Начертайте геометрично сложни числа. Графична форма за представяне на комплексни числа

Комплексни числа и
координирам
самолет

Геометричният модел на множеството R от реални числа е числовата ос. Всяко реално число съответства на една точка

на
числова ос и всяка точка от правата
само един съвпада
реално число!

Чрез добавяне на още едно измерение към числовата линия, съответстваща на множеството от всички реални числа - линията, съдържаща множеството от чисти числа

Чрез добавяне към числовата ос, съответстваща на множеството
от всички реални числа още едно измерение -
права линия, съдържаща набор от чисто въображаеми числа –
получаваме координатна равнина, в която всеки
комплексното число a+bi може да бъде свързано
точка (a; b) координатна равнина.
i=0+1i съответства на точка (0;1)
2+3i съответства на точка (2;3)
-i-4 съответства на точка (-4;-1)
5=5+1i съответства на меланхолия (5;0)

Геометричен смисъл на операцията спрежение

! Операцията на свързване е аксиална
симетрия спрямо абсцисната ос.
!! Конюгирани един с друг
комплексните числа са на еднакво разстояние от
произход.
!!! Вектори, изобразяващи
спрегнати числа, наклонени към оста
абсцисата под същия ъгъл, Но
разположени според различни страниот
тази ос.

Изображение на реални числа

Изображение на комплексни числа

Алгебрични
начин
изображения:
Комплексно число
изобразено е a+bi
равнинна точка
с координати
(a;b)

Примери за изобразяване на комплексни числа в координатната равнина

(Интересуваме се
комплексни числа
z=x+yi , за което
х=-4. Това е уравнението
директен,
успоредна ос
ордината)
при
X= - 4
Валиден
част е -4
0
X

Начертайте в координатната равнина множеството от всички комплексни числа, за които:

Въображаема част
е дори
недвусмислен
естествено
номер
(Интересуваме се
комплексни числа
z=x+yi, за което
y=2,4,6,8.
Геометрично изображение
се състои от четири
права, успоредна
ос x)
при
8
6
4
2
0
X

Комплексни числа

Въображаеми и комплексни числа. Абсциса и ордината

комплексно число. Конюгирани комплексни числа.

Операции с комплексни числа. Геометричен

изпълнение комплексни числа. Сложна равнина.

Модул и аргумент на комплексно число. Тригонометричен

сложна числова форма. Операции със сложен

числа в тригонометрична форма. Формулата на Моавър.

Първоначална информацияО въображаем и комплексни числа са дадени в раздел “Въображаеми и комплексни числа”. Необходимостта от тези числа от нов тип възникна при решаването на квадратни уравнения за случаяг< 0 (здесь г– дискриминант квадратно уравнение). За дълго времетези номера не бяха намерени физическо приложение, поради което бяха наречени „въображаеми“ числа. Сега обаче те се използват много широко в различни области на физиката.

и технологии: електротехника, хидро- и аеродинамика, теория на еластичността и др.

Комплексни числа се записват във вида:а+би. тук аи b – реални числа , А аз – въображаема единица, т.е.д. аз 2 = –1. Номер анаречен абсцисата, а b – ординатакомплексно числоa + bi.Две комплексни числаа+бии а–би се наричат конюгаткомплексни числа.

Основни споразумения:

1. Реално числоАможе да се напише и във форматакомплексно число:а + 0 азили а – 0 аз. Например записи 5 + 0ази 5 – 0 азозначава едно и също число 5 .

2. Комплексно число 0 + бинаречен чисто въображаемо номер. Записвайтебиозначава същото като 0 + би.

3. Две комплексни числаа+би иc + diсе считат за равни, акоa = cи b = d. В противен случай комплексните числа не са равни.

Допълнение. Сума от комплексни числаа+бии c + diсе нарича комплексно число (a+c ) + (b+d ) азпо този начин при добавяне комплексните числа, техните абциси и ординати се събират отделно.

Това определение съответства на правилата за операции с обикновени полиноми.

Изваждане. Разликата на две комплексни числаа+би(намалено) и c + di(субтрахенд) се нарича комплексно число (a–c ) + (б–г ) аз

по този начин При изваждане на две комплексни числа техните абсциси и ординати се изваждат отделно.

Умножение. Произведение на комплексни числаа+бии c + di се нарича комплексно число:

(ac–bd ) + (ad+bc ) азТова определение следва от две изисквания:

1) числа а+бии c + diтрябва да се умножи като алгебриченбиноми,

2) число азима основно свойство:аз 2 = – 1.

ПРИМЕР ( а+ би )(а–би) =а 2 +б 2 . следователно работа

две спрегнати комплексни числа е равно на реалното

положително число.

дивизия. Разделете комплексно числоа+би (делим) от другc + di(разделител) - означава да намерите третото числоe + f i(чат), което при умножение с делителc + di, води до дивидентаa + bi.

Ако делителя не е равно на нула, делбата винаги е възможна.

ПРИМЕР Намерете (8 +аз ) : (2 – 3 аз) .

Решение. Нека пренапишем това отношение като дроб:

Умножаване на неговия числител и знаменател по 2 + 3аз

И След като извършихме всички трансформации, получаваме:

Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата ос:

Тук е смисълът Аозначава числото –3, точкаб– номер 2, и О- нула. За разлика от тях комплексните числа са представени от точки в координатната равнина. За целта избираме правоъгълни (декартови) координати с еднакви мащаби по двете оси. След това комплексното числоа+би ще бъдат представени с точка P с абсцисата a и ордината b (виж снимката). Тази координатна система се нарича сложна равнина .

Модул комплексното число е дължината на вектораOP, представляващо комплексно число по координатата ( изчерпателен) самолет. Модул на комплексно числоа+биозначен | а+би| или писмо r

Задаването на комплексно число е еквивалентно на задаване на две реални числа a, b – реалната и имагинерната част на дадено комплексно число. Но подредена двойка числа е изобразена в декартова система правоъгълна системакоординати от точка с координати. Така тази точка може да служи като образ на комплексното число z: между комплексните числа и точките на координатната равнина се установява взаимно еднозначно съответствие. Когато се използва координатната равнина за изобразяване на комплексни числа, оста Ox обикновено се нарича реална ос (тъй като реалната част на числото се приема за абсцисата на точката), а оста Oy е въображаема ос (тъй като въображаемата част на числото се приема като ордината на точката). Комплексното число z, представено от точка (a, b), се нарича афикс на тази точка. В този случай реалните числа са представени от точки, лежащи на реалната ос, а всички чисто въображаеми числа (за a = 0) са представени от точки, лежащи на въображаемата ос. Числото нула е представено от точка O.

На фиг. Построени са 8 изображения на числа.

Две комплексно спрегнати числа са представени от точки, симетрични спрямо оста Ox (точки на фиг. 8).

Често свързана с комплексно число е не само точката M, представляваща това число, но и векторът OM (вижте параграф 93), водещ от O към M; Представянето на число като вектор е удобно от гледна точка на геометричната интерпретация на действието събиране и изваждане на комплексни числа.

На фиг. 9, а е показано, че векторът, представляващ сумата от комплексни числа, се получава като диагонал на успоредник, конструиран върху вектори, представящи членовете.

Това правило за добавяне на вектори е известно като правилото на паралелограма (например за добавяне на сили или скорости в курс по физика). Изваждането може да се сведе до събиране с противоположен вектор(Фиг. 9, b).

Както е известно (т. 8), положението на точка на равнината може да се определи и чрез нейните полярни координати. Така комплексното число - афиксът на точката също ще се определя от задачата От фиг. 10 е ясно, че в същото време модулът на комплексно число е: полярният радиус на точката, представляваща числото, равен на модултози номер.

Полярният ъгъл на точка M се нарича аргумент на числото, представено от тази точка. Аргументът на комплексно число (като полярния ъгъл на точка) не е дефиниран двусмислено; ако е една от неговите стойности, тогава всичките му стойности се изразяват с формулата

Всички стойности на аргумента се обозначават колективно със символа.

И така, всяко комплексно число може да бъде свързано с двойка реални числа: модул и аргумент дадено числои аргументът е дефиниран двусмислено. Напротив, отговаря на дадения модул и аргумент единствено число, имайки дадения модул и аргумент. Специални свойстваима числото нула: модулът му е нула и на аргумента не е присвоена конкретна стойност.

За да се постигне недвусмисленост в дефиницията на аргумента на сложно число, можете да се съгласите да наречете една от стойностите на аргумента основната. Обозначава се със символа. Обикновено основната стойност на аргумента се избира да бъде стойност, която удовлетворява неравенствата

(в останалите случаи неравенства).

Нека обърнем внимание и на стойностите на аргумента на реални и чисто въображаеми числа:

Реални и имагинерни части на комплексно число (както Декартови координатиточки) се изразяват чрез неговия модул и аргумент ( полярни координатиточки) по формули (8.3):

и комплексно число може да се запише в следната тригонометрична форма.

Комплексни числа

Основни понятия

Първоначалните данни за числеността са от каменно-медната епоха – палеомелита. Това са „един“, „няколко“ и „много“. Те бяха записани под формата на резки, възли и др. Развитието на трудовите процеси и появата на собствеността принудиха човека да измисли числата и техните имена. Първият появил се естествени числа Н, получени чрез преброяване на т. Тогава, наред с необходимостта да броят, хората са имали нужда да измерват дължини, площи, обеми, време и други величини, където е трябвало да вземат предвид части от използваната мярка. Така се появиха дробите. Формално обосноваване на концепциите за дробни и отрицателно числое извършено през 19 век. Набор от цели числа З– това са естествени числа, естествени числа със знак минус и нула. Цяло и дробни числаформира колекция рационални числа Q,но също така се оказа недостатъчен за изучаване на непрекъснато променящите се променливи. Битието отново показа несъвършенството на математиката: невъзможността да се реши уравнение от формата X 2 = 3, поради което се появиха ирационалните числа азОбединение на множеството от рационални числа Qи ирационални числа аз– набор от реални (или реални) числа Р. В резултат на това числовата линия беше запълнена: всяко реално число съответстваше на точка от нея. Но на много Рняма начин да се реши уравнение от вида X 2 = – А 2. Следователно отново възникна необходимостта от разширяване на понятието число. Така се появяват комплексните числа през 1545г. Техният създател J. Cardano ги нарече „чисто негативни“. Името "въображаем" е въведено през 1637 г. от французина Р. Декарт, през 1777 г. Ойлер предлага използването на първата буква френски номер азза обозначаване на имагинерната единица. Този символ влезе в обща употреба благодарение на К. Гаус.

През 17-ти и 18-ти век дискусията за аритметичната природа на имагинерите и тяхната геометрична интерпретация продължава. Датчанинът G. Wessel, французинът J. Argan и германецът K. Gauss независимо предложиха да представят комплексно число като точка в координатната равнина. По-късно се оказа, че е още по-удобно да се представи число не чрез самата точка, а чрез вектор, който отива към тази точка от началото.

Едва към края на 18-ти и началото на 19-ти век комплексните числа заемат полагащото им се място в математически анализ. Първото им използване е на теория диференциални уравненияи в теорията на хидродинамиката.

Определение 1.Комплексно числосе нарича израз на формата , където хи гса реални числа и аз– имагинерна единица, .

Две комплексни числа и равенако и само ако , .

Ако , тогава номерът се извиква чисто въображаемо; ако , тогава числото е реално число, това означава, че множеството Р СЪС, Къде СЪС– набор от комплексни числа.

Конюгаткъм комплексно число се нарича комплексно число.

Геометрично изображениекомплексни числа.

Всяко комплексно число може да бъде представено с точка М(х, г) самолет Окси.Двойка реални числа също означава координатите на радиус вектора , т.е. между набора от вектори на равнината и набора от комплексни числа може да се установи еднозначно съответствие: .

Определение 2.Реална част X.

Обозначение: х= Re z(от латински Realis).

Определение 3.Въображаема часткомплексното число е реално число г.

Обозначение: г= Im z(от латински Imaginarius).

Re zсе отлага върху оста ( О), им zсе отлага върху оста ( о), тогава векторът, съответстващ на комплексното число, е радиус векторът на точката М(х, г), (или М(Re z, им z)) (фиг. 1).

Определение 4.Нарича се равнина, чиито точки са свързани с набор от комплексни числа сложна равнина. Абсцисната ос се нарича реална ос, тъй като съдържа реални числа. Оста у се нарича въображаема ос, то съдържа чисто въображаеми комплексни числа. Означава се множеството от комплексни числа СЪС.

Определение 5.Модулкомплексно число z = (х, г) се нарича дължина на вектора: , т.е. .

Определение 6.Аргументкомплексно число е ъгълът между положителната посока на оста ( о) и вектор: .

Съществуват следните форми на комплексни числа: алгебричен(x+iy), тригонометричен(r(cos+isin )), показателен(re i ).

Всяко комплексно число z=x+iy може да бъде представено върху Самолет XOUпод формата на точка A(x,y).

Равнината, върху която са изобразени комплексните числа, се нарича равнина на комплексната променлива z (поставяме символа z на равнината).

Оста OX е реалната ос, т.е. съдържа реални числа. OU е имагинерна ос с имагинерни числа.

x+iy- алгебрична форма на запис на комплексно число.

Нека изведем тригонометричната форма на запис на комплексно число.

Заместваме получените стойности в първоначалната форма: , т.е.

r(cos+исин) - тригонометрична форма на запис на комплексно число.

Експоненциалната форма на запис на комплексно число следва от формулата на Ойлер:
,Тогава

z= повторно аз - експоненциална форма на запис на комплексно число.

Операции с комплексни числа.

1. допълнение. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . изваждане. z 1 -z 2 =(x1+iy1)-(x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. умножение. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . разделение. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Две комплексни числа, които се различават само по знака на имагинерната единица, т.е. z=x+iy (z=x-iy) се наричат спрегнати.

работа.

z1=r(cos +исин ); z2=r(cos +исин ).

Това произведение z1*z2 на комплексни числа се намира: , т.е. модулът на произведението е равен на произведението на модулите, а аргументът на произведението е равен на сумата от аргументите на факторите.

;
;

Частно.

Ако комплексните числа са дадени в тригонометрична форма.

Ако комплексните числа са дадени в експоненциална форма.

степенуване.

1. Комплексно число, дадено в алгебричен форма.

z=x+iy, тогава z n се намира от Биномна формула на Нютон:

- броят на комбинациите от n елемента от m (броят начини, по които могат да бъдат взети n елемента от m).

;
.

n!=1*2*…*n; 0!=1;

Кандидатствайте за комплексни числа.

В получения израз трябва да замените степените i с техните стойности: i 0 =1 От тук дообщ случай

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Пример.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. тригонометричен форма.

z=r(cos +исин ), това

- Формулата на Моавър.

Тук n може да бъде „+“ или „-“ (цяло число).

3. Ако е дадено комплексно число показателен форма:

Извличане на корен.

Разгледайте уравнението:
.

Неговото решение ще бъде n-ти корен от комплексното число z:
.

Коренът n-та от комплексно число z има точно n решения (стойности). Корен от текуща дата n-та степен има само едно решение. В сложните има n решения.

Ако е дадено комплексно число тригонометричен форма:

z=r(cos +исин ), тогава n-тият корен от z се намира по формулата:

, където k=0,1…n-1.

Редове. Цифрови серии.

Нека променливата a приема последователно стойностите a 1, a 2, a 3,…, a n. Такъв преномериран набор от числа се нарича последователност. Тя е безкрайна.

Числова серия е изразът a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= . Числата a 1, a 2, a 3,... и n са членове на редицата.