ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ.

2015-06-04

ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದ
ಮುಖ್ಯ ವಾದಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು $z = a+bi$ ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ $a,b$ - ಈ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು. ಆದರೆ $(a,b)$ ಎಂಬ ಆದೇಶದ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(a, b)$ ಜೊತೆಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಬಿಂದುವು $z$ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, $Ox$ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ), ಮತ್ತು $Oy$ ಅಕ್ಷವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ).

$M(a,b)$ ಬಿಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z$ ಅನ್ನು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಅಫಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $bi$ ($a = 0$ ಗೆ) ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಂದು O ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ.1
ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 1, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು $Ox$ ಅಕ್ಷದ (ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ $z_(1)$ ಮತ್ತು $z_(8)$ ಬಿಂದುಗಳು) ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $z$ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದು $M$ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, $\vec(OM)$ $O$ ನಿಂದ $M$ ಗೆ ಮುನ್ನಡೆಯುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೂಡ; ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ $z$ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 2, ಮತ್ತು $z_(1), z_(2)$ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ $\vec(OM_(1)), \vec ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. (OM_(2)) $ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಲಗಳು ಅಥವಾ ವೇಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು). ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಜೊತೆಗೆ ಸೇರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ವಿರುದ್ಧ ವೆಕ್ಟರ್(ಚಿತ್ರ 2, ಬಿ).

ಅಕ್ಕಿ. 3
ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅದರ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $r, \phi$ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ - ಬಿಂದುವಿನ ಅಫಿಕ್ಸ್ - $r$ ಮತ್ತು $\phi$ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಜೂರದಿಂದ. 3 $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ $z$ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಜ್ಯ $z$, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಸಂಖ್ಯೆ.

$M$ ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವನ್ನು ಈ ಬಿಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ $z$ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದವನ್ನು (ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನದಂತೆ) ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ; $\phi_(0)$ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ $Arg \: z$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು: ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ $|z| ನೀಡಲಾಗಿದೆ = r$ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ $\phi$ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಏಕವಚನನೀಡಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೊಂದಿರುವ $z$. ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ವಾದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಕರೆಯಲು ಒಬ್ಬರು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದನ್ನು $arg \: z$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಾದದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ
$0 \leq arg \: z (ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು $- \pi

ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಾವು ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ:
$arg \: a = \begin(ಕೇಸ್) 0, & \text(if) a>0, \\
\pi, & \text(if) a $arg \: bi = \begin(cases) \frac(\pi)(2), & \text(if) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \text(if) b

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು (ಅಂತೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಅಂಕಗಳನ್ನು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ( ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಅಂಕಗಳು) ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(ನಾವು $z = a + bi$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ).

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $z_(1)$ ಮತ್ತು $z_(2)$ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಾಡುಲಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವಧಿಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆ $2 \pi $.

ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac(b )(ಎ)$ (3)
ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು (1). ವಾದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ (ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ), ನೀವು ಒಂದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು$\cos \phi$ ಅಥವಾ $\sin \phi$ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:
a) $6 + 6i $; ಬಿ) $3i$; ಸಿ) $-10$.
ಪರಿಹಾರ, ಎ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
ಎಲ್ಲಿಂದ $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \ಎಡ (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \ಬಲ)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi $;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಜೋಡಣೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೇರುಗಳು. ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಸಂಕೀರ್ಣ ವಾದ. ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರ. ಪ್ರದರ್ಶನ ರೂಪಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ: ಏಕೀಕರಣ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು- ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ಎಂಬುದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆದೇಶದ ಜೋಡಿ (a,b) : z = (a,b) ("ಆರ್ಡರ್ಡ್" ಎಂಬ ಪದವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ: (a ,b)≠(b,a )). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ ನೈಜ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು a = Re z ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ b ಅನ್ನು z: b = Im z ನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.2. ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z 1 = (a 1 , b 1) ಮತ್ತು z 2 = (a 2 , b 2) ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, a 1 = a 2 , b 1 = ಬಿ 2

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

1. ಮೊತ್ತಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z 1 =(a 1, b 1) ಮತ್ತು z 2 =(a 2, b 2 z =(a,b) ಅಂದರೆ a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2.ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; b) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; ಸಿ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 0 = (0,0): z + 0 =zಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ z.

2. ಕೆಲಸಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z 1 =(a 1, b 1) ಮತ್ತು z 2 =(a 2, b 2) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z =(a,b) ಅಂದರೆ a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1.ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, ವಿ) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಎ, 0) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ 1 = (1,0) ಅದರ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: 1∙ z = z.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.3.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ (0, ಬಿ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ (0,1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ i.

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1) i∙i=i² = -1; 2) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ (0, ಬಿ) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ( b, 0) ಮತ್ತು i: (b, 0) = b∙ i.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = (a,b) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.4. z = a + ib ರೂಪದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳುಬೀಜಗಣಿತ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.5. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು z = a + ib ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ವ್ಯವಕಲನಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: z =(a,b) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z 1 =(a 1, b 1) ಮತ್ತು z 2 =(a 2, b 2), ವೇಳೆ a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. ವಿಭಾಗಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ: ಸಂಖ್ಯೆ z = a + ibವಿಭಜನೆಯ ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z 1 = a 1 + ib 1ಮತ್ತು z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), ವೇಳೆ z 1 = z ∙ z 2 .ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂಶದ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z =(a,b) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ( a,b) ಅಥವಾ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ವೆಕ್ಟರ್ ( a,b).

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಘಟಕಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕೋನ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ x- ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ, - ವಾದಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a = ρ cos φ, ಬಿ = ρಪಾಪ φ, ಎಲ್ಲಿ ρ = |z| - ಘಟಕ z,ಮತ್ತು φ = arg z ಅದರ ವಾದವಾಗಿದೆ, ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.6.ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಪ್ರಕಾರ

z = ρ(ಕಾಸ್ φ + iಪಾಪ φ ) (7.1)

ಎಂದು ಕರೆದರು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು.

ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಮತ್ತು ಬಿ: . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 2π ನ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದದವರೆಗೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಗುಣಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಆಮೇಲೆ ಬಿಡಿ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅವರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಾದವು ಅವರ ವಾದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದರಂತೆ, ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಅಂಶದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಾದವು ಅವರ ವಾದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಘಾತ:

- ಮೊವಿರ್ ಸೂತ್ರ.

ಪಡೆದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು ಶಿಲಾಯುಗಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನದು - ಪ್ಯಾಲಿಯೊಮೆಲಿಟಿಕ್. ಇವುಗಳು "ಒಂದು", "ಕೆಲವು" ಮತ್ತು "ಹಲವು". ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಟುಗಳು, ಗಂಟುಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಮಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಆಸ್ತಿಯ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಲು ಮನುಷ್ಯನನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸಿತು. ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಮೊದಲನೆಯದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಎನ್, ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಎಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಜನರು ಉದ್ದಗಳು, ಪ್ರದೇಶಗಳು, ಸಂಪುಟಗಳು, ಸಮಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಬಳಸಿದ ಅಳತೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದ್ದು ಹೀಗೆ. ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಮರ್ಥನೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ Z- ಇವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಒಂದು ಸೆಟ್ ರಚಿಸಿದರು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಶ್ನೆ,ಆದರೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಸ್ಥಿರ. ಜೆನೆಸಿಸ್ ಮತ್ತೆ ಗಣಿತದ ಅಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ: ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆ X 2 = 3, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು I.ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಒಕ್ಕೂಟ ಪ್ರಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು I- ನೈಜ (ಅಥವಾ ನೈಜ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆರ್. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ತುಂಬಲಾಯಿತು: ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಹಲವರ ಮೇಲೆ ಆರ್ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ X 2 = – ಎ 2. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. 1545 ರಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ಅವರ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತ ಜೆ. ಕಾರ್ಡಾನೊ ಅವರನ್ನು "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ" ಎಂದು ಕರೆದರು. "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು 1637 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಆರ್. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, 1777 ರಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಫ್ರೆಂಚ್ ಸಂಖ್ಯೆ iಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು. ಈ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕೆ.ಗೌಸ್ ಅವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿತು.

17 ಮತ್ತು 18 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಚರ್ಚೆಯು ಮುಂದುವರೆಯಿತು. ಡೇನ್ ಜಿ. ವೆಸೆಲ್, ಫ್ರೆಂಚ್ ಜೆ. ಅರ್ಗಾನ್ ಮತ್ತು ಜರ್ಮನ್ ಕೆ. ಗಾಸ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೂಲದಿಂದ ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಇನ್ನಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂತರ ಅದು ಬದಲಾಯಿತು.

18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಮ್ಮ ಸರಿಯಾದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡವು. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಅವರ ಮೊದಲ ಬಳಕೆಯು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ಹೈಡ್ರೊಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ Xಮತ್ತು ವೈನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು i- ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ, .

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ, .

ವೇಳೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ; ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರರ್ಥ ಸೆಟ್ ಆರ್ ಜೊತೆಗೆ, ಎಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್.

ಸಂಯೋಜಿತಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂ(X, ವೈ) ವಿಮಾನ ಆಕ್ಸಿ.ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಯು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡುವೆ, ಒಬ್ಬರು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ನಿಜವಾದ ಭಾಗ X.

ಹುದ್ದೆ: X= ರೆ z(ಲ್ಯಾಟಿನ್ ರಿಯಾಲಿಸ್ ನಿಂದ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ವೈ.

ಹುದ್ದೆ: ವೈ= Im z(ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಇಮ್ಯಾಜಿನೇರಿಯಸ್ನಿಂದ).

ರೆ zಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಠೇವಣಿ ಇಡಲಾಗಿದೆ ( ಓ), Im zಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಠೇವಣಿ ಇಡಲಾಗಿದೆ ( ಓಹ್), ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂ(X, ವೈ), (ಅಥವಾ ಎಂ(ರಿ z, Im z)) (ಚಿತ್ರ 1).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.ಘಟಕಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = (X, ವೈ) ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:, ಅಂದರೆ. .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6.ವಾದಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ( ಓಹ್) ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್: .

ಗಮನಿಸಿ 3.ಪಾಯಿಂಟ್ ವೇಳೆ zನೈಜ ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನೀವು ಅದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು
ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸು
ವಿಮಾನ

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ R ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾದರಿಯು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ

ಮೇಲೆ
ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು
ಕೇವಲ ಒಂದು ಪಂದ್ಯಗಳು
ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ!

ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ - ಶುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಲು

ಸೆಟ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ
ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಆಯಾಮ -
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ -
ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ a+bi ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಬಿಂದು (ಎ; ಬಿ).
i=0+1i ಬಿಂದುವಿಗೆ (0;1) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
2+3i ಬಿಂದುವಿಗೆ (2;3) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
-i-4 ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (-4;-1)
5=5+1i ವಿಷಣ್ಣತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (5;0)

ಸಂಯೋಗದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

! ಸಂಯೋಗದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಅಕ್ಷೀಯವಾಗಿದೆ
ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿ.
!! ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ
ಮೂಲ.
!!! ಚಿತ್ರಿಸುವ ವಾಹಕಗಳು
ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಒಲವು
ಅಡಿಯಲ್ಲಿ abscissa ಅದೇ ಕೋನ, ಆದರೆ
ಪ್ರಕಾರ ಇದೆ ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳುನಿಂದ
ಈ ಅಕ್ಷ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿತ್ರ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿತ್ರ

ಬೀಜಗಣಿತ
ದಾರಿ
ಚಿತ್ರಗಳು:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ
a+bi ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಪ್ಲೇನ್ ಪಾಯಿಂಟ್
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ
(ಎ;ಬಿ)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

(ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
z=x+yi , ಇದಕ್ಕಾಗಿ
x=-4. ಇದು ಸಮೀಕರಣ
ನೇರ,
ಸಮಾನಾಂತರ ಅಕ್ಷ
ಆರ್ಡಿನೇಟ್)
ನಲ್ಲಿ
X= - 4
ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ
ಭಾಗ -4
0
X

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ:

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ
ಸಮವಾಗಿದೆ
ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧ
ನೈಸರ್ಗಿಕ
ಸಂಖ್ಯೆ
(ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
z=x+yi, ಇದಕ್ಕಾಗಿ
y=2,4,6,8.
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರ
ನಾಲ್ಕು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ
ನೇರ, ಸಮಾನಾಂತರ
x-ಅಕ್ಷ)
ನಲ್ಲಿ
8
6
4
2
0
X

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ: ಬೀಜಗಣಿತ(x+iy), ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ(ಆರ್(ಕೋಸ್+ಐಸಿನ್ )), ಸೂಚಕ(ಮರು ಐ ).

ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z=x+iy ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು XOU ವಿಮಾನಬಿಂದು A(x,y) ರೂಪದಲ್ಲಿ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸಮತಲವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ z ನ ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ z ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ).

OX ಅಕ್ಷವು ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. OU ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ.

x+iy- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ.

ನಾವು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ: , ಅಂದರೆ.

ಆರ್ (ಕಾಸ್+ಐಸಿನ್) - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪವು ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
, ನಂತರ

z= ಮರು i - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

1. ಜೊತೆಗೆ. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . ವ್ಯವಕಲನ. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. ಗುಣಾಕಾರ. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . ವಿಭಾಗ. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ. z=x+iy (z=x-iy) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲಸ.

z1=r(cos +ಐಸಿನ್ ); z2=r(cos +ಐಸಿನ್ ).

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆ ಉತ್ಪನ್ನ z1*z2 ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: , ಅಂದರೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವಾದವು ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

;
;

ಖಾಸಗಿ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ.

ಘಾತ.

1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ.

z=x+iy, ನಂತರ z n ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರ:

- m ನ n ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (m ನಿಂದ n ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು i ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

i 0 =1 ಇಲ್ಲಿಂದ, ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: i 4k =1

i 1 = i 4k+1 = i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

ಉದಾಹರಣೆ.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪ.

z=r(cos +ಐಸಿನ್ ), ಅದು

- ಮೊವಿರ್ ಸೂತ್ರ.

ಇಲ್ಲಿ n "+" ಅಥವಾ "-" (ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಆಗಿರಬಹುದು.

3. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಸೂಚಕ ರೂಪ:

ರೂಟ್ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
.

ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ n ನೇ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ n ನೇ ಮೂಲವು ನಿಖರವಾಗಿ n ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಮೌಲ್ಯಗಳು). ಮೂಲ ಇಂದಿನ ದಿನಾಂಕ n ನೇ ಪದವಿಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ n ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ.

ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪ:

z=r(cos +ಐಸಿನ್ ), ನಂತರ z ನ n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ: