نظرية فيثاغورس التي لا تُنسى أبدًا. مربع الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي المبلغمربعات من أرجلها. بمعنى آخر، في المثلث القائم الزاوية، مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع مساحات المربعين المبنيين على ساقيه.
للدلالة على طول وتر المثلث بـ c، وأطوال الأرجل بـ a و b:
الوتر- هذا أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية. يوجد أيضًا في هذا المثلث اثنان رجل.
في هذه الحالة، الوتر هو الضلع المقابل زاوية مستقيمة. والأرجل هي الأضلاع التي تشكل زاوية معينة.
ووفقا لنظرية فيثاغورس، سيكون مربع الوتر مساوياً لمجموع مربعات الساقين.
أي أن AB = AC + BC.
والعكس صحيح أيضًا، فإذا كانت هذه المساواة موجودة في مثلث، فإن هذا المثلث قائم الزاوية.
تساعد هذه الخاصية في حل العديد من المشكلات الهندسية.
هناك صياغة مختلفة قليلاً لهذه النظرية: مساحة المربع المبني على الوتر تساوي مجموع مساحات المربعات المبنية على الساقين.
مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين...من المدرسة عن ظهر قلب. هذه إحدى تلك القواعد التي سيتم تذكرها إلى الأبد.)))
مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين
هذا صحيح، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين. بالطبع، لقد تم تدريس هذا لنا، وأن نظرية فيثاغورس هذه لا تترك مجالًا للشك؛ فمن الجميل جدًا، من بين الروتين المعتاد، أن نتذكر ما تم تدريسه منذ وقت طويل.
ذلك يعتمد على طول هذا الوتر. فإذا كان يساوي مترًا واحدًا، فإن مربعه واحد متر مربع. وإذا كان مثلًا يساوي 39.37 بوصة، فإن المربع يساوي 1550 بوصة مربعة، فلا يمكن فعل أي شيء حيال ذلك.
مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الأرجل - نظرية فيثاغورس (بالمناسبة، أسهل فقرة في كتاب الهندسة المدرسي)
نعم، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين. يبدو أن هذا ما تعلمناه في المدرسة. كم سنة مضت وما زلنا نتذكر هذه النظرية المحبوبة. ربما سأعمل بجد وأثبت ذلك، تمامًا كما هو الحال في المناهج المدرسية.
وقالوا أيضًا أن سراويل فيثاغورس ذات القافية الصغيرة متساوية في جميع الاتجاهات
أخبرنا المعلم أنه إذا كنت نائما وفجأة حدث حريق، يجب أن تعرف نظرية فيثاغورس))) يساوي مجموع مربعات الساقين
مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين للمثلث (الأرجل).
يمكنك أن تتذكر هذا، أو يمكنك أن تفهم مرة واحدة وإلى الأبد سبب حدوث ذلك.
أولاً، فكر في مثلث قائم الزاوية متساوي الأرجل وضعه داخل مربع له جانب يساوي الوتر.
مساحة المربع الكبير ستكون مساوية لمساحة أربعة مثلثات متطابقةداخله.
دعونا نحسب كل شيء بسرعة ونحصل على النتيجة التي نحتاجها.
إذا لم تكن الأرجل متماثلة، فكل شيء بسيط أيضًا:
مساحة المربع الكبير تساوي مجموع مساحات أربعة مثلثات متطابقة بالإضافة إلى مساحة المربع الذي في المنتصف.
ومهما قال المرء، فإننا نحصل دائمًا على المساواة
مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر.
من أشهر نظريات الهندسة نظرية فيثاغورس التي تنص على ما يلي:
تتعلق هذه النظرية بالمثلث القائم الزاوية، أي المثلث الذي قياس إحدى زواياه 90 درجة. تسمى جوانب الزاوية القائمة بالساقين، وتسمى الجوانب المائلة بالوتر. لذا، إذا قمت برسم ثلاثة مربعات ذات قاعدة عند كل جانب من المثلث، فإن مساحة المربعين بالقرب من الضلع تساوي مساحة المربع بالقرب من الوتر.
عادة ما تُعزى القدرة على الإبداع إلى العلوم الإنسانيةومن الطبيعي أن نترك التحليل للعلمي، نظرة عمليةولغة جافة من الصيغ والأرقام. الرياضيات ل مواضيع إنسانيةلا يمكنك التواصل. لكن بدون الإبداع لن تذهب بعيداً في "ملكة كل العلوم" - فالناس يعرفون ذلك لفترة طويلة. منذ زمن فيثاغورس مثلا.
لسوء الحظ، لا تشرح الكتب المدرسية عادة أنه في الرياضيات من المهم ليس فقط حشر النظريات والبديهيات والصيغ. من المهم أن نفهم ونشعر بمبادئها الأساسية. وفي الوقت نفسه، حاول تحرير عقلك من الكليشيهات والحقائق الأولية - فقط في مثل هذه الظروف تولد جميع الاكتشافات العظيمة.
وتشمل هذه الاكتشافات ما نعرفه اليوم بنظرية فيثاغورس. وبمساعدتها، سنحاول أن نظهر أن الرياضيات لا يمكن أن تكون مثيرة فحسب، بل يجب أن تكون مثيرة أيضًا. وأن هذه المغامرة مناسبة ليس فقط للمهووسين ذوي النظارات السميكة، بل لكل شخص قوي العقل وقوي الروح.
من تاريخ القضية
بالمعنى الدقيق للكلمة، على الرغم من أن النظرية تسمى "نظرية فيثاغورس"، إلا أن فيثاغورس نفسه لم يكتشفها. مثلث قائموقد تمت دراسة خصائصه الخاصة قبله بفترة طويلة. هناك وجهتا نظر قطبيتين حول هذه القضية. وفقًا لإحدى الإصدارات، كان فيثاغورس أول من وجد دليلاً كاملاً على النظرية. ووفقا لآخر، فإن الدليل لا ينتمي إلى تأليف فيثاغورس.
اليوم لم يعد بإمكانك التحقق من هو على حق ومن هو على خطأ. والمعروف أن إثبات فيثاغورس، إن كان موجودًا، لم يبق. ومع ذلك، هناك اقتراحات بأن الدليل الشهير من كتاب العناصر لإقليدس قد ينتمي إلى فيثاغورس، وقد سجله إقليدس فقط.
ومن المعروف اليوم أيضًا أن المسائل المتعلقة بالمثلث قائم الزاوية موجودة في المصادر المصرية من زمن الفرعون أمنمحات الأول، وعلى الألواح الطينية البابلية من عهد الملك حمورابي، وفي الرسالة الهندية القديمة “سولفا سوترا” والعمل الصيني القديم “. تشو بي سوان جين”.
كما ترون فإن نظرية فيثاغورس شغلت عقول علماء الرياضيات منذ القدم. وهذا ما تؤكده حوالي 367 قطعة مختلفة من الأدلة الموجودة اليوم. وفي هذا لا يمكن لأي نظرية أخرى أن تنافسها. من بين مؤلفي البراهين المشهورين يمكننا أن نتذكر ليوناردو دافنشي والرئيس الأمريكي العشرين جيمس جارفيلد. كل هذا يتحدث عن الأهمية القصوى لهذه النظرية بالنسبة للرياضيات: فمعظم نظريات الهندسة مستمدة منها أو مرتبطة بها بطريقة أو بأخرى.
البراهين على نظرية فيثاغورس
في الكتب المدرسيةأنها تعطي أساسا البراهين الجبرية. لكن جوهر النظرية يكمن في الهندسة، لذلك دعونا ننظر أولاً إلى أدلة النظرية الشهيرة المبنية على هذا العلم.
الدليل 1
للحصول على أبسط دليل على نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية، تحتاج إلى ضبطه الظروف المثالية: دع المثلث لا يكون مستطيلاً فحسب، بل متساوي الساقين أيضًا. هناك سبب للاعتقاد بأن هذا النوع من المثلث بالتحديد هو الذي فكر فيه علماء الرياضيات القدماء في البداية.
إفادة "المربع المبني على وتر المثلث القائم يساوي مجموع المربعات المبنية على قائميه"ويمكن توضيح ذلك بالرسم التالي:
انظر إلى المثلث القائم متساوي الساقين ABC: على الوتر AC، يمكنك بناء مربع يتكون من أربعة مثلثات تساوي ABC الأصلي. ويبنى على الضلعين AB وBC مربع، يحتوي كل منهما على مثلثين متشابهين.
بالمناسبة، شكل هذا الرسم أساس العديد من النكات والرسوم الكاريكاتورية المخصصة لنظرية فيثاغورس. الأكثر شهرة هو على الأرجح "سراويل فيثاغورس متساوية في كل الاتجاهات":
الدليل 2
تجمع هذه الطريقة بين الجبر والهندسة ويمكن اعتبارها نوعًا مختلفًا من البرهان الهندي القديم لعالم الرياضيات بهاسكاري.
بناء مثلث قائم الزاوية مع الجانبين أ، ب، ج(رسم بياني 1). ثم قم ببناء مربعين أضلاعهما تساوي مجموع طولي الرجلين - (أ+ب). في كل مربع، قم بعمل الإنشاءات كما في الشكلين 2 و3.
في المربع الأول، قم ببناء أربعة مثلثات مشابهة لتلك الموجودة في الشكل 1. والنتيجة هي مربعين: واحد مع الجانب أ، والثاني مع الجانب ب.
في المربع الثاني، تم إنشاء أربعة مثلثات متشابهة لتشكل مربعًا طول ضلعه يساوي الوتر ج.
مجموع مساحات المربعات المبنية في الشكل 2 يساوي مساحة المربع الذي أنشأناه مع الضلع c في الشكل 3. يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق حساب مساحة المربعات في الشكل. 2 حسب الصيغة. ومساحة المربع المندرج في الشكل 3. وذلك بطرح مساحات أربعة مثلثات متساوية قائمة الزاوية مدرجة في المربع من مساحة مربع كبير ذو ضلع (أ+ب).
عند كتابة كل هذا، لدينا: أ 2 + ب 2 =(أ+ب) 2 – 2أ. افتح الأقواس، وقم بإجراء جميع الحسابات الجبرية اللازمة واحصل على ذلك أ 2 + ب 2 = أ 2 + ب 2. في هذه الحالة، المنطقة المبينة في الشكل 3. يمكن أيضًا حساب المربع باستخدام الصيغة التقليدية ق = ج 2. أولئك. أ 2 + ب 2 = ج 2– لقد أثبتت نظرية فيثاغورس.
الدليل 3
تم وصف الدليل الهندي القديم نفسه في القرن الثاني عشر في أطروحة “تاج المعرفة” (“Siddhanta Shiromani”) وباعتباره الحجة الرئيسية يستخدم المؤلف نداء موجهًا إلى المواهب الرياضية ومهارات الملاحظة للطلاب والأتباع: “ ينظر!"
لكننا سنقوم بتحليل هذا الدليل بمزيد من التفصيل:
داخل المربع، قم ببناء أربعة مثلثات قائمة كما هو موضح في الرسم. دعونا نشير إلى جانب المربع الكبير، المعروف أيضًا باسم الوتر، مع. دعونا نسمي أرجل المثلث أو ب. وفقا للرسم، فإن جانب المربع الداخلي هو (أ-ب).
استخدم الصيغة الخاصة بمساحة المربع ق = ج 2لحساب مساحة المربع الخارجي. وفي نفس الوقت احسب نفس القيمة عن طريق إضافة مساحة المربع الداخلي ومساحة المثلثات الأربعة القائمة: (أ-ب) 2 2+4*1\2*أ*ب.
يمكنك استخدام كلا الخيارين لحساب مساحة المربع للتأكد من أنهما يعطيان نفس النتيجة. وهذا يمنحك الحق في تدوين ذلك ج 2 =(أ-ب) 2 +4*1\2*أ*ب. ونتيجة للحل، سوف تحصل على صيغة نظرية فيثاغورس ج 2 = أ 2 + ب 2. لقد تم إثبات النظرية.
الدليل 4
هذا الدليل الصيني القديم الغريب كان يسمى "كرسي العروس" - بسبب الشكل الذي يشبه الكرسي الناتج عن جميع الإنشاءات:
ويستخدم الرسم الذي رأيناه بالفعل في الشكل 3 في البرهان الثاني. والمربع الداخلي ذو الضلع ج مبني بنفس الطريقة كما في البرهان الهندي القديم المذكور أعلاه.
إذا قمت بقطع مثلثين قائمين باللون الأخضر من الرسم الموجود في الشكل 1، فانقلهما إلى الأطراف المقابلةقم بإرفاق مربع ذو ضلع C والوتر إلى وتر المثلثات الأرجوانية، وستحصل على شكل يسمى "كرسي العروس" (الشكل 2). من أجل الوضوح، يمكنك أن تفعل الشيء نفسه مع المربعات الورقية والمثلثات. سوف تتأكد من أن "كرسي العروس" يتكون من مربعين: مربعان صغيران ذو جانب بوكبيرة مع الجانب أ.
سمحت هذه الإنشاءات لعلماء الرياضيات الصينيين القدماء ولنا، بعدهم، بالتوصل إلى استنتاج مفاده أن ج 2 = أ 2 + ب 2.
الدليل 5
هذه طريقة أخرى لإيجاد حل لنظرية فيثاغورس باستخدام الهندسة. إنها تسمى طريقة غارفيلد.
بناء مثلث قائم الزاوية اي بي سي. نحن بحاجة إلى إثبات ذلك ق 2 = أ 2 + أ ب 2.
للقيام بذلك، استمر في الساق تكييفوبناء شريحة قرص مضغوط، أيّ يساوي الساق أ.ب. خفض عمودي إعلانالقطعة المستقيمة الضعف الجنسي. شرائح الضعف الجنسيو تكييفمتساوون. الربط بين النقاط هو في، و هو معواحصل على رسم مثل الصورة أدناه:
لإثبات البرج، نلجأ مرة أخرى إلى الطريقة التي جربناها بالفعل: نجد مساحة الشكل الناتج بطريقتين ومساواة التعبيرات مع بعضها البعض.
أوجد مساحة المضلع سريريمكن القيام بذلك عن طريق جمع مساحات المثلثات الثلاثة التي تشكلها. وواحد منهم، وحدة معالجة الطوارئ، ليس مستطيلًا فحسب، بل متساوي الساقين أيضًا. دعونا لا ننسى ذلك أيضًا أب = مؤتمر نزع السلاح, التيار المتردد = الضعف الجنسيو قبل الميلاد = جنوب شرق- سيسمح لنا ذلك بتبسيط التسجيل وعدم التحميل الزائد عليه. لذا، S ABED = 2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
وفي الوقت نفسه، فمن الواضح أن سرير- هذا شبه منحرف. ولذلك، فإننا نحسب مساحتها باستخدام الصيغة: S عبد =(DE+AB)*1/2م. بالنسبة لحساباتنا، يكون تمثيل القطاع أكثر ملاءمة ووضوحًا إعلانكمجموع الأجزاء تكييفو قرص مضغوط.
لنكتب الطريقتين لحساب مساحة الشكل، مع وضع إشارة المساواة بينهما: أب*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). نستخدم مساواة الأجزاء المعروفة لنا والموصوفة أعلاه لتبسيط الجانب الأيمن من الترميز: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. الآن دعونا نفتح الأقواس ونحول المساواة: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. بعد الانتهاء من جميع التحولات، نحصل على ما نحتاجه بالضبط: ق 2 = أ 2 + أ ب 2. لقد أثبتنا النظرية.
وبطبيعة الحال، فإن قائمة الأدلة هذه بعيدة عن الاكتمال. يمكن أيضًا إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام المتجهات، ارقام مركبة, المعادلات التفاضلية، القياس المجسم، الخ. وحتى الفيزيائيون: على سبيل المثال، إذا تم سكب السائل في أحجام مربعة ومثلثة مماثلة لتلك الموضحة في الرسومات. من خلال صب السائل، يمكنك إثبات تساوي المناطق والنظرية نفسها نتيجة لذلك.
بضع كلمات عن ثلاثة توائم فيثاغورس
هذه القضية قليلة أو لم تتم دراستها على الإطلاق في المناهج المدرسية. وفي الوقت نفسه، فهو مثير للاهتمام للغاية ولديه أهمية عظيمةفي الهندسة. تُستخدم ثلاثيات فيثاغورس لحل الكثير المشاكل الرياضية. قد يكون فهمها مفيدًا لك في التعليم الإضافي.
إذن ما هي ثلاثة توائم فيثاغورس؟ هذا ما يسمونه الأعداد الصحيحة، مجمعة في ثلاثات، مجموع مربعي اثنين منها يساوي الرقم الثالث في المربع.
يمكن أن تكون ثلاثية فيثاغورس:
- بدائية (جميع الأرقام الثلاثة أولية نسبيًا) ؛
- ليست بدائية (إذا تم ضرب كل رقم ثلاثي بنفس الرقم، فستحصل على ثلاثية جديدة، وهي ليست بدائية).
حتى قبل عصرنا، كان المصريون القدماء مفتونين بهوس الأرقام. ثلاثة توائم فيثاغورس: في المسائل نظروا إلى مثلث قائم الزاوية طول أضلاعه 3،4 و5 وحدات. وبالمناسبة، أي مثلث تساوي أضلاعه الأعداد الموجودة في ثلاثية فيثاغورس هو مستطيل افتراضيًا.
أمثلة على ثلاثية فيثاغورس: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20)، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 30، 34) ، (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، ( 14، 48، 50)، (30، 40، 50)، إلخ.
التطبيق العملي للنظرية
لا تُستخدم نظرية فيثاغورس في الرياضيات فحسب، بل تُستخدم أيضًا في الهندسة المعمارية والبناء وعلم الفلك وحتى الأدب.
أولاً فيما يتعلق بالبناء: تستخدم نظرية فيثاغورس على نطاق واسع في المسائل مراحل مختلفةالصعوبات. على سبيل المثال، انظر إلى النافذة الرومانية:
دعونا نشير إلى عرض النافذة كما ب، فيمكن الإشارة إلى نصف قطر نصف الدائرة الرئيسية على أنه روالتعبير من خلال ب: ص=ب/2. يمكن أيضًا التعبير عن نصف قطر الدوائر النصفية الأصغر من خلال ب: ص=ب/4. في هذه المشكلة نحن مهتمون بنصف قطر الدائرة الداخلية للنافذة (دعنا نسميها ص).
نظرية فيثاغورس مفيدة فقط للحساب ر. للقيام بذلك، نستخدم المثلث القائم، والذي يشار إليه بخط منقط في الشكل. يتكون الوتر في المثلث من نصفي قطر: ب/4+ص. تمثل إحدى الساقين نصف القطر ب/4، آخر ب/2-ص. وباستخدام نظرية فيثاغورس نكتب: (ب/4+ع) 2 =(ب/4) 2 +(ب/2-ع) 2. بعد ذلك، نفتح الأقواس ونحصل على ب 2 /16+ ب/2+ص 2 = ب 2 /16+ب 2 /4-ب+ب 2. دعونا نحول هذا التعبير إلى bp/2=b 2 /4-bp. ثم نقسم جميع الحدود على ب، نقدم مماثلة للحصول عليها 3/2*ع=ب/4. وفي النهاية نجد ذلك ع=ب/6- وهو ما كنا بحاجة إليه.
باستخدام النظرية، يمكنك حساب طول العوارض الخشبية لسقف الجملون. حدد مدى الارتفاع المطلوب لبرج الهاتف الخليوي حتى تصل الإشارة إلى مستوى معين مستعمرة. وحتى تركيب شجرة عيد الميلاد بشكل مستدام في ساحة البلدة. كما ترون، هذه النظرية لا تعيش فقط على صفحات الكتب المدرسية، ولكنها غالبا ما تكون مفيدة في الحياة الحقيقية.
في الأدب، ألهمت نظرية فيثاغورس الكتّاب منذ العصور القديمة، وما زالت تفعل ذلك حتى يومنا هذا. على سبيل المثال، استلهم الكاتب الألماني أدلبرت فون شاميسو من القرن التاسع عشر فكرة كتابة السوناتة:
ونور الحق لن ينطفئ قريبا
ولكن بعد أن أشرق، فمن غير المرجح أن يتبدد
وكما كان الحال منذ آلاف السنين،
لن يسبب أي شكوك أو نزاعات.
الأكثر حكمة عندما يمس بصرك
نور الحق الحمد للآلهة.
ومائة ثور مذبوح يكذبون -
هدية عودة من فيثاغورس المحظوظ.
منذ ذلك الحين والثيران يزأرون يائسين:
انزعجت قبيلة الثور إلى الأبد
الحدث المذكور هنا
ويبدو لهم أن الوقت قد اقترب،
وسيتم التضحية بهم مرة أخرى
بعض النظرية العظيمة.
(ترجمة فيكتور توبوروف)
وفي القرن العشرين، خصص الكاتب السوفييتي إيفجيني فيلتيستوف، في كتابه «مغامرات الإلكترونيات»، فصلاً كاملاً لإثباتات نظرية فيثاغورس. ونصف فصل آخر لقصة العالم ثنائي الأبعاد الذي يمكن أن يوجد إذا أصبحت نظرية فيثاغورس قانونًا أساسيًا وحتى دينًا لعالم واحد. سيكون العيش هناك أسهل بكثير، ولكنه أيضًا أكثر مللًا: على سبيل المثال، لا أحد هناك يفهم معنى الكلمتين "مستديرة" و"رقيق".
وفي كتاب «مغامرات الإلكترونيات» يقول المؤلف على لسان مدرس الرياضيات تارتار: «الشيء الأساسي في الرياضيات هو حركة الفكر، الأفكار الجديدة». إن هذه الرحلة الفكرية الإبداعية هي التي أدت إلى ظهور نظرية فيثاغورس - فليس من قبيل الصدفة أن تحتوي على الكثير من البراهين المتنوعة. يساعدك على تجاوز حدود المألوف والنظر إلى الأشياء المألوفة بطريقة جديدة.
خاتمة
تم تصميم هذه المقالة لمساعدتك على النظر إلى ما هو أبعد من ذلك المنهج المدرسيفي الرياضيات وتعلم ليس فقط البراهين على نظرية فيثاغورس الواردة في الكتب المدرسية "الهندسة 7-9" (إل إس أتاناسيان، ف.ن. رودينكو) و"الهندسة 7-11" (أ.ف. بوجوريلوف)، ولكن أيضًا طرق أخرى مثيرة للاهتمام لإثبات ذلك النظرية الشهيرة. وشاهد أيضًا أمثلة على كيفية تطبيق نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية.
أولاً، ستسمح لك هذه المعلومات بالتأهل للحصول على المزيد نتائج عاليةفي دروس الرياضيات - معلومات حول الموضوع من مصادر إضافيةهي دائما موضع تقدير كبير.
ثانيًا، أردنا مساعدتك في التعرف على كيفية استخدام الرياضيات علم مثير للاهتمام. تأكد أمثلة محددةأن هناك دائمًا مكانًا للإبداع فيه. نأمل أن تلهمك نظرية فيثاغورس وهذه المقالة عمليات بحث مستقلةوالاكتشافات المثيرة في الرياضيات والعلوم الأخرى.
أخبرنا في التعليقات إذا وجدت الأدلة المقدمة في المقال مثيرة للاهتمام. هل وجدت هذه المعلومات مفيدة في دراستك؟ اكتب لنا رأيك في نظرية فيثاغورس وهذا المقال - وسنكون سعداء بمناقشة كل هذا معك.
blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.
يعرف كل تلميذ أن مربع الوتر يساوي دائمًا مجموع الأرجل، كل منها مربع. هذا البيان يسمى نظرية فيثاغورس. وهي من أشهر النظريات في علم المثلثات والرياضيات بشكل عام. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك.
مفهوم المثلث الأيمن
قبل الانتقال إلى نظرية فيثاغورس، التي يكون فيها مربع الوتر يساوي مجموع الأضلاع المربعة، يجب أن نفكر في مفهوم وخصائص المثلث القائم الزاوية الذي تكون النظرية صحيحة فيه.
مثلث - شخصية مسطحةوجود ثلاث زوايا وثلاثة جوانب. المثلث القائم، كما يوحي اسمه، له زاوية قائمة واحدة، أي أن هذه الزاوية تساوي 90 درجة.
من الخصائص العامةمن المعروف بالنسبة لجميع المثلثات أن مجموع الزوايا الثلاث لهذا الشكل هو 180 درجة، مما يعني أنه بالنسبة للمثلث القائم، فإن مجموع الزاويتين غير القائمتين هو 180 درجة - 90 درجة = 90 درجة. الحقيقة الأخيرةيعني أن أي زاوية غير قائمة في المثلث القائم ستكون دائمًا أقل من 90 درجة.
الجانب الذي يقع مقابل الزاوية القائمة يسمى الوتر. الضلعان الآخران هما أرجل المثلث، يمكن أن يكونا متساويين، أو يمكن أن يكونا مختلفين. نعلم من علم المثلثات أنه كلما زادت الزاوية التي يقع عليها أحد أضلاع المثلث، زاد طول هذا الضلع. هذا يعني أنه في المثلث القائم، فإن الوتر (الذي يقع مقابل الزاوية 90 درجة) سيكون دائمًا أكبر من أي من الأرجل (يقع مقابل الزوايا)< 90 o).
التدوين الرياضي لنظرية فيثاغورس
تنص هذه النظرية على أن مربع الوتر يساوي مجموع الأضلاع التي تم تربيع كل منها مسبقًا. لكتابة هذه الصيغة رياضيًا، فكر في مثلث قائم الزاوية تكون أضلاعه a وb وc هي الضلعين والوتر، على التوالي. في هذه الحالة، يمكن تمثيل النظرية، التي تصاغ على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الأضلاع، بالصيغة التالية: c 2 = a 2 + b 2. ومن هنا يمكن الحصول على صيغ أخرى مهمة للتدريب: أ = √(ج 2 - ب 2)، ب = √(ج 2 - أ 2) و ج = √(أ 2 + ب 2).
لاحظ أنه في حالة مستطيلة مثلث متساوي الاضلاع، أي أن a = b، الصيغة: مربع الوتر يساوي مجموع الأضلاع، كل منها مربع، مكتوب رياضيا على النحو التالي: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2، مما يعني ضمنا المساواة: ج = أ√2.
مرجع تاريخي
إن نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع الوتر يساوي مجموع الأرجل، كل منها مربعة، كانت معروفة قبل فترة طويلة من اهتمام الفيلسوف اليوناني الشهير بها. العديد من البرديات مصر القديمة، وكذلك الألواح الطينية للبابليين تؤكد أن هذه الشعوب استخدمت الخاصية الملحوظة لأضلاع المثلث القائم الزاوية. على سبيل المثال، واحدة من الأولى الأهرامات المصرية، هرم خفرع الذي يعود تاريخ بنائه إلى القرن 26 قبل الميلاد (قبل 2000 سنة من حياة فيثاغورس)، تم بناؤه على أساس معرفة نسبة العرض إلى الارتفاع في مثلث قائم الزاوية 3x4x5.
لماذا إذن تحمل النظرية الآن الاسم اليوناني؟ الجواب بسيط: فيثاغورس هو أول من أثبت هذه النظرية رياضيًا. في البقاء على قيد الحياة البابلية والمصرية مصادر مكتوبةإنه يتحدث فقط عن استخدامه، لكنه لا يقدم أي دليل رياضي.
ويعتقد أن فيثاغورس أثبت النظرية المعنية باستخدام الخصائص مثلثات متشابهة، والذي حصل عليه عن طريق رسم الارتفاع في مثلث قائم الزاوية من زاوية 90 درجة إلى الوتر.
مثال على استخدام نظرية فيثاغورس
دعونا نفكر مهمة بسيطة: لا بد من تحديد طول السلم المائل L، إذا علم أن ارتفاعه H = 3 أمتار، والمسافة من الجدار الذي يرتكز عليه السلم إلى قدمه هي P = 2.5 متر.
في في هذه الحالة H وP هما الساقين، وL هو الوتر. بما أن طول الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين، نحصل على: L 2 = H 2 + P 2، من حيث L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2) ) = 3.905 متر أو 3 م و 90.5 سم.
نظرية فيثاغورس
وبالمثل، فإن المثلث CBH يشبه ABC. من خلال إدخال التدوين 
1. ضع أربعة مثلثات متساوية الزاوية كما هو موضح في الشكل. 
فكرة برهان إقليدس هي كما يلي: دعونا نحاول أن نثبت أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع مساحات نصف المربعين المبنيين على الساقين، ثم مساحات المربعان الكبيران والمربعان الصغيران متساويان. دعونا نلقي نظرة على الرسم على اليسار. قمنا ببناء مربعات على جوانب المثلث القائم ورسمنا شعاعًا من قمة الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB، وهو يقطع مربع ABIK، المبني على الوتر، إلى مستطيلين - BHJI وHAKJ، على التوالى. وتبين أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة لها. دعونا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK. وللقيام بذلك، سنستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث الذي له نفس الارتفاع والقاعدة 
دعونا نفكر في الرسم، كما يتبين من التماثل، فإن القطعة CI تقطع المربع ABHJ إلى جزأين متطابقين (بما أن تأكد من أن المثلث المعطى لك هو مثلث قائم الزاوية، حيث أن نظرية فيثاغورس تنطبق فقط على المثلثات القائمة. في المثلثات القائمة، تكون إحدى الزوايا الثلاث دائمًا 90 درجة.
- تتم الإشارة إلى الزاوية القائمة في المثلث القائم برمز مربع بدلاً من المنحنى الذي يمثل الزوايا المائلة.
قم بتسمية جوانب المثلث.قم بتسمية الساقين بـ "a" و"b" (الأرجل عبارة عن جوانب متقاطعة بزاوية قائمة)، والوتر بـ "c" (الوتر هو الأكثر الجانب الكبيرالمثلث القائم مقابل الزاوية القائمة).
حدد أي جانب من المثلث تريد العثور عليه.تسمح لك نظرية فيثاغورس بإيجاد أي جانب من المثلث القائم الزاوية (إذا كان الجانبان الآخران معروفين). حدد الجانب (أ، ب، ج) الذي تريد إيجاده.
- على سبيل المثال، إذا كان الوتر يساوي 5، والساق يساوي 3. في هذه الحالة، من الضروري العثور على الرجل الثانية. وسنعود إلى هذا المثال لاحقًا.
- إذا كان الضلعان الآخران مجهولين، فستحتاج إلى إيجاد طول أحد الضلعين المجهولين لتتمكن من تطبيق نظرية فيثاغورس. للقيام بذلك، استخدم الأساسية الدوال المثلثية(إذا أعطيت قيمة إحدى الزوايا المائلة).
استبدل القيم المعطاة لك (أو القيم التي وجدتها) في الصيغة a 2 + b 2 = c 2.تذكر أن a وb ساقان، وc هو الوتر.
- في مثالنا، اكتب: 3² + ب² = 5².
مربع كل جانب معروف.أو اترك القوى - يمكنك تربيع الأرقام لاحقًا.
- في مثالنا، اكتب: 9 + ب² = 25.
متفرق جانب غير معروفعلى أحد طرفي المعادلة.للقيام بذلك، نقل القيم المعروفةإلى الجانب الآخر من المعادلة. إذا وجدت الوتر، فإنه في نظرية فيثاغورس معزول بالفعل على أحد طرفي المعادلة (لذلك ليس عليك فعل أي شيء).
- في مثالنا، انتقل 9 إلى الجانب الأيمنمعادلات لعزل المجهول b². سوف تحصل على ب² = 16.
يزيل الجذر التربيعيمن طرفي المعادلة بعد أن يكون المجهول (المربع) موجودا في أحد طرفي المعادلة والحد الحر (الرقم) موجود في الطرف الآخر.
- في مثالنا، ب² = 16. خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة واحصل على ب = 4. إذن الضلع الثاني هو 4.
استخدم نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية، لأنه يمكن استخدامه في عدد كبيرمواقف عملية. للقيام بذلك، تعلم كيفية التعرف على المثلثات القائمة في الحياة اليومية - في أي موقف يتقاطع فيه كائنان (أو خطان) بزوايا قائمة، ويربط كائن (أو خط) ثالث (قطريًا) قمم الكائنين الأولين (أو خطوط)، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على الجانب المجهول (إذا كان الجانبان الآخران معروفين).
- مثال: إعطاء درج متكئ على مبنى. الجزء السفلييقع الدرج على بعد 5 أمتار من قاعدة الجدار. الجزء العلوييقع الدرج على ارتفاع 20 مترًا من الأرض (أعلى الجدار). ما هو طول الدرج؟
- "5 أمتار من قاعدة الجدار" تعني أن أ = 5؛ "يقع على بعد 20 مترًا من الأرض" يعني أن b = 20 (أي أنه تم إعطاؤك ساقين لمثلث قائم الزاوية، حيث يتقاطع جدار المبنى وسطح الأرض بزوايا قائمة). طول الدرج هو طول الوتر، وهو غير معروف.
- أ² + ب² = ج²
- (5)² + (20)² = ج²
- 25 + 400 = ج²
- 425 = ج²
- ج = √425
- ج = 20.6. وبذلك يكون الطول التقريبي للدرج 20.6 مترًا.
- "5 أمتار من قاعدة الجدار" تعني أن أ = 5؛ "يقع على بعد 20 مترًا من الأرض" يعني أن b = 20 (أي أنه تم إعطاؤك ساقين لمثلث قائم الزاوية، حيث يتقاطع جدار المبنى وسطح الأرض بزوايا قائمة). طول الدرج هو طول الوتر، وهو غير معروف.