ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ
ರಾಜ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ
ಉನ್ನತ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣ
"ವೊರೊನೆಜ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಪೆಡಾಗೋಜಿಕಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ"
ಆಗ್ಲೆಬ್ರಾ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಇಲಾಖೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
(ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯಗಳು)
ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಅರ್ಹತಾ ಕೆಲಸ
ವಿಶೇಷತೆ 050201.65 ಗಣಿತ
(ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿಶೇಷತೆಯೊಂದಿಗೆ 050202.65 ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ)
ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದವರು: 5 ನೇ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ
ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತ
ಸಿಬ್ಬಂದಿ
ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಲಹೆಗಾರ:
ವೊರೊನೆಜ್ - 2008
1. ಪರಿಚಯ……………………………………………………...…………..…
2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಆಯ್ದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು)
2.1. ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು …………………………….
2.2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
2.3 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ
2.4 3 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯ …………………………………………………………………………
2.5 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳು ………………………………………
3. ತೀರ್ಮಾನ ……………………………………………………………….
4. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪಟ್ಟಿ …………………………………………………….
1. ಪರಿಚಯ
ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು, ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ, ಅದರ ಚಿತ್ರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ತುಂಬುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ಪೂರೈಕೆ ಇಲ್ಲ, ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಟಾಕ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ತುಂಬಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.
ನನ್ನ ಅಂತಿಮ ಅರ್ಹತಾ ಕಾರ್ಯದ ವಿಷಯವಾಗಿ "ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಷಯಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ.
ಈ ಪ್ರಬಂಧವು 82 ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.
"ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂಬ ಮುಖ್ಯ ವಿಭಾಗದ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ, ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಗ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. , ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್, ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ವಾಹಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೂರನೆಯ ಭಾಗವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಬಳಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳು: ಮೊವಿರ್ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು.
ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವು 3 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕೊನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, "ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳು," ಹಿಂದಿನ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (ಅಸಮಾನತೆಗಳು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಯಾಮದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ (ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿ ಮೇಲೆ). ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಶೇಷ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವನ್ನು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು) ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ.
ಪ್ರತಿ ಭಾಗದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಚಯ, ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವರ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.
ಪ್ರಬಂಧದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಇದೆ. ಅವರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವರು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಅಂತಹ ಮೂಲಗಳಿಗೆ ನಾನು ವಿಶೇಷ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:
1. ಗೋರ್ಡಿಯೆಂಕೊ ಎನ್.ಎ., ಬೆಲ್ಯಾವಾ ಇ.ಎಸ್., ಫರ್ಸ್ಟೋವ್ ವಿ.ಇ., ಸೆರೆಬ್ರಿಯಾಕೋವಾ ಐ.ವಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. . ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
2. ಶ್ಕ್ಲ್ಯಾರ್ಸ್ಕಿ ಡಿ.ಒ., ಚೆಂಟ್ಸೊವ್ ಎನ್.ಎನ್., ಯಗ್ಲೋಮ್ ಐ.ಎಂ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಯ್ದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ. ಪುಸ್ತಕವು ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ 320 ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಶಾಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.
2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಆಯ್ದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು)
2.1. ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು
,ಅಲ್ಲಿ a0, a1, …, an ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ
.ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
.ನಾವು ಈ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ
. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅಥವಾ,ಆದ್ದರಿಂದ,
. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಯ ಸಹಾಯದಿಂದ, ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ
, ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ . ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.ರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪದ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮಾನತೆಗಳಿದ್ದರೆ, .ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ
ಮತ್ತು ರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಈ ವಿಮರ್ಶೆ ಲೇಖನದ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z = a + bi, ಎಲ್ಲಿ a, b- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ a = Re(z), b=Im(z).
iಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. i 2 = -1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: a = a + 0i, ಅಲ್ಲಿ a ನಿಜ. ಒಂದು ವೇಳೆ a = 0ಮತ್ತು ಬಿ ≠ 0, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.
ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ z 1 = a 1 + b 1 iಮತ್ತು z 2 = a 2 + b 2 i.
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ z = a + bi.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಹೂಡಿಕೆಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು: N - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, Z - ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, Q - ಭಾಗಲಬ್ಧ, R - ನೈಜ, C - ಸಂಕೀರ್ಣ. 
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ
ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ z = a + bi, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ರೀತಿಯ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಕೆಳಗಿನ ದೃಶ್ಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ 
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪ.
ಅಂಕಿ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು z = a + biವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, ಆದ್ದರಿಂದ z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ. ಸಂಕೇತದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ವೇಳೆ z = rcos(φ) + rsin(φ)i, ಅದು z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊವಿರ್ ಸೂತ್ರ.
ಪ್ರದರ್ಶನ ರೂಪ.
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ z = rcos(φ) + rsin(φ)i- ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಹೊಸ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: z = reiφ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೂಚಕ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲು ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತವು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: z n = r n e inφ, ಇಲ್ಲಿ ಎನ್ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉನ್ನತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ
ನಾವು x 2 + x + 1 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉನ್ನತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು n ಪದವಿಯ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪದವಿ n ನ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವು ನಿಖರವಾಗಿ n ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಸರಳವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಏಕತೆಯ ಪದವಿ n ನ ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳಿವೆ.
ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು
ಈ ವಿಭಾಗವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತದೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು.
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಳವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು.
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವುದು.
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು.
- ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ಈಗ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.
ಬಹುಪದಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬೇರುಗಳು ನೈಜವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, D = -1∙a 2, ಎಲ್ಲಿ ಎಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು D = (IA) 2, ಆದ್ದರಿಂದ √D = i|a|, ಮತ್ತು ನಂತರ ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ. x 2 + x + 1 = 0 ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ.
ತಾರತಮ್ಯ - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
ಈಗ ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: 
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವುದು ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಶಕ್ತಿಗೆ (2 ಅಥವಾ 3) ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಇದನ್ನು ನೇರ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಶಕ್ತಿಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ), ನಂತರ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆ. z = 1 + i ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹತ್ತನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ.
z ಅನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ: z = √2 e iπ/4.
ನಂತರ z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ: z 10 = -32i.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಘಾತೀಯತೆಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ. ಏಕತೆಯ ಪದವಿ 3 ರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು z 3 = 1 ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.
ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗೋಣ: r 3 e 3iφ = 1 ಅಥವಾ r 3 e 3iφ = e 0 .
ಆದ್ದರಿಂದ: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, ಆದ್ದರಿಂದ φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3 ನಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ 1, e i2π/3, e i4π/3 ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ.
ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ: 
ಕೊನೆಯ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಬೃಹತ್ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ:
ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + ... + sin(nx).
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: 
ನಾವು ಈಗ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ತೀರ್ಮಾನ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ವಿಮರ್ಶೆ ಲೇಖನವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ, ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದೆ; ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿ.
ಸಾಹಿತ್ಯ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕನಿಷ್ಠ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಒಂದು ಅಂಶವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅದು ವರ್ಗ ಮಾಡಿದಾಗ -1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ನಾನು, ಅಥವಾ .
ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ:
ಹೀಗಾಗಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ಮಾದರಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಮಾನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಅದರ ನೈಜ ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಾತ್ರವು ಬಿಂದು (0,0) ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭದೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ (ವ್ಯವಕಲನ) ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮತ್ತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.
1.1 ಸೇರ್ಪಡೆ.
(ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ)
1.2 ವ್ಯವಕಲನ, ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
2. ಗುಣಾಕಾರ.
3. ವಿಭಾಗ.
ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ:
,
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದು ಮತ್ತೆ, ವೆಕ್ಟರ್ (a,b) ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ (ಉದ್ದ) ಆಗಿದೆ.
ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ρ.
ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ
z = ρ(cosφ+isinφ).
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಿಂದ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ: ಸೂತ್ರಗಳು :
ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೊವಿರ್ ಸೂತ್ರ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನೇ ಮೂಲ:
ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ n n ನೇ ಬೇರುಗಳಿವೆ.
§ 1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಬೀಜಗಣಿತ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಾನತೆಗಳು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪಗಳು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತೀಯ ರೂಪ
ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರಗಳು
§ 2. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಬಹುಪದಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ನೇ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
ಪದಕೋಶ
§ 1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಬೀಜಗಣಿತ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ( ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತಿಳಿಸಿ)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:
ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ,(1)
ಎಲ್ಲಿ x, ವೈ Î;
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ z ;
- ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ z ;
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಶೂನ್ಯ ;
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
1)z = 1 + iÞ ರೆ z= 1, Im z = 1, = 1 – ನಾನು, = –1 – i ;
2)z = –1 + iÞ ರೆ z= –1, Im z = , = –1 – ನಾನು, = –1 –i ;
3)z = 5 + 0i= 5 Þ ರೆ z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5
Þ ವೇಳೆ Im z= 0, ನಂತರ z = X- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ;
4)z = 0 + 3i = 3iÞ ರೆ z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i
Þ ವೇಳೆ ರೆ z= 0, ನಂತರ z = iy - ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಾನತೆಗಳು (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಾನತೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ)
1) 
;
2)
.
ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಾನತೆಯು ಎರಡು ನೈಜ ಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಈ ನೈಜ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
1) 
;
2) 
.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ( ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರೂಪಣೆ ಏನು?)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ zಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ ( X , ವೈ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್.
ಸಹಿ ಮಾಡಿ zಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ( ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದರೇನು?)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ
.(2)
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ z, ಅಥವಾ ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ ( X , ವೈ).
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
1)z = 1 + i Þ
,
Þ 
Þ 
;
,
Þ 
Þ 
;
,
5)
,
ಅಂದರೆ, z = 0 ಗಾಗಿ ಅದು ಇರುತ್ತದೆ
, ಜವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ (ವ್ಯವಕಲನ).
z 1 ± z 2 = (X 1 + iy 1) ± ( X 2 + iy 2) = (X 1 ± X 2) + i (ವೈ 1 ± ವೈ 2),(5)
ಅಂದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ (ಕಳೆಯುವಾಗ), ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).
1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;
2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .
ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;
2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);
3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);
4)z + (–z) = 0;
ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು
z 1∙z 2 = (X 1 + iy 1)∙(X 2 + iy 2) = X 1X 2 + X 1iy 2 + iy 1X 2 + i 2ವೈ 1ವೈ 2 = (6)
= (X 1X 2 – ವೈ 1ವೈ 2) + i (X 1ವೈ 2 + ವೈ 1X 2),
ಅಂದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ದ್ವಿಪದದ ಬೀಜಗಣಿತ ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು.
1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;
2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು
z 1∙z 2 = ಆರ್ 1 (ಕೋಸ್ ಜ 1 + iಪಾಪ ಜ 1)× ಆರ್ 2 (ಕೋಸ್ ಜ 2 + iಪಾಪ ಜ 2) =
= ಆರ್ 1ಆರ್ 2 (ಕೋಸ್ ಜ 1ಕೋಸ್ ಜ 2 + i cos ಜ 1 ಪಾಪ ಜ 2 + iಪಾಪ ಜ 1ಕೋಸ್ ಜ 2 + i 2 ಪಾಪ ಜ 1 ಪಾಪ ಜ 2) =
= ಆರ್ 1ಆರ್ 2((ಕೋಸ್ ಜ 1ಕೋಸ್ ಜ 2 - ಪಾಪ ಜ 1 ಪಾಪ ಜ 2) + i(ಕಾಸ್ ಜ 1 ಪಾಪ ಜ 2 + ಪಾಪ ಜ 1ಕೋಸ್ ಜ 2))
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ, ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಾದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ;
2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - ಸಹಭಾಗಿತ್ವ;
3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣೆ;
4)z× 0 = 0; z× 1 = z ;
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಾಗ
ವಿಭಾಗವು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ
ಒಂದು ವೇಳೆ z × z 2 = z 1 ಮತ್ತು z 2 ¹ 0, ನಂತರ .
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಛೇದದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಾಗ.(7)
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಾದಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುವುದು.(8)
2)
.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಘಾತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
ಮೊಯಿವ್ರೆ ಸೂತ್ರ, (9)
ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಘಾತಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (1 + i)10.
ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
1. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಯ ಆಚೆಗಿನ ಕೋನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆವರ್ತಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು .
2. ಅರ್ಥ 
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದದ ಪ್ರಮುಖ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಇದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, .
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು
ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳು(16)
ಇದಕ್ಕಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ (ಘಾತ) ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
§ 2. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಬಹುಪದಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಒಂದೇ ಪದವಿಯ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳು ಎನ್ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X, ಅದು
ಪುರಾವೆ
w ಗುರುತು (3) "xО (ಅಥವಾ "xО) ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ
Þ ಇದು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಒಂದು = bn .
(3) ರಲ್ಲಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸೋಣ ಒಂದುಮತ್ತು bnಮತ್ತು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ X :
ಈ ಗುರುತು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ " X, ಯಾವಾಗ ಸೇರಿದಂತೆ X = 0
Þ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು X= 0, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಒಂದು – 1 = bn – 1.
(3") ನಲ್ಲಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸೋಣ ಒಂದು- 1 ಮತ್ತು ಎ ಎನ್- 1 ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ X, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಒಂದು – 2 = bn –2, …, ಎ 0 = ಬಿ 0.
ಹೀಗಾಗಿ, 2-x ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯು ಅದೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. X .
ಸಂವಾದದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದೇ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಒಂದೇ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಸ್ತಿ 1 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. v
ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ Pn (X) ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ( X – X 0) ಉಳಿದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Pn (X 0), ಅಂದರೆ
ಬೆಝೌಟ್ ಪ್ರಮೇಯ, (4)
ಎಲ್ಲಿ Qn – 1(X) - ವಿಭಜನೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗ, ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ( ಎನ್ – 1).
ಪುರಾವೆ
w ವಿಭಜನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯೋಣ:
Pn (X) = (X – X 0)∙Qn – 1(X) + ಎ ,
ಎಲ್ಲಿ Qn – 1(X) - ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ( ಎನ್ – 1),
ಎ- ಶೇಷ, ಇದು ಬಹುಪದವನ್ನು "ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ" ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಿಂದಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
ಈ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ " X, ಯಾವಾಗ ಸೇರಿದಂತೆ X = X 0 Þ
Pn (X 0) = (X 0 – X 0)× Qn – 1(X 0) + ಎ Þ
ಎ = Pn (X 0), ಇತ್ಯಾದಿ. v
ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೂರಕ. ಒಂದು ಬಹುಪದವನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ
ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಂಖ್ಯೆ X 0 ಬಹುಪದದ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ( X – X 0) ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ, ಅಂದರೆ
Þ 
.(5)
1) ರಿಂದ ಪ 3(1) º 0
2) ಏಕೆಂದರೆ ಪ 4(-2) º 0
3) ಏಕೆಂದರೆ ಪ 2(–1/2) º 0
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು "ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ" ದ್ವಿಪದಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು:
| _ |  |
_ | ||||||||||||
| _ | _ | |||||||||||||
| _ | ||||||||||||||
ಡಿಗ್ರಿ n ³ 1 ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ
ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ನಮ್ಮ ಕೋರ್ಸ್ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಬೆಝೌಟ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡೋಣ Pn (X).
ನಂತರ ಎನ್-ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಬಹು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಎಲ್ಲಿ ಎನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕ 0 ಆಗಿದೆ X ಎನ್ವಿ Pn (X).
ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬಹುಪದದ ವಿಭಜನೆಯ ಮೇಲೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಪದವಿಯ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಘಟಿಸಬಹುದು ಎನ್ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳು, ಅಂದರೆ
ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, (6)
ಇಲ್ಲಿ x1, x2, ... xn ಬಹುಪದದ ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಇದಲ್ಲದೆ, ವೇಳೆ ಕೆಸೆಟ್ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು X 1, X 2, … xnಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ (6) ಗುಣಕ ( X- ಎ) ಕೆ. ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ X= a ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಪದದ k- ಪಟ್ಟು ಶೂನ್ಯ Pn ( X) . ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೆ= 1, ನಂತರ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಪದದ ಸರಳ ಶೂನ್ಯ Pn ( X) .
1)ಪ 4(X) = (X – 2)(X– 4)3 Þ X 1 = 2 - ಸರಳ ಶೂನ್ಯ, X 2 = 4 - ಟ್ರಿಪಲ್ ಶೂನ್ಯ;
2)ಪ 4(X) = (X – i 4 Þ X = i- ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರ 4.
ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 4 (ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ)
ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣ Pn(x) = 0 ಡಿಗ್ರಿ n ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ n ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಮೂಲವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಹಲವು ಬಾರಿ ಎಣಿಸಿದರೆ.
1)X 2 – 4X+ 5 = 0 - ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣ
Þ X 1.2 = 2 ± = 2 ± i- ಎರಡು ಬೇರುಗಳು;
2)X 3 + 1 = 0 - ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣ
Þ X
1,2,3 = 
- ಮೂರು ಬೇರುಗಳು;
3)ಪ 3(X) = X 3 + X 2 – X– 1 = 0 Þ X 1 = 1, ಏಕೆಂದರೆ ಪ 3(1) = 0.
ಬಹುಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಪ 3(X) ಮೇಲೆ ( X – 1):
| X 3 | + | X 2 | – | X | – | 1 | X – 1 |
| X 3 | – | X 2 | X 2 + 2X +1 | ||||
| 2X 2 | – | X | |||||
| 2X 2 | – | 2X | |||||
| X | – | 1 | |||||
| X | – | 1 | |||||
| 0 |
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣ
ಪ 3(X) = X 3 + X 2 – X– 1 = 0 Û( X – 1)(X 2 + 2X+ 1) = 0 Û( X – 1)(X + 1)2 = 0
Þ X 1 = 1 - ಸರಳ ಮೂಲ, X 2 = –1 - ಡಬಲ್ ರೂಟ್.
1) - ಜೋಡಿಯಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳು;
ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ
w ಲೆಟ್ X 0 = ಎ + ದ್ವಿ- ಬಹುಪದದ ಶೂನ್ಯ Pn (X) ಈ ಬಹುಪದದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆಸ್ತಿ 5 ರಿಂದ).
ದ್ವಿಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ 
:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣ
ಸಿಕ್ಕಿತು ( X – ಎ)2 + ಬಿ 2 - ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚದರ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್.
ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (6) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ದ್ವಿಪದಗಳು ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. v
1)ಪ 3(X) = X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 – X + 1);
2)ಪ 4(X) = X 4 – X 3 + 4X 2 – 4X = X (X –1)(X 2 + 4).
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ( ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ)
1. ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು:
, ಇದು ಏಕೈಕ ಸರಳ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.
2. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು:
, 
- ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ವಿಭಿನ್ನ ಅಥವಾ ಸಮಾನ).
1) 
.
3. ಪದವಿಯ ದ್ವಿಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು:
, - ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
,
ಉತ್ತರ:, 
.
4. ಘನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ), ಮತ್ತು ನೀವು ಪ್ರತಿ ಮೂಲವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಹಲವು ಬಾರಿ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ಜೋಡಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯುಕ್ತಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೊದಲ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ರಿಂದ .
ಬೆಝೌಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ. ನಾವು ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು "ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
| _ |  |
||||
| _ |  |
||||
| _ | |||||
ಈಗ ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚದರ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿ ನಾವು ಇತರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 
ಉತ್ತರ:, 
.
5. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಿಕ್ಕ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ X 1 = 3 ಮತ್ತು X 2 = 1 + iಅದರ ಬೇರುಗಳು, ಮತ್ತು X 1 ಡಬಲ್ ರೂಟ್, ಮತ್ತು X 2 - ಸರಳ.
ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನೈಜವಾಗಿರಬೇಕು.
ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು 4 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: X 1, X 1,X 2, . ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಪದವಿ 4. ನಾವು ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ 4 ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ X
11. ಸಂಕೀರ್ಣ ಶೂನ್ಯ ಎಂದರೇನು?
13. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಾನತೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.
15. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದರೇನು?
17. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದ ಏನು?
18. ಸೂತ್ರದ ಹೆಸರು ಅಥವಾ ಅರ್ಥವೇನು?
19. ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:
27. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.
28. ಸೂತ್ರದ ಹೆಸರು ಅಥವಾ ಅರ್ಥವೇನು?
29. ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:
31. ಸೂತ್ರದ ಹೆಸರು ಅಥವಾ ಅರ್ಥವೇನು?
32. ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:
34. ಸೂತ್ರದ ಹೆಸರು ಅಥವಾ ಅರ್ಥವೇನು?
35. ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:
61. ಬಹುಪದಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.
63. ಬಹುಪದವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತಿಳಿಸಿ (x - x0).
65. ಸೂತ್ರದ ಹೆಸರು ಅಥವಾ ಅರ್ಥವೇನು?
66. ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:
67. ⌂ 
.
69. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಿಳಿಸಿ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ.
70. ಸೂತ್ರದ ಹೆಸರು ಅಥವಾ ಅರ್ಥವೇನು?
71. ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:
75. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತಿಳಿಸಿ.
78. ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದದ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತಿಳಿಸಿ.
ಪದಕೋಶ
ಬಹುಪದದ k-ಫೋಲ್ಡ್ ಸೊನ್ನೆಯು... (ಪುಟ 18)
ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪು. 14)
n ನೇ ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪುಟ 14)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪು. 5)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದವು... (ಪುಟ 4)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ ನೈಜ ಭಾಗವು... (ಪುಟ 2)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆ... (ಪುಟ 2)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೊನ್ನೆ ಎಂದರೆ... (ಪುಟ 2)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪುಟ 2)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿ n ನ ಮೂಲವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪುಟ 10)
ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು... (ಪುಟ 14)
ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳು... (ಪುಟ 14)
ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವು... (ಪುಟ 2)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು... (ಪುಟ 2)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪು. 4)
ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪುಟ 14)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪುಟ 11)
ಬಹುಪದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪು. 14)
ಬಹುಪದದ ಸರಳ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪುಟ 18)
ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ... (ಪುಟ 2)
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪದವಿಯು... (ಪು. 14)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪು. 5)
ಮೊಯಿವ್ರೆ ಅವರ ಸೂತ್ರವು... (ಪು. 9)
ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳೆಂದರೆ... (ಪುಟ 13)
ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ... (ಪು. 14)
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ... (ಪು. 2)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎ + ದ್ವಿ, ಎಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು i- ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ, ಅದರ ಚೌಕವು –1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಚಿಹ್ನೆ, ಅಂದರೆ i 2 = -1. ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ನಿಜವಾದ ಭಾಗ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ - ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = ಎ + ದ್ವಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ= 0, ನಂತರ ಬದಲಿಗೆ ಎ + 0iಅವರು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಎ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ: ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು, ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ( ಎ + ದ್ವಿ) ± ( ಸಿ + ಡಿ) = (ಎ ± ಸಿ) + (ಬಿ ± ಡಿ)i, ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ( ಎ + ದ್ವಿ) · ( ಸಿ + ಡಿ) = (ac – ಬಿಡಿ) + (ಜಾಹೀರಾತು + ಕ್ರಿ.ಪೂ)i(ಇಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ i 2 = -1). ಸಂಖ್ಯೆ = ಎ – ದ್ವಿಎಂದು ಕರೆದರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕಗೆ z = ಎ + ದ್ವಿ. ಸಮಾನತೆ z · = ಎ 2 + ಬಿಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು 2 ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:
(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 
.)
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಸಂಖ್ಯೆ z = ಎ + ದ್ವಿನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ( ಎ; ಬಿ) ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ, ಇದು ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಬಿಂದು - ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂತ್ಯ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು). ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದ ( ಎ; ಬಿ) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಘಟಕಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = ಎ + ದ್ವಿಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ | z|. ಈ ವೆಕ್ಟರ್ x-ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ಕೋನವನ್ನು (ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಎಣಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಾದಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ zಮತ್ತು Arg ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ z. ವಾದವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 2 ರ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ π
ರೇಡಿಯನ್ಸ್ (ಅಥವಾ 360 °, ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಿದರೆ) - ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮೂಲದ ಸುತ್ತ ಅಂತಹ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಉದ್ದದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆರ್ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ φ
x- ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ( ಆರ್ cos φ
; ಆರ್ಪಾಪ φ
) ಇಲ್ಲಿಂದ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಂಕೇತಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ: z = |z| · (ಕಾಸ್ (ಆರ್ಗ್ z) + iಪಾಪ (ಆರ್ಗ್ z)) ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (ಕಾಸ್ (ಆರ್ಗ್ z 1 + ಆರ್ಗ್ z 2) + iಪಾಪ (ಆರ್ಗ್ z 1 + ಆರ್ಗ್ z 2)) (ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲಿಂದ ಅನುಸರಿಸಿ ಮೊವಿರ್ ಸೂತ್ರಗಳು: z n = |z|ಎನ್· (ಕಾಸ್( ಎನ್· (ಆರ್ಗ್ z)) + iಪಾಪ( ಎನ್· (ಆರ್ಗ್ z))). ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಸುಲಭ. z ನ n ನೇ ಮೂಲ- ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ಏನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎನ್ = z. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ 
, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಕೆಸೆಟ್ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (0, 1, ..., ಎನ್- 1). ಇದರರ್ಥ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಖರವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ ಎನ್ಬೇರುಗಳು ಎನ್ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದವಿ (ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅವು ನಿಯಮಿತದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿವೆ ಎನ್-ಗೊನ್).