របៀបធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រ។ កត្តាត្រីកោណមាត្ររាងបួនជ្រុងដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

ត្រីកោណមាត្រការ៉េគឺជាពហុនាមនៃទម្រង់ ax^2+bx+c ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ a មិនស្មើនឹងសូន្យទេ។
តាមពិតទៅ រឿងដំបូងដែលយើងត្រូវដឹង ដើម្បីជាកត្តានៃ trinomial អាក្រក់គឺទ្រឹស្តីបទ។ នាង​មើល តាមវិធីខាងក្រោម៖ “ប្រសិនបើ x1 និង x2 ជាឫស ត្រីកោណមាត្រ ax^2+bx+c បន្ទាប់មក ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ។ ជាការពិតណាស់ មានភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះ ប៉ុន្តែវាទាមទារមួយចំនួន ចំណេះដឹងទ្រឹស្តី(នៅពេលយើងយកកត្តា a ក្នុងពហុធា អ័ក្ស^2+bx+c យើងទទួលបាន ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x+c/a)។ ដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Viette x1 +x2= -(b/a), x1*x2=c/a, ដូច្នេះ b/a=-(x1+x2), c/a=x1*x2 មានន័យថា x^2+ (b/a)x+c /. a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2 មានន័យថា ) , ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) .

ជំហានទី 2

ចូរយកត្រីកោណមាត្រ 3x^2-24x+21 ជាឧទាហរណ៍។ រឿងដំបូងដែលយើងត្រូវធ្វើគឺ ស្មើ trinomial ទៅសូន្យ៖ 3x^2-24x+21=0។ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េជាលទ្ធផលនឹងជាឫសគល់នៃត្រីកោណមាត្ររៀងៗខ្លួន។

ជំហានទី 3

តោះដោះស្រាយសមីការ 3x^2-24x+21=0។ a=3, b=-24, c=21 ។ ដូច្នេះ ចូរ​យើង​សម្រេច​ចិត្ត។ អ្នកណាមិនដឹងត្រូវសម្រេចចិត្ត សមីការ​ការ៉េសូមមើលការណែនាំរបស់ខ្ញុំជាមួយនឹងវិធី 2 ដើម្បីដោះស្រាយពួកវាដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃសមីការដូចគ្នា។ ឫសលទ្ធផលគឺ x1=7, x2=1។

ជំហានទី 4

ឥឡូវ​នេះ​យើង​មាន​ឫស​នៃ​ត្រីកោណមាត្រ​ហើយ យើង​អាច​ជំនួស​វា​ដោយ​សុវត្ថិភាព​ក្នុង​រូបមន្ត =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
យើងទទួលបាន៖ 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
អ្នកអាចកម្ចាត់ពាក្យដោយដាក់វាក្នុងតង្កៀប៖ 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖ 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3)។ ចំណាំ៖ កត្តាលទ្ធផលនីមួយៗ ((x-7), (3x-3) គឺជាពហុធានៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយ។ នោះជាការពង្រីកទាំងអស់ =) ប្រសិនបើអ្នកសង្ស័យចម្លើយដែលបានទទួល អ្នកតែងតែអាចពិនិត្យមើលវាដោយគុណនឹងតង្កៀប។

ជំហានទី 5

ពិនិត្យដំណោះស្រាយ។ 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21។ ឥឡូវនេះយើងដឹងច្បាស់ថាការសម្រេចចិត្តរបស់យើងត្រឹមត្រូវ! ខ្ញុំសង្ឃឹមថាការណែនាំរបស់ខ្ញុំនឹងជួយនរណាម្នាក់ =) សូមសំណាងល្អជាមួយនឹងការសិក្សារបស់អ្នក!

  • ក្នុងករណីរបស់យើងនៅក្នុងសមីការ D > 0 ហើយយើងទទួលបាន 2 ឫស។ ប្រសិនបើមាន D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
  • ប្រសិនបើ trinomial ការ៉េគ្មានឫស នោះវាមិនអាចធ្វើជាកត្តាបានទេ ដែលជាពហុធានៃដឺក្រេទីមួយ។

កត្តាត្រីកោណមាត្រអាចមានប្រយោជន៍នៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពពីបញ្ហា C3 ឬបញ្ហាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ C5 ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ បញ្ហាពាក្យ B13 ជាច្រើននឹងត្រូវបានដោះស្រាយកាន់តែលឿន ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

ជាការពិតណាស់ទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានពិចារណាពីទស្សនៈនៃថ្នាក់ទី 8 ដែលវាត្រូវបានបង្រៀនជាលើកដំបូង។ ប៉ុន្តែភារកិច្ចរបស់យើងគឺត្រូវរៀបចំឱ្យបានល្អសម្រាប់ការប្រឡង Unified State និងរៀនដោះស្រាយភារកិច្ចប្រឡងឱ្យមានប្រសិទ្ធភាពតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ដូច្នេះហើយ មេរៀននេះចាត់ទុកវិធីសាស្រ្តខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចពីសាលា។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vietaមនុស្សជាច្រើនដឹង (ឬយ៉ាងហោចណាស់បានឃើញ)៖

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

ដែល `a, b` និង `c` គឺជាមេគុណនៃត្រីកោណចតុកោណ `ax^2+bx+c` ។

ដើម្បីរៀនពីរបៀបប្រើទ្រឹស្តីបទយ៉ាងងាយស្រួល ចូរយើងយល់ពីកន្លែងដែលវាមកពី (វានឹងធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានសមីការ `ax^2+ bx+ c=0` ។ ដើម្បីភាពងាយស្រួលបន្ថែមទៀត ចែកវាដោយ `a` ហើយទទួលបាន `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`។ សមីការនេះ។ ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ។

គំនិតមេរៀនសំខាន់៖ ពហុធាចតុកោណណាមួយដែលមានឫសអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាវង់ក្រចក។ចូរសន្មតថារបស់យើងអាចត្រូវបានតំណាងជា `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x+k)(x+l)` ដែល `k` និង ` l` - ថេរមួយចំនួន។

សូមមើលពីរបៀបដែលតង្កៀបបើក៖

$$(x+k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

ដូច្នេះ `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`។

នេះគឺខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចពីការបកស្រាយបុរាណ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា- នៅក្នុងវាយើងរកមើលឫសនៃសមីការ។ ខ្ញុំស្នើឱ្យរកមើលលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ ការបំបែកតង្កៀប- វិធីនេះអ្នកមិនចាំបាច់ចាំអំពីដកពីរូបមន្តទេ (មានន័យថា `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`)។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការជ្រើសរើសលេខបែបនេះចំនួនពីរ ដែលផលបូកស្មើនឹងមេគុណមធ្យម ហើយផលិតផលស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។

ប្រសិនបើយើងត្រូវការដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ នោះវាច្បាស់ណាស់៖ ឫស `x=-k` ឬ `x=-l` (ចាប់តាំងពីក្នុងករណីទាំងនេះ តង្កៀបមួយនឹងជាសូន្យ ដែលមានន័យថាកន្សោមទាំងមូលនឹងសូន្យ។ )

ខ្ញុំនឹងបង្ហាញអ្នកពី algorithm ជាឧទាហរណ៍៖ របៀបពង្រីកពហុធាចតុកោណទៅជាតង្កៀប។

ឧទាហរណ៍មួយ។ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់កត្តាត្រីកោណមាត្រ

ផ្លូវដែលយើងមានគឺត្រីកោណបួនជ្រុង `x^2+5x+4`។

វាត្រូវបានកាត់បន្ថយ (មេគុណនៃ `x^2` គឺស្មើនឹងមួយ)។ គាត់មានឫស។ (ដើម្បីឱ្យប្រាកដ អ្នកអាចប៉ាន់ស្មានអ្នករើសអើង ហើយត្រូវប្រាកដថាវាធំជាងសូន្យ។ )

ជំហានបន្ថែមទៀត (អ្នកត្រូវរៀនពួកវាដោយបំពេញកិច្ចការបណ្តុះបណ្តាលទាំងអស់):

  1. បំពេញធាតុខាងក្រោម៖ $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots)។$$ ជំនួសឱ្យចំនុច ទុកកន្លែងទំនេរ យើងនឹងបន្ថែមលេខសមរម្យ និងសញ្ញានៅទីនោះ។
  2. ពិចារណាជម្រើសដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់សម្រាប់ការបំបែកលេខ `4` ទៅក្នុងផលិតផលនៃលេខពីរ។ យើងទទួលបានគូនៃ "បេក្ខជន" សម្រាប់ឫសនៃសមីការ៖ `2, 2` និង `1, 4` ។
  3. រកមើលគូមួយណាដែលអ្នកអាចទទួលបានមេគុណមធ្យមពី។ ជាក់ស្តែងវាគឺ `1, 4`។
  4. សរសេរ $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ ។
  5. ជំហានបន្ទាប់គឺត្រូវដាក់សញ្ញានៅពីមុខលេខដែលបានបញ្ចូល។

    តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់និងចងចាំជារៀងរហូតថាតើសញ្ញាអ្វីខ្លះគួរលេចឡើងនៅមុខលេខនៅក្នុងតង្កៀប? ព្យាយាមបើកពួកវា (តង្កៀប) ។ មេគុណមុន `x` ទៅថាមពលទីមួយនឹងជា `(± 4 ± 1)` (យើងមិនទាន់ដឹងពីសញ្ញានៅឡើយទេ - យើងត្រូវជ្រើសរើស) ហើយវាគួរតែស្មើនឹង `5` ។ ជាក់ស្តែង នឹងមានបូកពីរ $$x^2+5x+4=(x+4)(x+1)$$។

    អនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះច្រើនដង (ជំរាបសួរ កិច្ចការបណ្តុះបណ្តាល!) ហើយអ្នកនឹងលែងមានបញ្ហាជាមួយវាទៀតហើយ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដោះស្រាយសមីការ `x^2+5x+4` នោះឥឡូវនេះការដោះស្រាយវានឹងមិនពិបាកទេ។ ឫសរបស់វាគឺ `-4, -1` ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរ។ ការបំបែកកត្តានៃត្រីកោណមាត្របួនជ្រុងជាមួយនឹងមេគុណនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នា

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ `x^2-x-2=0`។ Offhand អ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន។

យើងធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយ។

  1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
  2. មានកត្តាតែមួយនៃកត្តាពីរទៅជាចំនួនគត់៖ `2 · 1` ។
  3. យើងរំលងចំណុច - គ្មានអ្វីដែលត្រូវជ្រើសរើសទេ។
  4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
  5. ផលិតផលនៃលេខរបស់យើងគឺអវិជ្ជមាន (`-2` គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ) ដែលមានន័យថាមួយក្នុងចំណោមពួកវានឹងអវិជ្ជមានហើយមួយទៀតនឹងវិជ្ជមាន។
    ដោយសារផលបូករបស់ពួកគេស្មើនឹង `-1` (មេគុណនៃ `x`) នោះ `2` នឹងអវិជ្ជមាន (ការពន្យល់ដោយវិចារណញាណគឺថា ពីរគឺធំជាងនៃចំនួនទាំងពីរ វានឹង "ទាញ" កាន់តែខ្លាំងនៅក្នុង ទិសដៅអវិជ្ជមាន) ។ យើងទទួលបាន $$x^2-x-2=(x − 2) (x + 1).$$

ឧទាហរណ៍ទីបី។ កត្តាត្រីកោណមាត្រ

សមីការគឺ `x^2+5x -84=0`។

  1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots) ។$$
  2. ការរលាយនៃ 84 ទៅជាកត្តាចំនួនគត់៖ `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`។
  3. ដោយសារយើងត្រូវការភាពខុសគ្នា (ឬផលបូក) នៃលេខទៅជា 5 នោះគូ `7, 12` គឺសមរម្យ។
  4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7)។$$
  5. $$x+ 5x-84=(x+12)(x − 7).$$

ក្តីសង្ឃឹម ការពង្រីក trinomial បួនជ្រុងនេះទៅជាតង្កៀបវាច្បាស់ណាស់។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដំណោះស្រាយចំពោះសមីការមួយ វាគឺ៖ `12, -7`។

ភារកិច្ចបណ្តុះបណ្តាល

ខ្ញុំសូមនាំមកជូនលោកអ្នកនូវឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលងាយស្រួលធ្វើ ត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។(ឧទាហរណ៍ដកស្រង់ចេញពីទស្សនាវដ្តី "គណិតវិទ្យា" ឆ្នាំ ២០០២។ )

  1. `x^2+x-2=0`
  2. `x^2-x-2=0`
  3. `x^2+x-6=0`
  4. `x^2-x-6=0`
  5. `x^2+x-12=0`
  6. `x^2-x-12=0`
  7. `x^2+x-20=0`
  8. `x^2-x-20=0`
  9. `x^2+x-42=0`
  10. `x^2-x-42=0`
  11. `x^2+x-56=0`
  12. `x^2-x-56=0`
  13. `x^2+x-72=0`
  14. `x^2-x-72=0`
  15. `x^2+x-110=0`
  16. `x^2-x-110=0`
  17. `x^2+x-420=0`
  18. `x^2-x-420=0`

ពីរបីឆ្នាំបន្ទាប់ពីអត្ថបទនេះត្រូវបានសរសេរ ការប្រមូលផ្តុំនៃ 150 កិច្ចការសម្រាប់ពង្រីកពហុនាមរាងបួនជ្រុងដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta បានបង្ហាញខ្លួន។

ចូលចិត្តនិងសួរសំណួរនៅក្នុងមតិយោបល់!

ត្រីកោណការ៉េត្រូវបានគេហៅថាពហុនាមនៃទម្រង់ ពូថៅ 2 +bx +គ, កន្លែងណា x- ប្រែប្រួល, កខ,គ- លេខមួយចំនួន និង a ≠ 0 ។

មេគុណ កហៅ មេគុណជាន់ខ្ពស់, គ – សមាជិកឥតគិតថ្លៃត្រីកោណការ៉េ។

ឧទាហរណ៍នៃត្រីកោណចតុកោណៈ

2 x 2 + 5x+4(នៅទីនេះ ក = 2, ខ = 5, គ = 4)

x 2 − 7x + 5(នៅទីនេះ ក = 1, ខ = -7, គ = 5)

9x 2 + 9x − 9(នៅទីនេះ ក = 9, ខ = 9, គ = -9)

មេគុណ ខឬមេគុណ គឬមេគុណទាំងពីរអាចស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ ឧទាហរណ៍:

5 x 2 + 3x(នៅទីនេះa = 5,b = 3,c = 0 ដូច្នេះមិនមានតម្លៃសម្រាប់ c ក្នុងសមីការទេ) ។

៦x២–៨ (នៅទីនេះa = 6, b = 0, c = −8)

2x2(នៅទីនេះa = 2, b = 0, c = 0)

តម្លៃនៃអថេរដែលពហុនាមបាត់ត្រូវបានគេហៅថា ឫសនៃពហុធា.

ដើម្បីស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីកោណមាត្រពូថៅ 2 + bx + គយើងត្រូវយកវាទៅសូន្យ -
នោះគឺដោះស្រាយសមីការ quadraticពូថៅ 2 + bx + គ = 0 (សូមមើលផ្នែក "សមីការបួនជ្រុង") ។

កត្តាត្រីកោណមាត្រ

ឧទាហរណ៍៖

ចូរធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រ ២ x 2 + 7x − 4 ។

យើងឃើញ៖ មេគុណ ក = 2.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីភាគី។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងយកវាទៅសូន្យ ហើយដោះស្រាយសមីការ

2x 2 + 7x − 4 = 0 ។

របៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះ - សូមមើលនៅក្នុងផ្នែក "រូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ។ រើសអើង”។ នៅទីនេះយើងនឹងប្រាប់ភ្លាមៗអំពីលទ្ធផលនៃការគណនា។ ព្រះត្រីឯករបស់យើងមានឫសពីរ៖

x 1 = 1/2, x 2 = −4 ។

ចូរជំនួសតម្លៃនៃឫសទៅក្នុងរូបមន្តរបស់យើង ដោយយកតម្លៃនៃមេគុណចេញពីតង្កៀប កហើយយើងទទួលបាន៖

2x 2 + 7x − 4 = 2(x − 1/2) (x + 4) ។

លទ្ធផលដែលទទួលបានអាចត្រូវបានសរសេរខុសគ្នាដោយគុណមេគុណ 2 ដោយ binomial x – 1/2:

2x 2 + 7x − 4 = (2x − 1) (x + 4) ។

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ៖ ត្រីភាគីត្រូវបានបំបែកជាកត្តា។

ការពង្រីកបែបនេះអាចទទួលបានសម្រាប់ trinomial quadratic ណាមួយដែលមានឫស។

យកចិត្តទុកដាក់!

ប្រសិនបើការរើសអើងនៃ trinomial ចតុកោណគឺសូន្យ នោះ trinomial នេះមានឫសមួយ ប៉ុន្តែនៅពេលដែល decomposing the trinomial ឫសនេះត្រូវបានគេយកជាតម្លៃនៃ root ពីរ - នោះគឺជាតម្លៃដូចគ្នា x 1 និងx 2 .

ឧទាហរណ៍ trinomial មានឫសមួយស្មើនឹង 3។ បន្ទាប់មក x 1 = 3, x 2 = 3 ។