Mis on nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens, aitab teil mõista täisnurkset kolmnurka.
Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on külg, mis asub täisnurga vastas (meie näites on see külg \(AC\)); jalad on kaks ülejäänud külge \(AB\) ja \(BC\) (need, mis külgnevad täisnurk) ja kui arvestada jalgu nurga \(BC\) suhtes, siis jalg \(AB\) on külgnev jalg ja jalg \(BC\) on vastupidine. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangent?
Nurga siinus– see on vastupidise (kauge) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Nurga koosinus– see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Nurga puutuja– see on vastaskülje (kauge) ja külgneva (lähedase) suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Nurga kotangents– see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg milleks jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja Ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus Ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:
Koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;
Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.
Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhted ei sõltu nende külgede pikkustest (sama nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:
Vaatleme näiteks nurga \(\beta \) koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), kuid nurga \(\beta \) koosinuse saame arvutada kolmnurgast \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.
Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja kinnitage need!
Alloleval joonisel näidatud kolmnurga \(ABC \) jaoks leiame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(massiiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiivi) \)
Noh, kas sa said aru? Seejärel proovige ise: arvutage sama nurga \(\beta \) jaoks.
Vastused: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Ühik (trigonomeetriline) ring
Mõistes kraadide ja radiaanide mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne \(1\) . Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on trigonomeetria õppimisel väga kasulik. Seetõttu vaatame seda veidi üksikasjalikumalt.
Nagu näete, on see ring üles ehitatud Descartes'i süsteem koordinaadid Ringjoone raadius on võrdne ühega ja ringi keskpunkt asub lähtepunktis, lähtepositsioon Raadiuse vektor on fikseeritud piki \(x\) telje positiivset suunda (meie näites on see raadius \(AB\)).
Iga punkt ringil vastab kahele numbrile: koordinaat piki telge \(x\) ja koordinaat piki telge \(y\). Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks peame meeles pidama vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Vaatleme kolmnurka \(ACG\) . See on ristkülikukujuline, kuna \(CG\) on risti teljega \(x\).
Mis on \(\cos \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? See on õige \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Lisaks teame, et \(AC\) on ühikuringi raadius, mis tähendab \(AC=1\) . Asendame selle väärtuse koosinuse valemis. See juhtub järgmiselt.
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Millega võrdub \(\sin \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? No muidugi, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Asendage selle valemiga raadiuse väärtus \(AC\) ja saate:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Niisiis, kas saate öelda, millised koordinaadid on ringile kuuluval punktil \(C\)? No mitte kuidagi? Mis siis, kui mõistate, et \(\cos \ \alpha \) ja \(\sin \alpha \) on vaid numbrid? Millisele koordinaadile vastab \(\cos \alpha \)? Muidugi, koordinaat \(x\)! Ja millisele koordinaadile vastab \(\sin \alpha \)? Täpselt nii, koordinaat \(y\)! Nii et point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Millega on siis \(tg \alpha \) ja \(ctg \alpha \) võrdsed? See on õige, kasutame puutuja ja kotangensi vastavaid definitsioone ja saame selle \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Mis siis, kui nurk on suurem? Näiteks nagu sellel pildil:
Mis on selles näites muutunud? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : nurk (külgneb nurgaga \(\beta \) ). Mis on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus nurga jaoks \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:
\(\begin(massiivi)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\nurk ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\nurk ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiivi) \)
No nagu näha, siis nurga siinuse väärtus vastab ikkagi koordinaadile \(y\) ; nurga koosinuse väärtus - koordinaat \(x\) ; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega kehtivad need seosed raadiusvektori mis tahes pööramise kohta.
Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje \(x\) positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud väärtusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates – negatiivne.
Seega teame, et kogu raadiusvektori pööre ümber ringi on \(360()^\circ \) või \(2\pi \) . Kas raadiuse vektorit on võimalik pöörata \(390()^\circ \) või \(-1140()^\circ \) võrra? No muidugi saab! Esimesel juhul \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), seega teeb raadiuse vektor ühe täispöörde ja peatub positsioonis \(30()^\circ \) või \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Teisel juhul \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), see tähendab, et raadiuse vektor moodustab kolm täispöördeid ja peatub positsioonis \(-60()^\circ \) või \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad \(360()^\circ \cdot m \) või \(2\pi \cdot m \) võrra (kus \(m \) on mis tahes täisarv ), vastavad raadiusvektori samale asukohale.
Allolev joonis näitab nurka \(\beta =-60()^\circ \) . Sama pilt vastab nurgale \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga \(\beta +360()^\circ \cdot m\) või \(\beta +2\pi \cdot m \) (kus \(m \) on mis tahes täisarv)
\(\begin(massiiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiivi) \)
Nüüd, teades põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millised on väärtused:
\(\begin(massiivi)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiiv) \)
Siin on ühikuring, mis aitab teid:
Kas teil on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:
\(\begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(massiiv)\)
Siit määrame teatud nurgamõõtudele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk sisse \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) vastab punktile koordinaatidega \(\left(0;1 \right) \) , seega:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 90()^\circ \)- ei eksisteeri;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Lisaks saame samast loogikast kinni pidades teada, et nurgad on sees \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) vastavad koordinaatidega punktidele \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \paremal) \), vastavalt. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavad punktid. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.
Vastused:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ \pi \)- ei eksisteeri
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 270()^\circ \)- ei eksisteeri
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ 2\pi \)- ei eksisteeri
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 450()^\circ \)- ei eksisteeri
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Seega saame teha järgmise tabeli:
Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:
\(\left. \begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiiv) \right\)\ \text(Peate seda meeles pidama või suutma seda kuvada!! \) !}
Kuid nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) allolevas tabelis toodud, peate meeles pidama:
Ärge kartke, nüüd näitame teile ühte näidet vastavate väärtuste üsna lihtsast meeldejätmisest:
Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada kõigi kolme nurga mõõtmise siinusväärtusi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samuti nurga puutuja väärtus \(30()^\circ \) . Teades neid \(4\) väärtusi, on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:
\(\begin(massiivi)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(massiiv) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), saate seda teades väärtused taastada \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Lugeja "\(1 \)" vastab \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ja nimetaja "\(\sqrt(\text(3)) \)" vastab \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentide väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui mõistate seda ja mäletate nooltega diagrammi, piisab, kui mäletate tabelist ainult \(4\) väärtusi.
Ringjoone punkti koordinaadid
Kas ringil on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, raadiust ja pöördenurka? No muidugi saab! Võtame selle välja üldine valem punkti koordinaatide leidmiseks. Näiteks siin on meie ees ring:
See punkt on meile antud \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- ringi keskpunkt. Ringi raadius on \(1,5\) . On vaja leida punkti \(P\) koordinaadid, mis saadakse punkti \(O\) pööramisel \(\delta \) kraadi võrra.
Nagu jooniselt näha, vastab punkti \(P\) koordinaat \(x\) lõigu pikkusele \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lõigu \(UK\) pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile \(x\), see tähendab, et see on võrdne \(3\) . Lõigu \(KQ\) pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooniga:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Paremnool KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Siis on meil see punkti \(P\) koordinaat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Sama loogikat kasutades leiame punkti \(P\) y-koordinaadi väärtuse. Seega
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Niisiis, sisse üldine vaade Punktide koordinaadid määratakse valemitega:
\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(massiiv) \), Kus
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ringi keskpunkti koordinaadid,
\(r\) - ringi raadius,
\(\delta \) - vektori raadiuse pöördenurk.
Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi puhul need valemid märkimisväärselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on võrdsed nulliga ja raadius on võrdne ühega:
\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiivi) \)
Javascript on teie brauseris keelatud.Arvutuste tegemiseks peate lubama ActiveX-juhtelemendid!
Alustame trigonomeetria uurimist täisnurkse kolmnurgaga. Määratleme, mis on siinus ja koosinus, samuti teravnurga puutuja ja kotangens. See on trigonomeetria põhitõed.
Tuletame teile seda meelde täisnurk on nurk 90 kraadi. Ehk siis pool pöördenurka.
Terav nurk- vähem kui 90 kraadi.
Nürinurk- üle 90 kraadi. Seoses sellise nurgaga pole "nüri" solvang, vaid matemaatiline termin :-)
Joonistame täisnurkse kolmnurga. Täisnurka tähistatakse tavaliselt tähisega . Pange tähele, et nurga vastaskülg on tähistatud sama tähega, ainult väikese tähega. Seega on vastasnurk A tähistatud .
Nurka tähistab vastav Kreeka kiri.
Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga külg on täisnurga vastaskülg.
Jalad- teravnurkade vastas olevad küljed.
Nurga vastas asetsevat jalga nimetatakse vastupidine(nurga suhtes). Teist jalga, mis asub nurga ühel küljel, nimetatakse külgnevad.
Sinus teravnurk sisse täisnurkne kolmnurk- see on suhtumine vastasjalg hüpotenuusile:
Koosinus teravnurk täisnurkses kolmnurgas - suhe külgnev jalg hüpotenuusile:
Tangent täisnurkse kolmnurga teravnurk - vastaskülje ja külgneva külje suhe:
Teine (ekvivalentne) määratlus: teravnurga puutuja on nurga siinuse ja koosinuse suhe:
Kotangent täisnurkse kolmnurga teravnurk - külgneva külje ja vastaskülje suhe (või, mis on sama, koosinuse ja siinuse suhe):
Märkige allpool siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi põhiseosed. Need on meile probleemide lahendamisel kasulikud.
Tõestame mõnda neist.
Olgu, oleme andnud definitsioonid ja kirja pannud valemid. Aga miks on meil ikkagi vaja siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti?
Me teame seda mis tahes kolmnurga nurkade summa on võrdne.
Me teame omavahelist suhet peod täisnurkne kolmnurk. See on Pythagorase teoreem: .
Selgub, et teades kolmnurga kahte nurka, võite leida kolmanda. Teades täisnurkse kolmnurga kahte külge, saate leida kolmanda. See tähendab, et nurkadel on oma suhe ja külgedel oma. Mida aga teha, kui täisnurksel kolmnurgal on teada üks nurk (v.a täisnurk) ja üks külg, aga on vaja leida teised küljed?
Seda kohtasid inimesed minevikus piirkonna ja tähistaeva kaarte koostades. Lõppude lõpuks ei ole alati võimalik kolmnurga kõiki külgi otse mõõta.
Siinus, koosinus ja puutuja – neid nimetatakse ka trigonomeetrilised nurgafunktsioonid- anda vahelisi suhteid peod Ja nurgad kolmnurk. Nurka teades leiate spetsiaalsete tabelite abil kõik selle trigonomeetrilised funktsioonid. Ja teades kolmnurga ja selle ühe külje nurkade siinusi, koosinusi ja puutujaid, leiate ka ülejäänud.
Samuti koostame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste tabeli "heade" nurkade jaoks alates kuni.
Pange tähele kahte punast kriipsu tabelis. Sobivate nurgaväärtuste korral puutujat ja kotangenti ei eksisteeri.
Vaatame mitmeid FIPI Task Banki trigonomeetriaülesandeid.
1. Kolmnurga nurk on , . Leia .
Probleem lahendatakse nelja sekundiga.
Kuna , .
2. Kolmnurgas on nurk , , . Leia .
Leiame selle Pythagorase teoreemi abil.
Probleem on lahendatud.
Sageli on ülesannetes kolmnurgad nurkade ja või nurkadega ja. Pea meeles nende põhisuhted peast!
Nurkadega kolmnurga ja nurga vastas olev jalg on võrdne pool hüpotenuusist.
Nurkadega kolmnurk, mis on võrdhaarne. Selles on hüpotenuus korda suurem kui jalg.
Vaatlesime ülesandeid täisnurksete kolmnurkade lahendamisel – ehk siis tundmatute külgede või nurkade leidmisel. Kuid see pole veel kõik! IN Ühtse riigieksami valikud matemaatikas on palju ülesandeid, kus ilmneb kolmnurga välisnurga siinus, koosinus, puutuja või kotangens. Lisateavet selle kohta järgmises artiklis.
Loeng: Suvalise nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens
Siinus, suvalise nurga koosinus
Et mõista, mis on trigonomeetrilised funktsioonid, vaatame ühiku raadiusega ringi. Antud ring mille keskpunkt on lähtepunktis koordinaattasand. Määramiseks määratud funktsioonid kasutame raadiuse vektorit VÕI, mis algab ringi keskpunktist ja punktist R on punkt ringil. See raadiuse vektor moodustab teljega nurga alfa Oh. Kuna ringil on raadius, võrdne ühega, See VÕI = R = 1.
Kui punktist R langetage risti teljega Oh, siis saame täisnurkse kolmnurga, mille hüpotenuus on võrdne ühega.
Kui raadiuse vektor liigub päripäeva, siis see suund helistas negatiivne, kui see liigub vastupäeva - positiivne.
Nurga siinus VÕI, on punkti ordinaat R vektor ringil.
See tähendab, et saada siinusväärtus antud nurk alfa on vaja määrata koordinaat U pinnal.
Kuidas antud väärtus sai kätte? Kuna me teame, et täisnurkse kolmnurga suvalise nurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe, saame selle
Ja sellest ajast peale R = 1, See sin(α) = y 0 .
Ühikringis ei saa ordinaadi väärtus olla väiksem kui -1 ja suurem kui 1, mis tähendab
Sinus nõustub positiivne väärtusüksuse ringi esimeses ja teises kvartalis ning kolmandas ja neljandas - negatiivne.
Nurga koosinus antud ring, mille moodustab raadiusvektori VÕI, on punkti abstsiss R vektor ringil.
See tähendab, et antud nurga alfa koosinusväärtuse saamiseks on vaja määrata koordinaat X pinnal.
Suvalise nurga koosinus täisnurkses kolmnurgas on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe, saame selle
Ja sellest ajast peale R = 1, See cos(α) = x 0 .
Ühikringis ei saa abstsiss olla väiksem kui -1 ja suurem kui 1, mis tähendab
Koosinus saab ühikuringi esimeses ja neljandas kvartalis positiivse väärtuse ning teises ja kolmandas negatiivse väärtuse.
Tangentsuvaline nurk Arvutatakse siinuse ja koosinuse suhe.
Kui arvestada täisnurkset kolmnurka, on see vastaskülje ja külgneva külje suhe. Kui me räägimeühikringi kohta, siis on see ordinaadi ja abstsissi suhe.
Nende seoste järgi otsustades võib mõista, et puutuja ei saa eksisteerida, kui abstsissi väärtus on null, see tähendab 90-kraadise nurga all. Puutuja võib võtta kõik muud väärtused.
Puutuja on ühikuringi esimesel ja kolmandal veerandil positiivne ning teises ja neljandas negatiivne.
Siinus on üks trigonomeetrilisi põhifunktsioone, mille kasutamine ei piirdu ainult geomeetriaga. Tabelid trigonomeetriliste funktsioonide arvutamiseks, nagu ka tehnilised kalkulaatorid, pole alati käepärast ja siinuse arvutamine on mõnikord vajalik nende lahendamiseks. erinevaid ülesandeid. Üldiselt aitab siinuse arvutamine kinnistada joonistamisoskusi ja teadmisi trigonomeetriliste identiteetide kohta.
Mängud joonlaua ja pliiatsiga
Lihtne ülesanne: kuidas leida paberile joonistatud nurga siinus? Lahendamiseks vajate tavalist joonlauda, kolmnurka (või kompassi) ja pliiatsit. Lihtsaim viis nurga siinuse arvutamiseks on jagada täisnurgaga kolmnurga kaugeim jalg pika küljega - hüpotenuusiga. Seega peate esmalt lõpetama teravnurga täisnurkse kolmnurga kujuga, tõmmates ühe kiirgusega risti oleva joone nurga tipust suvalisele kaugusele. Peame säilitama täpselt 90° nurga, mille jaoks vajame kirjalikku kolmnurka.
Kompassi kasutamine on veidi täpsem, kuid võtab rohkem aega. Ühel kiirtest peate märkima 2 punkti teatud kaugusel, reguleerima kompassi raadiust, ligikaudu võrdne vahemaaga punktide vahel ja tõmmake nendes punktides keskpunktidega poolringid, kuni saadakse nende sirgete lõikepunktid. Ühendades oma ringide lõikepunktid üksteisega, saame oma nurga kiirega range risti, jääb üle vaid pikendada joont, kuni see lõikub mõne teise kiirega.
Saadud kolmnurgas peate joonlauaga mõõtma nurga vastaskülje ja ühe kiirte pika külje. Esimese ja teise mõõtme suhe on teravnurga siinuse soovitud väärtus.
Leidke siinus nurgale, mis on suurem kui 90°
Sest nürinurkülesanne pole palju raskem. Peate joonistama kiir tipust kuni vastaskülg joonlaua abil sirgjoone moodustamiseks ühe meid huvitava nurga kiirtega. Koos saadud teravnurk peaks toimima ülalkirjeldatud viisil, siinused külgnevad nurgad, mis moodustavad koos 180° vastupidise nurga, on võrdsed.
Siinuse arvutamine teiste trigonomeetriliste funktsioonide abil
Samuti on siinuse arvutamine võimalik, kui on teada nurga muude trigonomeetriliste funktsioonide väärtused või vähemalt kolmnurga külgede pikkused. Trigonomeetrilised identiteedid aitavad meid selles. Vaatame levinud näiteid.
Kuidas leida siinust teadaoleva nurga koosinusega? Esimene trigonomeetriline identsus, mis põhineb Pythagorase teoreemil, väidab, et sama nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega.
Kuidas leida siinus teadaoleva nurga puutujaga? Puutuja saadakse kaugema külje jagamisel lähiküljega või siinuse jagamisel koosinusega. Seega on siinus koosinuse ja puutuja korrutis ning siinuse ruut selle korrutise ruut. Asendame ruutkoosinuse ühe ja ruutsiinuse vahega vastavalt esimesele trigonomeetriline identiteet ja lihtsate manipulatsioonide abil taandame võrrandi tangensi kaudu ruutsiinuse arvutamiseks; vastavalt siinuse arvutamiseks peate saadud tulemuse juure eraldama.
Kuidas leida siinust teadaoleva nurga kotangensiga? Kootangensi väärtuse saab arvutada, jagades nurgale lähima jala pikkuse kaugema pikkusega ja jagades ka koosinuse siinusega, see tähendab, et kotangens on funktsioon, puutuja pöördväärtus võrreldes arvuga 1. Siinuse arvutamiseks saate arvutada puutuja valemiga tg α = 1 / ctg α ja kasutada teise variandi valemit. Analoogiliselt puutujaga saate tuletada ka otsese valemi, mis näeb välja selline järgmisel viisil.
Kuidas leida kolmnurga kolme külje siinust
Pikkuse leidmiseks on olemas valem tundmatu pool suvaline kolmnurk, mitte ainult täisnurkne, kaheks tuntud osapooled kasutades vastasnurga koosinuse trigonomeetrilist funktsiooni. Ta näeb välja selline.
Ma arvan, et sa väärid rohkemat. Siin on minu trigonomeetria võti:
- Joonistage kuppel, sein ja lagi
- Trigonomeetrilised funktsioonid pole midagi muud kui protsentides need kolm vormi.
Siinuse ja koosinuse metafoor: kuppel
Kolmnurkade endi vaatamise asemel kujutlege neid tegutsemas, leides mõned eriline näide elust.
Kujutage ette, et olete keset kuplit ja soovite riputada filmiprojektori ekraani. Osutate sõrmega kuplile teatud nurga all “x” ja ekraan tuleks sellest punktist riputada.
Nurk, millele osutate, määrab:
- siinus(x) = sin(x) = ekraani kõrgus (põrandast kupli kinnituspunktini)
- koosinus(x) = cos(x) = kaugus sinust ekraanini (korruse kaupa)
- hüpotenuus, kaugus sinust ekraani ülaossa, alati sama, võrdne kupli raadiusega
Kas soovite, et ekraan oleks võimalikult suur? Riputage see otse enda kohale.
Kas soovite, et ekraan rippuks teist võimalikult kaugel? Riputage see otse risti. Selles asendis on ekraani kõrgus null ja see ripub kõige kaugemal, nagu küsisite.
Kõrgus ja kaugus ekraanist on pöördvõrdelised: mida lähemal ekraan ripub, seda suurem on selle kõrgus.
Siinus ja koosinus on protsendid
Kahjuks ei selgitanud mulle keegi minu õpingute jooksul, et trigonomeetrilised funktsioonid siinus ja koosinus pole muud kui protsendid. Nende väärtused on vahemikus +100% kuni 0 kuni -100% või positiivsest maksimumist nulli kuni negatiivse maksimumini.
Oletame, et maksin 14 rubla maksu. Sa ei tea, kui palju see on. Aga kui ütlete, et maksin 95% tulumaksu, siis saate aru, et mind lihtsalt fliisitati.
Absoluutne kõrgus ei tähenda midagi. Aga kui siinus on 0,95, siis ma saan aru, et teler ripub peaaegu teie kupli otsas. Väga varsti jõuab ta kohale maksimaalne kõrgus kupli keskel ja hakkab seejärel uuesti alla minema.
Kuidas me saame seda protsenti arvutada? See on väga lihtne: jagage praegune ekraani kõrgus maksimaalse võimalikuga (kupli raadius, mida nimetatakse ka hüpotenuusiks).
Sellepärast meile öeldakse, et "koosinus = vastaskülg / hüpotenuus". Kõik on huvi tekitamises! Siinus on kõige parem määratleda kui "protsent praegusest kõrgusest maksimaalsest võimalikust". (Siinus muutub negatiivseks, kui teie nurk on "maa all". Koosinus muutub negatiivseks, kui nurk osutab teie taga oleva kuplipunkti poole.)
Lihtsustame arvutusi, eeldades, et oleme ühikringi keskpunktis (raadius = 1). Võime jagamise vahele jätta ja võtta siinuse, mis võrdub kõrgusega.
Iga ring on sisuliselt ühik, suurendatud või vähendatud skaalal õige suurus. Seega määrake ühikuringi ühendused ja rakendage tulemusi oma konkreetsele ringi suurusele.
Katse: võtke mis tahes nurk ja vaadake, mitu protsenti kõrgusest laiusest kuvatakse:
Siinuse väärtuse kasvu graafik ei ole lihtsalt sirge. Esimesed 45 kraadi katavad 70% kõrgusest, kuid viimased 10 kraadi (80° kuni 90°) vaid 2%.
See teeb sulle selgemaks: kui kõnnid ringi, tõused 0° juures peaaegu vertikaalselt, aga kupli tipule lähenedes muutub kõrgus aina vähem.
Tangent ja sekant. Sein
Ühel päeval ehitas naaber müüri otse üksteise kõrval oma kupli juurde. Nutsin oma vaadet aknast ja hea hind edasimüügiks!
Kuid kas selles olukorras on võimalik kuidagi võita?
Muidugi jah. Mis siis, kui riputaksime filmiekraani otse naabri seinale? Sihite nurga (x) ja saate:
- tan(x) = tan(x) = ekraani kõrgus seinal
- kaugus sinust seinani: 1 (see on sinu kupli raadius, sein ei liigu sinust kuhugi, eks?)
- secant(x) = sec(x) = "redeli pikkus" sinust kupli keskel seistes kuni rippuva ekraani ülaossa
Täpsustame paar punkti puutuja ehk ekraani kõrguse kohta.
- see algab nullist ja võib tõusta lõpmatult kõrgele. Saate sirutada ekraani seinal aina kõrgemale, et luua lõputu lõuend oma lemmikfilmi vaatamiseks! (Sellise tohutu jaoks peate muidugi kulutama palju raha).
- tangens on lihtsalt siinuse suurem versioon! Ja kuigi siinuse suurenemine kupli tipu poole liikudes aeglustub, kasvab puutuja jätkuvalt!
Sekansul on ka millega kiidelda:
- Sekant algab kell 1 (redel on põrandal, sinust seinani) ja hakkab sealt tõusma
- Sekant on alati pikem kui puutuja. Ekraani riputamiseks kasutatav kaldus redel peaks olema pikem kui ekraan ise, eks? (Ebareaalsete suurustega, kui ekraan on niiiii pikk ja redel on vaja peaaegu vertikaalselt asetada, on nende suurused peaaegu samad. Aga ka siis on sekant veidi pikem).
Pidage meeles, et väärtused on protsenti. Kui otsustate ekraani riputada 50 kraadise nurga all, siis tan(50)=1,19. Teie ekraan on 19% suurem kui kaugus seinast (kupli raadius).
(Sisestage x=0 ja kontrollige oma intuitsiooni – tan(0) = 0 ja sec(0) = 1.)
Kootangens ja kosekants. Lagi
Uskumatult otsustas teie naaber nüüd teie kuplile katuse ehitada. (Mis tal viga on? Ilmselt ta ei taha, et sa teda luuraksid, kui ta alasti õues ringi kõnnib...)
Noh, on aeg ehitada väljapääs katusele ja rääkida naabriga. Valite kaldenurga ja alustate ehitamist:
- vertikaalne kaugus katuse väljalaskeava ja põranda vahel on alati 1 (kupli raadius)
- kotangent(x) = cot(x) = kupli ülaosa ja väljumispunkti vaheline kaugus
- kosekant(x) = csc(x) = teie tee pikkus katusele
Tangent ja sekant kirjeldavad seina ning COtangent ja COsekant kirjeldavad lage.
Meie intuitiivsed järeldused on seekord sarnased eelmiste järeldustega:
- Kui võtate nurgaks 0°, kestab teie väljapääs katusele igavesti, kuna see ei ulatu kunagi laeni. Probleem.
- Lühima katuse "redel" saadakse, kui ehitate selle põranda suhtes 90-kraadise nurga all. Kootangens võrdub 0-ga (me ei liigu üldse mööda katust, väljume rangelt risti) ja kosekant on võrdne 1-ga (“redeli pikkus” on minimaalne).
Visualiseerige ühendusi
Kui kõik kolm korpust on joonistatud kupli-seina-lae kombinatsioonina, on tulemus järgmine:
Noh, see on ikka sama kolmnurk, suurendatud, et jõuda seina ja laeni. Meil on vertikaalsed küljed (siinus, puutuja), horisontaalsed küljed (koosinus, kotangents) ja “hüpotenused” (sekant, kosekant). (Noolte järgi näete, kuhu iga element ulatub. Koossekant on kogu kaugus sinust katuseni).
Natuke maagiat. Kõigil kolmnurkadel on samad võrdsused:
Pythagorase teoreemist (a 2 + b 2 = c 2) näeme, kuidas on ühendatud iga kolmnurga küljed. Lisaks peaksid kõrguse ja laiuse suhted olema kõigi kolmnurkade puhul samad. (Astuge lihtsalt tagasi suur kolmnurk vähemale. Jah, suurus on muutunud, kuid kuvasuhted jäävad samaks).
Teades, milline külg igas kolmnurgas on võrdne 1-ga (kupli raadius), saame kergesti arvutada, et "sin/cos = tan/1".
Olen alati püüdnud neid fakte lihtsa visualiseerimise abil meelde jätta. Pildil näete selgelt neid sõltuvusi ja saate aru, kust need tulevad. See tehnika on palju parem kui meeldejätmine kuivad valemid.
Ärge unustage teisi vaatenurki
Psst... Ära jää ühele graafikule kinni, arvates, et puutuja on alati väiksem kui 1. Nurka suurendades saad laeni jõuda ka seinani jõudmata:
Pythagorase ühendused töötavad alati, kuid suhtelised suurused võib olla erinev.
(Võib-olla olete märganud, et siinus- ja koosinussuhted on alati väikseimad, kuna need sisalduvad kuplis).
Kokkuvõtteks: mida me peame meeles pidama?
Ma ütleksin, et enamikule meist piisab sellest:
- trigonomeetria selgitab matemaatiliste objektide, nagu ringid ja korduvad intervallid, anatoomiat
- Kupli/seina/katuse analoogia näitab seost erinevate trigonomeetriliste funktsioonide vahel
- Trigonomeetrilised funktsioonid annavad protsendid, mida me oma stsenaariumile rakendame.
Te ei pea pähe õppima selliseid valemeid nagu 1 2 + võrevoodi 2 = csc 2 . Need sobivad ainult rumalad testid, milles teadmine faktist edastatakse selle mõistmisena. Võtke minut aega, et joonistada poolring kupli, seina ja katuse kujul, märgistada elemendid ja kõik valemid jõuavad teieni paberile.
Rakendus: pöördfunktsioonid
Ükskõik milline trigonomeetriline funktsioon võtab sisendiks nurga ja tagastab tulemuse protsentides. sin(30) = 0,5. See tähendab, et 30-kraadine nurk võtab 50% maksimaalsest kõrgusest.
Trigonomeetriline pöördfunktsioon on kirjutatud kui sin -1 või arcsin. Samuti kirjutatakse seda sageli nagu sisse erinevaid keeli programmeerimine.
Kui meie kõrgus on 25% kupli kõrgusest, siis milline on meie nurk?
Meie proportsioonide tabelist leiate suhte, kus sekant jagatakse 1-ga. Näiteks sekant 1-ga (hüpotenuus horisontaalsuunas) võrdub 1-ga jagatud koosinusega:
Oletame, et meie sekant on 3,5, st. 350% ühikringi raadiusest. Millisele seina kaldenurgale see väärtus vastab?
Lisa: Mõned näited
Näide: Leia nurga x siinus.
Igav ülesanne. Keerutagem banaalne "leia siinus" sõnadega "Mis on kõrgus protsendina maksimumist (hüpotenuus)?"
Esiteks pange tähele, et kolmnurk on pööratud. Selles pole midagi halba. Kolmnurgal on ka kõrgus, see on joonisel tähistatud rohelisega.
Millega võrdub hüpotenuus? Pythagorase teoreemi kohaselt teame, et:
3 2 + 4 2 = hüpotenuus 2 25 = hüpotenuus 2 5 = hüpotenuus
Hästi! Siinus on protsent kolmnurga pikima külje ehk hüpotenuusi kõrgusest. Meie näites on siinus 3/5 või 0,60.
Muidugi võime minna mitut moodi. Nüüd teame, et siinus on 0,60, saame lihtsalt arsiini leida:
Asin(0,6)=36,9
Siin on veel üks lähenemine. Pange tähele, et kolmnurk on "seina poole", nii et siinuse asemel saame kasutada puutujat. Kõrgus on 3, kaugus seinast on 4, seega puutuja on ¾ ehk 75%. Arktangensi abil saame protsendiväärtusest tagasi nurga alla minna:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Näide: kas sa ujud kaldale?
Olete paadis ja teil on piisavalt kütust 2 km läbimiseks. Nüüd olete rannikust 0,25 km kaugusel. Millise maksimaalse nurga all kalda suhtes saab sinna ujuda, et kütust jätkuks? Täiendus probleemiavaldusele: meil on ainult kaarekoosinusväärtuste tabel.
Mis meil on? rannajoon võib kujutada meie kuulsas kolmnurgas "seinana" ja seinale kinnitatud "redeli pikkus" on maksimaalne võimalik vahemaa, mida paadiga kaldani läbida (2 km). Ilmub sekant.
Esiteks peate minema protsentide juurde. Meil on 2 / 0,25 = 8, see tähendab, et me suudame ujuda vahemaa, mis on 8 korda pikem kui kalda (või seina) sirge vahemaa.
Tekib küsimus: "Mis on 8 sekant?" Kuid me ei saa sellele vastata, kuna meil on ainult kaarekoosinused.
Sekandi seostamiseks koosinusega kasutame eelnevalt tuletatud sõltuvusi: "sec/1 = 1/cos"
Sekans 8 võrdne koosinusega⅛. Nurk, mille koosinus on ⅛, on võrdne acos(1/8) = 82,8. Ja see on suurim nurk, mida saame etteantud kütusekogusega paadis lubada.
Pole paha, eks? Ilma kuppel-seina-lae analoogiata oleksin valemite ja arvutuste hunnikusse eksinud. Probleemi visualiseerimine lihtsustab oluliselt lahenduse otsimist ning huvitav on ka näha, milline trigonomeetriline funktsioon lõpuks aitab.
Mõelge iga probleemi puhul järgmiselt: kas mind huvitab kuppel (sin/cos), sein (tan/sek) või lagi (voodi/csc)?
Ja trigonomeetria muutub palju nauditavamaks. Lihtsad arvutused teile!