Euklids biografi og hans opdagelser. Interessante fakta om Euklid

Euklid - den første matematiker Alexandria skole. Hans hovedjob"Principles" (????????, i latiniseret form - "Elementer") indeholder en præsentation af planimetri, stereometri og en række spørgsmål i talteori; i den opsummerede han den tidligere udvikling af græsk matematik og skabte grundlaget videre udvikling matematik. Blandt andre værker om matematik skal det bemærkes "Om opdelingen af figurer", bevaret i arabisk oversættelse, 4 bøger "Conic Sections", hvis materiale blev inkluderet i arbejdet med samme titel af Apollonius af Perga, samt som "porismer", en idé om, som kan fås fra "Matematisk samling" af pave af Alexandria. Euklid - forfatter til værker om astronomi, optik, musik mv.

Biografi

Den mest pålidelige information om Euklids liv anses normalt for at være den lille, der er givet i Proclus-kommentarerne til den første bog af Euklids elementer. Idet han bemærkede, at "dem, der skrev om matematikkens historie" ikke førte udviklingen af denne videnskab til Euklids tid, påpeger Proclus, at Euklid var ældre end Platons kreds, men yngre end Arkimedes og Eratosthenes og "levede i tiden Ptolemæus I Soter," "fordi Arkimedes, der levede under Ptolemæus den Første, nævner Euklid og især siger, at Ptolemæus spurgte ham, om der var en kortere vej til at studere geometri end Elementerne; og han svarede, at der ikke er nogen kongelig vej til geometri"

Yderligere detaljer til portrættet af Euklid kan hentes fra Pappus og Stobaeus. Pappus beretter, at Euklid var mild og venlig over for alle, der kunne bidrage i den mindste grad til udviklingen matematiske videnskaber, og Stobey fortæller endnu en anekdote om Euklid. Efter at have begyndt at studere geometri og efter at have analyseret den første sætning, spurgte en ung mand Euklid: "Hvilken fordel vil jeg få ud af denne videnskab?" Euklid ringede til slaven og sagde: "Giv ham tre oboler, da han vil tjene penge på sine studier."

Nogle moderne forfattere fortolker Procluss udsagn - Euklid levede under Ptolemæus I Soters tid - på den måde, at Euklid boede ved Ptolemæus' hof og var grundlæggeren af det Alexandriske Museion. Det skal dog bemærkes, at denne idé blev etableret i Europa i det 17. århundrede, mens middelalderlige forfattere identificerede Euklid med Sokrates’ elev, filosoffen Euklid af Megara. Et anonymt arabisk manuskript fra det 12. århundrede rapporterer:

Ifølge hans filosofiske synspunkter var Euklid højst sandsynligt en platonist.

Euklids elementer

Euklids hovedværk kaldes Elementerne. Bøger med samme titel, som konsekvent præsenterede alle de grundlæggende fakta om geometri og teoretisk aritmetik, blev tidligere kompileret af Hippokrates fra Chios, Leontes og Theudius. Imidlertid fortrængte Euklids elementer alle disse værker fra brug og forblev den grundlæggende lærebog i geometri i mere end to årtusinder. Da han lavede sin lærebog, inkluderede Euklid meget af det, der blev skabt af hans forgængere, ved at bearbejde dette materiale og bringe det sammen.

Begyndelsen består af tretten bøger. Den første og nogle andre bøger er forudgået af en liste med definitioner. Forud for den første bog er der også en liste over postulater og aksiomer. Som regel definerer postulater grundlæggende konstruktioner (f.eks. "det kræves, at en ret linje kan trækkes gennem to vilkårlige punkter"), og aksiomer - generelle slutningsregler, når man arbejder med mængder (f.eks. "hvis to størrelser er lig med en tredjedel, de er lige mellem dig selv").

I Bog I studeres trekanters og parallelogrammers egenskaber; Denne bog er kronet med den berømte Pythagoras sætning for retvinklede trekanter. Bog II, der går tilbage til Pythagoræerne, er afsat til den såkaldte "geometriske algebra". Bøgerne III og IV beskriver cirklernes geometri, såvel som indskrevne og omskrevne polygoner; da han arbejdede på disse bøger, kunne Euklid have brugt Hippokrates fra Chios' skrifter. I bog V introduceres den generelle teori om proportioner, bygget af Eudoxus af Cnidus, og i bog VI er den knyttet til teorien lignende tal. Bøgerne VII-IX er afsat til talteori og går tilbage til pythagoræerne; forfatteren til bog VIII kan have været Archytas fra Tarentum. Disse bøger dækker proportionssætninger og geometriske forløb, introduceres en metode til at finde den største fælles divisor af to tal (nu kendt som den euklidiske algoritme), selv perfekte tal konstrueres, og uendeligheden af sættet af primtal bevises. I X-bogen, som er den mest omfangsrige og den svære del Begyndte, en klassifikation af irrationaliteter er ved at blive bygget; det er muligt, at dens forfatter er Theaetetus fra Athen. Bog XI indeholder det grundlæggende i stereometri. I XII-bogen, ved hjælp af udmattelsesmetoden, bevises teoremer om forholdet mellem områderne af cirkler, såvel som volumen af pyramider og kegler; Forfatteren til denne bog er generelt anerkendt for at være Eudoxus af Cnidus. Endelig er bog XIII viet til konstruktionen af fem regulære polyedre; Det menes, at nogle af konstruktionerne blev udviklet af Theaetetus fra Athen.

I de manuskripter, der er nået frem til os, blev der tilføjet yderligere to bøger til disse tretten bøger. Bog XIV tilhører de Alexandriske Hypsikler (ca. 200 f.Kr.), og Bog XV blev skabt under livet af Isidore af Milet, bygmester af templet St. Sophia i Konstantinopel (begyndelsen af det 6. århundrede e.Kr.).

Begyndelsen er givet fælles fodslag til efterfølgende geometriske afhandlinger af Archimedes, Apollonius og andre gamle forfattere; de udsagn, der er bevist i dem, anses for at være alment kendte. Kommentarer til elementerne i antikken blev komponeret af Heron, Porphyry, Pappus, Proclus og Simplicius. En kommentar af Proclus til Bog I er bevaret, samt en kommentar af Pappus til Bog X (i arabisk oversættelse). Fra gamle forfattere går kommentartraditionen til araberne og derefter til middelalderens Europa.

I skabelsen og udviklingen af moderne videnskab spillede principperne også en vigtig ideologisk rolle. De forblev en model for en matematisk afhandling, der strengt og systematisk præsenterede de vigtigste bestemmelser i en bestemt matematisk videnskab.

Andre værker af Euklid

Af de andre værker af Euklid har følgende overlevet:

Data (????????) - om hvad der skal til for at definere en figur;
Om deling (???? ????????????) - delvist bevaret og kun i arabisk oversættelse; giver splittelse geometriske former i dele lig med eller indbyrdes forbundne givet forhold;
Fænomener (????????) - anvendelser af sfærisk geometri til astronomi;
Optik (??????) - om den retlinede udbredelse af lys.

Fra korte beskrivelser ved vi:

Porismer (????????) - om de forhold, der bestemmer kurver;
keglesnit (??????);
Overfladiske steder (????? ???? ????????) - om ejendomme keglesnit;
Pseudariya (??????????) - om fejl i geometriske beviser;

Euclid er også krediteret med:

Katoptri (????????????) - teori om spejle; behandlingen af Theon af Alexandria har overlevet;
Inddeling af kanon (???????? ???????) - afhandling om elementær teori musik.

Euklid og oldtidens filosofi

Allerede fra Pythagoræernes og Platons tid blev aritmetik, musik, geometri og astronomi (de såkaldte "matematiske" videnskaber; senere kaldt quadrivius af Boethius) betragtet som en model for systematisk tænkning og et indledende stadium for studiet af filosofi. . Det er ikke tilfældigt, at der opstod en legende, ifølge hvilken indskriften "Lad ingen, der ikke kender geometri komme ind her", blev placeret over indgangen til Platons Akademi.

Geometriske tegninger, hvor ved at tegne hjælpelinjer den implicitte sandhed bliver indlysende, tjener som en illustration af erindringslæren udviklet af Platon i Meno og andre dialoger. Udsagn om geometri kaldes teoremer, fordi for at forstå deres sandhed er det nødvendigt at opfatte tegningen ikke med simpelt sansesyn, men med "sindets øjne". Hver tegning til en sætning repræsenterer en idé: vi ser denne figur foran os, og vi ræsonnerer og drager konklusioner for alle figurer af samme type på én gang.

Noget "platonisme" af Euklid er også forbundet med det faktum, at i Platons Timaeus betragtes læren om de fire elementer, som svarer til fire regulære polyedre (tetraeder - ild, oktaeder - luft, icosahedron - vand, terning - jord), femte polyeder, dodecahedron, "tilhørte universets figur." I denne henseende kan Principia betragtes som en doktrin udviklet med alle de nødvendige præmisser og forbindelser om konstruktionen af fem regulære polyedre - de såkaldte "platoniske faste stoffer", der kulminerer med beviset for, at der ikke er andre regelmæssige faste stoffer udover disse fem.

Til Aristoteles' bevislære, udviklet i Anden Analytics, giver Elementerne også rigt materiale. Geometri i elementerne er opbygget som et inferentielt system af viden, hvor alle sætninger sekventielt udledes efter hinanden langs en kæde baseret på lille sæt indledende udsagn accepteret uden bevis. Ifølge Aristoteles skal sådanne begyndelsesudsagn eksistere, eftersom slutningskæden skal begynde et sted for ikke at være uendelig. Endvidere forsøger Euklid at bevise udsagn af generel karakter, hvilket også svarer til Aristoteles' foretrukne eksempel: "hvis hver ligebenet trekant er iboende i at have vinkler, der summerer op til to rette vinkler, så er dette iboende i det, ikke fordi det er ligebenet, men fordi det er en trekant” (An. Post. 85b12).

Pseudo-Euklid

Euklid tilskrives to vigtige afhandlinger om gammel musikteori: den harmoniske introduktion og kanonens opdeling. Intet er kendt om den virkelige forfatter til disse værker. Henry Meibom (1555-1625) forsynede den harmoniske introduktion med omfattende noter og var sammen med Kanonopdelingen den første, der autoritativt tilskrev dem til Euklids værker. Efterfølgende detaljeret analyse af disse afhandlinger blev det bestemt, at den første har spor af den pythagoræiske tradition (for eksempel i den betragtes alle halvtoner som lige), og den anden er kendetegnet ved en aristotelisk karakter (for eksempel muligheden for at dele en tone i to afvises). Præsentationsstilen for "Harmonisk Introduktion" er kendetegnet ved dogmatisme og kontinuitet. Stilen for "Kanonens inddeling" ligner noget Euklids "Elementer", da den også indeholder teoremer og beviser.

Karl Jahn (1836-1899) var af den opfattelse, at afhandlingen "Harmonisk introduktion" var skrevet af Kleonidas, da hans navn forekommer i nogle manuskripter. Ud over navnene på Euclid og Cleonidas nævner manuskripterne Pappus og Anonymous som forfattere. I de fleste videnskabelige publikationer de foretrækker at kalde forfatteren Pseudo-Euklid.

Den græske afhandling om Pseudo-Euklid med russisk oversættelse og noter af G. A. Ivanov blev udgivet i Moskva i 1894

Kupchinsky ungdom læser "Science. Skabelse. Søg".
Afsnit "Matematik"

"Euklid og hans bidrag til videnskaben"

Arbejdet blev udført af en elev i klasse 6 "B"
Surovegin Nikolay
Hoved: Vasilyeva
Daria Gennadievna

St. Petersborg 2008

I. Introduktion……………………………………….…3

II. Matematik i det antikke Grækenland……………..4

III. Biografi om Euklid……………………………….5

IV. Euklidisk algoritme…………………………………8

V. Aksiomatik……………………………………….11

VI. Euklidisk geometri og V-postulat………..12

VII. Startede………………………………………………………………19

VIII. Problemer fra Euklids principper…………………………22

IX. Løsning af problemer…………………………………..23

X. Links til informationskilder......24

XI. Konklusion………………………………..25

I. Introduktion

I dette essay vil jeg forsøge at fortælle dig alt, hvad jeg ved om den store gamle græske matematiker Euklid. Ideen til at skrive om ham kom til mig, efter at jeg lærte om Euklids algoritme. Denne videnskabsmand gjorde meget for algebra og geometri, og vi bruger hans opdagelser konstant. Abstraktet indeholder også praktiske problemer fra begyndelsen, Euklids bøger.

Kapitel II.
Matematik i det antikke Grækenland

Den mentale udvikling og med den videnskabens udvikling er aldrig gået jævnt frem i hele menneskeheden. Mens nogle folkeslag stod i spidsen for menneskehedens mentale bevægelse, viste andre sig at være knap ude af deres primitive tilstand. Når disse sidstnævnte sammen med forbedringen af deres levevilkår viste sig under påvirkning af indre eller ydre impulser for at tilegne sig viden, så måtte de først og fremmest indhente de fremskredne stammer. Hvis de fremskredne stammer på samme tid, efter at have nået det højeste udviklingsniveau, der er til rådighed for dem ved deres evner eller af de livsbetingelser, som historien har skabt for dem, degenererede og faldt, opstod der stagnation eller endda et synligt midlertidigt fald i den mentale udvikling. hele menneskeheden: erhvervelsen af ny viden ophørte, og mentalt arbejde menneskeheden blev udelukkende reduceret til den førnævnte assimilering af tilbagestående stammer af viden, som allerede var erhvervet af menneskeheden. Først efter at have opnået denne assimilering, fik de efterslæbende stammer mulighed for yderligere at forfølge erhvervelsen af ny viden og herigennem igen blive lederen af menneskehedens mentale bevægelse. Altså i historien mental aktivitet For hvert folk, der nogensinde har indtaget en plads blandt menneskehedens ledende skikkelser og derefter fuldført hele sin livscyklus, må forskeren skelne mellem tre perioder: perioden med assimilering af viden, som allerede er erhvervet af menneskeheden; periode selvstændig aktivitet på området for at erhverve ny viden, der er fælles for hele menneskeheden, og endelig en periode med tilbagegang og mental degeneration. Vender vi fra denne generelle betragtning af menneskehedens mentale udviklingsforløb til dens individuelle områder, som ser ud til at være matematikkens udvikling, finder vi, at når nuværende tilstand Historisk og matematisk viden giver os mulighed for at studere den fuldstændigt afsluttede aktivitetscyklus for et individuelt folk inden for matematikudvikling ved kun at bruge en nation, de gamle grækere.

Kapitel Ijegjeg Biografi af Euklid

EUCLID (Euklidc.356-300 VS)

BIOGRAFI

Euklid er en gammel græsk matematiker, forfatteren til de første teoretiske afhandlinger om matematik, der er nået til os. Biografiske oplysninger information om Euklids liv og arbejde er yderst begrænset. Det vides, at han var fra Athen og var elev af Platon. Hans videnskabelige aktivitet fandt sted i Alexandria, hvor han skabte en matematisk skole.

PRÆSTATIONER I MATEMATIK

Euklids hovedværker "Elementer" (latiniseret titel - "Elementer") indeholder en præsentation af planimetri, stereometri og en række spørgsmål inden for talteori, algebra, den generelle teori om relationer og metoden til at bestemme områder og volumener, herunder elementer af grænser (Udmattelsesmetode). I Elementerne opsummerede Euklid alle de tidligere præstationer af græsk matematik og skabte grundlaget for dens videre udvikling. Den historiske betydning af Euklids elementer ligger i, at de var de første til at forsøge den logiske konstruktion af geometri baseret på aksiomatik. Den største ulempe ved Euklids aksiomatik bør betragtes som dens ufuldstændighed; der er ingen aksiomer for kontinuitet, bevægelse og orden, så Euklid måtte ofte appellere til intuitionen og stole på øjet. Bøgerne XIV og XV er senere tilføjelser, men om de første tretten bøger er værk af én mand eller af en skole ledet af Euklid vides ikke. Siden 1482 Euclid's Elements gennemgik mere end 500 udgaver. på alle verdens sprog.

"Begyndelser"

De første fire bøger af elementerne er afsat til plangeometri, og de studerer de grundlæggende egenskaber ved retlinede figurer og cirkler.

Bog I er forudgået af definitioner af begreber, der anvendes senere. De er intuitive af natur, da de er defineret i form af fysisk virkelighed: "Et punkt er noget, der ikke har nogen dele." "En linje er længde uden bredde." "En lige linje er en, der er ligeligt placeret i forhold til punkterne på den." "Overfladen er den, der kun har længde og bredde," osv.

Disse definitioner efterfølges af fem postulater: "Antag:
1) at en ret linje kan trækkes fra ethvert punkt til ethvert punkt;
2) og at en afgrænset linje kontinuerligt kan forlænges langs en ret linje;
3) og at en cirkel kan beskrives fra ethvert centrum og ved enhver løsning;
4) og at alle rette vinkler er ens med hinanden;
5) og hvis en ret linje, der falder på to rette linjer, danner indre vinkler på den ene side, der er mindre end to rette vinkler, så vil disse to rette linjer, forlænget i det uendelige, mødes på den side, hvor vinklerne er mindre end to rette vinkler."

De første tre postulater sikrer eksistensen af en lige linje og en cirkel. Det femte, det såkaldte parallelpostulat, er det mest berømte. Det har altid fascineret matematikere, som forsøgte at udlede det fra de fire foregående eller kassere det helt, indtil i det 19. århundrede. Det blev opdaget, at andre, ikke-euklidiske geometrier kan konstrueres, og at det femte postulat har ret til at eksistere. Derefter formulerede Euklid aksiomer, der i modsætning til postulater, der kun gælder for geometri, generelt er anvendelige for alle videnskaber. Ydermere beviser Euklid i Bog I trekanters elementære egenskaber, blandt hvilke er betingelserne for lighed. Derefter beskrives nogle geometriske konstruktioner, såsom konstruktionen af en vinkels halveringslinje, midtpunktet af et segment og vinkelret på en linje. Bog I indeholder også teorien om paralleller og beregningen af arealerne for nogle flade figurer(trekanter, parallelogrammer og firkanter). Bog II lægger grundlaget for den såkaldte geometriske algebra, som går tilbage til Pythagoras skole. Alle mængder i den er repræsenteret geometrisk, og operationer på tal udføres geometrisk. Tal erstattes af linjestykker. Bog III er helt viet til cirklens geometri, og Bog IV studerer regulære polygoner, der er indskrevet i en cirkel, såvel som omskrevet omkring den.

Teorien om proportioner, der er udviklet i bog V, gjaldt lige så godt for tilsvarende mængder som usammenlignelige mængder. Euklid inkluderet i begrebet "størrelse" længder, arealer, volumener, vægte, vinkler, tidsintervaller osv. Han nægtede at bruge geometriske beviser, men undgik også at ty til aritmetik, og tilskrev ikke mængder numeriske værdier. De første definitioner af Bog V af Euklids elementer: 1. En del er en størrelse (af) en størrelse, der er mindre (af) en større, hvis den måler den større. 2. Et multiplum er det større (fra) det mindre, hvis det måles med det mindre. 3. Et forhold er en vis afhængighed af to homogene størrelser i mængde. 4. Mængder siges at have et forhold til hinanden, hvis de taget som multipla kan overstige hinanden. 5. De siger, at mængder er i samme forhold: den første til den anden og den tredje til den fjerde, hvis lige mange multipla af den første og tredje er samtidigt større, eller samtidigt ens, eller på samme tid mindre end lige mange multipla af den anden og fjerde hver, for enhver mangfoldighed, hvis du tager dem i den passende rækkefølge. 6. Lad mængder med samme forhold kaldes proportionale. Ud fra de atten definitioner placeret i begyndelsen af hele bogen, og de generelle begreber formuleret i Bog I, med beundringsværdig ynde og næsten uden logiske fejl, udledte Euklid (uden at ty til postulater, hvis indhold var geometrisk) tyve sætninger, hvori størrelsernes egenskaber og deres sammenhænge.

I bog VI anvendes teorien om proportioner i bog V på retlinede figurer, på geometri på planet og især på lignende figurer, og "lignende retlinede figurer er dem, der har ens vinkler i rækkefølge og sider i lige vinkler proportional." Bøgerne VII, VIII og IX udgør en afhandling om talteorien; teorien om proportioner anvendes på tal i dem. Bog VII definerer ligheden af forhold mellem heltal, eller med moderne pointe vision, er teorien om rationelle tal bygget. Af de mange egenskaber ved tal studeret af Euklid (paritet, delelighed osv.), citerer vi for eksempel påstand 20 i Bog IX, som fastslår eksistensen uendeligt antal"første", dvs. primtal: "Der er flere primtal end noget foreslået antal primtal." Hans bevis ved modsigelse kan stadig findes i algebra lærebøger.

Bog X er svær at læse; den indeholder en klassifikation af kvadratiske irrationelle størrelser, som er repræsenteret der ved geometriske linjer og rektangler. Sådan er påstand 1 formuleret i bog X i Euklids elementer: "Hvis der gives to ulige størrelser, og en del trækkes fra den største, mere end halvdelen, og fra resten - igen en del større end halvdelen, og dette gentages konstant, så forbliver der en dag en værdi, der er mindre end den mindste af de givne værdier." moderne sprog: Hvis a og b er positive reelle tal og a > b, så eksisterer der altid et naturligt tal m, således at mb > a. Euklid beviste gyldigheden af geometriske transformationer.

Bog XI er afsat til stereometri. I Bog XII, som sandsynligvis også går tilbage til Eudoxus, sammenlignes områderne af kurvelinede figurer med områderne af polygoner ved hjælp af metoden til udmattelse. Emnet for bog XIII er konstruktionen af regulære polyedre. Konstruktionen af de platoniske faste stoffer, som tilsyneladende fuldender Elementerne, gav grund til at klassificere Euklid som en tilhænger af Platons filosofi.

INTERESSEOMRÅDER

Ud over "Elementerne" er følgende værker af Euklid nået til os: en bog under den latinske titel "Data" (med en beskrivelse af de betingelser, hvorunder ethvert matematisk billede kan betragtes som "data"); en bog om optik (indeholdende læren om perspektiv), om katoptri (som skitserer teorien om forvrængninger i spejle), en bog "Division of Figures". Ikke bevaret pædagogisk arbejde Euklid "Om falske konklusioner" (i matematik). Euklid skrev også værker om astronomi ("fænomener") og musik.

MERIT AF EUCLID

EUCLIDS SÆTNING om primtal: sættet af primtal er uendeligt (Euklides' Elementer, Bog IX, Sætning 20). Mere nøjagtige kvantitative oplysninger om mængden af primtal i den naturlige række er indeholdt i Chebyshevs sætning om primtal og den asymptotiske formel. loven om fordeling af primtal.

EUCLIDAN GEOMETRY - rummets geometri beskrevet af et system af aksiomer, den første systematiske (men ikke tilstrækkeligt stringente) præsentation blev givet i Euklids elementer. Normalt beskrives rummet i et elektronisk geometrisk system som et sæt af objekter af tre slags, kaldet "punkter", "lige linjer" og "planer"; relationer mellem dem: tilhørsforhold, orden ("at ligge imellem"), kongruens (eller begrebet bevægelse); kontinuitet. En særlig plads i aksiomatikken hos E. indtager parallelaksiomet (femte postulat). Den første tilstrækkeligt strenge aksiomatik af J. g. blev foreslået af D. Hilbert (D. Hilbert, se Hilberts system af aksiomer). Der er modifikationer af Hilbert-aksiomatikken og andre varianter af aksiomatikken i E.G. For eksempel tages begrebet vektor i vektorpunktaksiomatikken som et af de grundlæggende begreber; Aksiomatikken af f.eks. kan baseres på symmetriforholdet (se).

EUCLIDAN FELT er et ordnet felt, hvor hvert positivt element er et kvadrat. For eksempel er feltet R for reelle tal en E.p. Feltet Q for rationelle tal er ikke et E.p. L. Popov.

EUKLIDISK RUM er et rum, hvis egenskaber er beskrevet af den euklidiske geometris aksiomer. I mere i generel forstand E.p. - finit-dimensional real vektor rum Rn med skalært produkt(x, y), x, som i korrekt valgte koordinater (kartesisk) er udtrykt ved formlen

Kapitel IV Euklids algoritme

Euklidisk algoritme- en algoritme til at finde den største fælles divisor af to heltal. Denne algoritme er også anvendelig til at finde den største fælles divisor af polynomier, ringene, hvori den euklidiske algoritme er anvendelig, kaldes euklidiske ringe.

Euklid beskrev det i Bog VII og Bog X af Elementerne. I begge tilfælde gav han en geometrisk beskrivelse af algoritmen til at finde det "fælles mål" for to segmenter. Euklids algoritme var kendt i oldgræsk matematik mindst et århundrede før Euklid under navnet "antifiresis" - "sekventiel gensidig subtraktion".

Euklids algoritme for heltal

Lade -en Og b er heltal, der ikke er lig med nul på samme tid, og en talfølge

bestemt af, at hver rk dette er resten af at dividere det forudgående tal med det forrige, og det næstsidste divideres med det sidste fuldstændigt, dvs.

-en = bq 0 + r 1

b = r 1q 1 + r 2

r 1 = r 2q 2 + r 3

https://pandia.ru/text/78/222/images/image004_176.gif" width="47" height="20">, er bevist ved induktion på m.

Rigtigheden Denne algoritme følger af følgende to udsagn:

-en

Formler til ri kan omskrives som følger:

r 1 = -en + b(- q 0)

r 2 = b − r 1q 1 = -en(− q 1) + b(1 + q 1q 0)

margin-top:0cm" type="disc"> Forhold -en / b kan repræsenteres som en fortsat brøk:

Variationer og generaliseringer

Ringe, hvori den euklidiske algoritme er anvendelig, kaldes euklidiske ringe, som især omfatter ringen af polynomier.

Accelererede versioner af algoritmen

En metode til at accelerere den euklidiske heltalsalgoritme er at vælge symmetrisk rest:

En af de mest lovende versioner af den accelererede euklidiske algoritme for polynomier er baseret på det faktum, at algoritmens mellemværdier hovedsageligt afhænger af høje grader. Ved anvendelse af Divide & Conqurer-strategien observeres en stor acceleration i algoritmens asymptotiske hastighed.

KapitelV.
Axiomatik

Axiom(oldgræsk ἀξίωμα - udsagn, position) el påstå- en erklæring accepteret uden bevis.

Axiomatisering teori - en eksplicit indikation af et begrænset sæt af aksiomer. Udsagn, der følger af aksiomer, kaldes teoremer.

Eksempler på forskellige, men ækvivalente sæt af aksiomer kan findes i matematisk logik og euklidisk geometri.

Et sæt aksiomer kaldes konsistent, hvis det ved hjælp af logikkens regler er umuligt at nå frem til en modsigelse ud fra mængdens aksiomer. Aksiomer er en slags "referencepunkter" for konstruktionen af enhver videnskab, mens de selv ikke er bevist, men er afledt direkte fra empirisk observation (erfaring).

Udtrykket "aksiom" blev først fundet i Aristo i 322 f.Kr. f.Kr.) og flyttede til matematik fra filosofferne i det antikke Grækenland. Euklid skelner mellem begreberne "postulat" og "aksiom" uden at forklare deres forskelle. Siden Boethius' tid er postulater blevet oversat som krav (petitio), aksiomer som generelle begreber. Oprindeligt betød ordet "aksiom" "en sandhed, der er indlysende i sig selv." I forskellige manuskripter af Euklids elementer er opdelingen af udsagn i aksiomer og postulater forskellig, og deres rækkefølge er ikke sammenfaldende. Sandsynligvis havde de skriftlærde forskellige syn på forskellen mellem disse begreber.

KapitelVI. Euklidisk geometri og V-postulatet

Euklidisk geometri(gammel udtale - "Euklidisk") - velkendt geometri studeret i skolen. Normalt refererer til to eller tre dimensioner, selvom man kan tale om multidimensionelt euklidisk rum. Euklidisk geometri er opkaldt efter den antikke græske matematiker Euklid. I hans bog "Principia" beskrives især det euklidiske plans geometri systematisk.

Axiomatisering

Aksiomerne givet af Euklid i elementerne er som følger:

Gennem hvert andet punkt kan du tegne nøjagtig en lige linje. Du kan tegne en lige linje langs ethvert segment. Når du har et segment, kan du tegne en cirkel, så segmentet er radius, og en af dets ender er midten af cirklen. Alle rette vinkler er lige store. Euklids parallelismeaksiom: Gennem et punkt A udenfor linje a i planet, der går gennem A og a, kan der kun tegnes én ret linje, der ikke skærer a.

For at definere tredimensionelt euklidisk rum har vi brug for et par flere aksiomer. Der er andre, moderne aksiomatiseringer.

Problemet med fuldstændig aksiomatisering elementær geometri- et af de problemer med geometri, der opstod i det antikke Grækenland i forbindelse med kritik af dette første forsøg på at konstruere komplet system aksiomer, således at alle udsagn om euklidisk geometri følger af disse aksiomer ved en rent logisk konklusion uden tegningernes klarhed. Det første sådan komplette system af aksiomer blev skabt af D. Hilbert i 1899, det består allerede af 20 aksiomer opdelt i 5 grupper.

Euklids aksiom for parallellisme eller femte postulat- et af de aksiomer, der ligger til grund for klassisk planimetri. Først givet i Euklids Elementer.

Og hvis en ret linje, der falder på to rette linjer, danner indre vinkler på den ene side, der er mindre end to rette vinkler, så vil disse rette linjer, hvis de forlænges i det uendelige, mødes på den side, hvor vinklerne er mindre end to rette vinkler.

Euklid skelner mellem begreber påstå Og aksiom uden at forklare deres forskelle; i forskellige manuskripter af Euklids elementer er opdelingen af udsagn i aksiomer og postulater forskellig, ligesom deres rækkefølge ikke er sammenfaldende. I den klassiske udgave af Heybergs Principia er det angivne udsagn det femte postulat.

I moderne sprog kan Euklids tekst omformuleres som følger:

Hvis beløbet indvendige hjørner Med fælles side, dannet af to rette linjer, når de skærer en tredje, på den ene side af sekanten er mindre end 180°, så skærer disse rette linjer, og desuden på samme side af sekanten.

I skole lærebøger En anden formulering gives normalt, svarende til (svarende) til postulat V og tilhører Proclus:

margin-top:0cm" type="disc"> Der er et rektangel ( mindst en), det vil sige en firkant med alle rette vinkler. Der er lignende, men ikke lige store trekanter. Ethvert tal kan øges proportionalt. Der er en trekant af enhver størrelse. Gennem hvert punkt inden for en spids vinkel er det altid muligt at tegne en lige linje, der skærer begge dets sider. Hvis to lige linjer divergerer i den ene retning, så kommer de tættere på i den anden. Konvergerende lige linjer vil skære før eller siden. Der er linjer sådan, at afstanden fra et punkt til et andet er konstant. Hvis to lige linjer begynder at nærme sig hinanden, så er det umuligt for dem at begynde (i samme retning) at divergere. Summen af vinklerne er den samme for alle trekanter. Der er en trekant, hvis vinkler summeres til to rette vinkler. Der er parallelle linjer, og to linjer parallelt med den tredje er parallelle med hinanden. Der er parallelle linjer, og en lige linje, der skærer en af de parallelle linjer, vil helt sikkert skære den anden. For hver trekant er der en omskrevet cirkel. Pythagoras sætning er sand.

Deres ækvivalens betyder, at alle af dem kan bevises, hvis vi accepterer V-postulatet, og omvendt, erstatter V-postulatet med nogen af disse udsagn, kan vi bevise det oprindelige V-postulat som en sætning.

I ikke-euklidiske geometrier anvendes i stedet for V-postulatet et andet aksiom, som gør det muligt at skabe et alternativt, internt logisk konsistent system. For eksempel i Lobachevsky geometri er formuleringen som følger: " i et plan, gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, er det muligt at tegne mindst to forskellige rette linjer, der ikke skærer en given linje" Og i sfærisk geometri, hvor store cirkler fungerer som analoger til rette linjer, er der slet ingen parallelle lige linjer.

Det er klart, at i ikke-euklidisk geometri er alle ovenstående ækvivalente udsagn falske.

Forsøg på at bevise

Det femte postulat skiller sig skarpt ud blandt andre, som er ret indlysende (se Euklids elementer). Det ligner mere en kompleks, ikke-oplagt sætning. Euklid var sandsynligvis klar over dette, og derfor er de første 28 sætninger i Elementerne bevist uden hans hjælp.

Siden oldtiden har matematikere forsøgt at "forbedre Euklid" - enten at udelukke det femte postulat fra antallet af begyndelsesudsagn, det vil sige at bevise det baseret på de resterende postulater og aksiomer, eller at erstatte det med et andet, så indlysende som de andre postulerer. Håbet om opnåeligheden af dette resultat blev understøttet af det faktum, at Euklids IV postulat ( alle rette vinkler er lige store) viste sig virkelig at være overflødig - det blev strengt bevist som en teorem og udelukket fra listen over aksiomer.

I løbet af to årtusinder er mange beviser for det femte postulat blevet foreslået, men i hvert af dem, før eller siden, blev det opdaget ond cirkel: det viste sig, at der blandt de eksplicitte eller implicitte præmisser var et udsagn, som ikke kunne bevises uden at bruge det samme femte postulat.

Den første omtale af et sådant forsøg, der er kommet ned til os, siger, at Claudius Ptolemæus var involveret i dette, men detaljerne i hans bevis er ukendte. Proclus (5. århundrede e.Kr.) giver sit eget bevis, baseret på den antagelse, at afstanden mellem to usammenhængende linjer er en begrænset værdi; det viste sig senere, at denne antagelse svarer til det femte postulat.

Efter tilbagegangen af den antikke kultur tog matematikere fra islamiske lande postulatet V. Beviset for al-Abbas al-Jauhari, en elev af al-Khwarizmi (9. århundrede), implicit underforstået: hvis når to rette linjer skærer hinanden med en tredjedel, er de tværliggende vinkler ens, så sker det samme, når de samme to lige linjer skærer hinanden med enhver anden. Og denne antagelse svarer til postulatet V.

Thabit ibn Qurra (9. århundrede) gav 2 beviser; i den første stoler han på den antagelse, at hvis to rette linjer bevæger sig væk fra hinanden på den ene side, nærmer de sig nødvendigvis på den anden side. I den anden går han ud fra eksistensen af lige linjer med lige store afstande, og Ibn Kurra forsøger at udlede denne kendsgerning fra ideen om "simpel bevægelse", dvs. ensartet bevægelse i en fast afstand fra en lige linje (det synes indlysende at ham, at banen for en sådan bevægelse også er en ret linje). Hver af de to nævnte udtalelser fra Ibn Qurra svarer til postulat V.

https://pandia.ru/text/78/222/images/image011_109.gif" width="180" height="229">

Essay af Saccheri

En dybdegående undersøgelse af V-postulatet, baseret på et helt originalt princip, blev udført i 1733 af den italienske jesuitermunk og matematiklærer Girolamo Saccheri. Han udgav et værk med titlen " Euklid, renset for alle pletter, eller et geometrisk forsøg på at etablere de allerførste principper for al geometri". Saccheris idé var at erstatte V-postulatet med det modsatte udsagn, udlede så mange konsekvenser som muligt fra det nye system af aksiomer og derved konstruere en "falsk geometri", og finde modsigelser eller åbenlyst uacceptable bestemmelser i denne geometri. Derefter gyldigheden af V-postulatet vil blive bevist fra det modsatte.

Saccheri betragter de samme tre hypoteser om den 4. vinkel på Lambert-firkanten. hypotese Stump vinkel han afviste det straks af formelle grunde. Det er let at vise, at i dette tilfælde generelt skærer alle linjer hinanden, og så kan vi konkludere, at Euklids V-postulat er gyldigt - den siger jo netop, at under visse forhold skærer linjer hinanden. Heraf konkluderes det, at " den stumpe vinkelhypotese er altid fuldstændig falsk, da den ødelægger sig selv» .

Herefter går Saccheri videre til at tilbagevise "hypotesen for den akutte vinkel", og her er hans forskning meget mere interessant. Han indrømmer, at det er sandt, og den ene efter den anden beviser en hel række konsekvenser. Uden at have mistanke om det, bevæger han sig ret langt i at konstruere Lobachevskys geometri. Mange af sætningerne bevist af Saccheri virker intuitivt uacceptable, men han fortsætter kæden af sætninger. Endelig beviser Saccheri, at i "falsk geometri" enten skærer to linjer hinanden eller har en fælles vinkelret, iflg. begge sider, hvorfra de bevæger sig væk fra hinanden, eller bevæger sig væk fra hinanden på den ene side og uendeligt nærmer sig hinanden på den anden. På dette tidspunkt drager Saccheri en uventet konklusion: " spidsvinkelhypotesen er fuldstændig falsk, da den modsiger karakteren af en ret linje» .

Tilsyneladende følte Saccheri, at dette "bevis" var ubegrundet, fordi undersøgelsen fortsætter. Han betragter det lige langt - sted punkter i planet lige langt fra den rette linje; I modsætning til sine forgængere ved Saccheri, at det i dette tilfælde slet ikke er en lige linje. Men når han beregner længden af dens bue, laver Saccheri en fejl og kommer til en reel modsigelse, hvorefter han afslutter undersøgelsen og med lettelse erklærer, at han " rev denne ondsindede hypotese ud ved rødderne».

I anden halvdel af det 18. århundrede udkom mere end 50 værker om teorien om paralleller. Gennemgangen af disse år () undersøger mere end 30 forsøg på at bevise V-postulatet og beviser deres fejlslutning. Berømt tysk matematiker og fysikeren, som Klügel korresponderede med, blev også interesseret i problemet; hans "Teori parallelle linjer"blev udgivet posthumt i 1786.

Sfærisk geometri: alle linjer skærer hinanden

Lambert var den første til at opdage, at "stump vinkelgeometri" er realiseret på en kugle, hvis vi med rette linjer mener store cirkler. Han, ligesom Saccheri, udledte mange konsekvenser af "spidsvinkelhypotesen", og gik meget længere end Saccheri; især opdagede han, at tilføjelsen af summen af vinklerne i en trekant til 180° er proportional med trekantens areal.

I sin bog bemærkede Lambert klogt:

Det forekommer mig meget bemærkelsesværdigt, at den anden hypotese [om den stumpe vinkel] er berettiget, hvis vi i stedet for flade trekanter tager sfæriske trekanter. Jeg bliver næsten nødt til at drage en konklusion heraf - konklusionen om, at den tredje hypotese foregår på en eller anden imaginær sfære. Under alle omstændigheder må der være en grund til, at det ikke er så let at tilbagevise på et plan, som det kunne lade sig gøre i forhold til den anden hypotese.

https://pandia.ru/text/78/222/images/image014_44.jpg" width="180" height="135">

Lobatsjovskij og Bolyai udviste større mod end Gauss og offentliggjorde næsten samtidigt (omkring 1830) uafhængigt af hinanden en udlægning af det, der nu kaldes Lobatsjovskijs geometri. Som professionel af høj klasse kom Lobachevsky længst i studiet af ny geometri, og det bærer med rette hans navn. Men hans vigtigste fortjeneste er ikke dette, men det faktum, at han troede på den nye geometri og havde modet til at forsvare sin overbevisning (han foreslog endda at eksperimentelt teste V-postulatet ved at måle summen af vinklerne i en trekant).

Tragisk skæbne Lobachevsky, udstødt ind videnskabelige verden og det officielle miljø for for dristige tanker, viste, at Gauss frygt ikke var forgæves. Men hans kamp var ikke forgæves. Flere årtier senere satte matematikere (Bernhard Riemann) og derefter fysikere (General Relativity, Einstein) endelig en stopper for dogmet om det fysiske rums euklidiske geometri.

Hverken Lobachevsky eller Bolyai var i stand til at bevise konsistensen af den nye geometri - så havde matematikken endnu ikke de nødvendige midler til dette. Kun 40 år senere dukkede Klein-modellen og andre modeller op, der implementerede Lobachevsky-geometriens aksiomatik på grundlag af euklidisk geometri. Disse modeller beviser overbevisende, at negationen af postulat V ikke modsiger de andre geometriske aksiomer; herfra følger, at postulat V er uafhængigt af de andre aksiomer, og det er umuligt at bevise det. Det århundreder gamle idédrama er slut.

Kapitel VII. Euklids begyndelse.

Græsk tekst begyndte.

Under udgravninger af gamle byer blev der fundet adskillige papyrus indeholdende små fragmenter af Euklids elementer. Den bedst kendte blev fundet i ruinerne af den antikke by Oxyrhynchus, nær den moderne landsby Behnesa (ca. 110 miles op ad Nilen fra Kairo og 10 miles vest for den) og indeholder ordlyden II prop. 5 med et billede.

https://pandia.ru/text/78/222/images/image016_37.jpg" width="292" height="230 src="> .jpg" width="291" height="229 src=">

Euklid eller Euklid(gammel græsk Εὐκλείδης , fra "god berømmelse", blomstrende tid - omkring 300 f.Kr. BC) - oldgræsk matematiker, forfatter til den første teoretiske afhandling om matematik, der er kommet ned til os. Biografiske oplysninger om Euklid er yderst sparsomme. Det eneste, der kan anses for pålideligt, er, at hans videnskabelige aktivitet fandt sted i Alexandria i det 3. århundrede. f.Kr e.

Biografi

Den mest pålidelige information om Euklids liv anses for at være den lille, der er givet i Procluss kommentarer til den første bog Begyndte Euklid (selvom det skal tages i betragtning, at Proclus levede næsten 800 år efter Euklid). Idet han bemærkede, at "dem, der skrev om matematikkens historie" ikke førte udviklingen af denne videnskab til Euklids tid, påpeger Proclus, at Euklid var yngre end Platons kreds, men ældre end Arkimedes og Eratosthenes, "levede i tiden Ptolemaios I Soter," "fordi Arkimedes, der levede under Ptolemæus den Første, nævner Euklid og især siger, at Ptolemæus spurgte ham, om der var en kortere vej til at studere geometri end Begyndelser; og han svarede, at der ikke er nogen kongelig vej til geometri."

Yderligere detaljer til Euklids portræt kan hentes fra Pappus og Stobaeus. Pappus rapporterer, at Euklid var mild og venlig over for alle, der selv i den mindste grad kunne bidrage til udviklingen af matematiske videnskaber, og Stobaeus fortæller en anden anekdote om Euklid. Efter at have begyndt at studere geometri og efter at have analyseret den første sætning, spurgte en ung mand Euklid: "Hvilken fordel vil jeg få ud af denne videnskab?" Euklid ringede til slaven og sagde: "Giv ham tre oboler, da han vil tjene penge på sine studier." Historiens historicitet er tvivlsom, da en lignende fortælles om Platon.

Nogle moderne forfattere fortolker Procluss udsagn - Euklid levede på Ptolemæus I Soters tid - til at betyde, at Euklid boede ved Ptolemæus' hof og var grundlæggeren af det Alexandriske Museion. Det skal dog bemærkes, at denne idé blev etableret i Europa i det 17. århundrede, mens middelalderlige forfattere identificerede Euklid med eleven af Sokrates, filosoffen Euklid af Megara.

Arabiske forfattere troede, at Euklid boede i Damaskus og udgav der " Begyndelser»Apollonia. Et anonymt arabisk manuskript fra det 12. århundrede rapporterer:

Euclid, søn af Naucrates, kendt som "Geometra", en videnskabsmand fra gamle tider, græsk af oprindelse, syrisk af bopæl, oprindeligt fra Tyrus...

Navnet Euklid er også forbundet med dannelsen af alexandrinsk matematik (geometrisk algebra) som en videnskab. Generelt er mængden af data om Euklid så sparsom, at der er en version (dog ikke udbredt), at vi taler om det kollektive pseudonym for en gruppe Alexandriske videnskabsmænd.

« Begyndelser»Euklid

Euklids hovedværk hedder Startede. Bøger med samme titel, som konsekvent præsenterede alle de grundlæggende fakta om geometri og teoretisk aritmetik, blev tidligere kompileret af Hippokrates fra Chios, Leontes og Theudius. Imidlertid Begyndelser Euklid skubbede alle disse værker ud af brug og forblev den grundlæggende lærebog i geometri i mere end to årtusinder. Da han lavede sin lærebog, inkluderede Euklid meget af det, der blev skabt af hans forgængere, ved at bearbejde dette materiale og bringe det sammen.

Begyndelser består af tretten bøger. Den første og nogle andre bøger er forudgået af en liste med definitioner. Forud for den første bog er der også en liste over postulater og aksiomer. Som regel definerer postulater grundlæggende konstruktioner (f.eks. "det kræves, at en ret linje kan trækkes gennem to vilkårlige punkter"), og aksiomer - generelle slutningsregler, når man arbejder med mængder (f.eks. "hvis to størrelser er lig med en tredjedel, de er lige mellem dig selv").

Euklid åbner portene til Matematikkens Have. Illustration fra Niccolò Tartaglias afhandling "The New Science"

I Bog I studeres trekanters og parallelogrammers egenskaber; Denne bog er kronet med den berømte Pythagoras sætning for retvinklede trekanter. Bog II, der går tilbage til Pythagoræerne, er afsat til den såkaldte "geometriske algebra". Bøgerne III og IV beskriver cirklernes geometri, såvel som indskrevne og omskrevne polygoner; da han arbejdede på disse bøger, kunne Euklid have brugt Hippokrates fra Chios' skrifter. I Bog V introduceres den generelle teori om proportioner, bygget af Eudoxus af Cnidus, og i Bog VI anvendes den på teorien om lignende figurer. Bøgerne VII-IX er afsat til talteori og går tilbage til pythagoræerne; forfatteren til bog VIII kan have været Archytas fra Tarentum. Disse bøger diskuterer sætninger om proportioner og geometriske progressioner, introducerer en metode til at finde den største fælles divisor af to tal (nu kendt som Euklid-algoritmen), konstruerer lige perfekte tal og beviser uendeligheden af sættet af primtal. I X-bogen, som er den mest omfangsrige og komplekse del Begyndte, er der konstrueret en klassifikation af irrationaliteter; det er muligt, at dens forfatter er Theaetetus fra Athen. Bog XI indeholder det grundlæggende i stereometri. I XII-bogen, ved hjælp af udmattelsesmetoden, bevises teoremer om forholdet mellem områderne af cirkler, såvel som volumen af pyramider og kegler; Forfatteren til denne bog er generelt anerkendt for at være Eudoxus af Cnidus. Endelig er Bog XIII viet konstruktionen af fem regulære polyedre; det menes, at nogle af konstruktionerne blev udviklet af Theaetetus fra Athen.

Begyndelser give et generelt grundlag for efterfølgende geometriske afhandlinger af Archimedes, Apollonius og andre antikke forfattere; de udsagn, der er bevist i dem, anses for at være alment kendte. Kommentarer vedr Lad os begynde i oldtiden var Hejre, Porfyr, Pappus, Proclus, Simplicius. En kommentar af Proclus til Bog I er bevaret, samt en kommentar af Pappus til Bog X (i arabisk oversættelse). Fra gamle forfattere går kommentartraditionen til araberne og derefter til middelalderens Europa.

I skabelsen og udviklingen af moderne videnskab Begyndelser spillede også en vigtig ideologisk rolle. De forblev en model for en matematisk afhandling, der strengt og systematisk præsenterede de vigtigste bestemmelser i en bestemt matematisk videnskab.

Andre værker af Euklid

Af de andre værker af Euklid har følgende overlevet:

Data (δεδομένα ) - om hvad der er nødvendigt for at definere en figur;
Om division (περὶ διαιρέσεων ) - delvist bevaret og kun i arabisk oversættelse; giver opdelingen af geometriske figurer i dele, der er lige store eller består af hinanden i et givet forhold;
Fænomener (φαινόμενα ) - anvendelser af sfærisk geometri til astronomi;
Optik (ὀπτικά ) - om lysets retlinede udbredelse.

Fra korte beskrivelser ved vi:

Porismer (πορίσματα ) - om de forhold, der bestemmer kurverne;
Keglesnit (κωνικά );
Overfladiske steder (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - om egenskaberne af keglesnit;
Pseudaria (ψευδαρία ) - om fejl i geometriske beviser;

Euclid er også krediteret med:

Euklid og oldtidens filosofi

Tekster og oversættelser

Gamle russiske oversættelser

Euklidisk elementer fra tolv neftoniske bøger blev udvalgt og reduceret til otte bøger gennem professor i matematik A. Farkhvarson. / Per. fra lat. I. Satarova. Petersborg, 1739. 284 s.
Elementer af geometri, det vil sige det første grundlag for videnskaben om afstandsmåling, bestående af akser Euklidisk bøger. / Per. fra fransk N. Kurganova. Petersborg, 1769. 288 s.
Euklidisk elementer otte bøger, nemlig: 1., 2., 3., 4., 5., 6., 11. og 12. / Per. fra græsk Sankt Petersborg,

Navn: Euklid (Euklid)

Leveår: omkring 325 f.Kr e. – 265 f.Kr e.

Stat: Det gamle Grækenland

Aktivitetsområde: Naturvidenskab, matematik, geometri

Alle ved, at videnskaben ikke blev opfundet i går - selv i oldtiden blev fremragende hjerner opdaget forskellige teoremer, teorier, skabte nye elementer. Matematik og astronomi var især æret. Ægypterne udmærkede sig også i disse videnskaber.

Nu er det umuligt at forestille sig matematik uden et teorem, uden berømt opdagelse Archimedes på badeværelset. Der var en anden græker, der ydede et væsentligt bidrag til videnskaben generelt. Han hedder Euklid.

Euklid (325 f.Kr. – 265 f.Kr.) var en græsk matematiker. Han betragtes som "geometriens fader". Hans lærebog, Elementerne, forblev en meget eftertragtet og præcis lærebog i matematik indtil slutningen af det 19. århundrede og er en af de mest udbredte bøger i verden. Men hvad kan man sige om forfatteren selv? Desværre ikke meget. Oplysninger om hans liv er yderst sparsomme og ofte usandsynlige.

Biografi af Euklid

Euklid blev født i midten af det 4. århundrede f.Kr. og levede i Alexandria, på territoriet af; toppe det kreativ aktivitet faldt under hans regeringstid (323-283 f.Kr.), og hans navn Euklid betyder "berømt, herlig". I nogle kilder er han også nævnt som Euklid af Alexandria.

Det er sandsynligt, at Euklid arbejdede med et hold matematikere i Alexandria, og han modtog sin grad ved hjælp af sin matematiske værker. Nogle historikere mener, at Euklids værk kan have været værket af flere forfattere, men de fleste er enige om, at én person - Euklid - var hovedforfatteren.

Det er sandsynligt, at Euklid studerede på akademiet i Athen, og mest af hans viden kom derfra. Det var der, han først stiftede bekendtskab med matematik, nemlig med en del af den - geometri.

Samtidige beskrev ham som en venlig, behagelig person at tale med. For eksempel skriver historikeren Pappus, at Euklid var

".. den mest retfærdige og velvillige over for alle, der var i stand til at fremme matematik på nogen måde. Han reagerede forsigtigt for ikke at forarge på nogen måde. Og selvom han var en stor videnskabsmand, pralede han aldrig af sig selv.”

OM personlige liv Matematik er ukendt - han viede næsten al sin tid til naturvidenskab.

Euklids postulater

Hans hovedbog"Elementer" (oprindeligt skrevet i oldgræsk) er blevet det grundlæggende arbejde i vigtige matematiske lære. Den er opdelt i 13 separate bøger.

Bøger et til seks er afsat til plangeometri.
Bøger syv til ni omhandler talteori
Bog otte om geometrisk progression
Bog ti er afsat til irrationelle tal
Bøger elleve til tretten præsenterer tredimensionel geometri (stereometri).

Euklids geni var at tage mange forskellige elementer af matematiske ideer og kombinere dem i et logisk, sammenhængende format.

Euklidisk Lemma, som siger, at en grundlæggende egenskab ved primtal er, at hvis et primtal deler produktet af to tal, skal det dividere mindst et af disse tal.

Euklids algoritme

Ved at bruge Euklids Lemma siger denne sætning, at hvert heltal mere end en enten selve et primtal eller et produkt af primtal og hvad der eksisterer en bestemt rækkefølge Primtal.

"Hvis to tal ganges med hinanden for at lave et bestemt tal, og ethvert tal, der er deleligt med deres produkt, vil også være deleligt med hvert af de oprindelige tal."

Euklidisk algoritme - effektiv metode at beregne den største fælles divisor (GCD) af to tal, det største antal, som deler dem begge uden at efterlade en rest.

Euklids geometri

Euklid beskrev et system af geometri, der beskæftiger sig med rummets form, relative position og egenskaber. Hans arbejde er kendt som euklidisk geometri. Det antages, at rummet har en dimension lig med tre.

Nogle gange sammenlignes hans værk "Elementer" med Bibelen - i den forstand, at hans værk er blevet oversat til mange sprog og bogstaveligt talt blev til opslagsbog mange videnskabsmænd og matematikere i de efterfølgende århundreder.

Ud over geometrien udforskede Euklid andre grene af matematikken. Det er dog værd at erkende, at Euklids bidrag til videnskaben er enormt - uden ham ville matematik formentlig ikke have været i stand til at åbne så meget for videnskabsmænd. Hans navn er uløseligt forbundet med geometri, studiet af rummet.

Biografi

Den mest pålidelige information om Euklids liv anses for at være den lille, der er givet i Procluss kommentarer til den første bog Begyndte Euklid. Idet han bemærkede, at "dem, der skrev om matematikkens historie" ikke førte udviklingen af denne videnskab til Euklids tid, påpeger Proclus, at Euklid var ældre end Platons kreds, men yngre end Arkimedes og Eratosthenes og "levede i tiden Ptolemaios I Soter," "fordi Arkimedes, der levede under Ptolemæus den Første, nævner Euklid og især siger, at Ptolemæus spurgte ham, om der var en kortere vej til at studere geometri end Begyndelser; og han svarede, at der ikke er nogen kongelig vej til geometri"

Euclid, søn af Naucrates, kendt som "Geometra", en videnskabsmand fra gamle tider, græsk af oprindelse, syrisk af bopæl, oprindeligt fra Tyrus...

Ifølge hans filosofiske synspunkter var Euklid højst sandsynligt en platonist.

Begyndelser Euklid

Euklids hovedværk hedder Begyndelser. Bøger med samme titel, som konsekvent præsenterede alle de grundlæggende fakta om geometri og teoretisk aritmetik, blev tidligere kompileret af Hippokrates fra Chios, Leontes og Theudius. Imidlertid Begyndelser Euklid skubbede alle disse værker ud af brug og forblev den grundlæggende lærebog i geometri i mere end to årtusinder. Da han lavede sin lærebog, inkluderede Euklid meget af det, der blev skabt af hans forgængere, ved at bearbejde dette materiale og bringe det sammen.

I Bog I studeres trekanters og parallelogrammers egenskaber; Denne bog er kronet med den berømte Pythagoras sætning for retvinklede trekanter. Bog II, der går tilbage til Pythagoræerne, er afsat til den såkaldte "geometriske algebra". Bøgerne III og IV beskriver cirklernes geometri, såvel som indskrevne og omskrevne polygoner; da han arbejdede på disse bøger, kunne Euklid have brugt Hippokrates fra Chios' skrifter. I Bog V introduceres den generelle teori om proportioner, bygget af Eudoxus af Cnidus, og i Bog VI anvendes den på teorien om lignende figurer. Bøgerne VII-IX er afsat til talteori og går tilbage til pythagoræerne; forfatteren til bog VIII kan have været Archytas fra Tarentum. Disse bøger diskuterer sætninger om proportioner og geometriske progressioner, introducerer en metode til at finde den største fælles divisor af to tal (nu kendt som Euklid-algoritmen), konstruerer lige perfekte tal og beviser uendeligheden af sættet af primtal. I X-bogen, som er den mest omfangsrige og komplekse del Begyndte, er der konstrueret en klassifikation af irrationaliteter; det er muligt, at dens forfatter er Theaetetus fra Athen. Bog XI indeholder det grundlæggende i stereometri. I XII-bogen, ved hjælp af udmattelsesmetoden, bevises teoremer om forholdet mellem områderne af cirkler, såvel som volumen af pyramider og kegler; Forfatteren til denne bog er generelt anerkendt for at være Eudoxus af Cnidus. Endelig er Bog XIII viet konstruktionen af fem regulære polyedre; det menes, at nogle af konstruktionerne blev udviklet af Theaetetus fra Athen.

Andre værker af Euklid

Statue af Euclid på Oxford University Museum of Natural History

Af de andre værker af Euklid har følgende overlevet:

Data (δεδομένα ) - om hvad der er nødvendigt for at definere en figur;
Om division (περὶ διαιρέσεων ) - delvist bevaret og kun i arabisk oversættelse; giver opdelingen af geometriske figurer i dele, der er lige store eller består af hinanden i et givet forhold;
Fænomener (φαινόμενα ) - anvendelser af sfærisk geometri til astronomi;
Optik (ὀπτικά ) - om lysets retlinede udbredelse.

Fra korte beskrivelser ved vi:

Porismer (πορίσματα ) - om de forhold, der bestemmer kurverne;
Keglesnit (κωνικά );
Overfladiske steder (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - om egenskaberne af keglesnit;
Pseudaria (ψευδαρία ) - om fejl i geometriske beviser;

Euclid er også krediteret med:

Euklid og oldtidens filosofi

Den græske afhandling om Pseudo-Euklid med russisk oversættelse og noter af G. A. Ivanov blev udgivet i Moskva i 1894

Litteratur

Bibliografi

Max stak. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der “Elemente” des Euklid (um 365-300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.

Tekster og oversættelser

Gamle russiske oversættelser

Euklidisk elementer fra tolv ikke-phtoniske bøger blev udvalgt og reduceret til otte bøger gennem professor i matematik A. Farkhvarson. / Per. fra lat. I. Satarova. Petersborg, 1739. 284 s.
Elementer af geometri, det vil sige det første grundlag for videnskaben om afstandsmåling, bestående af akser Euklidisk bøger. / Per. fra fransk N. Kurganova. Petersborg, 1769. 288 s.
Euklidisk elementer otte bøger, nemlig: 1., 2., 3., 4., 5., 6., 11. og 12. / Per. fra græsk Sankt Petersborg, . 370 s.
- 2. udg. ...bog 13 og 14 er knyttet hertil. 1789. 424 s.
Euklidiske principper otte bøger, nemlig: de første seks, 11. og 12., der indeholder geometriens fundament. / Per. F. Petrushevsky. Petersborg, 1819. 480 s.
Euklidisk begyndte tre bøger, nemlig: den 7., 8. og 9., der indeholder den generelle teori om tal for gamle geometre. / Per. F. Petrushevsky. Petersborg, 1835. 160 s.
Otte bøger om geometri Euklid. / Per. med ham. elever af en rigtig skole... Kremenchug, 1877. 172 s.
Begyndelser Euklid. / Fra input. og fortolkninger af M.E. Vashchenko-Zakharchenko. Kiev, 1880. XVI, 749 s.

Moderne udgaver værker af Euklid

Euklids begyndelse. Om. og komm. D. D. Mordukhai-Boltovsky, red. med deltagelse af I. N. Veselovsky og M. Ya. I 3 bind (Serien "Naturhistoriens Klassikere"). M.: GTTI, 1948-50. 6000 eksemplarer

Bøger I-VI (1948. 456 s.) på www.math.ru eller på mccme.ru
Bøger VII-X (1949. 512 s.) på www.math.ru eller på mccme.ru
Bøger XI-XIV (1950. 332 s.) på www.math.ru eller på mccme.ru

Euclidus Opera Omnia. Ed. I. L. Heiberg & H. Menge. 9 bind. Leipzig: Teubner, 1883-1916.

Vol. I-IX på www.wilbourhall.org

Heath T.L. De tretten bøger af Euklids elementer. 3 bind. Cambridge UP, 1925. Udgaver og oversættelser: Græsk (red. J. L. Heiberg), engelsk (red. Th. L. Heath)
Euklid. Færre elementer. 4 bind. Trad. et komm. B. Vitrac; intr. M. Hulegravning. P.: Presses universitaires de France, 1990-2001.
Barbera A. Kanonens euklidiske afdeling: græske og latinske kilder // Græsk og latinsk musikteori. Vol. 8. Lincoln: University of Nebraska Press, 1991.

Kommentarer

Antikke kommentarer Begyndte

Proclus Diadocos. Kommentarer til den første bog af Euklids elementer. Introduktion. Om. og komm. Yu. A. Shichalina. M.: GLK, 1994.
Proclus Diadocos. Kommentarer til den første bog af Euklids elementer. Postulater og aksiomer. Om. A. I. Shchetnikova. ΣΧΟΛΗ , bind. 2, 2008, s. 265-276.
Proclus Diadocos. Kommentar til den første bog af Euklids elementer. Definitioner. Om. A. I. Shchetnikova. Arche: Proces af det kulturlogiske seminar, bind. 5. M.: RSUH, 2009, s. 261-320.
Thompson W. Pappus' kommentar til Euklids elementer. Cambridge, 1930.

Forskning

OM Begyndelser Euklid

Alimov N. G. Størrelse og relation i Euklid. Historisk og matematisk forskning, bind. 8, 1955, s. 573-619.
Bashmakova I. G. Aritmetiske bøger af Euklids elementer. , bind. 1, 1948, s. 296-328.
Van der Waerden B.L. Waking Science. M.: Fizmatgiz, 1959.
Vygodsky M. Ya "Principper" af Euklid. Historisk og matematisk forskning, bind. 1, 1948, s. 217-295.
Glebkin V.V. Videnskab i kultursammenhæng: ("Euclides' Elements" og "Jiu Zhang Xuan Shu"). M.: Interprax, 1994. 188 s. 3000 eksemplarer. ISBN 5-85235-097-4
Kagan V.F. Euclid, hans efterfølgere og kommentatorer. I bogen: Kagan V.F. Fundamenter for geometri. Del 1. M., 1949, s. 28-110.
Raik A.E. Den tiende bog af Euklids elementer. Historisk og matematisk forskning, bind. 1, 1948, s. 343-384.
Rodin A.V. Euklids matematik i lyset af Platons og Aristoteles' filosofi. M.: Nauka, 2003.
Tseyten G.G. Matematikkens historie i antikken og middelalderen. M.-L.: ONTI, 1938.
Shchetnikov A.I. Den anden bog af Euklids "Elementer": dens matematiske indhold og struktur. Historisk og matematisk forskning, bind. 12(47), 2007, s. 166-187.
Shchetnikov A.I. Platons og Aristoteles' værker som bevis på dannelsen af et system af matematiske definitioner og aksiomer. ΣΧΟΛΗ , bind. 1, 2007, s. 172-194.

Artmann B. Euclids "Elementer" ogdet er forhistorie. Apeiron, v. 24, 1991, s. 1-47.
Brooker M.I.H., Connors J.R., Slee A.V. Euklid. CD ROM. Melbourne, CSIRO-Publ., 1997.
Burton H.E. Euklids optik. J. Opt. Soc. Amer., v. 35, 1945, s. 357-372.
Itard J. Lex livres arithmetiqués d'Euclide. P.: Hermann, 1961.
Fowler D.H. En invitation til at læse Bog X af Euklids elementer. Historia Mathematica, v. 19, 1992, s. 233-265.
Knorr W.R. Udviklingen af de euklidiske elementer. Dordrecht: Reidel, 1975.
Mueller I. Matematikfilosofi og deduktiv struktur i Euklids elementer. Cambridge (Mass.), MIT Press, 1981.
Schreiber P. Euklid. Leipzig: Teubner, 1987.
Seidenberg A. Udviklede Euklids elementer, bog I, geometri aksiomatisk? Arkiv for Nøjagtige videnskabers historie, v. 14, 1975, s. 263-295.
Staal J.F. Euclid og Panini // Filosofi øst og vest 1965. nr. 15. S. 99-115.
Taisbak C.M. Inddeling og logoer. En teori om ækvivalente par og sæt af heltal, fremsat af Euklid i de aritmetiske bøger om elementerne. Odense UP, 1982.
Taisbak C.M. Farvede firkanter. En guide til den tiende bog af Euklids elementer. København, Museum Tusculanum Press, 1982.
Garveri P. La geometrié grecque. Paris: Gauthier-Villars, 1887.

Om andre værker af Euklid

Zverkina G. A. Gennemgang af Euklids afhandling "Data". Matematik og praksis, matematik og kultur. M., 2000, s. 174-192.
Ilyina E. A. Om Euklids "data". Historisk og matematisk forskning, bind. 7(42), 2002, s. 201-208.
Sjal M. // . M., 1883.
Berggren J.L., Thomas R.S.D. Euklids fænomener: en oversættelse og undersøgelse af en hellenistisk afhandling i sfærisk astronomi. NY, Garland, 1996.
Schmidt R. Euklids modtagere, almindeligvis kaldet dataene. Golden Hind Press, 1988.
S. Kutateladze

Euklids biografi og hans opdagelser. Interessante fakta om Euklid

Biografi

Euklids elementer

Andre værker af Euklid

Euklid og oldtidens filosofi

Pseudo-Euklid

I. Introduktion……………………………………….…3

II. Matematik i det antikke Grækenland……………..4

III. Biografi om Euklid……………………………….5

IV. Euklidisk algoritme…………………………………8

V. Aksiomatik……………………………………….11

VI. Euklidisk geometri og V-postulat………..12

VII. Startede………………………………………………………………19

VIII. Problemer fra Euklids principper…………………………22

IX. Løsning af problemer…………………………………..23

X. Links til informationskilder......24

XI. Konklusion………………………………..25

I. Introduktion

Kapitel II. Matematik i det antikke Grækenland

Euklids algoritme for heltal

Variationer og generaliseringer

Axiomatisering

Forsøg på at bevise

Græsk tekst begyndte.

Biografi

« Begyndelser»Euklid

Andre værker af Euklid

Euklid og oldtidens filosofi

Tekster og oversættelser

Gamle russiske oversættelser

Biografi af Euklid

Euklids postulater

Euklids algoritme

Euklids geometri

Biografi

Begyndelser Euklid

Andre værker af Euklid

Euklid og oldtidens filosofi

Litteratur

Tekster og oversættelser

Kommentarer

Forskning

Kapitel II.
Matematik i det antikke Grækenland