عالم الرياضيات ياكوف بيرلمان: مساهمة في العلوم. عالم الرياضيات الروسي الشهير غريغوري بيرلمان

"لماذا أحتاج إلى مليون؟"

العالم كله يعرف قصة عالم الرياضيات اللامع غريغوري بيرلمان، الذي أثبت حدسية بوانكاريه ورفض مليون دولار. في الآونة الأخيرة، أوضح العالم المنعزل أخيرًا سبب عدم حصوله على الجائزة المستحقة.

بدأ كل شيء بحقيقة أن الصحفي والمنتج في شركة الأفلام "President Film" ألكسندر زابروفسكي خمن الاتصال بوالدة غريغوري ياكوفليفيتش عبر الجالية اليهودية في سانت بطرسبرغ. بعد كل شيء، قبل ذلك، جلس جميع الصحفيين دون جدوى على درجات منزل عالم الرياضيات العظيم لإجراء مقابلة معه. تحدثت الأم مع ابنها، وقدمت للصحفي وصفًا جيدًا، وبعد ذلك فقط وافق بيرلمان على الاجتماع.

وفقًا لزابروفسكي، فإن غريغوري ياكوفليفيتش هو شخص عاقل ومناسب تمامًا، وكل ما قيل عنه سابقًا هو هراء. يرى أمامه هدفاً محدداً ويعرف كيف يحققه.

تخطط شركة الأفلام "President Film" بموافقة بيرلمان لإنتاج فيلم روائي طويل عنه بعنوان "Formula of the Universe". أجرى عالم الرياضيات اتصالات من أجل هذا الفيلم، الذي لن يكون عنه، بل حول التعاون والمواجهة بين ثلاث مدارس رياضية رئيسية في العالم: الروسية والصينية والأمريكية، الأكثر تقدمًا على طريق دراسة الكون وإدارته. . ردًا على سؤال المليون، الذي أثار قلق كل المتفاجئين والفضوليين، أجاب بيرلمان: "أعرف كيفية إدارة الكون. وأخبرني لماذا يجب أن أترشح للمليون؟

وتحدث العالم أيضًا عن سبب عدم تواصله مع الصحفيين. والسبب هو أنهم لا يهتمون بالعلم، بل بحياتهم الشخصية - قص الأظافر والمليون. يشعر بالإهانة عندما تسميه الصحافة "جريشا"، ويعتبر عالم الرياضيات أن هذه الألفة هي عدم احترام لنفسه.

منذ سنوات الدراسة، اعتاد غريغوري بيرلمان على "تدريب دماغه"، أي حل المشكلات التي أجبرته على التفكير بشكل تجريدي. ومن أجل إيجاد الحل الصحيح، كان من الضروري تصور "قطعة من العالم". على سبيل المثال، طُلب من عالم الرياضيات أن يحسب السرعة التي كان على يسوع المسيح أن يمشي بها على الماء حتى لا يسقط. ومن هنا جاءت رغبة بيرلمان في دراسة خصائص الفضاء ثلاثي الأبعاد للكون.

لماذا كان من الضروري النضال لسنوات عديدة لإثبات حدسية بوانكاريه؟ جوهرها هو: إذا كان السطح ثلاثي الأبعاد يشبه إلى حد ما المجال، فيمكن تقويمه في المجال. يُطلق على بيان بوانكاريه اسم "صيغة الكون" بسبب أهميته في دراسة العمليات الفيزيائية المعقدة في نظرية الكون ولأنه يقدم إجابة لسؤال شكل الكون.

حصل غريغوري ياكوفليفيتش على مثل هذه المعرفة الفائقة التي تساعد على فهم الكون. والآن يخضع عالم الرياضيات باستمرار لمراقبة أجهزة المخابرات الروسية والأجنبية: ماذا لو كان بيرلمان يشكل تهديدًا للإنسانية؟ بعد كل شيء، إذا كان من الممكن بمساعدة معرفته أن ينهار الكون إلى نقطة ثم يوسعه، فهل يمكننا أن نموت أو نولد من جديد بقدرة مختلفة؟ وبعد ذلك سوف نكون نحن؟ وهل نحتاج حتى للسيطرة على الكون؟

دليل على أن يستمر قرن من الزمان

دخل غريغوري بيرلمان التاريخ أخيرًا وبشكل لا رجعة فيه

منح معهد كلاي للرياضيات غريغوري بيرلمان جائزة الألفية، وبذلك اعترف رسميًا ببرهان عالم الرياضيات الروسي على تخمين بوانكاريه باعتباره صحيحًا. من الجدير بالذكر أنه في الوقت نفسه، كان على المعهد أن ينتهك قواعده الخاصة - وفقًا لها، لا يمكن إلا للمؤلف الذي نشر أعماله في المجلات التي يراجعها النظراء أن يدعي تلقي ما يقرب من مليون دولار، وهذا هو حجم جائزة. لم ير عمل غريغوري بيرلمان النور رسميًا أبدًا - فقد ظل عبارة عن مجموعة من عدة مطبوعات أولية على موقع arXiv.org (واحد واثنين وثلاثة). ومع ذلك، ليس من المهم جدًا سبب قرار المعهد - فمنح جائزة الألفية يضع حدًا لتاريخ يمتد لأكثر من 100 عام.

قدح ودونات وبعض الطوبولوجيا

قبل معرفة ماهية حدسية بوانكاريه، من الضروري أن نفهم نوع فرع الرياضيات - الطوبولوجيا - الذي تنتمي إليه هذه الفرضية بالذات. تتعامل طوبولوجيا المتشعبة مع خصائص الأسطح التي لا تتغير تحت تشوهات معينة. دعونا نشرح بمثال كلاسيكي. لنفترض أن القارئ أمامه قطعة دونات وكوب فارغ. من وجهة نظر الهندسة والحس السليم، فهذه أشياء مختلفة، فقط لأنك لن تتمكن من شرب القهوة من الكعك حتى لو كنت ترغب في ذلك.

ومع ذلك، سيقول عالم الطوبولوجيا أن الكوب والدونات هما نفس الشيء. وسوف يشرح الأمر بهذه الطريقة: تخيل أن الكوب والدونات عبارة عن سطحين مجوفين مصنوعين من مادة مرنة للغاية (قد يقول عالم الرياضيات أن هناك زوجًا من المتشعبات المدمجة ثنائية الأبعاد). لنجري تجربة تأملية: أولاً نقوم بنفخ قاع الكوب، ثم نفخ مقبضه، وبعد ذلك سيتحول إلى طارة (هذا هو الاسم الرياضي لشكل الدونات). يمكنك أن ترى كيف تبدو هذه العملية.

بالطبع، لدى القارئ الفضولي سؤال: بما أن الأسطح يمكن أن تتجعد، فكيف يمكن التمييز بينها؟ بعد كل شيء، على سبيل المثال، من الواضح بشكل حدسي - بغض النظر عن حجم الطارة، فلن تتمكن من الحصول على كرة منها دون فواصل ولصق. وهنا يأتي دور ما يسمى بالثوابت - خصائص السطح التي لا تتغير أثناء التشوه - وهو مفهوم ضروري لصياغة فرضية بوانكاريه.

يخبرنا الفطرة السليمة أن الفرق بين الطارة والكرة هو الثقب. ومع ذلك، فإن الثقب بعيد كل البعد عن المفهوم الرياضي، لذلك يجب إضفاء الطابع الرسمي عليه. يتم ذلك بهذه الطريقة: تخيل أنه على السطح لدينا خيط مرن رفيع جدًا يشكل حلقة (في هذه التجربة التأملية، على عكس التجربة السابقة، نعتبر السطح نفسه صلبًا). سنقوم بتحريك الحلقة دون رفعها من السطح أو تمزيقها. إذا كان من الممكن سحب الخيط إلى دائرة صغيرة جدًا (نقطة تقريبًا)، يُقال إن الحلقة قابلة للتقلص. وإلا فإن الحلقة تسمى غير قابلة للتقلص.

لذلك، من السهل أن نرى أن أي حلقة على الكرة تكون قابلة للتقلص (يمكنك أن ترى كيف تبدو تقريبًا)، ولكن بالنسبة للطارة، لم يعد هذا صحيحًا: على كعكة الدونات هناك حلقتان كاملتان - إحداهما مربوطة في الفتحة والآخر يدور حول الفتحة "حول المحيط" - والتي لا يمكن سحبها.

في هذه الصورة، تظهر أمثلة للحلقات غير القابلة للتمدد باللون الأحمر والأرجواني، على التوالي. عندما تكون هناك حلقات على السطح، يقول علماء الرياضيات أن "المجموعة الأساسية للصنف غير تافهة"، وإذا لم تكن هناك مثل هذه الحلقات، فهي تافهة.

يُشار إلى المجموعة الأساسية للطارة بـ n1 (T2). ولأن الأمر غير تافه، فإن أذرع الفأر تشكل حلقة غير قابلة للانقباض. الحزن على وجه الحيوان هو نتيجة إدراك هذه الحقيقة.

لذلك، من السهل أن نرى أن أي حلقة على الكرة تكون قابلة للتقلص، ولكن لم يعد هذا هو الحال بالنسبة للطارة: يوجد على الكعكة حلقتان كاملتان - إحداهما مربوطة في الحفرة، والأخرى تدور حول الحفرة "حول المحيط" - وهو أمر لا يمكن تشديده. في هذه الصورة، تظهر أمثلة للحلقات غير القابلة للتمدد باللون الأحمر والأرجواني، على التوالي.

الآن، من أجل صياغة حدسية بوانكاريه بأمانة، يحتاج القارئ الفضولي إلى التحلي بالصبر لفترة أطول قليلاً: نحتاج إلى معرفة ما هو المشعب ثلاثي الأبعاد بشكل عام والمجال ثلاثي الأبعاد بشكل خاص.

دعنا نعود للحظة إلى الأسطح التي ناقشناها أعلاه. يمكن تقطيع كل واحدة منها إلى قطع صغيرة بحيث تشبه كل قطعة تقريبًا قطعة من الطائرة. وبما أن المستوى له بعدان فقط، فإنهم يقولون إن المشعب ثنائي الأبعاد. المشعب ثلاثي الأبعاد هو سطح يمكن تقطيعه إلى قطع صغيرة، كل منها يشبه إلى حد كبير قطعة من الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد.

"الشخصية" الرئيسية للفرضية هي المجال ثلاثي الأبعاد. ربما لا يزال من المستحيل تخيل كرة ثلاثية الأبعاد كنظير لمجال عادي في مساحة رباعية الأبعاد دون أن تفقد عقلك. ومع ذلك، من السهل جدًا وصف هذا الكائن، إذا جاز التعبير، "في أجزاء". يعرف أي شخص رأى الكرة الأرضية أنه يمكن لصق كرة عادية معًا من نصفي الكرة الشمالي والجنوبي على طول خط الاستواء. لذلك، يتم لصق المجال ثلاثي الأبعاد من الكرتين (الشمال والجنوب) على طول الكرة، وهو التناظرية لخط الاستواء.

في المتشعبات ثلاثية الأبعاد يمكننا أن نفكر في نفس الحلقات التي أخذناها على الأسطح العادية. لذلك، تنص حدسية بوانكاريه على ما يلي: "إذا كانت المجموعة الأساسية لمشعب ثلاثي الأبعاد تافهة، فهي متماثلة الشكل بالنسبة للكرة." العبارة غير المفهومة "تماثل الشكل إلى كرة" عند ترجمتها إلى لغة غير رسمية تعني أنه يمكن تشويه السطح إلى كرة.

قليلا من التاريخ

في عام 1887، قدم بوانكاريه عمله إلى مسابقة رياضية مخصصة للاحتفال بالذكرى الستين لميلاد ملك السويد أوسكار الثاني. وقد اكتشف خطأ فيه مما أدى إلى ظهور نظرية الفوضى.

بشكل عام، في الرياضيات من الممكن صياغة عدد كبير من البيانات المعقدة. لكن ما الذي يجعل هذه الفرضية أو تلك عظيمة، ويميزها عن البقية؟ ومن الغريب أن الفرضية العظيمة تتميز بعدد كبير من البراهين غير الصحيحة، ويحتوي كل منها على خطأ كبير - وهو عدم دقة يؤدي غالبًا إلى ظهور فرع جديد تمامًا من الرياضيات.

لذلك، في البداية، قام هنري بوانكاريه، الذي تميز، من بين أمور أخرى، بقدرته على ارتكاب أخطاء رائعة، بصياغة الفرضية بشكل مختلف قليلاً عما كتبنا أعلاه. وبعد مرور بعض الوقت، قدم مثالًا مضادًا لبيانه، والذي أصبح يُعرف باسم كرة بوانكاريه 3 المتجانسة، وفي عام 1904 صاغ الفرضية في شكلها الحديث. بالمناسبة، تم استخدام المجال مؤخرًا من قبل العلماء في الفيزياء الفلكية - اتضح أن الكون قد يتحول إلى كرة بوانكاريه 3 متماثلة.

يجب القول أن الفرضية لم تسبب الكثير من الإثارة بين زملائهم من علماء الهندسة. وظل هذا هو الحال حتى عام 1934، عندما قدم عالم الرياضيات البريطاني جون هنري وايتهيد نسخته من إثبات الفرضية. ومع ذلك، سرعان ما وجد هو نفسه خطأً في تفكيره، مما أدى لاحقًا إلى ظهور النظرية الكاملة لأصناف وايتهيد.

بعد ذلك، اكتسبت الفرضية تدريجيًا سمعة المهمة الصعبة للغاية. حاول العديد من علماء الرياضيات العظماء أن يأخذوا الأمر على محمل الجد. على سبيل المثال، الأمريكي إير آش بينج (R.H.Bing)، عالم الرياضيات، الذي (رسميًا تمامًا) كتب الأحرف الأولى في وثائقه بدلاً من اسمه. لقد قام بعدة محاولات فاشلة لإثبات الفرضية، وقام بصياغة بيانه الخاص خلال هذه العملية - ما يسمى بـ "تخمين الخاصية P" (تخمين الخاصية P). من الجدير بالذكر أن هذا البيان، الذي اعتبره بينج وسيطًا، تبين أنه أكثر صعوبة تقريبًا من إثبات حدسية بوانكاريه نفسها.

وكان من بين العلماء أيضًا أشخاص ضحوا بحياتهم لإثبات هذه الحقيقة الرياضية. على سبيل المثال، عالم الرياضيات الشهير من أصل يوناني كريستوس باباكيرياكوبولوس. لأكثر من عشر سنوات، من الجدير بالذكر أن تعميم حدسية بوانكاريه على المتشعبات ذات الأبعاد الأعلى من ثلاثة تبين أنه أبسط بشكل ملحوظ من الأصل - فالأبعاد الإضافية جعلت من السهل التعامل مع المتشعبات. وهكذا، بالنسبة للمشعبات ذات الأبعاد n (لـ n على الأقل 5)، تم إثبات هذا التخمين بواسطة ستيفن سمال في عام 1961. بالنسبة لـ n = 4، تم إثبات التخمين باستخدام طريقة مختلفة تمامًا عن طريقة سمايل في عام 1982 بواسطة مايكل فريدمان. ولإثباته، حصل الأخير على وسام فيلدز، وهي أعلى جائزة لعلماء الرياضيات. أثناء عمله في برينستون، حاول دون جدوى إثبات الفرضية. توفي بمرض السرطان عام 1976. من الجدير بالذكر أن تعميم حدسية بوانكاريه على المتشعبات ذات الأبعاد الأعلى من ثلاثة تبين أنه أبسط بشكل ملحوظ من الأصل - فالأبعاد الإضافية جعلت من السهل التعامل مع المتشعبات. وهكذا، بالنسبة للمشعبات ذات الأبعاد n (لـ n على الأقل 5)، تم إثبات هذا التخمين بواسطة ستيفن سمال في عام 1961. بالنسبة لـ n = 4، تم إثبات التخمين باستخدام طريقة مختلفة تمامًا عن طريقة سمايل في عام 1982 بواسطة مايكل فريدمان.
الأعمال الموصوفة ليست قائمة كاملة من المحاولات لحل فرضية عمرها أكثر من قرن من الزمان. وعلى الرغم من أن كل عمل أدى إلى ظهور اتجاه كامل في الرياضيات ويمكن اعتباره ناجحًا وهامًا بهذا المعنى، إلا أن الروسي غريغوري بيرلمان هو الوحيد الذي كان قادرًا على إثبات حدسية بوانكاريه أخيرًا.

بيرلمان والدليل

في عام 1992، غريغوري بيرلمان، ثم موظف في معهد الرياضيات الذي سمي على اسمه. ستيكلوف، حضر محاضرة لريتشارد هاميلتون. تحدث عالم الرياضيات الأمريكي عن تدفقات ريتشي - وهي أداة جديدة لدراسة حدسية ثورستون الهندسية - وهي حقيقة اشتق منها حدسية بوانكاريه كنتيجة بسيطة. تسببت هذه التدفقات، المشابهة إلى حد ما لمعادلات نقل الحرارة، في تشوه الأسطح بمرور الوقت بنفس الطريقة التي شوهنا بها الأسطح ثنائية الأبعاد في بداية هذه المقالة. وتبين أنه في بعض الحالات كانت نتيجة هذا التشوه عبارة عن جسم يسهل فهم بنيته. كانت الصعوبة الرئيسية هي أنه أثناء التشوه، ظهرت سمات ذات انحناء لا نهائي، مما يشبه إلى حد ما الثقوب السوداء في الفيزياء الفلكية.

بعد المحاضرة، اقترب بيرلمان من هاميلتون. قال لاحقًا إن ريتشارد فاجأه بسرور: "لقد ابتسم وكان صبورًا للغاية. حتى أنه أخبرني بالعديد من الحقائق التي نُشرت بعد سنوات قليلة فقط. لقد فعل ذلك دون تردد. لقد أذهلني انفتاحه ولطفه. لا أستطيع أن أقول يكفي." أن معظم علماء الرياضيات المعاصرين يتصرفون بهذه الطريقة."

بعد رحلة إلى الولايات المتحدة، عاد بيرلمان إلى روسيا، حيث بدأ العمل على حل مشكلة تفردات تدفقات ريتشي وإثبات فرضية الهندسة (وليس حدسية بوانكاريه) سرًا عن الجميع. ليس من المستغرب أن ظهور الطبعة الأولى لبيريلمان في 11 نوفمبر 2002 صدم المجتمع الرياضي. بعد مرور بعض الوقت، ظهرت بضعة أعمال أخرى.

بعد ذلك، انسحب بيرلمان من مناقشة البراهين، بل وتوقف، كما يقولون، عن ممارسة الرياضيات. ولم يقطع أسلوب حياته المنعزل حتى في عام 2006، عندما حصل على وسام فيلدز، وهي الجائزة المرموقة لعلماء الرياضيات. ليس من المنطقي مناقشة أسباب سلوك المؤلف هذا - فالعبقري له الحق في التصرف بشكل غريب (على سبيل المثال، بينما في أمريكا، لم يقطع بيرلمان أظافره، مما سمح لهم بالنمو بحرية).

ومهما كان الأمر، فقد تم شفاء برهان بيرلمان
حياة منفصلة عنه: ثلاث مطبوعات أولية تطارد علماء الرياضيات المعاصرين. ظهرت النتائج الأولى لاختبار أفكار عالم الرياضيات الروسي في عام 2006 - حيث نشر علماء الهندسة البارزون بروس كلاينر وجون لوت من جامعة ميشيغان طبعة أولية من أعمالهم، أشبه بكتاب بحجم - 213 صفحة. في هذا العمل، قام العلماء بفحص جميع حسابات بيرلمان بعناية، وشرحوا بالتفصيل البيانات المختلفة التي تم تحديدها لفترة وجيزة فقط في عمل عالم الرياضيات الروسي. كان حكم الباحثين واضحًا: الأدلة صحيحة تمامًا.

حدث تحول غير متوقع في هذه القصة في يوليو من نفس العام. نشرت المجلة الآسيوية للرياضيات مقالاً لعالمي الرياضيات الصينيين شيبينج تشو وهوايدونج كاو بعنوان "الدليل الكامل لحدسية ثورستون للهندسة وحدسية بوانكاريه". وفي إطار هذا العمل، اعتبرت نتائج بيرلمان مهمة ومفيدة ولكنها متوسطة بشكل حصري. فاجأ هذا العمل المتخصصين في الغرب، لكنه تلقى مراجعات إيجابية للغاية في الشرق. على وجه الخصوص، تم دعم النتائج من قبل شينتان ياو، أحد مؤسسي نظرية كالابي ياو، التي وضعت الأساس لنظرية الأوتار، وكذلك معلم تساو وجو. ومن قبيل الصدفة السعيدة، كان ياو هو رئيس تحرير المجلة الآسيوية للرياضيات، التي نُشر فيها العمل.

بعد ذلك، بدأ عالم الرياضيات بالسفر حول العالم لإلقاء محاضرات شعبية، يتحدث فيها عن إنجازات علماء الرياضيات الصينيين. ونتيجة لذلك، كان هناك خطر من أن نتائج بيرلمان وحتى هاملتون ستنزل إلى الخلفية قريبًا جدًا. لقد حدث هذا أكثر من مرة في تاريخ الرياضيات - فقد اخترع العديد من النظريات التي تحمل أسماء علماء رياضيات محددين أشخاص مختلفون تمامًا.

لكن هذا لم يحدث وربما لن يحدث الآن. إن تقديم جائزة كلاي بيرلمان (حتى لو رفض) عزز إلى الأبد حقيقة في الوعي العام: أثبت عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان حدسية بوانكاريه. ولا يهم أنه في الواقع أثبت حقيقة أكثر عمومية، حيث طور على طول الطريق نظرية جديدة تمامًا لخصائص تدفقات ريتشي. على الأقل بهذه الطريقة. لقد وجدت المكافأة البطل.
أندريه كونيايف

إعداد: سيرغي كوفال

غريغوري بيرلمان. رافضنيك

فاسيلي ماكسيموف

في أغسطس 2006، تم الإعلان عن أسماء أفضل علماء الرياضيات على هذا الكوكب، الذين حصلوا على ميدالية فيلدز المرموقة - وهو نوع من التناظرية لجائزة نوبل، والتي حرم علماء الرياضيات من ألفريد نوبل. ميدالية فيلدز - بالإضافة إلى وسام الشرف، يُمنح الفائزون شيكًا بقيمة خمسة عشر ألف دولار كندي - يمنحها المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات كل أربع سنوات. أسسها العالم الكندي جون تشارلز فيلدز وتم منحها لأول مرة في عام 1936. منذ عام 1950، يتم منح وسام فيلدز بشكل منتظم من قبل ملك إسبانيا لمساهمته في تطوير العلوم الرياضية. يمكن أن يكون الفائزون بالجائزة من عالم إلى أربعة علماء تحت سن الأربعين. وقد حصل بالفعل على الجائزة أربعة وأربعون عالم رياضيات، من بينهم ثمانية روس.

غريغوري بيرلمان. هنري بوانكاريه.

وفي عام 2006، كان الحائزون على الجائزة هم الفرنسي فيندلين فيرنر والأسترالي تيرينس تاو واثنين من الروس - أندريه أوكونكوف الذي يعمل في الولايات المتحدة الأمريكية وغريغوري بيرلمان، وهو عالم من سانت بطرسبرغ. ومع ذلك، في اللحظة الأخيرة أصبح من المعروف أن بيريلمان رفض هذه الجائزة المرموقة - كما أعلن المنظمون، "لأسباب مبدئية".

مثل هذا العمل الباهظ الذي قام به عالم الرياضيات الروسي لم يكن مفاجأة للأشخاص الذين عرفوه. وهذه ليست المرة الأولى التي يرفض فيها جوائز رياضية، موضحا قراره بالقول إنه لا يحب المناسبات الاحتفالية والضجيج غير الضروري حول اسمه. قبل عشر سنوات، في عام 1996، رفض بيرلمان جائزة المؤتمر الأوروبي للرياضيات، بحجة أنه لم يكمل العمل على المشكلة العلمية المرشحة للجائزة، ولم تكن هذه الحالة الأخيرة. يبدو أن عالم الرياضيات الروسي جعل هدف حياته مفاجأة الناس، وهو ما يتعارض مع الرأي العام والمجتمع العلمي.

ولد غريغوري ياكوفليفيتش بيرلمان في 13 يونيو 1966 في لينينغراد. منذ صغره، كان مولعا بالعلوم الدقيقة، وتخرج ببراعة من المدرسة الثانوية الشهيرة رقم 239 بدراسة متعمقة للرياضيات، وفاز بالعديد من الأولمبياد الرياضي: على سبيل المثال، في عام 1982، شارك كجزء من فريق من تلاميذ المدارس السوفيتية في الأولمبياد الدولي للرياضيات الذي أقيم في بودابست. بدون امتحانات، تم تسجيل بيرلمان في كلية الميكانيكا والرياضيات في جامعة لينينغراد، حيث درس بتقديرات ممتازة، واستمر في الفوز بالمسابقات الرياضية على جميع المستويات. بعد تخرجه من الجامعة بمرتبة الشرف، التحق بمدرسة الدراسات العليا في فرع سانت بطرسبرغ لمعهد ستيكلوف للرياضيات. وكان المشرف العلمي عليه عالم الرياضيات الشهير الأكاديمي ألكسندروف. بعد أن دافع عن أطروحته للدكتوراه، بقي غريغوري بيرلمان في المعهد، في مختبر الهندسة والطوبولوجيا. عمله في نظرية مساحات ألكسندروف معروف، فقد تمكن من العثور على أدلة لعدد من التخمينات المهمة. على الرغم من العروض العديدة المقدمة من الجامعات الغربية الرائدة، يفضل بيرلمان العمل في روسيا.

كان نجاحه الأبرز هو حل حدسية بوانكاريه الشهيرة في عام 2002، والتي نُشرت في عام 1904 وظلت منذ ذلك الحين غير مثبتة. عمل بيريلمان عليها لمدة ثماني سنوات. اعتبرت حدسية بوانكاريه واحدة من أعظم الألغاز الرياضية، وكان حلها يعتبر أهم إنجاز في العلوم الرياضية: فهو من شأنه أن يؤدي على الفور إلى تقدم البحث في مشاكل الأسس الفيزيائية والرياضية للكون. ولم تتنبأ أبرز العقول على هذا الكوكب بحلها إلا في غضون بضعة عقود فقط، وأدرج معهد كلاي للرياضيات في كامبريدج، ماساتشوستس، مسألة بوانكاريه ضمن المسائل الرياضية السبع الأكثر إثارة للاهتمام التي لم يتم حلها في الألفية، لحل كل منها تم الوعد بجائزة مليون دولار (مسائل جائزة الألفية). .

تم صياغة التخمين (الذي يطلق عليه أحيانًا المشكلة) لعالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه (1854-1912) على النحو التالي: أي مساحة مغلقة ثلاثية الأبعاد ومتصلة ببساطة هي متجانسة مع كرة ثلاثية الأبعاد. للتوضيح، استخدم مثالا واضحا: إذا قمت بلف تفاحة بشريط مطاطي، فمن حيث المبدأ، من خلال تشديد الشريط، يمكنك ضغط التفاحة إلى نقطة. إذا قمت بلف كعكة الدونات بنفس الشريط، فلن تتمكن من ضغطها إلى حد ما دون تمزيق الدونات أو المطاط. في هذا السياق، يُطلق على التفاحة اسم "الشخصية المتصلة ببساطة"، لكن قطعة الدونات ليست متصلة ببساطة. منذ ما يقرب من مائة عام، أثبت بوانكاريه أن الكرة ثنائية الأبعاد متصلة ببساطة، واقترح أن الكرة ثلاثية الأبعاد متصلة ببساطة أيضًا. ولم يتمكن أفضل علماء الرياضيات في العالم من إثبات هذه الفرضية.

للتأهل لجائزة معهد كلاي، كان على بيرلمان فقط أن ينشر حله في إحدى المجلات العلمية، وإذا لم يتمكن أحد خلال عامين من العثور على خطأ في حساباته، فسيتم اعتبار الحل صحيحًا. ومع ذلك، انحرف بيريلمان عن القواعد منذ البداية، ونشر قراره على الموقع الإلكتروني لمختبر لوس ألاموس العلمي. ربما كان يخشى أن يكون هناك خطأ قد تسلل إلى حساباته - فقد حدثت قصة مماثلة بالفعل في الرياضيات. في عام 1994، اقترح عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو وايلز حلاً لنظرية فيرما الشهيرة، وبعد بضعة أشهر اتضح أن خطأً قد تسلل إلى حساباته (على الرغم من أنه تم تصحيحه لاحقًا، وما زال الإحساس يحدث). لا يوجد حتى الآن منشور رسمي لإثبات حدسية بوانكاريه، ولكن هناك رأي موثوق لأفضل علماء الرياضيات على هذا الكوكب يؤكد صحة حسابات بيرلمان.

مُنحت وسام فيلدز إلى غريغوري بيرلمان على وجه التحديد لحل مشكلة بوانكاريه. لكن العالم الروسي رفض الجائزة التي يستحقها بلا شك. وقال الإنجليزي جون بول، رئيس الاتحاد العالمي لعلماء الرياضيات (WUM)، في مؤتمر صحفي في مؤتمر صحفي في جنيف: “أخبرني غريغوري أنه يشعر بالعزلة عن مجتمع الرياضيات الدولي، خارج هذا المجتمع، وبالتالي لا يريد الحصول على الجائزة”. مدريد.

هناك شائعات بأن غريغوري بيرلمان سيترك العلوم على الإطلاق: قبل ستة أشهر، استقال من معهد ستيكلوف للرياضيات الأصلي، ويقولون إنه لن يدرس الرياضيات بعد الآن. ولعل العالم الروسي يعتقد أنه بإثبات الفرضية الشهيرة يكون قد بذل كل ما في وسعه من أجل العلم. ولكن من سيتولى مناقشة تسلسل أفكار مثل هذا العالم اللامع والشخص الاستثنائي؟.. بيرلمان يرفض أي تعليق، وقال لصحيفة ديلي تلغراف: “لا شيء مما يمكنني قوله له أدنى اهتمام عام”. ومع ذلك، أجمعت المنشورات العلمية الرائدة في تقييماتها عندما ذكرت أن "غريغوري بيرلمان، بعد أن حل نظرية بوانكاريه، وقف على قدم المساواة مع أعظم العباقرة في الماضي والحاضر".

مجلة ودار نشر أدبية وصحفية شهرية.

تصوير N. Chetverikova يُطلق على آخر إنجاز عظيم للرياضيات البحتة اسم الدليل الذي قدمه غريغوري بيرلمان المقيم في سانت بطرسبرغ في 2002-2003 لحدسية بوانكاريه، والتي تم التعبير عنها في عام 1904 والتي تنص على: "كل متشعب ثلاثي الأبعاد متصل ومتصل ببساطة ومضغوط بلا حدود هو متماثل للكرة S 3."

هناك عدة مصطلحات في هذه العبارة سأحاول أن أشرحها حتى يكون معناها العام واضحا لغير علماء الرياضيات (أفترض أن القارئ قد تخرج من المدرسة الثانوية وما زال يتذكر بعضا من رياضيات مدرسته).

لنبدأ بمفهوم التماثل، وهو أمر أساسي في الطوبولوجيا. بشكل عام، غالبًا ما يتم تعريف الطوبولوجيا على أنها "الهندسة المطاطية"، أي علم خصائص الصور الهندسية التي لا تتغير أثناء التشوهات الملساء دون فواصل ولصق، أو بشكل أكثر دقة، إذا كان من الممكن إنشاء علاقة فردية -واحد ومراسلات متبادلة مستمرة بين كائنين .

من الأسهل شرح الفكرة الرئيسية باستخدام المثال الكلاسيكي للكوب والدونات. الأول يمكن أن يتحول إلى الثاني عن طريق التشوه المستمر: تظهر هذه الأشكال بوضوح أن الكوب يشبه قطعة الدونات، وهذه الحقيقة صحيحة بالنسبة لأسطحها (المشعبات ثنائية الأبعاد التي تسمى الحيد) وللأجسام المملوءة (ثلاثة -مشعبات ذات أبعاد ذات حافة).

ولنعطي تفسيرا لباقي المصطلحات التي تظهر في صياغة الفرضية.

1. مشعب ثلاثي الأبعاد بدون حافة.هذا جسم هندسي تحتوي كل نقطة فيه على جوار على شكل كرة ثلاثية الأبعاد. تتضمن أمثلة المشعبات الثلاثة، أولًا، المساحة ثلاثية الأبعاد بأكملها، والتي يُشار إليها بالرمز R 3، بالإضافة إلى أي مجموعات مفتوحة من النقاط في R 3، على سبيل المثال، الجزء الداخلي من الطارة الصلبة (الدونات). إذا اعتبرنا طارة مغلقة كاملة، أي أضفنا نقاط حدودها (سطح الطارة)، فسنحصل على متشعب ذي حافة - نقاط الحافة لا تحتوي على أحياء على شكل كرة، بل على الشكل فقط من نصف الكرة.

2. متصل.مفهوم الاتصال هنا هو الأبسط. ويكون المشعب متصلا إذا كان مكونا من قطعة واحدة، أو مثل ذلك يمكن توصيل أي نقطتين منه بخط متصل لا يتجاوز حدوده.

3. متصل ببساطة.إن مفهوم الترابط ببساطة أكثر تعقيدًا. وهذا يعني أن أي منحنى مغلق مستمر يقع بالكامل داخل مشعب معين يمكن تقليصه بسلاسة إلى نقطة دون مغادرة هذا المشعب. على سبيل المثال، يتم توصيل كرة عادية ثنائية الأبعاد في R 3 ببساطة (يمكن سحب الشريط المطاطي، الذي يتم وضعه بأي شكل من الأشكال على سطح التفاحة، بسلاسة إلى نقطة واحدة عن طريق التشوه السلس دون تمزيق الشريط المطاطي من التفاحة) . ومن ناحية أخرى، فإن الدائرة والطارة ليسا متصلين ببساطة.

4. مدمج.يكون الصنف مضغوطًا إذا كانت أي من صوره المتجانسة ذات أبعاد محدودة. على سبيل المثال، الفترة المفتوحة على الخط (جميع نقاط القطعة باستثناء نهاياتها) تكون غير مضغوطة، حيث يمكن تمديدها بشكل مستمر إلى خط لا نهائي. لكن الجزء المغلق (ذو النهايات) عبارة عن مشعب مدمج له حدود: لأي تشوه مستمر، تذهب الأطراف إلى بعض النقاط المحددة، ويجب أن يدخل الجزء بأكمله في منحنى محدد يربط هذه النقاط.

البعدالمشعب هو عدد درجات حرية النقطة التي "تعيش" عليه. ولكل نقطة حي على شكل قرص ذي البعد المقابل، أي فاصل من خط مستقيم في حالة أحادية البعد، ودائرة على مستوى في بعدين، وكرة في ثلاثة أبعاد، وما إلى ذلك. من النقطة من وجهة نظر الطوبولوجيا، لا يوجد سوى مشعبتين متصلتين أحادية البعد بدون حافة: الخط والدائرة. ومن بينها، الدائرة فقط هي المضغوطة.

مثال على الفضاء الذي ليس متشعبًا، على سبيل المثال، زوج من الخطوط المتقاطعة - بعد كل شيء، عند نقطة تقاطع خطين، أي حي له شكل صليب، ولا يوجد به حي من شأنه أن في حد ذاته يكون مجرد فاصل زمني (وجميع النقاط الأخرى بها مثل هذه الأحياء). في مثل هذه الحالات، يقول علماء الرياضيات أننا نتعامل مع نوع خاص له نقطة خاصة واحدة.

المتشعبات المدمجة ثنائية الأبعاد معروفة جيدًا. إذا اعتبرنا فقط قابل للتوجيه 1المتشعبات بلا حدود، فإنها من وجهة نظر طوبولوجية تشكل قائمة بسيطة، وإن كانت لا نهائية: وهكذا. يتم الحصول على كل مشعب من هذا النوع من الكرة عن طريق لصق عدة مقابض، ويسمى عددها جنس السطح.

1 ولضيق المساحة، لن أتحدث عن المتشعبات غير القابلة للتوجيه، ومن الأمثلة عليها زجاجة كلاين الشهيرة - وهو سطح لا يمكن دمجه في الفضاء دون تقاطعات ذاتية.

يوضح الشكل الأسطح من النوع 0 و1 و2 و3. ما الذي يجعل الكرة متميزة عن جميع الأسطح في هذه القائمة؟ لقد اتضح أنه مرتبط ببساطة: على الكرة، يمكن تقليص أي منحنى مغلق إلى نقطة ما، ولكن على أي سطح آخر يمكن دائمًا الإشارة إلى منحنى لا يمكن تقليصه إلى نقطة على طول السطح.

من الغريب أن المتشعبات المدمجة ثلاثية الأبعاد بدون حدود يمكن تصنيفها بمعنى ما، أي مرتبة في قائمة معينة، على الرغم من أنها ليست واضحة كما في الحالة ثنائية الأبعاد، ولكن لها بنية معقدة إلى حد ما. ومع ذلك، فإن الكرة ثلاثية الأبعاد S 3 تبرز في هذه القائمة تمامًا مثل الكرة ثنائية الأبعاد في القائمة أعلاه. حقيقة أن أي منحنى على S 3 يتقلص إلى نقطة ما يتم إثباتها ببساطة كما في الحالة ثنائية الأبعاد. لكن العبارة المعاكسة، أي أن هذه الخاصية فريدة خصيصًا للكرة، أي أنه يوجد على أي مشعب ثلاثي الأبعاد آخر منحنيات غير قابلة للتقلص، صعبة للغاية وتشكل بالضبط محتوى حدسية بوانكاريه التي نتحدث عنها .

ومن المهم أن نفهم أن التنوع يمكن أن يعيش من تلقاء نفسه، ويمكن اعتباره كائنًا مستقلاً، غير متداخل في أي مكان. (تخيل أنك تعيش كمخلوقات ثنائية الأبعاد على سطح كرة عادية، غير مدركة لوجود بعد ثالث.) ولحسن الحظ، يمكن أن تتداخل جميع الأسطح ثنائية الأبعاد في القائمة أعلاه في مساحة R3 العادية، مما يجعلها أسهل تصور. بالنسبة للكرة ثلاثية الأبعاد S 3 (وبشكل عام لأي مشعب ثلاثي الأبعاد مدمج بدون حدود) لم يعد هذا هو الحال، لذا يلزم بذل بعض الجهد لفهم بنيتها.

على ما يبدو، فإن أبسط طريقة لشرح البنية الطوبولوجية للكرة ثلاثية الأبعاد S 3 هي استخدام الضغط بنقطة واحدة. أي أن الكرة ثلاثية الأبعاد S 3 عبارة عن ضغط أحادي النقطة للفضاء العادي ثلاثي الأبعاد (غير المحدود) R 3 .

دعونا أولا شرح هذا البناء باستخدام أمثلة بسيطة. لنأخذ خطًا مستقيمًا لا نهائيًا عاديًا (تناظريًا أحادي البعد للمكان) ونضيف إليه نقطة واحدة "بعيدة بلا حدود"، على افتراض أننا عندما نتحرك على طول خط مستقيم إلى اليمين أو اليسار، فإننا نصل في النهاية إلى هذه النقطة. من وجهة نظر طوبولوجية، لا يوجد فرق بين الخط اللانهائي وقطعة الخط المفتوحة المحدودة (بدون نقاط النهاية). يمكن ثني هذا الجزء بشكل مستمر على شكل قوس، وتقريب الأطراف ولصق النقطة المفقودة عند التقاطع. من الواضح أننا سنحصل على دائرة - تماثل أحادي البعد للكرة.

بنفس الطريقة، إذا أخذت مستوى لا نهائيًا وأضفت نقطة واحدة عند اللانهاية، والتي تميل إليها جميع الخطوط المستقيمة للمستوى الأصلي، التي تمر في أي اتجاه، فسنحصل على كرة ثنائية الأبعاد (عادية) S 2. يمكن ملاحظة هذا الإجراء باستخدام إسقاط مجسم، والذي يعين لكل نقطة P الكرة، باستثناء القطب الشمالي N، نقطة معينة على المستوى P":

وبالتالي، فإن الكرة التي لا تحتوي على نقطة واحدة هي من الناحية الطوبولوجية نفس المستوى، وإضافة نقطة تحول المستوى إلى كرة.

من حيث المبدأ، ينطبق نفس البناء بالضبط على المجال ثلاثي الأبعاد والفضاء ثلاثي الأبعاد، فقط لتنفيذه من الضروري إدخال البعد الرابع، وهذا ليس من السهل تصويره في الرسم. لذلك، سأقتصر على الوصف اللفظي لضغط المساحة بنقطة واحدة R 3 .

تخيل أنه إلى مساحتنا المادية (التي نعتبرها، وفقًا لنيوتن، مساحة إقليدية غير محدودة بثلاثة إحداثيات x، y، z) تتم إضافة نقطة واحدة "عند اللانهاية" بطريقة بحيث أنه عند التحرك في خط مستقيم في أي الاتجاه الذي تصل إليه هناك (أي أن كل خط مكاني يغلق في دائرة). ثم نحصل على متشعب مدمج ثلاثي الأبعاد، وهو بحكم تعريفه الكرة S 3 .

من السهل أن نفهم أن الكرة S 3 متصلة ببساطة. في الواقع، أي منحنى مغلق على هذه الكرة يمكن إزاحته قليلاً بحيث لا يمر عبر النقطة المضافة. ثم نحصل على منحنى في الفضاء العادي R 3، والذي ينكمش بسهولة إلى نقطة من خلال التجانسات، أي الضغط المستمر في الاتجاهات الثلاثة.

لفهم كيفية هيكلة الصنف S 3، من المفيد جدًا النظر في تقسيمه إلى قسمين صلبين. إذا قمنا بإزالة الطارة الصلبة من الفضاء R 3، فسيبقى شيء غير واضح تمامًا. وإذا تم ضغط الفضاء في المجال، فإن هذا المكمل يتحول أيضا إلى طارة صلبة. أي أن الكرة S 3 مقسمة إلى حلقتين صلبتين لهما حدود مشتركة - طارة.

وإليك كيف يمكنك فهم ذلك. لنقم بتضمين الطارة في R 3 كالمعتاد، على شكل كعكة مستديرة، ونرسم خطًا رأسيًا - محور دوران هذه الكعكة. نرسم مستوى عشوائيًا من خلال المحور، وسوف يتقاطع مع طارتنا الصلبة على طول دائرتين موضحتين باللون الأخضر في الشكل، وينقسم الجزء الإضافي من المستوى إلى عائلة متصلة من الدوائر الحمراء. وتشمل هذه المحور المركزي، الذي تم تسليط الضوء عليه بشكل أكثر جرأة، لأنه في الكرة S 3 يغلق الخط المستقيم في دائرة. يتم الحصول على صورة ثلاثية الأبعاد من هذه الصورة ثنائية الأبعاد عن طريق الدوران حول محور. ستملأ مجموعة كاملة من الدوائر الدائرية جسمًا ثلاثي الأبعاد، متماثلًا مع الطارة الصلبة، ويبدو غير عادي.

في الواقع، سيكون المحور المركزي دائرة محورية فيه، والباقي سيلعب دور المتوازيات - الدوائر التي تشكل طارة صلبة عادية.

للحصول على شيء يمكن مقارنة الكرة الثلاثية به، سأقدم مثالًا آخر على 3 مشعب مدمج، أي طارة ثلاثية الأبعاد. يمكن بناء طارة ثلاثية الأبعاد على النحو التالي. لنأخذ مكعبًا عاديًا ثلاثي الأبعاد كمادة أولية:

لها ثلاثة أزواج من الحواف: اليسار واليمين، العلوي والسفلي، الأمامي والخلفي. في كل زوج من الوجوه المتوازية، نحدد في أزواج النقاط التي تم الحصول عليها من بعضها البعض عن طريق النقل على طول حافة المكعب. أي أننا سنفترض (بشكل تجريدي بحت، دون استخدام التشوهات الجسدية) أن، على سبيل المثال، A وA" هما نفس النقطة، وB وB" هما أيضًا نقطة واحدة، لكنهما مختلفتان عن النقطة A. جميع النقاط الداخلية من المكعب سنعتبره كالمعتاد. المكعب نفسه عبارة عن مشعب ذو حافة، ولكن بعد الانتهاء من اللصق، تنغلق الحافة على نفسها وتختفي. في الواقع، فإن مجاورة النقطتين "أ" و"أ" في المكعب (وهي تقع على الوجهين المظللين الأيمن والأيسر) عبارة عن نصفين من الكرات، والتي، بعد لصق الوجوه معًا، تندمج في كرة كاملة، والتي تكون بمثابة حي من النقطة المقابلة للطارة ثلاثية الأبعاد.

لكي تشعر ببنية الحيد الثلاثي بناءً على الأفكار اليومية حول المساحة المادية، تحتاج إلى اختيار ثلاثة اتجاهات متعامدة بشكل متبادل: للأمام واليسار والأعلى - وفكر عقليًا، كما هو الحال في قصص الخيال العلمي، أنه عند التحرك في أي من هذه الاتجاهات "، وهي فترة زمنية طويلة إلى حد ما ولكنها محدودة، سوف نعود إلى نقطة البداية، ولكن من الاتجاه المعاكس. وهذا أيضًا "ضغط للمكان"، ولكنه ليس نقطة واحدة استخدمت سابقًا لبناء الكرة، ولكنه أكثر تعقيدًا.

توجد مسارات غير قابلة للتقلص على طارة ثلاثية الأبعاد؛ على سبيل المثال، هذا هو الجزء "AA" في الشكل (يمثل على الحلقة مسارًا مغلقًا). لا يمكن تقليصه، لأنه بالنسبة لأي تشوه مستمر، يجب أن تتحرك النقطتان A وA" على طول وجوههما، وتبقى في مواجهة بعضها البعض بشكل صارم ( وإلا سيتم فتح المنحنى).

لذلك، نرى أن هناك 3 مشعبات مضغوطة متصلة ببساطة وغير متصلة ببساطة. أثبت بيرلمان أن المتشعب المتصل ببساطة هو واحد تمامًا.

الفكرة الأولية للإثبات هي استخدام ما يسمى بـ "تدفق ريتشي": نأخذ مشعبًا مدمجًا متصلًا ببساطة، ونمنحه هندسة عشوائية (أي نقدم بعض القياسات بالمسافات والزوايا)، ثم نأخذ في الاعتبار تطورها على طول تدفق ريتشي. وكان ريتشارد هاميلتون، الذي اقترح هذه الفكرة في عام 1981، يأمل أن يحول هذا التطور تنوعنا إلى مجال. اتضح أن هذا غير صحيح - في الحالة ثلاثية الأبعاد، يكون تدفق ريتشي قادرًا على إفساد المشعب، أي جعله غير متشعب (شيء ذو نقاط مفردة، كما في المثال أعلاه للخطوط المتقاطعة) . تمكن بيريلمان، من خلال التغلب على صعوبات تقنية لا تصدق، باستخدام الجهاز الثقيل للمعادلات التفاضلية الجزئية، من إدخال تصحيحات على تدفق ريتشي بالقرب من النقاط المفردة بطريقة بحيث لا تتغير طوبولوجيا المشعب أثناء التطور، ولا تنشأ نقاط مفردة، و وفي النهاية يتحول إلى كرة مستديرة. لكن يجب علينا أخيرًا أن نشرح ما هو تدفق ريتشي هذا. تشير التدفقات التي يستخدمها هاميلتون وبيريلمان إلى التغيرات في المقياس الجوهري على متشعب مجرد، وهذا أمر يصعب تفسيره، لذلك سأقتصر على وصف تدفق ريتشي "الخارجي" على المتشعبات أحادية البعد المضمنة في المستوى.

دعونا نتخيل منحنى مغلقًا سلسًا على المستوى الإقليدي، ونختار اتجاهًا عليه ونفكر في متجه الظل لوحدة الطول عند كل نقطة. بعد ذلك، عند الدوران حول المنحنى في الاتجاه المختار، سيدور هذا المتجه بسرعة زاوية معينة، وهو ما يسمى الانحناء. في الأماكن التي يكون فيها المنحنى أكثر انحدارًا، سيكون الانحناء (بالقيمة المطلقة) أكبر، وعندما يكون أكثر سلاسة، سيكون الانحناء أقل.

سنعتبر الانحناء موجبًا إذا اتجه متجه السرعة نحو الجزء الداخلي من المستوى، مقسومًا على المنحنى إلى جزأين، وسالبًا إذا اتجه نحو الخارج. ولا تعتمد هذه الاتفاقية على الاتجاه الذي يتم فيه اجتياز المنحنى. عند نقاط الانعطاف، حيث يتغير اتجاه الدوران، سيكون الانحناء 0. على سبيل المثال، دائرة نصف قطرها 1 لها انحناء إيجابي ثابت قدره 1 (إذا تم قياسه بالراديان).

الآن دعونا ننسى المتجهات المماسية، وعلى العكس من ذلك، نعلق على كل نقطة من المنحنى متجهًا عموديًا عليها، يساوي طول الانحناء عند نقطة معينة وموجهًا نحو الداخل إذا كان الانحناء موجبًا، وإلى الخارج إذا كان سالبًا ، ثم اجعل كل نقطة تتحرك في اتجاه المتجه المقابل بسرعة تتناسب مع طوله. هنا مثال:

وتبين أن أي منحنى مغلق على المستوى يتصرف بطريقة مماثلة خلال هذا التطور، أي أنه يتحول في النهاية إلى دائرة. هذا دليل على التناظرية أحادية البعد لحدسية بوانكاريه باستخدام تدفق ريتشي (ومع ذلك، فإن العبارة نفسها في هذه الحالة واضحة بالفعل، إن طريقة الإثبات توضح فقط ما يحدث في البعد 3).

دعونا نلاحظ في الختام أن منطق بيريلمان لا يثبت حدسية بوانكاريه فحسب، بل يثبت أيضًا حدسية ثورستون الهندسية الأكثر عمومية، والتي تصف إلى حد ما بنية جميع المتشعبات ثلاثية الأبعاد المدمجة بشكل عام. لكن هذا الموضوع يقع خارج نطاق هذه المقالة الأولية.

سيرجي دوزين,
دكتوراه في الفيزياء والرياضيات علوم،
باحث كبير
فرع سانت بطرسبرغ
معهد الرياضيات التابع للأكاديمية الروسية للعلوم

يعتبر آخر إنجاز عظيم للرياضيات البحتة هو الدليل الذي قدمه غريغوري بيرلمان المقيم في سانت بطرسبرغ في 2002-2003 على حدسية بوانكاريه، التي تم ذكرها في عام 1904 والتي تنص على ما يلي: “كل متشعب ثلاثي الأبعاد متصل ومتصل ببساطة ومضغوط بدون حدود هو متماثل للكرة S 3."

من الأسهل شرح الفكرة الرئيسية باستخدام المثال الكلاسيكي للكوب والدونات. يمكن تحويل الأول إلى الثاني عن طريق التشوه المستمر.

توضح هذه الأشكال بوضوح أن الكوب يشبه قطعة الدونات، وهذه الحقيقة تنطبق على أسطحها (المشعبات ثنائية الأبعاد التي تسمى الحيد) والأجسام المملوءة (المشعبات ثلاثية الأبعاد ذات الحافة).

ولنعطي تفسيرا لباقي المصطلحات التي تظهر في صياغة الفرضية.

مشعب ثلاثي الأبعاد بدون حافة.هذا جسم هندسي تحتوي كل نقطة فيه على جوار على شكل كرة ثلاثية الأبعاد. تتضمن أمثلة المشعبات الثلاثة، أولًا، المساحة ثلاثية الأبعاد بأكملها، والتي يُشار إليها بالرمز R 3، بالإضافة إلى أي مجموعات مفتوحة من النقاط في R 3، على سبيل المثال، الجزء الداخلي من الطارة الصلبة (الدونات). إذا أخذنا في الاعتبار طارة صلبة مغلقة، أي أضفنا نقاط حدودها (سطح الطارة)، فسنحصل على مشعب ذو حافة - نقاط الحافة لا تحتوي على أحياء على شكل كرة، ولكن فقط في الشكل من نصف الكرة.
متصل.مفهوم الاتصال هنا هو الأبسط. ويكون المشعب متصلا إذا كان مكونا من قطعة واحدة، أو مثل ذلك يمكن توصيل أي نقطتين منه بخط متصل لا يتجاوز حدوده.
متصل ببساطة.إن مفهوم الترابط ببساطة أكثر تعقيدًا. وهذا يعني أن أي منحنى مغلق مستمر يقع بالكامل داخل مشعب معين يمكن تقليصه بسلاسة إلى نقطة دون مغادرة هذا المشعب. على سبيل المثال، يتم توصيل كرة عادية ثنائية الأبعاد في R 3 ببساطة (يمكن سحب الشريط المطاطي، الذي يتم وضعه بأي شكل من الأشكال على سطح التفاحة، بسلاسة إلى نقطة واحدة عن طريق التشوه السلس دون تمزيق الشريط المطاطي من التفاحة) . ومن ناحية أخرى، فإن الدائرة والطارة ليسا متصلين ببساطة.
المدمج.يكون المشعب مضغوطًا إذا كانت أي من صوره المتجانسة ذات أبعاد محدودة. على سبيل المثال، الفترة المفتوحة على الخط (جميع نقاط القطعة باستثناء نهاياتها) تكون غير مضغوطة، حيث يمكن تمديدها بشكل مستمر إلى خط لا نهائي. لكن الجزء المغلق (ذو النهايات) عبارة عن مشعب مدمج له حدود: لأي تشوه مستمر، تذهب الأطراف إلى بعض النقاط المحددة، ويجب أن يدخل الجزء بأكمله في منحنى محدد يربط هذه النقاط.

المتشعبات المدمجة ثنائية الأبعاد معروفة جيدًا. إذا اعتبرنا فقط الموجهةالمتشعبات بلا حدود، فإنها من وجهة نظر طوبولوجية تشكل قائمة بسيطة، وإن كانت لا نهائية: وهكذا. يتم الحصول على كل مشعب من هذا النوع من الكرة عن طريق لصق عدة مقابض، ويسمى عددها جنس السطح.

دعونا أولا شرح هذا البناء باستخدام أمثلة بسيطة. لنأخذ خطًا مستقيمًا لا نهائيًا عاديًا (تناظريًا أحادي البعد للمكان) ونضيف إليه نقطة واحدة "بعيدة بلا حدود"، على افتراض أننا عندما نتحرك على طول خط مستقيم إلى اليمين أو اليسار، فإننا نصل في النهاية إلى هذه النقطة. من وجهة نظر طوبولوجية، لا يوجد فرق بين الخط اللانهائي وقطعة الخط المفتوحة المحدودة (بدون نقاط نهاية). يمكن ثني هذا الجزء بشكل مستمر على شكل قوس، وتقريب الأطراف ولصق النقطة المفقودة عند التقاطع. من الواضح أننا سنحصل على دائرة - تماثل أحادي البعد للكرة.

بنفس الطريقة، إذا أخذت مستوى لا نهائيًا وأضفت نقطة واحدة عند اللانهاية، والتي تميل إليها جميع الخطوط المستقيمة للمستوى الأصلي، التي تمر في أي اتجاه، فسنحصل على كرة ثنائية الأبعاد (عادية) S 2. يمكن ملاحظة هذا الإجراء باستخدام إسقاط مجسم، والذي يعين لكل نقطة P من الكرة، باستثناء القطب الشمالي N، نقطة معينة على المستوى P."

لكي تشعر ببنية الحيد الثلاثي بناءً على الأفكار اليومية حول المساحة المادية، تحتاج إلى اختيار ثلاثة اتجاهات متعامدة بشكل متبادل: للأمام واليسار والأعلى - وفكر عقليًا، كما هو الحال في قصص الخيال العلمي، أنه عند التحرك في أي من هذه الاتجاهات ، وهي فترة طويلة إلى حد ما ولكنها محدودة، سنعود إلى نقطة البداية، ولكن من الاتجاه المعاكس. يعد هذا أيضًا "ضغطًا للفضاء"، ولكنه ليس نقطة واحدة تم استخدامها سابقًا لبناء الكرة، ولكنه أكثر تعقيدًا.

الفكرة الأولية للإثبات هي استخدام ما يسمى بـ "تدفق ريتشي": نأخذ مشعبًا مدمجًا متصلًا ببساطة، ونمنحه هندسة عشوائية (أي، نقدم بعض القياسات بالمسافات والزوايا)، ثم النظر في تطورها على طول تدفق ريتشي. وكان ريتشارد هاميلتون، الذي اقترح هذه الفكرة في عام 1981، يأمل أن يحول هذا التطور تنوعنا إلى مجال. اتضح أن هذا غير صحيح - في الحالة ثلاثية الأبعاد، يكون تدفق ريتشي قادرًا على إفساد المشعب، أي جعله غير متشعب (شيء ذو نقاط مفردة، كما في المثال أعلاه للخطوط المتقاطعة) . تمكن بيريلمان، من خلال التغلب على صعوبات تقنية لا تصدق، باستخدام الجهاز الثقيل للمعادلات التفاضلية الجزئية، من إدخال تصحيحات على تدفق ريتشي بالقرب من النقاط المفردة بطريقة بحيث لا تتغير طوبولوجيا المشعب أثناء التطور، ولا تنشأ نقاط مفردة، و وفي النهاية يتحول إلى كرة مستديرة واحدة. لكن يجب علينا أخيرًا أن نشرح ما هو تدفق ريتشي هذا. تشير التدفقات التي يستخدمها هاميلتون وبيريلمان إلى التغيرات في المقياس الجوهري على متشعب مجرد، وهذا أمر يصعب تفسيره، لذلك سأقتصر على وصف تدفق ريتشي "الخارجي" على المتشعبات أحادية البعد المضمنة في المستوى.

سنعتبر الانحناء موجبًا إذا اتجه متجه السرعة نحو الجزء الداخلي من المستوى، مقسومًا على المنحنى إلى جزأين، وسالبًا إذا اتجه نحو الخارج. هذه الاتفاقية مستقلة عن الاتجاه الذي يتم فيه اجتياز المنحنى. عند نقاط الانعطاف، حيث يتغير اتجاه الدوران، سيكون الانحناء 0. على سبيل المثال، دائرة نصف قطرها 1 لها انحناء إيجابي ثابت قدره 1 (إذا تم قياسه بالراديان).

ولضيق المساحة، لن أتحدث عن المتشعبات غير القابلة للتوجيه، ومن الأمثلة عليها زجاجة كلاين الشهيرة - وهو سطح لا يمكن دمجه في الفضاء دون تقاطعات ذاتية.

نظرية بوانكاريه هي صيغة رياضية لـ "الكون". غريغوري بيرلمان. الجزء الأول (من سلسلة الرجل الحقيقي في العلم)

صاغ هنري بوانكاريه (1854-1912)، أحد أعظم علماء الرياضيات، الفكرة الشهيرة للكرة المشوهة ثلاثية الأبعاد في عام 1904، وعلى شكل ملاحظة هامشية صغيرة وضعت في نهاية ورقة مكونة من 65 صفحة مقالة مخصصة لقضية مختلفة تمامًا، كتبت بضعة أسطر من فرضية غريبة إلى حد ما بالكلمات: "حسنًا، هذا السؤال يمكن أن يأخذنا بعيدًا"...

يعتقد ماركوس دو سوتوي من جامعة أكسفورد أن نظرية بوانكاريه "هي المشكلة المركزية في الرياضيات والفيزياء، محاولة للفهم ما الشكلربما كون، من الصعب جدًا الاقتراب منها."

كان غريغوري بيرلمان يسافر مرة واحدة في الأسبوع إلى برينستون للمشاركة في ندوة في معهد الدراسات المتقدمة. في الندوة، يجيب أحد علماء الرياضيات في جامعة هارفارد على سؤال بيرلمان: "نظرية ويليام ثورستون (1946-2012، عالم رياضيات، يعمل في مجال "الهندسة والطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد")، تسمى فرضية الهندسة، تصف كل شيء الأسطح المحتملة ثلاثية الأبعاد وهي خطوة إلى الأمام بالمقارنة مع تخمين بوانكاريه. إذا أثبتت فرضية ويليام ثورستون، فإن حدسية بوانكاريه ستفتح لك كل أبوابها، وعلاوة على ذلك إن حلها سيغير المشهد الطوبولوجي بأكمله للعلوم الحديثة».

في مارس 2003، قامت ست جامعات أمريكية رائدة بدعوة بيرلمان لإلقاء سلسلة من المحاضرات لشرح عمله. في أبريل 2003، قام بيرلمان بجولة علمية. تصبح محاضراته حدثًا علميًا بارزًا. جون بول (رئيس الاتحاد الرياضي الدولي)، أندرو وايلز (عالم رياضيات، يعمل في مجال حساب المنحنيات الإهليلجية، أثبت نظرية فيرما في عام 1994)، جون ناش (عالم رياضيات يعمل في مجال نظرية الألعاب والهندسة التفاضلية) استمع إليه في برينستون.

تمكن غريغوري بيرلمان من حل إحدى مشاكل الألفية السبعةو وصف رياضياما يسمى صيغة الكون، اثبات حدسية بوانكاريه. لقد ظلت ألمع العقول تكافح مع هذه الفرضية منذ أكثر من 100 عام، ومن أجل إثباتها وعد مجتمع الرياضيات العالمي (معهد كلاي للرياضيات) بمبلغ مليون دولار، وتم تقديمها في 8 يونيو 2010. ولم يظهر جريجوري بيرلمان في ذلك، والمجتمع الرياضي العالمي "سقط الفكين".

في عام 2006، حصل عالم الرياضيات على أعلى جائزة رياضية - وسام فيلدز - لحله حدسية بوانكاريه. قام جون بول شخصيًا بزيارة سانت بطرسبرغ لإقناعه بقبول الجائزة. لقد رفض قبولها بالكلمات: "من غير المرجح أن يتمكن المجتمع من تقييم عملي بجدية".

"تُمنح ميدالية فيلدز (والميدالية) مرة كل 4 سنوات في كل مؤتمر رياضي دولي للعلماء الشباب (أقل من 40 عامًا) الذين قدموا مساهمة كبيرة في تطوير الرياضيات. وبالإضافة إلى الميدالية، يحصل الفائزون على 15 ألف دولار كندي (13 ألف دولار).

في صيغتها الأصلية، تنص حدسية بوانكاريه على ما يلي: "كل مشعب ثلاثي الأبعاد مدمج ومتصل ببساطة دون حدود هو متجانس مع كرة ثلاثية الأبعاد." ترجمتها إلى لغة مشتركة، وهذا يعني أن أي كائن ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، الزجاج، يمكن تحويله إلى كرة عن طريق التشوه وحده، أي أنه لن يحتاج إلى قطع أو لصقه معًا. وبعبارة أخرى، افترض بوانكاريه ذلك الفضاء ليس ثلاثي الأبعاد، ولكنه يحتوي على عدد أكبر بكثير من الأبعادوبيريلمان بعد 100 عام أثبت ذلك رياضيا.

إن تعبير غريغوري بيرلمان عن نظرية بوانكاريه حول تحول المادة إلى حالة أخرى، أي شكل، يشبه المعرفة المقدمة في كتاب أنستازيا نوفيخ "Sensei IV": "في الواقع، هذا الكون بأكمله، اللانهائي بالنسبة لنا، يحتل مساحة مليارات المرات أصغر من رأس أدق الإبر الطبية". وأيضا القدرة على التحكم في الكون المادي من خلال التحولات التي يدخلها الراصد من أبعاد التحكم فوق السادس (من 7 إلى 72 ضمنا) (تقرير "PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS" موضوع "Ezoosmic lattice").

تميز غريغوري بيرلمان بزهد حياته وشدة المطالب الأخلاقية المفروضة على نفسه وعلى الآخرين. عند النظر إليه، يشعر المرء بأنه عادل يعيش جسديابشكل عام مع جميع المعاصرين الآخرين فضاء، أ روحيا بطريقة أخرى، حيث حتى مقابل مليون دولار لا يذهبون إليهالأكثر "براءة" يتنازل مع الضمير. وما نوع هذا الفضاء، وهل من الممكن حتى أن تنظر إليه بطرف عينك؟..

إن الأهمية الاستثنائية للفرضية التي طرحها عالم الرياضيات بوانكاريه منذ حوالي قرن من الزمان تتعلق بالهياكل ثلاثية الأبعاد وهي عنصر أساسي في البحث الحديث أسس الكون. هذا اللغز، وفقًا لخبراء معهد كلاي، هو واحد من سبعة ألغاز ذات أهمية أساسية لتطوير الرياضيات المستقبلية.

يسأل بيريلمان رافضًا الميداليات والجوائز: لماذا أحتاجها؟ إنهم لا فائدة لي على الإطلاق. ويدرك الجميع أنه إذا كانت الأدلة صحيحة، فلن تكون هناك حاجة إلى اعتراف آخر. وإلى أن ينتابني الشك، كان لدي خيار إما أن أتحدث بصوت عالٍ عن تفكك المجتمع الرياضي ككل، بسبب مستواه الأخلاقي المتدني، أو ألا أقول أي شيء وأسمح لنفسي أن أعامل مثل الماشية. والآن بعد أن أصبحت أكثر من مجرد شك، لا أستطيع أن أبقى ماشية وأستمر في الصمت، لذلك كل ما يمكنني فعله هو المغادرة.

من أجل الانخراط في الرياضيات الحديثة، تحتاج إلى أن يكون لديك عقل نقي تمامًا، دون أدنى خليط يفككه ويربكه ويستبدل القيم، وقبول هذه الجائزة يعني إظهار الضعف. العالم المثالي منخرط في العلوم فقط، ولا يهتم بأي شيء آخر (القوة ورأس المال)، ويجب أن يكون لديه عقل نقي، وبالنسبة لبيريلمان ليس هناك أهمية أكبر من العيش وفقًا لهذا المثل الأعلى. هل فكرة الملايين هذه مفيدة للرياضيات، وهل يحتاج العالم الحقيقي إلى مثل هذا الحافز؟ أليست رغبة رأس المال هذه في شراء وإخضاع كل شيء في هذا العالم مهينة؟ أو يمكنك البيع طهارتكلمليون؟ فالمال مهما كثر فهو متساوي حقيقة الروح؟ بعد كل شيء، نحن نتعامل مع تقييم مسبق للمشاكل التي لا ينبغي أن يكون للمال أي علاقة بها، أليس كذلك؟! إن جني شيء مثل مليون يانصيب أو الرهان من كل هذا يعني الانغماس في تفكك العلم، و المجتمع البشري ككل(راجع تقرير "فيزياء الألاترا الأولية" وفي كتاب "اللاترا" آخر 50 صفحة حول الطريق إلى بناء مجتمع مبدع). والمال (الطاقة) الذي يكون رجال الأعمال على استعداد لمنحه للعلم، إذا كان لا بد من استخدامه، فيجب استخدامه بشكل صحيح، أو شيء من هذا القبيل، دون إذلال روح الخدمة الحقيقية، بغض النظر عن الطريقة التي تنظر بها إليها، لا تقدر بثمن من الناحية النقدية: " ما هو مليون في المقارنة؟، بالطهارة، أو العظمة تلك المجالات (حول أبعاد الكون العالمي والعالم الروحي، راجع الكتاب"اللاترا" والتقرير"فيزياء ألاترا الأولية")، والتي غير قادر على الاختراقحتى الإنسان الخيال (العقل)؟! ما هو مليون سماء مليئة بالنجوم للوقت؟!"

ولنعطي تفسيراً لباقي المصطلحات التي تظهر في صياغة الفرضية:

الطوبولوجيا - (من الطوبوغرافية اليونانية - المكان والشعارات - التدريس) - فرع من الرياضيات يدرس الخصائص الطوبولوجية للأشكال، أي. الخصائص التي لا تتغير تحت أي تشوهات يتم إنتاجها دون فواصل أو لصق (بتعبير أدق، مع التعيينات الفردية والمستمرة). من أمثلة الخصائص الطوبولوجية للأشكال البعد، وعدد المنحنيات التي تحيط بمساحة معينة، وما إلى ذلك. وبالتالي، فإن الدائرة والقطع الناقص ومخطط المربع لها نفس الخصائص الطوبولوجية، لأن يمكن تشويه هذه الخطوط إلى بعضها البعض بالطريقة الموضحة أعلاه؛ في الوقت نفسه، تتمتع الحلقة والدائرة بخصائص طوبولوجية مختلفة: الدائرة محدودة بكفاف واحد، والحلقة باثنتين.

التماثل (اليونانية ομοιο - مشابه، μορφη - النموذج) هو مراسلات فردية بين فراغين طوبولوجيين، حيث تكون كلتا الخريطتين المعكوستين المحددتين بواسطة هذه المراسلات متواصلتين. تسمى هذه التعيينات بالتماثل، أو التعيينات الطوبولوجية، وكذلك التماثل، ويقال إن الفضاءات تنتمي إلى نفس النوع الطوبولوجي وتسمى بالتماثل، أو المكافئ الطوبولوجي.

مشعب ثلاثي الأبعاد بدون حافة. هذا جسم هندسي تحتوي كل نقطة فيه على جوار على شكل كرة ثلاثية الأبعاد. تتضمن أمثلة المشعبات الثلاثة، أولًا، المساحة ثلاثية الأبعاد بأكملها، والتي يُشار إليها بالرمز R3، بالإضافة إلى أي مجموعات مفتوحة من النقاط في R3، على سبيل المثال، الجزء الداخلي من الحيد الصلب (الدونات). إذا اعتبرنا طارة صلبة مغلقة، أي. أضف نقاط حدودها (سطح الطارة)، ثم نحصل على مشعب ذو حافة - نقاط الحافة لا تحتوي على أحياء على شكل كرة، ولكن فقط على شكل نصف كرة.

الحيد الصلب (الطوق الصلب) هو جسم هندسي متماثل لمنتج قرص ثنائي الأبعاد ودائرة D2 * S1. بشكل غير رسمي، الطارة الصلبة هي كعكة الدونات، في حين أن الطارة هي سطحها فقط (الغرفة المجوفة للعجلة).

متصل ببساطة. وهذا يعني أن أي منحنى مغلق مستمر يقع بالكامل داخل مشعب معين يمكن تقليصه بسلاسة إلى نقطة دون مغادرة هذا المشعب. على سبيل المثال، يتم توصيل كرة عادية ثنائية الأبعاد في R3 ببساطة (يمكن سحب الشريط المطاطي الموجود بأي شكل من الأشكال على سطح التفاحة بسلاسة إلى نقطة واحدة دون تمزيق الشريط المطاطي من التفاحة). ومن ناحية أخرى، فإن الدائرة والطارة ليسا متصلين ببساطة.

المدمج. يكون المشعب مضغوطًا إذا كانت أي من صوره المتجانسة ذات أبعاد محدودة. على سبيل المثال، الفترة المفتوحة على الخط (جميع نقاط القطعة باستثناء نهاياتها) تكون غير مضغوطة، حيث يمكن تمديدها بشكل مستمر إلى خط لا نهائي. لكن الجزء المغلق (ذو النهايات) عبارة عن مشعب مدمج ذو حافة: لأي تشوه مستمر، تذهب الأطراف إلى بعض النقاط المحددة، ويجب أن يدخل الجزء بأكمله في منحنى محدد يربط هذه النقاط.

يتبع...

إيلناز بشاروف

الأدب:

– تقرير “فيزياء ألاترا الأولية” من قبل مجموعة دولية من علماء الحركة الاجتماعية الدولية “ألاترا”، أد. أنستازيا نوفيخ، 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- واحد جديد. أ. "AllatRa"، ك.: AllatRa، 2013. http://schmbala.com.ua/book/a... .

- واحد جديد. أ.، "Sensei-IV"، K.: LOTOS، 2013، 632 ص. http://schmbala.com.ua/book/s...

– سيرجي دوجين، دكتور في الفيزياء والرياضيات. العلوم، باحث أول في فرع سانت بطرسبرغ لمعهد الرياضيات التابع للأكاديمية الروسية للعلوم