النقطة المادية تتحرك. المعنى المادي للمشتق

المعنى الجسديالمشتق. يتضمن امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات مجموعة من المسائل لحلها والتي تتطلب معرفة وفهم المعنى الفيزيائي للمشتق. على وجه الخصوص، هناك مشاكل حيث يتم إعطاء قانون حركة نقطة معينة (جسم)، يعبر عنها بالمعادلةوتحتاج إلى إيجاد سرعته في لحظة معينة من وقت الحركة، أو الوقت الذي سيكتسب الجسم بعده سرعة معينة.المهام بسيطة للغاية، ويمكن حلها في إجراء واحد. لذا:

دعونا نعطي قانون الحركة نقطة ماديةس(ر) على طول محور الإحداثيات، حيث x هو إحداثي النقطة المتحركة، t هو الوقت.

السرعة في لحظة معينة من الزمن هي مشتقة الإحداثيات بالنسبة للزمن. هذا هو ما المعنى الميكانيكيالمشتق.

وبالمثل، فإن التسارع هو مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن:

وبالتالي، فإن المعنى المادي للمشتق هو السرعة. قد يكون هذا هو سرعة الحركة، ومعدل تغير العملية (على سبيل المثال، نمو البكتيريا)، ومعدل الشغل المنجز (وهكذا، المشاكل التطبيقيةمجموعة من).

بالإضافة إلى ذلك، أنت بحاجة إلى معرفة جدول المشتقات (تحتاج إلى معرفته تمامًا مثل جدول الضرب) وقواعد التفاضل. على وجه التحديد، لحل المشكلات المحددة، من الضروري معرفة المشتقات الستة الأولى (انظر الجدول):

دعونا نفكر في المهام:

س (ر) = ر 2 – 7ر – 20

حيث xt هو الوقت بالثواني المقاسة من بداية الحركة. أوجد سرعتها (بالأمتار في الثانية) عند الزمن t = 5 s.

المعنى المادي للمشتق هو السرعة (سرعة الحركة، معدل تغير العملية، سرعة العمل، الخ)

لنجد قانون تغير السرعة: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

عند t = 5 لدينا:

الجواب: 3

تقرر لنفسك:

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم حسب القانون x (t) = 6t 2 – 48t + 17 حيث س- المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، ر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة. أوجد سرعتها (بالأمتار في الثانية) عند الزمن t = 9 s.

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم حسب القانون x (t) = 0.5t 3 - 3ط 2 + 2ط، حيث سر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة. أوجد سرعتها (بالأمتار في الثانية) عند الزمن t = 6 s.

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم وفقا للقانون

س (ر) = –ر 4 + 6ر 3 + 5ر + 23

أين س- المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار،ر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة. أوجد سرعتها (بالأمتار في الثانية) عند الزمن t = 3 s.

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم وفقا للقانون

س(ر) = (١/٦)ر ٢ + ٥ر + ٢٨

حيث x هي المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، وt هو الوقت بالثواني، ويقاس من بداية الحركة. في أي نقطة زمنية (بالثواني) كانت سرعته تساوي 6 م/ث؟

لنجد قانون تغير السرعة:

من أجل العثور على نقطة في الوقت المناسبروكانت السرعة 3 م/ث فمن الضروري حل المعادلة:

الجواب: 3

تقرر لنفسك:

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم حسب القانون x (t) = t 2 – 13t + 23 حيث س- المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، ر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة. في أي نقطة زمنية (بالثواني) كانت سرعتها تساوي 3 م/ث؟

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم وفقا للقانون

س (ر) = (1/3) ر 3 – 3ر 2 – 5ر + 3

أين س- المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، ر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة. في أي نقطة زمنية (بالثواني) كانت سرعتها تساوي 2 م/ث؟

أود أن أشير إلى أنه لا ينبغي عليك التركيز فقط على هذا النوع من المهام في امتحان الدولة الموحدة. قد يطرحون بشكل غير متوقع مشاكل تتعارض تمامًا مع تلك المقدمة. عندما يتم إعطاء قانون تغير السرعة وسيكون السؤال حول إيجاد قانون الحركة.

تلميح: في هذه الحالة، تحتاج إلى إيجاد تكامل دالة السرعة (هذه أيضًا مهمة من خطوة واحدة). إذا كنت بحاجة إلى إيجاد المسافة المقطوعة عند نقطة زمنية معينة، فستحتاج إلى تعويض الوقت في المعادلة الناتجة وحساب المسافة. ومع ذلك، سنقوم أيضًا بتحليل مثل هذه المشكلات، فلا تفوتها!أتمنى لك النجاح!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

النقطة تتحرك بشكل مستقيم وفقا للقانون ق = ر 4 +2ط (ق -بالمتر، ر-في ثوان). أوجد تسارعها المتوسط في الفترة بين العزوم ر 1 = 5 ث، ر 2 = 7 ث، فضلاً عن تسارعها الحقيقي في الوقت الحالي ر 3 = 6 ثانية.

حل.

1. أوجد سرعة النقطة كمشتقة للمسار S بالنسبة إلى الزمن ر،أولئك.

2. بالتعويض بدلا من قيمتي t 1 = 5 s و t 2 = 7 s نجد السرعات:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 م/ث؛ ف 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 م/ث.

3. حدد زيادة السرعة ΔV للوقت Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 م/ث.

4. وبالتالي فإن متوسط تسارع النقطة سيكون مساوياً لـ

5. لتحديد القيمة الحقيقية لتسارع نقطة ما، نأخذ مشتقة السرعة بالنسبة للزمن:

6. الاستبدال بدلاً من ذلك رالقيمة t 3 = 6 s، نحصل على التسارع عند هذه النقطة الزمنية

أ أف =12-6 3 =432 م/ث 2 .

حركة منحنية.في حركة منحنيةتتغير سرعة النقطة من حيث الحجم والاتجاه.

دعونا نتخيل نقطة م،والتي خلال الوقت Δt، تتحرك على طول بعض مسار منحني، انتقل إلى الموقف م 1(الشكل 6).

زيادة السرعة (التغيير) ناقلات ΔV سوف

ل للعثور على المتجه ΔV، حرك المتجه V 1 إلى هذه النقطة موبناء مثلث السرعة. دعونا نحدد متجه متوسط التسارع:

المتجه مرعوبيوازي المتجه ΔV، منذ قسمة المتجه عليه كمية عدديةاتجاه المتجه لا يتغير. متجه التسارع الحقيقي هو الحد الذي تميل عنده نسبة متجه السرعة إلى الفاصل الزمني المقابل Δt إلى الصفر، أي.

ويسمى هذا الحد مشتق المتجه.

هكذا، التسارع الحقيقي لنقطة ما أثناء الحركة المنحنية يساوي مشتق المتجه بالنسبة للسرعة.

من الشكل. 6 ومن الواضح أن يتم دائمًا توجيه ناقل التسارع أثناء الحركة المنحنية نحو تقعر المسار.

لتسهيل الحسابات، يتم تقسيم التسارع إلى مكونين لمسار الحركة: على طول المماس، يسمى التسارع العرضي (العرضي) أ، وعلى طول الوضع الطبيعي، يسمى التسارع الطبيعي n (الشكل 7).

في هذه الحالة، سيكون التسارع الإجمالي مساويًا لـ

التسارع العرضي يتطابق في الاتجاه مع سرعة النقطة أو يكون معاكسًا لها. إنه يميز التغير في السرعة ويتم تحديده وفقًا للصيغة

التسارع الطبيعي يكون عموديا على اتجاه سرعة النقطة، و القيمة العدديةيتم تحديده بواسطة الصيغة

حيث ص - نصف قطر انحناء المسار عند النقطة قيد النظر.

بما أن التسارعين العرضي والعادي متعامدان، فإن قيمة التسارع الإجمالي يتم تحديدها بالصيغة

واتجاهها

لو ، ثم يتم توجيه التسارع العرضي ومتجهات السرعة في اتجاه واحد وسيتم تسريع الحركة.

لو ، ثم يتم توجيه ناقل التسارع العرضي إلى الجانب، مقابل المتجهالسرعة وستكون الحركة بطيئة.

المتجه التسارع الطبيعيدائمًا ما يكون متجهًا نحو مركز الانحناء، ولهذا يُسمى بالجاذب المركزي.

- المعلم دومبادزي ف.أ.
من المدرسة 162 في منطقة كيروف في سانت بطرسبرغ.

مجموعة فكونتاكتي لدينا
تطبيقات الهاتف الجوال:

(أين س ر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة). أوجد سرعتها (م/ث) في اللحظة الزمنية ر= 9 ثانية.

في ر= 9 ق لدينا:

لماذا حذفنا العدد ١٧ من المعادلة الأصلية؟

أوجد مشتقة الدالة الأصلية.

لا يوجد رقم 17 في المشتقة

لماذا تجد المشتقة؟

السرعة هي مشتقة الإحداثيات بالنسبة للزمن.

المشكلة تطلب منك العثور على السرعة

س- المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، ر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة). أوجد سرعتها بـ (م/ث) في اللحظة الزمنية ر= 6 ثانية.

لنجد قانون تغير السرعة:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16، وليس 20

تذكر الإجراء

منذ متى كان الجمع أفضل من الطرح؟

الضرب له الأسبقية على الجمع والطرح. تذكر الأطفال مثال المدرسة: 2 + 2 · 2. اسمحوا لي أن أذكركم أنه هنا لا يوجد 8، كما يعتقد البعض، ولكن 6.

لم تفهم إجابة الضيف.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

إذن كل شيء صحيح، قم بالحسابات بنفسك.

2) الضرب/القسمة (يعتمد على الترتيب في المعادلة؛ ما يأتي أولاً يتم حله أولاً)؛

3) الجمع/الطرح (يعتمد بالمثل على الترتيب في المثال).

الضرب = القسمة، الجمع = الطرح =>

ليس 54 - (36+2)، بل 54-36+2 = 54+2-36 = 20

أولاً، بالنسبة لك - سيرجي باتكوفيتش. ثانيا هل فهمت ماذا تريد أن تقول ولمن؟ انا لم افهمك.

تتحرك نقطة مادية بشكل مستقيم وفقًا للقانون (حيث x هي المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، وt هو الوقت بالثواني المقاسة من بداية الحركة). أوجد سرعتها بـ (م/ث) عند الزمن s.

دعونا نجد قانون تغير السرعة: م/ث. عندما نمتلك:

درس في موضوع: "قواعد التفاضل" الصف الحادي عشر

الأقسام:الرياضيات

نوع الدرس: تعميم وتنظيم المعرفة.

أهداف الدرس:

التعليمية:
- تعميم وتنظيم المواد المتعلقة بموضوع إيجاد المشتق؛
- توحيد قواعد التمايز.
- الكشف للطلاب عن أهمية الفنون التطبيقية والتطبيقية للموضوع؛
النامية:
- ممارسة السيطرة على اكتساب المعرفة والمهارات؛
- تطوير وتحسين القدرة على تطبيق المعرفة في الوضع المتغير؛
- تطوير ثقافة الكلام والقدرة على استخلاص النتائج والتعميم؛
التعليمية:
- تطوير العملية المعرفية.
- غرس الدقة في التصميم والتصميم لدى الطلاب.

معدات:

جهاز عرض علوي، شاشة؛
بطاقات؛
أجهزة الكمبيوتر؛
طاولة؛
مهام متباينة في شكل عروض الوسائط المتعددة.

I. التحقق من الواجبات المنزلية.

1. استمع إلى تقارير الطلاب عن أمثلة استخدام المشتقات.

2. النظر في أمثلة لاستخدام المشتقات في الفيزياء والكيمياء والهندسة وغيرها من المجالات التي يقترحها الطلاب.

ثانيا. تحديث المعرفة.

مدرس:

تحديد مشتقة الدالة.
ما هي العملية التي تسمى التمايز؟
ما هي قواعد التمايز المستخدمة عند حساب المشتق؟ (الطلاب المطلوبين مدعوون للحضور إلى المجلس).
- مشتق من المبلغ
- مشتق من العمل
- مشتق يحتوي على عامل ثابت؛
- مشتق من الحاصل؛
- مشتق من وظيفة معقدة.
إعطاء أمثلة على المسائل التطبيقية التي تؤدي إلى مفهوم المشتقة.

عدد من المشاكل الخاصة من مختلف مجالات العلوم.

المهمة رقم 1.يتحرك الجسم في خط مستقيم حسب القانون x(t). اكتب صيغة إيجاد سرعة وتسارع الجسم عند الزمن t.

المهمة رقم 2.يتغير نصف قطر الدائرة R حسب القانون R = 4 + 2t 2. حدد المعدل الذي تتغير به مساحته الخامسلحظة ر = 2 ثانية. يتم قياس نصف قطر الدائرة بالسنتيمتر. الجواب: 603 سم2/ث.

المهمة رقم 3.تتحرك نقطة مادية كتلتها 5 كجم في خط مستقيم وفقًا للقانون

ق(ر) = 2ر+، أين س- المسافة بالأمتار ر- الوقت بالثواني. أوجد القوة المؤثرة على النقطة في الوقت الحالي ر = 4 ث.

إجابة:ن.

المهمة رقم 4.تدور دولاب الموازنة المثبت بالفرامل إلى الخلف تي قبزاوية 3 طن - 0.1 طن 2 (راد). يجد:

أ) السرعة الزاوية لدوران دولاب الموازنة في اللحظة t = 7 مع؛
ب) في أي وقت ستتوقف دولاب الموازنة.

إجابة:أ) 2.86؛ ب) 150 ثانية.

يمكن أن تتضمن أمثلة استخدام المشتقات أيضًا مشاكل في العثور على: السعة الحرارية محددةمواد الجسم المعطىوالكثافة الخطية والطاقة الحركية للجسم، وما إلى ذلك.

ثالثا. أداء المهام المتمايزة.

أولئك الذين يرغبون في إكمال مهام المستوى "أ" يجلسون على الكمبيوتر ويكملون الاختبار بإجابة مبرمجة. ( طلب. )

1. أوجد قيمة مشتقة الدالة عند النقطة x 0 = 3.

2. أوجد قيمة مشتقة الدالة y = xe x عند النقطة x 0 = 1.

1) 2ه؛
2) ه؛
3) 1 + ه؛
4) 2 + ه.

3. حل المعادلة f / (x) = 0 إذا كان f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. احسب f/(1) إذا كانت f(x) = (x 2 + 1)(x 3 - x).

5. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) عند النقطة t0 = 1.

6. تتحرك النقطة بشكل مستقيم حسب القانون: S(t) = t 3 – 3t 2. اختر صيغة تحدد سرعة حركة هذه النقطة عند الزمن t.

1) ر 2 - 2 ر؛
2) 3 طن 2 - 3 طن؛
3) 3 طن 2 - 6 طن؛
4) ر 3 + 6 ر.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

تطبيق المشتقات في الفيزياء والتكنولوجيا والبيولوجيا والحياة

العرض التقديمي للدرس

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العمل، يرجى تنزيل النسخة الكاملة.

نوع الدرس:مدمج.

الغرض من الدرس:دراسة بعض جوانب تطبيق المشتقات في مناطق مختلفةالفيزياء والكيمياء والأحياء.

مهام:توسيع آفاق المرء و النشاط المعرفيالطلاب، التنمية التفكير المنطقيوالقدرة على تطبيق معارفهم.

دعم فني: لوحة تفاعلية; الكمبيوتر والقرص.

I. اللحظة التنظيمية

ثانيا. تحديد هدف الدرس

- أود أن أدير درسا تحت شعار أليكسي نيكولايفيتش كريلوف، عالم الرياضيات وباني السفن السوفياتي: "النظرية دون ممارسة ميتة أو عديمة الفائدة، والممارسة دون نظرية مستحيلة أو ضارة".

– لنراجع المفاهيم الأساسية ونجيب على الأسئلة:

- أخبرني بالتعريف الأساسي للمشتق؟
– ماذا تعرف عن المشتقة (الخصائص، النظريات)؟
– هل تعرف أي أمثلة على مشاكل استخدام المشتقات في الفيزياء والرياضيات وعلم الأحياء؟

النظر في التعريف الأساسي للمشتقة وأسبابها (إجابة السؤال الأول):

المشتق - أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات. تتطلب القدرة على حل المشكلات باستخدام المشتقات معرفة جيدة المادة النظريةالقدرة على إجراء البحوث في المواقف المختلفة.

لذلك، سنقوم اليوم في الدرس بتوحيد وتنظيم المعرفة المكتسبة، والنظر في عمل كل مجموعة وتقييمه، وباستخدام مثال بعض المشكلات، سنوضح كيفية حل المشكلات الأخرى باستخدام المشتقات و المهام غير القياسيةباستخدام المشتقات.

ثالثا. شرح مادة جديدة

1. القوة اللحظية هي مشتقة الشغل بالنسبة للزمن:

W = الحد ΔA/Δt ΔA –تغيير وظيفة.

2. إذا كان الجسم يدور حول محور، فإن زاوية الدوران هي دالة للزمن ر
ثم السرعة الزاويةمساوي ل:

W = الحد Δφ/Δt = φ(t) Δ ر → 0

3. القوة الحالية مشتقة Ι = الحد Δg/Δt = g'،أين ز- شحنة كهربائية موجبة تنتقل عبر المقطع العرضي للموصل خلال الزمن Δt.

4. دع Δس– كمية الحرارة اللازمة لتغيير درجة الحرارة Δtالوقت، ثم الحد ΔQ/Δt = Q′ = C –حرارة نوعية.

5. مشكلة حول معدل التفاعل الكيميائي

م(ر) – م(t0) –كمية المادة التي تتفاعل مع مرور الوقت ر0قبل ر

V= الحد Δm/Δt = m Δt → 0

6. دع م يكون كتلة مادة مشعة. معدل الانحلال الإشعاعي: V = الحد Δm/Δt = m´(t) Δt→0

في شكل متمايز، قانون الاضمحلال الإشعاعي له الشكل: dN/dt = - N،أين ن- عدد النوى التي لم تضمحل مع الزمن ر.

بدمج هذا التعبير نحصل على: dN/N = – dt ∫dN/N = – ∫dt lnN = – t + c, c = constفي ر = 0عدد النوى المشعة ن = ن0، من هنا لدينا: قانون الجنسية N0 = ثابت،لذلك

ن ن = - t + ln N0.

تعزيز هذا التعبير نحصل على:

- قانون الاضمحلال الإشعاعي، حيث ن0- عدد النوى في المرة الواحدة تي0 = 0، ن– عدد النوى التي لم تضمحل مع مرور الزمن ر.

7. معدل تدفق الحرارة حسب معادلة نيوتن لانتقال الحرارة دي كيو / دي تييتناسب طرديًا مع مساحة النافذة S وفرق درجة الحرارة ΔT بين الزجاج الداخلي والخارجي ويتناسب عكسيًا مع سمكه d:

dQ/dt = A S/d ΔT

8. ظاهرة الانتشار هي عملية إنشاء توزيع متوازن

ضمن مراحل التركيز. ينتشر الانتشار إلى الجانب، مما يؤدي إلى تسوية التركيزات.

م = د Δج/Δس ج –تركيز
م = د ج س س –تنسيق، د -معامل الإنتشار

9. ومن المعروف أن المجال الكهربائي يثير أيضاً الشحنات الكهربائيةأو مجال مغناطيسي له مصدر واحد وهو التيار الكهربائي. أدخل جيمس كلارك ماكسويل تعديلاً واحدًا على قوانين الكهرومغناطيسية المكتشفة قبله: وهو أن المجال المغناطيسي ينشأ أيضًا عند حدوث تغيير الحقل الكهربائي. كان للتعديل الذي يبدو صغيراً عواقب وخيمة: تعديل جديد تماماً الشيء الملموس – موجه كهرومغناطيسية. ماكسويل ببراعة، على عكس فاراداي، الذي اعتقد أن وجوده ممكن، اشتق معادلة المجال الكهربائي:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

يؤدي التغير في المجال الكهربائي إلى ظهوره حقل مغناطيسيوبعبارة أخرى، فإن معدل تغير المجال الكهربائي يحدد حجم المجال المغناطيسي عند أي نقطة في الفضاء. تحت الكبير صدمة كهربائية- مجال مغناطيسي أكبر.

رابعا. توحيد ما تم تعلمه

– أنت وأنا درسنا المشتقة وخصائصها. أود أن أقرأ بيان فلسفيجيلبرت: "كل شخص لديه نظرة معينة. وعندما يضيق هذا الأفق إلى متناهية الصغر، فإنه يتحول إلى نقطة. ثم يقول الشخص أن هذه هي وجهة نظره.
دعونا نحاول قياس وجهة النظر حول تطبيق المشتق!

مؤامرة "ورقة"(استخدام المشتقات في علم الأحياء والفيزياء والحياة)

النظر في سقوط كما حركة غير متساويةتعتمد على الوقت.

لذا: S = S(t) V = S′(t) = x′(t)، أ = V′(t) = S″(t)

(المسح النظري: المعنى الميكانيكي للمشتق).

1. حل المشاكل

حل المشاكل بنفسك.

2. F = أماه F = مللي فولت ′ F = مللي ثانية ″

دعونا نكتب قانون بورتون الثاني، ومع الأخذ في الاعتبار المعنى الميكانيكي للمشتق، نعيد كتابته بالشكل: F = مللي فولت ′ F = مللي ثانية ″

مؤامرة "الذئاب ، الغوفر"

لنعد إلى المعادلات: خذ بعين الاعتبار المعادلات التفاضلية للنمو والتناقص الأسي: F = ma F = mV' F = mS"
حل العديد من المسائل الفيزيائية البيولوجيا التقنيةو العلوم الاجتماعيةيتم تقليلها إلى مشكلة العثور على وظائف و"(x) = kf(x)،إرضاء المعادلة التفاضلية حيث ك = ثابت .

صيغة الإنسان

الإنسان أكبر من الذرة بأضعاف ما هو أصغر من النجم:

إنه يتبع هذا
هذه هي الصيغة التي تحدد مكان الإنسان في الكون. ووفقا له، فإن حجم الشخص يمثل متوسط التناسب بين النجم والذرة.

أود أن أنهي الدرس بكلمات لوباتشيفسكي: "لا يوجد مجال واحد من الرياضيات، مهما كان مجردا، لن يكون قابلا للتطبيق في يوم من الأيام على ظواهر العالم الحقيقي".

الخامس. حل الأرقام من المجموعة:

حل المشكلات بشكل مستقل على السبورة، والتحليل الجماعي لحلول المشكلات:

№ 1 أوجد سرعة حركة نقطة مادية في نهاية الثانية الثالثة، إذا كانت حركة النقطة معطاة بالمعادلة s = t^2 –11t + 30.

№ 2 تتحرك النقطة بشكل مستقيم وفقا للقانون s = 6t – t^2. وفي أي لحظة ستكون سرعتها يساوي الصفر?

№ 3 يتحرك جسمان بشكل مستقيم: أحدهما وفقًا للقانون s = t^3 – t^2 – 27t، والآخر وفقًا للقانون s = t^2 + 1. حدد اللحظة التي تصبح فيها سرعات هذه الأجسام متساوية .

№ 4 بالنسبة لسيارة تتحرك بسرعة 30 م/ث، يتم تحديد مسافة الكبح بالصيغة s(t) = 30t-16t^2، حيث s(t) هي المسافة بالأمتار، t هو وقت الكبح بالثواني . ما هي المدة التي تستغرقها عملية الفرامل حتى تتوقف السيارة تمامًا؟ أيّ سوف تذهب المسافةالسيارة من بداية الفرملة حتى التوقف التام؟

№5 يتحرك جسم وزنه 8 كجم بشكل مستقيم وفقًا للقانون s = 2t^2+ 3t – 1. أوجد طاقة حركة الجسم (mv^2/2) بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

حل: دعونا نجد السرعةحركات الجسم في أي وقت:
V = س / د = 4t + 3
لنحسب سرعة الجسم عند الزمن t=3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (م/ث).
دعونا نحدد الطاقة الحركية للجسم عند الزمن t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 أوجد الطاقة الحركية للجسم بعد مرور 4 ث من بدء الحركة، إذا كانت كتلته 25 كجم، وكان قانون الحركة على الصورة s = 3t^2- 1.

№7 جسم كتلته 30 كجم يتحرك بشكل مستقيم وفقا للقانون s = 4t^2 + t. اثبات أن حركة الجسم تحدث تحت تأثير قوة ثابتة.
حل: لدينا s’ = 8t + 1, s” = 8. ولذلك فإن a(t) = 8 (m/s^2)، أي أنه بموجب قانون الحركة هذا يتحرك الجسم تسارع مستمر 8 م/ث^2. علاوة على ذلك، نظرًا لأن كتلة الجسم ثابتة (30 كجم)، وفقًا لقانون نيوتن الثاني، فإن القوة المؤثرة عليها F = ma = 30 * 8 = 240 (H) هي أيضًا قيمة ثابتة.

№8 يتحرك جسم وزنه 3 كجم بشكل مستقيم وفقًا للقانون s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. أوجد القوة المؤثرة على الجسم عند الزمن t = 4s.

№9 تتحرك نقطة مادية وفقًا للقانون s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. أوجد تسارعها عند نهاية الثانية الثالثة.

السادس. تطبيق المشتقة في الرياضيات:

يظهر المشتق في الرياضيات التعبير الرقميدرجة تغير الكمية الموجودة في نفس النقطة تحت تأثير الظروف المختلفة.

يعود تاريخ الصيغة المشتقة إلى القرن الخامس عشر. عالم الرياضيات الإيطالي العظيم تارتاجلي، الذي يدرس ويطور مسألة مدى اعتماد نطاق طيران المقذوف على ميل البندقية، يطبقها في أعماله.

غالبًا ما توجد الصيغة المشتقة في الأعمال علماء الرياضيات المشهورينالقرن ال 17. وقد استخدمه نيوتن ولايبنتز.

يخصص العالم الشهير جاليليو جاليلي أطروحة كاملة عن دور المشتقات في الرياضيات. ثم بدأ العثور على المشتقات والعروض التقديمية المتنوعة مع تطبيقه في أعمال ديكارت وعالم الرياضيات الفرنسي روبيرفال والإنجليزي غريغوري. تم تقديم مساهمات كبيرة في دراسة المشتقات من قبل عقول مثل L'Hopital وBernoulli وLangrange وآخرين.

1. ارسم رسمًا بيانيًا وافحص الوظيفة:

حل لهذه المشكلة:

لحظة من الاسترخاء

سابعا. تطبيق المشتقة في الفيزياء:

عند دراسة عمليات وظواهر معينة، غالبا ما تنشأ مهمة تحديد سرعة هذه العمليات. ويؤدي حلها إلى مفهوم المشتق وهو المفهوم الرئيسي حساب التفاضل.

تم إنشاء طريقة حساب التفاضل والتكامل في القرنين السابع عشر والثامن عشر. ترتبط أسماء اثنين من علماء الرياضيات العظماء - إ. نيوتن و ج.ف. - بظهور هذه الطريقة. لايبنتز.

توصل نيوتن إلى اكتشاف حساب التفاضل والتكامل عند حل المسائل المتعلقة بسرعة حركة نقطة مادية هذه اللحظةالوقت (السرعة اللحظية).

في الفيزياء، يتم استخدام المشتق بشكل أساسي لحساب الأكبر أو أدنى القيمأي كميات.

№1 الطاقة الكامنة شمجال الجسيم الذي يوجد فيه جسيم آخر، نفس الجسيم بالضبط له الشكل: ش = أ/ص 2 - ب / ص، أين أو ب- الثوابت الإيجابية، ص- المسافة بين الجزيئات. البحث عن: أ) القيمة ص0المقابلة لموقف توازن الجسيم. ب) معرفة ما إذا كان هذا الوضع مستقرا؛ الخامس) ماكسقيمة قوة الجذب؛ د) تصوير الرسوم البيانية عينةالتبعيات ش (ص)و و(ص).

الحل لهذه المشكلة: لتحديد ص0الموافق لموضع توازن الجسيم الذي ندرسه و = ش(ص)إلى أقصى الحدود.

باستخدام الاتصال بين الطاقة الكامنةمجالات

شو F، ثم F = – دو/الدكتور، نحن نحصل F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; حيث ص = ص0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; المستدامة أو توازن غير مستقرنحدد بعلامة المشتق الثاني:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (- b4/8a3) 2 = FM / (M + μt ) 2

خذ بعين الاعتبار الحالة عندما ينسكب الرمل من منصة مملوءة.
التغير في الزخم خلال فترة زمنية قصيرة:
Δ ع = (م – μ(ر + Δ ر))(ش+ Δ ش) +Δ μtu – (M – μt)u = FΔ ر
مصطلح Δ μtuهي دفعة كمية الرمل التي انسكبت من المنصة خلال الزمن Δ ر.ثم:
Δ ع = مΔ ش – م.تΔ ش – Δ ميكرونΔ ش = فΔ ر
القسمة على Δ روالانتقال إلى الحد Δ ر → 0
(M - μt)du/dt = F
أو a1= دو/dt= F/(M – μt)

إجابة: أ = FM / (M + μt) 2 , a1= F/(M – μt)

ثامنا. عمل مستقل:

البحث عن مشتقات الوظائف:

الخط المستقيم y = 2x مماس للدالة: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. أوجد الإحداثي الإحداثي لنقطة التماس.

تاسعا. تلخيص الدرس:

– ما هي الأسئلة التي خصص لها الدرس؟
- ماذا تعلمت في الدرس؟
- ما هي الحقائق النظرية التي تم تلخيصها في الدرس؟
– ما هي المهام التي تعتبر الأكثر صعوبة؟ لماذا؟

فهرس:

أملكين ف.ف.، سادوفسكي أ.ب. النماذج الرياضيةوالمعادلات التفاضلية. – مينسك: تخرج من المدرسه، 1982. – 272 ص.
أملكين ف.ف.المعادلات التفاضلية في التطبيقات. م: العلم. مكتب التحرير الرئيسي للأدب الفيزيائي والرياضي، 1987. – 160 ص.
ايروجين ن.ب.كتاب للقراءة دورة عامة المعادلات التفاضلية. – مينسك: العلوم والتكنولوجيا، 1979. – 744 ص.
مجلة "إمكانات" نوفمبر 2007 العدد 11
"الجبر ومبادئ التحليل" الصف الحادي عشر م. نيكولسكي، م.ك. بوتابوف وآخرون.
"الجبر والتحليل الرياضي" ن.يا. فيلينكين وآخرون.
"الرياضيات" ف.ت. ليسيتشكين، إل. سولوفيتشيك، 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

المعنى المادي للمشتقات. مهام!

المعنى المادي للمشتقات. يتضمن امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات مجموعة من المسائل لحلها والتي تتطلب معرفة وفهم المعنى الفيزيائي للمشتق. على وجه الخصوص، هناك مشاكل حيث يتم إعطاء قانون حركة نقطة معينة (جسم)، معبرًا عنه بمعادلة، ويلزم إيجاد سرعته في لحظة معينة من وقت الحركة، أو الوقت الذي يتحرك بعده الجسم سوف يكتسب سرعة معينة. المهام بسيطة للغاية، ويمكن حلها في إجراء واحد. لذا:

دع قانون حركة نقطة مادية x (t) على طول محور الإحداثيات، حيث x هو إحداثي النقطة المتحركة، t هو الوقت.

السرعة في لحظة معينة من الزمن هي مشتقة الإحداثيات بالنسبة للزمن. هذا هو المعنى الميكانيكي للمشتق.

وبالمثل، فإن التسارع هو مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن:

وبالتالي، فإن المعنى المادي للمشتق هو السرعة. يمكن أن تكون هذه سرعة الحركة، ومعدل تغيير العملية (على سبيل المثال، نمو البكتيريا)، وسرعة العمل (وهكذا، هناك العديد من المشاكل التطبيقية).

س (ر) = ر 2 – 7ر – 20

حيث x هي المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، وt هو الوقت بالثواني، ويقاس من بداية الحركة. أوجد سرعتها (بالأمتار في الثانية) عند الزمن t = 5 s.

المعنى المادي للمشتق هو السرعة (سرعة الحركة، معدل تغير العملية، سرعة العمل، الخ)

لنجد قانون تغير السرعة: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم حسب القانون x (t) = 0.5t 3 – 3t 2 + 2t حيث س- المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، ر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة. أوجد سرعتها (بالأمتار في الثانية) عند الزمن t = 6 s.

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم وفقا للقانون

س (ر) = –ر 4 + 6ر 3 + 5ر + 23

أين س- المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، ر- الوقت بالثواني يقاس من بداية الحركة. أوجد سرعتها (بالأمتار في الثانية) عند الزمن t = 3 s.

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم وفقا للقانون

س(ر) = (١/٦)ر ٢ + ٥ر + ٢٨

لنجد قانون تغير السرعة:

من أجل العثور على نقطة في الوقت المناسب روكانت السرعة 3 م/ث فمن الضروري حل المعادلة:

تتحرك النقطة المادية بشكل مستقيم وفقا للقانون

س (ر) = (1/3) ر 3 – 3ر 2 – 5ر + 3

matematikalegko.ru

الجبر والبدايات التحليل الرياضي، الصف الحادي عشر (S. M. Nikolsky، M. K. Potapov، N. N. Reshetnikov، A. V. Shevkin) 2009

الصفحة رقم 094.

الكتاب المدرسي:

نسخة التعرف الضوئي على الحروف (OCR) للصفحة من الكتاب المدرسي (نص الصفحة الموجود أعلاه):

وكما يتبين من المشاكل التي تم تناولها في بداية هذه الفقرة، فإن العبارات التالية صحيحة:

1. إذا كان في حركة مستقيمةالمسار الذي تعبره نقطة ما هو دالة للزمن t، أي s = f(t)، فإن سرعة النقطة هي مشتقة المسار بالنسبة إلى الزمن، أي v(t) =

هذه الحقيقة تعبر عن المعنى الميكانيكي للمشتق.

2. إذا تم رسم ظل عند النقطة x 0 إلى الرسم البياني للدالة y = f (jc)، فإن الرقم f"(xo) هو ظل الزاوية a بين هذا المماس والاتجاه الموجب لمحور الثور ، أي /"(x 0) =

تغا. وتسمى هذه الزاوية زاوية الظل.

هذه الحقيقة تعبر معنى هندسيالمشتق.

مثال 3. دعونا نوجد ظل زاوية ميل المماس للرسم البياني للدالة y = 0.5jc 2 - 2x + 4 عند النقطة ذات الإحداثي السيني x = 0.

لنوجد مشتقة الدالة f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 عند أي نقطة x باستخدام المساواة (2):

0.5 2 س - 2 = ج ج - 2.

لنحسب قيمة هذا المشتق عند النقطة x = 0:

وبالتالي tga = -2. الرسم البياني x للدالة y = /(jc) والمماس للرسم البياني الخاص بها عند النقطة مع الإحداثي السيني jc = 0 موضح في الشكل 95.

4.1 دع النقطة تتحرك بشكل مستقيم حسب القانون s = t 2. يجد:

أ) الزيادة الزمنية D £ خلال الفترة الزمنية من t x = 1 إلى £ 2 - 2؛

ب) زيادة المسار خلال الفترة الزمنية من t x = 1 إلى t 2 = 2؛

الخامس) متوسط السرعةخلال الفترة الزمنية من t x = 1 إلى t 2 = 2.

4.2 في المهمة 4.1 ابحث عن:

ب) متوسط السرعة خلال الفترة الزمنية من t إلى t + At؛

الخامس) سرعة لحظيةفي الوقت ر؛

د) السرعة اللحظية عند الزمن t = 1.

4.3 دع النقطة تتحرك بشكل مستقيم حسب القانون:

1) ق = 3ر + 5؛ 2) ق = ر 2 - بت.

أ) زيادة المسار خلال الفترة الزمنية من t إلى t + At؛

الكتاب المدرسي:الجبر وبداية التحليل الرياضي. الصف الحادي عشر: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [س. M. Nikolsky، M. K. Potapov، N. N. Reshetnikov، A. V. Shevkin]. - الطبعة الثامنة. - م: التربية، 2009. - 464 ص: مريض.