Lektionsplan.
1. Organisatorisk øjeblik.
2. Præsentation af materialet.
3. Hjemmearbejde.
4. Opsummering af lektionen.
Under timerne
I. Organisatorisk øjeblik.
II. Præsentation af materialet.
Motivering.
Udvidelsen af sættet af reelle tal består i at tilføje nye tal (imaginære) til de reelle tal. Indførelsen af disse tal skyldes, at det er umuligt at udtrække roden af et negativt tal i mængden af reelle tal.
Introduktion til begrebet et komplekst tal.
Imaginære tal, som vi supplerer reelle tal med, er skrevet i formen bi, Hvor jeg er en imaginær enhed, og i 2 = - 1.
Ud fra dette får vi følgende definition af et komplekst tal.
Definition. Et komplekst tal er et udtryk for formen a+bi, Hvor -en Og b- reelle tal. I dette tilfælde er følgende betingelser opfyldt:
a) To komplekse tal a 1 + b 1 i Og a 2 + b 2 i lige hvis og kun hvis a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) Tilføjelsen af komplekse tal bestemmes af reglen:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Multiplikation af komplekse tal bestemmes af reglen:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Algebraisk form af et komplekst tal.
Skrive et komplekst tal i formen a+bi kaldes den algebraiske form af et komplekst tal, hvor EN- ægte del, bi er den imaginære del, og b– reelt tal.
Kompleks tal a+bi betragtes som lig med nul, hvis dens reelle og imaginære dele er lig med nul: a = b = 0
Kompleks tal a+bi på b = 0 anses for at være det samme som et reelt tal -en: a + 0i = a.
Kompleks tal a+bi på a = 0 kaldes rent imaginært og betegnes bi: 0 + bi = bi.
To komplekse tal z = a + bi Og = a – bi, der kun adskiller sig i tegnet af den imaginære del, kaldes konjugat.
Operationer på komplekse tal i algebraisk form.
Du kan udføre følgende operationer på komplekse tal i algebraisk form.
1) Tilføjelse.
Definition. Summen af komplekse tal z 1 = a 1 + b 1 i Og z2 = a2 + b2i kaldes et komplekst tal z, hvis reelle del er lig med summen af de reelle dele z 1 Og z 2, og den imaginære del er summen af de imaginære dele af tal z 1 Og z 2, det er z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
Tal z 1 Og z 2 kaldes termer.
Tilføjelse af komplekse tal har følgende egenskaber:
1º. Kommutativitet: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Associativitet: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Kompleks tal –a –bi kaldes det modsatte af et komplekst tal z = a + bi. Kompleks tal, modsat af komplekst tal z, betegnet -z. Summen af komplekse tal z Og -z lig med nul: z + (-z) = 0
Eksempel 1: Udfør tilføjelse (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Subtraktion.
Definition. Træk fra et komplekst tal z 1 komplekst tal z 2 z, Hvad z + z 2 = z 1.
Sætning. Forskellen mellem komplekse tal eksisterer og er unik.
Eksempel 2: Udfør en subtraktion (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Multiplikation.
Definition. Produkt af komplekse tal z1 =a1 +bi Og z2 =a2 +b2i kaldes et komplekst tal z, defineret af ligheden: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Tal z 1 Og z 2 kaldes faktorer.
Multiplikation af komplekse tal har følgende egenskaber:
1º. Kommutativitet: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Associativitet: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Fordeling af multiplikation i forhold til addition:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- reelt tal.
I praksis udføres multiplikation af komplekse tal efter reglen om at gange en sum med en sum og adskille de reelle og imaginære dele.
I det følgende eksempel vil vi overveje at gange komplekse tal på to måder: ved regel og ved at gange sum med sum.
Eksempel 3: Gør multiplikationen (2 + 3i) (5 – 7i).
1 vej. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
Metode 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Division.
Definition. Divider et komplekst tal z 1 til et komplekst tal z 2, betyder at finde et sådant komplekst tal z, Hvad z · z 2 = z 1.
Sætning. Kvotienten af komplekse tal findes og er unik hvis z 2 ≠ 0 + 0i.
I praksis findes kvotienten af komplekse tal ved at gange tæller og nævner med konjugatet af nævneren.
Lade z 1 = a 1 + b 1 i, z2 = a2 + b2i, Derefter
.
I det følgende eksempel udfører vi division ved hjælp af formlen og multiplikationsreglen med tallet konjugeret med nævneren.
Eksempel 4. Find kvotienten 
.
5) At hæve til en positiv helhedskraft.
a) Potenser af den imaginære enhed.
At udnytte ligestillingen i2 = -1, er det let at definere enhver positiv heltalstyrke for den imaginære enhed. Vi har:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.
Dette viser, at gradværdierne i n, Hvor n– et positivt heltal, der gentages med jævne mellemrum, efterhånden som indikatoren stiger med 4 .
Derfor for at hæve antallet jeg til en positiv helmagt skal vi dividere eksponenten med 4 og bygge jeg til en potens, hvis eksponent er lig med resten af divisionen.
Eksempel 5: Beregn: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) At hæve et komplekst tal til en positiv heltalspotens udføres efter reglen for at hæve et binomium til den tilsvarende potens, da det er et specialtilfælde af multiplikation af identiske komplekse faktorer.
Eksempel 6: Beregn: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Komplekse tal er en udvidelse af sættet af reelle tal, normalt betegnet med . Ethvert komplekst tal kan repræsenteres som en formel sum , hvor og er reelle tal og er den imaginære enhed.
At skrive et komplekst tal på formen , , kaldes den algebraiske form af et komplekst tal.
Egenskaber for komplekse tal. Geometrisk fortolkning af et komplekst tal.
Handlinger på komplekse tal givet i algebraisk form:
Lad os overveje reglerne for, hvilke aritmetiske operationer udføres på komplekse tal.
Hvis der er givet to komplekse tal α = a + bi og β = c + di, så
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (elleve)
Dette følger af definitionen af operationerne til addition og subtraktion af to ordnede par reelle tal (se formlerne (1) og (3)). Vi har modtaget reglerne for at addere og subtrahere komplekse tal: For at tilføje to komplekse tal skal vi separat addere deres reelle dele og dermed deres imaginære dele; For at trække et andet fra et komplekst tal, er det nødvendigt at trække deres reelle og imaginære dele fra henholdsvis.
Tallet – α = – a – bi kaldes det modsatte af tallet α = a + bi. Summen af disse to tal er nul: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
For at få reglen for multiplikation af komplekse tal bruger vi formel (6), det vil sige, at i2 = -1. Tager vi denne relation i betragtning, finder vi (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, dvs.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. (12)
Denne formel svarer til formel (2), som bestemte multiplikationen af ordnede par af reelle tal.
Bemærk, at summen og produktet af to komplekse konjugerede tal er reelle tal. Faktisk, hvis α = a + bi, = a – bi, så er α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, dvs.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
Når man dividerer to komplekse tal på algebraisk form, skal man forvente, at kvotienten også er udtrykt ved et tal af samme type, det vil sige α/β = u + vi, hvor u, v R. Lad os udlede reglen for at dividere komplekse tal . Lad tallene α = a + bi, β = c + di være givet, og β ≠ 0, dvs. c2 + d2 ≠ 0. Den sidste ulighed betyder, at c og d ikke forsvinder samtidigt (tilfældet er udelukket, når c = 0 d = 0). Ved at anvende formel (12) og den anden af ligheder (13), finder vi:
Derfor er kvotienten af to komplekse tal bestemt af formlen:
svarende til formel (4).
Ved at bruge den resulterende formel for tallet β = c + di, kan du finde dets omvendte tal β-1 = 1/β. Hvis vi antager a = 1, b = 0 i formel (14), får vi
Denne formel bestemmer det inverse af et givet komplekst tal andet end nul; dette tal er også komplekst.
For eksempel: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Operationer på komplekse tal i algebraisk form.
55. Argument for et komplekst tal. Trigonometrisk form for at skrive et komplekst tal (afledning).
Arg.com.numbers. – mellem den positive retning af den reelle X-akse og vektoren, der repræsenterer det givne tal.
Trigon formel. Tal: ,
Algebraisk form for skrivning af et komplekst tal........................................... ........................................ | |||
Planet af komplekse tal......................................................... ............................................................ ............................ | |||
Komplekse konjugerede tal................................................... ................................................................... ................................ | |||
Operationer med komplekse tal i algebraisk form........................................... ......... .... | |||
Tilføjelse af komplekse tal ........................................................... ........................................................... ................ | |||
Subtrahering af komplekse tal........................................................... ................................................................... ..................... | |||
Multiplikation af komplekse tal ................................................... ........................................................ .................. | |||
Division af komplekse tal................................................... ........................................................................ ................ ... | |||
Trigonometrisk form for at skrive et komplekst tal........................................... ......... .......... | |||
Operationer med komplekse tal i trigonometrisk form........................................... ......... | |||
Multiplikation af komplekse tal i trigonometrisk form......................................... ........ | |||
Dividering af komplekse tal i trigonometrisk form......................................... ........... | |||
Hæve et komplekst tal til en positiv heltalspotens.......................................... ........... | |||
Udtræk af roden af en positiv heltalgrad fra et komplekst tal......................................... | |||
Hæve et komplekst tal til en rationel potens........................................... ..................... | |||
Komplekse serier ................................................... ................................................... .......................................... | |||
Komplekse talserier ........................................................... ................................................................... ................................ | |||
Power-serier i det komplekse plan......................................... ............................................ | |||
Tosidet potensrække i det komplekse plan.......................................... ........... ... | |||
Funktioner af en kompleks variabel ................................................... ...................................................... | |||
Grundlæggende elementære funktioner ................................................... ........................................................................ . | |||
Eulers formler................................................ ................................................... .......................................... | |||
Eksponentiel form for at repræsentere et komplekst tal........................................... ...................... . | |||
Forholdet mellem trigonometriske og hyperbolske funktioner................................... | |||
Logaritmisk funktion ................................................ ................................................... .......... | |||
Generelle eksponentielle og generelle potensfunktioner.......................................... ............................ | |||
Differentiering af funktioner af en kompleks variabel........................................... .......... | |||
Cauchy-Riemann forhold................................................ ............................................................ ............................ | |||
Formler til beregning af den afledede ................................................... ...................................................... | |||
Egenskaber for differentieringsoperationen.......................................... ........................................................ | |||
Egenskaber ved de reelle og imaginære dele af en analytisk funktion.................................. | |||
Rekonstruktion af en funktion af en kompleks variabel fra dens reelle eller imaginære |
|||
Metode nummer 1. Brug af et kurveintegral.......................................... .......... | |||
Metode nummer 2. Direkte anvendelse af Cauchy-Riemann-betingelserne................................... | |||
Metode nr. 3. Gennem den afledede af den søgte funktion........................................... .......... | |||
Integration af funktioner af en kompleks variabel........................................... ......... .......... | |||
Integral Cauchy-formel........................................... ............................................................ ........... ... | |||
Udvidelse af funktioner i Taylor- og Laurent-serien.......................................... .......................................... | |||
Nullpunkter og entalspunkter af en funktion af en kompleks variabel.................................. ............ | |||
Nullpunkter af en funktion af en kompleks variabel.......................................... .......................................... | |||
Isolerede singulære punkter af en funktion af en kompleks variabel.................................. | |||
14.3 Et punkt ved uendelighed som et entalspunkt for en funktion af en kompleks variabel
Fradrag ................................................... ...................................................... ............................................................ ... | |||
Fradrag ved det sidste punkt................................................ ............................................................ ............................ | |||
Rest af en funktion i et uendeligt punkt.......................................... ............................ | |||
Beregning af integraler ved hjælp af rester.......................................... ............................................ | |||
Selvtest spørgsmål ................................................ ........................................................ ................................................... | |||
Litteratur................................................. ................................................................ ...................................... | |||
Emneindeks................................................................ ................................................................ ............................ | |||
Forord
Korrekt fordeling af tid og kræfter, når man forbereder sig til de teoretiske og praktiske dele af en eksamen eller modulcertificering, er ret svært, især da der altid ikke er tid nok under sessionen. Og som praksis viser, kan ikke alle klare dette. Som følge heraf løser nogle elever under eksamen problemer korrekt, men har svært ved at besvare de enkleste teoretiske spørgsmål, mens andre kan formulere en sætning, men ikke kan anvende den.
Disse retningslinjer for forberedelse til eksamen i kurset "Theory of Functions of a Complex Variable" (TFCP) er et forsøg på at løse denne modsætning og sikre en samtidig gentagelse af kursets teoretiske og praktiske materiale. Styret af princippet "Teori uden praksis er død, praksis uden teori er blind", indeholder de både kursets teoretiske bestemmelser på definitions- og formuleringsniveau, samt eksempler, der illustrerer anvendelsen af hver given teoretisk position, og derved faciliterer. dets memorering og forståelse.
Formålet med de foreslåede metodiske anbefalinger er at hjælpe den studerende med at forberede sig til eksamen på et grundlæggende niveau. Der er med andre ord udarbejdet en udvidet arbejdsvejledning, der indeholder de hovedpunkter, der bruges i timerne på TFKP-kurset og nødvendige ved lektier og forberedelse til prøver. Ud over selvstændigt arbejde af studerende kan denne elektroniske undervisningspublikation bruges, når undervisningen gennemføres i interaktiv form ved hjælp af en elektronisk tavle eller til placering i et fjernundervisningssystem.
Bemærk venligst, at dette arbejde ikke erstatter hverken lærebøger eller forelæsningsnotater. For en dybdegående undersøgelse af materialet anbefales det at henvise til de relevante afsnit udgivet af MSTU. N.E. Bauman grundlæggende lærebog.
I slutningen af manualen er der en liste over anbefalet litteratur og et emneindeks, som inkluderer alt, der er fremhævet i teksten fed kursiv betingelser. Indekset består af hyperlinks til sektioner, hvor disse termer er nøje defineret eller beskrevet, og hvor der gives eksempler for at illustrere deres brug.
Manualen er beregnet til 2. års studerende fra alle fakulteter på MSTU. N.E. Bauman.
1. Algebraisk form for at skrive et komplekst tal
Notation af formen z = x + iy, hvor x,y er reelle tal, i er en imaginær enhed (dvs. i 2 = − 1)
kaldes den algebraiske form for at skrive et komplekst tal z. I dette tilfælde kaldes x den reelle del af et komplekst tal og betegnes med Re z (x = Re z), y kaldes den imaginære del af et komplekst tal og betegnes med Im z (y = Im z).
Eksempel. Det komplekse tal z = 4− 3i har en reel del Rez = 4 og en imaginær del Imz = − 3.
2. Kompleks talplan
I teorier om funktioner af en kompleks variabel overvejeskompleks talplan, som er angivet enten ved eller ved hjælp af bogstaver, der angiver komplekse tal z, w osv.
Den vandrette akse af det komplekse plan kaldes reelle akse, reelle tal z = x + 0i = x er placeret på den.
Den lodrette akse af det komplekse plan kaldes den imaginære akse;
3. Komplekse konjugerede tal
Tallene z = x + iy og z = x − iy kaldes komplekst konjugat. På det komplekse plan svarer de til punkter, der er symmetriske om den reelle akse.
4. Operationer med komplekse tal i algebraisk form
4.1 Tilføjelse af komplekse tal
Summen af to komplekse tal | z 1= x 1+ iy 1 | og z 2 = x 2 + iy 2 kaldes et komplekst tal |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2). | operation | tilføjelse |
||||||||||
komplekse tal ligner operationen ved addition af algebraiske binomialer. | |||||||||||||
Eksempel. Summen af to komplekse tal z 1 = 3+ 7i og z 2 | = −1 +2 i | vil være et komplekst tal |
|||||||||||
z1+z2 =(3+7i) +(−1+2i) =(3−1) +(7+2)i=2+9i. | |||||||||||||
Naturligvis, | total beløb | konjugat | er | ægte | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Subtraktion af komplekse tal | |||||||||||||
Forskellen mellem to komplekse tal z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | hedder | omfattende |
||||||||||
tal z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Eksempel. Forskellen mellem to komplekse tal | z 1 =3 −4 i | og z 2 | = −1 +2 i | der vil være en omfattende |
|||||||||
tal z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i. | |||||||||||||
Ved forskel | komplekst konjugat | er | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Multiplikation af komplekse tal | |||||||||||||
Produkt af to komplekse tal | z 1= x 1+ iy 1 | og z 2 = x 2+ iy 2 | kaldet kompleks |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Operationen med at multiplicere komplekse tal ligner operationen ved at multiplicere algebraiske binomialer, idet der tages højde for det faktum, at i 2 = − 1.
Side 2 af 3
Algebraisk form af et komplekst tal.
Addition, subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal.
Vi har allerede stiftet bekendtskab med den algebraiske form af et komplekst tal - dette er den algebraiske form af et komplekst tal. Hvorfor taler vi om form? Faktum er, at der også er trigonometriske og eksponentielle former for komplekse tal, som vil blive diskuteret i næste afsnit.
Operationer med komplekse tal er ikke særlig vanskelige og adskiller sig ikke meget fra almindelig algebra.
Tilføjelse af komplekse tal
Eksempel 1
Tilføj to komplekse tal,
For at tilføje to komplekse tal skal du tilføje deres reelle og imaginære dele:
Simpelt, er det ikke? Handlingen er så åbenlys, at den ikke kræver yderligere kommentarer.
På denne enkle måde kan du finde summen af et vilkårligt antal led: sum de reelle dele og sum de imaginære dele.
For komplekse tal er førsteklassereglen gyldig: 
– omlægning af vilkårene ændrer ikke summen.
Subtrahering af komplekse tal
Eksempel 2
Find forskellene mellem komplekse tal og , hvis ,
Handlingen ligner addition, den eneste ejendommelighed er, at subtrahenden skal sættes i parentes, og så skal parentesen åbnes på standardmåden med et fortegnsskifte:
Resultatet bør ikke være forvirrende; det resulterende tal har to, ikke tre dele. Simpelthen den virkelige del er den sammensatte:. For klarhedens skyld kan svaret omskrives som følger: .
Lad os beregne den anden forskel:
Her er den ægte del også sammensat:
For at undgå enhver underdrivelse vil jeg give et kort eksempel med en "dårlig" imaginær del: . Her kan du ikke længere undvære parentes.
Multiplikation af komplekse tal
Tiden er inde til at introducere dig til den berømte ligestilling:
Eksempel 3
Find produktet af komplekse tal,
Det er klart, at værket skal skrives således:
Hvad tyder dette på? Det beder om at åbne parenteserne i henhold til reglen om multiplikation af polynomier. Det er hvad du skal gøre! Alle algebraiske operationer er velkendte for dig, det vigtigste er at huske det og vær forsigtig.
Lad os gentage, omg, skolereglen for at gange polynomier: For at gange et polynomium med et polynomium skal du gange hvert led i et polynomium med hvert led i et andet polynomium.
Jeg vil skrive det ned i detaljer:
Jeg håber, at det stod klart for alle
Opmærksomhed, og igen opmærksomhed, begås oftest fejl i tegn.
Ligesom summen er produktet af komplekse tal kommuterbart, det vil sige, at ligheden er sand: .
I undervisningslitteratur og på internettet er det let at finde en speciel formel til beregning af produktet af komplekse tal. Brug det, hvis du vil, men det forekommer mig, at fremgangsmåden med at multiplicere polynomier er mere universel og klarere. Jeg vil ikke give formlen; jeg tror, at det i dette tilfælde fylder dit hoved med savsmuld.
Division af komplekse tal
Eksempel 4
Givet komplekse tal, . Find kvotienten.
Lad os lave en kvotient:
Opdelingen af tal udføres ved at gange nævneren og tælleren med nævnerens konjugerede udtryk.
Lad os huske den skæggede formel og se på vores nævner: . Nævneren har allerede , så det konjugerede udtryk i dette tilfælde er , dvs
Ifølge reglen skal nævneren ganges med , og for at intet ændrer sig, skal tælleren ganges med det samme tal:
Jeg vil skrive det ned i detaljer:
Jeg valgte et "godt" eksempel: hvis du tager to tal "fra bunden", så vil du som et resultat af division næsten altid få brøker, noget som .
I nogle tilfælde, før du deler en brøk, er det tilrådeligt at forenkle det, for eksempel overveje kvotienten af tal: . Før vi dividerer, slipper vi af med unødvendige minusser: i tælleren og i nævneren tager vi minusserne ud af parenteser og reducerer disse minusser: 
. For dem, der kan lide at løse problemer, er her det rigtige svar:
Sjældent, men følgende opgave opstår:
Eksempel 5
Der gives et komplekst tal. Skriv dette tal i algebraisk form (dvs. i formen).
Teknikken er den samme - vi multiplicerer nævneren og tælleren med udtrykket konjugeret med nævneren. Lad os se på formlen igen. Nævneren indeholder allerede , så nævneren og tælleren skal ganges med det konjugerede udtryk, det vil sige med:
I praksis kan de sagtens tilbyde et sofistikeret eksempel, hvor du skal udføre mange operationer med komplekse tal. Ingen panik: Vær forsigtig, følg reglerne for algebra, den sædvanlige algebraiske procedure, og husk at .
Trigonometrisk og eksponentiel form af komplekst tal
I dette afsnit vil vi tale mere om den trigonometriske form af et komplekst tal. Den demonstrative form er meget mindre almindelig i praktiske opgaver. Jeg anbefaler at downloade og om muligt printe trigonometriske tabeller; metodisk materiale kan findes på siden Matematiske formler og tabeller. Du kommer ikke langt uden borde.
Ethvert komplekst tal (undtagen nul) kan skrives på trigonometrisk form: 
, hvor er det modul af et komplekst tal, A - kompleks tal argument. Lad os ikke løbe væk, alt er enklere, end det ser ud til.
Lad os repræsentere tallet på det komplekse plan. For bestemthed og forenkling af forklaringen vil vi placere den i den første koordinatkvadrant, dvs. vi mener at:
Modulus af et komplekst tal er afstanden fra udgangspunktet til det tilsvarende punkt i det komplekse plan. Kort fortalt, modul er længden radiusvektor, som er angivet med rødt på tegningen.
Modulet af et komplekst tal er normalt angivet med: eller
Ved hjælp af Pythagoras sætning er det let at udlede en formel til at finde modulet af et komplekst tal: . Denne formel er korrekt for enhver betydninger "a" og "være".
Bemærk: Modulet for et komplekst tal er en generalisering af begrebet modul af et reelt tal, som afstanden fra et punkt til oprindelsen.
Argument for et komplekst tal hedder hjørne mellem positiv halvakse den reelle akse og radiusvektoren tegnet fra origo til det tilsvarende punkt. Argumentet er ikke defineret for ental: .
Det pågældende princip ligner faktisk polære koordinater, hvor den polære radius og den polære vinkel entydigt definerer punktet.
Argumentet for et komplekst tal betegnes som standard: eller
Ud fra geometriske overvejelser får vi følgende formel til at finde argumentet:
. Opmærksomhed! Denne formel virker kun i det højre halvplan! Hvis det komplekse tal ikke er placeret i 1. eller 4. koordinatkvadrant, vil formlen være lidt anderledes. Vi vil også analysere disse sager.
Men lad os først se på de enkleste eksempler, når komplekse tal er placeret på koordinatakser.
Eksempel 7
Lad os lave tegningen:
Faktisk er opgaven mundtlig. For klarhedens skyld vil jeg omskrive den trigonometriske form af et komplekst tal: 
Lad os bestemt huske modulet – længde(som altid er ikke-negativ), er argumentet hjørne.
1) Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk form. Lad os finde dens modul og argument. Det er indlysende. Formel beregning ved hjælp af formlen: .
Det er indlysende, at (tallet ligger direkte på den reelle positive halvakse). Så tallet i trigonometrisk form er: 
.
Den omvendte kontrolhandling er klar som dagen:
2) Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk form. Lad os finde dens modul og argument. Det er indlysende. Formel beregning ved hjælp af formlen: .
Selvfølgelig (eller 90 grader). På tegningen er hjørnet markeret med rødt. Så tallet i trigonometrisk form er: 
.
Ved hjælp af en tabel med værdier af trigonometriske funktioner er det let at få den algebraiske form af tallet tilbage (mens du også udfører en kontrol):
3) Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk form. Lad os finde dens modul og argument. Det er indlysende. Formel beregning ved hjælp af formlen: .
Selvfølgelig (eller 180 grader). På tegningen er hjørnet markeret med blåt. Så tallet i trigonometrisk form er: 
.
Undersøgelse:
4) Og det fjerde interessante tilfælde. Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk form. Lad os finde dens modul og argument. Det er indlysende. Formel beregning ved hjælp af formlen: .
Argumentet kan skrives på to måder: Første måde: (270 grader), og følgelig: 
. Undersøgelse:
Følgende regel er dog mere standard: Hvis vinklen er større end 180 grader, så skrives det med et minustegn og den modsatte orientering ("scrolling") af vinklen: (minus 90 grader), på tegningen er vinklen markeret med grønt. Det er let at se det og er i samme vinkel.
Indtastningen har således formen: 
Opmærksomhed! I intet tilfælde bør du bruge pariteten af cosinus, mærkværdigheden af sinus, og yderligere "forenkle" notationen:
Forresten er det nyttigt at huske udseendet og egenskaberne af trigonometriske og omvendte trigonometriske funktioner; referencematerialer er i de sidste afsnit på siden Grafer og egenskaber for grundlæggende elementære funktioner. Og komplekse tal vil blive lært meget lettere!
I udformningen af de simpleste eksempler bør man skrive: "det er indlysende, at modulet er lige... det er åbenlyst, at argumentet er lig med...". Dette er virkelig indlysende og nemt at løse verbalt.
Lad os gå videre til at overveje mere almindelige tilfælde. Som jeg allerede har bemærket, er der ingen problemer med modulet; du skal altid bruge formlen. Men formlerne for at finde argumentet vil være anderledes, det afhænger af hvilket koordinatkvartal tallet ligger i. I dette tilfælde er tre muligheder mulige (det er nyttigt at kopiere dem ned i din notesbog):
1) Hvis (1. og 4. koordinatkvartal, eller højre halvplan), så skal argumentet findes ved hjælp af formlen.
2) Hvis (2. koordinatkvartal), så skal argumentet findes ved hjælp af formlen 
.
3) Hvis (3. koordinatkvartal), så skal argumentet findes ved hjælp af formlen 
.
Eksempel 8
Repræsenter komplekse tal i trigonometrisk form: , , , .
Da der er færdige formler, er det ikke nødvendigt at færdiggøre tegningen. Men der er en pointe: Når du bliver bedt om at repræsentere et tal i trigonometrisk form, så Det er bedre at tegne alligevel. Faktum er, at en løsning uden tegning ofte afvises af lærere; fraværet af en tegning er en alvorlig årsag til et minus og fiasko.
Øh, jeg har ikke tegnet noget i hånden i hundrede år, her skal du:
Som altid blev det lidt beskidt =)
Jeg vil præsentere tallene og i kompleks form vil det første og tredje tal være til uafhængig løsning.
Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk form. Lad os finde dens modul og argument.