ውስብስብ ቁጥሮችን በገለፃ መልክ እንዴት ማባዛት እንደሚቻል። ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት

የተወሳሰቡ ቁጥሮች መደመር እና መቀነስ በአልጀብራ መልክ ለመስራት የበለጠ አመቺ ሲሆኑ፣ ማባዛትና ማካፈል ውስብስብ ቁጥሮችን ትሪግኖሜትሪክ በመጠቀም ለመስራት ቀላል ናቸው።

በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ የተሰጡ ሁለት የዘፈቀደ ውስብስብ ቁጥሮችን እንውሰድ፡-

እነዚህን ቁጥሮች በማባዛት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ነገር ግን በትሪግኖሜትሪ ቀመሮች መሰረት

ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮችን ሲያባዙ, ሞጁሎቻቸው ይባዛሉ, እና ክርክሮቹ

ማጠፍ. በዚህ ሁኔታ ሞጁሎቹ በተናጥል ስለሚለወጡ እና ክርክሮቹ - በተናጥል ፣ በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ማባዛት ከአልጀብራ መልክ የበለጠ ቀላል ነው።

ከእኩልነት (1) የሚከተሉት ግንኙነቶች ይከተላሉ፡-

መከፋፈል የማባዛት ተገላቢጦሽ ተግባር ስለሆነ ያንን እናገኛለን

በሌላ አገላለጽ የቁጥር ሞጁል ከክፍፍፍፍ እና ከአከፋፋዩ ሞዱሊ ጥምርታ ጋር እኩል ነው፣ እና የክፍፍል ክርክር በአከፋፋዩ እና በአከፋፋዩ ክርክር መካከል ያለው ልዩነት ነው።

አሁን ስለ ውስብስብ ቁጥሮች ማባዛት ጂኦሜትሪክ ትርጉም ላይ እናተኩር። ቀመሮች (1) - (3) ምርቱን ለማግኘት በመጀመሪያ ክርክሩን ሳይቀይሩ የቁጥር ሞጁሉን መጨመር አለብዎት እና ከዚያ የተገኘውን የቁጥር ክርክር ሞጁሉን ሳይቀይሩ ይጨምሩ። ከእነዚህ ተግባራት ውስጥ የመጀመሪያው በጂኦሜትሪ ደረጃ ከ O ጋር ተመሳሳይነት ያለው ግንኙነት ማለት ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ ከነጥቡ O ጋር በማነፃፀር በማእዘን እኩል ማዞር ማለት ነው እዚህ ከግምት ውስጥ አንድ ነገር ቋሚ እና ሌላኛው ተለዋዋጭ ነው, ውጤቱን ልንቀርፅ እንችላለን. እንደሚከተለው ቀመር

ውስብስብ ቁጥር የቅጹ ቁጥር ነው, የት እና እውነተኛ ቁጥሮች, የሚባሉት ምናባዊ ክፍል. ቁጥሩ ተጠርቷል። እውነተኛ ክፍል () ውስብስብ ቁጥር, ቁጥሩ ይባላል ምናባዊ ክፍል () ውስብስብ ቁጥር.

ውስብስብ ቁጥሮች የሚወከሉት በ ውስብስብ አውሮፕላን:

ከላይ እንደተጠቀሰው, ደብዳቤ ብዙውን ጊዜ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብን ያመለክታል. ስብስብወይም ውስብስብ ቁጥሮችብዙውን ጊዜ በ"ደፋር" ወይም በወፍራም ፊደል ይገለጻል። ስለዚህ, ደብዳቤው ውስብስብ አውሮፕላን እንዳለን የሚያመለክት በስዕሉ ላይ መቀመጥ አለበት.

ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ ቅርጽ. የተወሳሰቡ ቁጥሮች መደመር፣ መቀነስ፣ ማባዛትና ማካፈል

ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ለመጨመር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸውን ማከል ያስፈልግዎታል.

z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2)።

ለተወሳሰቡ ቁጥሮች ፣ የአንደኛው ክፍል ደንብ ትክክለኛ ነው z 1 + z 2 = z 2 + z 1 - ድምር ውሎቹን ከማስተካከል አይለወጥም።

ውስብስብ ቁጥሮችን መቀነስ

ድርጊቱ ከመደመር ጋር ይመሳሰላል፣ ብቸኛው ልዩነቱ ንኡስ ክፍል በቅንፍ ውስጥ መቀመጥ አለበት፣ ከዚያም ቅንፍዎቹ በመደበኛ መንገድ በምልክት ለውጥ መከፈት አለባቸው።

z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)

ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት

ውስብስብ ቁጥሮች መሠረታዊ እኩልነት:

ውስብስብ ቁጥሮች ምርት;

z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1)።

ልክ እንደ ድምር፣ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ምርት ተንቀሳቃሽ ነው፣ ማለትም፣ እኩልነት እውነት ነው፡.

ውስብስብ ቁጥሮች ክፍፍል

የቁጥሮች ክፍፍል ይከናወናል መለያውን እና አሃዛዊውን በማባዛት በተዋሃደ አገላለጽ.

2 ጥያቄ. ውስብስብ አውሮፕላን. ሞዱሉስ እና ውስብስብ ቁጥሮች ክርክሮች

እያንዳንዱ ውስብስብ ቁጥር z = a + i*b ከመጋጠሚያዎች (a;b) ጋር ከአንድ ነጥብ ጋር ሊጣመር ይችላል, እና በተቃራኒው, እያንዳንዱ ነጥብ ከመጋጠሚያዎች (c;d) ጋር ከተወሳሰበ ቁጥር w = c + i* ጋር ሊገናኝ ይችላል. መ. ስለዚህ, በአውሮፕላኑ ነጥቦች እና በተወሳሰቡ ቁጥሮች ስብስብ መካከል የአንድ-ለአንድ ደብዳቤ ይመሰረታል. ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮች በአውሮፕላን ላይ እንደ ነጥቦች ሊወከሉ ይችላሉ. ውስብስብ ቁጥሮች የተገለጹበት አውሮፕላን ብዙውን ጊዜ ይባላል ውስብስብ አውሮፕላን.

ነገር ግን፣ ብዙ ጊዜ የተወሳሰቡ ቁጥሮች እንደ ቬክተር ይገለጣሉ በነጥብ O ጅምር ማለትም፣ ውስብስብ ቁጥሩ z = a + i*b ከመጋጠሚያዎች (a;b) ጋር የአንድ ነጥብ ራዲየስ ቬክተር ሆኖ ይገለጻል። በዚህ ሁኔታ ፣ ከቀዳሚው ምሳሌ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ምስል እንደዚህ ይሆናል ።

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ድምር ምስል ቁጥሮቹን እና ቁጥሮችን ከሚወክሉት የቬክተሮች ድምር ጋር እኩል የሆነ ቬክተር ነው። በሌላ አነጋገር ውስብስብ ቁጥሮች ሲጨመሩ እነሱን የሚወክሉት ቬክተሮችም ይጨምራሉ.

ውስብስብ ቁጥሩ z = a + i*b በራዲየስ ቬክተር ይወከል። ከዚያም የዚህ ቬክተር ርዝመት ይባላል ሞጁልቁጥር z እና በ |z| ይገለጻል። .

ዘንግ ያለው የቁጥር ራዲየስ ቬክተር የተሰራው አንግል ይባላል ክርክርቁጥሮች እና በ arg z ይገለጻል. የቁጥሩ ክርክር በልዩ ሁኔታ የሚወሰን አይደለም፣ ነገር ግን በብዜት ውስጥ ነው። ይሁን እንጂ ብዙውን ጊዜ ክርክሩ ከ 0 ወይም ከ -to ባለው ክልል ውስጥ ይገለጻል. በተጨማሪም, ቁጥሩ ያልተገለጸ ክርክር አለው.

ይህንን ግንኙነት በመጠቀም የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር ማግኘት ይችላሉ-

ከዚህም በላይ የቁጥሩ ምስል በመጀመሪያው ወይም በአራተኛው ሩብ ውስጥ ከሆነ የመጀመሪያው ቀመር ትክክለኛ ነው, እና ሁለተኛው, በሁለተኛው ወይም በሦስተኛው ውስጥ ከሆነ. ከሆነ፣ ውስብስብ ቁጥሩ በኦይ ዘንግ ላይ በቬክተር ይወከላል እና ክርክሩ ከ /2 ወይም 3*/2 ጋር እኩል ነው።

ሌላ ጠቃሚ ቀመር እናገኝ። z = a + i*b ይሁን። ከዚያም.

በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ የተሰጡ ሁለት የዘፈቀደ ውስብስብ ቁጥሮችን እንውሰድ፡-

እነዚህን ቁጥሮች በማባዛት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ነገር ግን በትሪግኖሜትሪ ቀመሮች መሰረት

ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮችን ሲያባዙ, ሞጁሎቻቸው ይባዛሉ, እና ክርክሮቹ

ከእኩልነት (1) የሚከተሉት ግንኙነቶች ይከተላሉ፡-

መከፋፈል የማባዛት ተገላቢጦሽ ተግባር ስለሆነ ያንን እናገኛለን

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ምርት ከእውነተኛ ቁጥሮች ምርት ጋር ተመሳሳይ በሆነ መልኩ እንገልፃለን፡- ምርቱ ከአንድ አሃድ እንደተፈጠረ ሁሉ ምርቱ ከአንድ ብዜት የተሰራ ቁጥር ተደርጎ ይቆጠራል።

ሞጁል እና ክርክር ካለው ውስብስብ ቁጥር ጋር የሚዛመደው ቬክተር ከአንድ ቬክተር ሊገኝ ይችላል ፣ ርዝመቱ ከአንድ ጋር እኩል ነው እና አቅጣጫው ከኦክስ ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር የሚገጣጠም ፣ በፋክተር በማራዘም እና በማሽከርከር። በአዎንታዊ አቅጣጫ በማእዘን

የአንድ የተወሰነ ቬክተር በቬክተር የሚመረተው ቬክተር ከላይ የተጠቀሰው ማራዘሚያ እና ማሽከርከር በቬክተር ላይ ከተተገበረ ቬክተሩ ከአንድ ክፍል ቬክተር የተገኘ ሲሆን የኋለኛው ደግሞ በግልጽ ይዛመዳል. እውነተኛ ክፍል.

ሞዱሊዎች እና ክርክሮች ከቬክተሮች ጋር የሚዛመዱ ውስብስብ ቁጥሮች ከሆኑ የእነዚህ ቬክተሮች ምርት ግልጽ በሆነ ሞጁል እና ክርክር ካለው ውስብስብ ቁጥር ጋር ይዛመዳል። ስለዚህ ወደሚከተለው የውስብስብ ቁጥሮች ምርት ፍቺ ደርሰናል።

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ውጤት ሞጁሉ ከምክንያቶቹ ሞዱሊዎች ምርት ጋር እኩል የሆነ እና የመከራከሪያ ነጥቦቹ ድምር ውጤት ጋር እኩል የሆነ ውስብስብ ቁጥር ነው።

ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ መልክ ሲጻፉ, እኛ ይኖረናል

ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ መልክ ካልተሰጡ አሁን ለጉዳዩ ምርትን የማጠናቀር ደንቡን እናውጣ፡

ከላይ ያለውን ማስታወሻ ለሞጁሎች እና የምክንያቶች ክርክሮች በመጠቀም መፃፍ እንችላለን

እንደ ማባዛት ትርጓሜ (6)።

እና በመጨረሻም እናገኛለን

ምክንያቶቹ እውነተኛ ቁጥሮች ከሆኑ እና ምርቱ ወደ እነዚህ ቁጥሮች ምርት aag ከተቀነሰ። በእኩልነት ሁኔታ (7) ይሰጣል

ማለትም የአዕምሯዊ ክፍሉ ካሬ እኩል ነው

አወንታዊ የኢንቲጀር ሃይሎችን በቅደም ተከተል በማስላት እናገኛለን

እና በአጠቃላይ, ከማንኛውም አጠቃላይ አዎንታዊ

በእኩልነት (7) የተገለፀው የማባዛት ህግ በሚከተለው መልኩ ሊቀረጽ ይችላል፡ ውስብስብ ቁጥሮች እንደ ፊደላት ብዙ ቁጥር ማባዛት፣ መቁጠር አለባቸው።

a ውስብስብ ቁጥር ከሆነ፣ ውስብስብ ቁጥሩ ከሀ ጋር ይጣመራል ይባላል እና በ a ይገለጻል። በቀመር (3) ከእኩልነት አለን (7) ይከተላል

በዚህም ምክንያት

ማለትም ፣ የተዋሃዱ ውስብስብ ቁጥሮች ምርት የእያንዳንዳቸው ሞጁል ካሬ ጋር እኩል ነው።

እንዲሁም ግልጽ የሆኑ ቀመሮችን እናስተውል

ከ ቀመሮች (4) እና (7) ወዲያውኑ የተወሳሰቡ ቁጥሮች መደመር እና ማባዛት የዝውውር ህግን ያከብራሉ ፣ ማለትም ፣ ድምሩ በውሎቹ ቅደም ተከተል ላይ የተመካ አይደለም ፣ እና ምርቱ በቅደም ተከተል ላይ የተመካ አይደለም ። ምክንያቶች. በሚከተሉት ማንነቶች የተገለጹትን ጥምር እና አከፋፋይ ህጎችን ትክክለኛነት ማረጋገጥ አስቸጋሪ አይደለም፡

ይህንን ለማድረግ ለአንባቢ እንተወዋለን።

በመጨረሻ ፣ የበርካታ ምክንያቶች ምርት ከምክንያቶቹ ሞዱሊዎች ምርት ጋር እኩል የሆነ ሞጁል ፣ እና ከምክንያቶቹ ክርክሮች ድምር ጋር እኩል የሆነ ክርክር እንደሚኖረው ልብ ይበሉ። ስለዚህ ፣ ውስብስብ ቁጥሮች ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል እና ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ።

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ምርት ከሁለት እውነተኛ ቁጥሮች ምርት ጋር ተመሳሳይነት አለው፡- ምርቱ ከአንድ ዩኒት እንደተፈጠረ ሁሉ ምርቱ ከአንድ ብዜት የተሠራ ቁጥር ተደርጎ ይቆጠራል። ሞጁል አር እና ክርክር j ካለው ውስብስብ ቁጥር ጋር የሚዛመደው ቬክተር ርዝመቱ ከአንዱ ጋር እኩል ከሆነ እና አቅጣጫው ከኦክስ ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር ከተጣመረ ዩኒት ቬክተር ሊገኝ ይችላል ፣ በ r ጊዜ በማራዘም እና በማሽከርከር። አዎንታዊ አቅጣጫ በአንድ ማዕዘን j. የአንድ የተወሰነ ቬክተር ምርት ሀ 1 በቬክተር ሀ 2 በቬክተር ላይ ማራዘም እና ማሽከርከርን ከተጠቀምንበት የሚገኘው ቬክተር ነው. ከእውነተኛ ክፍል ጋር እንደሚዛመድ ግልጽ ነው። (r 1፣? 1)፣ (r 2፣? 2) የተወሳሰቡ ቁጥሮች ሞጁሎች እና ክርክሮች ከቬክተሮች ጋር የሚዛመዱ 1 እና 2 ከሆኑ፣ የእነዚህ ቬክተሮች ምርት ከሞጁሉ ጋር ካለው ውስብስብ ቁጥር ጋር እንደሚዛመድ ግልጽ ነው። r 1 r 2 እና ክርክር (j 1 + j 2). ስለዚህም የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ውጤት ሞጁሉ ከምክንያቶቹ ሞዱሊዎች ውጤት ጋር እኩል የሆነ እና የመከራከሪያ ነጥቦቹ ድምር ውጤት ጋር እኩል የሆነ ውስብስብ ቁጥር ነው።

ውስብስብ ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ መልክ በተፃፉበት ሁኔታ, እኛ አለን

r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2።

በጉዳዩ (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi፣ የሞጁሎችን እና የነገሮች ነጋሪ እሴቶችን በመጠቀም፣ መጻፍ እንችላለን፡-

a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 ኃጢአት? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; b 2 = r 2 ኃጢአት? 2 ;

እንደ ማባዛት ትርጓሜ፡-

x = r 1 r 2 cos (? 1 +? 2); y = r 1 r 2 ኃጢአት (? 1 +? 2)፣

x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - ኃጢአት? 1 ኃጢአት? 2) = = r 1 cos? 1r 2 cos? 2 - r 1 ኃጢአት? 1 r 2 ኃጢአት? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2

y = r 1 r 2 (ኃጢአት? 1 cos? 2 + cos? 1 ኃጢአት? 2) = = r 1 ኃጢአት? 1r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 ኃጢአት? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2፣

እና በመጨረሻም እኛ እናገኛለን:

(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.

በ b 1 = b 2 = 0 ውስጥ, ምክንያቶቹ ትክክለኛ ቁጥሮች a 1 እና 2 ናቸው እና ምርቱ ወደ ምርቱ 1 a 2 ከእነዚህ ቁጥሮች ይቀንሳል. መቼ

a 1 = a 2 = 0 እና b 1 = b 2 = 1,

እኩልነት (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) እሰጣለሁ፡ i???i = እኔ 2 = -1, i.e. የአዕምሯዊው ክፍል ካሬ -1 ነው. አወንታዊ የኢንቲጀር ሃይሎችን በቅደም ተከተል በማስላት፣ እናገኛለን፡-

እኔ 2 = -1; እኔ 3 = -i; እኔ 4 = 1; እኔ 5 = እኔ; እኔ 6 = -1; ...

እና በአጠቃላይ፣ ለማንኛውም አዎንታዊ k፡

እኔ 4k = 1; እኔ 4k+1 = i; እኔ 4k+2 = -1; እኔ 4k+3 = -i

በእኩልነት የተገለጸው የማባዛት ህግ (a 1 + b 1 i)(a 2+ b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) መሆን እችላለሁ። እንደሚከተለው ተዘጋጅቷል፡- ውስብስብ ቁጥሮች እንደ ፊደላት ፖሊኖሚሎች መባዛት አለባቸው፣ መቁጠር i 2 = -1።

ከላይ ከተጠቀሱት ቀመሮች ውስጥ ወዲያውኑ የተወሳሰቡ ቁጥሮች መደመር እና ማባዛት የዝውውር ህግን ያከብራሉ, ማለትም. ድምር በውሎቹ ቅደም ተከተል ላይ የተመካ አይደለም, እና ምርቱ በምክንያቶች ቅደም ተከተል ላይ የተመካ አይደለም. በሚከተሉት ማንነቶች የተገለጹትን ጥምር እና አከፋፋይ ህጎችን ትክክለኛነት ማረጋገጥ አስቸጋሪ አይደለም፡

(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .

የበርካታ ምክንያቶች ምርት ከምክንያቶቹ ሞዱሊዎች ምርት ጋር እኩል የሆነ ሞጁል ይኖረዋል፣ እና ከምክንያቶቹ ክርክሮች ድምር ጋር እኩል የሆነ ክርክር ይኖረዋል። ስለዚህ ፣ ውስብስብ ቁጥሮች ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል እና ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ።

ምሳሌ፡ የተሰጡ ውስብስብ ቁጥሮች z 1 = 2 + 3i፣ z 2 = 5 - 7i። አግኝ፡

ሀ) z 1 + z 2; ለ) z 1 - z 2; ሐ) z 1 z 2 .

ሀ) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; ለ) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; ሐ) z 1 z 2 = (2 + 3i) (5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (እዚህ ግምት ውስጥ ይገባል i 2 = - 1).

ምሳሌ፡ እነዚህን ደረጃዎች ተከተል፡-

ሀ) (2 + 3i) 2; ለ) (3 - 5i) 2; ሐ) (5 + 3i) 3 .

ሀ) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; ለ) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; ሐ) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3; ከ i 2 = - 1, እና i 3 = - i, እናገኛለን (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.

ምሳሌ: ድርጊቶችን ያከናውኑ

ሀ) (5 + 3i) (5 - 3i); ለ) (2 + 5i) (2 - 5i); ሐ) (1 + i) (1 - እኔ).

ሀ) (5 + 3i) (5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; ለ) (2 + 5i) (2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; ሐ) (1 + i) (1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.