នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលប្រតិបត្តិការពីរបន្ថែមទៀតជាមួយវ៉ិចទ័រ៖ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រនិង ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ (តំណភ្ជាប់ភ្លាមៗសម្រាប់អ្នកដែលត្រូវការវា). វាមិនអីទេ ពេលខ្លះវាកើតឡើងថាសម្រាប់សុភមង្គលពេញលេញ បន្ថែមពីលើ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រកាន់តែច្រើនឡើងត្រូវបានទាមទារ។ នេះគឺជាការញៀនវ៉ិចទ័រ។ វាហាក់ដូចជាយើងកំពុងចូលទៅក្នុងព្រៃ ធរណីមាត្រវិភាគ. នេះគឺខុស។ នៅក្នុងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ ជាទូទៅមានឈើតិចតួច លើកលែងតែអាចគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ Pinocchio ។ តាមពិតសម្ភារៈគឺសាមញ្ញនិងសាមញ្ញណាស់ - ស្ទើរតែមិនស្មុគស្មាញជាងដូចគ្នា។ ផលិតផលចំនុច, សូម្បីតែ ភារកិច្ចធម្មតា។វានឹងមានតិចជាង។ រឿងសំខាន់នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ដូចដែលមនុស្សជាច្រើននឹងជឿជាក់ ឬបានជឿជាក់រួចហើយនោះ គឺមិនធ្វើឱ្យមានកំហុសក្នុងការគណនាទេ។ ធ្វើម្តងទៀតដូចអក្ខរាវិរុទ្ធហើយអ្នកនឹងសប្បាយចិត្ត =)

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របញ្ចេញពន្លឺនៅកន្លែងណាមួយឆ្ងាយ ដូចជាផ្លេកបន្ទោរនៅលើផ្តេក វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេ សូមចាប់ផ្តើមជាមួយមេរៀន វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះដើម្បីស្តារឬទទួលបាន ចំណេះដឹងមូលដ្ឋានអំពីវ៉ិចទ័រ។ អ្នកអានដែលបានរៀបចំបន្ថែមទៀតអាចស្គាល់ព័ត៌មានដោយជ្រើសរើសដោយជ្រើសរើស ការងារជាក់ស្តែង

តើអ្វីនឹងធ្វើឱ្យអ្នកសប្បាយចិត្តភ្លាមៗ? កាលខ្ញុំនៅតូច ខ្ញុំអាចលេងបាល់បានពីរ និងបីគ្រាប់។ វាដំណើរការបានល្អ។ ឥឡូវ​នេះ អ្នក​នឹង​មិន​ត្រូវ​លេង​សើច​ទាល់​តែ​សោះ ព្រោះ​យើង​នឹង​ពិចារណា តែប៉ុណ្ណោះ វ៉ិចទ័រទំហំ ហើយវ៉ិចទ័រសំប៉ែតដែលមានកូអរដោណេពីរនឹងត្រូវទុកចោល។ ហេតុអ្វី? នេះជារបៀបដែលសកម្មភាពទាំងនេះបានកើត - វ៉ិចទ័រ និងផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ និងដំណើរការ លំហបីវិមាត្រ. កាន់តែងាយស្រួលហើយ!

ប្រតិបត្តិការនេះ ដូចគ្នានឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋានដែរ ពាក់ព័ន្ធ វ៉ិចទ័រពីរ. សូមឱ្យទាំងនេះជាអក្សរដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។

សកម្មភាពខ្លួនឯង តំណាងដោយ ដូចខាងក្រោម:. មានជម្រើសផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែខ្ញុំធ្លាប់ប្រើដើម្បីបង្ហាញផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រតាមវិធីនេះ ក្នុង តង្កៀបការ៉េជាមួយនឹងឈើឆ្កាង។

ហើយភ្លាមៗ សំណួរ៖ ប្រសិនបើនៅក្នុង ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រពីរជាប់ពាក់ព័ន្ធ ហើយនៅទីនេះ វ៉ិចទ័រពីរក៏ត្រូវបានគុណផងដែរ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? ភាពខុសគ្នាជាក់ស្តែងគឺ ជាដំបូងនៃការទាំងអស់នៅក្នុងលទ្ធផល៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រគឺ VECTOR: នោះគឺយើងគុណវ៉ិចទ័រ ហើយទទួលបានវ៉ិចទ័រម្តងទៀត។ ក្លឹបបិទ។ តាមពិតនេះគឺជាកន្លែងដែលឈ្មោះនៃប្រតិបត្តិការនេះមកពី។ នៅក្នុងផ្សេងៗ អក្សរសិល្ប៍អប់រំការរចនាក៏អាចខុសគ្នាដែរ ខ្ញុំនឹងប្រើអក្សរ។

និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

ដំបូងនឹងមាននិយមន័យជាមួយរូបភាព បន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ

និយមន័យ៖ ផលិតផលវ៉ិចទ័រ non-collinearវ៉ិចទ័រ បានយកចូល នៅក្នុងលំដាប់នេះ។ ហៅថា VECTOR ប្រវែងដែលជាលេខ ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាមបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ; វ៉ិចទ័រ រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រហើយត្រូវបានដឹកនាំដើម្បីឱ្យមូលដ្ឋានមានទិសដៅត្រឹមត្រូវ៖

តោះបំបែកនិយមន័យ មានរឿងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើននៅទីនេះ!

ដូច្នេះ ចំណុចសំខាន់ៗខាងក្រោមអាចត្រូវបានគូសបញ្ជាក់៖

1) វ៉ិចទ័រដើមដែលចង្អុលបង្ហាញដោយព្រួញក្រហមតាមនិយមន័យ មិនជាប់គ្នា។. កើតឡើង វ៉ិចទ័រ collinearវានឹងជាការសមរម្យដើម្បីពិចារណាបន្តិចក្រោយមក។

2) វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេយក យ៉ាងតឹងរឹង នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។ : – "a" ត្រូវបានគុណនឹង "be"និងមិន "ក្លាយជា" ជាមួយ "a" ។ លទ្ធផលនៃគុណវ៉ិចទ័រគឺ VECTOR ដែលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាពណ៌ខៀវ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណនឹង លំដាប់បញ្ច្រាសបន្ទាប់មកយើងទទួលបានវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងស្មើគ្នានិងផ្ទុយគ្នាក្នុងទិសដៅ (ពណ៌ raspberry) ។ នោះគឺសមភាពគឺជាការពិត .

3) ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្គាល់អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ នេះគឺខ្លាំងណាស់ ចំណុចសំខាន់! ប្រវែង​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពណ៌​ខៀវ (ហើយ​ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ​ក្រហម) គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង AREA នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុងរូបភាព ប៉ារ៉ាឡែលនេះមានស្រមោលខ្មៅ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺជាគ្រោងការណ៍ ហើយតាមធម្មជាតិ ប្រវែងបន្ទាប់បន្សំនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺមិនស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមទេ។

ចូរយើងចងចាំមួយក្នុងចំណោម រូបមន្តធរណីមាត្រ: ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផលគុណនៃជ្រុងជាប់គ្នា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា. ដូច្នេះ ដោយ​ផ្អែក​លើ​ខាងលើ រូបមន្ត​សម្រាប់​គណនា​ប្រវែង​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​គឺ​ត្រឹមត្រូវ៖

ខ្ញុំសង្កត់ធ្ងន់ថារូបមន្តគឺអំពី LENGTH នៃវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនអំពីវ៉ិចទ័រខ្លួនឯងទេ។ អ្វី អត្ថន័យជាក់ស្តែង? ហើយអត្ថន័យគឺថានៅក្នុងបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់តាមរយៈគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

ចូរយើងទទួលបានទីពីរ រូបមន្តសំខាន់. អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម (បន្ទាត់ចំនុចក្រហម) ចែកវាជាពីរ ត្រីកោណស្មើគ្នា. ដូច្នេះ​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ (ការដាក់​ស្រមោល​ពណ៌​ក្រហម) អាច​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត៖

4) មិនតិចទេ។ ការពិតសំខាន់គឺ​ថា​វ៉ិចទ័រ​គឺ​រាង​មូល​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ នោះ​គឺ . ជា​ការ​ពិត​ណាស់ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ទិស​ផ្ទុយ​គ្នា (ព្រួញ​រ៉ាស្បឺរី) ក៏​មាន​រាង​មូល​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ដើម​ដែរ។

5) វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំដូច្នេះ មូលដ្ឋានមាន ត្រឹមត្រូវ។ការតំរង់ទិស។ នៅក្នុងមេរៀនអំពី ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។ខ្ញុំបាននិយាយលម្អិតគ្រប់គ្រាន់អំពី ការតំរង់ទិសយន្តហោះហើយឥឡូវនេះ យើងនឹងស្វែងយល់ថាតើការតំរង់ទិសអវកាសជាអ្វី។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់នៅលើម្រាមដៃរបស់អ្នក។ ដៃស្តាំ . ផ្សំផ្លូវចិត្ត ម្រាមដៃសន្ទស្សន៍ជាមួយវ៉ិចទ័រនិង ម្រាមដៃកណ្តាលជាមួយវ៉ិចទ័រ។ ម្រាមដៃរោទ៍និងម្រាមដៃតូចចុចវាទៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក។ ជាលទ្ធផល មេដៃ - ផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងរកមើល។ នេះ​គឺ​ជា​គោល​ការ​តម្រង់​ទិស​ខាង​ស្ដាំ (វា​គឺ​ជា​រូប​នេះ​ក្នុង​រូប)។ ឥឡូវនេះផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រ ( លិបិក្រមនិងម្រាមដៃកណ្តាល) នៅកន្លែងខ្លះ ជាលទ្ធផលមេដៃនឹងបង្វែរ ហើយផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងមើលចុះរួចហើយ។ នេះក៏ជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសត្រឹមត្រូវ។ អ្នក​ប្រហែល​ជា​មាន​សំណួរ៖ តើ​មូលដ្ឋាន​មួយ​ណា​ដែល​មាន​ទិសដៅ​ចាកចេញ? "កំណត់" ទៅម្រាមដៃដូចគ្នា។ ដៃឆ្វេងវ៉ិចទ័រ និងទទួលបានមូលដ្ឋានខាងឆ្វេង និងការតំរង់ទិសខាងឆ្វេងនៃលំហ (ក្នុងករណីនេះមេដៃនឹងមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទាប). និយាយក្នុងន័យធៀប មូលដ្ឋានទាំងនេះ "បង្វិល" ឬតម្រង់ទិសចូល ភាគីផ្សេងគ្នា. ហើយគំនិតនេះមិនគួរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអ្វីដែលវែងឆ្ងាយ ឬអរូបីនោះទេ - ឧទាហរណ៍ ការតំរង់ទិសនៃលំហត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយកញ្ចក់ធម្មតាបំផុត ហើយប្រសិនបើអ្នក "ទាញវត្ថុដែលឆ្លុះបញ្ចាំងចេញពីកញ្ចក់មើល" នោះវានឹង ករណីទូទៅមិនអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយ "ដើម" ទេ។ និយាយអញ្ចឹង លើកម្រាមដៃបីឡើងលើកញ្ចក់ ហើយវិភាគការឆ្លុះបញ្ចាំង ;-)

...តើ​វា​ល្អ​ប៉ុណ្ណា​ដែល​អ្នក​ឥឡូវ​បាន​ដឹង​អំពី ស្តាំ និងឆ្វេងតម្រង់ទិសមូលដ្ឋាន ពីព្រោះសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់សាស្ត្រាចារ្យមួយចំនួនអំពីការផ្លាស់ប្តូរការតំរង់ទិសគឺគួរឱ្យខ្លាច =)

ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ collinear

និយមន័យត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិត វានៅតែត្រូវបានគេមើលឃើញថាមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅជាប់គ្នា។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះពួកវាអាចត្រូវបានដាក់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយប្រលេឡូក្រាមរបស់យើងក៏ "បន្ថែម" ទៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ តំបន់​ដូច​អ្នក​គណិត​វិទូ​និយាយ​ថា degenerateប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងសូន្យ។ ដូចគ្នានឹងរូបមន្ត - ស៊ីនុសសូន្យឬ 180 ដឺក្រេ។ ស្មើនឹងសូន្យដូច្នេះហើយ តំបន់គឺសូន្យ

ដូច្នេះប្រសិនបើ . និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ផលិតផលវ៉ិចទ័រខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តវាជារឿយៗត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ហើយពួកគេត្រូវបានសរសេរថាវាស្មើនឹងសូន្យ។

ករណីពិសេស- ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រជាមួយខ្លួនវា៖

អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពជាប់គ្នាដោយប្រើផលិតផលឆ្លងកាត់ វ៉ិចទ័របីវិមាត្រ, និង កិច្ចការនេះ។ក្នុងចំណោមអ្នកផ្សេងទៀត យើងក៏នឹងវិភាគផងដែរ។

ដើម្បីដោះស្រាយ ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងអាចត្រូវបានទាមទារ តារាងត្រីកោណមាត្រដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃស៊ីនុសពីវា។

អញ្ចឹងតោះដុតភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ ១

ក) រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ

ខ) រកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ if

ដំណោះស្រាយ៖ ទេ នេះមិនមែនជាការវាយអក្សរទេ ខ្ញុំបានបង្កើតទិន្នន័យដំបូងដោយចេតនាក្នុងឃ្លាដដែល។ ដោយសារតែការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងខុសគ្នា!

ក) យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌអ្នកត្រូវស្វែងរក ប្រវែងវ៉ិចទ័រ (ផលិតផលឆ្លងកាត់) ។ យោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖

ចម្លើយ:

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានគេសួរអំពីប្រវែងបន្ទាប់មកនៅក្នុងចម្លើយយើងបង្ហាញពីវិមាត្រ - ឯកតា។

ខ) យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌអ្នកត្រូវស្វែងរក ការ៉េ parallelogram បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ។ ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​នេះ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ប្រវែង​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ:

សូមចំណាំថាចម្លើយមិននិយាយអំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រទាល់តែសោះ តំបន់នៃរូបភពអាស្រ័យហេតុនេះ វិមាត្រគឺជាឯកតាការ៉េ។

យើងតែងតែមើលអ្វីដែលយើងត្រូវស្វែងរកតាមលក្ខខណ្ឌ ហើយផ្អែកលើចំណុចនេះ យើងបង្កើត ច្បាស់ចម្លើយ។ វាអាចហាក់ដូចជាអក្សរសាស្ត្រ ប៉ុន្តែមានអ្នកសរសេរអក្សរសាស្ត្រជាច្រើនក្នុងចំណោមគ្រូ និងភារកិច្ចជាមួយ ឱកាសល្អ។នឹងត្រឡប់សម្រាប់ការពិនិត្យឡើងវិញ។ ថ្វីត្បិតតែនេះមិនមែនជាការលេងសើចដ៏វែងឆ្ងាយពិសេសក៏ដោយ - ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវ នោះគេទទួលបានចំណាប់អារម្មណ៍ថាមនុស្សនោះមិនយល់ រឿងសាមញ្ញនិង/ឬមិនយល់ពីខ្លឹមសារនៃកិច្ចការ។ ពេល​នេះ​ត្រូវ​តែ​រក្សា​ឱ្យ​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​ការ​គ្រប់​គ្រង​ជា​និច្ច​ពេល​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​ណាមួយ។ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនិងនៅក្នុងមុខវិជ្ជាផ្សេងទៀតផងដែរ។

តើអក្សរធំ "en" ទៅណា? ជាគោលការណ៍ វាអាចត្រូវបានភ្ជាប់បន្ថែមទៅនឹងដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែដើម្បីកាត់បន្ថយការចូល ខ្ញុំមិនបានធ្វើបែបនេះទេ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកគ្រប់គ្នាយល់អំពីរឿងនោះ ហើយជាការកំណត់សម្រាប់រឿងដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ដ៏ពេញនិយមសម្រាប់ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ:

ឧទាហរណ៍ ២

រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ if

រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​តាម​រយៈ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​មតិយោបល់​ចំពោះ​និយមន័យ។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការគឺពិតជាជារឿងធម្មតាណាស់ ជាទូទៅត្រីកោណអាចធ្វើទារុណកម្មអ្នក។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងទៀត យើងនឹងត្រូវការ៖

លក្ខណសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ

យើងបានពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃផលិតផលវ៉ិចទ័ររួចហើយ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងបញ្ចូលពួកវានៅក្នុងបញ្ជីនេះ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាននិង លេខណាមួយ។លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមមានសុពលភាព៖

1) នៅក្នុងប្រភពព័ត៌មានផ្សេងទៀត ធាតុនេះជាធម្មតាមិនត្រូវបានបន្លិចនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុង នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌជាក់ស្តែង. ដូច្នេះសូមឱ្យវាក្លាយជា។

2) - ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានពិភាក្សាខាងលើផងដែរ ជួនកាលគេហៅថា ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល. និយាយម្យ៉ាងទៀតលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រមានសារៈសំខាន់។

3) - សមាគមឬ សមាគមច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ថេរអាចផ្លាស់ទីបានយ៉ាងងាយស្រួលនៅខាងក្រៅផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តាមពិត តើពួកគេគួរធ្វើអ្វីនៅទីនោះ?

4) - ការចែកចាយឬ ចែកចាយច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ក៏មិនមានបញ្ហាជាមួយនឹងការបើកតង្កៀបដែរ។

ដើម្បីបង្ហាញ សូមមើលឧទាហរណ៍ខ្លីមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖លក្ខខណ្ឌម្តងទៀតទាមទារឱ្យស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តោះគូររូបតូចរបស់យើង៖

(1) យោងតាមច្បាប់សមាគម យើងយកចំនួនថេរនៅខាងក្រៅវិសាលភាពនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

(2) យើងផ្លាស់ទីថេរនៅខាងក្រៅម៉ូឌុល ហើយម៉ូឌុល "ញ៉ាំ" សញ្ញាដក។ ប្រវែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

(3) នៅសល់គឺច្បាស់។

ចម្លើយ:

ដល់ពេលត្រូវបន្ថែមអុសបន្ថែមលើភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ 4

គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសង់លើវ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត  . ការចាប់គឺថាវ៉ិចទ័រ "tse" និង "de" ត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ។ ក្បួនដោះស្រាយនៅទីនេះគឺជាស្តង់ដារ ហើយនឹកឃើញខ្លះៗអំពីឧទាហរណ៍លេខ 3 និងទី 4 នៃមេរៀន ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ. ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ យើងនឹងបែងចែកដំណោះស្រាយជាបីដំណាក់កាល៖

1) នៅជំហានដំបូង យើងបង្ហាញផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ តាមពិត ចូរយើងបង្ហាញវ៉ិចទ័រក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ. មិនទាន់មានពាក្យថាវែងទេ!

(1) ជំនួសកន្សោមនៃវ៉ិចទ័រ។

(2) ដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ យើងបើកតង្កៀបយោងទៅតាមក្បួនគុណនៃពហុនាម។

(3) ដោយប្រើច្បាប់សមាគម យើងផ្លាស់ទីថេរទាំងអស់លើសពីផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍តិចតួច ជំហានទី 2 និងទី 3 អាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

(4) ពាក្យទីមួយ និងចុងក្រោយគឺស្មើនឹងសូន្យ (សូន្យវ៉ិចទ័រ) ដោយសារ ទ្រព្យសម្បត្តិរីករាយ. នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ទី​ពីរ យើង​ប្រើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​នៃ​ការ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល​នៃ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ៖

(5) យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។

ជាលទ្ធផល វ៉ិចទ័របានប្រែទៅជាត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រ ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យសម្រេចបាន៖

2) នៅជំហានទីពីរយើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលយើងត្រូវការ។ សកម្មភាពនេះគឺស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍ទី 3៖

3) ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលត្រូវការ:

ដំណាក់កាលទី 2-3 នៃដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងមួយជួរ។

ចម្លើយ:

បញ្ហាដែលត្រូវបានពិចារណាគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុង ការធ្វើតេស្តនេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយរហ័សនិងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ សូមមើលពីរបៀបដែលអ្នកយកចិត្តទុកដាក់នៅពេលសិក្សាឧទាហរណ៍ពីមុន ;-)

ឆ្លងផលគុណនៃវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ

បានបញ្ជាក់នៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal, បង្ហាញដោយរូបមន្ត:

រូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់៖ នៅក្នុងបន្ទាត់កំពូលនៃកត្តាកំណត់ដែលយើងសរសេរ សំរបសំរួលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងជួរទីពីរនិងទីបីយើង "ដាក់" កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រហើយយើងដាក់ វ នៅក្នុងលំដាប់តឹងរឹង - ជាដំបូងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "ve" បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "double-ve" ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវគុណក្នុងលំដាប់ផ្សេងគ្នា នោះជួរដេកគួរតែត្រូវបានប្តូរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រលំហខាងក្រោមមានជាប់គ្នាឬអត់៖
ក)
ខ)

ដំណោះស្រាយ៖ ធីកគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយក្នុងមេរៀននេះ៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់វាស្មើនឹងសូន្យ (វ៉ិចទ័រសូន្យ)៖ .

ក) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ។

ខ) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ: ក) មិនជាប់គ្នា, ខ)

នៅទីនេះ ប្រហែលជាព័ត៌មានមូលដ្ឋានទាំងអស់អំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។

ផ្នែកនេះ។នឹងមិនមានទំហំធំទេ ព្រោះមានបញ្ហាតិចតួចដែលផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ តាមពិតអ្វីៗនឹងអាស្រ័យលើនិយមន័យ អត្ថន័យធរណីមាត្រនិងរូបមន្តការងារពីរបី។

ការងារចម្រុះវ៉ិចទ័រគឺជាផលិតផល វ៉ិចទ័របី :

ដូច្នេះ​ពួកគេ​បាន​តម្រង់​ជួរ​គ្នា​ដូច​រថភ្លើង ហើយ​មិន​អាច​រង់ចាំ​ការ​កំណត់​អត្តសញ្ញាណ​បាន​ឡើយ។

ទីមួយ និយមន័យ និងរូបភាព៖

និយមន័យ៖ ការងារចម្រុះ មិនមែន coplanarវ៉ិចទ័រ យកតាមលំដាប់នេះ។, បានហៅ បរិមាណ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ បំពាក់ដោយសញ្ញា “+” ប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រឹមត្រូវ និងសញ្ញា “–” ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៅខាងឆ្វេង។

តោះធ្វើគំនូរ។ បន្ទាត់ដែលមើលមិនឃើញសម្រាប់យើងគឺត្រូវបានគូរដោយបន្ទាត់ចំនុច៖

ចូរយើងចូលទៅក្នុងនិយមន័យ៖

2) វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេយក នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។នោះគឺ ការរៀបចំវ៉ិចទ័រឡើងវិញនៅក្នុងផលិតផល ដូចដែលអ្នកអាចស្មាន មិនកើតឡើងដោយគ្មានផលវិបាកទេ។

3) មុននឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើអត្ថន័យធរណីមាត្រ ខ្ញុំកត់សំគាល់ ការពិតជាក់ស្តែង: ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER:. នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំ ការរចនាអាចមានភាពខុសប្លែកគ្នាបន្តិចបន្តួច ខ្ញុំធ្លាប់ប្រើដើម្បីសម្គាល់ផលិតផលចម្រុះដោយ , និងលទ្ធផលនៃការគណនាដោយអក្សរ “pe”។

តាមនិយមន័យ ផលិតផលចម្រុះគឺជាបរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ (រូបភាពត្រូវបានគូរដោយវ៉ិចទ័រក្រហម និងបន្ទាត់ខ្មៅ)។ នោះគឺចំនួនស្មើនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ។

4) កុំបារម្ភម្តងទៀតអំពីគំនិតនៃការតំរង់ទិសនៃមូលដ្ឋាននិងលំហ។ អត្ថន័យនៃផ្នែកចុងក្រោយគឺថាសញ្ញាដកអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅកម្រិតសំឡេង។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញផលិតផលចម្រុះអាចអវិជ្ជមាន៖ .

ដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យធ្វើតាមរូបមន្តសម្រាប់គណនាបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រ។

ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងមុំនៃមុំដែលស្ថិតនៅចន្លោះពួកវា។

វាល្អនៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌផ្តល់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដូចគ្នាទាំងនេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាក៏កើតឡើងផងដែរដែលរូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានអនុវត្តតែបន្ទាប់ពីការគណនាដោយប្រើកូអរដោនេ។
ប្រសិនបើអ្នកមានសំណាងហើយលក្ខខណ្ឌផ្តល់ឱ្យប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនោះអ្នកគ្រាន់តែត្រូវអនុវត្តរូបមន្តដែលយើងបានពិភាក្សាលម្អិតរួចហើយនៅក្នុងអត្ថបទ។ ផ្ទៃនឹងស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុល និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការគណនាផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ។

កិច្ចការ៖ប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រ និង . ស្វែងរកតំបន់ប្រសិនបើ ហើយមុំរវាងពួកវាគឺ 30°។
ចូរបង្ហាញវ៉ិចទ័រតាមរយៈតម្លៃរបស់វា៖

ប្រហែលជាអ្នកមានសំណួរមួយ - តើលេខសូន្យមកពីណា? វាគឺមានតំលៃចងចាំថាយើងកំពុងធ្វើការជាមួយវ៉ិចទ័រនិងសម្រាប់ពួកគេ។ . សូមចំណាំផងដែរថាប្រសិនបើលទ្ធផលគឺវានឹងត្រូវបានបំប្លែងទៅជា . ឥឡូវនេះយើងអនុវត្តការគណនាចុងក្រោយ៖

ចូរយើងត្រលប់ទៅបញ្ហាវិញនៅពេលដែលប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រមិនត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ ប្រសិនបើប្រលេឡូក្រាមរបស់អ្នកស្ថិតនៅ ប្រព័ន្ធ Cartesianកូអរដោណេ អ្នកនឹងត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោម។

ការគណនាប្រវែងនៃជ្រុងនៃតួលេខដែលបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេ

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ហើយដកកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នានៃការចាប់ផ្តើមពីកូអរដោនេចុង។ ចូរនិយាយថាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ a គឺ (x1; y1; z1) ហើយវ៉ិចទ័រ b គឺ (x3; y3; z3) ។
ឥឡូវនេះយើងរកឃើញប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះកូអរដោនេនីមួយៗត្រូវតែការ៉េបន្ទាប់មកបន្ថែមលទ្ធផលដែលទទួលបាននិងពី ចំនួនកំណត់ស្រង់ឫស។ ដោយផ្អែកលើវ៉ិចទ័ររបស់យើងនឹងមានការគណនាដូចខាងក្រោមៈ


ឥឡូវអ្នកត្រូវស្វែងរក ផលិតផលចំនុចវ៉ិចទ័ររបស់យើង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបានគុណនិងបន្ថែម។

ដោយគិតពីប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ និងផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់វា យើងអាចរកឃើញកូស៊ីនុសនៃមុំដែលស្ថិតនៅចន្លោះពួកវា។
ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញស៊ីនុសនៃមុំដូចគ្នា៖
ឥឡូវនេះយើងមានបរិមាណចាំបាច់ទាំងអស់ ហើយយើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួលនូវផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រដោយប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់រួចហើយ។