Lebih dipercayai daripada kaedah grafik yang dibincangkan dalam perenggan sebelumnya.

Kaedah penggantian

Kami menggunakan kaedah ini dalam gred 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Algoritma yang dibangunkan dalam gred ke-7 agak sesuai untuk menyelesaikan sistem mana-mana dua persamaan (tidak semestinya linear) dengan dua pembolehubah x dan y (sudah tentu, pembolehubah boleh ditetapkan oleh huruf lain, yang tidak penting). Malah, kami menggunakan algoritma ini dalam perenggan sebelumnya, apabila masalah nombor dua digit membawa kepada model matematik, iaitu sistem persamaan. Kami menyelesaikan sistem persamaan di atas menggunakan kaedah penggantian (lihat contoh 1 daripada § 4).

Algoritma untuk menggunakan kaedah penggantian apabila menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah x, y.

1. Ungkapkan y dalam sebutan x daripada satu persamaan sistem.
2. Gantikan ungkapan yang terhasil dan bukannya y ke dalam persamaan sistem yang lain.
3. Selesaikan persamaan yang terhasil untuk x.
4. Gantikan secara bergilir-gilir setiap punca persamaan yang terdapat dalam langkah ketiga dan bukannya x ke dalam ungkapan y melalui x yang diperoleh dalam langkah pertama.
5. Tulis jawapan dalam bentuk pasangan nilai (x; y), yang masing-masing terdapat pada langkah ketiga dan keempat.

4) Gantikan satu persatu setiap nilai y yang ditemui ke dalam formula x = 5 - 3. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan penyelesaian kepada sistem persamaan tertentu.

Jawapan: (2; 1);

Kaedah penambahan algebra

Kaedah ini, seperti kaedah penggantian, sudah biasa kepada anda dari kursus algebra gred ke-7, di mana ia digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mari kita ingat intipati kaedah menggunakan contoh berikut.

Contoh 2. Menyelesaikan sistem persamaan

Mari kita darabkan semua sebutan bagi persamaan pertama sistem dengan 3, dan biarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangkan persamaan kedua sistem daripada persamaan pertama:

Hasil daripada penambahan algebra dua persamaan sistem asal, satu persamaan telah diperolehi yang lebih mudah daripada persamaan pertama dan kedua sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih mudah ini kita mempunyai hak untuk menggantikan mana-mana persamaan sistem tertentu, contohnya yang kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan digantikan dengan sistem yang lebih mudah:

Sistem ini boleh diselesaikan menggunakan kaedah penggantian. Daripada persamaan kedua kita dapati Menggantikan ungkapan ini dan bukannya y ke dalam persamaan pertama sistem, kita dapat

Ia kekal untuk menggantikan nilai x yang ditemui ke dalam formula

Jika x = 2 maka

Oleh itu, kami menemui dua penyelesaian kepada sistem:

Kaedah untuk memperkenalkan pembolehubah baru

Anda telah diperkenalkan kepada kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu apabila menyelesaikan persamaan rasional dengan satu pembolehubah dalam kursus algebra gred 8. Intipati kaedah ini untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah sama, tetapi dari sudut pandangan teknikal terdapat beberapa ciri yang akan kita bincangkan dalam contoh berikut.

Contoh 3. Menyelesaikan sistem persamaan

Mari perkenalkan pembolehubah baru Kemudian persamaan pertama sistem boleh ditulis semula menjadi lebih dalam bentuk mudah: Mari kita selesaikan persamaan ini untuk pembolehubah t:

Kedua-dua nilai ini memenuhi syarat dan oleh itu adalah punca kepada persamaan rasional dengan pembolehubah t. Tetapi ini bermakna sama ada di mana kita dapati bahawa x = 2y, atau
Oleh itu, dengan menggunakan kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu, kami berjaya "menstratifikasi" persamaan pertama sistem, yang agak rumit dalam rupa, kepada dua persamaan yang lebih mudah:

x = 2 y; y - 2x.

Apa yang akan datang? Dan kemudian masing-masing menerima persamaan mudah perlu dipertimbangkan satu persatu dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 = 3, yang belum kita ingat. Dalam erti kata lain, masalah datang kepada menyelesaikan dua sistem persamaan:

Kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem pertama, sistem kedua dan memasukkan semua pasangan nilai yang terhasil dalam jawapan. Mari kita selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan kaedah penggantian, terutamanya kerana semuanya sudah sedia untuknya di sini: mari kita gantikan ungkapan 2y dan bukannya x ke dalam persamaan kedua sistem. Kita mendapatkan

Oleh kerana x = 2y, kita dapati, masing-masing, x 1 = 2, x 2 = 2. Oleh itu, dua penyelesaian bagi sistem yang diberi diperolehi: (2; 1) dan (-2; -1). Mari kita selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan kaedah penggantian sekali lagi: gantikan ungkapan 2x dan bukannya y ke dalam persamaan kedua sistem. Kita mendapatkan

Persamaan ini tidak mempunyai punca, yang bermaksud sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian. Oleh itu, hanya penyelesaian sistem pertama perlu disertakan dalam jawapan.

Jawapan: (2; 1); (-2;-1).

Kaedah memperkenalkan pembolehubah baru apabila menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah digunakan dalam dua versi. Pilihan pertama: satu pembolehubah baru diperkenalkan dan digunakan dalam hanya satu persamaan sistem. Inilah yang berlaku dalam contoh 3. Pilihan kedua: dua pembolehubah baharu diperkenalkan dan digunakan serentak dalam kedua-dua persamaan sistem. Ini akan berlaku dalam contoh 4.

Contoh 4. Menyelesaikan sistem persamaan

Mari perkenalkan dua pembolehubah baharu:

Mari kita ambil kira itu kemudian

Ini akan membolehkan anda menulis semula sistem ini dalam bentuk yang lebih mudah, tetapi pembolehubah a dan b yang agak baharu:

Oleh kerana a = 1, maka daripada persamaan a + 6 = 2 kita dapati: 1 + 6 = 2; 6=1. Oleh itu, mengenai pembolehubah a dan b, kami mendapat satu penyelesaian:

Kembali kepada pembolehubah x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Mari kita gunakan kaedah untuk menyelesaikan sistem ini penambahan algebra:

Sejak itu daripada persamaan 2x + y = 3 kita dapati:
Oleh itu, mengenai pembolehubah x dan y, kami mendapat satu penyelesaian:

Mari kita akhiri perenggan ini dengan perbualan teori yang ringkas tetapi agak serius. Anda telah pun mendapat sedikit pengalaman dalam menyelesaikan persamaan yang berbeza: linear, segi empat sama, rasional, tidak rasional. Anda tahu bahawa idea utama untuk menyelesaikan persamaan adalah untuk bergerak secara beransur-ansur dari satu persamaan ke persamaan yang lain, lebih mudah, tetapi bersamaan dengan yang diberikan. Dalam perenggan sebelumnya kami memperkenalkan konsep kesetaraan untuk persamaan dengan dua pembolehubah. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan pembolehubah x dan y dipanggil setara jika mereka mempunyai penyelesaian yang sama atau jika kedua-dua sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Ketiga-tiga kaedah (penggantian, penambahan algebra dan memperkenalkan pembolehubah baharu) yang kami bincangkan dalam bahagian ini adalah betul-betul betul dari sudut kesetaraan. Dalam erti kata lain, menggunakan kaedah ini, kita menggantikan satu sistem persamaan dengan yang lain, lebih mudah, tetapi setara dengan sistem asal.

Kaedah grafik untuk menyelesaikan sistem persamaan

Kita telah pun mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang biasa dan boleh dipercayai seperti kaedah penggantian, penambahan algebra dan pengenalan pembolehubah baru. Sekarang mari kita ingat kaedah yang telah anda pelajari dalam pelajaran lepas. Iaitu, mari kita ulangi apa yang anda tahu kaedah grafik penyelesaian.

Kaedah penyelesaian sistem persamaan secara grafik ialah pembinaan graf bagi setiap persamaan khusus yang termasuk dalam sistem tertentu dan berada dalam satu satah koordinat, dan juga di mana perlu untuk mencari persilangan titik graf ini. Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini ialah koordinat titik ini (x; y).

Perlu diingat bahawa untuk sistem grafik persamaan cenderung mempunyai sama ada satu tunggal keputusan yang betul, atau set tak terhingga penyelesaian, atau tidak mempunyai penyelesaian sama sekali.

Sekarang mari kita lihat setiap penyelesaian ini dengan lebih terperinci. Jadi, sistem persamaan boleh mempunyai keputusan sahaja sekiranya garis-garis yang merupakan graf bagi persamaan sistem bersilang. Jika garis-garis ini selari, maka sistem persamaan tersebut sama sekali tidak mempunyai penyelesaian. Jika graf langsung persamaan sistem bertepatan, maka sistem sedemikian membolehkan seseorang mencari banyak penyelesaian.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 yang tidak diketahui menggunakan kaedah grafik:

Pertama, mula-mula kita membina graf persamaan pertama;
Langkah kedua ialah membina graf yang berkaitan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu mencari titik persilangan graf.
Dan sebagai hasilnya, kita mendapat koordinat setiap titik persilangan, yang akan menjadi penyelesaian kepada sistem persamaan.

Mari kita lihat kaedah ini dengan lebih terperinci menggunakan contoh. Kami diberi sistem persamaan yang perlu diselesaikan:

Menyelesaikan persamaan

1. Pertama, kita akan membina jadual persamaan yang diberikan: x2+y2=9.

Tetapi perlu diperhatikan bahawa graf persamaan ini akan menjadi bulatan dengan pusat di titik asal, dan jejarinya akan sama dengan tiga.

2. Langkah seterusnya adalah untuk membuat graf persamaan seperti: y = x – 3.

Dalam kes ini, kita mesti membina garis lurus dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari lihat apa yang kita dapat. Kita melihat bahawa garis lurus memotong bulatan pada dua titik A dan B.

Sekarang kita sedang mencari koordinat titik-titik ini. Kami melihat bahawa koordinat (3;0) sepadan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) sepadan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapat sebagai hasilnya?

Nombor (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh apabila garis bersilang dengan bulatan adalah tepat penyelesaian kepada kedua-dua persamaan sistem. Dan daripada ini ia mengikuti bahawa nombor-nombor ini juga merupakan penyelesaian kepada sistem persamaan ini.

Iaitu, jawapan kepada penyelesaian ini ialah nombor: (3;0) dan (0;−3).

Sistem persamaan linear dengan dua tidak diketahui ialah dua atau lebih persamaan linear yang perlu dicari kesemuanya. penyelesaian umum. Kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui. Pandangan umum sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui ditunjukkan dalam rajah di bawah:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Di sini x dan y ialah pembolehubah yang tidak diketahui, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ialah beberapa nombor nyata. Penyelesaian kepada sistem dua persamaan linear dalam dua tidak diketahui ialah sepasang nombor (x,y) supaya jika kita menggantikan nombor ini ke dalam persamaan sistem, maka setiap persamaan sistem bertukar menjadi kesamaan sebenar. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mari kita pertimbangkan salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, iaitu kaedah tambah.

Algoritma untuk menyelesaikan dengan kaedah tambah

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui menggunakan kaedah penambahan.

1. Jika diperlukan, oleh transformasi yang setara samakan pekali salah satu pembolehubah yang tidak diketahui dalam kedua-dua persamaan.

2. Dengan menambah atau menolak persamaan yang terhasil, dapatkan persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui

3. Selesaikan persamaan yang terhasil dengan satu yang tidak diketahui dan cari salah satu pembolehubah.

4. Gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam mana-mana dua persamaan sistem dan selesaikan persamaan ini, dengan itu memperoleh pembolehubah kedua.

5. Semak penyelesaian.

Contoh penyelesaian menggunakan kaedah tambah

Untuk lebih jelas, mari kita selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan dua yang tidak diketahui menggunakan kaedah penambahan:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Oleh kerana tiada pembolehubah mempunyai pekali yang sama, kita menyamakan pekali pembolehubah y. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan pertama dengan tiga, dan persamaan kedua dengan dua.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Kita mendapatkan sistem persamaan berikut:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Sekarang kita tolak yang pertama dari persamaan kedua. Kami mempersembahkan istilah yang serupa dan selesaikan persamaan linear yang terhasil.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Kami menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan pertama daripada sistem asal kami dan menyelesaikan persamaan yang terhasil.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Hasilnya ialah sepasang nombor x=6 dan y=14. Kami sedang menyemak. Mari buat penggantian.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Seperti yang anda lihat, kami mendapat dua kesamaan yang betul, oleh itu, kami menemui penyelesaian yang betul.

Bahan dalam artikel ini bertujuan untuk kenalan pertama dengan sistem persamaan. Di sini kita akan memperkenalkan definisi sistem persamaan dan penyelesaiannya, dan juga mempertimbangkan jenis sistem persamaan yang paling biasa. Seperti biasa, kami akan memberikan contoh penjelasan.

Navigasi halaman.

Apakah sistem persamaan?

Kami akan mendekati definisi sistem persamaan secara beransur-ansur. Pertama, katakan sahaja bahawa ia adalah mudah untuk memberikannya, menunjukkan dua perkara: pertama, jenis rakaman, dan, kedua, makna yang tertanam dalam rakaman ini. Mari kita lihat pada gilirannya, dan kemudian umumkan penaakulan ke dalam definisi sistem persamaan.

Biarkan ada beberapa daripada mereka di hadapan kita. Sebagai contoh, mari kita ambil dua persamaan 2 x+y=−3 dan x=5. Mari kita tulis satu di bawah yang lain dan gabungkan di sebelah kiri dengan pendakap kerinting:

Rekod jenis ini, iaitu beberapa persamaan yang disusun dalam lajur dan disatukan di sebelah kiri oleh pendakap kerinting, ialah rekod sistem persamaan.

Apakah maksud entri sedemikian? Mereka mentakrifkan set semua penyelesaian sedemikian kepada persamaan sistem yang merupakan penyelesaian kepada setiap persamaan.

Tidak salah untuk menggambarkannya dengan kata lain. Katakan beberapa penyelesaian kepada persamaan pertama ialah penyelesaian kepada semua persamaan lain sistem. Jadi rekod sistem hanya bermaksud mereka.

Sekarang kita sudah bersedia untuk menerima dengan secukupnya takrifan sistem persamaan.

Definisi.

Sistem persamaan rekod panggilan yang merupakan persamaan yang terletak satu di bawah yang lain, disatukan di sebelah kiri oleh pendakap kerinting, yang menandakan set semua penyelesaian kepada persamaan yang juga merupakan penyelesaian kepada setiap persamaan sistem.

Definisi yang sama diberikan dalam buku teks, tetapi tidak diberikan di sana untuk kes am, dan untuk dua orang persamaan rasional dengan dua pembolehubah.

Jenis utama

Jelas bahawa terdapat bilangan tak terhingga bagi persamaan yang berbeza. Sememangnya, terdapat juga bilangan sistem persamaan yang tidak terhingga yang disusun menggunakannya. Oleh itu, untuk kemudahan mengkaji dan bekerja dengan sistem persamaan, masuk akal untuk membahagikannya kepada kumpulan mengikut ciri yang serupa, dan kemudian beralih kepada mempertimbangkan sistem persamaan jenis individu.

Bahagian pertama mencadangkan dirinya dengan bilangan persamaan yang termasuk dalam sistem. Jika terdapat dua persamaan, maka kita boleh mengatakan bahawa kita mempunyai sistem dua persamaan, jika terdapat tiga, maka sistem tiga persamaan, dsb. Adalah jelas bahawa tidak masuk akal untuk bercakap tentang sistem satu persamaan, kerana dalam kes ini, pada dasarnya, kita berurusan dengan persamaan itu sendiri, dan bukan dengan sistem.

Pembahagian seterusnya adalah berdasarkan bilangan pembolehubah yang terlibat dalam menulis persamaan sistem. Jika terdapat satu pembolehubah, maka kita berurusan dengan sistem persamaan dengan satu pembolehubah (mereka juga mengatakan dengan satu tidak diketahui), jika terdapat dua, maka dengan sistem persamaan dengan dua pembolehubah (dengan dua tidak diketahui), dsb. Sebagai contoh, ialah sistem persamaan dengan dua pembolehubah x dan y.

Ini merujuk kepada bilangan semua pembolehubah berbeza yang terlibat dalam rakaman. Mereka tidak perlu semua dimasukkan ke dalam rekod setiap persamaan sekali gus kehadiran mereka dalam sekurang-kurangnya satu persamaan adalah mencukupi. Cth, ialah sistem persamaan dengan tiga pembolehubah x, y dan z. Dalam persamaan pertama, pembolehubah x hadir secara eksplisit, dan y dan z adalah tersirat (kita boleh mengandaikan bahawa pembolehubah ini mempunyai sifar), dan dalam persamaan kedua terdapat x dan z, tetapi pembolehubah y tidak dibentangkan secara eksplisit. Dengan kata lain, persamaan pertama boleh dilihat sebagai , dan yang kedua – sebagai x+0·y−3·z=0 .

Titik ketiga di mana sistem persamaan berbeza ialah jenis persamaan itu sendiri.

Di sekolah, kajian sistem persamaan bermula dengan sistem dua persamaan linear dalam dua pembolehubah. Iaitu, sistem sedemikian membentuk dua persamaan linear. Berikut adalah beberapa contoh: Dan . Mereka mempelajari asas bekerja dengan sistem persamaan.

Apabila membuat keputusan lebih tugasan yang kompleks Anda juga boleh menemui sistem tiga persamaan linear dengan tiga yang tidak diketahui.

Selanjutnya dalam gred 9, persamaan tak linear ditambah kepada sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah, kebanyakannya keseluruhan persamaan darjah kedua, kurang kerap - lebih darjat tinggi. Sistem ini dipanggil sistem persamaan tak linear, jika perlu, bilangan persamaan dan tidak diketahui ditentukan. Mari kita tunjukkan contoh sistem persamaan tak linear tersebut: Dan .

Dan kemudian dalam sistem terdapat juga, sebagai contoh, . Mereka biasanya dipanggil sistem persamaan, tanpa menyatakan persamaan mana. Perlu diperhatikan di sini bahawa selalunya sistem persamaan hanya dirujuk sebagai "sistem persamaan," dan penjelasan ditambah hanya jika perlu.

Di sekolah menengah, sebagai bahan yang dipelajari, tidak rasional, trigonometri, logaritma dan persamaan eksponen : , , .

Jika kita melihat lebih jauh ke dalam kurikulum universiti tahun pertama, penekanan utama adalah pada kajian dan penyelesaian sistem persamaan algebra linear (SLAE), iaitu persamaan di mana bahagian kiri mengandungi polinomial darjah pertama, dan bahagian sebelah kanan mengandungi nombor tertentu. Tetapi di sana, tidak seperti sekolah, mereka tidak lagi mengambil dua persamaan linear dengan dua pembolehubah, tetapi nombor arbitrari persamaan dengan sebarang nombor pembolehubah, selalunya tidak sepadan dengan bilangan persamaan.

Apakah penyelesaian kepada sistem persamaan?

Istilah "penyelesaian sistem persamaan" secara langsung merujuk kepada sistem persamaan. Di sekolah, definisi menyelesaikan sistem persamaan dengan dua pembolehubah diberikan :

Definisi.

Menyelesaikan sistem persamaan dengan dua pembolehubah dipanggil sepasang nilai pembolehubah ini yang menjadikan setiap persamaan sistem menjadi betul, dengan kata lain, adalah penyelesaian kepada setiap persamaan sistem.

Sebagai contoh, sepasang nilai pembolehubah x=5, y=2 (ia boleh ditulis sebagai (5, 2)) ialah penyelesaian kepada sistem persamaan mengikut takrifan, kerana persamaan sistem apabila menggantikan x= 5, y=2 ke dalamnya menjadi betul kesamaan berangka 5+2=7 dan 5−2=3 masing-masing. Tetapi pasangan nilai x=3, y=0 bukanlah penyelesaian kepada sistem ini, kerana apabila menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan, yang pertama akan bertukar menjadi kesamaan yang salah 3+0=7.

Takrifan yang sama boleh dirumuskan untuk sistem dengan satu pembolehubah, serta untuk sistem dengan tiga, empat, dsb. pembolehubah.

Definisi.

Menyelesaikan sistem persamaan dengan satu pembolehubah akan ada nilai pembolehubah yang menjadi punca semua persamaan sistem, iaitu menukar semua persamaan kepada kesamaan berangka yang betul.

Mari kita beri contoh. Pertimbangkan sistem persamaan dengan satu pembolehubah t bentuk . Nombor −2 ialah penyelesaiannya, kerana kedua-dua (−2) 2 =4 dan 5·(−2+2)=0 ialah kesamaan berangka yang benar. Dan t=1 bukan penyelesaian kepada sistem, kerana menggantikan nilai ini akan memberikan dua kesamaan yang salah 1 2 =4 dan 5·(1+2)=0.

Definisi.

Menyelesaikan sistem dengan tiga, empat, dsb. pembolehubah dipanggil tiga, empat, dll. nilai pembolehubah, masing-masing, bertukar menjadi persamaan sebenar semua persamaan sistem.

Jadi, mengikut definisi, tiga kali ganda nilai pembolehubah x=1, y=2, z=0 ialah penyelesaian kepada sistem , kerana 2·1=2, 5·2=10 dan 1+2+0=3 ialah kesamaan berangka yang benar. Dan (1, 0, 5) bukanlah penyelesaian kepada sistem ini, kerana apabila menggantikan nilai pembolehubah ini ke dalam persamaan sistem, kedua daripadanya bertukar menjadi kesamaan yang salah 5·0=10, dan yang ketiga terlalu 1+0+5=3.

Perhatikan bahawa sistem persamaan mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mungkin ada nombor akhir penyelesaian, contohnya, satu, dua, ..., tetapi boleh mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Anda akan melihat ini apabila anda mendalami topik ini.

Dengan mengambil kira takrifan sistem persamaan dan penyelesaiannya, kita boleh membuat kesimpulan bahawa penyelesaian kepada sistem persamaan ialah persilangan bagi set penyelesaian semua persamaannya.

Untuk membuat kesimpulan, berikut adalah beberapa definisi yang berkaitan:

Definisi.

bukan sendi, jika ia tidak mempunyai penyelesaian, dalam sebaliknya sistem dipanggil sendi.

Definisi.

Sistem persamaan dipanggil tidak pasti, jika ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, dan pasti, jika ia mempunyai bilangan penyelesaian yang terhad atau tidak mempunyainya sama sekali.

Istilah ini diperkenalkan, sebagai contoh, dalam buku teks, tetapi ia agak jarang digunakan di sekolah;

Bibliografi.

1. Algebra: buku teks untuk darjah 7. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. darjah 7. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-17, tambah. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra. darjah 9. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-13, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis matematik. Darjah 11. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am ( tahap profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-2, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Kursus algebra yang lebih tinggi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometri analitik: Buku teks: Untuk universiti. – ed ke-5. – M.: Sains. Fizmatlit, 1999. – 224 hlm. - (Nah matematik yang lebih tinggi dan tikar. fizik). – ISBN 5-02-015234 – X (Isu 3)

Arahan

Kaedah penambahan.
Anda perlu menulis dua betul-betul di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenangnya (daripada sistem), masukkan nombor 11 dan bukannya "permainan" yang telah dijumpai dan hitung yang kedua tidak diketahui:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawapan kepada sistem persamaan ini ialah x=116, y=11.

Kaedah grafik.
Ia terdiri daripada mencari secara praktikal koordinat titik di mana garis ditulis secara matematik dalam sistem persamaan. Graf kedua-dua garisan hendaklah dilukis secara berasingan dalam sistem koordinat yang sama. Pandangan umum: – y=khx+b. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari koordinat dua titik, dan x dipilih sewenang-wenangnya.
Biarkan sistem diberi: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Satu garis lurus dibina menggunakan yang pertama, untuk kemudahan ia perlu ditulis: y=2x-4. Dapatkan nilai (lebih mudah) untuk x, menggantikannya ke dalam persamaan, menyelesaikannya, dan mencari y. Kami mendapat dua titik di mana garis lurus dibina. (lihat gambar)
x 0 1

y -4 -2
Satu garis lurus dibina menggunakan persamaan kedua: y=-3x+1.
Juga bina garis lurus. (lihat gambar)

y 1 -5
Cari koordinat titik persilangan dua garis yang dibina pada graf (jika garis tidak bersilang, maka sistem persamaan tidak mempunyai - jadi).

Video mengenai topik

Nasihat yang berguna

Jika sistem persamaan yang sama diselesaikan dengan tiga cara yang berbeza, jawapannya akan sama (jika penyelesaiannya betul).

Sumber:

• algebra darjah 8
• menyelesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam talian
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan ialah koleksi rekod matematik, setiap satunya mengandungi beberapa pembolehubah. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya.

Anda perlu

• -Pembaris dan pensel;
• -kalkulator.

Arahan

Mari kita pertimbangkan urutan penyelesaian sistem, yang terdiri daripada persamaan linear yang mempunyai bentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Di mana x dan y adalah pembolehubah tidak diketahui, dan b,c ialah sebutan bebas. Apabila menggunakan kaedah ini, setiap sistem mewakili koordinat titik yang sepadan dengan setiap persamaan. Untuk memulakan, dalam setiap kes, nyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain. Kemudian tetapkan pembolehubah x kepada sebarang bilangan nilai. Dua dah cukup. Gantikan ke dalam persamaan dan cari y. Bina sistem koordinat, tandakan titik yang terhasil di atasnya dan lukis garisan melaluinya. Pengiraan yang sama mesti dilakukan untuk bahagian lain sistem.

Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik jika garisan yang dibina bersilang dan satu titik persamaan. Ia tidak serasi jika selari antara satu sama lain. Dan ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga apabila garisan bergabung antara satu sama lain.

Kaedah ini dianggap sangat visual. Kelemahan utama adalah bahawa tidak diketahui yang dikira mempunyai nilai anggaran. Keputusan yang lebih tepat disediakan oleh kaedah algebra yang dipanggil.

Sebarang penyelesaian kepada sistem persamaan patut diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang terhasil dan bukannya pembolehubah. Anda juga boleh mencari penyelesaiannya menggunakan beberapa kaedah. Jika penyelesaian sistem adalah betul, maka semua orang harus menjadi sama.

Selalunya terdapat persamaan di mana salah satu istilah tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan, anda perlu mengingati dan melakukannya dengan nombor yang diberikan set tertentu tindakan.

Anda perlu

• - kertas;
• - pen atau pensel.

Arahan

Bayangkan bahawa terdapat 8 ekor arnab di hadapan anda, dan anda hanya mempunyai 5 lobak merah. Fikirkanlah, anda masih perlu membeli lebih banyak lobak merah supaya setiap arnab mendapat satu.

Mari kita kemukakan masalah ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita gantikan nombor 3 di tempat x Sesungguhnya, 5 + 3 = 8.

Apabila anda menggantikan nombor untuk x, anda melakukan perkara yang sama seperti semasa anda menolak 5 daripada 8. Jadi, untuk mencari tidak diketahui sebutan, tolak sebutan yang diketahui daripada jumlahnya.

Katakan anda mempunyai 20 ekor arnab dan hanya 5 lobak merah. Mari kita buat. Persamaan ialah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai tertentu huruf yang disertakan di dalamnya. Huruf yang perlu dicari maknanya dipanggil . Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, panggilnya x. Apabila menyelesaikan masalah arnab kami, kami mendapat persamaan berikut: 5 + x = 20.

Mari cari beza antara 20 dan 5. Apabila menolak, nombor yang ditolak ialah nombor yang dikurangkan. Nombor yang ditolak dipanggil , dan keputusan akhir dipanggil perbezaan. Jadi, x = 20 – 5; x = 15. Anda perlu membeli 15 lobak merah untuk arnab.

Semak: 5 + 15 = 20. Persamaan diselesaikan dengan betul. Sudah tentu, apabila kita bercakap tentang tentang yang mudah seperti itu, tidak perlu melakukan pemeriksaan. Walau bagaimanapun, apabila anda mempunyai persamaan dengan nombor tiga digit, empat digit, dsb., anda pastinya perlu menyemak untuk benar-benar pasti hasil kerja anda.

Video mengenai topik

Nasihat yang berguna

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Untuk mencari subtrahend tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend.

Petua 4: Bagaimana untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui mungkin tidak mempunyai penyelesaian, walaupun bilangan persamaan mencukupi. Anda boleh cuba menyelesaikannya menggunakan kaedah penggantian atau menggunakan kaedah Cramer. Kaedah Cramer, sebagai tambahan kepada menyelesaikan sistem, membolehkan anda menilai sama ada sistem itu boleh diselesaikan sebelum mencari nilai yang tidak diketahui.

Arahan

Kaedah penggantian terdiri daripada berjujukan satu yang tidak diketahui melalui dua yang lain dan menggantikan hasil yang terhasil ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan dalam Pandangan umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ungkapkan x daripada persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan gantikan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, kemudian nyatakan y daripada persamaan kedua dan gantikan kepada persamaan ketiga. Anda akan dapat ungkapan linear untuk z melalui pekali persamaan sistem. Sekarang pergi "ke belakang": gantikan z ke dalam persamaan kedua dan cari y, dan kemudian gantikan z dan y ke dalam yang pertama dan selesaikan untuk x. Proses ini biasanya ditunjukkan dalam rajah sebelum mencari z. Penulisan lanjut dalam bentuk umum akan menjadi terlalu rumit dalam amalan, dengan menggantikan , anda boleh mencari ketiga-tiga yang tidak diketahui dengan mudah.

Kaedah Cramer terdiri daripada membina matriks sistem dan mengira penentu matriks ini, serta tiga lagi matriks tambahan. Matriks sistem terdiri daripada pekali untuk sebutan persamaan yang tidak diketahui. Lajur yang mengandungi nombor di sebelah kanan persamaan, lajur sebelah kanan. Ia tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan semasa menyelesaikan sistem.

Video mengenai topik

Nota

Semua persamaan dalam sistem mesti menyediakan maklumat tambahan bebas daripada persamaan lain. Jika tidak, sistem akan menjadi kurang jelas dan tidak akan dapat mencari penyelesaian yang jelas.

Nasihat yang berguna

Selepas menyelesaikan sistem persamaan, gantikan nilai yang ditemui ke dalam sistem asal dan pastikan ia memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian, jadi selalunya ia ditambah dengan dua lagi persamaan atau syarat. Bergantung pada data awal, perjalanan keputusan akan bergantung pada sebahagian besarnya.

Anda perlu

• - sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Arahan

Jika dua daripada tiga sistem hanya mempunyai dua daripada tiga yang tidak diketahui, cuba nyatakan beberapa pembolehubah dari segi yang lain dan gantikannya ke dalam persamaan dengan tiga tidak diketahui. Matlamat anda dalam kes ini adalah untuk mengubahnya menjadi normal persamaan dengan orang yang tidak dikenali. Jika ini , penyelesaian selanjutnya agak mudah - gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan lain dan cari semua yang tidak diketahui lain.

Sesetengah sistem persamaan boleh ditolak daripada satu persamaan dengan persamaan yang lain. Lihat jika mungkin untuk mendarab satu daripada atau pembolehubah supaya dua yang tidak diketahui dibatalkan sekaligus. Jika ada peluang sedemikian, ambil kesempatan daripadanya, kemungkinan besar, penyelesaian seterusnya tidak akan sukar. Jangan lupa bahawa apabila mendarab dengan nombor anda mesti mendarab sebagai sebelah kiri, dan yang betul. Begitu juga, apabila menolak persamaan, anda mesti ingat bahawa bahagian kanan juga mesti ditolak.

Jika kaedah sebelumnya tidak membantu, gunakan secara umum penyelesaian kepada sebarang persamaan dengan tiga tidak diketahui. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan dalam bentuk a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sekarang buat matriks pekali untuk x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks pembolehubah bebas (B). Sila ambil perhatian bahawa dengan mendarab matriks pekali dengan matriks tidak diketahui, anda akan mendapat matriks sebutan bebas, iaitu, A*X=B.

Cari matriks A kepada kuasa (-1) dengan mencari dahulu , ambil perhatian bahawa ia tidak sepatutnya sama dengan sifar. Selepas ini, darabkan matriks yang terhasil dengan matriks B, hasilnya anda akan menerima matriks X yang dikehendaki, menunjukkan semua nilai.

Anda juga boleh mencari penyelesaian kepada sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, cari penentu tertib ketiga ∆ sepadan dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut cari tiga lagi penentu ∆1, ∆2 dan ∆3, menggantikan nilai sebutan bebas dan bukannya nilai lajur yang sepadan. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• penyelesaian kepada persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Apabila mula menyelesaikan sistem persamaan, tentukan jenis persamaannya. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear telah dikaji dengan cukup baik. Persamaan tak linear selalunya mereka tidak berani. Terdapat hanya satu kes khas, setiap satunya boleh dikatakan individu. Oleh itu, kajian teknik penyelesaian harus bermula dengan persamaan linear. Persamaan sedemikian bahkan boleh diselesaikan secara algoritma semata-mata.

penyebut bagi yang tidak diketahui yang ditemui adalah betul-betul sama. Ya, dan pengangka menunjukkan beberapa corak dalam pembinaannya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar daripada dua, maka kaedah penyingkiran akan membawa kepada pengiraan yang sangat rumit. Untuk mengelakkannya, ia direka semata-mata kaedah algoritma penyelesaian. Yang paling mudah ialah algoritma Cramer (formula Cramer). Kerana anda harus mengetahuinya sistem umum persamaan daripada n persamaan.

Sistem n linear persamaan algebra dengan n yang tidak diketahui mempunyai bentuk (lihat Rajah 1a). Di dalamnya, aij ialah pekali sistem,
xj – tidak diketahui, bi – sebutan bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem sedemikian boleh ditulis padat dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A ialah matriks pekali sistem, X ialah matriks lajur yang tidak diketahui, B ialah matriks lajur bagi sebutan bebas (lihat Rajah 1b). Mengikut kaedah Cramer, setiap xi =∆i/∆ tidak diketahui (i=1,2…,n). Penentu ∆ matriks pekali dipanggil yang utama, dan ∆i matriks tambahan. Untuk setiap yang tidak diketahui kelayakan tambahan didapati dengan menggantikan lajur ke-i penentu utama dengan lajur sebutan bebas. Kaedah Cramer untuk kes sistem tertib kedua dan ketiga dibentangkan secara terperinci dalam Rajah. 2.

Sistem ini adalah gabungan dua atau lebih persamaan, setiap satunya mengandungi dua atau lebih yang tidak diketahui. Terdapat dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang digunakan di dalamnya kurikulum sekolah. Salah satu daripada mereka dipanggil kaedah, yang lain - kaedah penambahan.

Bentuk piawai sistem dua persamaan

Pada bentuk piawai persamaan pertama mempunyai bentuk a1*x+b1*y=c1, persamaan kedua mempunyai bentuk a2*x+b2*y=c2 dan seterusnya. Sebagai contoh, dalam kes dua bahagian sistem, kedua-duanya diberi a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa pekali berangka yang diwakili dalam persamaan tertentu. Sebaliknya, x dan y mewakili yang tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Nilai yang diperlukan menukar kedua-dua persamaan secara serentak kepada kesamaan sebenar.

Menyelesaikan sistem menggunakan kaedah tambah

Untuk menyelesaikan sistem, iaitu, untuk mencari nilai x dan y yang akan mengubahnya menjadi kesamaan sebenar, anda perlu mengambil beberapa langkah mudah. Yang pertama adalah untuk mengubah sama ada persamaan supaya pekali berangka untuk pembolehubah x atau y dalam kedua-dua persamaan adalah sama dalam magnitud, tetapi berbeza dalam tanda.

Sebagai contoh, biarkan sistem yang terdiri daripada dua persamaan diberikan. Yang pertama mempunyai bentuk 2x+4y=8, yang kedua mempunyai bentuk 6x+2y=6. Salah satu pilihan untuk menyelesaikan tugas adalah untuk mendarabkan persamaan kedua dengan pekali -2, yang akan membawanya ke bentuk -12x-4y=-12. Pilihan pekali yang betul adalah salah satu daripada tugas utama dalam proses menyelesaikan sistem dengan penambahan, kerana ia menentukan keseluruhan langkah selanjutnya prosedur untuk mencari yang tidak diketahui.

Sekarang adalah perlu untuk menambah dua persamaan sistem. Jelas sekali, pemusnahan bersama pembolehubah dengan nilai pekali yang sama tetapi tanda bertentangan akan membawa kepada bentuk -10x=-4. Selepas ini, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan mudah ini, dari mana ia jelas mengikuti bahawa x = 0.4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian adalah untuk menggantikan nilai yang ditemui bagi salah satu pembolehubah ke dalam mana-mana kesamaan asal yang terdapat dalam sistem. Sebagai contoh, menggantikan x=0.4 ke dalam persamaan pertama, anda boleh mendapatkan ungkapan 2*0.4+4y=8, dari mana y=1.8. Oleh itu, x=0.4 dan y=1.8 ialah punca-punca sistem contoh.

Untuk memastikan bahawa akar ditemui dengan betul, adalah berguna untuk menyemak dengan menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan kedua sistem. Contohnya, dalam dalam kes ini kita mendapat kesamaan bentuk 0.4*6+1.8*2=6, iaitu benar.

Video mengenai topik

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman seperti pengauditan, analisis data dan pelbagai kajian untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, V perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.