>>Matematik: Lineær funktion og dens graf
Lineær funktion og dens graf
Algoritmen til at konstruere en graf af ligningen ax + by + c = 0, som vi formulerede i § 28, for al dens klarhed og sikkerhed, kan matematikere ikke rigtig lide. De fremsætter normalt påstande om de første to trin i algoritmen. Hvorfor, siger de, løser ligningen to gange for variablen y: først ax1 + by + c = O, derefter ax1 + by + c = O? Er det ikke bedre straks at udtrykke y fra ligningen ax + by + c = 0, så vil det være lettere at udføre beregninger (og vigtigst af alt hurtigere)? Lad os tjekke. Lad os overveje først ligningen 3x - 2y + 6 = 0 (se eksempel 2 fra § 28).
Giver x specifikke værdier, er det nemt at beregne de tilsvarende værdier af y. For eksempel, når x = 0 får vi y = 3; ved x = -2 har vi y = 0; for x = 2 har vi y = 6; for x = 4 får vi: y = 9.
Du ser, hvor let og hurtigt punkterne (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) og (4; 9) blev fundet, som blev fremhævet i eksempel 2 fra § 28.
På samme måde kunne ligningen bx - 2y = 0 (se eksempel 4 fra § 28) transformeres til formen 2y = 16 -3x. yderligere y = 2,5x; det er ikke svært at finde punkter (0; 0) og (2; 5), der opfylder denne ligning.
Endelig kan ligningen 3x + 2y - 16 = 0 fra samme eksempel transformeres til formen 2y = 16 -3x og så er det ikke svært at finde punkter (0; 0) og (2; 5), der opfylder den.
Lad os nu betragte disse transformationer i generel form.
Således kan lineær ligning (1) med to variable x og y altid transformeres til formen
y = kx + m,(2) hvor k,m er tal (koefficienter), og .
Det her privat udsigt lineær ligning vil blive kaldt en lineær funktion.
Ved at bruge lighed (2) er det nemt at angive en specifik x-værdi og beregne den tilsvarende y-værdi. Lad f.eks.
y = 2x + 3. Derefter:
hvis x = 0, så er y = 3;
hvis x = 1, så er y = 5;
hvis x = -1, så er y = 1;
hvis x = 3, så er y = 9 osv.
Disse resultater præsenteres typisk i formularen borde:
Værdierne af y fra den anden række i tabellen kaldes værdierne af den lineære funktion y = 2x + 3, henholdsvis i punkterne x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.
I ligning (1) er variablerne hnu ens, men i ligning (2) er de ikke: vi tildeler specifikke værdier til en af dem - variabel x, mens værdien af variabel y afhænger af den valgte værdi af variabel x. Derfor siger vi normalt, at x er den uafhængige variabel (eller argument), y er den afhængige variabel.
Bemærk: lineær funktion- Det her speciel type lineær ligning med to variable. Ligningsgraf y - kx + m er ligesom enhver lineær ligning med to variable en ret linje - den kaldes også grafen for den lineære funktion y = kx + m. Følgende sætning er således gyldig.
Eksempel 1. Konstruer en graf af den lineære funktion y = 2x + 3.
Løsning. Lad os lave en tabel:
I den anden situation kan den uafhængige variabel x, der som i den første situation angiver antallet af dage, kun tage værdierne 1, 2, 3, ..., 16. Faktisk, hvis x = 16, så ved at bruge formlen y = 500 - 30x finder vi : y = 500 - 30 16 = 20. Det betyder, at det allerede på den 17. dag ikke vil være muligt at fjerne 30 tons kul fra lageret, da det på denne dag kun er 20 tons vil forblive på lageret, og processen med kulfjernelse skal stoppes. Derfor ser den raffinerede matematiske model af den anden situation sådan ud:
y = 500 - ZOD:, hvor x = 1, 2, 3, .... 16.
I den tredje situation, uafhængig variabel x kan teoretisk antage enhver ikke-negativ værdi (f.eks. x-værdi = 0, x-værdi = 2, x-værdi = 3,5 osv.), men i praksis kan en turist ikke gå med konstant hastighed uden søvn eller hvile så længe som ønsket. Så vi var nødt til at lave rimelige begrænsninger på x, f.eks. 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
Husk, at den geometriske model af den ikke-strenge dobbelte ulighed 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .
Lad os blive enige om at skrive i stedet for sætningen "x hører til mængden X" (læs: "element x hører til mængden X", e er tegnet på medlemskab). Som du kan se, er vores bekendtskab med matematisk sprog konstant i gang.
Hvis den lineære funktion y = kx + m skal betragtes ikke for alle værdier af x, men kun for værdier af x fra en bestemt numerisk interval X, så skriver de:
Eksempel 2. Tegn graf en lineær funktion:
Løsning, a) Lad os lave en tabel for den lineære funktion y = 2x + 1
Lad os bygge videre på koordinaten xOy fly punkter (-3; 7) og (2; -3) og træk en lige linje gennem dem. Dette er en graf af ligningen y = -2x: + 1. Vælg derefter et segment, der forbinder de konstruerede punkter (fig. 38). Dette segment er grafen for den lineære funktion y = -2x+1, hvorxe [-3, 2].
De siger normalt dette: vi har plottet en lineær funktion y = - 2x + 1 på segmentet [- 3, 2].
b) Hvordan adskiller dette eksempel sig fra det foregående? Den lineære funktion er den samme (y = -2x + 1), hvilket betyder, at den samme rette linje fungerer som dens graf. Men vær forsigtig! - denne gang x e (-3, 2), dvs. værdierne x = -3 og x = 2 tages ikke i betragtning, de hører ikke til intervallet (- 3, 2). Hvordan markerede vi enderne af et interval på en koordinatlinje? Lyse cirkler (fig. 39), vi talte herom i § 26. Ligeledes punkt (- 3; 7) og B; - 3) skal markeres på tegningen med lyse cirkler. Dette vil minde os om, at der kun tages de punkter på linjen y = - 2x + 1, der ligger mellem punkterne markeret med cirkler (fig. 40). Men nogle gange bruger de i sådanne tilfælde pile frem for lyse cirkler (fig. 41). Dette er ikke grundlæggende, det vigtigste er at forstå, hvad der bliver sagt.
Eksempel 3. Find de største og mindste værdier af en lineær funktion på segmentet.
Løsning. Lad os lave en tabel for en lineær funktion
Lad os bygge videre koordinatplan xОу punkter (0; 4) og (6; 7) og tegn en ret linje gennem dem - en graf over den lineære x-funktion (fig. 42).
Vi skal betragte denne lineære funktion ikke som en helhed, men på et segment, det vil sige for x e.
Det tilsvarende segment af grafen er fremhævet på tegningen. Vi bemærker, at den største ordinat af punkterne, der tilhører den valgte del, er lig med 7 - det er højeste værdi lineær funktion på segmentet. Normalt bruges følgende notation: y max =7.
Vi bemærker, at den mindste ordinat af punkterne, der hører til den del af linjen, der er fremhævet i figur 42, er lig med 4 - dette er den mindste værdi af den lineære funktion på segmentet.
Normalt bruges følgende notation: y navn. = 4.
Eksempel 4. Find y naib og y naim. for en lineær funktion y = -1,5x + 3,5
a) på segmentet; b) på intervallet (1,5);
c) på et halvt interval.
Løsning. Lad os lave en tabel for den lineære funktion y = -l.5x + 3.5:
Lad os konstruere punkterne (1; 2) og (5; - 4) på xOy-koordinatplanet og tegne en ret linje gennem dem (fig. 43-47). Lad os på den konstruerede lige linje vælge den del, der svarer til x-værdierne fra segmentet (fig. 43), fra intervallet A, 5) (fig. 44), fra halvintervallet (fig. 47).
a) Ved hjælp af figur 43 er det let at konkludere, at y max = 2 (den lineære funktion når denne værdi ved x = 1), og y min. = - 4 (den lineære funktion når denne værdi ved x = 5).
b) Ved hjælp af figur 44 konkluderer vi: denne lineære funktion har hverken den største eller den mindste værdi på et givet interval. Hvorfor? Faktum er, at i modsætning til det foregående tilfælde er begge ender af segmentet, hvor de største og mindste værdier blev nået, udelukket fra overvejelse.
c) Ved hjælp af figur 45 konkluderer vi, at y max. = 2 (som i det første tilfælde), og laveste værdi den lineære funktion gør det ikke (som i det andet tilfælde).
d) Ved at bruge figur 46 konkluderer vi: y max = 3,5 (den lineære funktion når denne værdi ved x = 0), og y max. eksisterer ikke.
e) Ved at bruge figur 47 konkluderer vi: y maks. = -1 (den lineære funktion når denne værdi ved x = 3), og y maks. eksisterer ikke.
Eksempel 5. Tegn en lineær funktion
y = 2x - 6. Brug grafen til at besvare følgende spørgsmål:
a) ved hvilken værdi af x vil y = 0?
b) for hvilke værdier af x vil y > 0?
c) ved hvilke værdier af x vil y< 0?
Løsning. Lad os lave en tabel for den lineære funktion y = 2x-6:
Gennem punkterne (0; - 6) og (3; 0) tegner vi en ret linje - grafen for funktionen y = 2x - 6 (fig. 48).
a) y = 0 ved x = 3. Grafen skærer x-aksen i punktet x = 3, dette er punktet med ordinaten y = 0.
b) y > 0 for x > 3. Faktisk, hvis x > 3, så er den rette linje placeret over x-aksen, hvilket betyder ordinaterne tilsvarende punkter direkte er positive.
c) kl< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A
Bemærk venligst, at vi i dette eksempel brugte grafen til at løse:
a) ligning 2x - 6 = 0 (vi fik x = 3);
b) ulighed 2x - 6 > 0 (vi fik x > 3);
c) ulighed 2x - 6< 0 (получили х < 3).
Kommentar. På russisk kaldes det samme objekt ofte anderledes, for eksempel: "hus", "bygning", "struktur", "hytte", "palæ", "barak", "hytte", "hytte". I matematisk sprog er situationen nogenlunde den samme. Lad os sige, ligheden med to variable y = kx + m, hvor k, m er specifikke tal, kan kaldes en lineær funktion, kan kaldes lineær ligning med to variable x og y (eller med to ukendte x og y), kan kaldes en formel, kan kaldes en relation, der forbinder x og y, kan endelig kaldes en afhængighed mellem x og y. Det betyder ikke noget, det vigtigste er at forstå det i alle tilfælde vi taler om O matematisk model y = kx + m
.
Overvej grafen for den lineære funktion vist i figur 49, a. Hvis vi bevæger os langs denne graf fra venstre mod højre, så stiger ordinaterne af punkterne på grafen hele tiden, som om vi "klatrer op ad en bakke." I sådanne tilfælde bruger matematikere udtrykket stigning og siger dette: hvis k>0, så stiger den lineære funktion y = kx + m.
Overvej grafen for den lineære funktion vist i figur 49, b. Hvis vi bevæger os langs denne graf fra venstre mod højre, så falder ordinaterne af punkterne på grafen hele tiden, som om vi "går ned ad en bakke". I sådanne tilfælde bruger matematikere udtrykket fald og siger dette: hvis k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.
Lineær funktion i livet
Lad os nu opsummere dette emne. Vi har allerede stiftet bekendtskab med et sådant koncept som en lineær funktion, vi kender dens egenskaber og lærte at bygge grafer. Du så også på særlige tilfælde af en lineær funktion og fandt ud af, hvad den afhænger af gensidig ordning grafer over lineære funktioner. Men det viser sig, at i vores Hverdagen vi krydser også hele tiden denne matematiske model.
Lad os tænke på, hvilke situationer i det virkelige liv er forbundet med et sådant koncept som lineære funktioner? Og også, mellem hvilke mængder eller livssituationer måske etablere en lineær sammenhæng?
Mange af jer forstår sikkert ikke helt, hvorfor de skal studere lineære funktioner, for det er usandsynligt, at det er nyttigt i senere liv. Men her tager du dybt fejl, for vi støder på funktioner hele tiden og alle vegne. For selv en almindelig månedlig husleje er også en funktion, der afhænger af mange variabler. Og disse variabler inkluderer kvadratmeter, antal beboere, takster, elforbrug osv.
Selvfølgelig, de mest almindelige eksempler på funktioner lineær afhængighed, som vi er stødt på, er matematiktimer.
Du og jeg løste problemer, hvor vi fandt afstanden tilbagelagt af biler, tog eller fodgængere med en bestemt hastighed. Disse er lineære funktioner af bevægelsestid. Men disse eksempler er ikke kun anvendelige i matematik, de er til stede i vores hverdag.
Kalorieindholdet i mejeriprodukter afhænger af fedtindholdet, og en sådan afhængighed er normalt en lineær funktion. Når f.eks. fedtprocenten i creme fraiche stiger, stiger kalorieindholdet i produktet også.
Lad os nu lave beregningerne og finde værdierne af k og b ved at løse ligningssystemet:
Lad os nu udlede afhængighedsformlen:
Som et resultat opnåede vi en lineær sammenhæng.
For at kende lydens udbredelseshastighed afhængig af temperatur, er det muligt at finde ud af det ved at bruge formlen: v = 331 +0,6t, hvor v er hastigheden (i m/s), t er temperaturen. Hvis vi tegner en graf over dette forhold, vil vi se, at det vil være lineært, det vil sige, at det repræsenterer en lige linje.
Og sådan praktiske anvendelser viden i anvendelse af lineær funktionel afhængighed Listen kan tage lang tid. Startende fra telefonafgifter, hårlængde og vækst, og endda ordsprog i litteraturen. Og denne liste bliver ved og ved.
Kalendertematisk planlægning i matematik, video i matematik online, Matematik i skolen download
A. V. Pogorelov, Geometri for klasse 7-11, Lærebog for uddannelsesinstitutioner
Definition af en lineær funktion
Lad os introducere definitionen af en lineær funktion
Definition
En funktion af formen $y=kx+b$, hvor $k$ ikke er nul, kaldes en lineær funktion.
Grafen for en lineær funktion er en ret linje. Tallet $k$ kaldes linjens hældning.
Når $b=0$ kaldes den lineære funktion en funktion af direkte proportionalitet $y=kx$.
Overvej figur 1.
Ris. 1. Geometrisk betydning af hældningen af en linje
Lad os overveje trekant ABC. Vi ser, at $ВС=kx_0+b$. Lad os finde skæringspunktet for linjen $y=kx+b$ med aksen $Ox$:
\ \
Så $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Lad os finde forholdet mellem disse sider:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
På den anden side, $\frac(BC)(AC)=tg\vinkel A$.
Derfor kan vi drage følgende konklusion:
Konklusion
Geometrisk betydning koefficient $k$. Hældningsfaktor direkte $k$ lig med tangent hældningsvinklen af denne lige linje til $Ox$-aksen.
Undersøgelse af den lineære funktion $f\left(x\right)=kx+b$ og dens graf
Overvej først funktionen $f\left(x\right)=kx+b$, hvor $k > 0$.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Derfor, denne funktion stiger i hele definitionsområdet. Der er ingen ekstreme punkter.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Graf (fig. 2).
Ris. 2. Grafer for funktionen $y=kx+b$, for $k > 0$.
Overvej nu funktionen $f\left(x\right)=kx$, hvor $k
- Definitionsdomænet er alle tal.
- Værdiområdet er alle tal.
- $f\venstre(-x\højre)=-kx+b$. Funktionen er hverken lige eller ulige.
- For $x=0,f\left(0\right)=b$. Når $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.
Skæringspunkter med koordinatakser: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ og $\left(0,\ b\right)$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Derfor har funktionen ingen bøjningspunkter.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Graf (fig. 3).
Instruktioner
Der er flere måder at løse lineære funktioner på. Lad os liste de fleste af dem. Oftest brugt trin for trin metode substitutioner. I en af ligningerne er det nødvendigt at udtrykke en variabel i form af en anden og erstatte den med en anden ligning. Og så videre, indtil der kun er en variabel tilbage i en af ligningerne. For at løse det skal du efterlade en variabel på den ene side af lighedstegnet (det kan være med en koefficient), og på den anden side af lighedstegnet alle de numeriske data, og ikke glemme at ændre tallets fortegn til den modsatte ved overførsel. Når du har beregnet en variabel, skal du erstatte den med andre udtryk og fortsætte beregningerne ved hjælp af den samme algoritme.
Lad os for eksempel tage et lineært system funktioner, bestående af to ligninger:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Det er praktisk at udtrykke x fra den anden ligning:
x=y+2.
Som du kan se, ændrede fortegnet for y og variable sig, når du overfører fra en del af ligheden til en anden, som beskrevet ovenfor.
Vi erstatter det resulterende udtryk i den første ligning og udelukker således variablen x fra den:
2*(y+2)+y-7=0.
Udvidelse af beslag:
2y+4+y-7=0.
Vi sammensætter variabler og tal og lægger dem sammen:
3у-3=0.
Vi flytter den til højre side af ligningen og ændrer tegnet:
3y=3.
Divider med den samlede koefficient, får vi:
y=1.
Vi erstatter den resulterende værdi i det første udtryk:
x=y+2.
Vi får x=3.
En anden måde at løse lignende er at tilføje to ligninger led for led for at få en ny med én variabel. Ligningen kan ganges med en bestemt koefficient, det vigtigste er at gange hvert medlem af ligningen og ikke glemme, og derefter tilføje eller trække en ligning fra. Denne metode er meget økonomisk, når man skal finde en lineær funktioner.
Lad os tage det allerede velkendte ligningssystem med to variable:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Det er let at bemærke, at koefficienten for variablen y er identisk i første og anden ligning og kun adskiller sig i fortegn. Det betyder, at når vi tilføjer disse to ligninger led for led, får vi en ny, men med én variabel.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Vi overfører numeriske data til højre side ligninger, ændring af tegnet:
3x=9.
Vi finder fælles multiplikator, lig med koefficienten, stående ved x og dividere begge sider af ligningen med det:
x=3.
Resultatet kan erstattes af en hvilken som helst af systemligningerne for at beregne y:
x-y-2=0;
3-у-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.
Du kan også beregne data ved at oprette en nøjagtig graf. For at gøre dette skal du finde nuller funktioner. Hvis en af variablerne er lig nul, så kaldes en sådan funktion homogen. Når du har løst sådanne ligninger, får du to punkter, der er nødvendige og tilstrækkelige til at konstruere en ret linje - en af dem vil være placeret på x-aksen, den anden på y-aksen.
Vi tager en hvilken som helst ligning af systemet og erstatter værdien x=0 der:
2*0+y-7=0;
Vi får y=7. Således vil det første punkt, lad os kalde det A, have koordinaterne A(0;7).
For at beregne et punkt, der ligger på x-aksen, er det praktisk at erstatte værdien y=0 i systemets anden ligning:
x-0-2=0;
x=2.
Det andet punkt (B) vil have koordinaterne B (2;0).
På koordinatgitter Vi markerer de opnåede punkter og tegner en lige linje gennem dem. Hvis du plotter det ret præcist, kan andre værdier af x og y beregnes direkte ud fra det.
Instruktioner
Hvis grafen er en ret linje, der går gennem koordinaternes oprindelse og danner en vinkel α med OX-aksen (hældningsvinklen af den rette linje til den positive halvakse OX). Funktionen, der beskriver denne linje, vil have formen y = kx. Proportionalitetskoefficienten k er lig med tan α. Hvis en ret linje går gennem 2. og 4. koordinatkvarter, så k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 og funktionen er stigende Lad det være en ret linje placeret på forskellige måder i forhold til koordinatakserne. Dette er en lineær funktion og har formen y = kx + b, hvor variablerne x og y er i første potens, og k og b kan være enten positive eller negative. negative værdier eller lig med nul. Linjen er parallel med linjen y = kx og afskærer ved aksen |b| enheder. Hvis linjen er parallel med abscisseaksen, så er k = 0, hvis ordinataksen, så har ligningen formen x = const.
En kurve bestående af to grene placeret i forskellige kvartaler og symmetrisk i forhold til oprindelsen af koordinater er en hyperbel. Dette diagram omvendt forhold variabel y fra x og beskrives ved ligningen y = k/x. Her er k ≠ 0 proportionalitetskoefficienten. Desuden, hvis k > 0, falder funktionen; hvis k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Den kvadratiske funktion har formen y = ax2 + bx + c, hvor a, b og c er konstante størrelser og a 0. Hvis betingelsen b = c = 0 er opfyldt, ser funktionsligningen ud som y = ax2 ( enkleste tilfælde), og dens graf er en parabel, der går gennem oprindelsen. Grafen for funktionen y = ax2 + bx + c har samme form som funktionens simpleste tilfælde, men dens toppunkt (skæringspunktet med OY-aksen) ligger ikke ved origo.
Grafen er også en parabel power funktion, udtrykt ved ligningen y = xⁿ, hvis n er nogen lige tal. Hvis n er nogen ulige tal, vil grafen for en sådan potensfunktion ligne en kubisk parabel.
Hvis n er nogen, har funktionsligningen formen. Grafen for funktionen for ulige n vil være en hyperbel, og for lige n vil deres grene være symmetriske i forhold til op-aksen.
Også i skoleår Funktionerne studeres i detaljer, og deres grafer er konstrueret. Men desværre lærer de praktisk talt ikke, hvordan man læser grafen for en funktion og finder dens type fra den præsenterede tegning. Det er faktisk ret simpelt, hvis du husker de grundlæggende typer funktioner.
Instruktioner
Hvis den præsenterede graf er , hvilket er gennem oprindelsen af koordinater og med OX-aksen vinklen α (som er hældningsvinklen for den rette linje til den positive halvakse), så vil funktionen, der beskriver en sådan ret linje være præsenteret som y = kx. I dette tilfælde er proportionalitetskoefficienten k lig med tangenten af vinklen α.
Hvis en given linje går gennem det andet og fjerde koordinatkvarter, så er k lig med 0, og funktionen øges. Lad den præsenterede graf være en ret linje placeret på nogen måde i forhold til koordinatakserne. Så funktionen af en sådan grafisk kunst vil være lineær, hvilket er repræsenteret ved formen y = kx + b, hvor variablerne y og x er i den første, og b og k kan tage både negative og positive værdier eller .
Hvis linjen er parallel med linjen med grafen y = kx og afskærer b enheder på ordinataksen, så har ligningen formen x = const, hvis grafen er parallel med abscisseaksen, så er k = 0.
En buet linje, der består af to grene, symmetrisk om oprindelsen og placeret i forskellige kvartaler, er en hyperbel. En sådan graf viser den omvendte afhængighed af variablen y af variablen x og beskrives ved en ligning på formen y = k/x, hvor k ikke skal være lig med nul, da det er en koefficient omvendt proportionalitet. Desuden, hvis værdien af k er større end nul, falder funktionen; hvis k er mindre end nul, stiger den.
Hvis den foreslåede graf er en parabel, der går gennem origo, vil dens funktion, under forudsætning af at b = c = 0, have formen y = ax2. Dette er det enkleste tilfælde kvadratisk funktion. Grafen for en funktion af formen y = ax2 + bx + c vil have samme form som det simpleste tilfælde, dog vil toppunktet (det punkt hvor grafen skærer ordinataksen) ikke være i origo. I en kvadratisk funktion, repræsenteret ved formen y = ax2 + bx + c, er værdierne af a, b og c konstante, mens a ikke er lig med nul.
En parabel kan også være grafen for en potensfunktion udtrykt ved en ligning på formen y = xⁿ, hvis n er et hvilket som helst lige tal. Hvis værdien af n er et ulige tal, vil en sådan graf for en potensfunktion blive repræsenteret af en kubisk parabel. Hvis variablen n er en hvilken som helst negativt tal, har funktionens ligning formen .
Video om emnet
Koordinaten for absolut ethvert punkt på planet er bestemt af dets to størrelser: langs abscisseaksen og ordinataksen. Samlingen af mange sådanne punkter repræsenterer grafen for funktionen. Ud fra den kan du se, hvordan Y-værdien ændrer sig afhængig af ændringen i X-værdien. Du kan også bestemme, i hvilket afsnit (interval) funktionen øges, og i hvilken den falder.
Instruktioner
Hvad kan du sige om en funktion, hvis dens graf er en ret linje? Se, om denne linje går gennem koordinatstartpunktet (det vil sige det, hvor X- og Y-værdierne er lig med 0). Hvis den passerer, så er en sådan funktion beskrevet af ligningen y = kx. Det er let at forstå, at jo større værdien af k er, jo tættere på ordinataksen vil denne rette linje være placeret. Og selve Y-aksen svarer faktisk uendeligt af stor betydning k.
Overvej funktionen y=k/y. Grafen for denne funktion er en linje, kaldet en hyperbel i matematik. Generel form hyperbler er vist i figuren nedenfor. (Graffen viser funktionen y er lig med k divideret med x, hvor k er lig med en.)
Det kan ses, at grafen består af to dele. Disse dele kaldes grene af hyperbelen. Det er også værd at bemærke, at hver gren af hyperbelen nærmer sig i en af retningerne tættere og tættere på koordinatakserne. Koordinatakserne kaldes i dette tilfælde asymptoter.
Generelt kaldes alle lige linjer, som grafen for en funktion uendeligt nærmer sig, men ikke når dem, asymptoter. En hyperbel har ligesom en parabel symmetriakser. For hyperbelen vist i figuren ovenfor er dette linjen y=x.
Lad os nu beskæftige os med to almindelige sager hyperbole. Grafen for funktionen y = k/x, for k ≠0, vil være en hyperbel, hvis forgreninger er placeret enten i den første og tredje koordinatvinkel, for k>0, eller i den anden og fjerde koordinatvinkel, gaffel<0.
Grundlæggende egenskaber for funktionen y = k/x, for k>0
Graf for funktionen y = k/x, for k>0
5. y>0 ved x>0; y6. Funktionen falder både på intervallet (-∞;0) og på intervallet (0;+∞).
10. Funktionens værdiområde er to åbne intervaller (-∞;0) og (0;+∞).
Grundlæggende egenskaber for funktionen y = k/x, for k<0
Graf for funktionen y = k/x, ved k<0
1. Punkt (0;0) er hyperbelens symmetricentrum.
2. Koordinatakser - asymptoter af hyperbelen.
4. Funktionens definitionsdomæne er alle x undtagen x=0.
5. y>0 ved x0.
6. Funktionen øges både på intervallet (-∞;0) og på intervallet (0;+∞).
7. Funktionen er ikke begrænset hverken nedefra eller oppefra.
8. En funktion har hverken en maksimum- eller en minimumsværdi.
9. Funktionen er kontinuerlig på intervallet (-∞;0) og på intervallet (0;+∞). Har et mellemrum ved x=0.