Sekarang mari kita beralih kepada masalah yang dikemukakan dalam Bab I untuk mencari fungsi pengedaran untuk mana-mana badan makroskopik yang merupakan sebahagian kecil daripada mana-mana sistem tertutup yang besar (subsistem). Yang paling mudah dan kaedah umum Pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini adalah berdasarkan penggunaan taburan mikrokanonik kepada keseluruhan sistem.
Marilah kita memilih badan yang diminati oleh kita daripada sistem tertutup dan pertimbangkan sistem itu terdiri daripada dua bahagian: badan yang diterbitkan dan seluruh kawasannya, yang akan kita panggil "persekitaran" berhubung dengan badan.
Taburan mikrokanonik (6.6) boleh ditulis sebagai
di mana mereka merujuk kepada badan dan persekitaran, masing-masing, dan merupakan nilai yang diberikan bagi tenaga sistem tertutup; nilai ini mestilah sama dengan jumlah tenaga badan dan persekitaran.
Matlamat kami adalah untuk mencari kebarangkalian keadaan sedemikian bagi keseluruhan sistem di mana badan yang diberi berada dalam keadaan kuantum tertentu (dengan tenaga), iaitu, dalam keadaan yang diterangkan secara mikroskopik. Kami tidak berminat dengan keadaan mikroskopik medium, iaitu kami akan menganggap bahawa ia berada dalam beberapa keadaan yang diterangkan secara makroskopik. Biarkan terdapat berat statistik keadaan makroskopik persekitaran; Mari kita juga menyatakan dengan selang nilai tenaga medium yang sepadan dengan selang keadaan kuantum dalam erti kata yang ditunjukkan dalam § 7.
Kami akan mencari kebarangkalian yang diingini dengan menggantikan dalam (28.1) dengan satu, meletakkan dan menyepadukan
biarkan - nombor penuh keadaan kuantum medium dengan tenaga kurang daripada atau sama dengan E.
Memandangkan integrand hanya bergantung pada E, kita boleh meneruskan ke integrasi berkenaan dengan , menulis:
Kami menggantikan derivatif (rujuk § 7) dengan hubungan
di manakah entropi medium sebagai fungsi tenaganya (fungsi E, sudah tentu, juga ). Oleh itu,
Terima kasih kepada kehadiran fungsi -, penyepaduan dikurangkan untuk menggantikan E oleh dan kita dapat
(28,2)
Sekarang mari kita ambil kira bahawa disebabkan oleh kekecilan badan, tenaganya adalah kecil berbanding dengan Nilai berubah secara relatifnya sangat sedikit apabila perubahan kecil; oleh itu, anda hanya boleh meletakkannya di dalamnya, selepas itu ia akan berubah menjadi tetap bebas daripada. Dalam faktor eksponen, adalah perlu untuk mengembangkannya menjadi kuasa sambil mengekalkan istilah linear:
Tetapi terbitan entropi S berkenaan dengan tenaga tidak lebih daripada , di mana T ialah suhu sistem (suhu badan dan persekitaran adalah sama, kerana sistem diandaikan berada dalam keseimbangan).
Oleh itu, kami akhirnya memperoleh ungkapan berikut:
di mana A ialah pemalar penormalan bebas daripada. Ini adalah salah satu daripada formula yang paling penting statistik; ia menentukan taburan statistik mana-mana badan makroskopik yang merupakan sebahagian kecil daripada beberapa sistem tertutup yang besar. Taburan (28.3) dipanggil taburan Gibbs atau taburan kanonik; ia ditemui oleh J. W. Gibbs untuk statistik klasik pada tahun 1901.
Pemalar normalisasi A ditentukan oleh keadaan di mana
Purata mana-mana kuantiti fizikal f, yang mencirikan badan tertentu, boleh dikira menggunakan taburan Gibbs mengikut formula
Dalam statistik klasik, ungkapan yang betul-betul sepadan dengan formula (28.3) diperoleh untuk fungsi taburan dalam ruang fasa:
di manakah tenaga badan sebagai fungsi koordinat dan impulsnya. Pemalar normalisasi A ditentukan oleh keadaan
Dalam amalan, kita sering perlu berurusan dengan kes di mana bukan keseluruhan gerakan mikroskopik zarah adalah separa klasik, tetapi hanya gerakan yang sepadan dengan sebahagian daripada darjah kebebasan, manakala gerakan itu adalah kuantum dalam darjah kebebasan yang tinggal (contohnya. , ia boleh menjadi separa klasik gerakan ke hadapan molekul dengan sifat kuantum gerakan intramolekul atom). Dalam kes ini, tahap tenaga badan boleh ditulis sebagai fungsi koordinat semiklasik dan momenta: di mana menandakan set nombor kuantum, mentakrifkan "bahagian kuantum" pergerakan, yang mana nilai dan q memainkan peranan parameter. Formula pengedaran Gibbs kemudiannya akan ditulis dalam borang
di manakah hasil darab pembezaan koordinat dan momenta “kuasi-klasik”.
Akhir sekali, adalah perlu untuk membuat kenyataan berikut mengenai julat soalan yang mana taburan Gibbs boleh digunakan. Kami selalu bercakap tentang yang terakhir sebagai taburan statistik untuk subsistem, yang pada hakikatnya adalah. Walau bagaimanapun, adalah sangat penting bahawa pengedaran yang sama ini boleh dilakukan kejayaan yang lengkap juga boleh digunakan untuk menentukan sifat statistik asas badan tertutup.
Sesungguhnya, sifat-sifat badan seperti nilai-nilainya kuantiti termodinamik atau taburan kebarangkalian untuk koordinat dan halaju zarah individunya jelas tidak bergantung pada sama ada kita menganggap jasad itu tertutup atau diletakkan dalam termostat khayalan (§ 7). DALAM kes yang terakhir bagaimanapun, badan menjadi "subsistem" dan taburan Gibbs terpakai padanya secara literal. Perbezaan antara badan tertutup dan badan terbuka muncul apabila menggunakan taburan Gibbs, pada asasnya hanya apabila mempertimbangkan yang agak kecil soalan yang menarik tentang turun naik jumlah tenaga badan. Taburan Gibbs memberikan untuk turun naik purata kuantiti ini nilai bukan sifar, yang untuk badan yang terletak dalam medium mempunyai makna sebenar, tetapi untuk badan tertutup adalah rekaan sepenuhnya, kerana tenaga badan sedemikian, mengikut definisi. , malar dan tidak berubah-ubah.
Kemungkinan untuk menggunakan (dalam erti kata yang dinyatakan) pengedaran Gibbs kepada badan tertutup juga jelas daripada fakta bahawa ia pada asasnya berbeza sangat sedikit daripada yang mikrokanonik (dan pada masa yang sama adalah lebih mudah untuk menjalankan pengiraan tertentu). Sememangnya, taburan mikrokanonik adalah bersamaan, secara kasarnya, dengan mengiktiraf sebagai berkemungkinan sama semua keadaan mikro badan yang sepadan dengan tetapkan nilai tenaganya. Pengagihan kanonik "tersebar" pada selang tertentu nilai tenaga, yang lebarnya (mengikut urutan turun naik tenaga purata), walau bagaimanapun, adalah sangat kecil untuk badan makroskopik.
1.1. Untuk merumus secara matematik "taburan mikrokanonik kuantum" teknik berikut mesti digunakan. Mengingati "hampir kesinambungan" spektrum tenaga jasad Makroskopik, marilah kita memperkenalkan konsep bilangan keadaan kuantum sistem tertutup "jatuh" dalam selang tak terhingga tertentu nilai tenaganya. Mari kita nyatakan nombor ini dengan .
Jika kita menganggap sistem tertutup sebagai terdiri daripada subsistem, sambil mengabaikan interaksi yang terakhir, maka setiap keadaan sistem secara keseluruhan boleh dicirikan dengan menyatakan keadaan semua subsistem individu, dan nombor 
akan dipersembahkan dalam bentuk produk:
nombor 
keadaan kuantum subsistem (sehingga jumlah tenaga semua subsistem terletak tepat pada selang nilai tenaga yang dipertimbangkan bagi keseluruhan sistem tertutup).
Kita kini boleh merumuskan taburan mikrokanonik dengan menulis untuk kebarangkalian 
sistem berada dalam mana-mana 
menyatakan ungkapan berikut:
(1)
1.2. Kami akan mempertimbangkan sistem tertutup untuk masa yang besar berbanding dengan masa kelonggarannya; Ini menunjukkan bahawa sistem berada dalam keseimbangan statistik lengkap.
Mari kita jalankan penaakulan berikut untuk statistik kuantum. Setelah membahagikan sistem kepada sejumlah besar bahagian makroskopik (subsistem), kami akan mempertimbangkan mana-mana satu daripadanya. biarlah w n terdapat fungsi pengedaran subsistem ini; Untuk memudahkan formula, kami akan meninggalkan y buat masa ini. w n (dan kuantiti lain) indeks yang membezakan subsistem. Menggunakan fungsi w n seseorang boleh, khususnya, mengira taburan kebarangkalian untuk nilai tenaga yang berbeza E subsistem. w n boleh ditulis sebagai fungsi tenaga sahaja w n = w(E n ). Untuk mendapatkan kebarangkalian w(E)dEsubsistem mempunyai tenaga dalam julat antara E Dan E+dE, perlu membiak w(E) pada bilangan keadaan kuantum dengan tenaga yang terletak dalam selang ini. Mari kita nyatakan dengan G(E) bilangan keadaan kuantum dengan tenaga kurang daripada dan sama dengan E; maka bilangan negeri yang menarik minat kita dengan tenaga antara E dan E + dE boleh ditulis dalam bentuk:
dan taburan kebarangkalian tenaga ialah:
W(E)
(1.1)
Keadaan normalisasi
Bermaksud secara geometri bahawa kawasan yang terkandung di bawah lengkung W= W(E), sama dengan satu.
Fungsi W
(E)
mempunyai maksimum yang luar biasa pada E=
, kerana berbeza dengan sifar hanya di sekitar titik ini. Mari kita perkenalkan "lebar" ∆E lengkung W=
W(E),
mentakrifkannya sebagai lebar segi empat tepat yang ketinggiannya sama dengan nilai fungsi W(E) pada titik maksimum, dan kawasan itu sama dengan perpaduan
Dengan mengambil kira ungkapan (1.1), kita boleh menulis semula definisi ini sebagai:
,
∆Г= 
ialah bilangan keadaan kuantum yang sepadan dengan selang ∆ E nilai tenaga. Mengenai nilai ∆ ditentukan dengan cara ini G kita boleh mengatakan bahawa ia mencirikan "tahap calitan" keadaan makroskopik subsistem berbanding keadaan mikroskopiknya. Bagi selang ∆ E, maka mengikut magnitud ia bertepatan dengan turun naik purata tenaga subsistem.
1.3. Marilah kita menggunakan pengedaran mikrokanonik, mengikut mana, untuk menerangkan sifat statistik sistem tertutup, kita boleh menggunakan fungsi pengedaran bentuk (1).
Di sini 
boleh difahami sebagai pembezaan fungsi
(E α
)
,
mewakili bilangan keadaan kuantum subsistem dengan tenaga kurang daripada atau sama dengan E α
mari menulis semula dw dalam bentuk:
(1.2)
Berat statistik ∆Гα mengikut takrifannya ialah fungsi purata tenaga E A subsistem; yang sama berlaku untuk
S A
=
S A (
)
.
Kami kini secara rasmi akan mempertimbangkan ∆Г α dan S α
sebagai fungsi nilai tenaga sebenar 
(fungsi yang sama dari mereka sebenarnya 
).
Kemudian kita boleh menggantikan dalam (1.2) derivatif 
hubungan ∆Г α /∆ E α
,
di mana ∆Г α ialah fungsi bagi E α
, dan ∆ E α
- selang ∆Г α nilai tenaga yang sepadan (juga fungsi bagi E α
).
Akhir sekali, menggantikan ∆Г α dengan 
, kita dapat
(1.3)
di mana S= 
- entropi keseluruhan sistem tertutup, difahami sebagai fungsi nilai tenaga tepat bahagiannya. Faktor 
,
dalam eksponen yang terdapat kuantiti aditif, terdapat fungsi tenaga yang berubah dengan sangat cepat E A .
Berbanding dengan fungsi ini, pergantungan tenaga kuantiti 
∆E A adalah tidak penting sama sekali, dan oleh itu, dengan ketepatan yang sangat tinggi, kita boleh menggantikan (1.3) dengan ungkapan
Marilah kita memilih badan yang menarik minat kita daripada sistem tertutup dan menganggap sistem itu terdiri daripada dua bahagian: badan ini dan seluruh kawasannya, yang akan kita panggil "persekitaran" berhubung dengan badan.
Taburan mikrokanonik (1) akan ditulis sebagai:
di mana 
berkaitan masing-masing dengan badan dan persekitaran, dan 
- nilai tetapan tenaga sistem tertutup; nilai ini mestilah sama dengan jumlah 
tenaga badan dan persekitaran.
Ketersediaan 
- fungsi menyediakan transformasi 
kepada sifar pada semua titik ruang fasa di mana kuantiti 
tidak sama dengan nilai yang ditentukan 
.
Matlamat kami adalah untuk mencari kebarangkalian 
keadaan keseluruhan sistem di mana badan tertentu berada dalam keadaan kuantum tertentu (dengan tenaga 
), iaitu dalam keadaan yang diterangkan secara mikroskopik. Kami tidak berminat dengan keadaan mikroskopik medium, iaitu kami akan menganggap bahawa ia berada dalam beberapa keadaan yang diterangkan secara makroskopik. biarlah 
terdapat berat statistik keadaan makroskopik persekitaran; mari kita nyatakan juga dengan 
julat nilai tenaga medium yang sepadan dengan selang 
keadaan kuantum.
Kebarangkalian yang diperlukan 
kita dapati dengan menggantikan dalam (1.4) 
oleh satu, meletakkan 
dan menyepadukan lebih 
keadaan kuantum yang dinyatakan dalam klausa 1.2 dalam erti kata:
biarlah G"(E")
- jumlah bilangan keadaan kuantum medium dengan tenaga kurang daripada atau sama dengan E". Oleh kerana integrand hanya bergantung pada 
, kita boleh meneruskan ke penyepaduan 
menulis:
Derivatif 
gantikan (lihat klausa 1.1) dengan perkaitan
di mana 
entropi medium sebagai fungsi tenaganya (fungsi E" adalah, sudah tentu, juga 
). Oleh itu,
Terima kasih kepada ketersediaan 
penyepaduan fungsi dikurangkan kepada menggantikan 
pada 
,
dan kita dapat
Sekarang mari kita ambil kira itu 
kecil berbanding 
Magnitud 
perubahan yang agak sangat sedikit dengan perubahan yang kecil 
; jadi anda boleh meletakkannya di dalamnya 
, selepas itu ia akan bertukar menjadi bebas daripada 
tetap. Dalam faktor eksponen 
perlu disebarkan 
mengikut darjah 
,
mengekalkan juga istilah linear:
Tetapi terbitan entropi 
dari segi tenaga tidak lebih daripada 
, Di mana 
suhu sistem (suhu badan dan persekitaran adalah sama, kerana sistem diandaikan berada dalam keseimbangan).
Oleh itu, kami akhirnya mendapat untuk 
ungkapan berikut:
(1.5)
di mana 
bebas daripada 
pemalar normalisasi. Ini adalah salah satu formula yang paling penting dalam statistik; ia menentukan taburan statistik mana-mana badan makroskopik yang merupakan sebahagian kecil daripada beberapa sistem tertutup yang besar. Taburan ini dipanggil taburan Gibbs atau taburan kanonik; ia ditemui oleh Gibbs untuk statistik klasik pada tahun 1901.
Pemalar normalisasi 
ditentukan oleh keadaan 
di mana
.
Nilai purata bagi sebarang kuantiti fizik 
, mencirikan badan tertentu, boleh dikira menggunakan taburan Gibbs mengikut formula
Dalam statistik klasik, ungkapan yang betul-betul sepadan dengan formula (1.5) diperoleh untuk fungsi taburan dalam ruang fasa:
di mana 
tenaga badan sebagai fungsi koordinat dan impulsnya. Pemalar normalisasi 
ditentukan oleh syarat:
Dalam amalan, kita sering perlu berurusan dengan kes-kes di mana bukan keseluruhan gerakan mikroskopik zarah adalah kuasiklasik, tetapi hanya gerakan yang sepadan dengan sebahagian daripada darjah kebebasan, manakala dalam darjah kebebasan yang tinggal gerakan itu adalah kuantum (contohnya, gerakan translasi molekul pada sifat kuantum gerakan intramolekul atom). Dalam kes ini, tahap tenaga badan boleh ditulis sebagai fungsi koordinat dan momenta semiklasik: 
di mana 
menandakan satu set nombor kuantum yang menentukan "bahagian kuantum" gerakan, yang mana nilainya 
Dan 
memainkan peranan parameter. Formula pengedaran Gibbs kemudiannya akan ditulis dalam borang
di mana 
- hasil darab pembezaan koordinat dan momenta "kuasi-klasik".
Akhir sekali, adalah perlu untuk membuat kenyataan berikut mengenai julat soalan yang mana taburan Gibbs boleh digunakan. Kami sentiasa bercakap tentang yang terakhir sebagai taburan statistik untuk subsistem, yang pada hakikatnya adalah. Walau bagaimanapun, adalah sangat penting bahawa pengedaran yang sama ini boleh berjaya digunakan untuk menentukan sifat statistik asas badan tertutup. Sesungguhnya, sifat sesuatu jasad seperti nilai kuantiti termodinamiknya atau taburan kebarangkalian untuk koordinat dan halaju zarah individunya jelas tidak bergantung pada sama ada kita menganggap jasad itu tertutup atau diletakkan dalam termostat khayalan. Dalam kes kedua, bagaimanapun, badan menjadi "subsistem" dan taburan Gibbs terpakai kepadanya secara literal. Perbezaan antara badan tertutup dan yang terbuka muncul apabila menggunakan taburan Gibbs, pada asasnya hanya apabila mempertimbangkan persoalan turun naik yang agak tidak menarik bagi jumlah tenaga badan. Taburan Gibbs memberikan nilai bukan sifar untuk turun naik purata kuantiti ini, yang untuk badan yang terletak dalam medium mempunyai makna sebenar, tetapi untuk badan tertutup ia adalah rekaan sepenuhnya, kerana tenaga badan sedemikian adalah, dengan definisi, malar dan tidak berubah-ubah.
Kemungkinan untuk menggunakan (dalam erti kata yang dinyatakan) pengedaran Gibbs kepada badan tertutup juga jelas daripada fakta bahawa ia pada asasnya berbeza sangat sedikit daripada yang mikrokanonik (dan pada masa yang sama adalah lebih mudah untuk menjalankan pengiraan tertentu). Sememangnya, taburan mikrokanonik adalah bersamaan, secara kasarnya, dengan mengiktiraf sebagai berkemungkinan sama semua keadaan mikro badan yang sepadan dengan nilai tertentu tenaganya. Pengagihan kanonik "tersebar" pada selang tertentu nilai tenaga, yang lebarnya (mengikut urutan turun naik tenaga purata), walau bagaimanapun, adalah sangat kecil untuk badan makroskopik.
Pengenalan kepada termodinamik.
Penerangan makroskopik sistem dengan sebilangan besar darjah kebebasan. Sistem terpencil dan tertutup. Subsistem sistem makroskopik. Keseimbangan termodinamik dan hukum sifar termodinamik. Konsep suhu.
Formalisme termodinamik.
Proses separa pegun, kerja asas melalui sistem tertutup dan makroparameter konjugasi secara kanonik. Pertukaran haba antara subsistem dan hukum pertama termodinamik.
Hukum kedua termodinamik. Proses adiabatik. Penentuan entropi dan suhu. Penambahan entropi. Prinsip entropi maksimum.
Potensi termodinamik dan sifatnya (entropi, tenaga bebas, entalpi, potensi termodinamik Gibbs, potensi termodinamik besar). Parameter meluas dan intensif dalam subsistem mudah. Prinsip dan ketaksamaan termodinamik Le Chatelier.
Mesin haba. Kerja maksimum yang diekstrak daripada sistem nonequilibrium tertutup. Bekerja di proses kitaran, Kecekapan kitaran, kitaran Carnot. Kerja badan maksimum semasa persekitaran luaran. Model enjin pembakaran dalaman.
Formalisme fizik statistik
Penerangan mikro tentang dinamik sistem makroskopik berdasarkan persamaan kanonik Hamilton. Tugas utama fizik statistik. Paradoks keterbalikan dan postulat asas fizik statistik. Parameter makroskopik hasil daripada purata mikroanalog mereka.
Hipotesis ergodik dan ensembel statistik sistem. Ruang fasa, fungsi pengagihan dan persamaan kinetik Liouville. Pengiraan pelbagai taburan kebarangkalian mengikut fungsi yang diberikan pengagihan. Fungsi pegun pengagihan dalam sistem tertutup. Proses adiabatik dan integralnya.
Pengagihan mikrokanonik.
Taburan mikrokanonik sebagai had fungsi taburan yang sesuai untuk mengira parameter makroskopik dengan kaedah purata proses adiabatik. Kebarangkalian keadaan mikro yang sama dan kebarangkalian keadaan makro yang tidak sama. Pengiraan taburan kebarangkalian untuk pelbagai parameter.
Definisi statistik entropi sistem tertutup (prinsip maksimum dan tambahan entropi, pengenalan termodinamik).
Pengiraan statistik persamaan gas ideal keadaan. Gas ideal dalam bidang potensi luaran. Taburan Maxwell-Boltzmann dalam gas ideal.
Paradoks Gibbs dan resolusinya dalam rangka kerja fizik statistik klasik. Penentuan entropi sistem zarah yang sama.
Pengedaran Gibbs
Perihalan statistik subsistem keseimbangan dalam termostat. Pengedaran kanonik dalam fizik statistik klasik. Kamiran statistik dan tenaga bebas sistem.
Postulasi taburan kanonik. Kesetaraan termodinamik makroskopik yang dibina berdasarkan ensembel kanonik dan mikrokanonik.
Pengagihan kanonik dalam termostat pelbagai jenis dan potensi termodinamik. Kesetaraan rumusan sepadan hubungan termodinamik.
Analisis gas ideal dalam rangka pengedaran Gibbs. Persamaan keadaan dan kapasiti haba bagi gas ideal monoatomik. Gas ideal dalam medan potensi luaran. Hukum Pembahagian Sama Sama tenaga kinetik dengan tahap kebebasan. Kapasiti haba gas poliatomik. Kekalahan fizik statistik klasik.
Taburan Quantum Gibbs
Generalisasi kuantum taburan Gibbs kanonik. Fungsi partition dan perwakilan kuasiklasiknya. Formula Planck untuk tenaga pengayun purata. "Membekukan" darjah kebebasan di suhu rendah. Teorem Nernst.
Kuantiti darjah kebebasan translasi. Konsep zarah-zarah yang sama, asal-usul faktor dan syarat-syarat untuk penerangan klasik bagi gas ideal yang tidak merosot.
Zarah yang sama
Pengiraan statistik sistem termudah bagi zarah yang sama (pemutar, pengayun).
Sistem dengan sejumlah besar zarah serupa tidak berinteraksi Satu kumpulan pengayun yang sama dengan putaran sifar. Perwakilan nombor pekerjaan dan taburan kanonik yang besar dalam fizik statistik kuantum.
Gas ideal bagi zarah yang sama. Pengagihan Bose-Einstein dan Fermi-Dirac. Kesan degenerasi dalam gas zarah yang sama, pemeluwapan gas Bose, tenaga Fermi dan gas Fermi yang merosot sepenuhnya. Kapasiti haba dan termodinamik gas Fermi yang merosot. Merosot gas ideal dalam medan luar. Gas ideal elektron dalam pepejal (pengenalan kepada teori jalur).
Sinaran keseimbangan
Sinaran keseimbangan dalam isipadu tertutup (model gas foton dan model pengayun medan). Pengagihan planck. Tenaga, tekanan dan termodinamik gas foton.
Ciri-ciri spektrum medan rawak (ketumpatan dan keamatan tenaga sinaran haba). Pemindahan sinaran haba dalam medium tak homogen yang telus. Sinaran daripada badan "hitam" dan "kelabu".
Gas bukan ideal
Perihalan statistik bagi gas sebenar jarang dengan interaksi yang lemah antara molekul. Termodinamik gas bukan ideal dalam rangka model van der Waals. Proses Joule-Thompson. Termodinamik plasma klasik.