Koos progressiivse ja pöörlevad liigutused Kehade mehaanikas pakuvad märkimisväärset huvi ka võnkuvad liikumised. Mehaanilised vibratsioonid on kehade liikumised, mis korduvad täpselt (või ligikaudu) võrdsete ajavahemike järel. Keha võnkumise liikumisseadust täpsustatakse kasutades teatud perioodiline funktsioon aega x = f (t). Graafiline pilt see funktsioon annab visuaalne esitus võnkeprotsessi käigust ajas.

Lihtsate võnkesüsteemide näideteks on vedrule või matemaatiline pendel(joonis 2.1.1).

Mehaanilised vibratsioonid, nagu mis tahes muu võnkeprotsessid füüsiline olemus, võib olla tasuta Ja sunnitud. Vaba vibratsioon on toime pandud mõju all sisemised jõud süsteem pärast seda, kui süsteem on tasakaalust välja viidud. Raskuse võnkumine vedrul või pendli võnkumine on vabavõnkumine. Mõju all tekkivad vibratsioonid välised nimetatakse perioodiliselt muutuvaid jõude sunnitud .

Kõige lihtsamad võnkeprotsesside tüübid on lihtsad harmoonilised vibratsioonid , mida kirjeldatakse võrrandiga

x = x mcos(ω t + φ 0).

Siin x- keha nihkumine tasakaaluasendist, x m - võnkumiste amplituud, st maksimaalne nihe tasakaaluasendist, ω - tsükliline või ringsagedus kõhklus, t- aeg. Suurus koosinusmärgi all φ = ω t+ φ 0 kutsutakse faas harmooniline protsess. Kell t= 0 φ = φ 0, seetõttu kutsutakse φ 0 algfaasis. Nimetatakse minimaalset ajavahemikku, mille jooksul keha liigutust korratakse võnkeperiood T. Füüsiline kogus, nimetatakse võnkeperioodi pöördväärtust vibratsiooni sagedus:

Võnkesagedus f näitab, kui palju võnkumisi toimub 1 sekundi jooksul. Sagedusühik - hertsi(Hz). Võnkesagedus f seotud tsüklilise sagedusega ω ja võnkeperioodiga T suhted:

Joonisel fig. 2.1.2 näitab keha asendeid võrdsete ajavahemike järel harmooniliste vibratsioonide ajal. Sellise pildi saab eksperimentaalselt, valgustades võnkuva keha lühikeste perioodiliste valgussähvatustega ( strobo valgustus). Nooled tähistavad keha kiirusvektoreid erinevatel aegadel.

Riis. 2.1.3 illustreerib muutusi, mis toimuvad harmoonilise protsessi graafikul, kui võnkumiste amplituud muutub x m või punkt T(või sagedus f), või algfaasis φ 0 .

Kui keha võngub mööda sirgjoont (telg HÄRG) on kiirusvektor alati suunatud piki seda sirget. Kiirus υ = υ x keha liikumise määrab väljend

Matemaatikas suhtarvu piiri leidmise protseduur Δ juures t→ 0 nimetatakse funktsiooni tuletise arvutamiseks x (t) aja järgi t ja seda tähistatakse kui või kui x"(t) või lõpuks nagu . Harmoonilise liikumisseaduse korral annab tuletise arvutamine järgmise tulemuse:

Termini + π / 2 ilmumine koosinusargumendis tähendab muutust algfaasis. Kiiruse maksimaalsed absoluutväärtused υ = ω x m saavutatakse nendel ajahetkedel, mil keha läbib tasakaaluasendid ( x= 0). Kiirendus määratakse sarnasel viisil a = ax kehad harmooniliste vibratsioonide ajal:

sellest ka kiirendus a on võrdne funktsiooni υ () tuletisega t) aja järgi t või funktsiooni teine ​​tuletis x (t). Arvutused annavad:

Miinusmärk selles väljendis tähendab, et kiirendus a (t) on alati märgiga, vastupidine märk tasaarvestused x (t) ja seetõttu on Newtoni teise seaduse kohaselt jõud, mis paneb keha teostama harmoonilisi võnkumisi, alati suunatud tasakaaluasendisse ( x = 0).

Sama keha võib samaaegselt osaleda kahes või enamas liigutuses. Lihtne näide on horisontaaltasapinnaga nurga all visatud palli liikumine. Võib eeldada, et pall osaleb kahes sõltumatus üksteisega risti asetsevas liikumises: ühtlane horisontaalselt ja ühtlaselt muutuv vertikaalselt. sama keha ( materiaalne punkt) saab osaleda kahes (või enamas) võnkuvas liikumises.

Under võnkumiste lisamine mõista tekkiva vibratsiooni seaduse definitsiooni, kui võnkesüsteem osaleb samaaegselt mitmes võnkeprotsessis. Piiravaid juhtumeid on kaks – ühes suunas võnkumiste liitmine ja vastastikku risti asetsevate võnkumiste liitmine.

2.1. Ühesuunaliste harmooniliste vibratsioonide liitmine

1. Kahe samasuunalise võnke liitmine(kaassuunalised võnkumised)

saab teha vektordiagrammi meetodil (joonis 9) kahe võrrandi lisamise asemel.

Joonisel 2.1 on näidatud amplituudivektorid A 1(t) ja A 2 (t) lisatud võnkumised suvalisel ajahetkel t, kui nende võnkumiste faasid on vastavalt võrdsed Ja . Võnkumiste lisamine taandub määratlusele . Kasutame ära asjaolu, et vektordiagrammis on liidetavate vektorite projektsioonide summa võrdne projektsiooniga vektori summa need vektorid.

Tekkiv võnkumine vastab vektordiagrammis amplituudivektorile ja faasile.

Joonis 2.1 – Kaassuunaliste võnkumiste liitmine.

Vektori suurusjärk A(t) võib leida koosinusteoreemi abil:

Saadud võnkumise faas saadakse järgmise valemiga:

.

Kui liidetud võnkumiste ω 1 ja ω 2 sagedused ei ole võrdsed, siis nii faas φ(t) kui ka amplituud A(t) Sellest tulenevad kõikumised aja jooksul muutuvad. Lisavõnkumisi nimetatakse ebaühtlane sel juhul.

2. Nimetatakse kaks harmoonilist vibratsiooni x 1 ja x 2 sidus, kui nende faaside erinevus ei sõltu ajast:

Kuid kuna nende kahe võnkumise koherentsuse tingimuse täitmiseks peavad nende tsüklilised sagedused olema võrdsed.

Võrdse sagedusega kaassuunaliste võnkumiste (koherentsed võnkumised) liitmisel saadud võnke amplituud on võrdne:

Tekkinud võnke algfaasi on lihtne leida, kui vektoreid projitseerida A 1 ja A 2 sisse koordinaatteljed OX ja OU (vt joonis 9):

.

Niisiis, tekkiv võnkumine, mis saadakse kahe võrdse sagedusega harmoonilise kaassuunalise võnkumise liitmisel, on samuti harmooniline võnkumine.

3. Uurime tekkiva võnke amplituudi sõltuvust lisandunud võnkumiste algfaaside erinevusest.

Kui , kus n on mis tahes mittenegatiivne täisarv

(n = 0, 1, 2…), siis miinimum. Lisamise hetkel lisatud võnkumised olid sees antifaas. Kui saadud amplituud on null.

Kui , See , st. saadud amplituud on maksimaalselt. Lisamise hetkel lisandunud võnkumised olid ühes faasis, st. olid faasis. Kui lisandunud võnkumiste amplituudid on samad , See.

4. Ebavõrdse, kuid sarnase sagedusega kaassuunaliste võnkumiste lisamine.

Lisatud võnkumiste sagedused ei ole võrdsed, vaid sageduste erinevus palju vähem kui nii ω 1 kui ka ω 2. Lisatud sageduste läheduse tingimuse kirjutavad seosed.

Sarnaste sagedustega kaassuunaliste võnkumiste lisamise näide on horisontaalsuuna liikumine vedru pendel, mille vedru jäikus on veidi erinev k 1 ja k 2.

Olgu lisatud võnkumiste amplituudid samad , ja algfaasid on võrdsed nulliga. Siis on lisatud võnkumiste võrrandid kujul:

, .

Saadud võnkumist kirjeldatakse võrrandiga:

Saadud võnkevõrrand sõltub kahe harmoonilise funktsiooni korrutisest: üks sagedusega , teine ​​– sagedusega , kus ω on lähedane lisatud võnkumiste sagedustele (ω 1 või ω 2). Tekkivat võnkumist võib pidada harmooniline võnkumine, mille amplituud muutub harmoonilise seaduse järgi. Sellised võnkeprotsess helistas lööb. Rangelt võttes tulenev kõikumine sisse üldine juhtum ei ole harmooniline võnkumine.

Koosinuse absoluutväärtus on võetud, kuna amplituud on positiivne suurus. Sõltuvuse olemus x res. peksmise ajal on näidatud joonisel 2.2.

Joonis 2.2 – Nihke sõltuvus peksmise ajast.

Löökide amplituud muutub sagedusega aeglaselt. Koosinuse absoluutväärtust korratakse, kui selle argument muutub π võrra, mis tähendab, et saadud amplituudi väärtus kordub pärast ajavahemikku τ b, nn. löömise periood(Vt joonis 12). Löökperioodi väärtuse saab määrata järgmise seose abil:

Väärtus on peksmise periood.

Suurusjärk on tekkiva võnke periood (joonis 2.4).

2.2. Vastastikku risti asetsevate vibratsioonide liitmine

1. Mudel, millel saab demonstreerida vastastikku risti asetsevate võnkumiste liitmist, on toodud joonisel 2.3. Pendel (materiaalne punkt massiga m) võib kahe vastastikku risti suunatud elastsusjõu mõjul võnkuda piki OX ja OU telge.

Joonis 2.3

Volditud võnkumised on järgmisel kujul:

Võnkesagedused on määratletud kui , , kus , on vedru jäikuse koefitsiendid.

2. Mõelge kahe lisamise juhtumile vastastikku risti samade sagedustega võnkumised , mis vastab tingimusele (identsed vedrud). Siis on lisatud võnkumiste võrrandid järgmisel kujul:

Kui punkt osaleb samaaegselt kahes liikumises, võib selle trajektoor olla erinev ja üsna keeruline. Saadud võnkumiste trajektoori võrrandi OXY tasapinnal, kui liidetakse kaks võrdse sagedusega vastastikku risti, saab määrata, jättes x ja y algvõrranditest välja aja t:

Trajektoori tüübi määrab lisatud võnkumiste algfaaside erinevus, mis sõltub esialgsed tingimused(vt § 1.1.2). Vaatleme võimalikke valikuid.

ja kui , kus n = 0, 1, 2…, st. lisatud võnkumised on faasis, siis saab trajektoori võrrand järgmise kuju:

(Joonis 2.3 a).

Joonis 2.3.a	Joonis 2.3 b

b) Kui (n = 0, 1, 2...), st. lisatud võnkumised on antifaasis, siis kirjutatakse trajektoori võrrand järgmiselt:

(Joonis 2.3b).

Mõlemal juhul (a, b) on punkti liikumiseks võnkumine mööda sirget, mis läbib punkti O. Saadud võnkumise sagedus on võrdne lisandunud võnkumiste sagedusega ω 0, amplituud määratakse suhte järgi.

A) Keha osaleb kahes sama ringsagedusega harmoonilises võnkesw , kuid erineva amplituudi ja algfaasiga.

Kirjutatakse nende võnkumiste võrrand järgmisel viisil:

x 1 = a 1 cos(wt + j 1)

x 2 = a 2 cos(wt + j 2),

Kus x 1 Ja x 2- nihe; a 1 Ja a 2- amplituudid; w- mõlema vibratsiooni ringsagedus; j 1 Ja j 2- võnkumiste algfaasid.

Lisame need võnkumised vektorskeemi abil. Esitagem mõlemad võnkumised amplituudvektoritena. Selle eest alates suvaline punkt Oh, lamades teljel X, joonistame vastavalt kaks vektorit 1 ja 2 nurkade all j 1 Ja j 2 sellele teljele (joonis 2).

Nende vektorite projektsioonid teljele X on võrdne nihetega x 1 Ja x 2 avaldise (2) järgi. Kui mõlemat vektorit pööratakse vastupäeva nurkkiirus w nende otste projektsioonid teljele X hakkab teostama harmoonilisi võnkumisi. Kuna mõlemad vektorid pöörlevad sama nurkkiirusega w, siis nendevaheline nurk j = j 1 - j 2 jääb konstantseks. Lisades rööpkülikureegli järgi mõlemad vektorid 1 ja 2, saame tulemuseks vektori . Nagu on näha jooniselt 2, on selle vektori projektsioon teljele X võrdne vektorite liikmete projektsioonide summaga x=x 1 +x 2. Teisel pool: x=a·cos(wt+j o).

Järelikult vektor pöörleb sama nurkkiirusega nagu vektorid 1 ja 2 ning teostab harmoonilist võnkumist, mis toimub võnkumiste komponentidega samal sirgjoonel ja sagedusega, mis on võrdne algsete võnkumiste sagedusega. Siin j o - tekkiva võnkumise algfaas.

Nagu on näha jooniselt 2, saate tekkiva võnke amplituudi määramiseks kasutada koosinusteoreemi, mille kohaselt on meil:

a 2 = a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a = a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos(j 2 - j 1)(3)

Avaldisest (3) on selge, et tekkiva võnke amplituud sõltub algfaaside erinevusest ( j 2 - j 1) vibratsiooni komponendid. Kui algfaasid on võrdsed ( j 2 = j 1), siis valemist (3) on selge, et amplituud A võrdne summaga a 1 Ja a 2. Kui faaside erinevus ( j 2 - j 1) on võrdne ±180 o (st mõlemad võnked on antifaasis), siis on tekkiva võnke amplituud võrdne absoluutväärtus vibratsiooniterminite amplituudide erinevus : a = |a 1 - a 2 |.

b) Keha osaleb kahes sama amplituudiga võnkes, algfaasis, võrdne nulliga ja erinevad sagedused.

Nende võnkumiste võrrandid näevad välja järgmised:

x 1 = а·sinw 1 t,

x 2 = a·sinw 2 t.

Eeldatakse, et w 1 erineb suuruselt vähe w 2. Lisades need väljendid, saame:

x=x 1 +x 2 =2a cos[(w 1 - w 2)/2]t+sin[(w 1 + w 2)/2]t=

=2a cos[(w 1 - w 2)/2]t sin wt (4)

Saadud liikumine on keeruline võnkumine nn lööb(Joon. 3) Kuna väärtus w 1 - w 2 suurusega võrreldes väike w 1 + w 2, siis võib seda liikumist pidada harmooniliseks võnkumiseks, mille sagedus on võrdne poolega lisandunud võnkumiste sageduste summast w=(w 1 + w 2)/2, ja muutuv amplituud.

Punktist (4) järeldub, et tekkiva võnkumise amplituud varieerub vastavalt perioodiline seadus koosinus. Täistsükkel muutused koosinusfunktsiooni väärtustes toimuvad, kui argument muutub 360 0 võrra ja funktsioon läbib väärtusi vahemikus +1 kuni -1. Süsteemi olek lööb aegadel, mis vastavad määratud väärtused Koosinusfunktsioonid valemis (4) ei erine. Teisisõnu esinevad löögitsüklid perioodilisusega, mis vastab valemis (4) koosinusargumendi muutumisele 180 0 võrra. Seega periood T a amplituudi muutused löökide ajal (löögiperiood) määratakse tingimuse põhjal:

Ta = 2p/(w 1 - w 2).

Võttes arvesse, et w=2pn, saame:

Ta = 2 p / 2 p (n 1 - n 2) = 1/(n 1 - n 2). (5)

Saadud võnkumise amplituudi muutumise sagedus on võrdne lisatud võnkumiste sageduste erinevusega:

n = 1/TA = n 1 - n 2.

Lisand harmoonilised vibratsioonidüks suund.

Beats

Vaatleme ühe vabadusastmega võnkesüsteemi, mille oleku määrab teatud suuruse sõltuvus ajast. Olgu selles süsteemis võnkumiseks kahe sama sagedusega, kuid erineva amplituudi ja algfaasiga harmoonilise võnke summa, s.o.

Alates "nihkest" võnkesüsteem tasakaaluasendist toimub piki ühte "suunda", siis sel juhul räägitakse ühesuunaliste harmooniliste võnkumiste liitmisest. Vektordiagrammil on lisatud võnkumised kujutatud kahe vektori kujul ja üksteise suhtes nurga võrra pööratuna (joonis 6.1). Kuna lisatud võnkumiste sagedused on samad, jääb nende suhteline asukoht igal ajal muutumatuks ja tekkivat võnkumist esitatakse vektorina, võrdne summaga vektorid ja . Lisades vektorid rööpkülikureegli järgi ja kasutades koosinusteoreemi, saame

. (6.3)

Seega kahe samasuunalise ja sama sagedusega harmoonilise võnku liitmisel saadakse sama sagedusega harmooniline võnkumine, mille amplituud ja algfaas määratakse avaldiste abil(6.2), (6.3).

Nimetatakse kahte harmoonilist võnkumist, mis esinevad samal sagedusel ja millel on konstantne faaside erinevus sidus. Järelikult koherentsete võnkumiste liitmisel saadakse sama sagedusega harmooniline võnkumine, mille amplituud ja algfaas on määratud lisandunud võnkumiste amplituudide ja algfaasidega.

Kui lisatud võnkumised on erineva sagedusega ja kuid sama amplituudiga , siis kasutades trigonomeetriast tuntud avaldist kahe nurga koosinuste summa kohta, saame

Saadud avaldisest on selge, et tulenev võnkumine ei ole harmooniline.

Olgu lisatud võnkumiste sagedused üksteise lähedal nii, et ja . Seda juhtumit nimetatakse kahe sageduse löök.

Olles määranud , Ja , saame kirjutada

. (6.5)

Avaldisest (6.5) järeldub, et tekkivat võnkumist saab kujutada teatud keskmise sagedusega harmoonilise võnkena, mille amplituud muutub ajas aeglaselt (koos sagedusega). Aeg helistas löömise periood, A – löögisagedus. Löögigraafik on näidatud joonisel 6.2. Löömine toimub siis, kui kahe sama tonaalsusega häälehargi üheaegne kõlamine. Neid saab jälgida ostsilloskoobi abil, liites kahe samale sagedusele häälestatud generaatori harmoonilised võnked. Mõlemal juhul on vibratsiooniallikate sagedused veidi erinevad, mille tulemuseks on lööki.

Kuna võnkumised tekivad koos erinevad sagedused, siis lisandunud võnkumiste faaside erinevus ajas muutub, seetõttu ei ole võnked koherentsed. Tekkivate võnkumiste amplituudi ajaline muutumine on lisatud võnkumiste ebajärjekindluse iseloomulik tagajärg.

Väga sageli täheldatakse võnkumiste lisandumist elektriahelad ja eriti raadiosideseadmetes. Mõnel juhul tehakse seda sihipäraselt, et saada määratud parameetritega signaal. Näiteks heterodüünvastuvõtjas liidetakse (segatakse) vastuvõetud signaal kohaliku ostsillaatori signaaliga, et saada järgneva töötlemise tulemusena vahesageduslik võnkumine. Muudel juhtudel tekib võnkumiste lisandumine spontaanselt, kui lisaks kasulikule signaalile saabub seadme sisendisse ka mingisugune häire. Tegelikult on kogu elektrisignaali kujundite mitmekesisus kahe või kahe lisamise tulemus rohkem harmoonilised vibratsioonid.

Vibratsiooni lisamine

Kahe sama amplituudi ja sagedusega harmoonilise võnke liitmine

Vaatame näidet helilained, kui kaks allikat loovad sama amplituudi ja sagedusega laineid?. Paigaldame tundliku membraani allikatest kaugele. Kui laine "rändab" kaugust allikast membraanini, jõuab membraan kohale võnkuv liikumine. Iga laine mõju membraanile saab kirjeldada järgmiste seostega, kasutades võnkefunktsioone:

x1(t) = A cos(?t + ?1),

x2(t) = A cos(?t + ?2).

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1,27)

Sulgudes olevat avaldist saab kirjutada erinevalt kasutades trigonomeetriline funktsioon koosinuste summad:

Funktsiooni (1.28) lihtsustamiseks võtame kasutusele uued suurused A0 ja?0, mis vastavad tingimusele:

A0 = ?0 = (1,29)

Asendades avaldised (1.29) funktsiooniga (1.28), saame

Seega, samade sagedustega harmooniliste vibratsioonide summa? kas on sama sagedusega harmooniline võnkumine?. Sel juhul on koguvõnke A0 amplituud ja algfaas?0 määratud seostega (1.29).

Kahe sama sagedusega, kuid erineva amplituudi ja algfaasiga harmoonilise võnke liitmine

Vaatleme nüüd sama olukorda, muutes funktsioonis (1.26) võnkeamplituudid. Funktsiooni x1 (t) puhul asendame amplituudi A-ga A1 ja funktsiooni x2 (t) A-ga A2. Seejärel kirjutatakse funktsioonid (1.26) järgmisel kujul

x1 (t) = A1 cos (a t + a 1), x2 (t) = A2 cos (a t + a 2); (1,31)

Leiame harmooniliste funktsioonide summa (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1,32)

Avaldist (1.32) saab kirjutada erinevalt, kasutades trigonomeetrilise summa koosinusfunktsiooni:

x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) - (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1,33)

Funktsiooni (1.33) lihtsustamiseks võtame kasutusele uued suurused A0 ja?0, mis vastavad tingimusele:

Paneme iga süsteemi (1.34) võrrandi ruudu ruutu ja liidame saadud võrrandid. Siis saame arvule A0 järgmise seose:

Vaatleme avaldist (1.35). Tõestame, et juure all olev kogus ei saa olla negatiivne. Kuna cos(?1 - ?2) ? -1, mis tähendab, et see on ainus suurus, mis võib mõjutada juure all oleva arvu märki (A12 > 0, A22 > 0 ja 2A1A2 > 0 (amplituudi definitsioonist)). Vaatleme kriitilist juhtumit (koosinus võrdub miinus ühega). Juure all on erinevuse ruudu valem, mis on alati positiivne suurus. Kui hakkame koosinust järk-järgult suurendama, siis hakkab suurenema ka koosinust sisaldav termin, siis juure all olev väärtus oma märki ei muuda.

Nüüd arvutame suuruse?0 seose, jagades süsteemi (1.34) teise võrrandi esimesega ja arvutades arktangensi:

Nüüd asendame väärtused süsteemist (1.34) funktsiooniga (1.33)

x = A0(cos(?0) cos?t - sin(?0) sin?t) (1,37)

Teisendades sulgudes oleva avaldise koosinussumma valemiga, saame:

x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1,38)

Ja jälle selgus, et vormi (1.31) kahe harmoonilise funktsiooni summa on samuti harmooniline funktsioon sama tüüpi. Täpsemalt kahe sama sagedusega harmoonilise vibratsiooni liitmine? on ka sama sagedusega harmooniline võnkumine?. Sel juhul määratakse tekkiva võnke amplituud suhtega (1,35) ja algfaas - suhtega (1,36).