ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು)

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಬಿಂದು O ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಧ್ರುವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯ OX ಅನ್ನು ಧ್ರುವ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿಭಾಗಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಧ್ರುವದವರೆಗಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅಳೆಯಲು. ನಿಯಮದಂತೆ, ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ \vec(i) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ O ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಸ್ಕೇಲ್ ವಿಭಾಗದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕು ಧ್ರುವದ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಅಕ್ಷ (Fig. 2.28a).

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಸ್ಥಾನ ಧ್ರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ದೂರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ r ( ಧ್ರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ M ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಧ್ರುವಕ್ಕೆ (ಅಂದರೆ r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನ \varphi (ಧ್ರುವ ಕೋನ). \ overrightarrow(OM). ಧ್ರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ಕೋನ ಇವೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಅಂಕಗಳು M, ಇದನ್ನು M(r,\varphi) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ), ಕೋನ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ;

ಕೋನ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ).

ಧ್ರುವ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ r\geqslant0 . ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನ \varphi ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಧ್ರುವ O ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ -\pi<\varphi\leqslant\pi , ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಧ್ರುವ ಕೋನದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವನ್ನು 2\pi n ಪದಗಳವರೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ n\in\mathbb(Z) . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ n\in\mathbb(Z) ಗಾಗಿ ಧ್ರುವ ಕೋನದ \varphi+2\pi n ಮೌಲ್ಯಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತವೆ.

ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ Or\varphi ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ O\vec(i)\vec(j), ಮೂಲ O ಧ್ರುವದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು abscissa ಅಕ್ಷ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-abscissa ಅಕ್ಷ) ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲಗೈ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2.28, ಬಿ). ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿಭಾಗದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಲಗೈ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಧ್ರುವೀಯ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ನೀಡಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ).

O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾದ M ಬಿಂದುವಿನ x,y ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು r,\varphi ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ. ಚಿತ್ರ 2.28, ಬಿ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

\begin(cases)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\end(ಕೇಸ್)

ತಿಳಿದಿರುವ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಹಿಮ್ಮುಖ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\ಎಡ\(\ಪ್ರಾರಂಭ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^ 2+y^2)),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(aligned)\ಬಲಕ್ಕೆ .

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳು ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವನ್ನು ಪದಗಳು 2\pi n ವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ n\in\mathbb(Z) . x\ne0 ಗಾಗಿ ಅದು ಅವರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ \ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2.29):

\varphi=\left\(\begin(aligned)\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\ ಕ್ವಾಡ್&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

ಉದಾಹರಣೆ 2.9.ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ\varphi:

ಎ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

ಬಿ) M_1,~M_2 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಿ r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

ಸಿ) M_1,~M_2 ಬಿಂದುಗಳ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. a) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಗಳು r=1,~r=2,~r=3 ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ವಲಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2)ಮತ್ತು \varphi=\frac(3\pi)(4)- ಅರೆ ನೇರ (ಚಿತ್ರ 2.30, a).

ಬಿ) ಅಂಕಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ M_1\!\ಎಡ(3,\frac(9\pi)(4)\ಬಲ)ಮತ್ತು M_2\!\left(3,-\frac(7\pi)(4)\ಬಲ)(ಚಿತ್ರ 2.30, ಬಿ, ಸಿ). ಅವರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳು ಒಂದೇ ಮುಖ್ಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ \varphi=\frac(\pi)(4). ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಅದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ M\!\ಎಡ(3,\frac(\pi)(4)\ಬಲ), ಚಿತ್ರ 2.30 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎ.

ಸಿ) "b" ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (2.17) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2),ಅದು M\!\left(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\ಬಲ).

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 2.8

1. ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ M_1(r_1,\varphi_1)ಮತ್ತು M_2(r_2,\varphi_2)(ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ M_1M_2) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),

ಇದು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2.31).

3. ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ (Fig. 2.31) ಆಧಾರಿತ ಪ್ರದೇಶ S_(\ast)^(\land) ಮತ್ತು , ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

ಇದ್ದರೆ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ \varphi_1<\varphi_2 (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಾಹಕಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ \ overrightarrow(OM_1)ಮತ್ತು \ overrightarrow(OM_2)ಬಲ), ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ವೇಳೆ \varphi_1>\varphi_2(ಒಂದು ಜೋಡಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಾಹಕಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ \ overrightarrow(OM_1)ಮತ್ತು \ overrightarrow(OM_2)ಎಡ).

ಉದಾಹರಣೆ 2.10.ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4ಮತ್ತು \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2ಅಂಕಗಳು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ (ಚಿತ್ರ 2.32). ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:

a) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

ಬಿ) ಎಬಿ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ;

ಸಿ) ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನ \ overrightarrow(OA)\Land\overrightarrow(OB);

d) OAB ತ್ರಿಕೋನದ S_(OAB) ಪ್ರದೇಶ;

ಇ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಧ್ರುವದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ AB ವಿಭಾಗದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಪರಿಹಾರ.ಎ) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

\left\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.

ಬಿ) ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (2.8 ರ ಟೀಕೆಗಳ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 2 ನೋಡಿ):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3).

ಸಿ) ನಾವು ಹೊರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಆಧಾರಿತ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು:

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3)

ವಾಹಕಗಳಿಂದ ಪ್ರದೇಶವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ \ overrightarrow (OA)ಮತ್ತು \ overrightarrow(OB)ಸರಿಯಾದ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿ (\varphi_A<\varphi_B) .

d) ತ್ರಿಕೋನ OAB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ \ overrightarrow (OA)ಮತ್ತು \ overrightarrow(OB).

ಏಕೆಂದರೆ S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ "ಸಿ" ನೋಡಿ), ನಂತರ S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

ಇ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (2.17) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

\begin(gathered)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\quad y_B=r_B\cdot\ sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\end(ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ)

ತದನಂತರ AB ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ C ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (2.1 ಟೀಕೆಗಳ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3 ನೋಡಿ):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2).

ಉದಾಹರಣೆ 2.11.ಪಾಯಿಂಟ್ A(4,-3) ಅನ್ನು Oxy ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ:

ಎ) ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ" ನ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವಾಗ ಬಿಂದು A ನ ಚಿತ್ರ \ overrightarrow (OA)ಮೂಲದ ಸುತ್ತಲೂ \frac(\pi)(3) ಕೋನದಿಂದ (Fig. 2.33);

ಬಿ) A_1 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಯುನಿಟ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಮಾನವು ತಲೆಕೆಳಗಾದಾಗ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಯ ಚಿತ್ರ (ವಿಭಾಗ 2.2.4 ರಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ).

ಪರಿಹಾರ. a) ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (2.17), ಅಂಜೂರ 2.29 ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\operatorname(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಸರು(arctg)\frac(-3)(4)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4),

ಪಾಯಿಂಟ್ A \text(IV) ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ.

ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವಾಗ \ overrightarrow (OA)ಕೋನದಿಂದ ಧ್ರುವದ ಸುತ್ತಲೂ \frac(\pi)(3), ಧ್ರುವ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, A" ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು: r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\operatorname(arctg)\frac(3)(4), ಮತ್ತು \varphi_(A") ಧ್ರುವ ಕೋನದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

b) R ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಲೆಕೆಳಗಾದಾಗ, ಚಿತ್ರದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು r",\varphi" ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು r,\varphi ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

ಆದ್ದರಿಂದ, "a" ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (R=1 ಗಾಗಿ):

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4 )

ಪುಟ 1

ಮೊದಲ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ y- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ Y- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮಂಡಳಿಯು ಬಳಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ArchiCAD ಕರ್ಸರ್‌ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಳದ ನಿಖರವಾದ X- ಮತ್ತು Y- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳ X- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು Y- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ತೊಂದರೆ ಏನೆಂದರೆ, ರಾಣಿಯರ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅವರ Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸ್ಥಾನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುವಾಗ, ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ. 4.7, ರಾಣಿಯ Y- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ?

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಮೊದಲು ಬರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ನಂತರ Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ - r - / Q - P ಇನ್ನೂ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಫಲಿತಾಂಶವು X ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು Y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ವಿಲೋಮ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಸಂದೇಶ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಡೇಟಾ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ತರುವಾಯ, ಆಯ್ದ ಪರದೆಯ ಸ್ಥಾನದ X ಮತ್ತು Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಈ ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗೆ ರವಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಳೆಯ ಸಿಸ್ಟಂ xOy ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೊಸ ಸಿಸ್ಟಮ್ XOt Y ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೊಸ ಮೂಲದ O ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು Ax ಮತ್ತು OtX ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ. ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು x ಮತ್ತು y ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನ X ಮತ್ತು Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಹಳೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಹೊಸ X ಮತ್ತು Y ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ a, b ಮತ್ತು oc ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು. ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದು ಡೇಟಾ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - X ಮತ್ತು Y. ನಮ್ಮ ಟರ್ಮಿನಲ್‌ನ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ X ಮತ್ತು Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಿರಣವನ್ನು ಹೊಸ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆಜ್ಞೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, SET ORIGIN ಆದೇಶದ ದಿನಚರಿಯು ಎರಡು ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ ಆಜ್ಞೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, SET ORIGIN ಆಜ್ಞೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವು ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಅಥವಾ ಅಂಶವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಕಮಾಂಡ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರದೆಯ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅಂಶದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - ಸಂಬಂಧಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. SET ORIGIN ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ದಿನಚರಿಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ ಆಜ್ಞೆಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಬಿಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ತೆರವುಗೊಳಿಸಬೇಕು.

ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಈ ಅನಂತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತದೆ, ಗುರಿಯತ್ತ ಎಂದಿಗೂ ಹತ್ತಿರವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಂಟು ರಾಣಿಯರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ರಾಜ್ಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯ ಬಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ Y- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಂಟು ರಾಣಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ನಾಲ್ಕು ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಸಾಧನವು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಮಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ರೇಖೆಯ ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ರೇಖೆಯ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ರೇಖೆಯ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿದಾಗ, ರೇಖೆಯ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಲೇಬಲ್‌ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೈಟ್ ಪೆನ್ ದೇಹದ ಮೇಲೆ ಕೀಲಿಯನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಎಳೆಯುವ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ನೀವು ಗುರುತು ಸರಿಸಬಹುದು. ಬಳಕೆದಾರರು ACCEPT ಲೈಟ್ ಬಟನ್‌ಗೆ ಸೂಚಿಸಿದಾಗ, L4 ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಡ್ರಾ ಲೈನ್‌ನ X, Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗೆ ರವಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುಟಗಳು: ..... 1

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು OX ಮತ್ತು OY ಎಂಬ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ O ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಗೈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ OY ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದಾಗ, OX ಅಕ್ಷವು ಬಲಕ್ಕೆ ಮುಖಮಾಡುತ್ತದೆ.

X"X ಮತ್ತು Y"Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳನ್ನು (I, II, III, IV) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನಗಳು ಅಥವಾ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x ಮತ್ತು y ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು OB ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಆಯ್ದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ OC ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. OB ಮತ್ತು OC ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ Y"Y ಮತ್ತು X"X ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು A ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು A ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: .

ಬಿಂದು A ಸಮನ್ವಯ ಕೋನ I ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಧನಾತ್ಮಕ abscissa ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ A ಸಮನ್ವಯ ಕೋನ II ರಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಋಣಾತ್ಮಕ abscissa ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ A III ಕೋರ್ಡಿನೇಟ್ ಕೋನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ A IV ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಧನಾತ್ಮಕ abscissa ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ OX, OY ಮತ್ತು OZ ಎಂಬ ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ O ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬಾಣಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲಿನ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅಳತೆಯ ಘಟಕ. ಘಟಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಇದು ಕಡ್ಡಾಯವಲ್ಲ). OX - abscissa ಅಕ್ಷ, OY - ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷ, OZ - ಅನ್ವಯಿಸು ಅಕ್ಷ.

ಬಲಗೈಯ ಹೆಬ್ಬೆರಳನ್ನು X ದಿಕ್ಕಿಗೆ, ತೋರುಬೆರಳನ್ನು Y ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಬೆರಳನ್ನು Z ದಿಕ್ಕಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಬಲಗೈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎಡಗೈಯ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಬೆರಳುಗಳು ಎಡ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಕ್ಷಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ OX ಅಕ್ಷವನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ 90° ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ, OZ ನ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ಈ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಅದರ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕು OY ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಷರೇಖೆ. ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಇದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಕ್ಷಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು x, y ಮತ್ತು z ಎಂಬ ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು OB ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು OC ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಆಯ್ದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ OD ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. OB, OC ಮತ್ತು OD ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ YOZ, XOZ ಮತ್ತು XOY ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. X ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು A ಬಿಂದುವಿನ abscissa ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು A ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು A ಬಿಂದುವಿನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: .

ODA. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (O; , ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ವೇಳೆ: 1) ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಘಟಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: = = =1;

2) ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಲಂಬವಾಗಿ): ⏊ ⏊ .

ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು, ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x, y, z. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಆಕ್ಸ್ - ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಕ್ಸಿಸ್, ಓಯ್ - ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆಕ್ಸಿಸ್, ಓಝ್ - ಅಪ್ಲೈಕೇಟ್ ಆಕ್ಸಿಸ್.

ಪ್ರಮೇಯ.ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ =(X,Y,Z) ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: | |= .

ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಕರ್ಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬದಿಗಳು X, .

ಸಮಾನಾಂತರದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು |X|,|Y|,|Z| ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕ. ಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನೀವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ). ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮ. A() ಮತ್ತು B() ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು AB= ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್. AB=| |, a =().

13. ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಪ್ರಮಾಣ. ನಿರ್ದೇಶನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು.

ಅಕ್ಷವು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನೀಡಲಿ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು A΄ ಮತ್ತು B΄ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗಳಾಗಿರಲಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಹೆಸರು l ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್.

ODA. l ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಸ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ l ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ = , .

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲನೆಯದು ವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಪ್ರಮಾಣವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮಾಣವು ಅವುಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಪ್ರಮಾಣವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: =| |cosφ, ಅಲ್ಲಿ φ=<().

ಡಾಕ್.ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: 1) ತೀವ್ರ ಕೋನ, 2) ಒಂದು ಚೂಪಾದ ಕೋನ.

ನಿರ್ದೇಶನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು.

α, β, γ ಇವು ವೆಕ್ಟರ್ =(X,Y,Z) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ಕೋನಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್ಗಳು, cosα, cosβ, cosγ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು: cos = = ; cosβ= ; cosγ=