Definitioner og egenskaber af infinitesimale og uendeligt store funktioner i et punkt. Beviser for egenskaber og teoremer. Forholdet mellem uendeligt store og uendeligt store funktioner.
Definitioner af infinitesimal og infinitesimal funktioner
Lad x 0 er et endeligt eller uendeligt punkt: ∞, -∞ eller +∞.
Definition af en infinitesimal funktion
Funktion α (x) hedder uendelig lille som x har en tendens til x 0
0
, og det er lig nul:
.
Definition af en uendelig stor funktion
Funktion f (x) hedder uendelig stor som x har en tendens til x 0
, hvis funktionen har en grænse som x → x 0
, og det er lig med uendelig:
.
Egenskaber for infinitesimale funktioner
Egenskab for summen, forskellen og produktet af infinitesimale funktioner
Sum, forskel og produkt endeligt antal infinitesimale funktioner som x → x 0 er en infinitesimal funktion som x → x 0 .
Denne egenskab er en direkte konsekvens af de aritmetiske egenskaber for en funktions grænser.
Produktsætning begrænset funktion til uendeligt lille
Produkt af en funktion afgrænset på et eller andet punkteret kvarter til punkt x 0 , til infinitesimal, som x → x 0 , er en infinitesimal funktion som x → x 0 .
Egenskaben til at repræsentere en funktion som summen af en konstant og en infinitesimal funktion
For at funktionen f (x) havde endelig grænse, det er nødvendigt og tilstrækkeligt til
,
hvor - uendeligt lille funktion som x → x 0
.
Egenskaber for uendeligt store funktioner
Sætning om summen af en afgrænset funktion og en uendelig stor
Summen eller forskellen af en afgrænset funktion i et eller andet punkteret område af punktet x 0
, og en uendelig stor funktion, som x → x 0
, er uendelig stor funktion som x → x 0
.
Sætning om division af en begrænset funktion med en uendelig stor
Hvis funktion f (x) er uendeligt stor som x → x 0
, og funktionen g (x)- er afgrænset til et eller andet punkteret kvarter til punkt x 0
, At
.
Sætning om divisionen af en funktion, der er afgrænset nedenfor af en infinitesimal
Hvis en funktion, på nogle punkteret kvarter af punktet, ved absolut værdi afgrænset nedenfor positivt tal:
,
og funktionen er infinitesimal som x → x 0
:
,
og der er et punkteret naboskab af det punkt, hvorpå
.
Egenskab for uligheder af uendeligt store funktioner
Hvis funktionen er uendelig stor ved:
,
og funktionerne og , på nogle punkteret naboskab af punktet opfylder uligheden:
,
så er funktionen også uendelig stor ved:
.
Denne ejendom har to særlige tilfælde.
Lad, på nogle punkteret naboskab af punktet, funktionerne og tilfredsstille uligheden:
.
Så hvis , så og .
Hvis , så og .
Forholdet mellem uendeligt store og uendeligt små funktioner
Af de to foregående egenskaber følger sammenhængen mellem uendeligt store og uendeligt små funktioner.
Hvis en funktion er uendelig stor ved , så er funktionen uendelig lille ved .
Hvis en funktion er uendelig stor for , og , så er funktionen uendelig stor for .
Forholdet mellem en infinitesimal og en uendelig stor funktion kan udtrykkes symbolsk:
,
.
Hvis en infinitesimal funktion har et bestemt fortegn ved , det vil sige, at den er positiv (eller negativ) på et punkteret område af punktet, så kan vi skrive det sådan her:
.
På samme måde, hvis en uendelig stor funktion har et bestemt fortegn ved , så skriver de:
, eller .
Så kan den symbolske sammenhæng mellem uendeligt små og uendeligt store funktioner suppleres med følgende relationer:
,
,
,
.
Yderligere formler, linkende uendelighedssymboler kan findes på siden
"Peger på uendelighed og deres egenskaber."
Bevis for egenskaber og sætninger
Bevis for sætningen om produktet af en afgrænset funktion og en infinitesimal
Lad funktionen være uendelig stor for:
.
Og lad der være et punkteret naboskab af det punkt, hvorpå
kl.
Lad os tage en vilkårlig sekvens, der konvergerer til . Startende fra et eller andet nummer N, vil elementerne i sekvensen tilhøre dette kvarter:
kl.
Derefter
kl.
Ifølge definitionen af grænsen for en funktion ifølge Heine,
.
Så ved egenskaben af uligheder i uendeligt store sekvenser,
.
Da sekvensen er vilkårlig, konvergerer den til , så ved definitionen af grænsen for en funktion ifølge Heine,
.
Ejendommen er bevist.
Referencer:
L.D. Kudryavtsev. Godt matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 2003.
NUMERISKE SEKVENSER VI
§ l48. Summen er uendeligt faldende geometrisk progression
Indtil nu, når vi taler om summer, har vi altid antaget, at antallet af led i disse summer er endeligt (f.eks. 2, 15, 1000 osv.). Men når man løser nogle problemer (især højere matematik) skal man forholde sig til beløb uendeligt antal betingelser
S= -en 1 + -en 2 + ... + -en n + ... . (1)
Hvad er disse beløb? A-priory summen af et uendeligt antal led -en 1 , -en 2 , ..., -en n , ... kaldes grænsen for summen S n først P tal hvornår P -> ∞ :
S=S n = (-en 1 + -en 2 + ... + -en n ). (2)
Begrænsning (2) kan selvfølgelig eksistere eller måske ikke eksistere. Derfor siger de, at summen (1) eksisterer eller ikke eksisterer.
Hvordan kan vi finde ud af, om summen (1) findes i hver konkret sag? Fælles beslutning Dette problem går langt ud over vores programs rammer. Der er dog én vigtig særlig situation, som vi nu skal overveje. Vi vil tale om at summere vilkårene for en uendeligt faldende geometrisk progression.
Lade -en 1 , -en 1 q , -en 1 q 2, ... er en uendeligt aftagende geometrisk progression. Det betyder, at | q |< 1. Сумма первых P vilkår for denne progression er lige
Fra hovedsætningerne om grænser variabler(se § 136) får vi:
Men 1 = 1, a qn = 0. Derfor
Så summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression er lig med det første led i denne progression divideret med én minus nævneren for denne progression.
1) Summen af den geometriske progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... er lig med
og summen af den geometriske progression er 12; -6; 3; - 3/2, ... lige
2) Enkelt periodisk fraktion 0,454545 ... konverter til alm.
For at løse dette problem, lad os forestille os givet brøk som en uendelig sum:
Højre side af denne lighed er summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis første led er lig med 45/100, og nævneren er 1/100. Derfor
Ved hjælp af den beskrevne metode kan den også opnås almindelig regel omregning af simple periodiske brøker til almindelige (se kapitel II, § 38):
For at konvertere en simpel periodisk brøk til en almindelig brøk, skal du gøre på følgende måde: sæt punktum i tælleren decimal, og nævneren er et tal bestående af ni taget lige så mange gange, som der er cifre i perioden for decimalbrøken.
3) Omregn den blandede periodiske brøk 0,58333 .... til en almindelig brøk.
Lad os forestille os denne brøk som en uendelig sum:
På højre side af denne lighed danner alle led, startende fra 3/1000, en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis første led er lig med 3/1000, og nævneren er 1/10. Derfor
Ved hjælp af den beskrevne metode kan der opnås en generel regel for omregning af blandede periodiske fraktioner til almindelige fraktioner (se kapitel II, § 38). Vi præsenterer det bevidst ikke her. Der er ingen grund til at huske denne besværlige regel. Det er meget mere nyttigt at vide, at enhver blandet periodisk fraktion kan repræsenteres som summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression og et vist tal. Og formlen
for summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression skal du selvfølgelig huske.
Som øvelse foreslår vi, at du, udover opgave nr. 995-1000, der er anført nedenfor, endnu en gang vender dig til opgave nr. 301 § 38.
Øvelser
995. Hvad kaldes summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression?
996. Find summen af uendeligt faldende geometriske progressioner:
997. Til hvilke værdier x progression
er det uendeligt faldende? Find summen af en sådan progression.
998.V ligesidet trekant med siden EN indskrevet ved at forbinde midtpunkterne på dens sider ny trekant; en ny trekant er indskrevet i denne trekant på samme måde, og så videre ad infinitum.
a) summen af omkredsen af alle disse trekanter;
b) summen af deres arealer.
999. Firkantet med side EN indskrevet ved at forbinde midtpunkterne på dens sider ny plads; en firkant er indskrevet i denne firkant på samme måde, og så videre ad infinitum. Find summen af omkredsen af alle disse kvadrater og summen af deres arealer.
1000. Komponer en uendeligt aftagende geometrisk progression, så dens sum er lig med 25/4, og summen af kvadraterne af dens led er lig med 625/24.
For at udregn summen af en serie, skal du blot tilføje elementerne i rækken et givet antal gange. For eksempel:
I eksemplet ovenfor blev dette gjort meget enkelt, da det skulle summeres et endeligt antal gange. Men hvad hvis den øvre grænse for summering er uendelig? For eksempel, hvis vi skal finde summen af følgende række:
I analogi med det foregående eksempel kan vi skrive dette beløb således:
Men hvad skal man så gøre?! På dette stadium er det nødvendigt at introducere konceptet delsummen af serien. Så, delsummen af serien(betegnet S n) er summen af de første n led i rækken. De der. i vores tilfælde:
Så kan summen af den oprindelige serie beregnes som grænsen for delsummen:
Således for beregne summen af en serie, er det nødvendigt på en eller anden måde at finde et udtryk for delsummen af rækken (S n ). I vores særlige tilfælde er serien en aftagende geometrisk progression med en nævner på 1/3. Som du ved, beregnes summen af de første n elementer i en geometrisk progression ved formlen:
her er b 1 det første element i den geometriske progression (i vores tilfælde er det 1) og q er nævneren for progressionen (i vores tilfælde 1/3). Derfor er delsummen S n for vores serie lig med:
Så er summen af vores serie (S) ifølge definitionen givet ovenfor lig med:
Eksemplerne diskuteret ovenfor er ret enkle. Normalt er det meget vanskeligere at beregne summen af en serie, og den største vanskelighed ligger i at finde delsummen af serien. Fremhævet nedenfor online lommeregner, baseret på Wolfram Alpha-systemet, giver dig mulighed for at beregne summen af ret komplekse serier. Desuden, hvis lommeregneren ikke kunne finde summen af serien, er det sandsynligt, at denne serie er divergerende (i dette tilfælde viser lommeregneren en meddelelse som "sum divergerer"), dvs. Denne lommeregner hjælper også indirekte med at få en idé om konvergensen af serier.
For at finde summen af din serie skal du angive serievariablen, den lavere og øvre grænser summering, samt udtrykket for rækkens n. led (dvs. det faktiske udtryk for selve rækken).
Summen af det hele naturlige tal kan skrives ved hjælp af følgende nummerserie
Dette, ved første øjekast, fuldstændig kontraintuitive resultat, kan ikke desto mindre strengt bevises. Men før vi taler om beviset, skal vi tage et skridt tilbage og huske de grundlæggende begreber.
Lad os starte med, at den "klassiske" sum af en serie er grænsen delbeløb serie, hvis den findes og er endelig. Detaljer kan findes i Wikipedia og relateret litteratur. Hvis en endelig grænse ikke eksisterer, så siges rækken at være divergerende.
For eksempel skrives partialsummen af de første k led i talrækken 1 + 2 + 3 + 4 +... som følger
Det er let at forstå, at denne sum vokser uden grænser, da k har en tendens til uendelig. Den originale serie er derfor divergerende og har strengt taget ingen sum. Der er dog mange måder at tildele en endelig værdi til divergerende serier.
Række 1+2+3+4+... er langt fra den eneste divergerende række. Tag for eksempel Grundy-serien
Hvilket også divergerer, men det er kendt, at Cesaros summeringsmetode giver os mulighed for at tildele denne serie en endelig værdi på 1/2. Summation ifølge Cesaro består i at operere ikke med partielle summer af en serie, men med deres aritmetiske gennemsnit. Hvis vi tillader os selv at tænke frit, kan vi sige, at delsummen af Grundy-serien svinger mellem 0 og 1, afhængig af hvilket medlem af rækken, der er sidst i summen (+1 eller -1), deraf værdien af 1/2, som et aritmetisk gennemsnit af to mulige værdier delbeløb.
Et andet interessant eksempel på en divergerende serie er den vekslende serie 1 - 2 + 3 - 4 +..., hvis delsummer også svinger. Summation ved Abels metode giver os mulighed for at tildele en slutværdi på 1/4 til en given serie. Bemærk, at Abels metode på en måde er en udvikling af Cesaros summeringsmetode, så resultatet 1/4 er ikke svært at forstå ud fra et intuitionssynspunkt.
Det er vigtigt at bemærke her, at summeringsmetoder ikke er tricks, som matematikere fandt på for på en eller anden måde at håndtere divergerende serier. Hvis du anvender Cesaro summation eller Abels metode på en konvergent serie, er svaret disse metoder giver klassisk beløb konvergent serie.
Hverken Cesaros summering eller Abels metode giver dog mulighed for at arbejde med rækken 1 + 2 + 3 + 4 +..., da de aritmetiske middelværdier af delsummer, såvel som de aritmetiske middelværdier af aritmetiske middelværdier, divergerer. Derudover, hvis værdierne 1/2 eller 1/4 på en eller anden måde kan accepteres og korreleres med den tilsvarende serie, så er -1/12 vanskelig at forbinde med serien 1 + 2 + 3 + 4 +..., som er en uendelig række af positive heltal.
Der er flere måder at nå frem til resultatet -1/12. I denne note vil jeg kun kort dvæle ved én af dem, nemlig regularisering ved hjælp af zeta-funktionen. Lad os introducere zeta-funktionen
Erstatning s = -1, får vi originalen nummerrække 1+2+3+4+…. Lad os udføre en række simple matematiske operationer på denne funktion
Hvor er Dirichlet eta-funktionen
Når værdi s = -1 denne funktion bliver den allerede velkendte serie 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... hvis "sum" er lig med 1/4. Nu kan vi nemt løse ligningen
Interessant nok finder dette resultat anvendelse i fysik. For eksempel i strengteori. Lad os gå til side 22 i Joseph Polchinskis bog "String Theory":
Hvis strengteori for nogle mennesker ikke er et overbevisende eksempel på grund af manglende evidens for mange konsekvenser af denne teori, så kan vi også nævne, at lignende metoder optræder i kvanteteori felter, når du forsøger at beregne Casimir-effekten.
For at undgå at gå to gange, er her et par flere interessante eksempler med zeta-funktionen
For dem, der ønsker at få mere information om emnet, vil jeg bemærke, at jeg besluttede at skrive denne note efter at have oversat den tilsvarende artikel på Wikipedia, hvor du i afsnittet "Links" kan finde en masse yderligere materiale, mest på engelsk.
David Berman, Marianne Freiberger
For nylig var der en del diskussion mærkeligt resultat. Det står, at når man lægger alle de naturlige tal sammen
så vil summen være lig med . Denne idé demonstreret i video Nummerfil, som siger, at resultatet er bevist og også siger, at det er meget brugt i fysik. Denne idé overraskede folk så meget, at den endda endte i New York Times. Så hvad betyder det hele?
Matematik
Først og fremmest, uendelig mængde af alle naturlige tal er ikke ens. Det kan du nemt verificere ved at beregne delbeløbene på lommeregneren
og så videre. bliver større og større med vækst, det vil sige med en stigning i antallet af tilføjede naturlige tal. Faktisk, hvis du vælger stort nok, kan du gøre det så stort, som du vil. Hvis du f.eks. modtager
Og når du modtager
Derfor siger matematikere, at denne serie divergerer. Eller, for at sige det mere løst, at summen er lig med uendelig.
Srinivasa Ramanujan
Så hvor kommer det fra? Faktisk dukkede det forkerte resultat op i den berømte indiske matematiker Srinivasa Ramanujans arbejde i 1913. Men Ramanujan vidste, hvad han lavede, og han havde en grund til at skrive det. Han studerede den såkaldte Euler zeta-funktion. For at forstå, hvad dette er, lad os først overveje en uendelig sum
Du vil bemærke, at denne sum opnås, når du lægger tallene sammen, omvendte firkanter naturlige tal:
Nu adskiller dette beløb sig ikke. Hvis vi betragter rækkefølgen af delsummer, som vi gjorde ovenfor,
så vil de opnåede resultater være så tæt på antallet som ønsket, men vil aldrig overstige det. Matematikere siger, at en række konvergerer til , eller mere løst, at summen af serien er lig med .
Lad os nu se, hvad der sker, hvis vi i stedet for at kvadrere de naturlige tal i nævneren hæver dem til en anden potens? Det viser sig, at det tilsvarende beløb
konvergerer til en endelig værdi, hvis graden er et tal større end . For hver titel="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} fremragende matematiker 1600-tallet af Leonhard Euler.
Så langt så godt. Men hvad sker der, hvis vi betragter tal, der er mindre end ? Hvad sker der for eksempel, hvis du tager ? Lad os tage et kig.
Så vi fik vores oprindelige sum, som vi ved er divergerende. Det samme gælder for alle andre værdier mindre end eller lig med: summen divergerer.
Kommentar. Fortsættelse af Eulers zeta-funktion. Den betragtede Euler zeta-funktion er defineret for reelle tal større end . De reelle tal er en del af en større familie af tal kaldet komplekse tal. Og mens de reelle tal svarer til alle punkter på tallinjen, svarer komplekse tal til alle punkter på det plan, der indeholder den reelle tallinje. Dette plan kaldes det komplekse plan. Ligesom funktioner, hvis argumenter er reelle tal, defineres, kan funktioner, hvis argumenter er komplekse tal, defineres.
En forbløffende faktum Sagen med funktioner af komplekse variable er, at hvis du kender værdien af en funktion på et eller andet datasæt, så (op til et par tekniske detaljer) kan du kende værdien af funktionen på ethvert punkt i det komplekse plan. Denne metode til at udvide domænet af en funktion er kendt som analytisk fortsættelse. Eulers zeta-funktion er defineret for reelle tal større end . Da reelle tal er komplekse tal, kan vi tænke på denne funktion som kompleks funktion, og brug derefter analytisk fortsættelse til at få ny funktion, defineret på hele planen, men i overensstemmelse med Euler zeta-funktionen for reelle tal større end . Dette er Riemann zeta-funktionen.
Der er en ting mere, der kan gøres. Brug af kraftfuld matematik ( omfattende analyse se bemærkning), kan vi udvide definitionsdomænet for Euler zeta-funktionen, så for tal mindre end eller lig denne funktion tager endelige værdier. Med andre ord er der en måde at definere en ny funktion på, lad os kalde det , så for title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}
Og for funktionen ville tage visse endelige værdier. Denne metode kaldes analytisk fortsættelse, og den nye funktion, den producerer, kaldes Riemann zeta-funktionen, opkaldt efter matematikeren Bernhard Riemann fra det 18. århundrede. (At skabe denne nye funktion, der tager endelige værdier for, består i at trække en anden divergerende række fra en divergerende række, så uendeligheden, der kommer fra den første divergerende sum minus uendeligheden, der kommer fra den anden divergerende sum, er lig med noget endeligt.)
Bøde. Nu har vi en funktion, der for title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}
Og hvis du laver den fejl at antage, at for , så får du den (forkerte) lighed
Dette forklarer, hvorfor Ramanujan skrev dette mystiske udtryk ned.
Udspekuleret
Så hvordan "beviste" personerne i videoen, at summen af alle naturlige tal er lig med ? Det gjorde de faktisk ikke. At se denne video er som at se en tryllekunstner og prøve at afgøre, hvornår kaninen bliver sænket ned i hatten. Det første trin i "beviset" forsøger at overbevise dig om en ret dum ting, nemlig at en uendelig mængde
Videoen dvæler ikke længe ved dette og lader til at antyde, at det er indlysende. Men lad os se nærmere på dette for at se, om det overhovedet giver mening. Lad summen være lig med et endeligt tal, lad os kalde det . Hvis vi lægger til os selv, får vi en uendelig sum
Men dette er kun det oprindelige beløb, hvorfra
Da det ikke er sandt. Udsagnet om, at en uendelig sum kan betragtes som lig med, er således ikke korrekt. Faktisk kan du få forskellige resultater ved at bruge uendelige mængder, der divergerer. Dette er et trick!
Fysik
Men hvordan endte dette mærkelige forkerte resultat i en fysiklærebog som vist i videoen? Det er her, tingene virkelig bliver interessante. Antag, at du tager to ledende metalplader og arrangerer dem i et vakuum, så de er parallelle med hinanden. Ifølge klassisk fysik skulle der ikke være nogen kraft, der virker mellem disse to plader.
Casimir effekt
Men klassisk fysik tager ikke højde for de mærkelige effekter, man ser, når man ser på verden i meget små skalaer. For at tage højde for dem har vi brug for kvantefysik, som påstår mange meget mærkelige ting. En af dem er, at vakuumet ikke er tomt, det er fuld af aktivitet. Hele tiden den såkaldte virtuelle partikler. Denne aktivitet giver den såkaldte nul energi: Den laveste energi, noget kan have, er aldrig nul. Når du forsøger at beregne den samlede energitæthed mellem to plader ved hjælp af matematik eller kvantefysik, får du en uendelig sum
Denne uendelige sum er også, hvad du får, når du tilslutter værdien til Eulers zeta-funktion:
Det er ærgerligt pga dette beløb divergerer (det gør det endnu hurtigere end ), hvilket vil betyde en uendelig energitæthed. Dette er åbenbart nonsens. Men hvad hvis du frækt antager, at den uendelige sum er lig med Riemann zeta-funktionen, snarere end Euler-zeta-funktionen, ved ? Nå, så får du en endelig energitæthed. Det betyder, at der skal være en tiltrækningskraft mellem metalpladerne, hvilket også virker latterligt, da klassisk fysik antyder, at der ikke skal være kræfter.
Men her er en overraskelse. Da fysikere lavede eksperimentet, opdagede de, at kraft faktisk eksisterer, og det svarer til en energitæthed, der nøjagtigt svarer til !
Dette fantastiske fysisk resultat kendt som Casimir-effekten, opkaldt efter den hollandske fysiker Hendrik Casimir.
Brug et øjeblik på at værdsætte dette. Kvantefysikken siger, at energitætheden skal være lig med
Dette er nonsens, men eksperimenter viser, at hvis du (fejlagtigt) anser denne sum for at være lig med værdien af zeta-funktionen ved , får du det rigtige svar. Så det ser ud til, at naturen følger Ramanujans ideer. Hun udvidede Eulers zeta-funktion til at omfatte værdier, der er mindre end , ved at trække uendelighed fra for at nå frem til en endelig værdi. Dette er forbløffende!
Grunden til, at vi ser både i Numberphile-videoen og i fysik-lærebogen og ikke og er, at når du forestiller dig Casimir-effekten, der sker i én dimension (langs en linje, ikke i 3D), er den energitæthed, du betragter, lig med, ikke .
Så hvorfor promoverer folkene hos Numberphile dette mærkelige "resultat"? De kender selvfølgelig til den analytiske fortsættelse, hvilket gør funktionen ret specifik, men det er for tekniske ting til deres videoer. At vide analytisk metode en efterfølger, der gør det endelige resultat rimeligt, mens de gemte det i baglommen, rykkede de smart fremad. Derved fik de over en million visninger, og verden begyndte at tale om zeta-funktionen og matematik. Det kan de ønskes tillykke med. Zeta-funktionens matematik er fantastisk, og det, vi har beskrevet her, er kun begyndelsen. lang liste fantastiske matematiske egenskaber. Når vi populariserer matematik og fysik, skal vi altid træffe valg om, hvad vi ikke fortæller, og hvad vi forklarer. Hvor vi trækker den grænse er op til os.