Својства на дејство со рационални броеви како да се објасни. „дејства со рационални броеви“

Оваа статија дава преглед својства на операциите со рационални броеви. Прво, се објавуваат основните својства на кои се засноваат сите други својства. По ова се дадени некои други често користени својства на операции со рационални броеви.

Навигација на страница.

Ајде да наведеме основни својства на операциите со рационални броеви(a, b и c се произволни рационални броеви):

Комутативно својство на собирање a+b=b+a.
Сопственост за совпаѓањесобирање (a+b)+c=a+(b+c) .
Постоењето на неутрален елемент со собирање - нула, чие собирање со кој било број не го менува овој број, односно a+0=a.
За секој рационален број a има спротивен број −a таков што a+(−a)=0.
Комутативно својство на множење на рационални броеви a·b=b·a.
Комбинативно својство на множење (a·b)·c=a·(b·c) .
Постоењето на неутрален елемент за множење е единица, множење со кое кој било број не го менува овој број, односно a·1=a.
За секој рационален број што не е нула a има инверзен број a −1 таков што a·a −1 =1 .
Конечно, собирањето и множењето на рационалните броеви се поврзани со дистрибутивното својство на множење во однос на собирањето: a·(b+c)=a·b+a·c.

Наведените својства на операциите со рационални броеви се основни, бидејќи од нив може да се добијат сите други својства.

Други важни својства

Покрај деветте наведени основни својства на операциите со рационални броеви, постојат и голем број на многу широко користени својства. Ајде да им дадеме краток преглед.

Да почнеме со имотот, кој се пишува со помош на букви како a·(−b)=−(a·b)или врз основа на комутативното својство на множење како (−a) b=−(a b). Правилото за множење на рационални броеви со различни знаци директно произлегува од ова својство; неговиот доказ е исто така даден во овој член. Специфичен имотго објаснува правилото „плус помножен со минус е минус, а минус помножен со плус е минус“.

Еве го следниов имот: (−a)·(−b)=a·b. Ова го подразбира правилото за множење на негативни рационални броеви; во оваа статија ќе најдете и доказ за горенаведената еднаквост. Ова својство одговара на правилото за множење „минус пати минус е плус“.

Несомнено, вреди да се фокусираме на множење на произволен рационален број a со нула: a·0=0или 0 a=0. Ајде да го докажеме овој имот. Знаеме дека 0=d+(−d) за кое било рационално d, тогаш a·0=a·(d+(−d)) . Својството дистрибуција дозволува добиениот израз да се препише како a·d+a·(−d) , и бидејќи a·(−d)=−(a·d) , тогаш a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Така, дојдовме до збир на два спротивни броја, еднакви на ad·d и −(a·d), нивниот збир дава нула, што ја докажува еднаквоста a·0=0.

Лесно е да се забележи дека погоре ги наведовме само својствата на собирање и множење, додека ниту збор не беше кажано за својствата на одземање и делење. Ова се должи на фактот дека на множеството рационални броеви, дејствата на одземање и делење се наведени како инверзна на собирање и множење, соодветно. Односно, разликата a−b е збирот a+(−b), а количникот a:b е производ a·b−1 (b≠0).

Со оглед на овие дефиниции за одземање и делење, како и основните својства на собирање и множење, можете да ги докажете сите својства на операциите со рационални броеви.

Како пример, да го докажеме својството на распределба на множење во однос на одземањето: a·(b−c)=a·b−a·c. Важи следниот синџир на еднаквости: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, што е доказ.

Авторско право од паметни студенти

Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од www.site, вклучувајќи ги внатрешните материјали и изгледот, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.

Бадамшинскаја средно школо №2

Методолошки развој

математика
во 6 одделение

„Дејства со рационални броеви“

подготвени

наставник по математика

Бабенко Лариса Григориевна

Со. Бадамша
2014

Тема на лекцијата:« Операции со рационални броеви».

Тип на лекција :

Лекција за генерализација и систематизација на знаењето.

Цели на лекцијата:

едукативни:

Сумирање и систематизирање на знаењата на учениците за правилата на работење со позитивни и негативни броеви;

Зајакнување на способноста за примена на правила за време на вежбите;

Развијте вештини за самостојна работа;

развивање:

Развијте логично размислување, математички говор,компјутерски вештини; - развиваат способност за примена на стекнатото знаење на решенија применети проблеми; - проширување на вашите хоризонти;

подигање:

Воспитување когнитивен интересна предметот.

Опрема:

Листови со текстови на задачи, задачи за секој ученик;

Математика. Учебник за 6 одделение образовните институции/

N.Ya. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - М., 2010 година.

План за лекција:

Време на организирање.

Работете орално

Преглед на правилата за собирање и одземање броеви со различни знаци. Ажурирање на знаењето.

Решавање задачи според учебникот

Водење на тестот

Сумирајќи ја лекцијата. Поставување домашна задача

Рефлексија

За време на часовите

Време на организирање.

Поздрав од наставникот и учениците.

Пријавете ја темата на часот, планот за работа за лекцијата.

Денес имаме необична лекција. Во оваа лекција ќе ги запомниме сите правила на операции со рационални броеви и способност за извршување на операции за собирање, одземање, множење и делење.

Мотото на нашата лекција ќе биде кинеска парабола:

„Кажи ми и ќе заборавам;

Покажи ми и ќе се сетам;

Дозволете ми да го сторам тоа и ќе разберам“.

Сакам да ве поканам на патување.

Во средината на просторот каде што јасно се гледаше изгрејсонцето, се протегаше тесна, ненаселена земја - бројна линија. Не се знае каде почна и не се знае каде заврши. И првите што ја населиле оваа земја биле цели броеви. Кои броеви се нарекуваат природни броеви и како се означени?

Одговор:

Броевите 1, 2, 3, 4,…..се користат за броење предмети или за означување сериски броједна или друга ставка меѓу хомогени предмети, се нарекуваат природни (Н ).

Вербално броење

88-19 72:8 200-60

Одговори: 134; 61; 2180.

Ги имаше бесконечен број, но земјата, иако мала по ширина, беше бесконечна по должина, така што сè од еден до бесконечност се вклопуваше и ја формираше првата состојба, збир на природни броеви.

Работа на задача.

Земјата беше необично убава. На целата нејзина територија се наоѓале прекрасни градини. Тоа се цреша, јаболко, праска. Сега ќе погледнеме еден од нив.

На секои три дена има 20 отсто повеќе зрели цреши. Колку зрели плодови ќе има оваа цреша по 9 дена, ако на почетокот на набљудувањето на неа имало 250 зрели цреши?

Одговор: 432 зрели плодови ќе има на оваа цреша за 9 дена (300; 360; 432).

Самостојна работа.

Некои нови броеви почнаа да се населуваат на територијата на првата држава, а овие броеви заедно со природните формираа нова состојба, која ќе ја дознаеме со решавање на задачата.

Учениците имаат два листови хартија на нивните клупи:

1. Пресметајте:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6x1/3

1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)

Вежба:Поврзете ги сите природни броеви во низа без да ја кревате раката и именувајте ја добиената буква.

Одговори на тестот:

5 68 15 60

72 6 20 16

Прашање:Што значи овој симбол? Кои броеви се нарекуваат цели броеви?

Одговори: 1) Лево, од територијата на првата држава, се населил бројот 0, лево од него -1, уште подалеку лево -2 итн. до бесконечност. Овие броеви, заедно со природните броеви, формираа нова проширена состојба, множество цели броеви.

2) Природните броеви, нивните спротивни броеви и нулата се нарекуваат цели броеви ( З ).

Повторување на наученото.

1) Следната страница од нашата бајка е маѓепсана. Да го разочараме, исправајќи ги грешките.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

Одговори:

-27 4 27 0 (-27) = 0

-50 8 4 -36: 6

2) Ајде да продолжиме да ја слушаме приказната.

На слободни местадропките 2/5 беа додадени на бројната линија; −4/5; 3.6; −2,2;... Дропките, заедно со првите доселеници, ја формирале следната проширена состојба - збир од рационални броеви. ( П)

1) Кои броеви се нарекуваат рационални?

2) Дали која било цел број или децимална дропка е рационален број?

3) Покажете дека кој било цел број, која било децимална дропка е рационален број.

Задача на табла: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

Одговори:

1) Број што може да се напише како сооднос , каде што a е цел број, а n природен број, се нарекува рационален број .

2) Да.

3) .

Сега знаете цели броеви и дропки, позитивни и негативни броеви, а исто така и бројот нула. Сите овие бројки се нарекуваат рационални, што во превод на руски значи „ подложен на умот“.

Рационални броеви

позитивна нула негативна

цела дропка цела дропка

За во иднина успешно да студирате математика (и не само математика), треба добро да ги знаете правилата аритметички операциисо рационални броеви, вклучувајќи ги и знаците правила. И тие се толку различни! Нема да помине долго време за да се збуните.

Минута за физичко образование.

Динамична пауза.

Наставник:Секоја работа бара пауза. Ајде да се одмориме!

Ајде да правиме вежби за опоравување:

1) Еден, два, три, четири, пет -

Еднаш! Стани, повлечете се,

Две! Наведнете се, исправете се,

Три! Три плескање со рацете,

Три климање со главата.

Четири значи пошироки раце.

Петка - мавтајте со рацете. Шест - седете тивко на вашата маса.

(Децата вршат движења следејќи го наставникот според содржината на текстот.)

2) Брзо трепкајте, затворете ги очите и седнете таму брои пет. Повторете 5 пати.

3) Цврсто затворете ги очите, избројте до три, отворете ги и погледнете во далечината, броејќи до пет. Повторете 5 пати.

Историска страница.

Во животот, како и во бајките, луѓето постепено ги „откриваа“ рационалните броеви. Отпрвин, при броење предмети, се појавија природни броеви. На почетокот ги имаше малку. Отпрвин се појавија само броевите 1 и 2. Зборовите „солист“, „сонце“, „солидарност“ потекнуваат од латинскиот „solus“ (еден). Многу племиња немаа други бројки. Наместо „3“ рекоа „еден-два“, наместо „4“ рекоа „два-два“. И така до шест. А потоа дојде „многу“. Луѓето наидоа на фракции при делење на пленот и при мерење на количини. За полесно да се работи со дропки, тие биле измислени децимали. Тие беа воведени во Европа во 1585 година од холандски математичар.

Работа на равенки

Името на математичарот ќе го дознаете со решавање равенки и користење на координатната линија за да ја пронајдете буквата што одговара на дадена координата.

1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y – 3,4 = -7,4

4) – 0,8: x = -0,4 5)а · (-8) =0 6)м + (- )=

Е А Т М И О В Р Н У С

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Одговори:

6 (C) 4)2 (B)

-2 (Т) 5) 0 (I)

-4(E) 6)4(H)

СТЕВИН - холандски математичар и инженер (Симон Стевин)

Историска страница.

Наставник:

Без да се знае минатото во развојот на науката, невозможно е да се разбере нејзината сегашност. Луѓето научија да вршат операции со негативни броеви уште пред нашата ера. Замислија индиските математичари позитивни бројкикако „својства“, а негативните броеви како „долгови“. Вака индискиот математичар Брамагупта (VII век) поставил некои правила за извршување на операции со позитивни и негативни броеви:

„Збирот на два имоти е сопственост“

„Збирот на два долгови е долг“

„Збирот на имотот и долгот е еднаков на нивната разлика“,

„Производот на две средства или два долгови е имот“, „Производот на средства и долг е долг“.

Момци, ве молиме преведете ги древните индиски правила на современ јазик.

Порака на наставникот:

Како може да нема живот без сончева топлина,

Без зимски снег и без цветни лисја,

Во математиката нема операции без знаци!

Од децата се бара да погодат кој знак за акција недостасува.

Вежбајте. Пополнете го знакот што недостасува.

− 1,3 2,8 = 1,5

− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9

Одговори: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :

Самостојна работа(запишете ги одговорите на задачите на листот):

Споредете бројки

најдете ги нивните модули

спореди со нула

најдете ја нивната сума

најдете ја нивната разлика

најдете ја работата

најдете го количникот

напишете ги спротивните броеви

најдете го растојанието помеѓу овие броеви

10) колку цели броеви се наоѓаат меѓу нив

11) најдете го збирот на сите цели броеви лоцирани меѓу нив.

Критериуми за евалуација: сè беше решено правилно - „5“

1-2 грешки - „4“

3-4 грешки - „3“

повеќе од 4 грешки - „2“

Индивидуална работасо карти(дополнително).

Картичка 1. Реши ја равенката: 8.4 – (x – 3.6) = 18

Картичка 2. Реши ја равенката: -0,2x · (-4) = -0,8

Картичка 3. Решете ја равенката: =

Одговори на картички :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

Игра „Испит“.

Жителите на земјата живееја среќно, играа игри, решаваа проблеми, равенки и не поканија да играме за да ги сумираме резултатите.

Учениците одат на табла, земаат картичка и одговараат на прашањето напишано на задната страна.

Прашања:

1. Кој од двата негативни броја се смета за поголем?

2. Формулирајте го правилото за делење негативни броеви.

3. Формулирајте го правилото за множење негативни броеви.

4. Формулирајте правило за множење броеви со различни знаци.

5. Формулирајте правило за делење броеви со различни знаци.

6. Формулирајте го правилото за собирање негативни броеви.

7. Формулирајте правило за собирање броеви со различни знаци.

8.Како да се најде должината на отсечка на координатна права?

9. Кои броеви се нарекуваат цели броеви?

10. Кои броеви се нарекуваат рационални?

Сумирајќи.

Наставник:Денес домашна работаќе биде креативен:

Подгответе порака „Позитивни и негативни броеви околу нас“ или составете бајка.

« Ви благодариме за лекцијата!!!"

Во оваа лекција ќе се потсетиме на основните својства на операциите со броеви. Ние не само што ќе ги разгледаме основните својства, туку и ќе научиме како да ги примениме на рационални броеви. Ќе го консолидираме целото знаење стекнато со решавање на примери.

Основни својства на операциите со броеви:

Првите две својства се својства на собирање, следните две се својства на множење. Петтата особина се однесува на двете операции.

Нема ништо ново во овие имоти. Тие важеа и за природни и за целобројни броеви. Тие важат и за рационалните броеви и ќе важат и за броевите што ќе ги проучуваме следната (на пример, ирационални броеви).

Карактеристики на пермутација:

Преуредувањето на термините или факторите не го менува резултатот.

Комбинирани својства:, .

Додавањето или множењето на повеќе броеви може да се направи по кој било редослед.

Својство на дистрибуција:.

Својството ги поврзува двете операции - собирање и множење. Исто така, ако се чита од лево кон десно, тогаш се нарекува правило за отворање загради, а ако во задната страна- правило за пресудување заеднички мултипликаторнадвор од загради.

Следниве две својства опишуваат неутрални елементиза собирање и множење: со собирање нула и множење со еден не се менува оригиналниот број.

Уште две својства кои опишуваат симетрични елементи за собирање и множење, збирот на спротивни броеви е нула; работа реципрочни броевиеднакво на еден.

Следен имот: . Ако некој број се помножи со нула, резултатот секогаш ќе биде нула.

Последното својство што ќе го разгледаме е: .

Помножувајќи го бројот со , добиваме спротивен број. Овој имот има посебна карактеристика. Сите други разгледани својства не може да се докажат со користење на другите. Истиот имот може да се докаже со користење на претходните.

Множење со

Да докажеме дека ако помножиме број со , ќе го добиеме спротивниот број. За ова го користиме својството на дистрибуција: .

Ова важи за сите бројки. Да го замениме и наместо бројот:

Лево во загради е збирот на меѓусебно спротивни броеви. Нивниот збир е нула (имаме такво својство). На левата страна сега. Од десната страна, добиваме: .

Сега имаме нула лево, а збирот на два броја десно. Но, ако збирот на два броја е нула, тогаш овие броеви се меѓусебно спротивни. Но, бројот има само еден спротивен број: . Значи, еве што е: .

Имотот е докажан.

Таквото својство, кое може да се докаже со користење на претходни својства, се нарекува теорема

Зошто тука нема својства за одземање и делење? На пример, може да се напише дистрибутивното својство за одземање: .

Но бидејќи:

Одземањето на кој било број може еквивалентно да се запише како собирање со замена на бројот со неговата спротивност:

Поделбата може да се запише како множење со неговото реципрочно:

Ова значи дека својствата на собирање и множење може да се применат при одземање и делење. Како резултат на тоа, списокот на својства што треба да се запомнат е пократок.

Сите својства што ги разгледавме не се исклучиво својства на рационални броеви. Други броеви, на пример, ирационални, исто така ги почитуваат сите овие правила. На пример, збирот на неговиот спротивен број е нула: .

Сега ќе преминеме на практичниот дел, решавајќи неколку примери.

Рационални броеви во животот

Се нарекуваат оние својства на предметите што можеме да ги опишеме квантитативно, да ги означиме со некој број вредности: должина, тежина, температура, количина.

Истата количина може да се означи и со цел број и со дробен број, позитивен или негативен.

На пример, вашата висина е m - фракционен број. Но, можеме да кажеме дека е еднакво на cm - ова е веќе цел број (слика 1).

Ориз. 1. Илустрација на пример

Уште еден пример. Негативна температура на Целзиусова скала ќе биде позитивна на Келвиновата скала (сл. 2).

Ориз. 2. Илустрација на пример

Кога се гради ѕидот на куќа, едно лице може да ја измери ширината и висината во метри. Тој успева фракциони вредности. Сите понатамошни пресметки ќе ги изврши со дробни (рационални) броеви. Друго лице може да измери сè во бројот на тули во ширина и висина. Откако добил само цели броеви, тој ќе изврши пресметки со цели броеви.

Самите величини не се ниту цел број, ниту дробни, ниту негативни ниту позитивни. Но, бројот со кој ја опишуваме вредноста на количината е веќе доста специфичен (на пример, негативен и фракционо). Тоа зависи од мерната скала. И кога ќе преминеме од вистинските вредности во математички модел, потоа работиме со одреден тип на броеви

Да почнеме со додавање. Условите може да се преуредат на кој било начин што ни е погодно, а дејствата може да се вршат по кој било редослед. Ако термините на различни знаци завршуваат со иста цифра, тогаш е погодно прво да се извршат операции со нив. За да го направите ова, ајде да ги замениме условите. На пример:

Заеднички дропки со исти именителилесно се преклопува.

Спротивните броеви се собираат на нула. Броевите со исти децимални опашки лесно се одземаат. Користејќи ги овие својства, како и комутативниот закон за собирање, можете да го олесните пресметувањето на вредноста на, на пример, следниов израз:

Броевите со комплементарни децимални опашки лесно се додаваат. Со целина и во дробни делови мешани броевипогодно за работа одделно. Ги користиме овие својства кога ја пресметуваме вредноста на следниот израз:

Да преминеме на множење. Постојат парови на броеви кои лесно се множат. Користејќи го комутативното својство, можете да ги преуредите факторите така што тие да бидат соседни. Бројот на минусите во производот може веднаш да се изброи и да се донесе заклучок за знакот на резултатот.

Размислете за овој пример:

Доколку од факторите еднаква на нула, тогаш производот е еднаков на нула, на пример: .

Производот на реципрочни броеви е еднаков на еден, а множењето со еден не ја менува вредноста на производот. Размислете за овој пример:

Ајде да погледнеме пример користејќи го дистрибутивното својство. Ако ги отворите заградите, тогаш секое множење е лесно.

Основни својства на операциите со броеви:

Карактеристики на пермутација:

Преуредувањето на термините или факторите не го менува резултатот.

Комбинирани својства:, .

Додавањето или множењето на повеќе броеви може да се направи по кој било редослед.

Својство на дистрибуција:.

Својството ги поврзува двете операции - собирање и множење. Исто така, ако го читате од лево кон десно, тогаш тоа се нарекува правило за отворање загради, а ако е во спротивна насока, се нарекува правило за ставање на заедничкиот фактор надвор од загради.

Уште две својства кои опишуваат симетрични елементиза собирање и множење, збирот на спротивни броеви е нула; производот на реципрочните броеви е еднаков на еден.

Следен имот: . Ако некој број се помножи со нула, резултатот секогаш ќе биде нула.

Последното својство што ќе го разгледаме е: .

Со множење на број со , го добиваме спротивниот број. Овој имот има посебна карактеристика. Сите други разгледани својства не може да се докажат со користење на другите. Истиот имот може да се докаже со користење на претходните.

Множење со

Ова важи за сите бројки. Да го замениме и наместо бројот:

Имотот е докажан.

Таквото својство, кое може да се докаже со користење на претходни својства, се нарекува теорема

Но бидејќи:

Одземањето на кој било број може еквивалентно да се запише како собирање со замена на бројот со неговата спротивност:

Поделбата може да се запише како множење со неговото реципрочно:

Сега ќе преминеме на практичниот дел, решавајќи неколку примери.

Рационални броеви во животот

Истата количина може да се означи и со цел број и со дробен број, позитивен или негативен.

На пример, вашата висина m е фракционен број. Но, можеме да кажеме дека е еднакво на cm - ова е веќе цел број (слика 1).

Ориз. 1. Илустрација на пример

Уште еден пример. Негативна температура на Целзиусова скала ќе биде позитивна на Келвиновата скала (сл. 2).

Ориз. 2. Илустрација на пример

Кога се гради ѕидот на куќа, едно лице може да ја измери ширината и висината во метри. Тој произведува фракциони количини. Сите понатамошни пресметки ќе ги изврши со дробни (рационални) броеви. Друго лице може да измери сè во бројот на тули во ширина и висина. Откако добил само цели броеви, тој ќе изврши пресметки со цели броеви.

Самите величини не се ниту цел број, ниту дробни, ниту негативни ниту позитивни. Но, бројот со кој ја опишуваме вредноста на количината е веќе доста специфичен (на пример, негативен и фракционо). Тоа зависи од мерната скала. И кога преминуваме од реални количини на математички модел, работиме со специфичен тип на броеви

Обичните дропки со слични именители лесно се собираат.

Броевите со комплементарни децимални опашки лесно се додаваат. Удобно е да се работи со цели и фракциони делови од мешани броеви одделно. Ги користиме овие својства кога ја пресметуваме вредноста на следниот израз:

Размислете за овој пример:

Ако еден од факторите е еднаков на нула, тогаш производот е еднаков на нула, на пример: .