የአንድ ፖሊጎን ውሱንነት መወሰን.

የKirus–Back ስልተ ቀመር እንደ መስኮት የሚያገለግል ኮንቬክስ ፖሊጎን እንዳለ ይገምታል።

ነገር ግን, በተግባር, ፖሊጎን የመቁረጥ ተግባር ብዙ ጊዜ ይነሳል, እና ኮንቬክስ ስለመሆኑ ወይም ስለሌለው መረጃ መጀመሪያ ላይ አልተሰጠም. በዚህ ሁኔታ, የመቁረጥ ሂደቱን ከመጀመርዎ በፊት, የትኛው ፖሊጎን እንደተሰጠ - ኮንቬክስ ወይም እንዳልሆነ መወሰን ያስፈልጋል.

የአንድ ፖሊጎን ውሱንነት አንዳንድ ፍቺዎችን እንስጥ

ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ከተሟላ ፖሊጎን እንደ ኮንቬክስ ይቆጠራል።

1) በኮንቬክስ ፖሊጎን ውስጥ ፣ ሁሉም ጫፎች ማንኛውንም ጠርዝ በተሸከሙት መስመር በአንዱ በኩል ይገኛሉ ። ውስጣዊ ጎንከተሰጠው ጠርዝ አንጻር ሲታይ);

2) ሁሉም የ polygon ውስጣዊ ማዕዘኖች ከ 180 ° ያነሱ ናቸው;

3) የፖሊጎን ጫፎች የሚያገናኙት ሁሉም ዲያግራኖች በዚህ ፖሊጎን ውስጥ ይተኛሉ ።

4) ሁሉም የፖሊጎን ማዕዘኖች በተመሳሳይ አቅጣጫ ይሻገራሉ (ምስል 3.3-1).

የመጨረሻውን የተዛባ መስፈርት የትንታኔ ውክልና ለማዘጋጀት፣ የቬክተር ምርቱን እንጠቀማለን።

የቬክተር ጥበብ ስራ ወ ሁለት ቬክተሮች ሀ እና ለ (ምስል 3.3-2 ሀ) እንደ፡-

A x፣a y፣a z እና b x፣by፣b z በቅደም ተከተል የፋክተር ቬክተር ዘንጎች X፣Y፣Z ላይ ያሉ ትንበያዎች ናቸው። ሀእና ለ,

- እኔ, ጄ, ክ- በመጋጠሚያው ዘንጎች X ፣ Y ፣ Z ላይ ያሉ ክፍሎች።

ሩዝ.3.3 ‑ 1

ሩዝ.3.3 ‑ 2

የአንድ ባለ ብዙ ጎን ባለ ሁለት ገጽታ ውክልና እንደ ውክልና ከወሰድን። አውሮፕላን አስተባባሪ XY ባለሶስት-ልኬት መጋጠሚያ ስርዓት X፣Y፣Z (ምስል 3.3-2 ለ)፣ ከዚያ የምስረታ አገላለጽ የቬክተር ምርትቬክተሮች ዩእና ቪ, የት ቬክተሮች ዩእና ቪየፖሊጎን ጥግ የሚሠሩ አጎራባች ጠርዞች ናቸው፣ እንደ ወሳኙ ሊጻፍ ይችላል፡

የመስቀለኛ ምርቱ ቬክተር ፋክተር ቬክተሮች በሚገኙበት አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ ነው. የምርት ቬክተር አቅጣጫ የሚወሰነው በጂምሌት ደንብ ወይም በቀኝ-እጅ ጠመዝማዛ ደንብ ነው.

በስእል ውስጥ ለቀረበው ጉዳይ. 3.3-2 ለ), ቬክተር ወ, ከቬክተሮች የቬክተር ምርት ጋር የሚዛመድ ቪ, ዩ, እንደ መመሪያው ተመሳሳይ አቅጣጫ ይኖረዋል ዘንግ አስተባባሪዜድ.

በዚህ ጉዳይ ላይ የፋክተር ቬክተሮች ትንበያ ከዜሮ ጋር እኩል መሆኑን ከግምት ውስጥ በማስገባት የቬክተር ምርቱ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል-

(3.3-1)

ክፍል ቬክተር ክሁልጊዜ አዎንታዊ, ስለዚህ የቬክተር ምልክት ወየቬክተር ምርት የሚወሰነው ከላይ በተጠቀሰው አገላለጽ ውስጥ ባለው ወሳኙ D ምልክት ብቻ ነው። በቬክተር ምርት ንብረት ላይ ተመስርተው የፋክተር ቬክተሮችን ሲቀይሩ ልብ ይበሉ ዩእና ቪየቬክተር ምልክት ወወደ ተቃራኒው ይለወጣል.

እንደ ቬክተር ከሆነ ይከተላል ቪእና ዩከአንድ ባለ ብዙ ጎን ጎን ሁለት ጠርዞችን አስቡ ፣ ከዚያ በቬክተር ምርቱ ውስጥ ያሉትን ቬክተሮች የመዘርዘር ቅደም ተከተል ከግምት ውስጥ ባለው የፖሊጎን ጥግ መሻገሪያ ወይም ይህንን አንግል በሚፈጥሩት ጠርዞች መሠረት ሊቀመጥ ይችላል። ይህ የፖሊጎን ውሱንነት ለመወሰን የሚከተለውን ህግ እንደ መስፈርት እንዲጠቀሙ ይፈቅድልዎታል፡

ለሁሉም የፖሊጎን ጥንድ ጫፎች የሚከተለው ሁኔታ ረክቷል

ለግል ማዕዘኖች የቬክተር ምርቶች ምልክቶች የማይጣጣሙ ከሆነ, ፖሊጎን ኮንቬክስ አይደለም.

የአንድ ፖሊጎን ጠርዞች በመጨረሻ ነጥቦቻቸው መጋጠሚያዎች መልክ ስለተገለጹ የቬክተር ምርቱን ምልክት ለመወሰን መወሰኛን መጠቀም የበለጠ አመቺ ነው.

እነዚህ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች በሁሉም ቦታ ይከቡናል. ኮንቬክስ ፖሊጎኖች ተፈጥሯዊ ሊሆኑ ይችላሉ፣ ለምሳሌ እንደ ማር ወለላ፣ ወይም ሰው ሰራሽ (ሰው ሰራሽ)። እነዚህ አሃዞች በምርት ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ የተለያዩ ዓይነቶችሽፋኖች, በሥዕል, በሥነ ሕንፃ, በጌጣጌጥ, ወዘተ. Convex polygons ሁሉም ነጥቦቻቸው በዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል አጠገብ ባሉ ጥንድ ጫፎች በኩል በሚያልፈው ቀጥታ መስመር በአንድ በኩል የሚገኙበት ንብረት አላቸው። ሌሎች ትርጓሜዎችም አሉ። ኮንቬክስ ፖሊጎን ከጎኖቹ አንዱን ከያዘው ከማንኛውም ቀጥተኛ መስመር አንጻር በአንድ ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ የሚገኝ ነው።

አውቃለሁ የመጀመሪያ ደረጃ ጂኦሜትሪቀላል ፖሊጎኖች ብቻ ሁልጊዜ ይታሰባሉ። እንደነዚህ ያሉትን ሁሉንም ባህሪያት ለመረዳት, ተፈጥሮአቸውን መረዳት ያስፈልጋል. በመጀመሪያ ፣ ጫፎቹ የሚገጣጠሙበት ማንኛውም መስመር ዝግ ተብሎ እንደሚጠራ መረዳት አለብዎት። ከዚህም በላይ በእሱ የተሠራው ምስል የተለያዩ ውቅሮች ሊኖሩት ይችላል. ፖሊጎን ቀላል ዝግ ነው። የተሰበረ መስመር, በየትኛው የአጎራባች አገናኞች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ የማይገኙበት. የእሱ አገናኞች እና ጫፎች እንደቅደም ተከተላቸው የዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ጎኖች እና ጫፎች ናቸው. ቀላል ፖሊላይን የራስ-መጋጠሚያዎች ሊኖሩት አይገባም.

የአንድ ፖሊጎን ጫፎች የአንዱን ጎኖቹን ጫፎች የሚያመለክቱ ከሆነ በአጠገብ ይባላሉ። ያለው የጂኦሜትሪክ ምስል n ኛ ቁጥርጫፎች, እና ስለዚህ nth መጠንጎኖች n-gon ይባላሉ. የተሰበረው መስመር ራሱ የዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ወሰን ወይም ኮንቱር ይባላል። ባለ ብዙ ጎን አውሮፕላን ወይም ጠፍጣፋ ፖሊጎን በእሱ የታሰረ የማንኛውም አውሮፕላን የመጨረሻ ክፍል ነው። የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል አጎራባች ጎኖች ከአንድ ጫፍ የሚወጡ የተሰበረ መስመር ክፍሎች ናቸው። ከተለያዩ የፖሊጎን ጫፎች የሚመጡ ከሆነ አጠገባቸው አይሆኑም።

ሌሎች የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ትርጓሜዎች

በአንደኛ ደረጃ ጂኦሜትሪ ውስጥ፣ ከትርጉሙ ጋር ተመሳሳይ የሆኑ በርካታ ተጨማሪ ፍቺዎች አሉ፣ ይህም ፖሊጎን ኮንቬክስ ተብሎ የሚጠራውን ያመለክታል። በተጨማሪም ፣ እነዚህ ሁሉ ቀመሮች በ በተመሳሳይ ደረጃእውነት ናቸው. ፖሊጎን የሚከተለው ከሆነ እንደ ኮንቬክስ ይቆጠራል።

በውስጡ ያሉትን ሁለት ነጥቦች የሚያገናኘው እያንዳንዱ ክፍል ሙሉ በሙሉ በውስጡ ይገኛል;

ሁሉም ዲያግራኖች በውስጡ ይተኛሉ;

ማንኛውም ውስጣዊ አንግል ከ 180 ° አይበልጥም.

ፖሊጎን ሁልጊዜ አውሮፕላንን በ 2 ክፍሎች ይከፍላል. ከመካከላቸው አንዱ የተወሰነ ነው (በክበብ ውስጥ ሊዘጋ ይችላል), ሌላኛው ደግሞ ያልተገደበ ነው. የመጀመሪያው የውስጥ ክልል ተብሎ ይጠራል, ሁለተኛው ደግሞ የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል ውጫዊ ክልል ነው. ይህ ፖሊጎን የበርካታ ግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ (በሌላ አነጋገር የጋራ አካል) ነው። ከዚህም በላይ የፖሊጎኑ ክፍል በሆኑት ነጥቦች ላይ የሚያልቅ እያንዳንዱ ክፍል ሙሉ በሙሉ የእሱ ነው።

የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ዓይነቶች

የኮንቬክስ ፖሊጎን ትርጓሜ ብዙ ዓይነቶች እንዳሉ አያመለክትም። ከዚህም በላይ እያንዳንዳቸው የተወሰኑ መመዘኛዎች አሏቸው. ስለዚህ, ከ 180 ዲግሪ ጋር እኩል የሆነ ውስጣዊ ማዕዘን ያላቸው ኮንቬክስ ፖሊጎኖች ደካማ ኮንቬክስ ይባላሉ. ባለ ሶስት እርከኖች ያሉት ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ምስል ትሪያንግል ይባላል ፣ አራት - አራት ማዕዘን ፣ አምስት - ፒንታጎን ፣ ወዘተ እያንዳንዱ ኮንቬክስ n-ጎን የሚከተሉትን በጣም አስፈላጊ መስፈርቶች ያሟላል-n ከ 3 እኩል ወይም የበለጠ መሆን አለበት። የሶስት ማዕዘኑ ኮንቬክስ ነው. ጂኦሜትሪክ ምስል የዚህ አይነት, ሁሉም ቁመታቸው በአንድ ክበብ ላይ የሚገኙ ሁሉም በክበብ ውስጥ ተጽፈው ይባላሉ. ከክበቡ አጠገብ ያሉት ሁሉም ጎኖቹ ቢነኩት ኮንቬክስ ፖሊጎን የተገረዘ ይባላል። ሁለት ፖሊጎኖች በአንድ ላይ ሊጣመሩ የሚችሉት በሱፐርላይዜሽን ብቻ ነው ተብሏል። የአውሮፕላን ፖሊጎን ባለ ብዙ ጎን አውሮፕላን (የአውሮፕላኑ አካል) በዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል የተገደበ ነው።

መደበኛ ኮንቬክስ ፖሊጎኖች

መደበኛ ፖሊጎኖች ከ ጋር ጂኦሜትሪክ ቅርጾች ናቸው። እኩል ማዕዘኖችእና ፓርቲዎች. በውስጣቸው አንድ ነጥብ 0 አለ, እሱም ከእያንዳንዱ ጫፍ በተመሳሳይ ርቀት ላይ ይገኛል. የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል መሃል ተብሎ ይጠራል. ማዕከሉን ከዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ጫፎች ጋር የሚያገናኙት ክፍሎች አፖሆምስ ይባላሉ, እና ነጥቡን 0 ከጎኖቹ ጋር የሚያገናኙት ራዲየስ ናቸው.

መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ካሬ ነው. መደበኛ ትሪያንግልእኩልነት ይባላል. ለእንደዚህ ዓይነቶቹ አሃዞች የሚከተለው ህግ አለ: እያንዳንዱ የኮንቬክስ ፖሊጎን አንግል ከ 180 ° * (n-2) / n ጋር እኩል ነው.

የት n የዚህ ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ምስል ቁመቶች ቁጥር ነው.

የማንኛውም አካባቢ መደበኛ ፖሊጎንበቀመርው ተወስኗል፡-

የት p የሁሉም ጎኖች ድምር ግማሽ እኩል ነው። ፖሊጎን ተሰጥቷል, እና h ከፖስታው ርዝመት ጋር እኩል ነው.

የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ባህሪያት

ኮንቬክስ ፖሊጎኖች አሏቸው የተወሰኑ ንብረቶች. ስለዚህ, እንደዚህ አይነት የጂኦሜትሪክ ምስል 2 ነጥቦችን የሚያገናኝ ክፍል የግድ በውስጡ ይገኛል. ማረጋገጫ፡-

ፒ ተሰጥቷል ብለን እናስብ ኮንቬክስ ፖሊጎን. 2 ይውሰዱ የዘፈቀደ ነጥቦችለምሳሌ, A, B, እሱም የ R. Po ነባር ትርጉምየኮንቬክስ ፖሊጎን እነዚህ ነጥቦች በመስመሩ በአንደኛው በኩል ይገኛሉ፣ እሱም የትኛውንም ጎን P ይይዛል።ስለዚህ AB እንዲሁ ይህ ንብረት አለው እና በፒ ውስጥ ይገኛል። ከአንዱ ጫፎች የተሳሉ ናቸው.

ኮንቬክስ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች ማዕዘኖች

የኮንቬክስ ፖሊጎን ማዕዘኖች በጎኖቹ የተሰሩ ማዕዘኖች ናቸው። ውስጣዊ ማዕዘኖች በተሰጠው የጂኦሜትሪክ ምስል ውስጣዊ ክልል ውስጥ ይገኛሉ. በአንደኛው ጫፍ ላይ የሚገጣጠመው በጎኖቹ የተገነባው አንግል የኮንቬክስ ፖሊጎን አንግል ይባላል። በተሰጠው የጂኦሜትሪክ ምስል ውስጣዊ ማዕዘኖች ውጫዊ ይባላሉ. በውስጡ የሚገኝ እያንዳንዱ ባለ ሾጣጣ ፖሊጎን አንግል ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው።

x የውጫዊው አንግል መጠን የት ነው. ይህ ቀላል ቀመርለማንኛውም ተፈጻሚ ይሆናል። የጂኦሜትሪክ ቅርጾችየእንደዚህ አይነት አይነት.

ውስጥ አጠቃላይ ጉዳይ፣ ለ ውጫዊ ማዕዘኖችአለ። ደንብ በመከተልእያንዳንዱ የኮንቬክስ ፖሊጎን አንግል በ 180 ° እና በውስጣዊው ማዕዘን መጠን መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው. ከ -180° እስከ 180° ድረስ እሴቶች ሊኖሩት ይችላል። ስለዚህ, የውስጣዊው አንግል 120 °, ውጫዊው አንግል 60 ° ይሆናል.

የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ድምር

ድምር ውስጣዊ ማዕዘኖች convex polygon የሚወሰነው በቀመር ነው፡-

የት n የ n-gon ጫፎች ቁጥር ነው.

የኮንቬክስ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር በቀላሉ በቀላሉ ይሰላል። ማንኛውንም እንደዚህ ያለ የጂኦሜትሪክ ምስል አስቡበት. በኮንቬክስ ፖሊጎን ውስጥ ያሉትን ማዕዘኖች ድምር ለመወሰን ከአንጓዶቹ አንዱን ከሌላው ጫፎች ጋር ማገናኘት ያስፈልግዎታል። በዚህ ድርጊት ምክንያት, (n-2) ትሪያንግሎች ተገኝተዋል. የማንኛውም ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ሁልጊዜ ከ 180 ° ጋር እኩል እንደሆነ ይታወቃል. በማንኛውም ፖሊጎን ውስጥ ቁጥራቸው (n-2) ስለሆነ የእንደዚህ ዓይነቱ ምስል ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ከ 180 ° x (n-2) ጋር እኩል ነው.

የአንድ ኮንቬክስ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር፣ ማለትም ማንኛውም ሁለት ውስጣዊ እና ተያያዥ ውጫዊ ማዕዘኖች፣ ለተወሰነ ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ምስል ሁልጊዜ ከ180° ጋር እኩል ይሆናል። በዚህ መሠረት የሁሉንም ማዕዘኖች ድምር መወሰን እንችላለን-

የውስጥ ማዕዘኖች ድምር 180° * (n-2) ነው። በዚህ ላይ በመመስረት የአንድ የተወሰነ ምስል የሁሉም ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር በቀመር ይወሰናል፡-

180° * n-180°-(n-2)= 360°።

የየትኛውም ኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር ሁልጊዜ 360 ° (የጎኖቹ ቁጥር ምንም ይሁን ምን) ይሆናል.

የኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ ማዕዘን በአጠቃላይ በ 180 ° እና በውስጣዊው አንግል እሴት መካከል ባለው ልዩነት ይወከላል.

የኮንቬክስ ፖሊጎን ሌሎች ባህሪያት

ከእነዚህ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች መሰረታዊ ባህሪያት በተጨማሪ እነሱን በሚጠቀሙበት ጊዜ የሚነሱ ሌሎችም አሏቸው. ስለዚህ ማንኛቸውም ፖሊጎኖች ወደ ብዙ ኮንቬክስ n-ጎን ሊከፋፈሉ ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ እያንዳንዱን ጎኖቹን መቀጠል እና ይህን የጂኦሜትሪክ ምስል በእነዚህ ቀጥታ መስመሮች መቁረጥ ያስፈልግዎታል. እንዲሁም የእያንዳንዱ ክፍል ጫፎች ከሁሉም ጫፎች ጋር እንዲገጣጠሙ ማንኛውንም ፖሊጎን ወደ ብዙ ኮንቬክስ ክፍሎች መከፋፈል ይቻላል. ከእንደዚህ ዓይነቱ የጂኦሜትሪክ ምስል ሁሉንም ዲያግራኖች ከአንድ ጫፍ በመሳል በቀላሉ ትሪያንግሎችን መስራት ይችላሉ ። ስለዚህ ማንኛውም ፖሊጎን በመጨረሻ ወደ የተወሰኑ የሶስት ማዕዘኖች ሊከፋፈል ይችላል ፣ ይህም በመፍታት ረገድ በጣም ጠቃሚ ይሆናል ። የተለያዩ ተግባራትከእንደዚህ አይነት ጂኦሜትሪክ አሃዞች ጋር የተያያዘ.

የኮንቬክስ ፖሊጎን ፔሪሜትር

የፖሊጎን ጎኖች ተብለው የሚጠሩት የተሰበሩ የመስመሮች ክፍሎች ብዙውን ጊዜ በሚከተሉት ፊደላት ይገለጻሉ፡ ab, bc, cd, de, ea. እነዚህ ቁመቶች a, b, c, d, e ያላቸው የጂኦሜትሪክ ምስል ጎኖች ናቸው. የዚህ ሾጣጣ ፖሊጎን የሁሉም ጎኖች ርዝመቶች ድምር ፔሪሜትር ይባላል።

ባለ ብዙ ጎን ክብ

ኮንቬክስ ፖሊጎኖች ሊቀረጹ ወይም ሊገረዙ ይችላሉ። የዚህን የጂኦሜትሪክ ምስል ሁሉንም ጎኖች የሚነካ ክበብ በእሱ ውስጥ ተቀርጿል. እንዲህ ዓይነቱ ፖሊጎን የተገረዘ ይባላል. በፖሊጎን ውስጥ የተቀረጸው የክበብ መሃከል በተሰጠው የጂኦሜትሪክ ምስል ውስጥ የሁሉም ማዕዘኖች የቢሴክተሮች መገናኛ ነጥብ ነው። የእንደዚህ ዓይነቱ ፖሊጎን ስፋት ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው-

የት r የተቀረጸው ክበብ ራዲየስ ነው, እና p የተሰጠው ፖሊጎን ከፊል ፔሪሜትር ነው.

የአንድ ፖሊጎን ጫፎች የያዘ ክበብ ስለሱ የተገረዘ ይባላል። በዚህ ሁኔታ, ይህ ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ምስል የተቀረጸ ይባላል. በእንደዚህ አይነት ፖሊጎን ዙሪያ የተገለፀው የክበብ ማእከል የሁሉም ጎኖች ቀጥ ያሉ ብስክሌቶች የሚባሉት መገናኛ ነጥብ ነው.

ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ቅርጾች ሰያፍ

የኮንቬክስ ፖሊጎን ዲያግራኖች የሚገናኙት ክፍሎች ናቸው። የጎረቤት ጫፎች. እያንዳንዳቸው በዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ውስጥ ይገኛሉ. የእንደዚህ አይነት n-gon ዲያግራኖች ቁጥር በቀመር ይወሰናል፡-

N = n (n - 3)/ 2.

የኮንቬክስ ፖሊጎን ዲያግራኖች ብዛት ጠቃሚ ሚናበአንደኛ ደረጃ ጂኦሜትሪ. እያንዳንዱ ሾጣጣ ፖሊጎን የሚከፋፈልበት የሶስት ማዕዘኖች ቁጥር (K) በሚከተለው ቀመር ይሰላል፡

የኮንቬክስ ፖሊጎን የዲያግራኖች ብዛት ሁል ጊዜ በአቀማመጦቹ ብዛት ላይ የተመሠረተ ነው።

ኮንቬክስ ፖሊጎን መከፋፈል

በአንዳንድ ሁኔታዎች, ለመፍታት የጂኦሜትሪክ ችግሮችኮንቬክስ ፖሊጎን ወደ ብዙ ትሪያንግሎች ከተነጣጠሉ ዲያግራኖች ጋር መከፋፈል አስፈላጊ ነው. ይህ ችግር አንድ የተወሰነ ቀመር በማውጣት ሊፈታ ይችላል.

የችግሩ ፍቺ፡ የተወሰነ ክፍልፍል ትክክል እንበለው። convex n-gonበዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ጫፎች ላይ ብቻ የተጠላለፉ ዲያግራኖች ያላቸው ወደ ብዙ ትሪያንግሎች።

መፍትሄ፡- P1፣ P2፣ P3...፣ Pn የዚህ n-gon ጫፎች ናቸው እንበል። Xn ቁጥር የክፍሎቹ ቁጥር ነው። የጂኦሜትሪክ ምስል Pi Pn ውጤቱን ዲያግናል በጥንቃቄ እንመርምር። በማንኛውም ውስጥ ትክክለኛ ክፍልፋዮችР1 ፒን የአንድ የተወሰነ ትሪያንግል Р1 Pi Pn ነው፣ እሱም 1 ያለው

ፍቀድ i = 2 አንድ የቋሚ ክፍልፋዮች ቡድን ይሁን፣ ሁልጊዜም ሰያፍ P2 Pn ይይዛል። በውስጡ የተካተቱት የክፍሎች ብዛት ከ (n-1) -ጎን P2 P3 P4 ... Pn ክፍልፋዮች ብዛት ጋር ይዛመዳል. በሌላ አነጋገር ከ Xn-1 ጋር እኩል ነው.

i = 3 ከሆነ፣ ይህ ሌላኛው የክፍሎች ቡድን ሁል ጊዜ ዲያግራኖችን P3 P1 እና P3 Pn ይይዛል። በዚህ ሁኔታ, በዚህ ቡድን ውስጥ የተካተቱት መደበኛ ክፍልፋዮች ቁጥር ከ (n-2) -ጎን P3 P4 ... Pn. በሌላ አነጋገር ከ Xn-2 ጋር እኩል ይሆናል.

Let i = 4, ከዚያም በሦስት ማዕዘኖች መካከል ትክክለኛው ክፍልፋይ በእርግጠኝነት ሶስት ማዕዘን P1 P4 Pn ይይዛል, እሱም ከአራት ማዕዘን P1 P2 P3 P4, (n-3) -ጎን P4 P5 ... Pn. የዚህ አራት ማዕዘን ቋሚ ክፍልፋዮች ቁጥር X4 ነው, እና የ (n-3) -ጎን ክፍልፋዮች ቁጥር Xn-3 ነው. ከላይ በተጠቀሱት ሁሉ ላይ በመመስረት, በዚህ ቡድን ውስጥ የሚገኙት አጠቃላይ የመደበኛ ክፍልፋዮች ቁጥር ከ Xn-3 X4 ጋር እኩል ነው ማለት እንችላለን. ሌሎች ቡድኖች ለእነርሱ i = 4, 5, 6, 7 ... Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... መደበኛ ክፍልፋዮች ይይዛሉ.

Let i = n-2, ከዚያ በዚህ ቡድን ውስጥ ያሉት ትክክለኛ ክፍፍሎች ቁጥር በቡድኑ ውስጥ ካሉት ክፍሎች ብዛት ጋር ይጣጣማል i = 2 (በሌላ አነጋገር, ከ Xn-1 ጋር እኩል ነው).

ከ X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... ጀምሮ የሁሉም የኮንቬክስ ፖሊጎን ክፍልፋዮች ቁጥር እኩል ነው፡-

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

ከውስጥ አንድ ዲያግናል የሚያቋርጡ መደበኛ ክፍልፋዮች ብዛት

ልዩ ጉዳዮችን በሚፈትሹበት ጊዜ የኮንቬክስ ኤን-ጎን ዲያግራኖች ብዛት የዚህ አኃዝ ክፍልፋዮች ወደ (n-3) ውጤት ጋር እኩል ነው ወደሚል ግምት ሊመጣ ይችላል።

የዚህ ግምት ማረጋገጫ፡- P1n = Xn * (n-3)፣ ከዚያ ማንኛውም n-gon ወደ (n-2) -ትሪያንግሎች ሊከፋፈል እንደሚችል አስቡት። ከዚህም በላይ (n-3) -አራት ማዕዘን ከነሱ ሊፈጠር ይችላል. ከዚህ ጋር, እያንዳንዱ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሰያፍ ይኖረዋል. በዚህ ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ አሃዝ ውስጥ ሁለት ዲያግኖሎች ሊሳሉ ስለሚችሉ፣ ይህ ማለት ተጨማሪ (n-3) ዲያግራንሎች በማንኛውም (n-3) -አራት-አራት ጎኖች ሊሳሉ ይችላሉ። በዚህ ላይ በመመስረት, በማንኛውም መደበኛ ክፍልፍል ውስጥ የዚህን ችግር ሁኔታዎች የሚያሟሉ (n-3) - ዲያግኖች መሳል ይቻላል ብለን መደምደም እንችላለን.

የኮንቬክስ ፖሊጎኖች አካባቢ

ብዙውን ጊዜ, የተለያዩ የአንደኛ ደረጃ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ሲፈቱ, የኮንቬክስ ፖሊጎን አካባቢን መወሰን አስፈላጊ ይሆናል. (Xi. Yi)፣ i = 1,2,3... n የራስ-መጋጠሚያዎች የሌሉት የአንድ ፖሊጎን የሁሉም አጎራባች ጫፎች መጋጠሚያዎች ቅደም ተከተል ነው። በዚህ ሁኔታ, አካባቢው በሚከተለው ቀመር ይሰላል.

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1))

የት (X 1፣ Y 1) = (X n +1፣ Y n + 1)።

በአንድ አውሮፕላን ላይ የነጥብ ስብስብ።

በአውሮፕላን ላይ ወይም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ የነጥቦች ስብስብ ይባላል ኮንቬክስየዚህ ስብስብ ሁለት ነጥቦች በሙሉ በዚህ ስብስብ ውስጥ ባለው የመስመር ክፍል ሊገናኙ የሚችሉ ከሆነ።

ቲዎሪ 1. የአንድ ውሱን የኮንቬክስ ስብስቦች መገናኛ (ኮንቬክስ) ስብስብ ነው.

መዘዝ።የአንድ ውሱን የኮንቬክስ ስብስቦች መገናኛ (ኮንቬክስ) ስብስብ ነው.

የማዕዘን ነጥቦች.

የአንድ ኮንቬክስ ስብስብ ድንበር ነጥብ ይባላል ማዕዘን, በእሱ በኩል አንድ ክፍል መሳል ከተቻለ, ሁሉም ነጥቦች በተሰጠው ስብስብ ውስጥ አይደሉም.

የተለያየ ቅርጽ ያላቸው ስብስቦች ውሱን ወይም ማለቂያ የሌላቸው የማዕዘን ነጥቦች ሊኖራቸው ይችላል.

ኮንቬክስ ፖሊጎን.

ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስ, በሁለት የአጎራባች ጫፎች ውስጥ በሚያልፉ በእያንዳንዱ መስመር በአንድ በኩል ቢተኛ.

ቲዎረም፡ የኮንቬክስ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180˚ *(n-2) ነው።

6) የ m መስመራዊ አለመመጣጠን ስርዓቶችን ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር መፍታት

ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር የመስመራዊ እኩልነት ስርዓት ተሰጥቷል።

የአንዳንድ ወይም ሁሉም እኩል ያልሆኑ ምልክቶች ≥ ሊሆኑ ይችላሉ።

በ X1OX2 መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የመጀመሪያውን አለመመጣጠን እናስብ። ቀጥ ያለ መስመር እንስራ

የትኛው የድንበር መስመር ነው.

ይህ ቀጥተኛ መስመር አውሮፕላኑን ወደ ሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች 1 እና 2 ይከፍላል (ምሥል 19.4).

ግማሽ-አውሮፕላን 1 መነሻውን ይዟል, ግማሽ-አውሮፕላን 2 መነሻውን አልያዘም.

የግማሽ አውሮፕላን በየትኛው የድንበር መስመር ላይ እንደሚገኝ ለመወሰን በአውሮፕላኑ ላይ የዘፈቀደ ነጥብ መውሰድ ያስፈልግዎታል (በተለይም መነሻው) እና የዚህን ነጥብ መጋጠሚያዎች ወደ አለመመጣጠን ይተካሉ ። አለመመጣጠኑ እውነት ከሆነ ግማሽ አውሮፕላኑ ወደዚህ ነጥብ ይመለከተዋል፤ እውነት ካልሆነ ከነጥቡ ተቃራኒ በሆነ አቅጣጫ።

የግማሽ አውሮፕላኑ አቅጣጫ በቀስት በስዕሎቹ ላይ ይታያል.

ፍቺ 15. ለእያንዳንዱ የስርአቱ እኩልነት መፍትሄው የድንበሩን መስመር የያዘው ግማሽ አውሮፕላን እና በአንድ በኩል ይገኛል.

ፍቺ 16. የግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ, እያንዳንዳቸው በስርዓቱ ተጓዳኝ እኩልነት የሚወሰኑት, የስርዓቱ የመፍትሄ ጎራ (SO) ይባላል.

ፍቺ 17. አሉታዊ ያልሆኑ ሁኔታዎችን የሚያረካ የስርዓት የመፍትሄ ቦታ (xj ≥ 0, j =) አሉታዊ ያልሆነ ወይም ተቀባይነት ያለው, መፍትሄዎች (ኤ.ዲ.ኤስ) ተብሎ ይጠራል.

የእኩልነት ስርዓቱ ወጥነት ያለው ከሆነ፣ OR እና ODR ፖሊሄድሮን፣ ያልተገደበ የ polyhedral ክልል ወይም አንድ ነጥብ ሊሆኑ ይችላሉ።

የእኩልነት ስርዓቱ የማይጣጣም ከሆነ OR እና ODR ባዶ ስብስብ ናቸው።

ምሳሌ 1. የእኩልነት ስርዓትን OR እና ODE ን ይፈልጉ እና የኦህዴድን የማዕዘን ነጥቦችን መጋጠሚያዎች ይወስኑ

መፍትሄ። የመጀመሪያውን አለመመጣጠን OR እንፈልግ፡ x1 + 3x2 ≥ 3. የድንበሩን መስመር x1 + 3x2 – 3 = 0 (ምስል 19.5) እንገንባ። የነጥቡን መጋጠሚያዎች (0,0) ወደ አለመመጣጠን እንተካ: 1∙0 + 3∙0> 3; የነጥቡ (0,0) መጋጠሚያዎች ስላላሟሉ, ለእኩልነት (19.1) መፍትሄው ነጥቡን (0,0) የማይይዝ ግማሽ-አውሮፕላን ነው.

በተመሳሳይ ሁኔታ ለቀሪዎቹ የስርዓቱ እኩልነት መፍትሄዎችን እናገኝ። የእኩልነት ስርዓት OR እና ODE convex polyhedron ABCD መሆናቸውን አግኝተናል።

የ polyhedron ጥግ ነጥቦችን እንፈልግ. ነጥብ ሀን የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ብለን እንገልፃለን።

ስርዓቱን መፍታት, A (3/7, 6/7) እናገኛለን.

ነጥብ B እንደ የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ሆኖ እናገኛለን

ከስርዓቱ ውስጥ B (5/3, 10/3) እናገኛለን. በተመሳሳይ፣ የነጥቦች C እና D፡ C (11/4፣ 9/14)፣ መ (3/10፣ 21/10) መጋጠሚያዎችን እናገኛለን።

ምሳሌ 2. የእኩልነት ስርዓትን OR እና ODE ያግኙ

መፍትሄ። ቀጥታ መስመሮችን እንገንባ እና የእኩልነት መፍትሄዎችን እንወስን (19.5) - (19.7). OR እና ODR ያልተገደቡ የ polyhedral ክልሎች ACFM እና ABDEKM ናቸው (ምስል 19.6)።

ምሳሌ 3. የእኩልነት ስርዓትን OR እና ODE ያግኙ

መፍትሄ። ለእኩልነት መፍትሄ እንፈልግ (19.8)-(19.10) (ምስል 19.7)። OR ያልተገደበ የ polyhedral ክልል ABCን ይወክላል; ODR - ነጥብ B.

ምሳሌ 4. የእኩልነት ስርዓት OP እና ODP ያግኙ

መፍትሄ። ቀጥታ መስመሮችን በመገንባት ለስርዓቱ እኩልነት መፍትሄዎችን እናገኛለን. OR እና ODR ተኳሃኝ አይደሉም (ምስል 19.8)።

መልመጃዎች

የእኩልነት ስርዓቶችን OR እና ODE ያግኙ

ቲዎረም. xn® a ከሆነ፣ እንግዲህ።

ማረጋገጫ። ከ xn ® a የሚከተለው ነው። በተመሳሳይ ሰአት:

፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. . ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ቲዎረም. xn ® a ከሆነ፣ ቅደም ተከተል (xn) የታሰረ ነው።

የተገላቢጦሽ መግለጫው እውነት እንዳልሆነ ልብ ሊባል ይገባል, ማለትም. የአንድ ቅደም ተከተል ወሰን መገናኘቱን አያመለክትም.

ለምሳሌ, ቅደም ተከተል ምንም እንኳን ገደብ የለውም

ተግባራትን ወደ ኃይል ተከታታይ ማስፋፋት.

ተግባራትን ወደ ሃይል ተከታታይ ማስፋፋት የተለያዩ ተግባራትን በማጥናት ፣ ልዩነትን ፣ ውህደትን ፣ ልዩነቶችን መፍታት ፣ ገደቦችን በማስላት ፣ የአንድ ተግባር ግምታዊ እሴቶችን ለማስላት የተለያዩ ችግሮችን ለመፍታት ትልቅ ጠቀሜታ አለው።

ፖሊጎን ጽንሰ-ሀሳብ

ፍቺ 1

ፖሊጎንበአውሮፕላኑ ውስጥ የጂኦሜትሪክ ምስል ነው ፣ እሱም በጥንድ የተገናኙ ክፍሎችን ያቀፈ ፣ በአጠገቡ ያሉት በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ አይዋሹም።

በዚህ ሁኔታ, ክፍሎቹ ተጠርተዋል የፖሊጎን ጎኖችእና መጨረሻቸው - የባለብዙ ጎን ጫፎች.

ፍቺ 2

$n$-ጎን $n$ ጫፎች ያለው ባለ ብዙ ጎን ነው።

የ polygons ዓይነቶች

ፍቺ 3

ፖሊጎን ሁል ጊዜ በጎኖቹ ውስጥ በሚያልፉበት በማንኛውም መስመር ላይ በተመሳሳይ ጎን የሚተኛ ከሆነ ፖሊጎን ይባላል ኮንቬክስ(ምስል 1).

ምስል 1. ኮንቬክስ ፖሊጎን

ፍቺ 4

አንድ ፖሊጎን በጎኖቹ በኩል በሚያልፉበት ቢያንስ አንድ ቀጥተኛ መስመር በተቃራኒ ጎኖች ላይ ቢተኛ ፣ ፖሊጎን ያልሆነ ኮንቬክስ (ምስል 2) ይባላል።

ምስል 2. ኮንቬክስ ያልሆነ ፖሊጎን

የአንድ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር

በሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ላይ ቲዎሪ እናስተዋውቅ።

ቲዎሪ 1

የኮንቬክስ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር እንደሚከተለው ይወሰናል

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ማረጋገጫ።

ኮንቬክስ ፖሊጎን $A_1A_2A_3A_4A_5\ ነጥቦች A_n$ ይሰጠን። የሱን ጫፍ $A_1$ ከሁሉም የዚህ ፖሊጎን ጫፎች ጋር እናገናኘው (ምሥል 3)።

ምስል 3.

በዚህ ግንኙነት $n-2$ ትሪያንግሎች እናገኛለን። ማዕዘኖቻቸውን በማጠቃለል የአንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር እናገኛለን። የሶስት ማዕዘኑ ድምር ከ$(180)^0 ጋር እኩል ስለሆነ፣የኮንቬክስ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር በቀመር እንደሚወሰን እናገኛለን።

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

የአራት ማዕዘን ጽንሰ-ሐሳብ

የ$2$ ፍቺን በመጠቀም የኳድሪተራል ፍቺን ማስተዋወቅ ቀላል ነው።

ፍቺ 5

ባለአራት ጎን ባለ ፖሊጎን ነው $4$ ጫፎች (ምስል 4)።

ምስል 4. አራት ማዕዘን

ለአራት ማዕዘን, የኮንቬክስ ኳድሪተራል እና የማይታጠፍ አራት ማዕዘን ጽንሰ-ሐሳቦች በተመሳሳይ መልኩ ይገለፃሉ. የኮንቬክስ አራት ማዕዘን ቅርፆች ክላሲክ ምሳሌዎች ካሬ, አራት ማዕዘን, ትራፔዞይድ, ራምብስ, ትይዩ (ምስል 5) ናቸው.

ምስል 5. Convex quadrilaterals

ቲዎሪ 2

የአንድ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር $(360)^0$ ነው።

ማረጋገጫ።

በ Theorem $1$፣ የኮንቬክስ -ጎን ማዕዘኖች ድምር በቀመር እንደሚወሰን እናውቃለን።

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ስለዚህ, የአንድ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው

\[\ግራ(4-2\ቀኝ)\cdot (180)^0=(360)^0\]

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

የተሰበረ

ፍቺ

የተሰበረ መስመርወይም ባጭሩ የተሰበረ መስመር, ከአንደኛው ክፍል ጫፍ አንዱ የሁለተኛው ጫፍ ሆኖ የሚያገለግለው, የሁለተኛው ክፍል ሌላኛው ጫፍ የሶስተኛው መጨረሻ ወዘተ ሆኖ የሚያገለግል የመጨረሻ ክፍል ነው. በዚህ ሁኔታ, የተጠጋው ክፍሎች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ አይዋሹም. እነዚህ ክፍሎች የተሰበረ መስመር አገናኞች ይባላሉ.

የፖሊላይን ዓይነቶች

የተሰበረው መስመር ይባላል ዝግ, የመጀመሪያው ክፍል መጀመሪያ ከመጨረሻው መጨረሻ ጋር የሚጣጣም ከሆነ.

የተሰበረ መስመር በራሱ ሊሻገር፣ እራሱን መንካት ወይም መደራረብ ይችላል። እንደዚህ አይነት ነጠላዎች ከሌሉ, እንዲህ ዓይነቱ የተሰበረ መስመር ይባላል ቀላል.

ፖሊጎኖች

ፍቺ

ቀላል የተዘጋ የተሰበረ መስመር ከአውሮፕላኑ የተወሰነ ክፍል ጋር አብሮ ይባላል ባለብዙ ጎን.

አስተያየት

በእያንዳንዱ የፖሊጎን ጫፍ ላይ ጎኖቹ የተወሰነውን የፖሊጎን አንግል ይገልፃሉ። እሱ በትንሹ ሊሰፋ ወይም ሊሰፋ ይችላል።

ንብረት

እያንዳንዱ ፖሊጎን ከ$180^\circ$ ያነሰ አንግል አለው።

ማረጋገጫ

ባለ ብዙ ጎን $P$ ይስጥ።

የማያቋርጠውን ቀጥተኛ መስመር እንሳል። ከፖሊጎን ጋር ትይዩ እናደርገዋለን። በአንድ ወቅት፣ ለመጀመሪያ ጊዜ ከፖሊጎን $P$ ጋር ቢያንስ አንድ የጋራ ነጥብ ያለው ቀጥተኛ መስመር $a$ እናገኛለን። ፖሊጎን በዚህ መስመር በአንደኛው በኩል ይተኛል (አንዳንድ ነጥቦቹ በመስመር $a$ ላይ ይገኛሉ)።

መስመር $a$ ቢያንስ አንድ የፖሊጎን ጫፍ ይዟል። በአንድ መስመር $a$ ላይ የሚገኙት ሁለት ጎኖቹ በውስጡ ይሰባሰባሉ (ከመካከላቸው አንዱ በዚህ መስመር ላይ ሲተኛ ጉዳዩን ጨምሮ)። ይህ ማለት በዚህ ጫፍ ላይ አንግል ከተዘረጋው ያነሰ ነው.

ፍቺ

ፖሊጎን ይባላል ኮንቬክስ, ጎን ለጎን በያዘው በእያንዳንዱ መስመር አንድ ጎን ላይ ቢተኛ. ፖሊጎን ኮንቬክስ ካልሆነ, ይባላል ግልጽ ያልሆነ.

አስተያየት

ኮንቬክስ ፖሊጎን የግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ ሲሆን የፖሊጎኑ ጎኖቹን በያዙ መስመሮች የታሰሩ ናቸው።

የኮንቬክስ ፖሊጎን ባህሪያት

ኮንቬክስ ፖሊጎን ሁሉም ማዕዘኖች ከ$180^\circ$ ያነሱ ናቸው።

የኮንቬክስ ፖሊጎን (በተለይ የትኛውንም ዲያግኖላሎች) የሚያገናኝ የመስመር ክፍል በዚህ ፖሊጎን ውስጥ አለ።

ማረጋገጫ

የመጀመሪያውን ንብረት እናረጋግጥ

ከኮንቬክስ ፖሊጎን $P$ ማንኛውንም አንግል $A$ እና ከጎኑ $a$ ከደረጃ $A$ የሚመጣውን ይውሰዱ። $l$ ጎን $a$ን የያዘ መስመር ይሁን። ፖሊጎን $P$ ኮንቬክስ ስለሆነ፣ በመስመር $l$ በአንደኛው በኩል ይተኛል። ስለዚህ፣ አንግል $A$ እንዲሁ በዚህ መስመር በአንደኛው በኩል ይገኛል። ይህ ማለት አንግል $A$ ከተሰራው አንግል ያነሰ ነው ማለትም ከ$180^\circ$ ያነሰ ነው።

ሁለተኛውን ንብረት እናረጋግጥ

ከኮንቬክስ ፖሊጎን $P$ ሁለት ነጥቦችን $A$ እና $B$ ይውሰዱ። ፖሊጎን $P$ የበርካታ ግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ ነው። የ$AB$ ክፍል በእያንዳንዱ በእነዚህ ግማሽ አውሮፕላኖች ውስጥ ይገኛል። ስለዚህ፣ በፖሊጎን $P$ ውስጥም ይገኛል።

ፍቺ

ባለብዙ ጎን ሰያፍተያያዥ ያልሆኑትን ጫፎች የሚያገናኝ ክፍል ይባላል።

ቲዎረም (የኤን-ጎን ሰያፍ ብዛት ያህል)

የኮንቬክስ $n$-gon ሰያፍ ብዛት በቀመር $\dfrac(n(n-3))(2)$ ይሰላል።

ማረጋገጫ

ከእያንዳንዱ የ n-gon ጫፍ $n-3$ ዲያግኖሎችን መሳል ይቻላል (ዲያግናልን ወደ ጎረቤት ጫፎች ወይም ወደዚህ ጫፍ ራሱ መሳል አይችሉም)። ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ክፍሎችን ከቆጠርን $n$ ጫፎች ስላሉ ከነሱ $n\cdot(n-3)$ ይኖራሉ። ግን እያንዳንዱ ሰያፍ ሁለት ጊዜ ይቆጠራል። ስለዚህ የ n-gon ዲያግራኖች ቁጥር $\dfrac(n(n-3))(2)$ ጋር እኩል ነው።

ቲዎረም (ስለ አንድ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር)

የኮንቬክስ $n$-gon ማዕዘኖች ድምር $180^\circ(n-2)$ ነው።

ማረጋገጫ

የ$n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$ን አስቡበት።

በዚህ ፖሊጎን ውስጥ የዘፈቀደ ነጥብ $O$ እንውሰድ።

የሁሉም ትሪያንግሎች ድምር $A_1OA_2$፣ $A_2OA_3$፣ $A_3OA_4$፣ \ldots፣ $A_(n-1)OA_n$ ከ$180^\circ\cdot n$ ጋር እኩል ነው።

በሌላ በኩል፣ ይህ ድምር የሁሉም የ polygon ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር እና አጠቃላይ አንግል $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ ነው።

ከዚያም ግምት ውስጥ ያለው የ $ n $ -ጎን ማዕዘኖች ድምር ከ $ 180 ^ \ cir \ cdot n-360 ^ \ cir = 180 ^ \ cir \ cdot (n-2) $ ጋር እኩል ነው.

መዘዝ

የማይወዛወዝ $n$-gon ማዕዘኖች ድምር $180^\circ(n-2)$ ነው።

ማረጋገጫ

ፖሊጎን $A_1A_2\ldots A_n$ን አስቡበት፣ አንግል $\angle A_2$ ብቸኛው አንግል ያልሆነ፣ ማለትም $\angle A_2>180^\circ$ ነው።

የተያዘውን ድምር እንደ $S$ እንጥቀስ።

ነጥቦቹን $A_1A_3$ እናገናኛቸው እና $A_1A_3\ldots A_n$ን እናስብ።

የዚህ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር የሚከተለው ነው፡-

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

ስለዚህ፣ $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$።

የመጀመሪያው ፖሊጎን ከአንድ በላይ ያልሆነ ኮንቬክስ ማእዘን ካለው, ከላይ የተገለፀው ክዋኔ በእያንዳንዱ እንደዚህ አይነት ማዕዘን ሊከናወን ይችላል, ይህም መግለጫው እንዲረጋገጥ ያደርገዋል.

ቲዎረም (በኮንቬክስ n-ጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ)

የኮንቬክስ $n$-gon የውጪ ማዕዘኖች ድምር $360^\circ$ ነው።

ማረጋገጫ

በ $A_1$ ላይ ያለው ውጫዊ አንግል ከ$180^\circ-\ አንግል A_1$ ጋር እኩል ነው።

የሁሉም ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው፡-

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\circ$.