• Системи м линеарни равенкиСо nнепознат.
  Решавање на систем од линеарни равенки- ова е таков збир на броеви ( x 1 , x 2 , ..., x n), кога се заменува во секоја од равенките на системот, се добива точната еднаквост.
  Каде a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— системски коефициенти;
  b i, i = 1, …, m- слободни членови;
  x j, j = 1, …, n- непознато.
  Горенаведениот систем може да се напише во форма на матрица: A X = B,
  
  
  
  
  Каде ( А|Б) е главната матрица на системот;
  А— проширена системска матрица;
  X— колона непознати;
  Б— колона од слободни членови.
  Ако матрица Бтогаш не е нулта матрица ∅ овој системлинеарните равенки се нарекуваат нехомогени.
  Ако матрица Б= ∅, тогаш овој систем на линеарни равенки се нарекува хомоген. Хомоген систем секогаш има нула (тривијално) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Заеднички систем на линеарни равенкие систем од линеарни равенки кој има решение.
  Неконзистентен систем на линеарни равенкие нерешлив систем на линеарни равенки.
  Одреден систем на линеарни равенкие систем од линеарни равенки кој има единствено решение.
  Неопределен систем на линеарни равенки- има бесконечно множестворешенија на систем од линеарни равенки.
• Системи од n линеарни равенки со n непознати
  Ако бројот на непознати е еднаков на бројот на равенки, тогаш матрицата е квадратна. Детерминантата на матрицата се нарекува главна детерминанта на системот на линеарни равенки и се означува со симболот Δ.
  Крамер методза решавање системи nлинеарни равенки со nнепознат.
  Правило на Крамер.
  Ако главна детерминантасистеми на линеарни равенки не се еднаква на нула, тогаш системот е конзистентен и дефиниран, а единственото решение се пресметува со помош на формулите на Крамер:
  каде Δ i се детерминанти добиени од главната детерминанта на системот Δ со замена јасколона до колоната слободни членови. .
• Системи од m линеарни равенки со n непознати
  Теорема Кронекер-Капели.
  
  
  За да може даден систем на линеарни равенки да биде конзистентен, потребно е и доволно рангот на системската матрица да биде еднаков на рангот на проширената матрица на системот, ранг(Α) = ѕвонење(Α|Б).
  Ако ранг(Α) ≠ ринг(Α|Б), тогаш системот очигледно нема решенија.
  Ако ранг(Α) = ѕвонење(Α|Б), тогаш можни се два случаи:
  1) ранг(Α) = n(број на непознати) - решението е единствено и може да се добие со помош на формулите на Крамер;
  2) ранг (Α)< n - има бескрајно многу решенија.
• Гаусовиот методза решавање системи на линеарни равенки
  
  
  Ајде да создадеме проширена матрица ( А|Б) на даден систем од коефициентите на непознатите и десните страни.
  Гаусовиот метод или методот на елиминирање непознати се состои од намалување на проширената матрица ( А|Б) користејќи елементарни трансформации над неговите редови до дијагонална форма (до горната страна триаголен поглед). Враќајќи се во системот на равенки, се одредуваат сите непознати.
  ДО елементарни трансформациинад линиите се следните:
  1) заменете две линии;
  2) множење на низа со број различен од 0;
  3) додавање на друга низа на низа, помножена со произволен број;
  4) исфрлање на нулта линија.
  Проширената матрица сведена на дијагонална форма одговара на линеарен систем, еквивалентно на оваа, чиешто решение не предизвикува потешкотии. .
• Систем на хомогени линеарни равенки.
  Хомоген систем има форма:
  
  одговара на тоа матрична равенка A X = 0.
  1) Хомоген систем е секогаш конзистентен, бидејќи r(A) = r(A|B), секогаш постои нула решение (0, 0, …, 0).
  2) За хомоген систем да има ненулта решение потребно е и доволно тоа r = r(A)< n , што е еквивалентно на Δ = 0.
  3) Ако р< n , тогаш очигледно Δ = 0, тогаш се појавуваат слободни непознати c 1 , c 2 , ..., c n-r, системот има нетривијални решенија, а ги има бескрајно многу.
  4) Општо решение Xна р< n може да се пишува во форма на матрица на следниот начин:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  каде се решенијата X 1, X 2, ..., X n-rформираат основен систем на решенија.
  5) Основниот систем на решенија може да се добие од општо решение хомоген систем:
  
  ,
  ако последователно ги поставиме вредностите на параметарот еднакви на (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0,…, 1).
  Проширување на општото решение во фундаментален системрешенијае запис на општо решение во форма на линеарна комбинација на решенија кои припаѓаат на основниот систем.
  Теорема. Со цел линеарниот систем хомогени равенкиимал ненула решение, потребно е и доволно Δ ≠ 0.
  Значи, ако детерминантата Δ ≠ 0, тогаш системот има единствено решение.
  Ако Δ ≠ 0, тогаш системот на линеарни хомогени равенки има бесконечен број решенија.
  Теорема. За хомоген систем да има ненула решение потребно е и доволно тоа r(A)< n .
  Доказ:
  1) рне може да има повеќе n(рангот на матрицата не го надминува бројот на колони или редови);
  2) р< n , бидејќи Ако r = n, тогаш главната детерминанта на системот Δ ≠ 0 и, според формулите на Крамер, постои единствено тривијално решение x 1 = x 2 = … = x n = 0, што е во спротивност со состојбата. Средства, r(A)< n .
  Последица. Со цел за хомоген систем nлинеарни равенки со nнепознатите имале решение не нула, потребно е и доволно Δ = 0.

Системи на линеарни равенки

Системот на равенки е како што следува:

каде што a ij, b i се нумерички коефициенти, x i се променливи, повикани систем на линеарни равенки.

Да се ​​реши систем на линеарни равенки значи да се означат сите решенија на системот, односно такви множества на вредности на променливи кои ги претвораат равенките на системот во идентитети.

Системот на линеарни равенки се нарекува:

спој ако има барем едно решение;

неконзистентно ако нема решенија;

дефинитивно дали има единствено решение;

хомогена ако сите b i = 0;

хетерогени ако сите b i ≠ 0.

Правило на Крамер

(Габриел Крамер (1704-1752) швајцарски математичар)

Овој метод е применлив само во случај на системи на линеарни равенки, каде што бројот на променливи се совпаѓа со бројот на равенки. Дополнително, неопходно е да се воведат ограничувања на системските коефициенти. Неопходно е сите равенки да бидат линеарно независни, т.е. ниту една равенка не би била линеарна комбинација на другите.

За да го направите ова, неопходно е детерминантата на системската матрица да не е еднаква на 0.

 = det A  0;

Теорема. (правило на Крамер):

Систем од n равенки со n непознати

Ако детерминантата на системската матрица не е еднаква на нула, тогаш системот има единствено решение и ова решение се наоѓа со помош на формулите:

x i = ;

Каде  - главна одредница, составен од нумерички коефициенти за непознати, и  i – помошен квалификатор, добиен од главната со замена на i-тата колона со колона од слободни членови b i.

 i =

Пример. Решете го системот користејќи го Крамеровото правило.

;

 1 =
;  2 =
;  3 =
;

x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;

Пример. Најдете го решението на системот равенки:

 =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

 1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Ако системот е хомоген, т.е. b i = 0, тогаш на 0 системот има единствено нула решение x 1 = x 2 = … = x n = 0.

Матричен метод

Матричниот метод е применлив за решавање системи на равенки каде што бројот на равенки е еднаков на бројот на непознати.

Овој метод е погоден за решавање системи со низок ред. Се заснова на примена на својствата на матричното множење.

Нека е даден системот на равенки:

Да ја воведеме следната нотација:

A=
- матрица на системски коефициенти;

B = матрица – колона од слободни поими;

X = - матрица – колона од непознати.

Системот на равенки може да се напише во форма на матрица:

Да ја направиме следната трансформација: A -1 AX = A -1 B,

бидејќи A -1 A = E, потоа EX = A -1 B, добиваме

X = А -1  Б - решение на матричната равенка

Пример . Решете го системот користејќи го методот на матрица

Решение. Да означиме:

,
,
.

Ја добиваме матричната равенка
.

Неговата одлука
, т.е.

(Наоѓањето на инверзната матрица беше дискутирано претходно).

Гаусовиот метод

(Карл Фридрих Гаус (1777-1855) германски математичар)

За разлика од методот на матрица и методот Крамер, методот на Гаус може да се примени на системи на линеарни равенки со кој било бројравенки и непознати. Суштината на методот е доследно исклучувањенепознат.

Размислете за систем на линеарни равенки:

Дефиниција:Матрица составена од коефициенти за непознати системи, се нарекува системска матрица.

Дефиниција:Матрицата се нарекува проширена матрица на системот ако колона од слободни термини на системот се додаде на матрицата А.

Проширената матрица е кодиран запис на системот. Редовите на матрицата одговараат на равенките на системот. Множење на равенка со број и додавање на овој производ со друга равенка е еквивалентно на множење на матрична редица со овој број и додавање на производот термински со друга матрична редица. Така, работата со равенки може да се замени со работа со матрични редови.

Дефиниција:Матрицата А се нарекува постепено ако:

А) кој било од неговите редови има најмалку еден елемент кој не е нула,

Б) првиот ненулти елемент од секоја линија, почнувајќи од втората, се наоѓа десно од ненултиот елемент од претходната линија.

Гаусовиот метод е ефективен метод за решавање и проучување на системи на линеарни равенки. Се состои во тоа што овој систем на линеарни равенки се трансформира во еквивалентен систем од тип на чекор, кој лесно се решава и проучува. Примената на Гаусовиот метод не зависи ниту од бројот на равенки ниту од бројот на непознати во системот.

Ајде да ја разгледаме идејата за Гаусовиот метод користејќи конкретни примери.

Пример. Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус.

Ајде да создадеме проширена матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во форма:

, од каде добиваме: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Пример. Решете го системот користејќи го Гаусовиот метод.

Ајде да создадеме проширена матрица на системот.

Така, оригиналниот систем може да се претстави како:

Објаснувачка белешка за проект на курсот

Проект на курсот

И третата колона од матрицата, ја наоѓаме помошен квалификации: Најди ги коефициентите на полиномот: Така... производ: Најди го производот: Најди го главниот детерминанта: Ние најдовме помошен квалификациии, заменувајќи ја матрицата една по една во ...

Методолошки препораки за вршење воннаставна самостојна работа на ученик од дисциплината „Математика“ за специјалноста

Насоки

Пример: пресметај детерминантавтор ред 1) 2) 2. Пресметај детерминантатрет ред Детерминантатрет ред се вика... од коефициентите на непознатите Ајде да составиме помошен квалификациисистем како што следува: ... Потоа...

Руската Федерација како учебник за студенти на високообразовни институции кои студираат лингвистички специјалитети Москва „Висока школа“ 2002 г.

Тетратка

Надополнувачи, помошенглаголи, аспекти и фазни глаголи, засилувачки прилози, показни квалификации; хетероген... со комбинирање на „материјален“ збор со „ помошен-граматички“ збор. Според тоа, и ...

Страница 1

Главната детерминанта е составена така што првата колона содржи коефициенти за параметарот што е нацртан на хоризонталната оска. ВО во овој случајприфатено е дека klK е одложен за вертикална оска, a & 2it - хоризонтално.

Главната детерминанта е еднаква на нула, а најмалку една помошна детерминанта не е еднаква на нула.

Главната детерминанта - Хурвиц е составена на следниов начин.

Графикон /C4 - x и неговите скелети.

Главната детерминанта на матрицата P (или Q) е од редот m, а изразот соодветните главни детерминанти значи дека колоните од матрицата P вклучени во предметната детерминанта имаат исти броеви и ист ред како и редовите на матрицата Q вклучена во другата детерминанта.

Главната детерминанта D (p), наречена карактеристика, не зависи ниту од саканата променлива ниту од локацијата на примена на вознемирувачката сила.

Ја составуваме главната детерминанта А.

Ја составуваме главната детерминанта на системот и ја изедначуваме на нула. Стабилноста ја оценуваме според природата на корените. Степенот на карактеристичната равенка се одредува со бројот на енергетски интензивни елементи кои независно акумулираат енергија, земајќи ги предвид половите на секој од контролираните извори зависни од фреквенцијата достапни во колото. Во некои случаи, при проучување на стабилноста, неопходно е да се земе предвид не само првиот доминантен пол на оп-засилувач или транзистор, туку и останатите полови.

Бидејќи главната детерминанта на системот (3.50) е еднаква на нула, сопствените вектори не се одредуваат единствено, туку во рамките на константен фактор.

Да ја изразиме главната детерминанта D [формула (8.35)] преку параметрите на колото.

Ако главната детерминанта на систем од n линеарни равенки со n непознати не е еднаква на нула, тогаш системот има единствено решение, но ако оваа детерминанта е еднаква на нула, тогаш системот е или неизвесен или неконзистентен.

Ако главната детерминанта на хомоген систем (9) не е еднаква на нула, тогаш, според претходната теорема, системот има единствено решение. Ова решение е тривијално. Ако главната детерминанта е еднаква на нула, тогаш системот, во согласност со теорема 2, може да биде или неконзистентен или неопределен. Сепак, системот на равенки (9) не може да биде неконзистентен, бидејќи постои тривијално решение.

Ако главната детерминанта на хомоген систем (9) не е еднаква на нула, тогаш, според претходната теорема, системот има единствено решение. Ова решение е тривијално. Ако главната детерминанта е еднаква на нула, тогаш системот. Сепак, системот на равенки (9) не може да биде неконзистентен, бидејќи постои тривијално решение.

Ако главната детерминанта на хомоген систем (9) не е еднаква на нула, тогаш, според претходната теорема, системот има единствено решение. Ова решение е тривијално. Ако главната детерминанта е еднаква на нула, тогаш системот, во согласност со теорема 2, може да биде или неконзистентен или неопределен. Сепак, системот на равенки (9) не може да биде неконзистентен, бидејќи постои тривијално решение.

КОСТРОМА ОДВОЈ НА ВОЕНИОТ УНИВЕРЗИТЕТ ЗА ЗАШТИТА НА РЦБ

Оддел за автоматизација на контрола на трупите

Само за наставници

"Одобрувам"

Раководител на одделение бр.9

Полковник ЈАКОВЛЕВ А.Б.

„____“______________ 2004 г

Вонреден професор А.И.СМИРНОВА

„КВАЛИФИКАЦИИ.

РЕШЕНИЕ НА СИСТЕМИ НА ЛИНЕАРНИ РАВЕНКИ“

ПРЕДАВАЊЕ бр.2 / 1

Дискутирано на состанокот на одделот бр.9

„____“___________ 2004 г

Протокол бр.___________

Кострома, 2004 година.

Вовед

1. Детерминанти од втор и трет ред.

2. Својства на детерминантите. Теорема на распаѓање.

3. Теорема на Крамер.

Заклучок

Литература

1. В.Е. Шнајдер и сор. Краток курсВиша математика, том I, гл. 2, став 1.

2. В.С. Шчипачев, Виша математика, поглавје 10, став 2.

ВОВЕД

Предавањето дискутира за детерминанти на вториот и третиот ред и нивните својства. И, исто така, теоремата на Крамер, која ви овозможува да решавате системи на линеарни равенки користејќи детерминанти. Детерминантите се користат и подоцна во темата „Векторска алгебра“ при пресметувањето векторски производвектори.

Прво студиско прашање ДЕТЕРМИНАНТИ НА ВТОРАТА И ТРЕТАТА

СО ЦЕЛ

Размислете за табела со четири броеви на формата

Броевите во табелата се означени со буква со два индекси. Првиот индекс го означува бројот на редот, вториот бројот на колоната.

ДЕФИНИЦИЈА 1. Детерминанта од втор ред повикани изразување љубезен :

(1)

Броеви А 11, …, А 22 се нарекуваат елементи на детерминантата.

Дијагонала, формирана од елементи А 11 ; А 22 се нарекува главен, а дијагоналата формирана од елементите А 12 ; А 21 - рамо до рамо.

Така, детерминантата од втор ред е еднаква на разликата помеѓу производите на елементите на главната и секундарната дијагонала.

Забележете дека одговорот е бројка.

ПРИМЕРИ.Пресметајте:

Сега разгледајте табела од девет броеви, напишана во три реда и три колони:

ДЕФИНИЦИЈА 2. Детерминанта од трет ред наречен израз на формата :

Елементи А 11; А 22 ; А 33 – формирајте ја главната дијагонала.

Броеви А 13; А 22 ; А 31 – формирајте странична дијагонала.

Дозволете ни да прикажеме шематски како се формираат термините плус и минус:

" + " " – "

Плус вклучува: производ на елементите на главната дијагонала, преостанатите два члена се производ на елементите лоцирани на темињата на триаголниците со основи паралелни на главната дијагонала.

Термините на минус се формираат според истата шема во однос на секундарната дијагонала.

Ова правило за пресметување на детерминантата од трет ред се нарекува

Правило Т реуголников.

ПРИМЕРИ.Пресметајте користејќи го правилото за триаголник:

КОМЕНТАР. Детерминантите се нарекуваат и детерминанти.

Второ студиско прашање СВОЈСТВА НА ДЕТЕМИНАНТИ.

ТЕОРЕМА НА ПРОШИРУВАЊЕ

Имотот 1. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако нејзините редови се заменат со соодветните колони.

.

Откривајќи ги двете детерминанти, се уверуваме во валидноста на еднаквоста.

Својството 1 ја утврдува еднаквоста на редовите и колоните на детерминантата. Затоа, ќе ги формулираме сите понатамошни својства на детерминантата и за редови и за колони.

Имотот 2. При преуредување два реда (или колони), детерминантата го менува својот знак во спротивниот, задржувајќи ја својата апсолутна вредност .

.

Имотот 3. Вкупен мултипликаторелементи на редот (или колона)може да се извади како детерминантен знак.

.

Имотот 4. Ако детерминантата има две идентични редови (или колони), тогаш таа е еднаква на нула.

Ова својство може да се докаже со директна проверка, или можете да го користите имотот 2.

Да ја означиме детерминантата со D. Кога ќе се преуредат две идентични први и втори редови, таа нема да се промени, но според второто својство мора да го смени знакот, т.е.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Имотот 5. Ако сите елементи на стрингот (или колона)се еднакви на нула, тогаш детерминантата е еднаква на нула.

Овој имот може да се смета како посебен случајсвојства 3 на

Имотот 6. Ако елементите од две линии (или колони)детерминантите се пропорционални, тогаш детерминантата е еднаква на нула.

.

Може да се докаже со директна верификација или со користење на својствата 3 и 4.

Имотот 7. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако соодветните елементи од друга редица (или колона) се додадат на елементите на ред (или колона), помножени со ист број.

.

Докажано со директна верификација.

Апликација наведените својстваможе во некои случаи да го олесни процесот на пресметување на детерминантите, особено од трет ред.

За она што следи ќе ни требаат концептите на минор и алгебарски комплемент. Ајде да ги разгледаме овие концепти за да го дефинираме третиот ред.

ДЕФИНИЦИЈА 3. Малолетни на даден елемент од детерминанта од трет ред се нарекува детерминанта од втор ред добиена од даден елемент со вкрстување на редот и колоната на чиј пресек стои дадениот елемент.

Мала елемент А јас јозначено со М јас ј. Значи за елементот А 11 малолетни

Се добива со вкрстување на првиот ред и првата колона во одредницата од трет ред.

ДЕФИНИЦИЈА 4. Алгебарски комплемент на елементот на детерминантата го викаат минор помножено со (-1)к , Каде к - збирот на броевите на редовите и колоните на чиј пресек стои овој елемент.

Алгебарски комплемент на елемент А јас јозначено со А јас ј .

Така, А јас ј =

.

Да ги запишеме алгебарските дополнувања за елементите А 11 и А 12.

. .

Корисно правило што треба да се запамети: алгебарски комплементелементот на детерминантата е еднаков на неговиот потпишан минор Плус, ако збирот на броевите на редовите и колоните во кои се појавува елементот е дури,и со знак минус, ако оваа сума чудно .

Матрица - правоаголна маса, составена од броеви.

Нека се даде квадратна матрица 2 нарачки:

Детерминантата (или детерминантата) од редот 2 што одговара на дадена матрица е бројот

Детерминанта (или детерминанта) од 3 ред што одговара на матрица е број

Пример 1: Најдете детерминанти на матрици и

Систем на линеарни алгебарски равенки

Нека е даден систем од 3 линеарни равенки со 3 непознати

Системот (1) може да се запише во матрица-векторска форма

каде А е матрицата на коефициентите

Б - продолжена матрица

X е потребниот вектор на компонента;

Решавање системи на равенки со помош на Крамеровиот метод

Нека е даден систем од линеарни равенки со две непознати:

Да разгледаме решавање на системи на линеарни равенки со две и три непознати користејќи ги формулите на Крамер. Теорема 1. Ако главната детерминанта на системот е различна од нула, тогаш системот има решение и единствено. Решението на системот се одредува со формулите:

каде што x1, x2 се корените на системот на равенки,

Главната детерминанта на системот, x1, x2 се помошни детерминанти.

Помошни квалификации:

Решавање системи на линеарни равенки со три непознати со помош на Крамеровиот метод.

Нека е даден систем од линеарни равенки со три непознати:

Теорема 2. Ако главната детерминанта на системот е различна од нула, тогаш системот има решение и единствено. Решението на системот се одредува со формулите:

каде што x1, x2, x3 се корените на системот на равенки,

Главната детерминанта на системот,

x1, x2, x3 се помошни детерминанти.

Главната детерминанта на системот се определува со:

Помошни квалификации:

• 1. Направете табела (матрица) на коефициенти за непознати и пресметајте ја главната детерминанта.
• 2. Најдете - дополнителна детерминанта на x добиена со замена на првата колона со колона од слободни членови.
• 3. Најдете - дополнителна детерминанта на y добиена со замена на втората колона со колона од слободни членови.
• 4. Најдете - дополнителна детерминанта на z, добиена со замена на третата колона со колона од слободни членови. Ако главната детерминанта на системот не е еднаква на нула, тогаш се врши чекор 5.
• 5. Најдете ја вредноста на променливата x користејќи ја формулата x / .
• 6. Најдете ја вредноста на променливата y користејќи ја формулата y /.
• 7. Најдете ја вредноста на променливата z користејќи ја формулата z / .
• 8. Запиши го одговорот: x=...; y=…, z=….