គណិតវិទ្យា គឺជានិមិត្តសញ្ញានៃប្រាជ្ញាវិទ្យាសាស្ត្រ,

គំរូនៃភាពតឹងរ៉ឹង និងសាមញ្ញបែបវិទ្យាសាស្ត្រ,

ស្តង់ដារនៃឧត្តមភាព និងភាពស្រស់ស្អាតនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។

ទស្សនវិទូរុស្ស៊ី សាស្រ្តាចារ្យ A.V. វ៉ុលឡូញូវ

វិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល

បញ្ហាពិបាកដោះស្រាយបំផុតក្នុងគណិតវិទ្យាសាលាគឺវិសមភាព, មានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។ ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពបែបនេះដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវតែមានចំណេះដឹងល្អអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ម៉ូឌុល និងមានជំនាញក្នុងការប្រើប្រាស់វា។

គំនិតជាមូលដ្ឋាននិងលក្ខណៈសម្បត្តិ

ម៉ូឌុល ( តម្លៃដាច់ខាត) ចំនួនពិត តំណាងដោយ ហើយត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោមៈ

TO លក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញម៉ូឌុលរួមមានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

និង។

ចំណាំ ថាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងពីរចុងក្រោយមានសុពលភាពសម្រាប់កម្រិតគូណាមួយ។

លើសពីនេះទៅទៀតប្រសិនបើ, កន្លែង, បន្ទាប់មកនិង

ច្រើនទៀត លក្ខណៈសម្បត្តិស្មុគស្មាញម៉ូឌុល, ដែលអាចត្រូវបានប្រើយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាពនៅពេលដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល, ត្រូវបានរៀបចំឡើងតាមទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោមៈ

ទ្រឹស្តីបទ ១.សម្រាប់ណាមួយ។ មុខងារវិភាគ និង វិសមភាពគឺជាការពិត.

ទ្រឹស្តីបទ ២.សមភាព ស្មើនឹងវិសមភាព.

ទ្រឹស្តីបទ ៣.សមភាព ស្មើនឹងវិសមភាព.

ទូទៅបំផុតនៅក្នុង គណិតវិទ្យាសាលាវិសមភាព, មានអថេរមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល, គឺជាវិសមភាពនៃទម្រង់និង, កន្លែងណា ថេរវិជ្ជមានមួយចំនួន។

ទ្រឹស្តីបទ ៤.វិសមភាព ស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេ, និងដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពកាត់បន្ថយការដោះស្រាយបញ្ហាវិសមភាពនិង។

ទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីបទ ៦ និង ៧។

វិសមភាពកាន់តែស្មុគស្មាញ, ដែលមានម៉ូឌុលគឺជាវិសមភាពនៃទម្រង់, និង .

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពបែបនេះអាចត្រូវបានបង្កើតដោយប្រើទ្រឹស្តីបទចំនួនបីខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.វិសមភាព គឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រព័ន្ធវិសមភាពពីរ

ខ្ញុំ (1)

ភស្តុតាង។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក

នេះបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃ (1) ។

ទ្រឹស្តីបទ ៦.វិសមភាព គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធវិសមភាព

ភស្តុតាង។ដោយសារតែ , បន្ទាប់មកពីវិសមភាពវាធ្វើតាមនោះ។ . នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ វិសមភាពហើយក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធទីពីរនៃវិសមភាព (1) នឹងប្រែទៅជាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ ៧.វិសមភាព គឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវិសមភាពមួយ និងប្រព័ន្ធវិសមភាពពីរ

ខ្ញុំ (3)

ភស្តុតាង។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក វិសមភាព តែងតែត្រូវបានប្រតិបត្តិ, ប្រសិនបើ .

អនុញ្ញាតឱ្យ បន្ទាប់មកវិសមភាពនឹងស្មើនឹងវិសមភាព, ដែលធ្វើតាមសំណុំនៃវិសមភាពពីរនិង។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចូរយើងពិចារណា ឧទាហរណ៍ធម្មតា។ការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "វិសមភាព, មានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។"

ការដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល

ភាគច្រើន វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញវិធីសាស្រ្តដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល, ផ្អែកលើការពង្រីកម៉ូឌុល។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺជាសកល, ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុង ករណីទូទៅការប្រើប្រាស់របស់វាអាចនាំឱ្យមានការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញ។ ដូច្នេះ សិស្ស​គួរ​ដឹង​ពី​វិធីសាស្ត្រ និង​បច្ចេកទេស​ផ្សេង​ទៀត (ដែល​មាន​ប្រសិទ្ធភាព​ជាង) សម្រាប់​ដោះស្រាយ​វិសមភាព​បែប​នេះ។ ជាពិសេស, ចាំបាច់ត្រូវមានជំនាញក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ, ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១.ដោះស្រាយវិសមភាព

. (4)

ដំណោះស្រាយ។យើងនឹងដោះស្រាយវិសមភាព (4) ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ "បុរាណ" - វិធីសាស្ត្របង្ហាញម៉ូឌុល។ ចំពោះគោលបំណងនេះយើងបែងចែកអ័ក្សលេខចំណុច និង ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលហើយពិចារណាករណីបី។

1. ប្រសិនបើ , , , , និងវិសមភាព (4) បង្កើតទម្រង់ឬ។

ដោយសារករណីនេះត្រូវបានពិចារណានៅទីនេះ វាគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព (4)។

2. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកពីវិសមភាព (4) យើងទទួលបានឬ . ចាប់តាំងពីចំណុចប្រសព្វនៃចន្លោះពេលនិង គឺទទេ, បន្ទាប់មកនៅលើចន្លោះពេលនៃដំណោះស្រាយដែលកំពុងពិចារណាមិនមានវិសមភាពទេ (4) ។

3. ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកវិសមភាព (4) បង្កើតទម្រង់ឬ។ វាច្បាស់ណាស់។ ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព (៤).

ចម្លើយ៖ , ។

ឧទាហរណ៍ ២.ដោះស្រាយវិសមភាព.

ដំណោះស្រាយ។ចូរសន្មតថា។ ដោយសារតែ , បន្ទាប់មកវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យមានទម្រង់ឬ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ហើយពីទីនេះវាធ្វើតាមឬ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយឬ។

ឧទាហរណ៍ ៣.ដោះស្រាយវិសមភាព

. (5)

ដំណោះស្រាយ។ដោយសារតែ , បន្ទាប់មកវិសមភាព (5) គឺស្មើនឹងវិសមភាពឬ។ ពីទីនេះ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ៤, យើងមានសំណុំនៃវិសមភាពនិង។

ចម្លើយ៖ , ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។ដោះស្រាយវិសមភាព

. (6)

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងសម្គាល់។ បន្ទាប់មកពីវិសមភាព (6) យើងទទួលបានវិសមភាព , ឬ .

ពីទីនេះ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល, យើងទទួលបាន . ដោយសារតែ , បន្ទាប់មកនៅទីនេះយើងមានប្រព័ន្ធវិសមភាព

ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពទីមួយនៃប្រព័ន្ធ (7) គឺជាការរួបរួមនៃចន្លោះពេលពីរនិង , ហើយដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពទីពីរគឺវិសមភាពទ្វេ. វាធ្វើតាមពីនេះ ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាព (៧) គឺជាការរួបរួមនៃចន្លោះពេលពីរនិង។

ចម្លើយ៖ ,

ឧទាហរណ៍ 5 ។ដោះស្រាយវិសមភាព

. (8)

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបំប្លែងវិសមភាព (៨) ដូចតទៅ៖

ឬ។

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល, យើងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព (8) ។

ចម្លើយ៖ ។

ចំណាំ។ ប្រសិនបើយើងដាក់ និងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ 5 យើងទទួលបាន។

ឧទាហរណ៍ ៦.ដោះស្រាយវិសមភាព

. (9)

ដំណោះស្រាយ។ ពីវិសមភាព (9) វាដូចខាងក្រោម. ចូរយើងបំប្លែងវិសមភាព (៩) ដូចតទៅ៖

ឬ

ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ ៧.ដោះស្រាយវិសមភាព

. (10)

ដំណោះស្រាយ។តាំង​ពី​ពេល​នោះ​មក ឬ .

ក្នុងន័យនេះ។ និងវិសមភាព (10) យកទម្រង់

ឬ

. (11)

វាធ្វើតាមនោះឬ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក វិសមភាព (11) ក៏បង្កប់ន័យ ឬ .

ចម្លើយ៖ ។

ចំណាំ។ ប្រសិនបើយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ 1 ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (10)បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន . ពីនេះនិងវិសមភាព (10) វាដូចខាងក្រោមអ្វី ឬ . ដោយសារតែ , បន្ទាប់មកវិសមភាព (១០) បង្កើតទម្រង់ឬ។

ឧទាហរណ៍ ៨.ដោះស្រាយវិសមភាព

. (12)

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក និងពីវិសមភាព (12) វាដូចខាងក្រោមឬ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយឬ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានឬ។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ ៩.ដោះស្រាយវិសមភាព

. (13)

ដំណោះស្រាយ។យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ៧ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព (១៣) គឺ ឬ .

សូមឱ្យវាក្លាយជាឥឡូវនេះ។ ក្នុងករណីនោះ។ និងវិសមភាព (13) យកទម្រង់ឬ។

ប្រសិនបើអ្នកផ្សំចន្លោះពេលនិង , បន្ទាប់មកយើងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព (13) នៃទម្រង់.

ឧទាហរណ៍ 10 ។ដោះស្រាយវិសមភាព

. (14)

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងសរសេរវិសមភាពឡើងវិញ (14) ក្នុងទម្រង់សមមូល៖ . ប្រសិនបើយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ 1 ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពនេះ យើងទទួលបានវិសមភាព។

ពីទីនេះ និងពីទ្រឹស្តីបទទី១ វាធ្វើតាម, វិសមភាព (14) ពេញចិត្តចំពោះតម្លៃណាមួយ។.

ចម្លើយ៖ លេខណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ 11 ។ដោះស្រាយវិសមភាព

. (15)

ដំណោះស្រាយ។ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ ១ ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (១៥), យើងទទួលបាន . នេះនិងវិសមភាព (15) ផ្តល់លទ្ធផលសមីការ, ដែលមានទម្រង់.

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ៣, សមីការ ស្មើនឹងវិសមភាព. ពីទីនេះយើងទទួលបាន.

ឧទាហរណ៍ 12 ។ដោះស្រាយវិសមភាព

. (16)

ដំណោះស្រាយ. ពីវិសមភាព (16) យោងតាមទ្រឹស្តីបទទី 4 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធវិសមភាព

នៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើទ្រឹស្តីបទ 6 និងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពពីដែលវាធ្វើតាម.

ពិចារណាពីវិសមភាព. យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ៧, យើងទទួលបានសំណុំនៃវិសមភាពនិង។ វិសមភាពប្រជាជនទីពីរមានសុពលភាពសម្រាប់ពិតប្រាកដណាមួយ។.

ដូច្នេះ , ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព (១៦) គឺ.

ឧទាហរណ៍ 13 ។ដោះស្រាយវិសមភាព

. (17)

ដំណោះស្រាយ។យោងតាមទ្រឹស្តីបទទី១ យើងអាចសរសេរបាន។

(18)

ដោយពិចារណាលើវិសមភាព (17) យើងសន្និដ្ឋានថាវិសមភាពទាំងពីរ (18) ប្រែទៅជាសមភាពពោលគឺឧ។ មានប្រព័ន្ធសមីការ

ដោយទ្រឹស្តីបទ ៣ ប្រព័ន្ធនេះ។សមីការគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធវិសមភាព

ឬ

ឧទាហរណ៍ 14 ។ដោះស្រាយវិសមភាព

. (19)

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ចូរយើងគុណទាំងសងខាងនៃវិសមភាព (19) ដោយកន្សោម ដែលសម្រាប់តែតម្លៃណាមួយប៉ុណ្ណោះ តម្លៃវិជ្ជមាន. បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវិសមភាពដែលស្មើនឹងវិសមភាព (19) នៃទម្រង់

ពីទីនេះយើងទទួលបានឬកន្លែងណា។ ចាប់តាំងពី និង បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព (19) គឺនិង។

ចម្លើយ៖ , ។

សម្រាប់ការសិក្សាស៊ីជម្រៅបន្ថែមទៀតអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល យើងសូមណែនាំឱ្យងាកទៅសៀវភៅសិក្សា, ផ្តល់ជូនក្នុងបញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានណែនាំ។

1. ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅមហាវិទ្យាល័យ / Ed ។ M.I. ស្កានវី។ - អិមៈ សន្តិភាព និងការអប់រំ, 2013. – 608 ទំ។

2. Suprun V.P. គណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ៖ វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ និងបញ្ជាក់វិសមភាព។ - M. : Lenand / URSS, 2018. – 264 ទំ។

3. Suprun V.P. គណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ៖ វិធីសាស្រ្តមិនស្តង់ដារការដោះស្រាយបញ្ហា។ - អិមៈ ស៊ីឌី "Librocom" / URSS, 2017. – 296 ទំ។

នៅតែមានសំណួរ?

ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូបង្រៀន សូមចុះឈ្មោះ។

គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ម៉ូឌុលនៃលេខលេខនេះខ្លួនឯងត្រូវបានហៅប្រសិនបើវាមិនអវិជ្ជមាន ឬលេខដូចគ្នាជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយប្រសិនបើវាអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍ ម៉ូឌុលនៃលេខ 6 គឺ 6 ហើយម៉ូឌុលនៃលេខ -6 ក៏ជា 6 ផងដែរ។

នោះគឺម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយត្រូវបានយល់ថាជាតម្លៃដាច់ខាត តម្លៃដាច់ខាតលេខនេះដោយមិនគិតពីសញ្ញារបស់វា។

វាត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោមៈ |6|, | X|, |ក| ល។

(ព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែមនៅក្នុងផ្នែក "ម៉ូឌុលលេខ") ។

សមីការជាមួយម៉ូឌុល។

ឧទាហរណ៍ ១ . ដោះស្រាយសមីការ|10 X - 5| = 15.

ដំណោះស្រាយ.

យោងទៅតាមក្បួនសមីការគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសមីការពីរ៖

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

យើងសម្រេចចិត្ត៖

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

ចម្លើយ: X 1 = 2, X 2 = -1.

ឧទាហរណ៍ ២ . ដោះស្រាយសមីការ|2 X + 1| = X + 2.

ដំណោះស្រាយ.

ចាប់តាំងពីម៉ូឌុលគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដូច្នេះ X+ 2 ≥ 0. ដូច្នោះ៖

X ≥ -2.

ចូរយើងបង្កើតសមីការពីរ៖

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

យើងសម្រេចចិត្ត៖

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

លេខទាំងពីរគឺធំជាង -2 ។ ដូច្នេះទាំងពីរគឺជាឫសគល់នៃសមីការ។

ចម្លើយ: X 1 = -1, X 2 = 1.

ឧទាហរណ៍ ៣ . ដោះស្រាយសមីការ

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

ដំណោះស្រាយ.

សមីការមានអត្ថន័យ ប្រសិនបើភាគបែងមិនមែន ស្មើនឹងសូន្យ- មានន័យថាប្រសិនបើ X≠ 1. ចូរយើងគិតពីលក្ខខណ្ឌនេះ។ សកម្មភាពដំបូងរបស់យើងគឺសាមញ្ញ - យើងមិនគ្រាន់តែកម្ចាត់ប្រភាគនោះទេ ប៉ុន្តែបំប្លែងវាដើម្បីទទួលបានម៉ូឌុលក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធរបស់វា៖

|X+ ៣| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

ឥឡូវនេះយើងមានតែកន្សោមនៅក្រោមម៉ូឌុលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ តោះបន្តទៅមុខទៀត។
ម៉ូឌុលនៃលេខគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន - នោះគឺវាត្រូវតែធំជាងសូន្យ ឬស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះហើយ យើងដោះស្រាយវិសមភាព៖

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

ដូច្នេះ យើងមានលក្ខខណ្ឌទីពីរ៖ ឫសនៃសមីការត្រូវតែមានយ៉ាងហោចណាស់ 3/4 ។

អនុលោម​តាម​ក្បួន យើង​ចងក្រង​សំណុំ​នៃ​សមីការ​ពីរ ហើយ​ដោះស្រាយ​វា៖

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

យើង​បាន​ទទួល​ចម្លើយ​ពីរ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើពួកវាជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

យើងមានលក្ខខណ្ឌពីរ៖ ឫសនៃសមីការមិនអាចស្មើនឹង 1 ហើយវាត្រូវតែមានយ៉ាងហោចណាស់ 3/4 ។ នោះគឺជា X ≠ 1, X≥ 3/4 ។ មានតែចម្លើយមួយក្នុងចំណោមចម្លើយទាំងពីរដែលទទួលបានត្រូវគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះ - លេខ 2. នេះមានន័យថាមានតែនេះជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ចម្លើយ: X = 2.

វិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល។

ឧទាហរណ៍ ១ . ដោះស្រាយវិសមភាព| X - 3| < 4

ដំណោះស្រាយ.

ក្បួនម៉ូឌុលចែងថា:

|ក| = ក, ប្រសិនបើ ក ≥ 0.

|ក| = -ក, ប្រសិនបើ ក < 0.

ម៉ូឌុលអាចមានទាំងលេខមិនអវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះយើងត្រូវពិចារណាករណីទាំងពីរ៖ X- 3 ≥ 0 និង X - 3 < 0.

1) ពេលណា X- 3 ≥ 0 វិសមភាពដើមរបស់យើងនៅតែមានដដែល ដោយគ្មានសញ្ញាម៉ូឌុល៖
X - 3 < 4.

2) ពេលណា X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

ការបើកតង្កៀបយើងទទួលបាន៖

-X + 3 < 4.

ដូច្នេះ ពីលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះ យើងបានឈានទៅដល់ការបង្រួបបង្រួមប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពពីរ៖

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

តោះដោះស្រាយពួកគេ៖

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

ដូច្នេះ ចម្លើយ​របស់​យើង​គឺ​ជា​ការ​រួបរួម​ពីរ​ឈុត៖

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

កំណត់តូចបំផុតនិង តម្លៃខ្ពស់បំផុត. ទាំងនេះគឺ -1 និង 7. លើសពីនេះទៅទៀត Xធំជាង -1 ប៉ុន្តែតិចជាង 7 ។
ក្រៅពីនេះ X≥ 3. នេះមានន័យថាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពគឺជាសំណុំទាំងមូលនៃលេខពី -1 ដល់ 7 ដោយមិនរាប់បញ្ចូលលេខខ្លាំងទាំងនេះ។

ចម្លើយ: -1 < X < 7.

ឬ៖ X ∈ (-1; 7).

កម្មវិធីបន្ថែម.

1) មានវិធីសាមញ្ញ និងខ្លីជាងដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពរបស់យើង - ក្រាហ្វិក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវគូរអ័ក្សផ្ដេក (រូបភាពទី 1) ។

កន្សោម | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Xដល់ចំណុច 3 គឺតិចជាងបួនឯកតា។ យើងសម្គាល់លេខ 3 នៅលើអ័ក្សហើយរាប់ 4 ផ្នែកទៅខាងឆ្វេងនិងទៅខាងស្តាំរបស់វា។ នៅខាងឆ្វេងយើងនឹងមកដល់ចំណុច -1 នៅខាងស្តាំ - ទៅចំណុច 7. ដូច្នេះចំណុច Xយើងគ្រាន់តែឃើញពួកវាដោយមិនគណនា។

លើសពីនេះទៅទៀតយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌវិសមភាព -1 និង 7 ខ្លួនឯងមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំនៃដំណោះស្រាយទេ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានចម្លើយ៖

1 < X < 7.

2) ប៉ុន្តែមានដំណោះស្រាយមួយផ្សេងទៀតដែលសាមញ្ញជាងវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ វិសមភាពរបស់យើងត្រូវតែបង្ហាញក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

4 < X - 3 < 4.

យ៉ាងណាមិញនេះគឺជារបៀបដែលវាយោងទៅតាមច្បាប់នៃម៉ូឌុល។ លេខមិនអវិជ្ជមាន 4 និងលេខអវិជ្ជមានស្រដៀងគ្នា -4 គឺជាព្រំដែនសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាព។

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

ឧទាហរណ៍ ២ . ដោះស្រាយវិសមភាព| X - 2| ≥ 5

ដំណោះស្រាយ.

ឧទាហរណ៍​នេះ​គឺ​ខុស​គ្នា​ខ្លាំង​ពី​លើក​មុន​។ ផ្នែកខាងឆ្វេងធំជាង 5 ឬស្មើនឹង 5. C ចំណុចធរណីមាត្រតាមទស្សនៈ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពគឺជាលេខទាំងអស់ដែលមានចម្ងាយ 5 ឯកតា ឬច្រើនជាងនេះពីចំណុច 2 (រូបភាពទី 2)។ ក្រាហ្វបង្ហាញថាទាំងនេះគឺជាលេខទាំងអស់ដែលតិចជាង ឬស្មើ -3 និងធំជាងឬស្មើ 7។ នេះមានន័យថាយើងបានទទួលចម្លើយរួចហើយ។

ចម្លើយ: -3 ≥ X ≥ 7.

នៅតាមផ្លូវ យើងដោះស្រាយវិសមភាពដូចគ្នាដោយរៀបចំពាក្យសេរីឡើងវិញនៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ៖

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

ចម្លើយគឺដូចគ្នា៖ -3 ≥ X ≥ 7.

ឬ៖ X ∈ [-3; 7]

ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៣ . ដោះស្រាយវិសមភាព 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

ដំណោះស្រាយ.

លេខ Xអាចជាលេខវិជ្ជមាន លេខអវិជ្ជមាន ឬសូន្យ។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​ត្រូវ​គិតគូរ​ពី​កាលៈទេសៈ​ទាំង​បី។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាពួកគេត្រូវបានគេយកទៅក្នុងគណនីវិសមភាពពីរ: X≥ 0 និង X < 0. При X≥ 0 យើងគ្រាន់តែសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពដើមរបស់យើងដូចដែលនៅដដែល ដោយគ្មានសញ្ញាម៉ូឌុល៖

6x2 - X - 2 ≤ 0.

ឥឡូវនេះអំពីករណីទីពីរ: ប្រសិនបើ X < 0. Модулем ចំនួនអវិជ្ជមានគឺជាលេខដូចគ្នាដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។ នោះគឺយើងសរសេរលេខនៅក្រោមម៉ូឌុលដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយម្តងទៀតដោះលែងខ្លួនយើងពីសញ្ញាម៉ូឌុល៖

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

ការពង្រីកតង្កៀប៖

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

ដូច្នេះយើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការពីរ៖

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

យើងត្រូវដោះស្រាយវិសមភាពនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ហើយនេះមានន័យថាយើងត្រូវស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េពីរ។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​យក​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង​នៃ​វិសមភាព​ទៅ​សូន្យ។

តោះចាប់ផ្តើមជាមួយទីមួយ៖

6X 2 - X - 2 = 0.

វិធីដោះស្រាយ សមីការ​ការ៉េ- សូមមើលផ្នែក "សមីការបួនជ្រុង" ។ យើងនឹងដាក់ឈ្មោះចម្លើយភ្លាមៗ៖

X 1 = −1/2, x 2 = 2/3 ។

ពីប្រព័ន្ធដំបូងនៃវិសមភាពយើងទទួលបានថាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពដើមគឺជាសំណុំនៃលេខទាំងមូលពី -1/2 ដល់ 2/3 ។ យើងសរសេរសហជីពនៃដំណោះស្រាយនៅ X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េទីពីរ៖

6X 2 + X - 2 = 0.

ឫសរបស់វា៖

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ពេលណា X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

ចូរយើងបញ្ចូលគ្នានូវចំលើយទាំងពីរ ហើយទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ៖ ដំណោះស្រាយគឺជាសំណុំនៃលេខទាំងមូលពី -2/3 ដល់ 2/3 រួមទាំងលេខខ្លាំងទាំងនេះ។

ចម្លើយ: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

ឬ៖ X ∈ [-2/3; 2/3].

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពដែលមានម៉ូឌុល។ សូមក្រឡេកមើលពួកគេខ្លះ។

1) ការដោះស្រាយវិសមភាពដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្រនៃម៉ូឌុល។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថាវាជាអ្វី ទ្រព្យសម្បត្តិធរណីមាត្រម៉ូឌុល៖ ម៉ូឌុលនៃចំនួន x គឺជាចំងាយពីប្រភពដើមទៅចំណុចជាមួយកូអរដោនេ x ។

នៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពដោយប្រើវិធីនេះ ករណីពីរអាចកើតឡើង៖

1. |x| ≤ ខ,

ហើយវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុលជាក់ស្តែងកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពពីរ។ នៅទីនេះសញ្ញាអាចមានភាពតឹងរ៉ឹង ក្នុងករណីនេះចំនុចក្នុងរូបភាពនឹងត្រូវបាន "វាយដំ"។

2. |x| ≥ ខ,បន្ទាប់មករូបភាពនៃដំណោះស្រាយមើលទៅដូចនេះ៖

ហើយវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុលជាក់ស្តែងកាត់បន្ថយទៅជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវិសមភាពពីរ។ នៅទីនេះសញ្ញាអាចមានភាពតឹងរ៉ឹង ក្នុងករណីនេះចំនុចក្នុងរូបភាពនឹងត្រូវបាន "វាយដំ"។

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយវិសមភាព |4 – |x|| ≥ 3.

ដំណោះស្រាយ។

វិសមភាពនេះគឺស្មើនឹងសំណុំដូចខាងក្រោម៖

U [-1;1] យូ

ឧទាហរណ៍ ២.

ដោះស្រាយវិសមភាព ||x+2| – ៣| ≤ 2.

ដំណោះស្រាយ។

វិសមភាពនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធខាងក្រោម។

(|x + 2|– 3 ≥ −2
(|x + 2|– 3 ≤ 2,
(|x+2| ≥ ១
(|x + 2| ≤ ៥.

ចូរយើងដោះស្រាយដោយឡែកពីគ្នានូវវិសមភាពទីមួយនៃប្រព័ន្ធ។ វាស្មើនឹងសំណុំដូចខាងក្រោមៈ

U[-1; ៣]។

2) ការដោះស្រាយវិសមភាពដោយប្រើនិយមន័យនៃម៉ូឌុល។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកជាមុនសិន និយមន័យម៉ូឌុល។

|a| = a ប្រសិនបើ a ≥ 0 និង |a| = -a ប្រសិនបើ a< 0.

ឧទាហរណ៍ |34| = 34, |-21| = -(-២១) = ២១.

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយវិសមភាព 3|x–1| ≤ x+3 ។

ដំណោះស្រាយ។

ដោយប្រើនិយមន័យម៉ូឌុល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធពីរ៖

(x − 1 ≥ 0
(3(x − 1) ≤ x + 3

(x–១< 0
(−3(x − 1) ≤ x + 3 ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធទីមួយ និងទីពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នា យើងទទួលបាន៖

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0 ។

ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពដើមនឹងជាដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធទីមួយ និងដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធទីពីរ។

ចម្លើយ៖ x €។

3) ការដោះស្រាយវិសមភាពដោយការ៉េ។

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយវិសមភាព |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

ដំណោះស្រាយ។

ចូរ​ធ្វើ​ការ៉េ​ទាំង​សងខាង​នៃ​វិសមភាព។ ខ្ញុំសូមកត់សម្គាល់ថា អ្នកអាចដាក់វិសមភាពទាំងសងខាងបាន លុះត្រាតែពួកគេទាំងពីរមានភាពវិជ្ជមាន។ IN ក្នុងករណីនេះយើង​មាន​ម៉ូឌុល​ទាំង​ឆ្វេង និង​ស្តាំ ដូច្នេះ​យើង​អាច​ធ្វើ​វា​បាន។

(|x ២–១|) ២< (|x 2 – x + 1|) 2 .

ឥឡូវ​យើង​ប្រើ​លក្ខណសម្បត្តិ​ខាងក្រោម​នៃ​ម៉ូឌុល៖ (|x|) 2 = x 2 ។

(x 2 − 1) ២< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 − 1) 2 − (x 2 − x + 1) ២< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1) (x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2) (2x 2 – x)< 0,

x(x–2)(2x–1)< 0.

យើងដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល។

ចម្លើយ៖ x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) ដោះស្រាយវិសមភាពដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយវិសមភាព (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

ដំណោះស្រាយ។

ចំណាំថា (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវិសមភាព

(|2x + 3|) 2 − |2x + 3| ≤ 30 ។

ចូរធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ y = |2x + 3| ។

ចូរសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពរបស់យើង ដោយគិតគូរពីការជំនួស។

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0 ។

ចូរ​បំបែក​ ត្រីកោណមាត្រ, ឈរនៅខាងឆ្វេង, ចូលទៅក្នុងកត្តា។

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 ដល់ 11) / 2,

(y − 6)(y + 5) ≤ 0 ។

ចូរដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល ហើយទទួលបាន៖

ចូរយើងត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ៖

5 ≤ |2x + 3| ≤ ៦.

វិសមភាពទ្វេនេះស្មើនឹងប្រព័ន្ធវិសមភាព៖

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ −5 ។

ចូរយើងដោះស្រាយវិសមភាពនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។

ទីមួយគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ −6 ។

ចូរយើងដោះស្រាយវា។

(x ≤ 1.5
(x ≥ −4.5 ។

វិសមភាពទី 2 ច្បាស់ជាមានសម្រាប់ x ទាំងអស់ ដោយហេតុថាម៉ូឌុលគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ដោយសារដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺទាំងអស់ x ដែលក្នុងពេលដំណាលគ្នាបំពេញទាំងវិសមភាពទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ នោះដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដើមនឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពទ្វេដំបូងរបស់វា (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ទីពីរគឺពិតសម្រាប់ x ទាំងអស់) .

ចម្លើយ: x € [-4.5; ១.៥]។

blog.site នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។

ថ្ងៃនេះ​មិត្ត​ភ័ក្តិ​នឹង​មិនមាន​ក្លិនស្អុយ ឬ​មនោសញ្ចេតនា​អ្វី​ឡើយ​។ ជំនួសមកវិញ ខ្ញុំនឹងបញ្ជូនអ្នក ដោយគ្មានសំណួរសួរ ចូលទៅក្នុងសមរភូមិជាមួយនឹងមួយក្នុងចំណោមភាគច្រើនបំផុត។ គូប្រជែងដ៏ខ្លាំងនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 8-9 ។

បាទ អ្នកយល់គ្រប់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ៖ យើងកំពុងនិយាយអំពីវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល។ យើងនឹងពិនិត្យមើលបច្ចេកទេសជាមូលដ្ឋានចំនួន 4 ដែលអ្នកនឹងរៀនដោះស្រាយបញ្ហាប្រហែល 90% នៃបញ្ហាបែបនេះ។ ចុះ១០%ទៀត? ជាការប្រសើរណាស់, យើងនឹងនិយាយអំពីពួកគេនៅក្នុងមេរៀនដាច់ដោយឡែក :) ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មុននឹងធ្វើការវិភាគលើបច្ចេកទេសណាមួយ ខ្ញុំចង់រំលឹកអ្នកអំពីការពិតពីរដែលអ្នកត្រូវដឹងរួចហើយ។ បើមិនដូច្នោះទេ អ្នកប្រថុយនឹងការមិនយល់ខ្លឹមសារនៃមេរៀនថ្ងៃនេះទាល់តែសោះ។

អ្វីដែលអ្នកត្រូវដឹងរួចហើយ

Captain Obviousness ហាក់ដូចជាណែនាំថា ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល អ្នកត្រូវដឹងពីរយ៉ាង៖

1. របៀបដែលវិសមភាពត្រូវបានដោះស្រាយ;
2. តើម៉ូឌុលគឺជាអ្វី?

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងចំណុចទីពីរ។

និយមន័យម៉ូឌុល

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ មាននិយមន័យពីរ៖ ពិជគណិត និងក្រាហ្វិក។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ វាជាពិជគណិត៖

និយមន័យ។ ម៉ូឌុលនៃចំនួន $x$ គឺជាចំនួនផ្ទាល់ ប្រសិនបើវាមិនអវិជ្ជមាន ឬលេខផ្ទុយនឹងវា ប្រសិនបើ $x$ ដើមនៅតែអវិជ្ជមាន។

វាត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\x\ge 0, \\ & -x,\x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

ការនិយាយ ជាភាសាសាមញ្ញម៉ូឌុលគឺជា "លេខដោយគ្មានដក" ។ ហើយវាច្បាស់ណាស់នៅក្នុង duality នេះ (នៅកន្លែងខ្លះអ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើអ្វីជាមួយលេខដើមទេ ប៉ុន្តែនៅកន្លែងខ្លះទៀត អ្នកនឹងត្រូវដកប្រភេទដកមួយចំនួនចេញ) ដែលជាកន្លែងលំបាកទាំងមូលសម្រាប់សិស្សចាប់ផ្តើម។

មានច្រើនទៀត និយមន័យធរណីមាត្រ. វាក៏មានប្រយោជន៍ផងដែរក្នុងការដឹងប៉ុន្តែយើងនឹងងាកទៅរកវាតែនៅក្នុងករណីស្មុគស្មាញនិងពិសេសមួយចំនួនដែលវិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រមានភាពងាយស្រួលជាងពិជគណិត (spoiler: មិនមែនថ្ងៃនេះទេ) ។

និយមន័យ។ សូមអោយចំនុច $a$ ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់លេខ។ បន្ទាប់មក ម៉ូឌុល $\left| x-a \right|$ គឺជាចម្ងាយពីចំណុច $x$ ទៅចង្អុល $a$ នៅលើបន្ទាត់នេះ។

ប្រសិនបើអ្នកគូររូប អ្នកនឹងទទួលបានអ្វីមួយដូចនេះ៖

និយមន័យម៉ូឌុលក្រាហ្វិក

វិធីមួយ ឬមធ្យោបាយផ្សេងទៀត ពីនិយមន័យនៃម៉ូឌុល ទ្រព្យសម្បត្តិគន្លឹះរបស់វាភ្លាមៗដូចខាងក្រោម៖ ម៉ូឌុលនៃចំនួនគឺតែងតែជាបរិមាណមិនអវិជ្ជមាន. ការ​ពិត​នេះ​នឹង​ក្លាយ​ជា​ខ្សែ​ក្រហម​ដែល​កំពុង​ដំណើរ​ការ​តាម​រយៈ​ការ​រៀបរាប់​ទាំង​មូល​របស់​យើង​នៅ​ថ្ងៃ​នេះ។

ការដោះស្រាយវិសមភាព។ វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលវិសមភាព។ មានពួកគេជាច្រើន ប៉ុន្តែភារកិច្ចរបស់យើងឥឡូវនេះគឺដើម្បីអាចដោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់ពួកគេសាមញ្ញបំផុត។ អ្នកដែលចុះមក វិសមភាពលីនេអ៊ែរក៏ដូចជាវិធីសាស្រ្តចន្លោះពេល។

ខ្ញុំមានពីរលើប្រធានបទនេះ។ មេរៀនធំ(ដោយវិធីនេះ, មានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ - ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យសិក្សា):

1. វិធីសាស្រ្តចន្លោះពេលសម្រាប់វិសមភាព (ជាពិសេសមើលវីដេអូ);
2. វិសមភាពសមហេតុផលប្រភាគគឺជាមេរៀនដ៏ទូលំទូលាយមួយ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីវាអ្នកនឹងមិនមានសំណួរអ្វីទាំងអស់។

ប្រសិនបើអ្នកដឹងអ្វីៗទាំងអស់នេះ ប្រសិនបើឃ្លា "តោះផ្លាស់ប្តូរពីវិសមភាពទៅសមីការ" មិនធ្វើឱ្យអ្នកមានបំណងប្រាថ្នាមិនច្បាស់លាស់ដើម្បីវាយខ្លួនឯងប្រឆាំងនឹងជញ្ជាំងនោះអ្នកត្រៀមខ្លួនហើយ: សូមស្វាគមន៍មកកាន់ឋាននរកទៅកាន់ប្រធានបទសំខាន់នៃមេរៀន :) ។

1. វិសមភាពនៃទម្រង់ "ម៉ូឌុលគឺតិចជាងមុខងារ"

នេះគឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទូទៅបំផុតជាមួយម៉ូឌុល។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពនៃទម្រង់៖

\[\ ឆ្វេង| f\ត្រូវ| \ltg\]

មុខងារ $f$ និង $g$ អាចជាអ្វីក៏បាន ប៉ុន្តែជាធម្មតាពួកវាជាពហុនាម។ ឧទាហរណ៍នៃវិសមភាពបែបនេះ៖

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \\ ត្រូវ| \lt x+7; \\ & \ ឆ្វេង| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1\right) \lt 0; \\ & \ ឆ្វេង| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3\right| \lt 2. \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ពួកវាទាំងអស់អាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមព្យញ្ជនៈក្នុងមួយជួរយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម:

\[\ ឆ្វេង| f\ត្រូវ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(តម្រឹម) \right.\right)\]

វាងាយមើលឃើញថាយើងកម្ចាត់ម៉ូឌុល ប៉ុន្តែយើងទទួលបានវិសមភាពទ្វេ (ឬដែលជារឿងដូចគ្នា ប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពពីរ)។ ប៉ុន្តែការផ្លាស់ប្តូរនេះគិតគូរពីអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង បញ្ហាដែលអាចកើតមាន៖ ប្រសិនបើលេខក្រោមម៉ូឌុលគឺវិជ្ជមាន វិធីសាស្ត្រដំណើរការ។ ប្រសិនបើអវិជ្ជមានវានៅតែដំណើរការ។ ហើយសូម្បីតែមុខងារមិនគ្រប់គ្រាន់បំផុតជំនួស $f$ ឬ $g$ វិធីសាស្ត្រនឹងនៅតែដំណើរការ។

ជាធម្មតាសំណួរកើតឡើង៖ តើវាមិនងាយស្រួលជាងនេះទេ? ជាអកុសល វាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ នេះគឺជាចំណុចទាំងមូលនៃម៉ូឌុល។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយគ្រប់គ្រាន់ជាមួយនឹងទស្សនវិជ្ជា។ តោះដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន៖

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

\[\ ឆ្វេង| 2x+3 \\ ត្រូវ| \lt x+7\]

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះយើងមានវិសមភាពបុរាណនៃទម្រង់ "ម៉ូឌុលគឺតិចជាង" - មិនមានអ្វីផ្លាស់ប្តូរទេ។ យើងធ្វើការតាមក្បួនដោះស្រាយ៖

\[\begin(align) & \left| f \ ស្តាំ | \lt g\ Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \ ឆ្វេង| 2x+3 \\ ត្រូវ| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7\right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

កុំប្រញាប់ប្រញាល់បើកវង់ក្រចកដែលនាំមុខដោយ "ដក"៖ វាអាចទៅរួចដែលថាដោយសារការប្រញាប់របស់អ្នក អ្នកនឹងធ្វើឱ្យមានកំហុសឆ្គង។

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \\ right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \\ right.\]

បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាវិសមភាពបឋមពីរ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេនៅលើបន្ទាត់លេខស្របគ្នា:

ប្រសព្វនៃសំណុំ

ចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំទាំងនេះនឹងជាចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ $x\in \left(-\frac(10)(3);4\right)$

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1\right) \lt 0\]

ដំណោះស្រាយ។ កិច្ចការនេះពិបាកជាងបន្តិច។ ទីមួយ ចូរយើងញែកម៉ូឌុលដោយផ្លាស់ទីពាក្យទីពីរទៅខាងស្តាំ៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(2))+2x-3 \\ ស្តាំ| \lt -3\left(x+1\right)\]

ជាក់ស្តែង យើងមានវិសមភាពនៃទម្រង់ "ម៉ូឌុលគឺតូចជាង" ម្តងទៀត ដូច្នេះយើងកម្ចាត់ម៉ូឌុលដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលគេស្គាល់រួចហើយ៖

\[-\left(-3\left(x+1\right)\right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1\right)\]

ឥឡូវនេះ យកចិត្តទុកដាក់៖ នរណាម្នាក់នឹងនិយាយថាខ្ញុំខុសបន្តិចជាមួយនឹងវង់ក្រចកទាំងនេះ។ ប៉ុន្តែខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកម្តងទៀតថា គោលដៅសំខាន់របស់យើងគឺ ដោះស្រាយវិសមភាពឱ្យបានត្រឹមត្រូវ និងទទួលបានចម្លើយ. ក្រោយមក នៅពេលដែលអ្នកបានស្ទាត់ជំនាញគ្រប់យ៉ាងដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងមេរៀននេះរួចហើយ អ្នកអាចបំប្លែងវាដោយខ្លួនឯងតាមដែលអ្នកចង់បាន៖ បើកវង់ក្រចក បន្ថែមសញ្ញាដក។ល។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងនឹងកម្ចាត់ដកពីរនៅខាងឆ្វេង៖

\[-\left(-3\left(x+1\right)\right)=\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)\cdot ឆ្វេង(x+1\right) =3\left(x+1\right)\]

ឥឡូវនេះសូមបើកតង្កៀបទាំងអស់នៅក្នុងវិសមភាពទ្វេ៖

ចូរបន្តទៅវិសមភាពទ្វេ។ លើកនេះការគណនានឹងកាន់តែធ្ងន់ធ្ងរ៖

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(តម្រឹម) \\ ស្តាំ។\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( តម្រឹម)\right.\]

វិសមភាពទាំងពីរមានលក្ខណៈជាចតុកោណ ហើយអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល (នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំនិយាយថា៖ ប្រសិនបើអ្នកមិនដឹងថាវាជាអ្វីទេ វាជាការប្រសើរជាងកុំយកម៉ូឌុលនៅឡើយទេ)។ ចូរបន្តទៅសមីការក្នុងវិសមភាពទីមួយ៖

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5\right)=0; \\ & ((x)_(១))=០;((x)_(២))=-៥។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ លទ្ធផលគឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែលអាចដោះស្រាយបានតាមវិធីបឋម។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលវិសមភាពទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ នៅទីនោះអ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2\right)=0; \\& ((x)_(១))=៣;((x)_(២))=-២។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

យើងសម្គាល់លេខលទ្ធផលនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ (ដាច់ដោយឡែកសម្រាប់វិសមភាពទីមួយ និងដាច់ដោយឡែកសម្រាប់ទីពីរ):

ជាថ្មីម្តងទៀត ដោយសារយើងកំពុងដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាព យើងចាប់អារម្មណ៍លើចំនុចប្រសព្វនៃឈុតដែលមានស្រមោល៖ $x\in \left(-5;-2 \right)$។ នេះគឺជាចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ $x\in \left(-5;-2\right)$

ខ្ញុំគិតថាបន្ទាប់ពីឧទាហរណ៍ទាំងនេះ គ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយគឺច្បាស់ណាស់៖

1. ញែកម៉ូឌុលដោយផ្លាស់ទីពាក្យផ្សេងទៀតទាំងអស់ទៅផ្នែកផ្ទុយនៃវិសមភាព។ ដូច្នេះយើងទទួលបានវិសមភាពនៃទម្រង់ $\left| f\ត្រូវ| \ltg$ ។
2. ដោះស្រាយវិសមភាពនេះដោយកម្ចាត់ម៉ូឌុលតាមគ្រោងការណ៍ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។ នៅចំណុចខ្លះ វានឹងចាំបាច់ក្នុងការផ្លាស់ប្តូរពីវិសមភាពទ្វេ ទៅជាប្រព័ន្ធនៃការបញ្ចេញមតិឯករាជ្យពីរ ដែលនីមួយៗអាចដោះស្រាយបានដោយឡែកពីគ្នា។
3. ទីបំផុត អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺការប្រសព្វគ្នានូវដំណោះស្រាយនៃការបញ្ចេញមតិឯករាជ្យទាំងពីរនេះ ហើយនោះហើយជាវា យើងនឹងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ។

ក្បួនដោះស្រាយស្រដៀងគ្នាមានសម្រាប់វិសមភាព ប្រភេទបន្ទាប់, នៅពេលដែលម៉ូឌុល លក្ខណៈពិសេសបន្ថែមទៀត. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមាន "តែ" ធ្ងន់ធ្ងរមួយចំនួន។ យើងនឹងនិយាយអំពី "តែ" ទាំងនេះឥឡូវនេះ។

2. វិសមភាពនៃទម្រង់ "ម៉ូឌុលគឺធំជាងមុខងារ"

ពួកគេមើលទៅដូចនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| f\ត្រូវ| \gtg\]

ស្រដៀងនឹងរឿងមុន? វាហាក់ដូចជា។ ហើយនៅតែបញ្ហាបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ជាផ្លូវការ គ្រោងការណ៍មានដូចខាងក្រោម៖

\[\ ឆ្វេង| f \ ស្តាំ | \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \\ right.\]

និយាយម្យ៉ាងទៀតយើងពិចារណាករណីពីរ៖

1. ជាដំបូង យើងគ្រាន់តែមិនអើពើម៉ូឌុល និងដោះស្រាយវិសមភាពធម្មតា;
2. បន្ទាប់មក ជាខ្លឹមសារ យើងពង្រីកម៉ូឌុលដោយសញ្ញាដក ហើយបន្ទាប់មកគុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយ −1 ខណៈពេលដែលខ្ញុំមានសញ្ញា។

ជម្រើសត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា តង្កៀបការ៉េ, i.e. យើង​មាន​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​នៃ​តម្រូវការ​ពីរ​មុន​យើង។

សូមចំណាំម្តងទៀត៖ នេះមិនមែនជាប្រព័ន្ធទេ ប៉ុន្តែសរុបមកដូច្នេះ នៅក្នុងចម្លើយ សំណុំត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាជាជាងប្រសព្វ. នេះគឺជាភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានពីចំណុចមុន!

ជាទូទៅ សិស្សានុសិស្សជាច្រើនមានការយល់ច្រឡំទាំងស្រុងជាមួយនឹងសហជីព និងការប្រសព្វគ្នា ដូច្នេះសូមដោះស្រាយបញ្ហានេះម្តង និងសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា៖

• "∪" គឺជាសញ្ញាសហជីព។ សំខាន់​នេះ​គឺ​ជា​អក្សរ​ស្ទីល "U" ដែល​បាន​មក​រក​យើង​ពី ភាសាអង់គ្លេសនិងជាអក្សរកាត់សម្រាប់ "សហភាព", i.e. "សមាគម" ។
• "∩" គឺជាសញ្ញាប្រសព្វ។ ក្អេងក្អាងនេះមិនមកពីណាទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែលេចចេញជាចំណុចផ្ទុយទៅនឹង “∪” ។

ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ គ្រាន់តែគូរជើងទៅនឹងសញ្ញាទាំងនេះដើម្បីធ្វើវ៉ែនតា (ឥឡូវនេះកុំចោទប្រកាន់ខ្ញុំពីការលើកកម្ពស់ការញៀនថ្នាំ និងការញៀនស្រា៖ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងសិក្សាមេរៀននេះយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់ នោះអ្នកគឺជាអ្នកញៀនថ្នាំរួចទៅហើយ)៖

ភាពខុសគ្នារវាងចំនុចប្រសព្វ និងការរួបរួមនៃសំណុំ

បកប្រែទៅជាភាសារុស្សី មានន័យថាដូចខាងក្រោម៖ សហជីព (សរុប) រួមបញ្ចូលធាតុពីសំណុំទាំងពីរ ដូច្នេះវាមិនតិចជាងពួកគេនីមួយៗទេ។ ប៉ុន្តែចំនុចប្រសព្វ (ប្រព័ន្ធ) រួមបញ្ចូលតែធាតុទាំងនោះដែលក្នុងពេលដំណាលគ្នាទាំងក្នុងសំណុំទីមួយ និងទីពីរ។ ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំគឺមិនធំជាងសំណុំប្រភពទេ។

ដូច្នេះវាកាន់តែច្បាស់? នោះអស្ចារ្យណាស់។ ចូរ​បន្ត​អនុវត្ត។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

\[\ ឆ្វេង| 3x+1 \\ ត្រូវ| \gt 5-4x\]

ដំណោះស្រាយ។ យើងបន្តតាមគ្រោងការណ៍៖

\[\ ឆ្វេង| 3x+1 \\ ត្រូវ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ត្រូវហើយ។\]

យើងដោះស្រាយវិសមភាពនីមួយៗក្នុងចំនួនប្រជាជន៖

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \\ right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \\ right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \\ right.\]

យើងសម្គាល់លទ្ធផលនីមួយៗនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយបន្ទាប់មកផ្សំពួកវា៖

សហភាពនៃសំណុំ

វាច្បាស់ណាស់ថាចម្លើយនឹងជា $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

ចម្លើយ៖ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(2))+2x-3 \\ ស្តាំ| \gt x\]

ដំណោះស្រាយ។ អញ្ចឹង? គ្មានអ្វី - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា។ យើងផ្លាស់ប្តូរពីវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុលទៅជាសំណុំនៃវិសមភាពពីរ៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(2))+2x-3 \\ ស្តាំ| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\ ស្តាំ។\]

យើងដោះស្រាយរាល់វិសមភាព។ ជាអកុសលឫសនៅទីនោះនឹងមិនសូវល្អទេ៖

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(២))+x-៣ \gt ០; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2) ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

វិសមភាពទីពីរក៏ព្រៃបន្តិចដែរ៖

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(២))+៣x-៣ \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2) ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ឥឡូវអ្នកត្រូវសម្គាល់លេខទាំងនេះនៅលើអ័ក្សពីរ - អ័ក្សមួយសម្រាប់វិសមភាពនីមួយៗ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណុចត្រូវតែត្រូវបានសម្គាល់ នៅក្នុងលំដាប់ត្រឹមត្រូវ។៖ យ៉ាងម៉េច ចំនួនធំជាងយើងកាន់តែផ្លាស់ប្តូរចំណុចទៅខាងស្តាំ។

ហើយនៅទីនេះការរៀបចំកំពុងរង់ចាំយើង។ ប្រសិនបើអ្វីៗទាំងអស់ច្បាស់លាស់ជាមួយលេខ $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (លក្ខខណ្ឌនៅក្នុងភាគយកទីមួយ ប្រភាគគឺតិចជាងពាក្យនៅក្នុងភាគយកនៃទីពីរ ដូច្នេះផលបូកក៏តិចជាង) ជាមួយនឹងលេខ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ក៏នឹងមិនមានការពិបាក ( លេខវិជ្ជមានច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតអវិជ្ជមាន) បន្ទាប់មកជាមួយគូស្វាមីភរិយាចុងក្រោយអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនច្បាស់ដូច្នេះទេ។ តើមួយណាធំជាង៖ $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ឬ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? ការដាក់ពិន្ទុនៅលើបន្ទាត់លេខហើយតាមពិតចម្លើយនឹងអាស្រ័យលើចម្លើយចំពោះសំណួរនេះ។

ដូច្នេះសូមប្រៀបធៀប៖

\\[\begin(ម៉ាទ្រីស) \\frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\\ end (ម៉ាទ្រីស)\]

យើងញែកឫស, ទទួលបាន លេខមិនអវិជ្ជមានលើភាគីទាំងសងខាងនៃវិសមភាព ដូច្នេះ យើងមានសិទ្ធិកាត់ភាគីទាំងពីរ៖

\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((\left(2+\sqrt(13)\right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21)\right))^(2)) \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\\ end (ម៉ាទ្រីស)\]

ខ្ញុំ​គិត​ថា​វា​មិន​ខុស​ទេ​ដែល $4\sqrt(13) \gt 3$ ដូច្នេះ $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2) $ ចំនុចចុងក្រោយនៅលើអ័ក្សនឹងត្រូវបានដាក់ដូចនេះ៖

ករណីនៃឫសអាក្រក់

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងកំពុងដោះស្រាយបណ្តុំ ដូច្នេះចម្លើយនឹងជាសហជីព មិនមែនជាចំណុចប្រសព្វនៃឈុតដែលមានស្រមោលនោះទេ។

ចម្លើយ៖ $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2)\right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញគ្រោងការណ៍របស់យើងដំណើរការល្អសម្រាប់ទាំងពីរ កិច្ចការសាមញ្ញហើយសម្រាប់អ្នកពិបាកខ្លាំង។ រឿងតែមួយគត់ " ចំណុចខ្សោយ"នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ អ្នកត្រូវប្រៀបធៀបឱ្យបានត្រឹមត្រូវ លេខមិនសមហេតុផល(ហើយជឿខ្ញុំ៖ វាមិនមែនគ្រាន់តែជាឫសទេ) ។ ប៉ុន្តែមេរៀនដាច់ដោយឡែក (និងធ្ងន់ធ្ងរបំផុត) នឹងត្រូវបានឧទ្ទិសដល់បញ្ហាប្រៀបធៀប។ ហើយយើងបន្តទៅមុខទៀត។

3. វិសមភាពជាមួយ "កន្ទុយ" មិនអវិជ្ជមាន

ឥឡូវនេះយើងទៅដល់ផ្នែកដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត។ ទាំងនេះគឺជាវិសមភាពនៃទម្រង់៖

\[\ ឆ្វេង| f \ ស្តាំ | \gt\left| g\right|\]

និយាយជាទូទៅ ក្បួនដោះស្រាយដែលយើងនឹងនិយាយអំពីពេលនេះ គឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់តែម៉ូឌុលប៉ុណ្ណោះ។ វាដំណើរការក្នុងវិសមភាពទាំងអស់ ដែលមានការធានាមិនអវិជ្ជមាននៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ៖

អ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយភារកិច្ចទាំងនេះ? គ្រាន់តែចាំថា:

នៅក្នុងវិសមភាពជាមួយ "កន្ទុយ" មិនអវិជ្ជមាន ភាគីទាំងពីរអាចត្រូវបានលើកឡើងទៅណាមួយ។ សញ្ញាបត្រធម្មជាតិ. គ្មាន ការរឹតបន្តឹងបន្ថែមវានឹងមិនកើតឡើងទេ។

ដំបូងយើងនឹងចាប់អារម្មណ៍លើការបំបែក - វាដុតម៉ូឌុលនិងឫស៖

\[\begin(align) & ((\left(\left|f\right|\right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f)\right))^(2))=f. \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

កុំច្រឡំជាមួយការយកឫសនៃការ៉េ៖

\\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \ត្រូវ|\ne f\]

កំហុសរាប់មិនអស់បានកើតឡើងនៅពេលដែលសិស្សភ្លេចដំឡើងម៉ូឌុល! ប៉ុន្តែនោះជារឿងខុសគ្នាទាំងស្រុង (វាដូចជា សមីការមិនសមហេតុផល) ដូច្នេះយើងនឹងមិនចូលទៅក្នុងវាឥឡូវនេះទេ។ ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនកាន់តែប្រសើរ៖

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

\[\ ឆ្វេង| x+2 \\ ស្តាំ | \\ ge \\ ឆ្វេង | 1-2x \ ស្តាំ |\]

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗនូវរឿងពីរ៖

1. នេះមិនមែនជាវិសមភាពដ៏តឹងរឹងនោះទេ។ ចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខនឹងត្រូវបានវាយ។
2. ភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពគឺជាក់ស្តែងមិនអវិជ្ជមាន (នេះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ម៉ូឌុល៖ $\left| f\left(x\right) \right|\ge 0$)។

ដូច្នេះ យើង​អាច​បំបែក​វិសមភាព​ទាំងសងខាង ដើម្បី​កម្ចាត់​ម៉ូឌុល និង​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ដោយ​ប្រើ​វិធីសាស្ត្រ​ចន្លោះពេល​ធម្មតា៖

\[\begin(align) & (((\left(\left|x+2\right|\right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right)) )^(២)); \\ & ((\left(x+2\right))^(2))\ge ((\left(2x-1\right))^(2)). \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

នៅជំហានចុងក្រោយ ខ្ញុំបានបន្លំបន្តិច៖ ខ្ញុំបានផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃពាក្យ ដោយទាញយកប្រយោជន៍ពីភាពស្មើគ្នានៃម៉ូឌុល (តាមពិត ខ្ញុំបានគុណកន្សោម $1-2x$ ដោយ −1)។

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1\right)-\left(x+2\right)\right)\cdot ឆ្វេង(\left(2x-1\right)+\left(x+2\ ស្តាំ)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \\right)\cdot ឆ្វេង(2x-1+x+2 \\right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1\right)\le 0. \\\end(align)\]

យើងដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល។ ចូរផ្លាស់ទីពីវិសមភាពទៅសមីការ៖

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(១))=៣;((x)_(២))=-\frac(1)(3)។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

យើងសម្គាល់ឫសដែលបានរកឃើញនៅលើបន្ទាត់លេខ។ ជាថ្មីម្តងទៀត៖ ចំណុចទាំងអស់ត្រូវបានដាក់ស្រមោលព្រោះវិសមភាពដើមមិនតឹងរ៉ឹង!

ការកម្ចាត់សញ្ញាម៉ូឌុល

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកសម្រាប់អ្នកដែលរឹងរូសជាពិសេស៖ យើងយកសញ្ញាពីវិសមភាពចុងក្រោយ ដែលត្រូវបានសរសេរមុនពេលបន្តទៅសមីការ។ ហើយយើងគូរលើតំបន់ដែលត្រូវការក្នុងវិសមភាពដូចគ្នា។ ក្នុងករណីរបស់យើងវាគឺ $\left(x-3\right)\left(3x+1\right)\le 0$។

នោះហើយជាទាំងអស់។ បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖ $x\in \left[ -\frac(1)(3);3\right]$។

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(២))+៣x+៤ \\ ស្តាំ|\]

ដំណោះស្រាយ។ យើងធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងដូចគ្នា។ ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើអត្ថាធិប្បាយទេ - គ្រាន់តែមើលលំដាប់នៃសកម្មភាព។

ការ៉េវា៖

\[\begin(align) & ((\left(\left|((x)^(2))+x+1\right|\right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(២))+៣x+៤ \\ ស្តាំ))^(២)); \\ & (((\left(((x)^(2))+x+1 \\right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & (((\left(((x)^(2))+x+1 \\right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \\ ស្តាំ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \\right)\times \\ & \times ឆ្វេង(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \\right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

វិធីសាស្ត្រចន្លោះពេល៖

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ ព្រួញស្ដាំ x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

មានឫសតែមួយនៅលើបន្ទាត់លេខ៖

ចម្លើយគឺជាចន្លោះពេលទាំងមូល

ចម្លើយ៖ $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$។

កំណត់ចំណាំតូចមួយអំពីកិច្ចការចុងក្រោយ។ ដូចដែលសិស្សម្នាក់របស់ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ កន្សោម submodular ទាំងពីរនៅក្នុងវិសមភាពនេះគឺវិជ្ជមានជាក់ស្តែង ដូច្នេះសញ្ញាម៉ូឌុលអាចត្រូវបានលុបចោលដោយគ្មានគ្រោះថ្នាក់ដល់សុខភាព។

ប៉ុន្តែនេះគឺជាកម្រិតនៃការគិតខុសគ្នាទាំងស្រុង និងវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នា - វាអាចត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃផលវិបាក។ អំពីវា - នៅក្នុងមេរៀនដាច់ដោយឡែកមួយ។ ឥឡូវនេះ សូមបន្តទៅផ្នែកចុងក្រោយនៃមេរៀនថ្ងៃនេះ ហើយមើលក្បួនដោះស្រាយសកលដែលតែងតែដំណើរការ។ សូម្បីតែវិធីសាស្រ្តពីមុនទាំងអស់គឺគ្មានថាមពល :)

4. វិធីសាស្រ្តនៃការរាប់បញ្ចូលជម្រើស

ចុះបើបច្ចេកទេសទាំងអស់នេះមិនជួយ? ប្រសិនបើវិសមភាពមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាកន្ទុយដែលមិនអវិជ្ជមានបានទេ ប្រសិនបើមិនអាចញែកម៉ូឌុលបានទេ ប្រសិនបើជាទូទៅមានការឈឺចាប់ សោកសៅ សោកសៅ?

បន្ទាប់មក "កាំភ្លើងធំ" នៃគណិតវិទ្យាទាំងអស់បានមកដល់កន្លែងកើតហេតុ - វិធីសាស្ត្រកម្លាំងសាហាវ។ ទាក់ទងនឹងវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល វាមើលទៅដូចនេះ៖

1. សរសេរកន្សោម submodular ទាំងអស់ ហើយកំណត់ពួកវាស្មើសូន្យ។
2. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល និងសម្គាល់ឫសដែលរកឃើញនៅលើបន្ទាត់លេខមួយ;
3. បន្ទាត់ត្រង់នឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែកជាច្រើន ដែលក្នុងនោះម៉ូឌុលនីមួយៗមានសញ្ញាថេរ ហើយដូច្នេះវាត្រូវបានបង្ហាញដោយឡែក។
4. ដោះស្រាយវិសមភាពលើផ្នែកនីមួយៗ (អ្នកអាចពិចារណាដោយឡែកពីគ្នាអំពីឫសគល់-ព្រំដែនដែលទទួលបានក្នុងជំហានទី 2 - សម្រាប់ភាពអាចជឿជាក់បាន)។ ផ្សំលទ្ធផល - នេះនឹងក្លាយជាចម្លើយ :) ។

ដូច្នេះ​ដោយ​របៀប​ណា? ខ្សោយ? ងាយស្រួល! មានតែរយៈពេលយូរប៉ុណ្ណោះ។ តោះមើលការអនុវត្ត៖

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយវិសមភាព៖

\[\ ឆ្វេង| x+2 \\ ត្រូវ| \lt ឆ្វេង| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

ដំណោះស្រាយ។ ល្បិចនេះមិនពុះកញ្ជ្រោលដល់វិសមភាពដូចជា $\left| ទេ។ f \ ស្តាំ | \lt g$, $\left| f \ ស្តាំ | \gt g$ ឬ $\left| f \ ស្តាំ | \lt ឆ្វេង| g \right|$ ដូច្នេះយើងធ្វើសកម្មភាពខាងមុខ។

យើងសរសេរកន្សោម submodular ស្មើពួកវាទៅសូន្យ ហើយស្វែងរកឫស៖

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0 ព្រួញស្ដាំ x=1 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

សរុបមក យើងមានឫសពីរដែលបែងចែកបន្ទាត់លេខជាបីផ្នែក ដែលក្នុងនោះម៉ូឌុលនីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញដោយឡែកពីគេ៖

ការបែងចែកបន្ទាត់លេខដោយសូន្យនៃអនុគមន៍ម៉ូឌុល

សូមក្រឡេកមើលផ្នែកនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។

1. អនុញ្ញាតឱ្យ $x \lt -2$ ។ បន្ទាប់មកកន្សោម submodular ទាំងពីរគឺអវិជ្ជមាន ហើយវិសមភាពដើមនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1\right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \\ gt 1.5 \\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\]

យើងទទួលបានដែនកំណត់សាមញ្ញ។ ចូរប្រសព្វវាជាមួយនឹងការសន្មត់ដំបូងថា $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right។\Rightarrow x\in \varnothing \]

ជាក់ស្តែង អថេរ $x$ មិនអាចតិចជាង −2 និងធំជាង 1.5 ក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ មិនមានដំណោះស្រាយនៅក្នុងតំបន់នេះទេ។

១.១. ចូរយើងពិចារណាដោយឡែកពីករណីបន្ទាត់ព្រំដែន៖ $x=-2$ ។ ចូរយើងជំនួសលេខនេះទៅជាវិសមភាពដើម ហើយពិនិត្យមើល៖ តើវាពិតទេ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2)) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\ ព្រួញស្ដាំ \varnothing ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

វាច្បាស់ណាស់ថាខ្សែសង្វាក់នៃការគណនាបាននាំយើងទៅរកវិសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះ វិសមភាពដើមក៏មិនពិតដែរ ហើយ $x=-2$ មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចម្លើយទេ។

2. អនុញ្ញាតឱ្យឥឡូវនេះ $-2 \lt x \lt 1$ ។ ម៉ូឌុលខាងឆ្វេងនឹងបើកជាមួយ "បូក" ប៉ុន្តែខាងស្តាំនឹងនៅតែបើកដោយ "ដក" ។ យើងមាន៖

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងប្រសព្វជាមួយតម្រូវការដើម៖

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \\right។\Rightarrow x\in \varnothing \]

ហើយម្តងទៀត សំណុំទទេដំណោះស្រាយ ព្រោះមិនមានលេខណាដែលតិចជាង −2.5 និងធំជាង −2។

២.១. ហើយម្តងទៀត ករណីពិសេស៖ $x=1$ ។ យើងជំនួសវិសមភាពដើម៖

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \ ឆ្វេង | 3\ ត្រូវ| \lt ឆ្វេង| 0 ស្តាំ|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ស្រដៀងនឹង "ករណីពិសេស" ពីមុន លេខ $x=1$ ច្បាស់ណាស់មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចម្លើយទេ។

3. បំណែកចុងក្រោយនៃបន្ទាត់៖ $x \gt 1$ ។ នៅទីនេះ ម៉ូឌុលទាំងអស់ត្រូវបានបើកដោយសញ្ញាបូក៖

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(តម្រឹម)\ ]

ហើយម្តងទៀតយើងប្រសព្វនឹងសំណុំដែលបានរកឃើញជាមួយនឹងកម្រិតដើម៖

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \\right។\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

ទីបំផុត! យើងបានរកឃើញចន្លោះពេលដែលនឹងជាចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ $x\in \left(4,5;+\infty\right)$

ជាចុងក្រោយ សុន្ទរកថាមួយដែលអាចជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសឆោតល្ងង់នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាពិតប្រាកដ៖

ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុលជាធម្មតាតំណាងឱ្យសំណុំបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខ - ចន្លោះពេល និងផ្នែក។ ចំណុចដាច់ស្រយាលគឺជារឿងធម្មតាតិចជាង។ ហើយសូម្បីតែតិចជាញឹកញាប់វាកើតឡើងថាព្រំដែននៃដំណោះស្រាយ (ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក) ស្របគ្នាជាមួយនឹងព្រំដែននៃជួរដែលកំពុងពិចារណា។

អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រសិនបើព្រំដែន ("ករណីពិសេស" ដូចគ្នា) មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចំលើយទេ នោះតំបន់នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃព្រំដែនទាំងនេះនឹងស្ទើរតែមិនត្រូវបានដាក់បញ្ចូលក្នុងចម្លើយនោះទេ។ ហើយច្រាសមកវិញ៖ ព្រំដែនបានចូលទៅក្នុងចំលើយ ដែលមានន័យថាតំបន់មួយចំនួននៅជុំវិញវាក៏នឹងក្លាយជាចម្លើយផងដែរ។

ចងចាំចំណុចនេះនៅពេលពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយរបស់អ្នក។

ការគណនាគណិតវិទ្យាតាមអ៊ីនធឺណិតនេះនឹងជួយអ្នក។ ដោះស្រាយសមីការ ឬវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល. កម្មវិធីសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល មិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ វានាំអោយដំណោះស្រាយលម្អិតជាមួយនឹងការពន្យល់

, i.e. បង្ហាញដំណើរការនៃការទទួលបានលទ្ធផល។ កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យអនុវិទ្យាល័យ ក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡងនៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រលងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមសម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យានិងពិជគណិត។ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកក្នុងការជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើវាឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន?

កិច្ចការផ្ទះ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ឬពិជគណិត? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។វិធីនេះអ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាល និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។

ប្អូនប្រុស

ឬបងប្អូនស្រី ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំនៅក្នុងវិស័យនៃបញ្ហាដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយកើនឡើង។

ឬ abs(x) - ម៉ូឌុល x

បញ្ចូលសមីការ ឬវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល
x^2+2|x-1| -6 = 0
ដោះស្រាយសមីការ ឬវិសមភាព

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

JavaScript ត្រូវបានបិទនៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង អ្នកត្រូវបើក ​​JavaScript ។
នេះជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។ ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនមានឆន្ទៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។

ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។ សូមរង់ចាំវិនាទី...
ប្រសិនបើអ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីរឿងនេះនៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។ កុំភ្លេច.

ចង្អុលបង្ហាញពីភារកិច្ច

អ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី

ចូលទៅក្នុងវាល

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖ ទ្រឹស្តីតិចតួច។ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថា \(|x-a| \) គឺជាចម្ងាយនៅលើបន្ទាត់លេខរវាងចំនុច x និង a: \(|x-a| = \rho (x;\; a)\) ។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ \(|x-3|=2\) អ្នកត្រូវស្វែងរកចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខដែលនៅឆ្ងាយពីចំណុចទី 3 នៅចម្ងាយ 2។ មានចំណុចពីរបែបនេះ៖ \(x_1=1 \) និង \(x_2=5\) ។

ការដោះស្រាយវិសមភាព \(|2x+7|

ប៉ុន្តែវិធីចម្បងដើម្បីដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងអ្វីដែលហៅថា "វិវរណៈនៃម៉ូឌុលតាមនិយមន័យ"៖
ប្រសិនបើ \(a \geq 0 \) បន្ទាប់មក \(|a|=a \);
ប្រសិនបើ \(a តាមក្បួនមួយ សមីការ (វិសមភាព) ជាមួយម៉ូឌុលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសំណុំនៃសមីការ (វិសមភាព) ដែលមិនមានសញ្ញាម៉ូឌុល។

លើកលែងតែ និយមន័យខាងលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖
១) ប្រសិនបើ \(c> 0\) នោះសមីការ \(|f(x)|=c \\) គឺស្មើនឹងសំណុំសមីការ៖ \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ។
2) ប្រសិនបើ \(c> 0 \) នោះវិសមភាព \(|f(x)| 3) ប្រសិនបើ \(c \geq 0 \) នោះវិសមភាព \(|f(x)|> c \) គឺ ស្មើនឹងសំណុំនៃវិសមភាព : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right។\)
4) ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព \(f(x)) ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) ។

ប្រសិនបើ \(x-1 \geq 0\) បន្ទាប់មក \(|x-1| = x-1\) និង សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យយកទម្រង់
\\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \\) ។
ប្រសិនបើ \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) ។
ដូច្នេះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគួរតែត្រូវបានពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានៅក្នុងករណីនីមួយៗដែលបានចង្អុលបង្ហាញទាំងពីរ។
1) អនុញ្ញាតឱ្យ \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\) ។ ពីសមីការ \(x^2 + 2x -8 = 0\) យើងរកឃើញ \(x_1=2, \; x_2=-4\) ។
លក្ខខណ្ឌ \(x \geq 1 \) ត្រូវបានពេញចិត្តដោយតម្លៃ \(x_1=2\) ប៉ុណ្ណោះ។

2) អនុញ្ញាតឱ្យ \(x-1 ចម្លើយ៖ \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) ។វិធីទីមួយ
(ការពង្រីកម៉ូឌុលតាមនិយមន័យ) ។

ការវែកញែកដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យចាំបាច់ត្រូវពិចារណាដោយឡែកពីគ្នាប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ឬ \(x^2-6x+7
1) ប្រសិនបើ \(x^2-6x+7 \geq 0 \) នោះ \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ហើយសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានទម្រង់ \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \)។ ដោយបានដោះស្រាយសមីការការ៉េនេះ យើងទទួលបាន៖ \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \)។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើតម្លៃ \(x_1=6\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(x^2-6x+7 \geq 0\) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមជំនួសតម្លៃដែលបានបញ្ជាក់ វវិសមភាពការ៉េ
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើតម្លៃ \(x_2=\frac(5)(3)\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(x^2-6x+7 \geq 0\) ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសតម្លៃដែលបានចង្អុលបង្ហាញទៅក្នុងវិសមភាពការ៉េ។ យើងទទួលបាន៖ \(\left(\frac(5)(3)\right)^2 -\frac(5)(3)\cdot 6+7 \geq 0\), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) គឺជាវិសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ។ នេះមានន័យថា \(x_2=\frac(5)(3)\) មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ។

2) ប្រសិនបើ \(x^2-6x+7 តម្លៃ \(x_3=3\) បំពេញលក្ខខណ្ឌ \(x^2-6x+7 តម្លៃ \(x_4=\frac(4)(3) \) មិនពេញចិត្ត លក្ខខណ្ឌ \\ (x^2-6x+7 ដូច្នេះ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសពីរ៖ \\(x=6, \\; x=3 \\) ។

វិធីទីពីរ។ប្រសិនបើសមីការ \(|f(x)|= h(x) \) ត្រូវបានផ្តល់ នោះជាមួយនឹង \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7= \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
សមីការទាំងពីរនេះត្រូវបានដោះស្រាយខាងលើ (ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដំបូងនៃការដោះស្រាយសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ឫសរបស់ពួកគេមានដូចខាងក្រោម៖ \(6,\; \frac(5)(3),\;3,\; \frac(4 )(៣)\)។ លក្ខខណ្ឌ \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) ពីទាំងនេះ តម្លៃបួនបំពេញតែពីរ៖ 6 និង 3 ។ នេះមានន័យថាសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសពីរ៖ \(x=6, \; x=3\) ។

វិធីទីបី(ក្រាហ្វិក) ។
1) ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(y = |x^2-6x+7| \) ។ ដំបូង​យើង​បង្កើត​ប៉ារ៉ាបូឡា \(y = x^2-6x+7\) ។
យើងមាន \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \\) ។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(y = (x-3)^2-2\) អាចទទួលបានពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(y = x^2 \) ដោយផ្លាស់ប្តូរវាដោយ 3 ខ្នាតមាត្រដ្ឋានទៅខាងស្តាំ (តាមបណ្តោយ អ័ក្ស x) និងដោយឯកតាមាត្រដ្ឋាន 2 ចុះក្រោម (តាមអ័ក្ស y) ។
បន្ទាត់ត្រង់ x=3 គឺជាអ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលយើងចាប់អារម្មណ៍។ ក្នុងនាមជាចំណុចត្រួតពិនិត្យសម្រាប់ការគូសវាសកាន់តែត្រឹមត្រូវ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយកចំណុច (3; -2) - ចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡា ចំណុច (0; 7) និងចំណុច (6; 7) ស៊ីមេទ្រីទៅវាទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ . ដើម្បីសាងសង់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ \(y = |x^2-6x+7| \) អ្នកត្រូវទុកផ្នែកទាំងនោះនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលបានសាងសង់ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរដែលមិនស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x ហើយឆ្លុះផ្នែកនោះនៃផ្នែកនោះ។ ប៉ារ៉ាបូឡាដែលស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស x ។ 2) ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វ

មុខងារលីនេអ៊ែរ

\(y = \frac(5x-9)(3)\) ។ វាងាយស្រួលក្នុងការយកពិន្ទុ (0; –3) និង (3; 2) ជាចំណុចត្រួតពិនិត្យ។. វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលចំនុច x = 1.8 នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស abscissa មានទីតាំងនៅខាងស្តាំនៃចំនុចប្រសព្វខាងឆ្វេងនៃ parabola ជាមួយអ័ក្ស abscissa - នេះគឺជាចំនុច \(x=3-\ sqrt(2) \) (ចាប់តាំងពី \(3-\sqrt(2) 3) ដោយវិនិច្ឆ័យដោយគំនូរ ក្រាហ្វប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ - A(3; 2) និង B(6; 7)។ ការជំនួស abscissas នៃចំនុចទាំងនេះ ពិន្ទុ x = 3 និង x = 6 ទៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងជឿជាក់ថានៅក្នុងករណីទាំងពីរនៅក្នុងតម្លៃមួយផ្សេងទៀតសមភាពលេខត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល នេះមានន័យថាសម្មតិកម្មរបស់យើងត្រូវបានបញ្ជាក់ - សមីការមានឫសពីរគឺ x = 3 និង x = 6. ចំលើយ៖ 3;សម្រាប់ភាពឆើតឆាយរបស់វា វាមិនគួរឱ្យទុកចិត្តខ្លាំងណាស់។ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាដំណើរការតែដោយសារឫសនៃសមីការគឺជាចំនួនគត់។

ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ \(|2x-4|+|x+3|=8\)

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) ។
កន្សោម 2x–4 ក្លាយជា 0 នៅចំណុច x = 2 ហើយកន្សោម x + 3 ក្លាយជា 0 នៅចំណុច x = –3 ។ ចំណុចទាំងពីរនេះបែងចែកបន្ទាត់លេខជាបីចន្លោះពេល៖ \(x

ពិចារណាចន្លោះពេលដំបូង៖ \((-\infty; \; -3) \\) ។
ប្រសិនបើ x ពិចារណាចន្លោះពេលទីពីរ៖ \([-3; \\; 2) \\) ។
ប្រសិនបើ \(-3 \leq x ពិចារណាចន្លោះពេលទីបី៖ \()