និយមន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។ ផលិតផលឆ្លងកាត់ - និយមន័យ លក្ខណៈសម្បត្តិ រូបមន្ត ឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយ

និយមន័យ ការប្រមូលតាមលំដាប់នៃ (x 1 , x 2 , ... , x n) n លេខពិតត្រូវបានហៅ n-វិមាត្រនិងលេខ x i (i = ) - សមាសធាតុ,ឬ កូអរដោនេ,

ឧទាហរណ៍។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើរោងចក្រផលិតរថយន្តជាក់លាក់មួយត្រូវតែផលិតរថយន្តចំនួន 50 គ្រឿង រថយន្តដឹកទំនិញចំនួន 100 គ្រឿង រថយន្តក្រុងចំនួន 10 គ្រឿង គ្រឿងបន្លាស់ចំនួន 50 គ្រឿងសម្រាប់រថយន្ត និង 150 ឈុតសម្រាប់រថយន្តដឹកទំនិញ និងរថយន្តក្រុងក្នុងមួយវេន នោះកម្មវិធីផលិតរោងចក្រនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាវ៉ិចទ័រ។ (50, 100, 10, 50, 150) ដែលមានធាតុផ្សំប្រាំ។

កំណត់ចំណាំ។ វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​អក្សរ​តូច​ដិត​ឬ​អក្សរ​ដិត​ជាមួយ​របារ​ឬ​ព្រួញ​នៅ​ខាង​លើ, ឧ។ កឬ. វ៉ិចទ័រទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា ស្មើប្រសិនបើពួកគេមានចំនួនដូចគ្នានៃសមាសភាគ ហើយសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។

សមាសធាតុវ៉ិចទ័រមិនអាចប្តូរបានទេ ឧទាហរណ៍ (3, 2, 5, 0, 1)និង (2, 3, 5, 0, 1) វ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា។
ប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រ។ការងារ x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ដោយចំនួនពិតλ ហៅថាវ៉ិចទ័រλ x= (λ x 1, λ x 2, ... , λ x n) ។

ចំនួនទឹកប្រាក់x= (x 1 , x 2 , ... , x n) និង y= (y 1 , y 2 , ... , y n) ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n) ។

ចន្លោះវ៉ិចទ័រ។ន -ទំហំវ៉ិចទ័រវិមាត្រ រ n ត្រូវបានកំណត់ជាសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional ដែលប្រតិបត្តិការនៃគុណនឹងចំនួនពិត និងការបូកត្រូវបានកំណត់។

រូបភាពសេដ្ឋកិច្ច។ រូបភាពសេដ្ឋកិច្ចនៃទំហំវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រ៖ ចន្លោះទំនិញ (ទំនិញ) នៅក្រោម ទំនិញយើង​នឹង​យល់​ពី​សេវាកម្ម​ល្អ ឬ​សេវាកម្ម​មួយ​ចំនួន​ដែល​បាន​ដាក់​លក់​នៅ​ពេល​ជាក់លាក់​មួយ​នៅ​កន្លែង​ជាក់លាក់។ ឧបមាថាមានចំនួនកំណត់ n នៃទំនិញដែលមាន។ បរិមាណនៃទំនិញនីមួយៗដែលបានទិញដោយអ្នកប្រើប្រាស់ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយសំណុំនៃទំនិញ

x= (x 1 , x 2 , ... , x n )

ដែល x i បង្ហាញពីចំនួននៃទំនិញ i-th ដែលទិញដោយអ្នកប្រើប្រាស់។ យើងនឹងសន្មត់ថាទំនិញទាំងអស់មានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកតាមអំពើចិត្ត ដូច្នេះបរិមាណដែលមិនអវិជ្ជមាននៃទំនិញនីមួយៗអាចទិញបាន។ បន្ទាប់មកសំណុំទំនិញដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់គឺជាវ៉ិចទ័រនៃទំហំទំនិញ C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធ អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , ... , អ៊ី m n-dimensional vectors ត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានលេខបែបនេះλ 1 , λ 2 , ... , λ m ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយគឺមិនមែនសូន្យ ដូចជាសមភាពλ ១ អ៊ី 1 + λ 2 អ៊ី 2 +... + λ m អ៊ី m = 0; បើមិនដូច្នេះទេ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពោលគឺ សមភាពដែលបានចង្អុលបង្ហាញគឺអាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីទាំងអស់ប៉ុណ្ណោះ។ . អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុង រ 3, បកស្រាយជាផ្នែកដឹកនាំ, ពន្យល់ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រមួយគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនេះគឺសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រពីរមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជាគូលីនេអ៊ែរ (ប៉ារ៉ាឡែល)។

ទ្រឹស្តីបទ ៣ . ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័របីមានភាពអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជា coplanar (កុហកនៅក្នុងប្លង់តែមួយ)។

ឆ្វេងនិងស្តាំបីដងនៃវ៉ិចទ័រ។ បីដងនៃវ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ក, ខ, គហៅ ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើអ្នកសង្កេតមើលពីប្រភពដើមទូទៅរបស់ពួកគេឆ្លងកាត់ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ក, ខ, គនៅក្នុងលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហាក់ដូចជាកើតឡើងតាមទ្រនិចនាឡិកា។ បើមិនដូច្នេះទេ។ ក, ខ, គ -នៅសល់បី. វ៉ិចទ័របីដងខាងស្តាំ (ឬខាងឆ្វេង) ត្រូវបានគេហៅថា ដូច​គ្នា តម្រង់ទិស។

មូលដ្ឋាននិងកូអរដោនេ។ ត្រូកា អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ក្នុង រ 3 ត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននិងវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 - មូលដ្ឋាន. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ កអាច​ត្រូវ​បាន​ពង្រីក​ដោយ​ឡែក​ទៅ​ជា​វ៉ិចទ័រ​មូលដ្ឋាន ពោល​គឺ​តំណាង​ក្នុង​សំណុំ​បែបបទ

ក= x ១ អ៊ី 1+x2 អ៊ី 2 + x ៣ អ៊ី 3, (1.1)

លេខ x 1 , x 2 , x 3 នៅក្នុងការពង្រីក (1.1) ត្រូវបានហៅ កូអរដោនេកនៅក្នុងមូលដ្ឋាន អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 និងត្រូវបានកំណត់ ក(x 1, x 2, x 3) ។

មូលដ្ឋានអ័រគីដេ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 គឺជាគូកាត់កែង ហើយប្រវែងនៃពួកវានីមួយៗគឺស្មើនឹងមួយ បន្ទាប់មកមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតានិងកូអរដោនេ x 1 , x 2 , x 3 - ចតុកោណ។វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៃមូលដ្ឋាន orthonormal នឹងត្រូវបានតំណាងដោយ ខ្ញុំ, j, k ។

យើងនឹងសន្មតថានៅក្នុងលំហ រ 3 ប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ត្រូវបានជ្រើសរើស (0, ខ្ញុំ, j, k}.

សិល្បៈវ៉ិចទ័រ។ សិល្បៈវ៉ិចទ័រ កទៅវ៉ិចទ័រ ខហៅថាវ៉ិចទ័រ គដែលត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌបីដូចខាងក្រោមៈ

1. ប្រវែងវ៉ិចទ័រ គជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បង្កើត​លើ​វ៉ិចទ័រ កនិង ខ, i.e.
គ= |a||b|អំពើបាប( ក^ខ).

2. វ៉ិចទ័រ គកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រនីមួយៗ កនិង ខ.

3. វ៉ិចទ័រ ក ខនិង គយកតាមលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ បង្កើតជាបីដងខាងស្តាំ។

សម្រាប់ផលិតផលឆ្លងកាត់ គការកំណត់ត្រូវបានណែនាំ គ =[ab] ឬ
c = ក × ខ.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ កនិង ខជាប់គ្នា បន្ទាប់មក បាប ( a^b) = 0 និង [ ab] = 0 ជាពិសេស [ អេ] = 0. ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រឯកតា៖ [ អ៊ី]=k, [jk] = ខ្ញុំ, [គី]=j.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ កនិង ខបានបញ្ជាក់នៅក្នុងមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ, j, kកូអរដោនេ ក(a 1, a 2, a 3) ខ(b 1, b 2, b 3) បន្ទាប់មក

ការងារចម្រុះ។ ប្រសិនបើផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ កនិង ខគុណនឹងវ៉ិចទ័រទីបី គ,បន្ទាប់មកផលិតផលនៃវ៉ិចទ័របីត្រូវបានគេហៅថា ការងារចម្រុះហើយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា ក b គ.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ក, ខនិង គនៅក្នុងមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ, j, kផ្តល់ដោយកូអរដោនេរបស់ពួកគេ។
ក(a 1, a 2, a 3) ខ(ខ ១, ខ ២, ខ ៣), គ(c 1, c 2, c 3) បន្ទាប់មក

.

ផលិតផលចំរុះមានការបកស្រាយធរណីមាត្រសាមញ្ញ - វាគឺជាមាត្រដ្ឋានដែលស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតទៅនឹងបរិមាណនៃប៉ារ៉ាឡែលភីបដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័របី។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របង្កើតបានបីដងត្រឹមត្រូវ នោះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេគឺជាលេខវិជ្ជមានស្មើនឹងបរិមាណដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ប្រសិនបើវាជាបី ក, ខ, គ -ឆ្វេង a b គ<0 и V = - a b គដូច្នេះ V =|a b c|.

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលជួបប្រទះនៅក្នុងបញ្ហានៃជំពូកទី 1 ត្រូវបានគេសន្មត់ថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន orthonormal ត្រឹមត្រូវ។ ឯកតាវ៉ិចទ័រ បង្វែរទិសជាមួយវ៉ិចទ័រ កចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា កអូ និមិត្តសញ្ញា r=អូមតំណាងដោយវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច M និមិត្តសញ្ញា a, AB ឬ|a|, | AB|ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាង កនិង AB

ឧទាហរណ៍ 1.2. រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ក= 2ម+4ននិង ខ= m-n, កន្លែងណា មនិង n-ឯកតាវ៉ិចទ័រ និងមុំរវាង មនិង នស្មើនឹង 120 o ។

ដំណោះស្រាយ. យើងមានៈ cos φ = ab/ab ab =(2ម+4ន) (m-n) = 2ម 2 - 4ន 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ក = ; ក 2 = (2ម+4ន) (2ម+4ន) =
= 4ម 2 +16mn+16ន 2 = 4+16(-0.5)+16=12 ដែលមានន័យថា a = . b = ; ខ 2 =
= (m-n)(m-n) = ម 2 -2mn+ន 2 = 1-2(-0.5)+1=3 មានន័យថា b=។ ទីបំផុតយើងមាន: cosφ = = -1/2, φ = 120 o ។

ឧទាហរណ៍ 1.3 ។ស្គាល់វ៉ិចទ័រ AB(-3,-2.6) និង B.C.(-2,4,4) គណនាប្រវែងនៃរយៈកំពស់ AD នៃត្រីកោណ ABC ។

ដំណោះស្រាយ. កំណត់ផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ដោយ S យើងទទួលបាន៖
ស = ១/២ មុនគ.ស. បន្ទាប់មក AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BCដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រ A.C.មានកូអរដោនេ
. .

ឧទាហរណ៍ 1.4 . វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក(11,10,2) និង ខ(៤,០,៣)។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតា គ,រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រ កនិង ខនិងដឹកនាំដូច្នេះ វ៉ិចទ័របីដង តាមលំដាប់ ក, ខ, គត្រឹមត្រូវ។

ដំណោះស្រាយ។ចូរ​យើង​កំណត់​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ គទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋានអ័រថូនិកត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ x, y, z ។

ដោយសារតែ គ ⊥ ក, គ ⊥ខ, នោះ។ ប្រហែល= 0,cb= 0. តាមល័ក្ខខ័ណ្ឌនៃបញ្ហាគឺតម្រូវឱ្យ c = 1 និង a b គ >0.

យើងមានប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់ស្វែងរក x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x + 3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0 ។

ពីសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន z = -4/3 x, y = -5/6 x ។ ការជំនួស y និង z ទៅក្នុងសមីការទីបី យើងមាន៖ x 2 = 36/125 មកពីណា។
x =± . ការប្រើប្រាស់លក្ខខណ្ឌ a b c > 0 យើងទទួលបានវិសមភាព

ដោយគិតពីកន្សោមសម្រាប់ z និង y យើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពលទ្ធផលក្នុងទម្រង់៖ 625/6 x > 0 ដែលមានន័យថា x> 0 ។ ដូច្នេះ x = , y = - , z =- ។

ទី​បំផុត​ខ្ញុំ​បាន​ចាប់​ដៃ​ខ្ញុំ​លើ​ប្រធាន​បទ​ដ៏​ធំ​មួយ​ដែល​បាន​រង់ចាំ​ជា​យូរ​មក​ហើយ។ ធរណីមាត្រវិភាគ. ជាដំបូងបន្តិចអំពីផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ... ប្រាកដណាស់ឥឡូវនេះអ្នកចងចាំវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រសាលាដែលមានទ្រឹស្តីបទជាច្រើន ភស្តុតាង គំនូរ ជាដើម។ អ្វី​ដែល​ត្រូវ​លាក់ ប្រធានបទ​ដែល​មិន​ចូលចិត្ត ហើយ​ច្រើន​តែ​មិន​ច្បាស់​លាស់​សម្រាប់​សិស្ស​ច្រើន​សមាមាត្រ។ ធរណីមាត្រវិភាគ ចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ ហាក់ដូចជាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងអាចចូលប្រើបាន។ តើគុណនាម "វិភាគ" មានន័យដូចម្តេច? ឃ្លាគណិតវិទ្យាពីរដែលគិតភ្លាមៗ៖ "វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក" និង "វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយវិភាគ"។ វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកជាការពិតណាស់ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការសាងសង់ក្រាហ្វនិងគំនូរ។ វិភាគដូចគ្នា វិធីសាស្រ្តពាក់ព័ន្ធនឹងការដោះស្រាយបញ្ហា ជាចម្បងតាមរយៈប្រតិបត្តិការពិជគណិត។ ក្នុងន័យនេះក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់នៃធរណីមាត្រវិភាគគឺសាមញ្ញនិងមានតម្លាភាពជាញឹកញាប់វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវរូបមន្តចាំបាច់ - ហើយចម្លើយគឺរួចរាល់! ទេ ពិតណាស់ យើងនឹងមិនអាចធ្វើវាដោយគ្មានគំនូរទាល់តែសោះ ហើយក្រៅពីនេះ សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែច្បាស់អំពីសម្ភារៈ ខ្ញុំនឹងព្យាយាមដកស្រង់វាលើសពីការចាំបាច់។

វគ្គថ្មីនៃមេរៀនស្តីពីធរណីមាត្រមិនធ្វើពុតជាទ្រឹស្តីពេញលេញទេ វាត្រូវបានផ្តោតលើការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។ ខ្ញុំ​នឹង​បញ្ចូល​ក្នុង​ការ​បង្រៀន​របស់​ខ្ញុំ​តែ​អ្វី​ដែល​តាម​ទស្សនៈ​របស់​ខ្ញុំ​គឺ​សំខាន់​ក្នុង​ន័យ​ជាក់ស្តែង។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការជំនួយពេញលេញបន្ថែមទៀតលើផ្នែករងណាមួយ ខ្ញុំសូមណែនាំអក្សរសិល្ប៍ដែលអាចចូលប្រើបានដូចខាងក្រោម៖

១) រឿង​ដែល​មនុស្ស​ជំនាន់​ជាច្រើន​ធ្លាប់​ស្គាល់៖ សៀវភៅសិក្សាអំពីធរណីមាត្រ, អ្នកនិពន្ធ - L.S. Atanasyan និងក្រុមហ៊ុន. ឧបករណ៍ព្យួរបន្ទប់ locker របស់សាលានេះបានឆ្លងកាត់ការបោះពុម្ពឡើងវិញចំនួន 20 (!) រួចហើយ ដែលជាការពិតណាស់ មិនមែនជាដែនកំណត់នោះទេ។

2) ធរណីមាត្រក្នុង 2 ភាគ. អ្នកនិពន្ធ L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. នេះគឺជាអក្សរសិល្ប៍សម្រាប់វិទ្យាល័យអ្នកនឹងត្រូវការ បរិមាណដំបូង. កិច្ចការដែលកម្រជួបប្រទះអាចនឹងធ្លាក់ចេញពីការមើលឃើញរបស់ខ្ញុំ ហើយការបង្រៀននឹងមានជំនួយដ៏មានតម្លៃ។

សៀវភៅទាំងពីរអាចទាញយកបានដោយឥតគិតថ្លៃតាមអ៊ីនធឺណិត។ លើសពីនេះទៀតអ្នកអាចប្រើប័ណ្ណសាររបស់ខ្ញុំជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចដែលអាចរកបាននៅលើទំព័រ ទាញយកឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់។.

ក្នុង​ចំណោម​ឧបករណ៍​នេះ ខ្ញុំ​ស្នើ​ឡើង​វិញ​នូវ​ការ​អភិវឌ្ឍ​ខ្លួន​ឯង - កញ្ចប់កម្មវិធីនៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ដែលនឹងជួយសម្រួលដល់ជីវិត និងសន្សំសំចៃពេលវេលាយ៉ាងច្រើន។

វាត្រូវបានសន្មត់ថាអ្នកអានគឺស៊ាំជាមួយគោលគំនិតនិងតួលេខធរណីមាត្រជាមូលដ្ឋាន: ចំណុច, បន្ទាត់, យន្តហោះ, ត្រីកោណ, ប្រលេឡូក្រាម, ប៉ារ៉ាឡែលភីប, គូប។ល។ គួរតែចងចាំទ្រឹស្តីបទខ្លះ យ៉ាងហោចណាស់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ជំរាបសួរអ្នកនិយាយឡើងវិញ)

ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាតាមលំដាប់លំដោយ៖ គំនិតនៃវ៉ិចទ័រ សកម្មភាពជាមួយវ៉ិចទ័រ កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអានបន្ថែម អត្ថបទសំខាន់បំផុត ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ, និងផងដែរ។ វ៉ិចទ័រ និងផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ. កិច្ចការក្នុងស្រុក - ការបែងចែកផ្នែកមួយនៅក្នុងន័យនេះ - ក៏នឹងមិននាំអោយ។ ដោយផ្អែកលើព័ត៌មានខាងលើអ្នកអាចធ្វើជាម្ចាស់ សមីការនៃបន្ទាត់ក្នុងយន្តហោះជាមួយ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃដំណោះស្រាយដែលនឹងអនុញ្ញាត រៀនដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រ. អត្ថបទខាងក្រោមក៏មានប្រយោជន៍ផងដែរ៖ សមីការនៃយន្តហោះក្នុងលំហ, សមីការនៃបន្ទាត់ក្នុងលំហ, បញ្ហាជាមូលដ្ឋាននៅលើបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះមួយ, ផ្នែកផ្សេងទៀតនៃធរណីមាត្រវិភាគ។ ជាធម្មតា កិច្ចការស្តង់ដារនឹងត្រូវបានពិចារណាតាមផ្លូវ។

គំនិតវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃ

ជាដំបូង ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវនិយមន័យសាលានៃវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រហៅ ដឹកនាំផ្នែកដែលការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់របស់វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ៖

ក្នុងករណីនេះការចាប់ផ្តើមនៃចម្រៀកគឺជាចំនុច ចុងបញ្ចប់នៃចម្រៀកគឺជាចំនុច។ វ៉ិចទ័រខ្លួនឯងត្រូវបានតំណាងដោយ . ទិសដៅសំខាន់ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ទីព្រួញទៅចុងម្ខាងទៀតនៃផ្នែក នោះអ្នកទទួលបានវ៉ិចទ័រ ហើយនេះគឺរួចហើយ វ៉ិចទ័រខុសគ្នាទាំងស្រុង. វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់និយមន័យនៃវ៉ិចទ័រជាមួយនឹងចលនានៃរូបរាងកាយ៖ អ្នកត្រូវតែយល់ព្រម ការចូលទៅក្នុងទ្វារនៃវិទ្យាស្ថាន ឬចាកចេញពីទ្វារនៃវិទ្យាស្ថានគឺជារឿងខុសគ្នាទាំងស្រុង។

វាជាការងាយស្រួលក្នុងការពិចារណាចំណុចនីមួយៗនៃយន្តហោះ ឬលំហ ដែលគេហៅថា សូន្យវ៉ិចទ័រ. សម្រាប់វ៉ិចទ័របែបនេះ ចុងបញ្ចប់ និងការចាប់ផ្តើមស្របគ្នា។

!!! ចំណាំ៖ នៅទីនេះ និងលើសពីនេះទៅទៀត អ្នកអាចសន្មត់ថាវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ ឬអ្នកអាចសន្មត់ថាពួកវាស្ថិតនៅក្នុងលំហ - ខ្លឹមសារនៃសម្ភារៈដែលបានបង្ហាញគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់ទាំងយន្តហោះ និងលំហ។

ការរចនា៖មនុស្ស​ជា​ច្រើន​បាន​សម្គាល់​ឃើញ​ដំបង​ដែល​គ្មាន​ព្រួញ​នៅ​ក្នុង​ការ​កំណត់​ភ្លាមៗ ហើយ​បាន​និយាយ​ថា មាន​ព្រួញ​នៅ​ខាង​លើ​ផង​ដែរ! ពិត អ្នក​អាច​សរសេរ​វា​ដោយ​ព្រួញ៖ ប៉ុន្តែ​វា​ក៏​អាច​ធ្វើ​បាន​ដែរ។ ធាតុដែលខ្ញុំនឹងប្រើនាពេលអនាគត. ហេតុអ្វី? ជាក់ស្តែង ទម្លាប់នេះបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ហេតុផលជាក់ស្តែង។ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំ ពេលខ្លះពួកគេមិនខ្វល់នឹងការសរសេរអក្សរ Cuneiform ទាល់តែសោះ ប៉ុន្តែគូសបញ្ជាក់អក្សរជាអក្សរដិត៖ ដោយហេតុនេះបញ្ជាក់ថានេះជាវ៉ិចទ័រ។

នោះជាស្ទីលស្ទីល ហើយឥឡូវនេះអំពីវិធីសរសេរវ៉ិចទ័រ៖

1) វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានសរសេរជាអក្សរធំឡាតាំងពីរ:
ល​ល។ ក្នុងករណីនេះអក្សរទីមួយ ចាំបាច់តំណាង​ចំណុច​ដើម​នៃ​វ៉ិចទ័រ ហើយ​អក្សរ​ទីពីរ​តំណាង​ឱ្យ​ចំណុច​ចុង​នៃ​វ៉ិចទ័រ។

2) វ៉ិចទ័រក៏ត្រូវបានសរសេរជាអក្សរឡាតាំងតូចៗផងដែរ៖
ជាពិសេស វ៉ិចទ័ររបស់យើងអាចត្រូវបានកំណត់ឡើងវិញសម្រាប់ភាពខ្លីដោយអក្សរឡាតាំងតូចមួយ។

ប្រវែងឬ ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រមិនសូន្យត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងនៃផ្នែក។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រសូន្យគឺសូន្យ។ ឡូជីខល។

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយសញ្ញាម៉ូឌុល៖ ,

យើង​នឹង​រៀន​ពី​របៀប​រក​ប្រវែង​វ៉ិចទ័រ (ឬ​យើង​នឹង​ធ្វើ​វា​ឡើង​វិញ អាស្រ័យ​លើ​អ្នក​ណា) បន្តិច​ក្រោយ​មក។

នេះគឺជាព័ត៌មានមូលដ្ឋានអំពីវ៉ិចទ័រ ដែលធ្លាប់ស្គាល់ចំពោះសិស្សសាលាទាំងអស់។ នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ អ្វីដែលគេហៅថា វ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃ.

និយាយឱ្យសាមញ្ញ - វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានគ្រោងពីចំណុចណាមួយ។:

យើងទម្លាប់ហៅវ៉ិចទ័របែបនេះថាស្មើ (និយមន័យនៃវ៉ិចទ័រស្មើគ្នានឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម) ប៉ុន្តែតាមទស្សនៈគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ ពួកគេគឺជាវ៉ិចទ័រដូចគ្នា ឬ វ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃ. ហេតុអ្វីទំនេរ? ដោយសារតែក្នុងអំឡុងពេលនៃការដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកអាច "ភ្ជាប់" នេះ ឬវ៉ិចទ័រនោះទៅចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះ ឬលំហដែលអ្នកត្រូវការ។ នេះជាមុខងារពិសេសណាស់! ស្រមៃមើលវ៉ិចទ័រនៃប្រវែងនិងទិសដៅបំពាន - វាអាចត្រូវបាន "ក្លូន" ចំនួនដងគ្មានកំណត់ហើយនៅចំណុចណាមួយក្នុងលំហតាមពិតវាមាននៅគ្រប់ទីកន្លែង។ មាន​សិស្ស​និយាយ​បែប​នេះ​ថា ៖ គ្រូ​បង្រៀន​គ្រប់​រូប​តែង​និយាយ​ស្តី​អំពី​វ៉ិចទ័រ។ យ៉ាងណាមិញ វាមិនមែនគ្រាន់តែជាវោហារស័ព្ទដ៏ឈ្លាសវៃប៉ុណ្ណោះទេ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺត្រឹមត្រូវតាមគណិតវិទ្យា - វ៉ិចទ័រអាចភ្ជាប់នៅទីនោះផងដែរ។ ប៉ុន្តែកុំប្រញាប់ប្រញាល់ត្រេកអរ វាជាសិស្សខ្លួនឯងដែលតែងតែរងទុក្ខ =)

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រឥតគិតថ្លៃ- នេះ។ មួយ​បាច់ ផ្នែកដឹកនាំដូចគ្នា។ និយមន័យសាលានៃវ៉ិចទ័រ ដែលផ្តល់ឱ្យនៅដើមកថាខណ្ឌ៖ "ផ្នែកដឹកនាំត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ ... " បង្កប់ន័យ ជាក់លាក់ផ្នែកដឹកនាំដែលយកចេញពីសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវបានចងភ្ជាប់ទៅនឹងចំណុចជាក់លាក់មួយនៅក្នុងយន្តហោះ ឬលំហ។

គួរកត់សំគាល់ថា តាមទស្សនៈរូបវិទ្យា គោលគំនិតនៃវ៉ិចទ័រសេរី ជាទូទៅមិនត្រឹមត្រូវ ហើយចំណុចនៃការអនុវត្តវ៉ិចទ័រមានបញ្ហា។ ជាការពិត ការវាយប្រហារដោយផ្ទាល់នៃកម្លាំងដូចគ្នានៅលើច្រមុះ ឬថ្ងាស គ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអភិវឌ្ឍគំរូដ៏ល្ងង់ខ្លៅរបស់ខ្ញុំ នាំឲ្យមានផលវិបាកផ្សេងៗគ្នា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនទំនេរវ៉ិចទ័រត្រូវបានរកឃើញផងដែរនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃ vyshmat (កុំទៅទីនោះ :)) ។

សកម្មភាពជាមួយវ៉ិចទ័រ។ ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

វគ្គសិក្សាធរណីមាត្រសាលាគ្របដណ្តប់សកម្មភាព និងច្បាប់មួយចំនួនជាមួយវ៉ិចទ័រ៖ ការបន្ថែមយោងទៅតាមច្បាប់ត្រីកោណ ការបន្ថែមយោងទៅតាមក្បួនប្រលេឡូក្រាម ក្បួនភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ ការគុណវ៉ិចទ័រដោយចំនួនមួយ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។ល។ជាចំណុចចាប់ផ្តើម អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឡើងវិញនូវច្បាប់ចំនួនពីរដែលពាក់ព័ន្ធជាពិសេសសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ។

ច្បាប់​សម្រាប់​បន្ថែម​វ៉ិចទ័រ​ដោយ​ប្រើ​ក្បួន​ត្រីកោណ

ពិចារណាវ៉ិចទ័រមិនសូន្យតាមអំពើចិត្តពីរ និង៖

អ្នកត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។ ដោយ​សារ​តែ​វ៉ិចទ័រ​ទាំង​អស់​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​មិន​គិត​ថ្លៃ យើង​បាន​កំណត់​វ៉ិចទ័រ​ចេញ ចប់វ៉ិចទ័រ៖

ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រ។ សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែច្បាស់អំពីច្បាប់ គួរតែដាក់អត្ថន័យរូបវិទ្យាទៅក្នុងវា៖ អនុញ្ញាតឱ្យរាងកាយខ្លះធ្វើដំណើរតាមវ៉ិចទ័រ ហើយបន្ទាប់មកតាមវ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃវ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រនៃផ្លូវលទ្ធផលជាមួយនឹងការចាប់ផ្តើមនៅចំណុចចេញដំណើរ និងចុងបញ្ចប់នៅចំណុចមកដល់។ ច្បាប់ស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ផលបូកនៃចំនួនវ៉ិចទ័រណាមួយ។ ដូចដែលពួកគេនិយាយ រាងកាយអាចទៅតាមផ្លូវរបស់វាគ្មានខ្លាញ់នៅតាមបណ្តោយ zigzag ឬប្រហែលជានៅលើ autopilot - តាមបណ្តោយវ៉ិចទ័រលទ្ធផលនៃផលបូក។

ដោយវិធីនេះប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានពន្យារពេលពី បានចាប់ផ្តើមវ៉ិចទ័របន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមមូល ក្បួនតម្រៀបការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ។

ទីមួយអំពីភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា collinearប្រសិនបើពួកគេស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា ឬនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ និយាយដោយប្រយោល យើងកំពុងនិយាយអំពីវ៉ិចទ័រប៉ារ៉ាឡែល។ ប៉ុន្តែទាក់ទងនឹងពួកគេ គុណនាម "collinear" តែងតែត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ស្រមៃមើលវ៉ិចទ័រជាប់គ្នាពីរ។ ប្រសិនបើព្រួញនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះត្រូវបានតម្រង់ទិសដូចគ្នា នោះវ៉ិចទ័របែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សហការដឹកនាំ. ប្រសិនបើព្រួញចង្អុលទៅទិសផ្សេងៗ នោះវ៉ិចទ័រនឹងមាន ទិសដៅផ្ទុយ.

ការរចនា៖ colinearity នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានសរសេរដោយនិមិត្តសញ្ញាប៉ារ៉ាឡែលធម្មតា៖ ខណៈពេលដែលការលម្អិតគឺអាចធ្វើទៅបាន៖ (វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំរួមគ្នា) ឬ (វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំផ្ទុយ)។

ការងារវ៉ិចទ័រ​មិន​សូន្យ​នៅ​លើ​លេខ​គឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ប្រវែង​ស្មើ​និង​វ៉ិចទ័រ​និង​ត្រូវ​បាន​រួម​គ្នា​តម្រង់​ទៅ​ទិស​ផ្ទុយ​ទៅ​នឹង .

ច្បាប់សម្រាប់គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខគឺងាយស្រួលយល់ដោយមានជំនួយពីរូបភាព៖

សូមក្រឡេកមើលវាឱ្យកាន់តែលម្អិត៖

1) ទិសដៅ។ ប្រសិនបើមេគុណគឺអវិជ្ជមាន នោះវ៉ិចទ័រ ផ្លាស់ប្តូរទិសដៅទៅផ្ទុយ។

2) ប្រវែង។ ប្រសិនបើមេគុណមាននៅក្នុង ឬ នោះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ ថយចុះ. ដូច្នេះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគឺពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើម៉ូឌុលនៃមេគុណធំជាងមួយ នោះប្រវែងវ៉ិចទ័រ កើនឡើងនៅក្នុងពេលវេលា។

3) សូមចំណាំ វ៉ិចទ័រទាំងអស់គឺជាប់គ្នា។ខណៈពេលដែលវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈមួយផ្សេងទៀតឧទាហរណ៍ . ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ។៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈមួយផ្សេងទៀត នោះវ៉ិចទ័របែបនេះគឺចាំបាច់ស្របគ្នា។ ដូចនេះ៖ ប្រសិន​បើ​យើង​គុណ​វ៉ិចទ័រ​ដោយ​លេខ​មួយ យើង​នឹង​ទទួល​បាន collinear(ទាក់ទងនឹងដើម) វ៉ិចទ័រ.

4) វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំរួមគ្នា។ វ៉ិចទ័រ និងត្រូវបានដឹកនាំផងដែរ។ វ៉ិចទ័រណាមួយនៃក្រុមទី 1 ត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ទុយទៅនឹងវ៉ិចទ័រណាមួយនៃក្រុមទីពីរ។

តើវ៉ិចទ័រមួយណាស្មើគ្នា?

វ៉ិចទ័រពីរគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើវាស្ថិតនៅក្នុងទិសដៅដូចគ្នានិងមានប្រវែងដូចគ្នា។. ចំណាំថា codirectionality បង្កប់ន័យ colinearity នៃវ៉ិចទ័រ។ និយមន័យ​នឹង​មិន​ត្រឹម​ត្រូវ (មិន​ត្រឹមត្រូវ) ប្រសិនបើ​យើង​និយាយ​ថា​៖ «វ៉ិចទ័រ​ពីរ​គឺ​ស្មើ​គ្នា​ប្រសិន​បើ​វា​ជា​គូលីនេអ៊ែរ បង្វែរទិស និង​មាន​ប្រវែង​ដូចគ្នា»។

តាមទស្សនៈនៃគំនិតនៃវ៉ិចទ័រសេរី វ៉ិចទ័រស្មើគ្នាគឺជាវ៉ិចទ័រដូចគ្នា ដូចដែលបានពិភាក្សាក្នុងកថាខណ្ឌមុន។

វ៉ិចទ័រសំរបសំរួលនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ

ចំណុចទីមួយគឺត្រូវពិចារណាវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពណ៌នាប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ហើយគ្រោងវាពីប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ នៅលីវវ៉ិចទ័រ និង៖

វ៉ិចទ័រ និង រាងមូល. អ័រតូហ្គោន = កាត់កែង។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកប្រើពាក្យយឺតៗ៖ ជំនួសឱ្យភាពស្របគ្នា និងកាត់កែង យើងប្រើពាក្យរៀងៗខ្លួន ភាពជាប់គ្នា។និង ភាពលំអៀង.

ការកំណត់: orthogonality នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានសរសេរដោយនិមិត្តសញ្ញាកាត់កែងធម្មតា ឧទាហរណ៍៖ .

វ៉ិចទ័រដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានគេហៅថា សំរបសំរួលវ៉ិចទ័រឬ orts. វ៉ិចទ័រទាំងនេះបង្កើតបាន។ មូលដ្ឋានលើផ្ទៃ។ ខ្ញុំគិតថា មូលដ្ឋានមួយគឺច្បាស់ណាស់សម្រាប់មនុស្សជាច្រើន ពត៌មានលំអិតអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ លីនេអ៊ែរ (មិន) ការពឹងផ្អែកនៃវ៉ិចទ័រ។ មូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ, មូលដ្ឋាននិងប្រភពដើមនៃកូអរដោនេកំណត់ប្រព័ន្ធទាំងមូល - នេះគឺជាប្រភេទនៃគ្រឹះដែលជីវិតធរណីមាត្រពេញលេញនិងសម្បូរបែបឆ្អិន។

ពេលខ្លះមូលដ្ឋានសាងសង់ត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតាមូលដ្ឋាននៃយន្តហោះ៖ "អ័រថូ" - ដោយសារតែវ៉ិចទ័រកូអរដោណេជារាងពងក្រពើ គុណនាម "ធម្មតា" មានន័យថា ឯកតា ឧ. ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងមួយ។

ការកំណត់:មូលដ្ឋានជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរក្នុងវង់ក្រចក ដែលនៅខាងក្នុង តាមលំដាប់លំដោយវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានត្រូវបានរាយបញ្ជីឧទាហរណ៍៖ . សំរបសំរួលវ៉ិចទ័រ វាត្រូវបានហាមឃាត់រៀបចំឡើងវិញ។

ណាមួយ។វ៉ិចទ័រយន្តហោះ ផ្លូវ​តែមួយគត់បានបង្ហាញជា៖
, កន្លែងណា - លេខដែលត្រូវបានគេហៅថា កូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។ និងការបញ្ចេញមតិខ្លួនឯង ហៅ ការបំបែកវ៉ិចទ័រដោយមូលដ្ឋាន .

បម្រើអាហារពេលល្ងាច៖

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយអក្សរទីមួយនៃអក្ខរក្រម៖ . គំនូរបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថានៅពេលបំបែកវ៉ិចទ័រទៅជាមូលដ្ឋាន វត្ថុដែលទើបតែពិភាក្សាត្រូវបានប្រើប្រាស់៖
1) ច្បាប់សម្រាប់គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ៖ និង ;
2) ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រយោងទៅតាមច្បាប់ត្រីកោណ: .

ឥឡូវគិតគូរវ៉ិចទ័រពីចំណុចផ្សេងទៀតនៅលើយន្តហោះ។ វាច្បាស់ណាស់ថាការពុកផុយរបស់គាត់នឹង "តាមគាត់ដោយឥតឈប់ឈរ" ។ នេះគឺជាសេរីភាពនៃវ៉ិចទ័រ - វ៉ិចទ័រ "អនុវត្តអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយខ្លួនវា" ។ ជាការពិតណាស់ លក្ខណៈសម្បត្តិនេះគឺពិតសម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ។ វាគួរឱ្យអស់សំណើចដែលវ៉ិចទ័រជាមូលដ្ឋាន (ឥតគិតថ្លៃ) ខ្លួនឯងមិនចាំបាច់គូសវាសពីប្រភពដើមទេ មួយអាចត្រូវបានគូរឧទាហរណ៍នៅខាងក្រោមខាងឆ្វេង និងមួយទៀតនៅខាងស្តាំខាងលើ ហើយគ្មានអ្វីនឹងផ្លាស់ប្តូរទេ! ពិតហើយ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើបែបនេះទេ ព្រោះគ្រូនឹងបង្ហាញភាពដើម និងទាក់ទាញអ្នកនូវ "ឥណទាន" នៅកន្លែងដែលមិននឹកស្មានដល់។

វ៉ិចទ័របង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីច្បាប់សម្រាប់គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយ វ៉ិចទ័រមានទិសដៅជាមួយវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន វ៉ិចទ័រត្រូវបានតម្រង់ផ្ទុយទៅនឹងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។ សម្រាប់វ៉ិចទ័រទាំងនេះ កូអរដោណេមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ អ្នកអាចសរសេរយ៉ាងម៉ត់ចត់ដូចនេះ៖


ហើយវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានដោយវិធីនេះគឺដូចនេះ: (តាមពិតពួកវាត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈខ្លួនគេ) ។

ជា​ចុងក្រោយ: , ។ និយាយអីញ្ចឹង តើការដកវ៉ិចទ័រជាអ្វី ហើយហេតុអ្វីបានជាខ្ញុំមិននិយាយអំពីច្បាប់ដក? កន្លែងណាមួយនៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ខ្ញុំមិនចាំកន្លែងណាទេ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ថាការដកគឺជាករណីពិសេសនៃការបូក។ ដូច្នេះការពង្រីកវ៉ិចទ័រ "de" និង "e" ត្រូវបានសរសេរយ៉ាងងាយស្រួលជាផលបូក: , . រៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ ហើយមើលក្នុងគំនូរថាតើការបន្ថែមវ៉ិចទ័រចាស់ល្អដោយយោងតាមច្បាប់ត្រីកោណដំណើរការក្នុងស្ថានភាពទាំងនេះបានល្អប៉ុណ្ណា។

ការខូចទ្រង់ទ្រាយដែលបានពិចារណា ជួនកាលគេហៅថា ការបំបែកវ៉ិចទ័រ នៅក្នុងប្រព័ន្ធ ort(ឧ. នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯកតា) ។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាវិធីតែមួយគត់ដើម្បីសរសេរវ៉ិចទ័រទេ ជម្រើសខាងក្រោមគឺជារឿងធម្មតា៖

ឬមានសញ្ញាស្មើគ្នា៖

វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានខ្លួនឯងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: និង

នោះគឺកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងវង់ក្រចក។ នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែង ជម្រើសកំណត់ចំណាំទាំងបីត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ខ្ញុំ​ឆ្ងល់​ថា​ត្រូវ​និយាយ​ឬ​អត់ ប៉ុន្តែ​ខ្ញុំ​នឹង​និយាយ​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ៖ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រមិនអាចត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញបានទេ។. យ៉ាងតឹងរឹងនៅកន្លែងដំបូងយើងសរសេរកូអរដោណេដែលត្រូវនឹងវ៉ិចទ័រឯកតា យ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅកន្លែងទីពីរយើងសរសេរកូអរដោណេដែលត្រូវនឹងវ៉ិចទ័រឯកតា។ ជាការពិត និងជាវ៉ិចទ័រពីរផ្សេងគ្នា។

យើង​បាន​រក​ឃើញ​កូអរដោណេ​នៅ​លើ​យន្តហោះ។ ឥឡូវ​យើង​មើល​វ៉ិចទ័រ​ក្នុង​លំហ​បី​វិមាត្រ ស្ទើរតែ​គ្រប់​យ៉ាង​គឺ​ដូច​គ្នា​នៅ​ទីនេះ! វានឹងបន្ថែមកូអរដោណេមួយទៀត។ វាពិបាកក្នុងការបង្កើតគំនូរបីវិមាត្រ ដូច្នេះខ្ញុំនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនឯងចំពោះវ៉ិចទ័រមួយ ដែលសម្រាប់ភាពសាមញ្ញ ខ្ញុំនឹងដាក់ឡែកពីប្រភពដើម៖

ណាមួយ។វ៉ិចទ័រលំហ 3D ផ្លូវ​តែមួយគត់ពង្រីកលើមូលដ្ឋានធម្មតា៖
តើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ (លេខ) នៅឯណាក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

ឧទាហរណ៍ពីរូបភាព៖ . តោះមើលពីរបៀបដែលក្បួនវ៉ិចទ័រដំណើរការនៅទីនេះ។ ទីមួយ គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ៖ (ព្រួញក្រហម) (ព្រួញពណ៌បៃតង) និង (ព្រួញរ៉ាស្បឺរី)។ ទីពីរ នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​មួយ​នៃ​ការ​បន្ថែម​មួយ​ចំនួន ក្នុង​ករណី​នេះ​បី វ៉ិចទ័រ៖ . វ៉ិចទ័រផលបូកចាប់ផ្តើមនៅចំនុចដំបូងនៃការចាកចេញ (ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ) ហើយបញ្ចប់នៅចំនុចចុងក្រោយនៃការមកដល់ (ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ)។

វ៉ិចទ័រទាំងអស់នៃលំហបីវិមាត្រ តាមធម្មជាតិ ក៏មានសេរីភាពផងដែរ ព្យាយាមកំណត់វ៉ិចទ័រចេញពីចំណុចផ្សេងទៀត ហើយអ្នកនឹងយល់ថាការរលាយរបស់វា "នឹងនៅជាមួយវា"។

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីផ្ទះល្វែងបន្ថែមលើការសរសេរ កំណែដែលមានតង្កៀបត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ៖ ទាំង .

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រកូអរដោណេមួយ (ឬពីរ) បាត់នៅក្នុងការពង្រីក នោះលេខសូន្យត្រូវបានដាក់នៅកន្លែងរបស់វា។ ឧទាហរណ៍:
វ៉ិចទ័រ (យ៉ាងល្អិតល្អន់ ) - តោះសរសេរ;
វ៉ិចទ័រ (យ៉ាងល្អិតល្អន់ ) - តោះសរសេរ;
វ៉ិចទ័រ (យ៉ាងល្អិតល្អន់ ) - តោះសរសេរ។

វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

នេះប្រហែលជាចំណេះដឹងទ្រឹស្ដីអប្បបរមាទាំងអស់ដែលចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ។ វាអាចមានពាក្យ និងនិយមន័យជាច្រើន ដូច្នេះខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានឡើងវិញ និងយល់ព័ត៌មាននេះម្តងទៀត។ ហើយវានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នកអានណាម្នាក់ដើម្បីយោងទៅលើមេរៀនមូលដ្ឋានពីពេលមួយទៅពេលមួយដើម្បីបញ្ចូលសម្ភារៈឱ្យកាន់តែប្រសើរឡើង។ Collinearity, orthogonality, orthonormal base, orthonormal decomposition, vector decomposition - គំនិតទាំងនេះ និងផ្សេងទៀតនឹងត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់នាពេលអនាគត។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាសម្ភារៈនៅលើគេហទំព័រគឺមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឆ្លងកាត់ការសាកល្បងទ្រឹស្តីឬ colloquium លើធរណីមាត្រទេព្រោះខ្ញុំបានអ៊ិនគ្រីបទ្រឹស្តីបទទាំងអស់ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន (និងដោយគ្មានភស្តុតាង) - ធ្វើឱ្យខូចដល់រចនាប័ទ្មនៃការបង្ហាញបែបវិទ្យាសាស្ត្រប៉ុន្តែបូកនឹងការយល់ដឹងរបស់អ្នកអំពី មុខវិជ្ជា។ ដើម្បីទទួលបានព័ត៌មានទ្រឹស្តីលម្អិត សូមក្រាបថ្វាយបង្គំសាស្រ្តាចារ្យ Atanasyan ។

ហើយយើងបន្តទៅផ្នែកជាក់ស្តែង៖

បញ្ហាសាមញ្ញបំផុតនៃធរណីមាត្រវិភាគ។
សកម្មភាពជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ

វាជាការគួរណាស់ក្នុងការរៀនពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយភារកិច្ចដែលនឹងត្រូវបានពិចារណាយ៉ាងពេញលេញដោយស្វ័យប្រវត្តិនិងរូបមន្ត ទន្ទេញចាំអ្នកមិនចាំបាច់ចងចាំវាដោយចេតនាទេ ពួកគេនឹងចងចាំវាដោយខ្លួនឯង =) នេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ ដោយសារបញ្ហាផ្សេងទៀតនៃធរណីមាត្រវិភាគគឺផ្អែកលើឧទាហរណ៍បឋមសាមញ្ញបំផុត ហើយវានឹងមានការរំខានក្នុងការចំណាយពេលវេលាបន្ថែមក្នុងការញ៉ាំកូនអុក។ . មិនចាំបាច់ដាក់ប៊ូតុងកំពូលនៅលើអាវរបស់អ្នកទេ អ្វីៗជាច្រើនដែលអ្នកធ្លាប់ស្គាល់ពីសាលា។

ការបង្ហាញនៃសម្ភារៈនឹងអនុវត្តតាមវគ្គសិក្សាស្របគ្នា - ទាំងសម្រាប់យន្តហោះនិងសម្រាប់លំហ។ សម្រាប់ហេតុផលដែលរូបមន្តទាំងអស់ ... អ្នកនឹងឃើញដោយខ្លួនឯង។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកវ៉ិចទ័រពីពីរចំណុច?

ប្រសិនបើចំណុចពីរនៃយន្តហោះ ហើយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះវ៉ិចទ័រមានកូអរដោនេដូចខាងក្រោមៈ

ប្រសិនបើចំណុចពីរក្នុងលំហ ហើយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះវ៉ិចទ័រមានកូអរដោនេដូចខាងក្រោមៈ

នោះគឺ ពីកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រអ្នកត្រូវដកកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នា។ ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ.

លំហាត់ប្រាណ៖សម្រាប់ចំណុចដូចគ្នា សូមសរសេររូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ។ រូបមន្តនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ឧទាហរណ៍ ១

ផ្តល់ពីរចំណុចនៃយន្តហោះនិង។ ស្វែងរកកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ

ដំណោះស្រាយ៖យោងតាមរូបមន្តសមស្រប៖

ជាជម្រើស ធាតុខាងក្រោមអាចត្រូវបានប្រើ៖

Aesthetes នឹងសម្រេចចិត្តនេះ:

ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំធ្លាប់បានប្រើកំណែដំបូងនៃការថត។

ចម្លើយ៖

យោងតាមលក្ខខណ្ឌវាមិនចាំបាច់ក្នុងការសាងសង់គំនូរទេ (ដែលជាធម្មតាសម្រាប់បញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ) ប៉ុន្តែដើម្បីបញ្ជាក់ចំណុចមួយចំនួនសម្រាប់អត់ចេះសោះខ្ញុំនឹងមិនខ្ជិលទេ:

អ្នកប្រាកដជាត្រូវយល់ ភាពខុសគ្នារវាងកូអរដោនេចំណុច និងកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ:

កូអរដោនេចំណុច- ទាំងនេះគឺជាកូអរដោនេធម្មតានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ ខ្ញុំ​គិត​ថា​អ្នក​រាល់​គ្នា​ដឹង​ពី​របៀប​គូស​ចំណុច​នៅ​លើ​យន្តហោះ​កូអរដោណេ​ពី​ថ្នាក់​ទី​៥​ដល់​ទី​៦។ ចំណុចនីមួយៗមានកន្លែងតឹងរ៉ឹងនៅលើយន្តហោះ ហើយពួកវាមិនអាចផ្លាស់ទីទៅកន្លែងណាបានទេ។

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ- នេះគឺជាការពង្រីករបស់វាយោងទៅតាមមូលដ្ឋានក្នុងករណីនេះ។ វ៉ិចទ័រណាមួយគឺមិនគិតថ្លៃទេ ដូច្នេះប្រសិនបើចាំបាច់ យើងអាចផ្លាស់ទីវាបានយ៉ាងងាយស្រួលពីចំណុចផ្សេងទៀតនៅក្នុងយន្តហោះ។ វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដែលថាសម្រាប់វ៉ិចទ័រ អ្នកមិនចាំបាច់បង្កើតអ័ក្ស ឬប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណទេ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការមូលដ្ឋានមួយ ក្នុងករណីនេះ មូលដ្ឋានធម្មតានៃយន្តហោះ។

កំណត់ត្រានៃកូអរដោនេនៃចំណុច និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រហាក់ដូចជាស្រដៀងគ្នា៖ , និង អត្ថន័យនៃកូអរដោណេយ៉ាងពិតប្រាកដ ខុសគ្នាហើយអ្នកគួរតែដឹងយ៉ាងច្បាស់អំពីភាពខុសគ្នានេះ។ ជាការពិតណាស់ភាពខុសគ្នានេះក៏អនុវត្តចំពោះលំហ។

អស់លោក លោកស្រី សូមបំពេញដៃរបស់យើងទាំងអស់គ្នា៖

ឧទាហរណ៍ ២

ក) ពិន្ទុនិងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ និង។
ខ) ពិន្ទុត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និង។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ និង។
គ) ពិន្ទុនិងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ និង។
ឃ) ពិន្ទុត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ .

ប្រហែលជាវាគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ ទាំងនេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង ព្យាយាមកុំធ្វេសប្រហែស វានឹងសងវិញ ;-) ។ មិនចាំបាច់ធ្វើគំនូរទេ។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

តើអ្វីសំខាន់នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រវិភាគ?វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការប្រុងប្រយ័ត្នបំផុត ដើម្បីជៀសវាងការធ្វើឱ្យមានកំហុស "ពីរបូកពីរស្មើនឹងសូន្យ" ដ៏ស្ទាត់ជំនាញ។ ខ្ញុំសុំទោសភ្លាមៗប្រសិនបើខ្ញុំធ្វើខុសនៅកន្លែងណាមួយ =)

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកប្រវែងនៃផ្នែកមួយ?

ប្រវែង ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយ ត្រូវបានបង្ហាញដោយសញ្ញាម៉ូឌុល។

ប្រសិនបើពីរពិន្ទុនៃយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយនោះប្រវែងនៃចម្រៀកអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

ប្រសិនបើពីរពិន្ទុក្នុងលំហ ហើយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះប្រវែងនៃចម្រៀកអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

ចំណាំ៖ រូបមន្តនឹងនៅតែត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានប្តូរ៖ និង ប៉ុន្តែជម្រើសទីមួយគឺស្តង់ដារជាង

ឧទាហរណ៍ ៣

ដំណោះស្រាយ៖យោងតាមរូបមន្តសមស្រប៖

ចម្លើយ៖

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ខ្ញុំនឹងធ្វើគំនូរ

ផ្នែក​បន្ទាត់ - នេះមិនមែនជាវ៉ិចទ័រទេ។ហើយជាការពិតណាស់ អ្នកមិនអាចផ្លាស់ទីវាទៅកន្លែងណាបានទេ។ លើសពីនេះទៀតប្រសិនបើអ្នកគូរលើមាត្រដ្ឋាន: 1 ឯកតា។ = 1 សង់ទីម៉ែត្រ (កោសិកាសៀវភៅកត់ត្រាពីរ) បន្ទាប់មកចម្លើយលទ្ធផលអាចត្រូវបានពិនិត្យជាមួយបន្ទាត់ធម្មតាដោយវាស់ដោយផ្ទាល់នូវប្រវែងនៃចម្រៀក។

បាទ ដំណោះស្រាយគឺខ្លី ប៉ុន្តែមានចំណុចសំខាន់មួយចំនួនទៀតដែលខ្ញុំចង់បញ្ជាក់៖

ទីមួយនៅក្នុងចម្លើយយើងដាក់វិមាត្រ: "ឯកតា" ។ លក្ខខណ្ឌ​មិន​បញ្ជាក់​ថា​វា​ជា​អ្វី មីលីម៉ែត្រ សង់ទីម៉ែត្រ ម៉ែត្រ ឬ​គីឡូម៉ែត្រ។ ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយ​ត្រឹមត្រូវ​តាម​គណិត​វិទ្យា​នឹង​ជា​ការ​បង្កើត​ទូទៅ៖ “ឯកតា” – អក្សរកាត់​ថា “ឯកតា”។

ទីពីរ អនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយឡើងវិញនូវសម្ភារៈសាលា ដែលមានប្រយោជន៍មិនត្រឹមតែសម្រាប់កិច្ចការដែលបានពិចារណាប៉ុណ្ណោះទេ៖

យកចិត្តទុកដាក់ បច្ចេកទេសសំខាន់ – ដកមេគុណចេញពីក្រោមឫស. ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយើងទទួលបានលទ្ធផលហើយរចនាប័ទ្មគណិតវិទ្យាល្អទាក់ទងនឹងការដកកត្តាចេញពីក្រោមឫស (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ។ នៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀតដំណើរការមើលទៅដូចនេះ: . ជាការពិតណាស់ ការទុកចម្លើយដូចនឹងមិនមែនជាកំហុសទេ ប៉ុន្តែវាប្រាកដជាមានការខ្វះខាត និងជាអំណះអំណាងដ៏ទម្ងន់សម្រាប់ការនិយាយលេងសើចលើផ្នែករបស់គ្រូ។

នេះគឺជាករណីទូទៅផ្សេងទៀត៖

ជាញឹកញយ ឫសបង្កើតបានចំនួនច្រើនគួរសម។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើក្នុងករណីបែបនេះ? ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងពិនិត្យមើលថាតើលេខត្រូវបានបែងចែកដោយ 4: ។ បាទ វាត្រូវបានបែងចែកទាំងស្រុងដូចនេះ៖ . ឬប្រហែលជាលេខអាចត្រូវបានចែកដោយ 4 ម្តងទៀត? . ដូចនេះ៖ . ខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខគឺសេស ដូច្នេះការបែងចែកដោយ 4 ជាលើកទីបីនឹងមិនដំណើរការទេ។ តោះព្យាយាមបែងចែកដោយប្រាំបួន: . ជា​លទ្ធផល:
រួចរាល់។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ប្រសិនបើនៅក្រោមឫសយើងទទួលបានលេខដែលមិនអាចដកចេញបានទាំងស្រុងនោះយើងព្យាយាមដកកត្តាចេញពីក្រោមឫស - ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខយើងពិនិត្យមើលថាតើលេខត្រូវបានបែងចែកដោយ: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ជាដើម។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ ឫសគល់ត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់ ព្យាយាមទាញយកកត្តាពីក្រោមឫស ដើម្បីជៀសវាងបញ្ហាដែលមានកម្រិតទាប និងមិនចាំបាច់ជាមួយនឹងការបញ្ចប់ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកដោយផ្អែកលើមតិយោបល់របស់គ្រូ។

ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវឫសការ៉េ និងថាមពលផ្សេងទៀត៖

ច្បាប់សម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាមួយអំណាចក្នុងទម្រង់ទូទៅអាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតរបស់សាលា ប៉ុន្តែខ្ញុំគិតថាពីឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្វីៗទាំងអស់ ឬស្ទើរតែទាំងអស់គឺច្បាស់រួចទៅហើយ។

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យជាមួយផ្នែកមួយនៅក្នុងលំហ៖

ឧទាហរណ៍ 4

ពិន្ទុនិងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកប្រវែងនៃផ្នែក។

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ?

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ នោះប្រវែងរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រអវកាសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះប្រវែងរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត .

ឯកតាវ៉ិចទ័រ- នេះ។ វ៉ិចទ័រតម្លៃដាច់ខាត (ម៉ូឌុល) ដែលស្មើនឹងឯកតា។ ដើម្បីសម្គាល់វ៉ិចទ័រឯកតា យើងនឹងប្រើអក្សររង e ដូច្នេះប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វានឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រ ក e. វ៉ិចទ័រឯកតានេះត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង កហើយម៉ូឌុលរបស់វាស្មើនឹងមួយ នោះគឺ e = 1 ។

ជាក់ស្តែង ក= ក កអ៊ី (ក - ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ ក). នេះអនុវត្តតាមច្បាប់ដែលប្រតិបត្តិការនៃការគុណមាត្រដ្ឋានដោយវ៉ិចទ័រត្រូវបានអនុវត្ត។

ឯកតាវ៉ិចទ័រជារឿយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (ជាពិសេសជាមួយនឹងអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian) ។ ទិសដៅទាំងនេះ វ៉ិចទ័រស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា ហើយប្រភពដើមរបស់វាត្រូវបានផ្សំជាញឹកញាប់ជាមួយនឹងប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesianនៅក្នុងលំហ អ័ក្សកាត់កែងគ្នាទាំងបីដែលប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយហៅថាប្រភពដើមនៃកូអរដោណេត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី។ អ័ក្សសំរបសំរួលជាធម្មតាត្រូវបានតាងដោយអក្សរ X, Y, Z ហើយត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស abscissa, ordinate axis និង applicate axis រៀងគ្នា។ Descartes ខ្លួនឯងបានប្រើអ័ក្សតែមួយដែល abscissas ត្រូវបានគ្រោងទុក។ គុណសម្បត្តិនៃការប្រើប្រាស់ ប្រព័ន្ធពូថៅជារបស់សិស្សរបស់គាត់។ ដូច្នេះឃ្លា ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesianខុសជាប្រវត្តិសាស្ត្រ។ វាជាការប្រសើរក្នុងការនិយាយ ចតុកោណ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលឬ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ orthogonal. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយយើងនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរប្រពៃណីទេហើយនៅពេលអនាគតយើងនឹងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian និងចតុកោណ (រាងពងក្រពើ) គឺតែមួយនិងដូចគ្នា។

ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស X ត្រូវបានសម្គាល់ ខ្ញុំ, ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស Y ត្រូវបានសម្គាល់ j, ក ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស Z ត្រូវបានសម្គាល់ k. វ៉ិចទ័រ ខ្ញុំ, j, kត្រូវបានហៅ orts(រូបទី 12 ខាងឆ្វេង) ពួកគេមានម៉ូឌុលតែមួយ នោះគឺ
i = 1, j = 1, k = 1 ។

អ័ក្ស និង ឯកតាវ៉ិចទ័រ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណក្នុង​ករណី​ខ្លះ​ពួកគេ​មាន​ឈ្មោះ និង​ការ​កំណត់​ខុស​គ្នា។ ដូច្នេះ អ័ក្ស abscissa X អាចត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សតង់សង់ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង τ (អក្សរតូចភាសាក្រិច ថា) អ័ក្សតម្រឹម គឺជាអ័ក្សធម្មតា ទិសរបស់វាត្រូវបានតំណាង នអ័ក្សអនុវត្តគឺជាអ័ក្សគោលពីរ វ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង ខ. ហេតុអ្វីត្រូវប្តូរឈ្មោះ បើខ្លឹមសារនៅតែដដែល?

ការពិតគឺថាឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេកានិចនៅពេលសិក្សាចលនានៃសាកសពប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់។ ដូច្នេះប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោណេខ្លួនវានៅស្ថានី ហើយការផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេនៃវត្ថុផ្លាស់ទីត្រូវបានតាមដាននៅក្នុងប្រព័ន្ធស្ថានីនេះ នោះជាធម្មតាអ័ក្សត្រូវបានកំណត់ X, Y, Z និងពួកវា។ ឯកតាវ៉ិចទ័ររៀងៗខ្លួន ខ្ញុំ, j, k.

ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់នៅពេលដែលវត្ថុមួយផ្លាស់ទីតាមប្រភេទនៃផ្លូវ curvilinear មួយចំនួន (ឧទាហរណ៍នៅក្នុងរង្វង់មួយ) វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិចារណាដំណើរការមេកានិកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលផ្លាស់ទីជាមួយវត្ថុនេះ។ វា​គឺ​សម្រាប់​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ដែល​មាន​ចលនា​ដែល​ឈ្មោះ​ផ្សេង​ទៀត​នៃ​អ័ក្ស និង​វ៉ិចទ័រ​ឯកតា​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​ប្រើ។ វាគ្រាន់តែជាវិធីដែលវាមាន។ ក្នុងករណីនេះ អ័ក្ស X ត្រូវបានដឹកនាំ tangential ទៅគន្លងនៅចំណុចដែលវត្ថុនេះស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ ហើយបន្ទាប់មកអ័ក្សនេះមិនត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស X ទៀតទេ ប៉ុន្តែអ័ក្សតង់សង់ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាលែងត្រូវបានកំណត់ទៀតហើយ ខ្ញុំ, ក τ . អ័ក្ស Y ត្រូវបានដឹកនាំតាមកាំនៃកោងនៃគន្លង (ក្នុងករណីចលនាក្នុងរង្វង់មួយ - ទៅកណ្តាលរង្វង់) ។ ហើយដោយសារកាំគឺកាត់កែងទៅនឹងតង់ហ្សង់ អ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សធម្មតា (កាត់កែង និងធម្មតាគឺដូចគ្នា)។ វ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្សនេះមិនត្រូវបានតំណាងទៀតទេ j, ក ន. អ័ក្សទីបី (ពីមុន Z) កាត់កែងទៅនឹងពីរមុន។ នេះគឺជា binormal ជាមួយ orth មួយ។ ខ(រូបទី 12 ស្តាំ) ។ ដោយវិធីនេះក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ឬធម្មជាតិ។

៧.១. និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

វ៉ិចទ័រ​បី​ដែល​មិន​មែន​ coplanar a, b និង c ដែល​បាន​យក​តាម​លំដាប់​ដែល​បាន​ចង្អុល​បង្ហាញ បង្កើត​ជា​វ៉ិចទ័រ​បី​ខាង​ស្ដាំ ប្រសិនបើ​ចាប់ពី​ចុង​វ៉ិចទ័រ​ទី​បី c នោះ​វេន​ខ្លី​បំផុត​ពី​វ៉ិចទ័រ​ទីមួយ a ទៅ​វ៉ិចទ័រ​ទីពីរ b ត្រូវ​បាន​គេ​មើល​ឃើញ។ ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ហើយដៃឆ្វេងបីដង បើទ្រនិចនាឡិកា (សូមមើលរូបភាពទី 16)។

ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ a និងវ៉ិចទ័រ b ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ c ដែល៖

1. កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b, i.e. c ^ a និង c ^ ខ ;

2. មាន​ប្រវែង​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ a និងខដូចនៅសងខាង (សូមមើលរូបទី 17) i.e.

3. វ៉ិចទ័រ a, b និង c បង្កើតជាដៃស្តាំបីដង។

ផលិតផលឈើឆ្កាងត្រូវបានតំណាង a x b ឬ [a,b] ។ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាងវ៉ិចទ័រឯកតា ខ្ញុំធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ jនិង k(សូមមើលរូបទី 18)៖

i x j = k, j x k = i, k x i = j ។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបញ្ជាក់ខ្ញុំ xj = k ។

1) k^i, k ^ j ;

2) |k |=1 ប៉ុន្តែ | ខ្ញុំ x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) វ៉ិចទ័រ i, j និង kបង្កើតជាបីដងខាងស្តាំ (សូមមើលរូបទី 16)។

៧.២. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

1. នៅពេលរៀបចំកត្តាឡើងវិញ ផលិតផលវ៉ិចទ័រផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា i.e. និង xb =(b xa) (សូមមើលរូប 19)។

វ៉ិចទ័រ a xb និង b xa គឺ collinear មានម៉ូឌុលដូចគ្នា (ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ) ប៉ុន្តែត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ទុយគ្នា (បីដង a, b, a xb និង a, b, b x a នៃទិសផ្ទុយគ្នា) ។ នោះគឺជា axb = -(b xa).

2. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមានទ្រព្យសម្បត្តិរួមបញ្ចូលគ្នាដោយគោរពតាមកត្តាមាត្រដ្ឋានពោលគឺ l (a xb) = (l a) x b = a x (l b) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ l > 0 ។ វ៉ិចទ័រ l (a xb) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b ។ វ៉ិចទ័រ ( លីត្រក) x ខក៏កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង ខ(វ៉ិចទ័រ a, លីត្រប៉ុន្តែដេកនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា) ។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រ លីត្រ(a xb) និង ( លីត្រក) x ខ collinear ។ វាច្បាស់ណាស់ថាទិសដៅរបស់ពួកគេស្របគ្នា។ ពួកគេមានប្រវែងដូចគ្នា៖

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល លីត្រ(a xb)= លីត្រ xb ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ លីត្រ<0.

3. វ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ a និង ខគឺ collinear ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ពោលគឺ a ||b<=>និង xb = 0 ។

ជាពិសេស i * i = j * j = k * k = 0 ។

4. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមានទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយ៖

(a+b) xc = a xc + ខ xs

យើងនឹងទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។

៧.៣. ការបង្ហាញផលិតផលឆ្លងកាត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេ

យើងនឹងប្រើតារាងផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ i, jនិង k:

ប្រសិនបើទិសដៅនៃផ្លូវខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទីមួយទៅទីពីរស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃព្រួញនោះផលិតផលគឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទីបីប្រសិនបើវាមិនស្របគ្នានោះវ៉ិចទ័រទីបីត្រូវបានថតដោយសញ្ញាដក។

សូមអោយវ៉ិចទ័រពីរ a = a x i + a y ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ j+a z kនិង b = b x ខ្ញុំ+ ខ y j+b z k. ចូរយើងស្វែងរកផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយគុណពួកវាជាពហុធា (យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ)៖

រូបមន្តលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែខ្លី៖

ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (7.1) ទាក់ទងទៅនឹងការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃសមភាពជួរទីមួយ (7.2) គឺងាយស្រួលចងចាំ។

៧.៤. កម្មវិធីមួយចំនួននៃផលិតផលឆ្លងកាត់

ការបង្កើតភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ការស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម និងត្រីកោណ

យោងទៅតាមនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ កនិង ខ |a xb | =|a | *|b|sin g, i.e. S គូ = |a x b|. ដូច្នេះហើយ D S = 1/2|a x b| ។

ការកំណត់ពេលនៃកម្លាំងអំពីចំណុចមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យកម្លាំងត្រូវបានអនុវត្តនៅចំណុច A F = ABតោះ​ទៅ អំពី- ចំណុចមួយចំនួននៅក្នុងលំហ (សូមមើលរូបទី 20)។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីរូបវិទ្យាថា ពេលនៃកម្លាំង ច ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច អំពីហៅថាវ៉ិចទ័រ មដែលឆ្លងកាត់ចំណុច អំពីនិង៖

1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច O, A, B;

2) លេខស្មើនឹងផលិតផលនៃកម្លាំងក្នុងមួយដៃ

3) បង្កើតជាបីខាងស្តាំជាមួយវ៉ិចទ័រ OA និង A B ។

ដូច្នេះ M = OA x F ។

ស្វែងរកល្បឿនបង្វិលលីនេអ៊ែរ

ល្បឿន vចំណុច M នៃតួរឹងបង្វិលជាមួយល្បឿនមុំ វជុំវិញអ័ក្សថេរត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តរបស់អយល័រ v =w xr ដែល r = OM ដែល O គឺជាចំណុចថេរមួយចំនួននៃអ័ក្ស (សូមមើលរូបភាពទី 21) ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

មុននឹងផ្តល់គំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ ចូរយើងងាកទៅរកសំណួរនៃការតំរង់ទិសនៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ a →, b →, c → ក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងដាក់វ៉ិចទ័រ a → , b → , c → ពីចំនុចមួយ។ ការតំរង់ទិសនៃបី a → , b → , c → អាចជាស្តាំឬឆ្វេងអាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ c →ខ្លួនវាផ្ទាល់។ ប្រភេទនៃបីបី a → , b → , c → នឹងត្រូវបានកំណត់ពីទិសដៅដែលវេនខ្លីបំផុតត្រូវបានធ្វើឡើងពីវ៉ិចទ័រ a → ទៅ b → ពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ c → .

ប្រសិនបើវេនខ្លីបំផុតត្រូវបានអនុវត្តច្រាសទ្រនិចនាឡិកានោះបីដងនៃវ៉ិចទ័រ a → , b → , c → ត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើទ្រនិចនាឡិកា - ឆ្វេង.

បន្ទាប់​មក​យក​វ៉ិចទ័រ​មិន​ជាប់​ជួរ​គ្នា​ពីរ a → និង b → ។ ចូរយើងគូររូបវ៉ិចទ័រ A B → = a → និង A C → = b → ពីចំនុច A ។ ចូរយើងសង់វ៉ិចទ័រ A D → = c → ដែលកាត់កែងគ្នាទាំង A B → និង A C → ។ ដូច្នេះនៅពេលសាងសង់វ៉ិចទ័រដោយខ្លួនឯង A D → = c → យើងអាចធ្វើរឿងពីរដោយផ្តល់ឱ្យវានូវទិសដៅមួយឬផ្ទុយ (សូមមើលរូបភាព) ។

លំដាប់បីនៃវ៉ិចទ័រ a → , b → , c → អាចជា ដូចដែលយើងបានរកឃើញ ស្តាំ ឬឆ្វេង អាស្រ័យលើទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ។

ពីខាងលើយើងអាចណែនាំនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ និយមន័យនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រពីរដែលបានកំណត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណនៃលំហបីវិមាត្រ។

និយមន័យ ១

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ a → និង b → យើង​នឹង​ហៅ​វ៉ិចទ័រ​ដែល​បាន​កំណត់​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​នៃ​លំហ​បី​វិមាត្រ​ដូច​ជា៖

• ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a → និង b → ជាប់គ្នា វានឹងក្លាយជាសូន្យ។
• វានឹងកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a → ​​ និងវ៉ិចទ័រ b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• ប្រវែងរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• បីនៃវ៉ិចទ័រ a → , b → , c → មានទិសដៅដូចគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → មានសញ្ញាណដូចខាងក្រោមៈ a → × b → ។

សំរបសំរួលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ

ដោយសារវ៉ិចទ័រណាមួយមានកូអរដោនេជាក់លាក់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ យើងអាចណែនាំនិយមន័យទីពីរនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកកូអរដោនេរបស់វាដោយប្រើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ ២

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៃលំហរបីវិមាត្រ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ a → = (a x ; a y ; a z) និង b → = ( ​​b x ; b y ; b z ) ត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រ c → = a → × b → = (a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y − a y b x) k → , ដែល i → , j → , k → គឺជាវ៉ិចទ័រកូអរដោណេ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីបី ដែលជួរទីមួយមានវ៉ិចទ័រ i → , j → , k → ជួរទីពីរមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ a → និងជួរទីបី មាន​កូអរដោណេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ b → ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​រាង​ចតុកោណ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ នេះ​ជា​កត្តា​កំណត់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​មើល​ទៅ​ដូច​នេះ៖ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

ការពង្រីកកត្តាកំណត់នេះទៅក្នុងធាតុនៃជួរទីមួយ យើងទទួលបានសមភាព៖ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j y → a x · a → × b → = (a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y − a y b x) k →

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

វាត្រូវបានគេដឹងថាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកូអរដោនេត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z បន្ទាប់មកនៅលើមូលដ្ឋាន លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសខាងក្រោមត្រូវបានបង្ហាញ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

1. អង់ទីករ a → × b → = − b → × a → ;
2. ការចែកចាយ a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ឬ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativity λ a → × b → = λ a → × b → ឬ a → × (λ b →) = λ a → × b → ដែល λ ជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។

ទ្រព្យសម្បត្តិទាំងនេះមានភស្តុតាងសាមញ្ញ។

ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចបញ្ជាក់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិប្រឆាំងការកុម្មុយនិស្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

ភស្តុតាងនៃការប្រឆាំងនឹងការផ្លាស់ប្តូរ

តាមនិយមន័យ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z និង b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z ។ ហើយប្រសិនបើជួរពីរនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានប្តូរ នោះតម្លៃនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគួរតែផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a - b → × a → , ដែលនិងបង្ហាញថាផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺប្រឆាំង។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ - ឧទាហរណ៍និងដំណោះស្រាយ

ក្នុងករណីភាគច្រើនមានបញ្ហាបីប្រភេទ។

នៅក្នុងបញ្ហានៃប្រភេទទីមួយ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ និងមុំរវាងពួកវាជាធម្មតាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអ្នកត្រូវស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ក្នុងករណីនេះ សូមប្រើរូបមន្តខាងក្រោម c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ។

ឧទាហរណ៍ ១

រកប្រវែងនៃផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → ប្រសិនបើអ្នកដឹង a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយកំណត់ប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → យើងដោះស្រាយបញ្ហានេះ: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 ២ ២.

ចម្លើយ៖ 15 2 2 .

បញ្ហានៃប្រភេទទីពីរមានទំនាក់ទំនងជាមួយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ ដែលនៅក្នុងពួកវា ផលិតផលវ៉ិចទ័រ ប្រវែងរបស់វា ។ល។ ត្រូវបានស្វែងរកតាមរយៈកូអរដោនេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a → = (a x; a y; a z) និង b → = (b x; b y; b z) .

ចំពោះ​បញ្ហា​ប្រភេទ​នេះ អ្នក​អាច​ដោះស្រាយ​ជម្រើស​ការងារ​បាន​ច្រើន។ ឧទាហរណ៍ មិនមែនកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ទេ ប៉ុន្តែការពង្រីករបស់វាទៅជាវ៉ិចទ័រសំរបសំរួលនៃទម្រង់ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → និង c → = a → × b → = (a y b z − a z b y) i → + (a z b x − a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → ឬវ៉ិចទ័រ a → និង b → អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមរបស់ពួកគេ និងចំណុចបញ្ចប់។

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ២

នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) ។ ស្វែងរកផលិតផលឆ្លងកាត់របស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ

តាមនិយមន័យទីពីរ យើងរកឃើញផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរក្នុងកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ a → × b → = (a y · b z − a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y − a y · b x) · k → = = (1 · 1 - ( 3) · ( − 1)) · i → + (((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) − 1 · 0) · k → = = − 2 i → − 2 j → − 2 k → .

ប្រសិនបើយើងសរសេរផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស នោះដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍នេះមើលទៅដូចនេះ៖ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = − 2 i → − 2 j → − 2 k → .

ចម្លើយ៖ a → × b → = − 2 i → − 2 j → − 2 k → .

ឧទាហរណ៍ ៣

រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + j → + k → ដែល i →, j →, k → គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។

ដំណោះស្រាយ

ដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ i → - j → × i → + j → + k → នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

គេដឹងថាវ៉ិចទ័រ i → - j → និង i → + j → + k → មានកូអរដោនេ (1; - 1; 0) និង (1; 1; 1) រៀងគ្នា។ ចូរយើងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដោយប្រើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស បន្ទាប់មកយើងមាន i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 − 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

ដូច្នេះផលិតផលវ៉ិចទ័រ i → - j → × i → + j → + k → មានកូអរដោនេ (- 1 ; - 1 ; 2) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

យើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដោយប្រើរូបមន្ត (មើលផ្នែកលើការស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ)៖ i → - j → × i → + j → + k → = − 1 2 + − 1 2 + 2 2 = ៦.

ចម្លើយ៖ i → − j → × i → + j → + k → = 6 ។ .

ឧទាហរណ៍ 4

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian រាងចតុកោណ កូអរដោនេនៃបីពិន្ទុ A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅ A B → និង A C → នៅពេលតែមួយ។

ដំណោះស្រាយ

វ៉ិចទ័រ A B → និង A C → មានកូអរដោនេដូចខាងក្រោម (- 1 ; 2 ; 2) និង (0 ; 4 ; 1) រៀងគ្នា។ ដោយបានរកឃើញផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → វាច្បាស់ណាស់ថាវាជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងតាមនិយមន័យទាំង A B → និង A C → នោះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហារបស់យើង។ ចូររកវា A B → × A C → = i → j → k → − 1 2 2 0 4 1 = − 6 i → + j → − 4 k → ។

ចម្លើយ៖ - 6 i → + j → − 4 k → . - មួយនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែង។

បញ្ហានៃប្រភេទទីបីគឺផ្តោតលើការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់​ពី​អនុវត្ត​ការ​ដែល​យើង​នឹង​ទទួល​បាន​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​។

ឧទាហរណ៍ 5

វ៉ិចទ័រ a → និង b → កាត់កែង ហើយប្រវែងរបស់វាគឺ 3 និង 4 រៀងគ្នា។ រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 3 a → × a → − 2 b → + − b → × a → − 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × − 2 · b → + − b → × a → + − b → × − 2 · ខ → .

ដំណោះស្រាយ

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងអាចសរសេរ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 3 a → × a → − 2 b → + − b → × a → − 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × − 2 ខ → + − b → × a → + − b → × − 2 ខ →

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមាគម យើងយកមេគុណលេខចេញពីសញ្ញានៃផលិតផលវ៉ិចទ័រក្នុងកន្សោមចុងក្រោយ៖ 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + − b → × − 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (− 2) · a → × b → + (− 1) · b → × a → + (− 1) · (− 2) · b → × b → = = 3 a → × a → − 6 a → × b → − b → × a → + 2 b → × b →

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ a → × a → និង b → × b → ស្មើនឹង 0 ដោយហេតុថា a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 និង b → × b → = b → · b → · sin . .

ពី anticommutativity នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រវាដូចខាងក្រោម - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ខ → ។ .

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិរបស់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបានសមភាព 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = − 5 · a → × b → ។

តាមលក្ខខណ្ឌ វ៉ិចទ័រ a → និង b → កាត់កែង ពោលគឺ មុំរវាងពួកវាស្មើនឹង π 2 ។ ឥឡូវនេះអ្វីៗដែលនៅសល់គឺត្រូវជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្តសមស្រប៖ 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 ។

ចម្លើយ៖ 3 a → − b → × a → − 2 b → = 60 ។

ប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមនិយមន័យគឺស្មើនឹង a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ។ ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយ (ពីវគ្គសិក្សា) ថាតំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផលិតផលនៃប្រវែងនៃភាគីទាំងពីររបស់វាគុណនឹងស៊ីនុសនៃមុំរវាងភាគីទាំងនេះ។ ដូច្នេះប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃប្រលេឡូក្រាម - ត្រីកោណទ្វេដែលជាផលគុណនៃជ្រុងក្នុងទម្រង់នៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → ដែលដាក់ចុះពីចំណុចមួយដោយស៊ីនុសនៃ មុំរវាងពួកវា sin ∠ a →, b → ។

នេះគឺជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ

នៅក្នុងមេកានិច សាខាមួយនៃរូបវិទ្យា អរគុណចំពោះផលិតផលវ៉ិចទ័រ អ្នកអាចកំណត់ពេលនៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចមួយក្នុងលំហ។

និយមន័យ ៣

នៅពេលកម្លាំង F → អនុវត្តទៅចំណុច B ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច A យើងនឹងយល់ពីផលិតផលវ៉ិចទ័រខាងក្រោម A B → × F → ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter