang ini, jisim dalam keadaan rehat mempunyai bekalan tenaga yang besar dan sebarang perubahan dalam jisim Δm disertai dengan perubahan dalam jumlah tenaga zarah ΔE=c 2 Δm. Contohnya, 1 kg pasir sungai hendaklah mengandungi 1×(3.0∙10 8 m/s) 2 =9∙10 16 J tenaga. Ini adalah dua kali ganda penggunaan tenaga mingguan di Amerika Syarikat. Namun begitu kebanyakannya
ini tenaga tidak tersedia, kerana undang-undang pemuliharaan jirim memerlukannya jumlah bilangan baryon (dipanggil zarah asas

– neutron dan proton) kekal malar dalam mana-mana sistem tertutup. Ia berikutan bahawa jumlah jisim baryon tidak berubah dan, dengan itu, ia tidak boleh ditukar menjadi tenaga. Tetapi di dalam nukleus atom neutron dan proton mempunyai, sebagai tambahan kepada tenaga rehat, tenaga yang hebat interaksi antara satu sama lain. Dalam beberapa proses seperti pelakuran dan pembelahan nuklear, sebahagian daripada tenaga interaksi berpotensi ini boleh ditukar kepada tenaga kinetik tambahan zarah yang diperoleh dalam tindak balas. Transformasi ini berfungsi sebagai sumber tenaga reaktor nuklear

dan bom atom. Ketepatan hubungan Einstein boleh dibuktikan dengan menggunakan contoh pereputan neutron percuma

kepada proton, elektron dan neutrino (dengan jisim rehat sifar): n → p + e - + ν. Dalam kes ini, jumlah tenaga kinetik hasil akhir adalah sama dengan 1.25∙10 -13 J. Jisim selebihnya neutron melebihi jumlah jisim proton dan elektron sebanyak 13.9∙10 -31 kg. Penurunan jisim ini sepatutnya sepadan dengan tenaga ΔE=c 2 Δm=(13.9∙10 -31)(3.0∙10 8) 2 =1.25∙10 -15 J. Ia bertepatan dengan tenaga kinetik yang diperhatikan bagi hasil pereputan. Dalam mekanik relativistik, undang-undang pemuliharaan jisim rehat tidak dipatuhi, tetapi undang-undang pemuliharaan tenaga dipenuhi:.

jumlah tenaga sistem tertutup dipelihara, i.e. tidak berubah mengikut peredaran masa

6.7. Teori umum relativiti. @

Beberapa tahun selepas penerbitan teori relativiti khas, Einstein mengembangkan dan akhirnya merumuskan pada tahun 1915 teori relativiti umum, iaitu teori fizik moden ruang, masa dan graviti. Subjek utama teori umum relativiti ialah interaksi graviti kelajuan lebih pantas Sveta. Oleh itu, Einstein menghadapi masalah teori relativistik graviti. Untuk menyelesaikan masalah ini, ia juga perlu untuk menjawab soalan: lakukan jisim graviti (termasuk dalam undang-undang Graviti sejagat) dan jisim inersia (termasuk dalam hukum kedua Newton)? Jawapan kepada soalan ini hanya boleh diberikan melalui pengalaman. Keseluruhan set fakta eksperimen menunjukkan bahawa jisim inersia dan graviti adalah sama. Adalah diketahui bahawa daya inersia adalah serupa dengan daya graviti: berada di dalam kabin tertutup, tiada eksperimen dapat menentukan apa yang menyebabkan tindakan daya mg pada badan - sama ada kabin bergerak dengan pecutan g, atau fakta bahawa kabin pegun terletak berhampiran permukaan Bumi. Di atas mewakili apa yang dipanggil prinsip kesetaraan: medan graviti dalam manifestasinya adalah sama dengan bingkai rujukan yang memecut. Pernyataan ini digunakan oleh Einstein sebagai asas kepada teori relativiti umum.

Dalam teorinya, Einstein mendapati sifat ruang dan masa lebih berkaitan hubungan yang kompleks daripada hubungan Lorentz. Jenis sambungan ini bergantung pada pengedaran jirim dalam ruang; ia sering dikatakan secara kiasan bahawa jirim membengkokkan ruang dan masa. Jika tiada perkara mengenai jarak jauh daripada titik cerapan atau kelengkungan ruang-masa adalah kecil, maka hubungan Lorentz boleh digunakan dengan ketepatan yang memuaskan.

Einstein menjelaskan fenomena graviti (tarikan jasad dengan jisim) dengan fakta bahawa jasad besar membengkokkan ruang sedemikian rupa sehingga pergerakan semula jadi jasad lain secara inersia berlaku di sepanjang trajektori yang sama, seolah-olah wujud daya tarikan.

Oleh itu, Einstein menyelesaikan masalah kebetulan jisim graviti dan inersia dengan enggan menggunakan konsep daya graviti. Akibat yang diperoleh daripada relativiti am (teori graviti) meramalkan kehadiran yang baru fenomena fizikal berhampiran badan besar: perubahan dalam peredaran masa; perubahan dalam trajektori badan lain yang tidak dijelaskan dalam mekanik klasik; pesongan sinar cahaya; menukar frekuensi cahaya; tarikan tidak boleh balik semua bentuk jirim ke arah mencukupi dan lain-lain. Semua fenomena ini ditemui: perubahan dalam kadar jam diperhatikan semasa penerbangan kapal terbang mengelilingi Bumi; trajektori pergerakan planet yang paling hampir dengan Matahari, Mercury, hanya dijelaskan oleh teori ini, sisihan sinar cahaya diperhatikan untuk sinar yang datang dari bintang kepada kita berhampiran Matahari; perubahan dalam frekuensi atau panjang gelombang cahaya juga dikesan, kesan ini dipanggil anjakan merah graviti, ia diperhatikan dalam garis spektrum Matahari dan bintang berat; Daya tarikan jirim yang tidak dapat dipulihkan kepada bintang menerangkan kehadiran "lubang hitam" - objek bintang kosmik yang menyerap walaupun cahaya. Di samping itu, banyak persoalan kosmologi dijelaskan dalam teori relativiti umum.

Contoh. Mari kita kembali kepada contoh (1.13):

x = 1 + 12t 3t2

(koordinat diukur dalam meter, masa dalam saat). Secara konsisten membezakan dua kali, kita dapat:

vx = x = 12 6t;

ax = vx = 6:

Seperti yang dapat kita lihat, pecutan adalah malar dalam nilai mutlak dan sama dengan 6 m/s2. Pecutan diarahkan ke arah yang bertentangan dengan paksi X.

Contoh yang diberikan ialah kes gerakan dipercepatkan secara seragam, di mana magnitud dan arah pecutan tidak berubah. Pergerakan dipercepat secara seragam adalah salah satu jenis gerakan yang paling penting dan sering ditemui dalam mekanik.

daripada contoh ini ia tidak sukar untuk memahami bahawa dengan gerakan dipercepatkan secara seragam unjuran halaju adalah fungsi linear masa, dan koordinat fungsi kuadratik. Kami akan membincangkan perkara ini dengan lebih terperinci dalam bahagian yang sepadan mengenai gerakan dipercepatkan secara seragam.

Contoh. Mari kita pertimbangkan kes yang lebih eksotik:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 :

Mari bezakan:

vx = x = 3 8t + 15t2 ;

ax = vx = 8 + 30t:

Pergerakan ini tidak dipercepatkan secara seragam: pecutan bergantung pada masa.

Contoh. Biarkan badan bergerak sepanjang paksi X mengikut undang-undang berikut:

Kami melihat bahawa koordinat badan berubah secara berkala, antara 5 hingga 5. Pergerakan ini adalah contoh getaran harmonik, apabila koordinat berubah mengikut masa mengikut hukum sinus.

Mari kita bezakan dua kali:

vx = x = 5 cos 2t 2 = 10 cos 2t;

ax = vx = 20 sin 2t:

Unjuran halaju berubah mengikut undang-undang kosinus, dan unjuran pecutan sekali lagi mengikut undang-undang sinus. Kuantiti kapak adalah berkadar dengan koordinat x dan bertentangan dalam tanda (iaitu, ax = 4x); Secara amnya, hubungan bentuk ax = !2 x ialah ciri ayunan harmonik.

1.2.8 Hukum penambahan kelajuan

Biar ada dua sistem rujukan. Salah satu daripadanya dikaitkan dengan badan rujukan pegun O. Kami akan menandakan sistem rujukan ini dengan K dan memanggilnya pegun.

Sistem rujukan kedua, dilambangkan K0, dikaitkan dengan badan rujukan O0, yang bergerak relatif kepada badan O dengan kelajuan ~u. Kami memanggil sistem rujukan ini bergerak. Selain itu

kita menganggap bahawa paksi koordinat sistem K0 bergerak selari dengan diri mereka sendiri (tiada putaran sistem koordinat), jadi vektor ~u boleh dianggap kelajuan sistem bergerak berbanding dengan pegun.

Bingkai rujukan tetap K biasanya berkaitan dengan tanah. Jika kereta api bergerak dengan lancar di sepanjang landasan dengan kelajuan ~u, maka kerangka rujukan yang dikaitkan dengan kereta kereta api itu akan menjadi kerangka rujukan bergerak K0.

Ambil perhatian bahawa kelajuan mana-mana titik dalam kereta3 ialah ~u. Jika seekor lalat duduk tidak bergerak pada suatu ketika di dalam kereta, maka relatif kepada tanah lalat itu bergerak dengan kelajuan ~u. Lalat dibawa oleh gerabak, dan oleh itu kelajuan ~u sistem bergerak berbanding dengan pegun dipanggil kelajuan mudah alih.

Sekarang andaikan seekor lalat merayap di sepanjang kereta. Kemudian terdapat dua lagi kelajuan yang perlu dipertimbangkan.

Kelajuan lalat berbanding kereta (iaitu, dalam sistem bergerak K0) dilambangkan dengan ~v0 dan

dipanggil kelajuan relatif.

Kelajuan lalat relatif kepada tanah (iaitu, dalam bingkai K pegun) dilambangkan dengan ~v dan

dipanggil kelajuan mutlak.

Mari kita ketahui bagaimana ketiga-tiga kelajuan ini - mutlak, relatif dan mudah alih - berkaitan antara satu sama lain.

Dalam Rajah. 1.11 lalat ditunjukkan oleh titik M. Seterusnya:

~r vektor jejari titik M dalam sistem tetap K; ~r0 vektor jejari titik M dalam sistem bergerak K0;

~ vektor jejari badan rujukan 0 dalam sistem pegun.

~r 0

nasi. 1.11. Kepada kesimpulan hukum penambahan halaju

Seperti yang dapat dilihat dari rajah,

~ 0 ~r = R + ~r:

Membezakan kesaksamaan ini, kita dapat:

					d~r 0

Derivatif d~r=dt ialah kelajuan titik M dalam sistem K, iaitu kelajuan mutlak:

d~r dt = ~v:

Begitu juga, terbitan d~r 0 =dt ialah kelajuan titik M dalam sistem K0, iaitu relatif

kelajuan:

d~r dt 0 = ~v0 :

3 Sebagai tambahan kepada roda berputar, tetapi kami tidak mengambil kiranya.

Apakah ~? Ini ialah kelajuan titik0 dalam sistem pegun, iaitu mudah alih dR=dt O

kelajuan ~u sistem bergerak berbanding sistem pegun:

dR dt = ~u:

Akibatnya, daripada (1.28) kita memperoleh:

~v = ~u + ~v 0 :

Hukum penambahan kelajuan. Kelajuan titik relatif kepada kerangka rujukan tetap adalah sama dengan jumlah vektor kelajuan sistem bergerak dan kelajuan titik berbanding dengan sistem bergerak. Dengan kata lain, kelajuan mutlak ialah jumlah kelajuan mudah alih dan relatif.

Oleh itu, jika seekor lalat merangkak di sepanjang gerabak yang bergerak, maka kelajuan lalat itu berbanding dengan tanah adalah sama dengan jumlah vektor kelajuan gerabak dan kelajuan lalat itu berbanding dengan gerabak. Hasil yang jelas secara intuitif!

1.2.9 Jenis pergerakan mekanikal

Jenis yang paling mudah pergerakan mekanikal bagi suatu titik material ialah gerakan seragam dan rectilinear.

Pergerakan dipanggil seragam jika magnitud vektor halaju kekal malar (arah halaju boleh berubah).

Pergerakan dipanggil rectilinear jika ia berlaku di sepanjang garis lurus tertentu (magnitud kelajuan mungkin berubah). Dalam erti kata lain, trajektori gerakan rectilinear ialah garis lurus.

Sebagai contoh, kereta yang bergerak pada kelajuan tetap di sepanjang jalan yang berliku membuat gerakan seragam (tetapi tidak linear). Sebuah kereta yang memecut di bahagian lurus lebuh raya bergerak dalam garis lurus (tetapi tidak seragam).

Tetapi jika, semasa pergerakan jasad, kedua-dua magnitud halaju dan arahnya kekal malar, maka gerakan itu dipanggil rectilinear seragam. Jadi:

gerakan seragam, j~vj = const;

seragam pergerakan rectilinear, ~v = const.

Kes khas yang paling penting pergerakan tidak sekata ialah gerakan dipercepatkan secara seragam, di mana mereka kekal modul berterusan dan arah vektor pecutan:

gerakan dipercepat secara seragam, ~a = const.

Bersama dengan titik material, idealisasi lain dipertimbangkan dalam mekanik - badan tegar.

Jasad tegar ialah sistem titik material, jarak antaranya tidak berubah mengikut masa. Model padu digunakan dalam kes di mana kita tidak boleh mengabaikan saiz badan, tetapi tidak boleh mengambil kira perubahan saiz dan bentuk badan semasa pergerakan.

Jenis gerakan mekanikal yang paling mudah bagi jasad pepejal ialah gerakan translasi dan putaran.

Pergerakan jasad dipanggil translasi jika mana-mana garis lurus yang menghubungkan mana-mana dua titik jasad itu bergerak selari dengan arah asalnya. Semasa gerakan translasi, trajektori semua titik badan adalah sama: ia diperoleh daripada satu sama lain dengan anjakan selari.

Jadi, dalam Rajah. 1.12 ditunjukkan gerakan ke hadapan segi empat sama kelabu. Segmen hijau yang dipilih secara sewenang-wenangnya bagi petak ini bergerak selari dengan dirinya sendiri. Trajektori hujung segmen digambarkan dengan garis putus-putus biru.

nasi. 1.12. Pergerakan ke hadapan

Pergerakan jasad dipanggil putaran jika semua titiknya menggambarkan bulatan yang terletak di dalamnya satah selari. Dalam kes ini, pusat bulatan ini terletak pada satu garis lurus, yang berserenjang dengan semua satah ini dan dipanggil paksi putaran.

Dalam Rajah. 1.13 menunjukkan sebiji bola berputar paksi menegak. Beginilah kebiasaan mereka melukis glob dalam masalah dinamik yang sepadan.

nasi. 1.13. Pergerakan putaran

Biarkan dua foton 1 dan 2 bergerak ke arah satu sama lain dengan kelajuan yang sama dengan v 1 = c dan v 2 = c (c ialah kelajuan cahaya) berbanding dengan kerangka rujukan "pegun" Bumi K (lihat rajah). Mari cari kelajuan Foton pertama dalam bingkai rujukan K yang dikaitkan dengan foton ke-2, menggunakan formula klasik untuk menambah kelajuan:

Jadual 3

Oleh itu, kelajuan satu foton dalam bingkai rujukan yang dikaitkan dengan yang ke-2 ternyata sama dengan 2c, tetapi menurut STR, tidak satu zarah boleh bergerak pada kelajuan yang lebih besar daripada kelajuan cahaya.

Apabila jasad bergerak pada kelajuan yang setanding dengan kelajuan cahaya dalam STR, formula lain diperoleh, yang dipanggil formula relativistik untuk menambah halaju. Mari kita tuliskan formula untuk kes termudah bagi sistem yang bergerak dalam satu arah.

u - kelajuan badan dalam rangka rujukan pegun K

u ialah kelajuan badan dalam rangka rujukan bergerak K

v - kelajuan sistem K berbanding sistem K

(kami telah menggantikan huruf dari formula sebelumnya untuk mengelakkan penggunaan subskrip dan seterusnya mengacaukan formula)

Jom dapatkan formula ini.

Marilah kita memperkenalkan pembolehubah perantaraan t

Mari cari derivatif menggunakan transformasi Lorentz

Mari kita darabkan derivatif, dengan mengambil kira itu

telah menghasilkan operasi algebra, kita dapati daripada persamaan ini u atau u

Sekarang mari kita mengira kelajuan foton daripada contoh sebelumnya menggunakan formula relativistik.

v 1 = u 1 = c-kelajuan foton pertama dalam K, v 1 = u 1 = c-kelajuan foton pertama dalam K, v 2 = v - kelajuan foton ke-2, i.e. kelajuan K dalam K. Oleh itu, mengikut formula relativistik, kelajuan foton tidak melebihi kelajuan cahaya c.

Konsep dinamik relativistik

Apabila menggunakan transformasi Lorentz, hukum asas dinamik m(dp/dt) = F ternyata tidak berubah dengan syarat momentum zarah ditulis dalam bentuk:

Momentum relativistik zarah

Undang-undang asas dinamik relativistik

Kemudian hukum asas dinamik relativistik secara formal mengekalkan bentuk yang sama seperti hukum Newton II, tetapi di antara mereka terdapat perbezaan asas. (lihat di bawah)

Kuantiti m dipanggil jisim relativistik; ia bergantung kepada kelajuan badan dan bukan invarian, i.e. mempunyai makna yang berbeza dalam ISO yang berbeza.

m 0 - jisim badan, juga dipanggil jisim rehat, adalah invarian dan mempunyai nilai yang sama dalam mana-mana ISO.

Dalam mekanik klasik, pecutan zarah dan daya yang menyebabkan pecutan ini sentiasa diarahkan ke arah yang sama. Pada kelajuan zarah yang setanding dengan kelajuan cahaya, i.e. dalam kes relativistik, arah pecutan dan daya bertepatan hanya dalam dua kes: 1) apabila daya selari dengan kelajuan pada setiap saat masa dan 2) apabila daya berserenjang dengan kelajuan. DALAM kes am arah pecutan dan daya tidak bertepatan (lihat rajah)

Hubungan antara jisim dan tenaga dalam teori relativiti.

Mari kita perkenalkan tatatanda baharu untuk tenaga, yang paling kerap digunakan dalam SRT.

jumlah tenaga

tenaga kinetik (kita akan menggunakan notasi T)

Mari cari ungkapan untuk tenaga kinetik dalam SRT, memandangkan peningkatan tenaga kinetik berlaku disebabkan oleh kerja beberapa daya. Badan masuk detik permulaan tidak bergerak dan bebas, i.e. tidak berinteraksi dengan badan lain dan dengan itu tidak mempunyai tenaga berpotensi.

untuk menyepadukan dan mendapatkan, anda perlu mengurangkan m kepada satu pembolehubah, sementara terdapat dua daripadanya, dan semua kesamaan adalah produk titik vektor,

bukannya pembolehubah p, pembolehubah muncul

tidak lagi di sini produk vektor kerana , tetapi dua pembolehubah kekal

kuasa duakannya, nyatakannya, gantikan dan dapatkan

Sekarang anda boleh mengintegrasikan, kerana hanya tinggal satu pembolehubah m

mengintegrasikan, kami memperoleh ungkapan untuk tenaga kinetik dalam STR

Tenaga kinetik relativistik

Tenaga rehat

Jumlah tenaga relativistik, i.e. tenaga badan yang bergerak

Oleh itu, dari SRT ia mengikuti bahawa mana-mana badan tidak bergerak mempunyai rizab tenaga yang sama dengan. Contohnya, jasad seberat 1 kg mengandungi tenaga E 0 = 1910 16 J. Tenaga ini boleh memanaskan takungan berdimensi 1 km 20 km 20 m kali 100 o C. Masalahnya ialah bagaimana untuk melepaskan tenaga ini. Walaupun dengan tindak balas termonuklear kurang daripada 1% daripada jumlah tenaga yang sepadan dengan keseluruhan jisim rehat dibebaskan. Dalam mekanik klasik konsep "tenaga rehat" tidak ada.

Ungkapan itu dipanggil hukum Einstein tentang hubungan antara jisim dan tenaga

Mengikut undang-undang ini, jumlah stok Tenaga badan (atau sistem badan), apa sahaja jenis tenaga yang terdiri daripada (kinetik, potensi, haba, elektrik, dll.) adalah berkaitan dengan jisim badan (sistem badan) mengikut nisbah ini. Dengan kata lain, jika jisim badan berubah, tenaganya akan berubah, begitu juga sebaliknya.

Biarkan sekeping besi seberat 1 kg dipanaskan sebanyak 1000 o C. Mari kita hitung berapa banyak jisim kepingan itu harus berubah.

perubahan dalam tenaga badan mesti mengubah jisimnya dengan

Q - haba semasa pemanasan, C - haba tentu bahan yang dipanaskan

Tiada peranti yang boleh mengesan perubahan kecil dalam jisim 1 kg

Semua formula SRT menjadi klasik pada v<< c.Например, найдем кинетическую энергию тела при малых скоростях. Приближенное выражение, известное из математики

ungkapan relativistik bertukar menjadi klasik

Dari SRT ia mengikuti bahawa zarah dengan jisim sifar boleh wujud, tetapi ia tidak boleh pegun, tetapi mesti bergerak secara berterusan, dan hanya pada kelajuan cahaya c - ini adalah foton dan, mungkin, neutrino.

hubungan antara tenaga dan momentum bagi zarah dengan jisim sifar (foton) m 0 =0

Beberapa formula daripada SRT yang boleh diperoleh daripada ungkapan di atas

Hubungan antara tenaga kinetik zarah dan momentumnya

Hubungan antara jumlah tenaga zarah dan momentumnya

Hubungan antara jumlah tenaga dan tenaga rehat dengan momentum

12.2. Postulat SRT

12.2.1. Hukum relativistik penambahan halaju

Teori relativistik juga dipanggil teori relativiti khas dan berdasarkan dua postulat yang dirumuskan oleh A. Einstein pada tahun 1905.

Postulat pertama teori relativiti khas (STR) dipanggil prinsip relativiti: semua undang-undang fizik adalah invarian berkenaan dengan peralihan daripada satu kerangka rujukan inersia kepada yang lain, i.e. tiada eksperimen (mekanikal, elektrik, optik) yang dijalankan di dalam ISO tertentu membolehkan untuk mengesan sama ada ISO ini dalam keadaan rehat atau bergerak secara seragam dan dalam garis lurus.

Postulat pertama memperluaskan prinsip mekanikal Galileo kerelatifan kepada sebarang proses fizikal.

Postulat kedua bagi teori relativiti khas (STR) dipanggil prinsip invarian kelajuan cahaya: kelajuan cahaya dalam vakum tidak bergantung pada kelajuan sumber cahaya atau pemerhati dan adalah sama dalam semua ISO.

Postulat kedua menyatakan bahawa ketekalan kelajuan cahaya adalah sifat asas alam semula jadi.

Transformasi Lorentz(1904) membolehkan kita memperoleh nilai tiga koordinat ruang dan satu masa apabila bergerak dari satu kerangka rujukan inersia (x, y, z, t) ke yang lain (x′, y′, z′, t′) bergerak dalam arah positif paksi koordinat Ox dengan kelajuan relativistik u →:

x = x ′ + u t ′ 1 − β 2 , y = y ′, z = z ′, t = t ′ + u x ′ / c 2 1 − β 2 ,

di mana β = u/c; c ialah kelajuan cahaya dalam vakum, c = 3.0 ⋅ 10 8 m/s.

Mempunyai nilai praktikal untuk menyelesaikan masalah hukum penambahan kelajuan, ditulis sebagai

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 ,

dengan nilai v ′ x, u x, v x ialah unjuran halaju pada paksi koordinat yang dipilih Ox:

• v ′ x - halaju relatif zarah relativistik;
• u x - kelajuan zarah, dipilih untuk sistem rujukan, relatif kepada pemerhati pegun;
• v x - kelajuan zarah lain berbanding pemerhati pegun yang sama.

Untuk pengiraan kelajuan relatif gerakan dua zarah relativistik Adalah dinasihatkan untuk menggunakan algoritma berikut:

1) pilih arah paksi koordinat Lembu sepanjang pergerakan salah satu zarah relativistik;

2) kaitkan kerangka rujukan dengan salah satu zarah, tentukan kelajuannya u → ; kelajuan zarah kedua berbanding dengan pemerhati pegun dilambangkan dengan v → ;

3) tuliskan unjuran halaju u → dan v → pada paksi koordinat yang dipilih:

• apabila zarah bergerak ke arah positif paksi Lembu, tanda unjuran halaju dianggap positif;
• apabila zarah bergerak ke arah negatif paksi Lembu, tanda unjuran halaju dianggap negatif;

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 ;

5) tulis modulus kelajuan relatif pergerakan zarah relativistik dalam bentuk

v rel = |

v 'x |

.

Contoh 1. Roket yang bergerak menjauhi Bumi pada kelajuan 0.6c (c ialah kelajuan cahaya) menghantar isyarat cahaya ke arah yang bertentangan dengan kelajuannya. Isyarat didaftarkan oleh pemerhati di Bumi. Cari kelajuan isyarat ini berbanding dengan pemerhati di bumi.

Penyelesaian . Mengikut postulat kedua SRT, kelajuan cahaya dalam vakum tidak bergantung pada kelajuan sumber cahaya atau pemerhati.

Oleh itu, kelajuan isyarat yang dihantar oleh roket berbanding dengan pemerhati di bumi adalah sama dengan kelajuan cahaya:

vrel = c,

dengan c ialah kelajuan cahaya dalam vakum, c = 3.0 ⋅ 10 8 m/s.

Untuk mengira kelajuan relatif pergerakan dua zarah relativistik, kami akan menggunakan algoritma.

1. Mari kita pilih arah paksi koordinat Lembu mengikut arah halaju elektron dan nukleus.

u → = v → el;

v → = v → racun.

u x = 0.40c ; v x = 0.70c.

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 = 0.70 c − 0.40 c 1 − 0.40 c ⋅ 0.70 c c 2 = 0.30 c 1 − 0.40 c ⋅ c 2.70 c ⋅

5. Unjuran halaju relatif mempunyai tanda positif, oleh itu magnitud halaju nukleus relatif kepada elektron adalah sama dengan unjuran yang ditemui:

v rel = v ′ x = 1.25 ⋅ 10 8 m/s.

Dalam kes kedua, nukleus mengeluarkan elektron ke arah yang bertentangan dengan kelajuan pergerakannya. Dalam Rajah. b menunjukkan nukleus yang telah mengeluarkan elektron yang bertentangan dengan arah pergerakannya, dan arah paksi koordinat Ox, kelajuan nukleus v → racun, kelajuan elektron v → elektron ditunjukkan.

Kami juga akan menggunakan algoritma untuk pengiraan.

1. Mari kita pilih arah paksi koordinat Lembu dalam arah halaju elektron.

2. Mari kita kaitkan bingkai rujukan dengan elektron, dan nyatakan kelajuannya berbanding dengan pemecut

u → = v → el;

kelajuan teras berbanding dengan pemecut -

v → = v → racun.

3. Mari kita tuliskan unjuran halaju u → dan v → pada paksi koordinat yang dipilih:

u x = 0.40s; v x = −0.70c .

4. Kira unjuran halaju relatif zarah menggunakan formula

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 = − 0.70 c − 0.40 c 1 − 0.40 c ⋅ (− 0.70) c c 2 =

= − 1.1 ⋅ 3.00 ⋅ 10 8 1 − 0.40 s ⋅ (− 0.70) s c 2 = − 2.58 ⋅ 10 8 m/s.

5. Unjuran halaju relatif mempunyai tanda negatif, oleh itu modulus halaju nukleus relatif kepada elektron adalah sama dengan modulus unjuran yang ditemui:

v rel = |

v 'x |