លទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់ចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាអនុវិទ្យាល័យ។ ទ្រឹស្តីបទបុរាណនៃធរណីមាត្របឋម

លទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់លេខស្មុគស្មាញ

នៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យានៅក្នុងសាលាអប់រំទូទៅ

អ្នកគ្រប់គ្រងវិទ្យាសាស្ត្រ៖

ស្ថាប័នអប់រំក្រុង

អនុវិទ្យាល័យ Pervomaiskaya

ជាមួយ។ ទីប្រជុំជន គីម ម៉េងស្គី

ផ្លូវ Zarechnaya ៣៨

ការងារដែលបានបង្ហាញគឺផ្តោតលើការសិក្សាចំនួនកុំផ្លិច។ ភាពពាក់ព័ន្ធ៖ ការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនក្នុងរូបវិទ្យា និងបច្ចេកវិទ្យានាំឱ្យសមីការការ៉េជាមួយ ការរើសអើងអវិជ្ជមាន. សមីការទាំងនេះមិនមានដំណោះស្រាយនៅក្នុងដែនចំនួនពិតទេ។ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះជាច្រើនមានអត្ថន័យជាក់ស្តែងណាស់។

សារៈសំខាន់ជាក់ស្តែង៖លេខស្មុគស្មាញនិងមុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងបញ្ហាជាច្រើននៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា ហើយអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងសាលាដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

តំបន់វត្ថុ៖ គណិតវិទ្យា។ វត្ថុនៃការស្រាវជ្រាវ៖ គំនិត និងសកម្មភាពពិជគណិត។ ប្រធានបទនៃការស្រាវជ្រាវ- លេខស្មុគស្មាញ។ បញ្ហា៖ ចំនួនកុំផ្លិចមិនត្រូវបានបង្រៀនក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាទេ។ អនុវិទ្យាល័យទោះបីជាពួកវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងក៏ដោយ។ លទ្ធភាពនៃការណែនាំចំនួនកុំផ្លិចចូលទៅក្នុង កិច្ចការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមនាពេលអនាគត។ សម្មតិកម្ម៖អ្នកអាចប្រើចំនួនកុំផ្លិចដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងនៅក្នុងអនុវិទ្យាល័យ។ គោលដៅ៖ដើម្បីសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់ចំនួនកុំផ្លិច នៅពេលសិក្សាគណិតវិទ្យានៅថ្នាក់ទី១០ នៃអនុវិទ្យាល័យ។ កិច្ចការ៖ 1. សិក្សាទ្រឹស្ដីនៃចំនួនកុំផ្លិច 2. ពិចារណាពីលទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់ចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី 10 ។ 3. បង្កើតនិងសាកល្បងភារកិច្ចជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិច។

ដើម្បីដោះស្រាយ សមីការពិជគណិតមិនមានចំនួនពិតគ្រប់គ្រាន់ទេ។ ដូច្នេះ វាជារឿងធម្មតាទេក្នុងការខិតខំធ្វើឱ្យសមីការទាំងនេះអាចដោះស្រាយបាន ដែលនាំទៅដល់ការពង្រីកគោលគំនិតនៃលេខ..gif" width="10" height="65 src=">

https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">

អ្នកគ្រាន់តែត្រូវយល់ព្រមដើម្បីធ្វើសកម្មភាពលើកន្សោមបែបនេះដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃពិជគណិតធម្មតា ហើយសន្មតថា

នៅឆ្នាំ 1572 សៀវភៅមួយក្បាលរបស់អ្នកពិជគណិតជនជាតិអ៊ីតាលី R. Bombelli ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះច្បាប់ដំបូងសម្រាប់ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើលេខបែបនេះត្រូវបានបង្កើតឡើង រហូតដល់ការស្រង់ចេញពីពួកគេ។ ឫសគូប. ឈ្មោះ "លេខស្រមើលស្រមៃ" ត្រូវបានណែនាំនៅឆ្នាំ 1637 ។ គណិតវិទូ និងទស្សនវិទូជនជាតិបារាំង R. Descartes ហើយនៅឆ្នាំ 1777 ដែលជាអ្នកធំជាងគេមួយរូប។ គណិតវិទូ VIIIសតវត្ស X..gif" width="58" height="19">ជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ចំនួនកុំផ្លិចនៅពេលសិក្សាគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០ ដូច្នេះ។​ លេខ x ដែលជាការេដែលស្មើនឹង −1 ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ឯកតា​ស្រមើល​ស្រមៃ ហើយ​ត្រូវ​បាន​តាង​ថា i ដូច្នេះ, , ពី​កន្លែង..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">ថ្នាក់ទី៨។ " href="/text/category/8_klass/" rel="bookmark">ថ្នាក់ទី 8 ក្នុងពិជគណិត.- M.: Education, 1994.-P.134-139.

2. វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទូវ័យក្មេង / Comp ។ អ៊ី-៦៨។ - M. : គរុកោសល្យ, ១៩ ស

អត្ថបទផ្នែកនៃការបោះពុម្ព

មាតិកា
សេចក្តីផ្តើម……………………………………………………………………..3 ជំពូក I. ពីប្រវត្តិនៃចំនួនកុំផ្លិច……………………………………… ……………………………………… ៤ ជំពូក II. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិធីសាស្ត្រចំនួនកុំផ្លិច………………………………………៦ ជំពូកទី៣. ធរណីមាត្រនៃត្រីកោណក្នុងចំនួនកុំផ្លិច…………………………១២ ជំពូក IV ។ ដំណោះស្រាយ បញ្ហាប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមនិង Olympiads ផ្សេងៗ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តចំនួនកុំផ្លិច……………………………………………………………………………… 20 សេចក្តីសន្និដ្ឋាន……………………………………… ………………………………………………………….២៤ គន្ថនិទ្ទេស………………………………………………………………..២៥

សេចក្តីផ្តើម
សារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យនៃចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងកម្មវិធីរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានប្រើដោយជោគជ័យនៅក្នុង ធរណីមាត្របឋម, ត្រីកោណមាត្រ, ទ្រឹស្តីនៃចលនានិងភាពស្រដៀងគ្នា, ក៏ដូចជានៅក្នុងវិស្វកម្មអគ្គិសនី, មេកានិចផ្សេងៗនិង បញ្ហារាងកាយ. នៅក្នុង Planimetry វិធីសាស្រ្តនៃចំនួនកុំផ្លិចអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាដោយការគណនាដោយផ្ទាល់ដោយប្រើរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ នេះគឺជាភាពសាមញ្ញនៃវិធីសាស្រ្តនេះបើប្រៀបធៀបទៅនឹងវ៉ិចទ័រនិង វិធីសាស្រ្តសំរបសំរួលដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបំប្លែងធរណីមាត្រ តម្រូវឱ្យសិស្សមានភាពវៃឆ្លាតសន្ធឹកសន្ធាប់ និងការស្វែងរករយៈពេលវែង។ អស់រយៈពេលជាច្រើនសហស្សវត្សរ៍ ត្រីកោណបានក្លាយជានិមិត្តសញ្ញាធរណីមាត្រ។ អ្នកថែមទាំងអាចនិយាយបានថា ត្រីកោណ គឺជាអាតូមនៃធរណីមាត្រ។ ពហុកោណណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាត្រីកោណហើយការសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាចុះមកក្នុងការសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃត្រីកោណនៃសមាសធាតុរបស់វា។ សូមក្រឡេកមើលពីរបៀបដែលវិធីសាស្ត្រចំនួនកុំផ្លិច ដំណើរការនៅពេលបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃត្រីកោណ វគ្គសិក្សាសាលា Planimetry ក៏ដូចជាសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា C-4 នៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ ២

ជំពូក I. ពីប្រវត្តិនៃចំនួនកុំផ្លិច,,
ជាលើកដំបូង ជាក់ស្តែង បរិមាណនៃការស្រមើលស្រមៃត្រូវបានលើកឡើងនៅក្នុងការងារដ៏ល្បីល្បាញ "សិល្បៈដ៏អស្ចារ្យ ឬអំពី ក្បួនពិជគណិត» Cardano (1545) ដែលជាផ្នែកមួយនៃដំណោះស្រាយផ្លូវការចំពោះបញ្ហានៃការគណនាលេខពីរដែលបន្ថែមដល់ទៅ 10 ហើយនៅពេលគុណនឹងផ្តល់ឱ្យ 40។ សម្រាប់បញ្ហានេះ គាត់បានទទួលសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ពាក្យមួយ ហើយបានរកឃើញឫសគល់របស់វា៖ 5 + √ − 15 និង 5 − √ − 15 ។ ក្នុង​ការ​អត្ថាធិប្បាយ​ចំពោះ​ការ​សម្រេច​ចិត្ត​នោះ លោក​បាន​សរសេរ​ថា៖ «ទាំងនេះ បរិមាណស្មុគស្មាញបំផុត។គ្មានប្រយោជន៍ ទោះបីជាវាឆ្លាតខ្លាំងក៏ដោយ" និង "ការពិចារណាលើនព្វន្ធកាន់តែយល់កាន់តែច្បាស់ ឈានដល់ដែនកំណត់ដែលមានលក្ខណៈស្រពិចស្រពិលព្រោះវាគ្មានប្រយោជន៍។" លទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់បរិមាណស្រមើស្រមៃនៅពេលដោះស្រាយសមីការគូប នៅក្នុងករណីដែលគេហៅថា irreducible (នៅពេលដែលឫសពិតនៃពហុនាមត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ ឫសគូបនៃបរិមាណស្រមៃ) ត្រូវបានពិពណ៌នាដំបូងដោយ Bombelli (1572) ។ គាត់គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលពិពណ៌នាអំពីច្បាប់នៃការបូក ដក គុណ និងការបែងចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ប៉ុន្តែនៅតែចាត់ទុកពួកគេថាជា "ការប្រឌិត" គ្មានប្រយោជន៍ និងល្បិចកល។ កន្សោម​ដែល​តំណាង​ក្នុង​ទម្រង់ a + b √ − 1 ដែល​បង្ហាញ​នៅ​ពេល​ដោះស្រាយ​ចតុកោណ​និង សមីការគូបបានចាប់ផ្តើមត្រូវបានគេហៅថា "ការស្រមើលស្រមៃ" នៅក្នុង សតវត្សទី XVI-XVIIនៅក្នុងការជំរុញរបស់ Descartes ដែលបានហៅពួកគេថា បដិសេធការពិតរបស់ពួកគេ និងសម្រាប់ធំៗជាច្រើនទៀត។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ XVIIជាច្រើនសតវត្សមកហើយ ធម្មជាតិ និងសិទ្ធិក្នុងការមានបរិមាណនៃការស្រមើស្រមៃ ហាក់បីដូចជាគួរឱ្យសង្ស័យខ្លាំងណាស់ ដូចដែលពួកគេបានចាត់ទុកថាគួរឱ្យសង្ស័យនៅពេលនោះ។ លេខមិនសមហេតុផលនិងសូម្បីតែតម្លៃអវិជ្ជមាន។ ទោះ​បី​ជា​បែប​នេះ​ក្ដី អ្នក​គណិត​វិទ្យា​បាន​អនុវត្ត​យ៉ាង​ក្លាហាន វិធីសាស្រ្តផ្លូវការពិជគណិតនៃបរិមាណពិត និងសម្រាប់ស្មុគស្មាញ ទទួលបានលទ្ធផលពិតប្រាកដត្រឹមត្រូវ សូម្បីតែពីស្មុគស្មាញកម្រិតមធ្យមក៏ដោយ ហើយនេះមិនអាចចាប់ផ្តើមជំរុញទំនុកចិត្ត។ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយវាមិនច្បាស់ថាតើប្រតិបត្តិការទាំងអស់លើចំនួនកុំផ្លិចនាំទៅរកលទ្ធផលស្មុគ្រស្មាញឬពិតប្រាកដឬថាតើឧទាហរណ៍ការស្រង់ឫសអាចនាំទៅរកការរកឃើញប្រភេទលេខថ្មីមួយចំនួនផ្សេងទៀត។ បញ្ហានៃការបង្ហាញពីឫសនៃសញ្ញាបត្រ n ពី លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ Moivre (1707) និង Cotes (1722) ។ និមិត្តសញ្ញាសម្រាប់បង្ហាញពីឯកតាស្រមើលស្រមៃត្រូវបានស្នើឡើងដោយ អយល័រ (១៧៧៧ បោះពុម្ពឆ្នាំ ១៧៩៤) ដែលបានយកអក្សរទីមួយនៃពាក្យឡាតាំងសម្រាប់រឿងនេះ។
imaginarius - ការស្រមើលស្រមៃ។ គាត់ក៏បានពង្រីកមុខងារស្តង់ដារទាំងអស់ រួមទាំងលោការីត ទៅកាន់ដែនស្មុគស្មាញ។ អយល័រក៏បានបង្ហាញពីគំនិតនៅឆ្នាំ 1751 ថាវាលនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានបិទដោយពិជគណិត។ D'Alembert (1747) បានឈានដល់ការសន្និដ្ឋានដូចគ្នា ប៉ុន្តែភស្តុតាងដ៏តឹងរឹងដំបូងនៃការពិតនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Gauss (1799) ។ វាគឺជា Gauss ដែលបានបង្កើតពាក្យ "ចំនួនកុំផ្លិច" ទៅជាការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងឆ្នាំ 1831 ទោះបីជាពាក្យនេះធ្លាប់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងន័យដូចគ្នាដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Lazare Carnot ក្នុងឆ្នាំ 1803 ក៏ដោយ។ ៣ គំរូនព្វន្ធ (ស្តង់ដារ) នៃចំនួនកុំផ្លិច ជាគូនៃចំនួនពិតត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Hamilton (1837); នេះបានបង្ហាញពីភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។ ច្រើនមុននេះ នៅឆ្នាំ ១៦៨៥ នៅក្នុងស្នាដៃរបស់គាត់ “ពិជគណិត” Wallis (អង់គ្លេស) បានបង្ហាញថា ឫសស្មុគស្មាញសមីការ​ការ៉េ ជាមួយនឹងមេគុណពិតប្រាកដអាចត្រូវបានតំណាងតាមធរណីមាត្រដោយពិន្ទុនៅលើយន្តហោះ។ ប៉ុន្តែ​វា​បាន​ទៅ​ដោយ​មិន​បាន​កត់​សម្គាល់។ នៅពេលបន្ទាប់ ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច និងប្រតិបត្តិការលើពួកវាបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងការងាររបស់ Wessel (1799) ។ តំណាងធរណីមាត្រទំនើប ដែលជួនកាលគេហៅថា "ដ្យាក្រាម Argand" បានចូលប្រើបន្ទាប់ពីការបោះពុម្ពផ្សាយការងាររបស់ J. R. Argand ក្នុងឆ្នាំ 1806 និង 1814 ដែលបានធ្វើឡើងវិញការសន្និដ្ឋានរបស់ Wessel ដោយឯករាជ្យ។ ពាក្យ "ម៉ូឌុល", "អាគុយម៉ង់" និង "លេខរួម" ត្រូវបានណែនាំដោយ Cauchy ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានគេរកឃើញថាចំនួនកុំផ្លិចក៏សមរម្យសម្រាប់ការប្រតិបត្តិសុទ្ធ។ប្រតិបត្តិការពិជគណិត

បូក ដក គុណ និងចែកវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ ដែលផ្លាស់ប្តូរពិជគណិតវ៉ិចទ័រយ៉ាងខ្លាំង។ ៤
[ 1 ]
,
ជំពូក II ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិធីសាស្រ្តចំនួនកុំផ្លិច [2], [3] [4] ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច ប្រវែងនៃចម្រៀកដែលបានផ្តល់ឱ្យចតុកោណកែងកូអរដោណេនៅលើយន្តហោះ លេខកុំផ្លិច z = x+iy (i 2 = −1) អាចជាមួយទល់នឹងមួយ ដែលភ្ជាប់ជាមួយចំណុច M នៃយន្តហោះដែលមានកូអរដោណេ x, y (រូបភាពទី 1): z = x + iy ↔M (x, y) ↔M (z) ។ លេខ z ត្រូវបានគេហៅថា កូអរដោណេស្មុគ្រស្មាញនៃចំនុច M. ដោយសារសំណុំនៃចំនុចនៃយន្តហោះ Euclidean គឺនៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់នឹងមួយជាមួយនឹងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច យន្តហោះនេះក៏ត្រូវបានគេហៅថាប្លង់នៃចំនួនកុំផ្លិចផងដែរ។ ប្រភពដើម O នៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចដំបូង ឬសូន្យនៃយន្តហោះនៃចំនួនកុំផ្លិច។ នៅពេល = 0 លេខ z គឺពិត។ លេខពិតត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើអ័ក្ស x ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សពិត។ នៅ x = 0 លេខ z គឺជាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ៖ z = iy ។ លេខ​ស្រមើស្រមៃ​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​ចំណុច​នៅ​លើ​អ័ក្ស y ដែល​ជា​មូលហេតុ​ដែល​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​អ័ក្ស​ស្រមើស្រមៃ។ សូន្យគឺជាចំនួនពិត និងសុទ្ធសាធ។ ចម្ងាយពីដើមនៃយន្តហោះ O ដល់ចំណុច M(z) ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច z ហើយត្រូវបានតាងដោយ |z| ឬ r: | z | = r = | អូម | = √ x 2 + y 2 ប្រសិនបើ φ ជាមុំតម្រង់ទិសដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ ⃗ OM ជាមួយអ័ក្ស x បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស sin φ = y r, cos φ = x r 5
whence x = r cos φ, y = r sin φ ហើយដូច្នេះ z = r (cos φ + sin φ) ។ តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច z ត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។
ត្រីកោណមាត្រ

ឆេក
ទម្រង់។
តំណាងដើម z=x+iy ត្រូវបានហៅ
ពិជគណិត ទម្រង់នៃលេខនេះ។ នៅតំណាងត្រីកោណមាត្រ
មុំ  ត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរដោយ arg z: φ = arg z ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិច z = x + iy នោះលេខ ´ z = x − iy ត្រូវបានគេហៅថា
conjugate ស្មុគស្មាញ
(ឬគ្រាន់តែ
រួម
) ទៅលេខនេះ z ។ បន្ទាប់មក ជាក់ស្តែង លេខ z ក៏ត្រូវបានភ្ជាប់ទៅលេខ ´ z ផងដែរ។ ពិន្ទុ M(z) និង M 1 (´ z) គឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x ពីសមភាព z = ´ z វាធ្វើតាមថា y = 0 និងច្រាសមកវិញ។ នេះមានន័យថា

ចំនួនស្មើនឹង
ចំពោះ​ការ​រួម​បញ្ចូល​របស់​វា​គឺ​ពិត​ប្រាកដ​និង​ច្រាស​មក​វិញ​។
ចំណុចដែលមានកូអរដោណេស្មុគ្រស្មាញ z និង -z គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងចំណុចដំបូង O. ចំណុចដែលមានកូអរដោណេស្មុគស្មាញ z និង −´z គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងអ័ក្ស y ។ ពីសមភាព z = ´ z វាធ្វើតាមនោះ x = 0 និងច្រាសមកវិញ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌ z =−´ z គឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ចំនួនស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ សម្រាប់លេខណាមួយ z ច្បាស់ណាស់ | z | = | ´ z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
ផលបូកនិងផលិតផល
លេខរៀងៗខ្លួន ផលបូក ផលិតផល ឬកូតានៃលេខដែលផ្សំជាលេខស្មុគស្មាញដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 សមភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ប្រតិបត្តិការលើចំនួនកុំផ្លិច។ ប្រសិនបើ a និង b ជាកូអរដោណេស្មុគ្រស្មាញនៃចំនុច A និង B រៀងគ្នា នោះលេខ c = a + b គឺជាកូអរដោណេនៃចំនុច C ដូចនេះ ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (រូបទី 3)។ ចំនួនកុំផ្លិច d = a − b ត្រូវគ្នានឹងចំនុច D ដូចនេះ ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB ។ ចំងាយរវាងចំនុច A និង B គឺ | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) ចាប់តាំងពី ¿ z ∨ 2 = z ´ z នោះ ¿ AB ∨ 2 = (a − b) (´ a − ´ b) ។ (2)
សមីការ
z ´ z = r ២
កំណត់រង្វង់ជាមួយកណ្តាល

អំពីកាំ

r.
ទំនាក់ទំនង AC CB = λ, (λ ≠ − 1) ដែលចំនុច C បែងចែក ផ្នែកនេះ។ AB ត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈកូអរដោណេស្មុគ្រស្មាញនៃចំណុចទាំងនេះដូចខាងក្រោម៖ λ = c − a b − c, λ = ´ λ ពីកន្លែងដែល c = a + λb 1 + λ (3) សម្រាប់ λ = 1 ចំណុច C គឺជាចំណុចកណ្តាល នៃផ្នែក AB និងច្រាសមកវិញ។ បន្ទាប់មក៖ c = 1 2 (a + b) (4) គុណនៃចំនួនកុំផ្លិច ការគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានអនុវត្តតាមរូបមន្ត, នោះគឺ | a b | = | មួយ || ខ | , និង ៧
ភាពស្របគ្នា និងកាត់កែង ភាពជាប់គ្នានៃចំណុចបី អនុញ្ញាតឱ្យចំណុច A(a) និង B(b) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះនៃចំនួនកុំផ្លិច។ វ៉ិចទ័រ ⃗ OA និង ⃗ OB ត្រូវបានដឹកនាំរួមគ្នាប្រសិនបើ arg a = arg b ពោលគឺនៅពេលដែល arg a – arg b = arg a b = 0 (នៅពេលចែកចំនួនកុំផ្លិច អាគុយម៉ង់នៃផ្នែកបែងចែកត្រូវបានដកចេញពីអាគុយម៉ង់នៃ ភាគលាភ) ។
វាក៏ច្បាស់ដែរថា វ៉ិចទ័រទាំងនេះត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅផ្ទុយ ប្រសិនបើ arg a - arg b = arg a b = ± π ។ ចំនួនកុំផ្លិចដែលមានអាគុយម៉ង់ 0, π, - π គឺពិតប្រាកដ។
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យភាពជាប់គ្នាសម្រាប់ចំណុច O, A, B៖ ដើម្បីឱ្យចំនុច A(a) និង B(b) ស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនុចដំបូង O នោះវាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកូតា a b ត្រូវបានចំនួនពិត ឧ. a b = ´ a ´ b ឬ a ´ b = ´ a b (6) ឥឡូវយកចំនុច A(a), B(b), C(c), D(d)។ វ៉ិចទ័រ ⃗ BA និង ⃗ DC collie មិនមែនជា ary ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណុចដែលបានកំណត់ដោយស្មុគស្មាញនិង с-d គឺជាប់គ្នាជាមួយការចាប់ផ្តើម O. ចំណាំ៖ 1. ផ្អែកលើ (6) យើងមាន៖ ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) = (´ a −´ b ) (គ − ឃ); (8) 2. ប្រសិនបើចំនុច A, B, C, D ជារបស់រង្វង់ឯកតា z ´ z = 1 នោះ ´ a = 1 a; ´ b = 1 ខ ; ´ គ = 1 គ ; ´ d = 1 d ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌ (8) យកទម្រង់៖ ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. ភាពជាប់គ្នានៃចំនុច A, B, C ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ ⃗AB និង ⃗AC ។ ដោយប្រើ (8) យើងទទួលបាន៖ (a − b) (´ a −´ c) = (´ a −´ b) (a − c) (10) នេះគឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ចំនុច A, B, C ជាកម្មសិទ្ធិ។ ទៅបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ វាអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ស៊ីមេទ្រី a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a −´ b) = 0 (11) 8
ប្រសិនបើចំនុច A និង B ជារបស់រង្វង់ឯកតា z ´ z = 1 នោះ ´ a = 1 a; ´ b = 1 b ហើយដូច្នេះទំនាក់ទំនងនីមួយៗ (10) និង (11) ត្រូវបានបំប្លែង (បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយដោយ (a-b) ទៅជាដូចខាងក្រោម៖ c + ab ´ c = a + b (12) ចំនុច A និង B ត្រូវបានជួសជុល។ ហើយចំនុចដែលយើងនឹងពិចារណា C ជាអថេរ ដោយកំណត់កូអរដោណេរបស់វាឡើងវិញដោយ z បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងដែលទទួលបាន (10), (11), (12) នឹងជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ AB: (´ a −´ b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0 , (10a) z + ab ´ z = a + b (12a) ជាពិសេស OA ផ្ទាល់មានសមីការ a ´ z = ´ a z គឺជាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ ដូច្នេះ OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b ឬ OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) កាត់កែងនៃផ្នែក AB និង CD ត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព (a ។ − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) ជាពិសេសនៅពេលដែលចំនុច A, B, C, D ជាកម្មសិទ្ធិរបស់រង្វង់ឯកតា z´ z = 1 បន្ទាប់មកការពឹងផ្អែក (14) ត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ: ab + cd = 0 (15) បង្ហាញផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។ ផលិតផលចំនុចវ៉ិចទ័រ ⃗ OA និង ⃗ OB តាមរយៈកូអរដោណេស្មុគ្រស្មាញ a និង b នៃចំនុច A និង B ។ សូមអោយ a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 ។ បន្ទាប់មក a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB។ ដូច្នេះ ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
ឥឡូវ​នេះ​សូម​ឱ្យ​ចំណុច​បំពាន​ចំនួន​បួន A(a), B(b), C(c), D(d) ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​កូអរដោណេ​ស្មុគស្មាញ​របស់​ពួកគេ។ បន្ទាប់មក 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) មុំ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ស្របដើម្បីបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា ∠ (AB, CD) មុំតម្រង់ទិសវិជ្ជមានតាមរយៈ ដែលវ៉ិចទ័រ ⃗ ត្រូវតែបង្វិល AB ដើម្បីឱ្យវាក្លាយជាសហដឹកនាំជាមួយវ៉ិចទ័រ ⃗ ស៊ីឌី។ បន្ទាប់មក cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | d − គ || b−a |
(18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | d − គ || b−a |
(19) ចំនុចប្រសព្វនៃលេខទៅរង្វង់មួយ ប្រសិនបើចំនុច A, B, C និង D ស្ថិតនៅលើរង្វង់ z ´ z = 1 នោះកូអរដោនេស្មុគស្មាញនៃចំនុចប្រសព្វត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត ´ z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) ប្រសិនបើ AB កាត់កែងទៅស៊ីឌី នោះ z= 1 2 (a+b+c+d) (21) ចំនុចប្រសព្វនៃតង់សង់ទៅរង្វង់ 10

កូអរដោណេស្មុគ្រស្មាញនៃចំណុចប្រសព្វនៃតង់សង់ទៅរង្វង់ z ´ z = 1 នៅចំណុចរបស់វា A(a) និង B(b) ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត z = 2ab a + b (22) ការព្យាកររាងពងក្រពើនៃចំណុចមួយ។ នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ការព្យាករអ័រតូហ្គោននៃចំនុច M(m) ទៅលើបន្ទាត់ត្រង់ AB ដែល A(a) និង B(b) ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត ក្នុងករណី A និង B ជារបស់រង្វង់ឯកតា z= 1 2 (a + b + m − cb m) ។
ជំពូក III ។
តើ h=a+b+c មកពីណា។ (24) កន្សោមលទ្ធផលរួមមានកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណដោយស៊ីមេទ្រី ដូច្នេះហើយរយៈទទឹងទីបីនៃត្រីកោណឆ្លងកាត់ចំនុចប្រសព្វនៃត្រីកោណពីរដំបូងដែលស្រដៀងគ្នា [2,1] ត្រីកោណ ABC និង A 1 B 1 C 1 មានទិសដៅស្រដៀងគ្នា និងដូចគ្នាបេះបិទ (ភាពស្រដៀងគ្នានៃប្រភេទទីមួយ) ប្រសិនបើ B 1 = kAB, A 1 B 1 = kAC និងមុំ B 1 A 1 C 1 និង BAC គឺស្មើគ្នា (មុំត្រូវបានតម្រង់ទិស) ។ ដោយប្រើចំនួនកុំផ្លិច ភាពស្មើគ្នាទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 = arg c − a b − a ។ សមភាពទាំងពីរគឺស្មើនឹងមួយជាមួយនឹង 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) ដែល σ ជាចំនួនកុំផ្លិច |σ|= k-មេគុណភាពស្រដៀងគ្នា។ ប្រសិនបើ σ គឺពិត នោះ c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c −´ a ដែលជាកន្លែងដែល AC IllustrationA 1 C 1 ។ ដូច្នេះហើយ ត្រីកោណ ABC និង A 1 B 1 C 1 គឺដូចគ្នាបេះបិទ។ ទំនាក់ទំនង (25) គឺចាំបាច់និង លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដូច្នេះ ត្រីកោណ ABC និង A 1 B 1 C 1 គឺស្រដៀងគ្នា និងតម្រង់ទិសស្មើគ្នា។ វាអាចត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ស៊ីមេទ្រី ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) ត្រីកោណស្មើគ្នា ប្រសិនបើ | σ | = 1 បន្ទាប់មកត្រីកោណ ABC និង A 1 B 1 C 1 ស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនង (25) គឺជាសញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណតម្រង់ទិសដូចគ្នា ហើយទំនាក់ទំនង (26) គឺជាសញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណតម្រង់ទិសផ្ទុយគ្នា។ ត្រីកោណធម្មតា ប្រសិនបើអ្នកតម្រូវឱ្យតម្រង់ទិស ត្រីកោណ ABCគឺស្រដៀងទៅនឹងត្រីកោណតម្រង់ទិស BCA បន្ទាប់មកត្រីកោណ ABC នឹងទៀងទាត់។ ១២
ដូច្នេះពី (25) យើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ត្រីកោណ ABC ទៀងទាត់ (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) តំបន់នៃត្រីកោណ (បញ្ជាក់ដោយអ្នកនិពន្ធ) យើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃ S នៃត្រីកោណតម្រង់ទិសវិជ្ជមាន ABC: S = 1 2 | AB || AC | sin ∠ (AB , AC) = 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c −´ a)) = − 1 4i (a (´ b −´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) ឬ S = i 4 (a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a −´ b )) (28) ប្រសិនបើ ត្រីកោណ ABCសិលាចារឹកក្នុងរង្វង់ z ´ z = 1 បន្ទាប់មករូបមន្ត (28) ត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់៖ S = i 4 (a − b)(b − c) (c − a) abc (29) ទ្រឹស្តីបទអំពីបន្ទាត់កណ្តាលនៃ a ត្រីកោណ (បញ្ជាក់ដោយអ្នកនិពន្ធ)
ទ្រឹស្តីបទ
. បន្ទាត់កណ្តាលនៃត្រីកោណគឺស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាន និងស្មើនឹងពាក់កណ្តាលរបស់វា។ ភស្តុតាង។ ទុកអោយចំនុច M និង N ជាចំនុចកណ្តាលនៃភាគី AB និង BC បន្ទាប់មក m = b 2 ; n = b + c ២. ចាប់តាំងពី z 2 =z ´ z បន្ទាប់មក MN 2 = (m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c ដូច្នេះ 4MN 2 = AC 2 ឬ 2MN = AC លក្ខខណ្ឌ (8) នៃភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ MN និង AC ក៏ត្រូវបានពេញចិត្តផងដែរ។ ដូច្នេះហើយ MN LinkedInAC ។ ទ្រឹស្តីបទ Thales (បញ្ជាក់ដោយអ្នកនិពន្ធ)
ទ្រឹស្តីបទ
. ប្រសិនបើនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមុំកាត់ផ្នែកស្មើគ្នា បន្ទាប់មកនៅជ្រុងម្ខាងទៀតនៃមុំពួកគេបានកាត់ផ្នែកស្មើគ្នា។ ភស្តុតាង ចូរសន្មតថា c=kb ។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើ BD||CE នោះយើងមាន (b-d)(´ c − 2´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) បើកតង្កៀបនិងនាំយក ពាក្យស្រដៀងគ្នាយើងទទួលបានសមីការ b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c´ d ជំនួស c ជាមួយ kb និង ´ c ជាមួយ k ´ b យើងទទួលបាន bk ´ b -2b ´ d -dk ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ ឃ។ ដោយនាំយកពាក្យស្រដៀងគ្នាម្តងទៀត ហើយផ្លាស់ទីអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅម្ខាង យើងទទួលបាន 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d = 0 ។ យើងនឹងយកវាចេញ មេគុណទូទៅហើយយើងទទួលបាន 2 (b ´ d − ´ b d ¿ + k (´ b d − b ´ d) = 0. ហេតុនេះ k = 2, i.e. c = 2b. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ វាត្រូវបានបង្ហាញថា f = 3b ។ល។ ទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ ( បញ្ជាក់ដោយអ្នកនិពន្ធ) ខ ត្រីកោណកែងការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុស ស្មើនឹងផលបូកជើង​ការ៉េ ១៤
ភស្តុតាង។ ចំងាយរវាងចំនុច B និង C គឺស្មើនឹង BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b ។ ចាប់តាំងពី |z| 2 = z ´ z បន្ទាប់មក AC 2 = (a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿ = (a − 0) (´ a − 0) = a ´ a . AB 2 = (a-b)(´ a −´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b + b ´ b ចាប់តាំងពី b ជាចំនួនពិត ឧ. b = ´ b បន្ទាប់មក -a ´ b = − ab នៅលើអ័ក្ស Oy បន្ទាប់មក a = - ´ a, នោះគឺ - ´ ab = ab ដូចនេះ AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a + b ´ b = AC 2 + BC 2. ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់ បន្ទាត់ត្រង់ (បញ្ជាក់ដោយអ្នកនិពន្ធ) ចូរយើងបង្ហាញថា ចំណុចកណ្តាល ចំណុចកណ្តាល និងរង្វង់កណ្តាលនៃត្រីកោណស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា (បន្ទាត់ត្រង់នេះត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់ត្រង់អយល័រ) និង OG = 1/2GH 15 ។
ភ័ស្តុតាង៖ ចំណុច G(g) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃត្រីកោណ ABC, H(h) គឺជាចំនុចកណ្តាល ហើយ O(o) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់មូលនៃត្រីកោណនេះ។ ដើម្បីឱ្យចំនុចទាំងនេះមានលក្ខណៈស្មើគ្នា សមភាព (10) ត្រូវតែពេញចិត្ត៖ (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g −´ o ¿ (g − h) = 0 ចូរយើងយកចំនុច O ជា ប្រភពដើម បន្ទាប់មក g(´ g -´ h ¿ - ´ g (g − h) = g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h´ g ¿ =-g ´ h + h´ g (30) The កូអរដោណេស្មុគ្រស្មាញនៃ orthocenter ត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្ត (24) h=a+b+c, (30a) និង centroid យោងតាមរូបមន្ត (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) ជំនួស ( 30) យើងទទួលបាន 1 3 (a+b+c)(´a+b+c)-(a+b+c)(´a+b+c 1 3 ¿))=0 ពេញចិត្ត ដូច្នេះហើយ កណ្តាល ចំណុចកណ្តាល និងកណ្តាលនៃត្រីកោណដែលគូសរង្វង់ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ OG=g=1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c-1 3 (a។ +b+c)= 2 3 (a+b+c) យើងទទួលបាន OG= 1 2 GH ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់ 16 ។
រង្វង់អយល័រ (រង្វង់ប្រាំបួនចំណុច)។ បង្ហាញដោយអ្នកនិពន្ធ ពិចារណាត្រីកោណ ABC ។ យល់ស្របថា | OA | = | OB |= | OC | =1, i.e. ចំនុចកំពូលទាំងអស់នៃត្រីកោណជាកម្មសិទ្ធិរបស់រង្វង់ឯកតា z ´ z = 1 (ចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់មូល O គឺជាប្រភពដើម ហើយកាំគឺជាឯកតានៃប្រវែង)។ ចូរយើងបង្ហាញថាមូលដ្ឋានមានកម្ពស់បី
ត្រីកោណបំពាន
ចំនុចកណ្តាលនៃផ្នែកទាំងបីរបស់វា និងចំនុចកណ្តាលនៃផ្នែកទាំងបីដែលភ្ជាប់ចំនុចកំពូលរបស់វាជាមួយនឹងចំនុចកណ្តាលស្ថិតនៅលើរង្វង់ដូចគ្នា ហើយចំនុចកណ្តាលរបស់វាគឺជាចំនុចកណ្តាលនៃផ្នែក OH ដែល H, recall គឺជាចំនុចកណ្តាលនៃត្រីកោណ ABC ។ រង្វង់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា
ដោយសារតែ ត្រីកោណ ABC ត្រូវបានចារឹកក្នុងរង្វង់ z ´ z = 1 បន្ទាប់មក | ក | = | ខ | = | គ | = 1, → | a 2 | = | b 2 | = | គ ២ | = 1 2 | មួយ || ខ | | គ | = 1 2 | មួយ || គ | | ខ | = 1 2 | ខ || គ | | ក | = 1 2 ដូច្នេះ ចំនុច D, E, F, K, L, M, N, Q, F ជារបស់រង្វង់ដូចគ្នានៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Gauss ប្រសិនបើបន្ទាត់មួយកាត់បន្ទាត់ដែលមានជ្រុង BC, CA, AB នៃត្រីកោណ ABC រៀងគ្នានៅ ចំនុច A 1, B 1 , C 1 បន្ទាប់មកចំនុចកណ្តាលនៃផ្នែក AA 1, BB 1, СС 1 គឺនៅជាប់គ្នា។ ដោយប្រើ (11) យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ collinearity នៃចំនុចបីនៃចំនុច AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c ( ) c − b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1             b c a b (31) ប្រសិនបើ M, N, P ជាចំនុចកណ្តាលនៃ ផ្នែក AA 1, BB 1, CC 1 បន្ទាប់មកយើងត្រូវបង្ហាញថា 0) () () (       n m p m p n p n m (32) ចាប់តាំងពី), (2 1), (2 1), (2 1) 1 1 1 c c p b b n a m       បន្ទាប់មកសមភាពដែលកំពុងត្រូវបានបញ្ជាក់ (31) ស្មើនឹង 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                 b b a c c a a c c c b c c b b a ឬបន្ទាប់ពីគុណ៖ 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                          b a c c b a with b a c b a c a c b a ជាមួយ b a b c a b a 3 c a b ឃើញ​ថា ( 33) ត្រូវបានទទួលដោយការបន្ថែមភាពស្មើគ្នា (31) ភស្តុតាងពេញលេញ

ជំពូក IV ។

ការដោះស្រាយបញ្ហា USE និង Olympiads ផ្សេងៗដោយប្រើវិធីសាស្រ្តចំនួនកុំផ្លិច។
បញ្ហា 1. ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម -2012, P-4 នៅលើបន្ទាត់ដែលមាន AD មធ្យមនៃត្រីកោណកែង ABC ដែលមានមុំខាងស្តាំ C ចំនុច E ត្រូវបានគេយក ចំងាយពីចំនុចកំពូល A នៅចម្ងាយស្មើនឹង 4. រកផ្ទៃនៃ ត្រីកោណ BCE ប្រសិនបើ BC=6, AC=4។ ដំណោះស្រាយដំបូង។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ AD=5 ។ បន្ទាប់មក ED=1 អនុញ្ញាតឱ្យចំណុច E ស្ថិតនៅលើកាំរស្មី AD ។ AD មធ្យមគឺវែងជាង AE ហើយចំនុច E ស្ថិតនៅខាងក្នុងត្រីកោណ ABC (រូបភាពទី 1) ចូរយើងទម្លាក់ EF កាត់កែងពីចំណុច E ទៅបន្ទាត់ BC ហើយពិចារណាត្រីកោណកែងស្តាំស្រដៀងគ្នា DEF និង DAC ។ ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណទាំងនេះ យើងរកឃើញ៖ EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
ដូច្នេះ S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4 ។ ឥឡូវសូមចង្អុល A កុហករវាង E និង D (រូបទី 2)។ ក្នុងករណីនេះ ED=9 និង EF = AC ∙ ED AD = 36 5 ។ បន្ទាប់មក S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6 ។ ចម្លើយ៖ ២.៤; ២១.៦. ការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើលេខស្មុគស្មាញ។ ករណី I: ចំណុច E ស្ថិតនៅលើកាំរស្មី AD ។ ចាប់តាំងពី D គឺជាពាក់កណ្តាលនៃ CB បន្ទាប់មក CD = 3 ។ ហើយចាប់តាំងពី CA=4 វាច្បាស់ណាស់ថា AD=5 ពោលគឺ DE=1។ ចូរយកចំនុច C ជាចំនុចដំបូង ហើយបន្ទាត់ CA និង CB ជាអ័ក្សពិត និងស្រមើស្រមៃ។ បន្ទាប់មក A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e)។ ចំនុច A, E និង D គឺជាប់គ្នា បន្ទាប់មក e − 4 3i − e = 4 i.e. e = 12i + 4 5 ។ យោងតាមរូបមន្ត (25) S CBE = │ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(−´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ ¿ = 2.4 ករណីទី II៖ ចំណុច A ស្ថិតនៅចន្លោះចំនុច D និង E , បន្ទាប់មក 4 − e 3i − 4 = 4 5 , i.e. e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5) | វិធីទីមួយ អ្នកត្រូវមានការទស្សន៍ទាយជាច្រើន ដែលប្រហែលជាមិនលេចឡើងភ្លាមៗនោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីមានហេតុផលយូរមកហើយ បើទោះបីជាសិស្សត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងល្អនោះ ដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្កើតឡើងភ្លាមៗនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា វិធីទីពីរ យើងប្រើរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច សន្សំសំចៃពេលវេលាក្នុងការស្វែងរក ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងយល់ថាដោយមិនដឹងរូបមន្តនោះ បញ្ហាមិនអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រលេខស្មុគស្មាញ ដូចដែលអ្នកឃើញទេ វិធីសាស្ត្រនីមួយៗមានគុណសម្បត្តិ និងគុណវិបត្តិរបស់វា។ .
កិច្ចការទី 2 (MIOO, 2011)៖
“ ចំណុច M ស្ថិតនៅលើផ្នែក AB ។ នៅលើរង្វង់ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត AB ចំណុច C ត្រូវបានគេយកចម្ងាយពីចំណុច A, M និង B នៅចម្ងាយ 20, 14 និង 15 រៀងគ្នា។ ស្វែងរកតំបន់ត្រីកោណ BMC ។ ២០
ដំណោះស្រាយ៖ ដោយសារ AB គឺជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់មួយ ដូច្នេះ ∆ ABC មានរាងចតុកោណ ∠ C = 90 ° ចូរយក C ជា ចំណុចសូន្យយន្តហោះបន្ទាប់មក A(20i), B(15), M(z) ។ ចាប់តាំងពី CM = 14 សមភាព z ´ z = 196 គឺពិត ពោលគឺ ចំណុច M ∈ រង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅចំនុច C និង r = 14 ។ ចូរយើងរកចំនុចប្រសព្វនៃរង្វង់នេះជាមួយបន្ទាត់ AB: សមីការនៃបន្ទាត់ AB (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 ជំនួស ´ z ជាមួយ 196 z ហើយគុណសមីការទាំងមូលដោយ (4 i − 3) យើងទទួលបានសមីការការ៉េសម្រាប់ z: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 ដោយប្រើរូបមន្ត (28) យើងរកឃើញផ្ទៃ ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b −´ c) + b (´ c − ´ z) + c (´ z − ´ b)) ដែល c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) បានបញ្ចប់ ការផ្លាស់ប្តូរសមមូល, យើងទទួលបាន S = 54 ± 12 √ 13 sq ។ ឯកតា ចម្លើយ។ 54 ± 12 √ 13 sq ។ ឯកតា ប្រសិនបើអ្នកដោះស្រាយបញ្ហា វិធីសាស្រ្តធរណីមាត្របន្ទាប់មកវាចាំបាច់ដើម្បីពិចារណាករណីពីរផ្សេងគ្នា: ទី 1 - ចំណុច M ស្ថិតនៅចន្លោះ A និង D; ទី 2 - រវាង D និង B. 21

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃលេខស្មុគ្រស្មាញ ភាពទ្វេនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានទទួលដោយសារតែវត្តមាននៃចំនុចប្រសព្វពីរនៃរង្វង់មួយ និងបន្ទាត់មួយ។ កាលៈទេសៈនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងជៀសវាងកំហុសធម្មតា។
បញ្ហា ៣
មេដ្យាន AA 1, BB 1 និង CC 1 នៃត្រីកោណ ABC ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M. គេដឹងថា AB=6MC 1។ បង្ហាញថាត្រីកោណ ABC គឺជាត្រីកោណកែង។ ដំណោះស្រាយ៖ ឲ្យ C ជាចំណុចសូន្យនៃយន្តហោះ ហើយកំណត់ឯកតាពិតទៅចំណុច A ។ បន្ទាប់មកបញ្ហានឹងកាត់បន្ថយទៅបង្ហាញថា b គឺជាចំនួនស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ AB 2 = (b − 1) (´ b − 1) ។ M គឺជាចំណុចកណ្តាល កូអរដោនេរបស់វាគឺ 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) ចាប់តាំងពី AB = 6MC 1 បន្ទាប់មក ( b − 1) (´ b − 1) = ( b + 1) (´ b + 1) ។ ដោយបានអនុវត្តការបំប្លែង យើងទទួលបាន b =−´ b ពោលគឺ b គឺជាចំនួនស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ ពោលគឺ មុំ C គឺជាបន្ទាត់ត្រង់។
កិច្ចការទី 4 ។
22
ជាលទ្ធផលនៃការបង្វិល 90 °ជុំវិញចំណុច O ផ្នែក AB ប្រែទៅជាផ្នែក A "B" ។ បង្ហាញថា OM មធ្យមនៃត្រីកោណ OAB " កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ A " B ។ ដំណោះស្រាយ៖ សូមឲ្យកូអរដោនេ O, A, B ស្មើនឹង 0.1, b រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មកចំនុច A " និង B " នឹងមានកូអរដោណេ a " = i និង b " = bi ហើយ M កណ្តាលនៃផ្នែក AB " នឹងមានកូអរដោណេ m = 1 2 (1 + bi) ។ យើងរកឃើញ៖ a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i លេខជាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យកាត់កែង (ផ្នែក AB និង CD កាត់កែងប្រសិនបើលេខ a − b c − d គឺជាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ) បន្ទាត់ OM និង A 'B គឺកាត់កែង។
បញ្ហា ៥
. 23
ពីមូលដ្ឋាននៃនីវ៉ូទឹកនៃត្រីកោណ កាត់កែងត្រូវបានទម្លាក់លើភាគីទាំងពីរដែលមិនទាក់ទងទៅនឹងកម្ពស់នេះ។ បង្ហាញថាចម្ងាយរវាងមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងទាំងនេះមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃកម្ពស់នៃត្រីកោណនោះទេ។ ដំណោះស្រាយ៖ សូមឲ្យត្រីកោណ ABC ហើយរង្វង់ដែលគូសជុំវិញវាមានសមីការ z ´ z = 1 ។ ប្រសិនបើស៊ីឌីជាកម្ពស់នៃត្រីកោណនោះ d = 1 2 (a + b + c − ab c) កូអរដោនេស្មុគស្មាញនៃមូលដ្ឋាន M និង N នៃកាត់កែងបានទម្លាក់ពីចំណុច D ទៅ AC និង BC រៀងគ្នាគឺស្មើនឹង m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) យើងរកឃើញ៖ m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab ចាប់តាំងពី | ក | = | ខ | = 1 បន្ទាប់មក | m−n | = | (a − b) × ( b − គ ) ( គ − ក ) | ៤. កន្សោមនេះគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹង a, b, c, i.e. ចម្ងាយ MN មិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃកម្ពស់ត្រីកោណទេ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
24
«ប្រាកដហើយ! បញ្ហាទាំងអស់អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានលេខស្មុគស្មាញ។ ប៉ុន្តែការពិតនៃបញ្ហាគឺថាពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺមួយទៀត វិធីសាស្ត្រមានប្រសិទ្ធភាពការដោះស្រាយបញ្ហា Planimetric ។ យើង​អាច​និយាយ​តែ​អំពី​ការ​ជ្រើសរើស​វិធីសាស្ត្រ​ដែល​មាន​ប្រសិទ្ធភាព​ជាង​សម្រាប់​កិច្ចការ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។ វិវាទអំពីគុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្រ្តជាក់លាក់មួយគឺគ្មានន័យទេ ប្រសិនបើយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តទាំងនេះជាទូទៅ ដោយមិនអនុវត្តចំពោះបញ្ហាជាក់លាក់ណាមួយ” [2] ។ កន្លែងដ៏ធំមួយនៅក្នុងការសិក្សានៃវិធីសាស្រ្តត្រូវបានកាន់កាប់ដោយសំណុំនៃរូបមន្ត។ នេះគឺ
គុណវិបត្តិចម្បង
វិធីសាស្រ្តនិងក្នុងពេលតែមួយ
សេចក្តីថ្លៃថ្នូរ
ចាប់តាំងពីវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយបានគ្រប់គ្រាន់ កិច្ចការស្មុគស្មាញយោងតាមរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេចជាមួយនឹងការគណនាបឋម។ លើសពីនេះទៀតខ្ញុំជឿថានៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា Planimetry វិធីសាស្រ្តនេះ។គឺ​ជា​សកល។
គន្ថនិទ្ទេស
1. លោក Markushevich A.I. ២៥
2. Ponarin Ya. 3. Shvetsov D. ពីបន្ទាត់របស់ Simson ទៅទ្រឹស្តីបទ Droz-Farny, Kvant ។ - លេខ 6, 2009. – ទំ។ 44-48 4. Yaglom I. M. ការបំប្លែងធរណីមាត្រ. ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនិងរាងជារង្វង់។ - គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពរដ្ឋនៃអក្សរសិល្ប៍បច្ចេកទេស និងទ្រឹស្តី ឆ្នាំ 1956 - 612 ទំ។ 5. Yaglom I.M. លេខស្មុគស្មាញ និងកម្មវិធីរបស់ពួកគេក្នុងធរណីមាត្រ - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 p. 6. Morkovich A.G. និងផ្សេងៗទៀត ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី១០។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង ផ្នែកទី 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំទូទៅ (កម្រិតទម្រង់) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 ទំ។ 7. Andronov I.K. គណិតវិទ្យានៃចំនួនពិត និងកុំផ្លិច - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 p. ២៦

ការដាក់ពាក្យ

ទ្រឹស្តីបទបុរាណធរណីមាត្របឋម

ទ្រឹស្តីបទញូតុន។
នៅ​ក្នុង​រង្វង់​បួន​ជ្រុង​ដែល​គូស​រង្វង់​មួយ ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​អង្កត់ទ្រូង​គឺ​ជាប់​នឹង​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​រង្វង់។ ២៧
ភស្តុតាង។ ចូរ​យើង​យក​កណ្តាល​រង្វង់​ជា​ដើម ដោយ​កំណត់​កាំ​វា​ស្មើ​នឹង​មួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់ចំណុចទំនាក់ទំនងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណចតុកោណ A o B o C o D o ដោយ A, B, C, D (តាមលំដាប់រាងជារង្វង់) (រូបភាពទី 4) ។ សូមឱ្យ M និង N ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូង A o C o និង B o D o រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មកយោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ចំនុចប្រសព្វនៃតង់សង់ទៅរង្វង់មួយ z = 2ab a + b ចំនុច A o , B o , C o , D o នឹងមានកូអរដោណេស្មុគស្មាញរៀងៗខ្លួន៖ , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a         ដែល a, b, c, d ជាកូអរដោណេស្មុគ្រស្មាញនៃចំនុច A, B, C, D. ដូចេ្នះ។) (2 1 ,) ។   , 1 , 1 d d c c   បន្ទាប់មកដោយផ្ទាល់វាច្បាស់ណាស់ថា n m n m  ផ្អែកលើ (6) ចំនុច O, M, N គឺជា collinear ។
ទ្រឹស្តីបទ Pascal

.
ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលមានជ្រុងទល់មុខនៃ hexagon ចារឹកស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា។ ២៨
ភស្តុតាង។ ឲ្យ hexagon ABCDEF និង P FA CD N EF BC M DE AB   ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) (    ( រូបទី 6 ) ត្រូវបានចារឹកជារង្វង់ ( រូបទី 6 ) ។ ចូរយើងយកចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ជាចំនុចសូន្យនៃយន្តហោះ ហើយកាំរបស់វាគឺក្នុងមួយឯកតាប្រវែង បន្ទាប់មកយោងទៅតាម (17) យើងមាន : ,) ( , ) ( , ) ( fa cd a f d c p ef bc f e c b n ។ de ab e d b a m                គណនា))(())((ef bc de ab ab fa ef de cd bc e b n m         និងស្រដៀងគ្នា .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n            បនា្ទាប់មកយើងរកៈ .))(())(( de ab c f fa cd e b p n m        ចាប់តាំងពីចំនួន f e d c b a ស្មើគ្នា រៀងគ្នា f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 បន្ទាប់មកការពិនិត្យផ្ទាល់មាត់បង្ហាញថាកន្សោមដែលបានរកឃើញស្របគ្នាជាមួយនឹង conjugate របស់វា i.e. វាជាចំនួនពិត។ នេះមានន័យថាចំណុច M, N, P គឺជាប់គ្នា។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ម៉ុង។
នៅ​ក្នុង​ជ្រុង​បួន​ជ្រុង​ដែល​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់​មួយ បន្ទាត់​កាត់​តាម​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​ភាគី និង។ អង្កត់ទ្រូងនីមួយៗកាត់កែងទៅភាគីផ្ទុយគ្នា ហើយតាមអង្កត់ទ្រូងផ្សេងទៀតកាត់ត្រង់ចំណុចមួយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាចំណុច Monge នៃរង្វង់បួនជ្រុង។ ភស្តុតាង។ រង្វង់កាត់កែងទៅជ្រុងនៃ ABCD រាងបួនជ្រុង ប្រសព្វគ្នានៅចំកណ្តាលនៃរង្វង់មូល ដែលយើងយកជាចំណុចចាប់ផ្តើម។ សម្រាប់ចំនុចនីមួយៗ M(z) នៃ bisector កាត់កែងទៅ [AB] លេខ b a b a z   ) (2 1 ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ 29
ជាពិសេសសម្រាប់ z = 0 វាស្មើនឹង) (2) (b a b a    . សម្រាប់ចំនុចនីមួយៗ N(z) នៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ពាក់កណ្តាលនៃ CD ចំហៀងកាត់កែងទៅ (AB) លេខ b a d c z   ) (2 1 នឹងត្រូវការស្រមើស្រមៃសុទ្ធសាធ និងច្រាសមកវិញ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ z=) (2 1 d c b a    វាស្មើគ្នា) (2 b a b a   i.e. ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ ដូច្នេះហើយ ចំនុច E ដែលមានកូអរដោណេស្មុគស្មាញ) ( 2 1 d c b a    ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ហើយកន្សោមនេះគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអក្សរ a, b, c, d ដូច្នេះហើយ បន្ទាត់ដែលបង្កើតស្រដៀងគ្នាចំនួនប្រាំផ្សេងទៀតមានចំនុច E. 30

• យើងនឹងផ្អែកលើការតភ្ជាប់ មិនមែនលើរូបមន្តមេកានិចទេ។
• ចូរយើងពិចារណាចំនួនកុំផ្លិច ជាការបំពេញបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធលេខរបស់យើង ដូចគ្នានឹងលេខសូន្យ ប្រភាគ ឬលេខអវិជ្ជមាន។
• យើងស្រមៃមើលគំនិតនៅក្នុងក្រាហ្វិក ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ពីខ្លឹមសារ ហើយមិនត្រឹមតែបង្ហាញវានៅក្នុងអត្ថបទស្ងួតប៉ុណ្ណោះទេ។

និងរបស់យើង។ អាវុធសម្ងាត់៖ រៀនដោយការប្រៀបធៀប។ យើង​នឹង​ឈាន​ដល់​ចំនួន​កុំផ្លិច​ដោយ​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​បុព្វបុរស​របស់​ពួក​គេ លេខ​អវិជ្ជមាន។ នេះជាការណែនាំតិចតួចសម្រាប់អ្នក៖

សម្រាប់ពេលនេះ តារាងនេះមានន័យតិចតួច ប៉ុន្តែសូមឱ្យវានៅទីនោះ។ នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ អ្វីៗនឹងទៅជាកន្លែង។

ចូរយើងយល់ពីអ្វីដែលជាលេខអវិជ្ជមាន

លេខអវិជ្ជមានមិនសាមញ្ញទេ។ ស្រមៃថាអ្នកគឺជាគណិតវិទូអឺរ៉ុបនៅសតវត្សទី 18 ។ អ្នកមាន 3 និង 4 ហើយអ្នកអាចសរសេរ 4 – 3 = 1 ។ វាសាមញ្ញ។

ប៉ុន្តែ ៣-៤ ជាអ្វី? តើនេះមានន័យយ៉ាងណា? តើអ្នកអាចយកគោ ៤ ក្បាលចេញពី ៣ យ៉ាងដូចម្តេច? តើអ្នកអាចមានតិចជាងអ្វី?

លេខ​អវិជ្ជមាន​ត្រូវ​បាន​គេ​មើល​ឃើញ​ថា​ជា​ការ​មិន​សម​ហេតុ​ផល​ពេញលេញ ដែល​ជា​អ្វី​ដែល « ស្រមោល​លើ​ទ្រឹស្ដី​សមីការ​ទាំង​មូល» (Francis Maceres, 1759)។ ថ្ងៃនេះ វាជាការសមហេតុសមផលពេញលេញក្នុងការគិតលេខអវិជ្ជមានថាជាអ្វីមួយដែលមិនសមហេតុផល និងគ្មានប្រយោជន៍។ សួរគ្រូរបស់អ្នកប្រសិនបើលេខអវិជ្ជមានបំពានគណិតវិទ្យាមូលដ្ឋាន។

តើមានអ្វីកើតឡើង? យើងបានបង្កើតលេខទ្រឹស្តីដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិមានប្រយោជន៍។ លេខអវិជ្ជមានមិនអាចប៉ះ ឬមានអារម្មណ៍បានទេ ប៉ុន្តែពួកវាល្អក្នុងការពិពណ៌នាអំពីទំនាក់ទំនងមួយចំនួន (ដូចជាបំណុលជាដើម)។ នេះគឺជាគំនិតមានប្រយោជន៍ណាស់។

ជំនួសឱ្យការនិយាយថា "ខ្ញុំជំពាក់អ្នក 30" ហើយអានពាក្យដើម្បីមើលថាតើខ្ញុំខ្មៅឬខ្មៅខ្ញុំគ្រាន់តែអាចសរសេរ "-30" ហើយដឹងពីអត្ថន័យ។ ប្រសិនបើខ្ញុំរកលុយនិងសងបំណុលរបស់ខ្ញុំ (-30 + 100 = 70) ខ្ញុំអាចសរសេរប្រតិបត្តិការនេះបានយ៉ាងងាយស្រួលជាតួអក្សរពីរបី។ ខ្ញុំនឹងនៅសល់ +70 ។

សញ្ញាបូកនិងដកចាប់យកទិសដៅដោយស្វ័យប្រវត្តិ - អ្នកមិនត្រូវការប្រយោគទាំងមូលដើម្បីពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការនីមួយៗ។ គណិតវិទ្យាបានក្លាយទៅជាសាមញ្ញ ឆើតឆាយជាងមុន។ វាលែងជាបញ្ហាទៀតហើយថាតើលេខអវិជ្ជមានគឺ "រូបី" - ពួកវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិមានប្រយោជន៍ ហើយយើងបានប្រើវារហូតទាល់តែពួកវាបានបង្កើតឡើងយ៉ាងរឹងមាំនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃរបស់យើង។ ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ដែលអ្នកស្គាល់មិនទាន់យល់ពីខ្លឹមសារនៃលេខអវិជ្ជមាននោះ ឥឡូវនេះអ្នកនឹងជួយពួកគេ។

ប៉ុន្តែ​សូម​កុំ​មើល​ងាយ ការរងទុក្ខរបស់មនុស្ស៖ លេខអវិជ្ជមានគឺជាការផ្លាស់ប្តូរពិតប្រាកដនៅក្នុងស្មារតី។ សូម្បីតែអយល័រ ដែលជាមនុស្សពូកែរកឃើញលេខ អ៊ី និងច្រើនទៀត ក៏មិនយល់ពីលេខអវិជ្ជមានដូចយើងសព្វថ្ងៃនេះដែរ។ ពួកគេត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាលទ្ធផល "គ្មានន័យ" នៃការគណនា។

វាជាការចម្លែកក្នុងការរំពឹងថាកុមារនឹងយល់ដោយស្ងប់ស្ងាត់នូវគំនិតដែលធ្លាប់ច្រឡំសូម្បីតែគណិតវិទូដ៏ល្អបំផុត។

ការបញ្ចូលលេខស្រមៃ

វាជារឿងដូចគ្នាជាមួយនឹងលេខស្រមើលស្រមៃ។ យើងអាចដោះស្រាយសមីការដូចនេះពេញមួយថ្ងៃ៖

ចម្លើយនឹងមាន ៣ និង -៣ ។ ប៉ុន្តែ​សូម​ស្រមៃ​ថា បុរស​ឆ្លាត​មួយ​ចំនួន​បាន​បន្ថែម​ដក​នៅ​ទីនេះ៖

អញ្ចឹង។ នេះ​ជា​ចម្ងល់​ដែល​ធ្វើ​ឲ្យ​មនុស្ស​ស្រក់​ទឹក​ភ្នែក​ពេល​ឃើញ​វា​ជា​លើក​ដំបូង។ តើអ្នកចង់គណនាឫសការ៉េនៃចំនួនតិចជាងសូន្យទេ? នេះនឹកស្មានមិនដល់! (តាមប្រវត្តិសាស្ត្រពិតជាមាន សំណួរស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការស្រមៃមើលបុរសដែលមានប្រាជ្ញា ដោយមិនខ្មាសអៀនដល់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រពីអតីតកាល)។

វាមើលទៅឆ្កួតៗ ដូចជាលេខអវិជ្ជមាន លេខសូន្យ និងលេខមិនសមហេតុផល (លេខមិនដដែលៗ) មើលត្រឡប់មកវិញនៅថ្ងៃនោះ។ មិនមានអត្ថន័យ "ពិត" សម្រាប់សំណួរនេះទេ?

ទេ វាមិនពិតទេ។ អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា “លេខ​ស្រមើស្រមៃ” គឺ​ជា​លេខ​ធម្មតា​ដូច​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត (ឬ​ក៏​ខុស​ប្រក្រតី)៖ ពួក​វា​ជា​ឧបករណ៍​សម្រាប់​ពណ៌នា​អំពី​ពិភពលោក។ នៅក្នុងស្មារតីដូចគ្នាដែលយើងស្រមៃថា -1, 0.3 និង 0 "មាន" ចូរយើងសន្មត់ថាមានលេខមួយចំនួន i ដែល:

ម្យ៉ាងវិញទៀត អ្នកគុណ i ដោយខ្លួនវា ដើម្បីទទួលបាន -1 ។ តើមានអ្វីកើតឡើងឥឡូវនេះ?

ជាដំបូង យើងប្រាកដជាឈឺក្បាល។ ប៉ុន្តែតាមរយៈការលេងហ្គេម "តោះធ្វើពុតថាខ្ញុំមាន" យើងពិតជាធ្វើឱ្យគណិតវិទ្យាកាន់តែសាមញ្ញ និងឆើតឆាយជាងមុន។ ការតភ្ជាប់ថ្មីលេចឡើងដែលយើងអាចពិពណ៌នាយ៉ាងងាយស្រួល។

អ្នក​នឹង​មិន​ជឿ​លើ​ខ្ញុំ ដូច​អ្នក​គណិត​វិទូ​ចាស់​ទុំ​ទាំង​នោះ​មិន​ជឿ​លើ​អត្ថិភាព​នៃ -1។ គំនិតថ្មីទាំងអស់ដែលបង្វិលខួរក្បាលទៅជាបំពង់មួយគឺពិបាកនឹងយល់ឃើញ ហើយអត្ថន័យរបស់វាមិនលេចចេញភ្លាមៗទេ សូម្បីតែអយល័រដ៏អស្ចារ្យក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែដូចដែលលេខអវិជ្ជមានបានបង្ហាញយើង គំនិតថ្មីប្លែកអាចមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់។

ខ្ញុំមិនចូលចិត្តពាក្យ "លេខស្រមើស្រមៃ" ខ្លួនឯងទេ - វាមានអារម្មណ៍ថាវាត្រូវបានជ្រើសរើសជាពិសេសដើម្បីធ្វើឱ្យខូចអារម្មណ៍របស់ i ។ លេខ i គឺ​ធម្មតា​ដូច​លេខ​ផ្សេង​ដែរ ប៉ុន្តែ​ឈ្មោះ​ហៅ​ក្រៅ "ស្រមៃ" បាន​ជាប់​គាំង​វា ដូច្នេះ​យើង​ក៏​នឹង​ប្រើ​វា​ដែរ។

ការយល់ឃើញនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងស្មុគស្មាញ

សមីការ x^2 = 9 ពិតជាមានន័យយ៉ាងនេះ៖

តើការបំប្លែង x មួយណាដែលអនុវត្តពីរដង ប្រែ 1 ទៅជា 9?

មានចម្លើយពីរ៖ "x = 3" និង "x = −3" ។ នោះគឺអ្នកអាច "ធ្វើមាត្រដ្ឋានដោយ" 3 ដងឬ "មាត្រដ្ឋានដោយ 3 ហើយត្រឡប់" (ការបញ្ច្រាសឬទទួលយកលទ្ធផលទៅវិញទៅមកគឺជាការបកស្រាយទាំងអស់នៃគុណនឹងអវិជ្ជមានមួយ) ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគិតអំពីសមីការ x^2=-1 ដែលអាចសរសេរដូចនេះ៖

តើការបំប្លែង x មួយណាដែលអនុវត្តពីរដង ប្រែ 1 ទៅជា -1? ហ៊ឹម

• យើងមិនអាចគុណពីរដងបានទេ។ លេខវិជ្ជមានដោយសារតែលទ្ធផលនឹងមានភាពវិជ្ជមាន។
• យើងមិនអាចគុណលេខអវិជ្ជមានពីរដងបានទេ ព្រោះលទ្ធផលនឹងវិជ្ជមានម្តងទៀត។

ចុះ... បង្វិល! វាស្តាប់ទៅមិនធម្មតាទេ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងគិតពី x ជា "ការបង្វិល 90 ដឺក្រេ" បន្ទាប់មកដោយអនុវត្ត x ពីរដង យើងនឹងធ្វើការបង្វិល 180 ដឺក្រេដោយ អ័ក្សសំរបសំរួលហើយ 1 នឹងប្រែទៅជា -1!

អីយ៉ា! ហើយ​បើ​យើង​គិត​ពី​វា​បន្តិច​ទៀត យើង​អាច​ធ្វើ​បដិវត្តន៍​ពីរ ទិសដៅផ្ទុយហើយ​ក៏​ទៅ​ពី 1 ទៅ -1 ។ នេះគឺជាការបង្វិល "អវិជ្ជមាន" ឬគុណដោយ -i៖

ប្រសិនបើយើងគុណនឹង -i ពីរដង នោះនៅលើគុណទីមួយយើងទទួលបាន -i ពី 1 ហើយនៅលើទីពីរ -1 ពី -i ។ ដូច្នេះតាមពិតមានពីរ ឫសការ៉េ-1: ខ្ញុំ និង -i ។

ឡូយណាស់! យើងមានអ្វីមួយដូចជាដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែតើវាមានន័យដូចម្តេច?

• ខ្ញុំគឺជា "វិមាត្រស្រមើលស្រមៃថ្មី" សម្រាប់វាស់លេខ
• i (ឬ -i) គឺជាអ្វីដែលលេខ "ក្លាយជា" នៅពេលបង្វិល
• ការគុណនឹង i គឺបង្វិល 90 ដឺក្រេច្រាសទ្រនិចនាឡិកា
• គុណនឹង -i គឺជាការបង្វិលតាមទ្រនិចនាឡិកា 90 ដឺក្រេ។
• ការបង្វិលពីរដងក្នុងទិសដៅណាមួយផ្តល់ឱ្យ -1: វានាំយើងត្រលប់ទៅវិមាត្រ "ធម្មតា" នៃចំនួនវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាន (អ័ក្ស x) ។

លេខទាំងអស់គឺ 2 វិមាត្រ។ បាទ វាពិបាកក្នុងការទទួលយក ប៉ុន្តែវានឹងពិបាកដូចជនជាតិរ៉ូមបុរាណក្នុងការទទួលយក។ ទសភាគឬការបែងចែកវែង។ (តើ​មាន​លេខ​ច្រើន​ទៀត​រវាង​លេខ ១ និង ២ យ៉ាង​ដូចម្តេច?) មើលទៅចម្លែកដូចអ្នកណា វិធីថ្មី។គិតក្នុងគណិតវិទ្យា។

យើងសួរថា "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្វែរ 1 ទៅជា -1 ក្នុងសកម្មភាពពីរ?" ហើយបានរកឃើញចម្លើយ៖ បង្វិល 1 90 ដឺក្រេពីរដង។ វិធី​គិត​បែប​ថ្មី​ប្លែក​ក្នុង​គណិតវិទ្យា។ ប៉ុន្តែមានប្រយោជន៍ណាស់។ (ដោយវិធីនេះ ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃលេខស្មុគ្រស្មាញនេះបានលេចឡើងតែប៉ុន្មានទសវត្សរ៍បន្ទាប់ពីការរកឃើញនៃលេខ i ខ្លួនវាផ្ទាល់) ។

ក៏កុំភ្លេចថាការយកបដិវត្តន៍ច្រាសទ្រនិចនាឡិកាគឺ លទ្ធផលវិជ្ជមាន- នេះគឺជាអនុសញ្ញារបស់មនុស្សសុទ្ធសាធ ហើយអ្វីៗអាចខុសគ្នាទាំងស្រុង។

ស្វែងរកសំណុំ

ចូរយើងចូលទៅលម្អិតបន្តិច។ នៅពេលអ្នកគុណលេខអវិជ្ជមាន (ដូចជា -1) អ្នកនឹងទទួលបានសំណុំ៖

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

ដោយសារ -1 មិនផ្លាស់ប្តូរទំហំលេខ មានតែសញ្ញាទេ អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នាទាំងសញ្ញា "+" ឬជាមួយសញ្ញា "-" ។ សម្រាប់លេខ x អ្នកទទួលបាន៖

• x, -x, x, -x, x, -x…

នេះគឺជាគំនិតមានប្រយោជន៍ណាស់។ លេខ "x" អាចតំណាងឱ្យសប្តាហ៍ល្អ និងអាក្រក់។ តោះស្រមៃមើល សប្តាហ៍ដ៏ល្អជំនួសអាក្រក់; វាជាសប្តាហ៍ដ៏ល្អមួយ; តើសប្តាហ៍ទី ៤៧ នឹងទៅជាយ៉ាងណា?

X មានន័យថាវានឹងជាសប្តាហ៍អាក្រក់។ សូមមើលពីរបៀបដែលលេខអវិជ្ជមាន "ធ្វើតាមសញ្ញា" - យើងអាចបញ្ចូល (-1)^47 ទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខជំនួសឱ្យការរាប់ ("សប្តាហ៍ទី 1 ល្អ សប្តាហ៍ទី 2 អាក្រក់... សប្តាហ៍ទី 3 ល្អ ... ")។ អ្វីដែលឆ្លាស់គ្នាឥតឈប់ឈរអាចត្រូវបានយកគំរូតាមយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះដោយប្រើលេខអវិជ្ជមាន។

យល់ព្រម តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើយើងបន្តគុណនឹងខ្ញុំ?

គួរឱ្យអស់សំណើចណាស់ តោះសម្រួលវាបន្តិច៖

នេះ​ជា​រឿង​ដដែល​ដែល​បង្ហាញ​ជា​ក្រាហ្វិក៖

យើងធ្វើវដ្តម្តងទៀតរៀងរាល់វេនទី 4 ។ នោះពិតជាមានន័យមែនមែនទេ? ក្មេងណាម្នាក់នឹងប្រាប់អ្នកថា 4 វេនទៅខាងឆ្វេងគឺដូចគ្នានឹងមិនងាកទាល់តែសោះ។ ឥឡូវនេះសូមសម្រាកពីចំនួនស្រមើលស្រមៃ (i, i^2) ហើយមើលសំណុំសរុប៖

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

ពិត​ជា​ចំនួន​អវិជ្ជមាន​ត្រូវ​បាន​យក​គំរូ​តាម រូបភាពកញ្ចក់លេខ លេខស្រមើលស្រមៃអាចយកគំរូតាមអ្វីដែលបង្វិលរវាងវិមាត្រពីរ "X" និង "Y" ។ ឬ​អ្វី​ដែល​មាន​ការ​ពឹង​ផ្អែក​រាង​ជា​រង្វង់ - តើ​អ្នក​មាន​អ្វី​ក្នុង​ចិត្ត​ទេ?

ការយល់ដឹងអំពីចំនួនកុំផ្លិច

មានព័ត៌មានលម្អិតមួយទៀតដែលត្រូវពិចារណា៖ តើលេខអាចជា "ពិត" និង "ការស្រមើស្រមៃ" ដែរឬទេ?

កុំសង្ស័យ។ អ្នកណាថាយើងត្រូវបត់ ៩០ ដឺក្រេ? ប្រសិនបើយើងឈរដោយជើងម្ខាងនៅលើវិមាត្រ "ពិត" និងមួយទៀតនៅលើ "ការស្រមើលស្រមៃ" នោះវានឹងមើលទៅដូចនេះ:

យើងស្ថិតនៅសញ្ញាសម្គាល់ 45 ដឺក្រេ ដែលផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃគឺដូចគ្នា ហើយលេខខ្លួនឯងគឺ "1 + i" ។ វាដូចជាឆ្កែក្តៅដែលមានទាំង ketchup និង mustard - តើអ្នកណានិយាយថាអ្នកត្រូវជ្រើសរើសមួយឬផ្សេងទៀត?

ជាមូលដ្ឋាន យើងអាចជ្រើសរើសការរួមបញ្ចូលគ្នានៃផ្នែកពិត និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ ហើយបង្កើតត្រីកោណចេញពីវាទាំងអស់។ មុំក្លាយជា "មុំបង្វិល" ។ ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាឈ្មោះពុម្ពអក្សរក្បូរក្បាច់សម្រាប់លេខដែលមានផ្នែកពិត និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។ ពួកវាត្រូវបានសរសេរជា "a + bi" ដែល៖

• a - ផ្នែកពិត
• ខ - ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ

មិនអាក្រក់ទេ។ ប៉ុន្តែនៅសល់តែមួយ សំណួរចុងក្រោយ៖ តើ "ធំ" ជាចំនួនកុំផ្លិច? យើងមិនអាចវាស់ផ្នែកពិត ឬផ្នែកស្រមើលស្រមៃដោយឡែកពីគ្នាបានទេ ព្រោះយើងនឹងនឹកឃើញរូបភាពធំ។

តោះ​មួយ​ជំហាន​ថយ​ក្រោយ។ ទំហំ លេខអវិជ្ជមានគឺជាចម្ងាយពីសូន្យ៖

នេះគឺជាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរក តម្លៃដាច់ខាត. ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីវាស់សមាសធាតុទាំងពីរនៅ 90 ដឺក្រេសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច?

តើវាជាបក្សីនៅលើមេឃ... ឬយន្តហោះ... Pythagoras កំពុងមកជួយសង្គ្រោះ!

ទ្រឹស្តីបទនេះលេចឡើងនៅគ្រប់ទីកន្លែងដែលអាចធ្វើទៅបាន សូម្បីតែនៅក្នុងលេខដែលបានបង្កើត 2000 ឆ្នាំបន្ទាប់ពីទ្រឹស្តីបទខ្លួនឯង។ បាទ/ចាស យើងកំពុងបង្កើតត្រីកោណ ហើយអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់វានឹងស្មើនឹងចម្ងាយពីសូន្យ៖

ទោះបីជាការវាស់ចំនួនកុំផ្លិចមិនសាមញ្ញដូចជា "គ្រាន់តែលុបសញ្ញា" ក៏ដោយ លេខស្មុគស្មាញមានច្រើន កម្មវិធីមានប្រយោជន៍. សូមក្រឡេកមើលពួកគេខ្លះ។

ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង៖ ការបង្វិល

យើងនឹងមិនរង់ចាំរហូតដល់រូបវិទ្យាមហាវិទ្យាល័យដើម្បីអនុវត្តចំនួនកុំផ្លិច។ យើងនឹងធ្វើវានៅថ្ងៃនេះ។ អាចនិយាយបានច្រើនលើប្រធានបទនៃការគុណចំនួនកុំផ្លិច ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះអ្នកត្រូវយល់ពីរឿងសំខាន់៖

• គុណនឹងចំនួនកុំផ្លិច បង្វិលដោយមុំរបស់វា។

តោះមើលរបៀបដែលវាដំណើរការ។ ស្រមៃថាខ្ញុំនៅលើទូកដោយធ្វើដំណើរលើផ្លូវ 3 គ្រឿងទៅខាងកើតរៀងរាល់ 4 គ្រឿងទៅខាងជើង។ ខ្ញុំចង់ផ្លាស់ប្តូរវគ្គសិក្សារបស់ខ្ញុំ 45 ដឺក្រេច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ តើវគ្គសិក្សាថ្មីរបស់ខ្ញុំនឹងទៅជាយ៉ាងណា?

នរណាម្នាក់អាចនិយាយថា "វាងាយស្រួល! គណនាស៊ីនុស កូស៊ីនុស ហ្គូហ្គល តម្លៃតង់សង់ ... ហើយបន្ទាប់មក ... " ខ្ញុំគិតថាខ្ញុំបំបែកម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់ខ្ញុំ ...

តោះទៅទៀត។ នៅក្នុងវិធីសាមញ្ញមួយ។៖ យើងស្ថិតនៅលើផ្លូវ 3+4i (វាមិនមានបញ្ហាអ្វីជាមុំទេ យើងមិនខ្វល់ទេឥឡូវនេះ) ហើយយើងចង់បត់ 45 ដឺក្រេ។ ជាការប្រសើរណាស់ 45 ដឺក្រេគឺ 1 + i (អង្កត់ទ្រូងដ៏ល្អ) ។ ដូច្នេះយើងអាចគុណអត្រារបស់យើងដោយលេខនេះ!

នេះជាខ្លឹមសារ៖

• ក្បាលដើម៖ ៣ យូនីត ខាងកើត ៤ យូនីត ខាងជើង = ៣ + ៤i
• បង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកា 45 ដឺក្រេ = គុណនឹង 1 + i

នៅពេលគុណយើងទទួលបាន៖

របស់យើង។ ទីតាំងសម្គាល់ថ្មី។- 1 ឯកតាទៅខាងលិច (-1 ទៅខាងកើត) និង 7 គ្រឿងទៅខាងជើង អ្នកអាចគូរកូអរដោនេនៅលើក្រាហ្វហើយធ្វើតាមវា។

តែ! យើងបានរកឃើញចម្លើយក្នុងរយៈពេល 10 វិនាទី ដោយគ្មានស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ មិនមានវ៉ិចទ័រ គ្មានម៉ាទ្រីស គ្មានការតាមដានថាតើយើងស្ថិតនៅក្នុងរង្វង់មួយណា។ វាជានព្វន្ធសាមញ្ញ និងពិជគណិតតិចតួចដើម្បីដោះស្រាយសមីការ។ លេខ​ស្រមើស្រមៃ​គឺ​ល្អ​សម្រាប់​ការ​បង្វិល!

លើសពីនេះទៅទៀតលទ្ធផលនៃការគណនាបែបនេះមានប្រយោជន៍ណាស់។ យើងមានវគ្គ (-1, 7) ជំនួសឱ្យមុំ (atan(7/-1) = 98.13 ហើយវាច្បាស់ភ្លាមៗថាយើងស្ថិតនៅក្នុងការ៉េទីពីរ។ តើអ្នកមានគម្រោងគូរ និងធ្វើតាមមុំដែលបានចង្អុលបង្ហាញដោយរបៀបណា? ប្រើ protractor នៅដៃ?

ទេ អ្នកនឹងបំប្លែងមុំទៅជាកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស (-0.14 និង 0.99) ស្វែងរកសមាមាត្រប្រហាក់ប្រហែលរវាងពួកវា (ប្រហែល 1 ដល់ 7) ហើយគូសវាសត្រីកោណ។ ហើយនៅទីនេះ លេខស្មុគ្រស្មាញប្រាកដជាឈ្នះ - ត្រឹមត្រូវ ផ្លេកបន្ទោរលឿន និងដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ!

ប្រសិនបើអ្នកដូចខ្ញុំ អ្នកនឹងរកឃើញការរកឃើញនេះគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ បើមិនអញ្ចឹងទេ ខ្ញុំខ្លាចថា គណិតវិទ្យាមិនធ្វើអោយអ្នករំភើបទាល់តែសោះ។ សុំទោស!

ត្រីកោណមាត្រគឺល្អ ប៉ុន្តែចំនួនកុំផ្លិចធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែងាយស្រួល (ដូចជាការស្វែងរក cos(a + b))។ នេះគ្រាន់តែជាសេចក្តីប្រកាសតូចមួយ នៅក្នុងអត្ថបទខាងក្រោមខ្ញុំនឹងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវម៉ឺនុយពេញលេញ។

ការបំប្លែងអត្ថបទចម្រៀង៖ មនុស្សមួយចំនួនគិតដូចនេះ៖ “ហេ! វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការមានវគ្គសិក្សាខាងជើង/ខាងកើតជំនួសឱ្យ មុំសាមញ្ញសម្រាប់ការឆ្លងកាត់កប៉ាល់!

តើវាពិតទេ? យល់ព្រម មើលរបស់អ្នក។ ដៃស្តាំ. តើមុំរវាងគល់ម្រាមដៃតូចរបស់អ្នក និងចុងគឺជាអ្វី? ម្រាមដៃសន្ទស្សន៍? សូមសំណាងល្អជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តគណនារបស់អ្នក។

ឬអ្នកអាចឆ្លើយដោយសាមញ្ញថា "មែនហើយ ព័ត៌មានជំនួយគឺ X អ៊ីញទៅខាងស្តាំ ហើយ Y អុិនឈ៍ឡើង" ហើយអ្នកអាចធ្វើអ្វីមួយអំពីវា។

តើ​លេខ​ស្មុគ្រស្មាញ​ខិត​មក​ជិត​ហើយ​ឬ?

យើងបានឆ្លងកាត់របកគំហើញជាមូលដ្ឋានរបស់ខ្ញុំក្នុងវិស័យចំនួនកុំផ្លិចដូចជាព្យុះកំបុតត្បូង។ សូមក្រឡេកមើលរូបភាពដំបូងបំផុត ឥឡូវនេះវាគួរតែកាន់តែច្បាស់។

មានអ្វីជាច្រើនទៀតដែលត្រូវរកឃើញនៅក្នុងតួលេខដ៏ស្រស់ស្អាត និងអស្ចារ្យទាំងនេះ ប៉ុន្តែខួរក្បាលរបស់ខ្ញុំអស់កម្លាំងហើយ។ គោលដៅរបស់ខ្ញុំគឺសាមញ្ញ៖

• បញ្ចុះបញ្ចូលអ្នកថាលេខស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានគេមើលឃើញថាជា "ឆ្កួត" ប៉ុន្តែតាមពិតពួកវាអាចមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ (ដូចជាលេខអវិជ្ជមាន)
• បង្ហាញពីរបៀបដែលលេខស្មុគ្រស្មាញអាចសម្រួលបញ្ហាមួយចំនួនដូចជាការបង្វិលជាដើម។

ប្រសិនបើខ្ញុំហាក់ដូចជាបារម្ភខ្លាំងពេកអំពីប្រធានបទនេះ វាមានហេតុផលសម្រាប់រឿងនោះ។ តួលេខ​ស្រមើស្រមៃ​បាន​ក្លាយ​ជា​ការ​ឈ្លក់​វង្វេង​របស់​ខ្ញុំ​អស់​ជា​ច្រើន​ឆ្នាំ​មក​ហើយ - ការ​ខ្វះ​ការ​យល់​ដឹង​ធ្វើ​ឱ្យ​ខ្ញុំ​ខឹង។

ប៉ុន្តែ​ការ​បំភ្លឺ​ទៀន​គឺ​ល្អ​ជាង​ការ​ដើរ​កាត់​ទីងងឹត៖ នេះ​ជា​គំនិត​របស់​ខ្ញុំ ហើយ​ខ្ញុំ​ប្រាកដ​ថា​ពន្លឺ​នឹង​បំភ្លឺ​ក្នុង​ចិត្ត​អ្នក​អាន​របស់​ខ្ញុំ។

Epilogue: ប៉ុន្តែពួកគេនៅតែចម្លែកណាស់!

ខ្ញុំ​ដឹង​ថា​គេ​នៅ​តែ​មើល​ទៅ​ចម្លែក​សម្រាប់​ខ្ញុំ​ផង​ដែរ។ ខ្ញុំកំពុងព្យាយាមគិតដូចមនុស្សដំបូងដែលរកឃើញការគិតសូន្យ។

សូន្យគឺជាគំនិតចម្លែក "អ្វីមួយ" តំណាងឱ្យ "គ្មានអ្វី" ហើយនេះមិនអាចយល់បានតាមមធ្យោបាយណាមួយនៅក្នុង ទីក្រុងរ៉ូមបុរាណ. វាដូចគ្នាជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិច - វាជាវិធីថ្មីនៃការគិត។ ប៉ុន្តែទាំងលេខសូន្យ និងលេខស្មុគ្រស្មាញ ធ្វើអោយគណិតវិទ្យាមានភាពសាមញ្ញ។ ប្រសិនបើយើងមិនដែលបានណែនាំរឿងចំលែកដូចជាប្រព័ន្ធលេខថ្មីទេ យើងនឹងនៅតែរាប់អ្វីៗទាំងអស់នៅលើម្រាមដៃរបស់យើង។

ខ្ញុំនិយាយឡើងវិញនូវភាពស្រដៀងគ្នានេះព្រោះវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការចាប់ផ្តើមគិតថាចំនួនកុំផ្លិចគឺ "មិនមែនធម្មតាទេ"។ ចូរយើងបើកចំហចំពោះការបង្កើតថ្មី៖ នៅពេលអនាគត មនុស្សគ្រាន់តែនិយាយលេងអំពីរបៀបដែលនរណាម្នាក់រហូតដល់សតវត្សរ៍ទី 21 មិនជឿលើចំនួនស្មុគស្មាញ។

ថ្ងៃទី 23 ខែតុលា ឆ្នាំ 2015