Урок геометрии на тему "Параллельность прямых и плоскостей" (10 класс). Взаимное расположение прямых в пространстве

Урок геометрии в 10 классе.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Цель: Систематизировать знания учащихся по теме «Параллельность прямых и плоскостей», углубить и закрепить знания учащихся при решении задач, развивать пространственные представления учащихся

Оборудование: компьютеры (программа «Открытая математика. Стереометрия.»), мультимедийная доска, тест, составленный с помощью тестовой оболочки.

Ход урока

I Объявление темы и цели урока.

Мотивация учебной деятельности.

Сегодня мы проводим урок по геометрии на тему «Параллельность прямых и плоскостей» с использованием компьютерных технологий. Применение компьютеров расширяет возможности обучения, в частности, стереометрии, так как способствует развитию пространственных представлений учащихся, помогает более четкому формированию геометрических понятий, расширяет имеющийся запас геометрических образов.

На предыдущих уроках мы рассмотрели основные вопросы темы: параллельность прямых в пространстве, параллельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей. Повторим эти вопросы.

II Актуализация опорных знаний.

Какие прямые в пространстве называются параллельными? (…лежат в одной плоскости и не пересекаются.)

Интерес вызывают прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны. Это?...скрещивающиеся прямые. Дайте определение скрещивающихся прямых. (…прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.)

Сформулируйте признак параллельности прямых. (Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.)

В каком случае прямая и плоскость называются параллельными? (…если они не пересекаются.)

Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. (Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибуть прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.)

В каком случае две плоскости называются параллельными? (…если они не пересекаются.)

Сформулируйте признак параллельности плоскостей. (Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.)

III Работа за компьютерами.

Просмотрим теоретический материал в программе «Открытая математика. Стереометрия.» (Путь к программе: D\VCD\Stereometry)

Учащиеся просматривают теорию, данную в главе 2: Параллельность в пространстве

(2.1 Параллельность прямых

2.2 Параллельность прямой и плоскости

2.2 Параллельность двух плоскостей)

Работая с программой, учащиеся встречают новые для них понятия такие, как лемма, признак скрещивающихся прямых, теорема о следе и др.

IV Работа по группам .

За каждым компьютером остается один ученик и работает с тестовой программой. (На рабочем столе ярлык test-w, Тест 10 кл., Открыть.) Тест проверяет и оценивает знания учащихся по теме урока. Задания теста прилагаются.

Остальные учащиеся садятся за столы и выполняют устное решение следующих задач:

Сколько существует случаев взаимного расположения двух различных прямых в пространстве? (Три)

Верно ли. Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой лежат обе эти прямые? (Да)

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет треугольная пирамида? (Три)

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет четырехугольная пирамида? (Восемь)

Дана прямая a и точка А вне ее. Сколько прямых, скрещивающихся с a можно провести через точку А? (Бесконечно много)

Дана плоскость альфа и точка А вне ее. Сколько прямых, параллельных плоскости альфа можно провести через точку А? (Бесконечно много)

Работа в группах закончилась. Просматриваются результаты тестов. Ребята возвращаются за компьютеры и проводят работу над ошибками, которые были допущены при работе с тестами.

V Решение задач .

Работа с программой «Открытая математика. Стереометрия.»

Кнопка: Задачи с решениями.

Даны скрещивающиеся прямые a ,b и точка Т. Провести через точку Т прямую, пересекающую прямые a и b .

В планиметрии справедлива теорема: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Справедлива ли эта теорема в стереометрии? (Нет)

Учащиеся решают задачи коллективно, просматривают решение задач на компьютере, работают с рисунком: убирают заливку и восстанавливают, поворачивают рисунок в различных направлениях, увеличивают его и уменьшают и т.д. Работают с моделью куба. Находят пары пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых; пересекающихся и параллельных плоскостей и т.д.

Кнопка: Задачи.

Учащиеся решают задачи самостоятельно, вводят ответ, анализируют его правильность.

VI Итог.

Повторили, систематизировали, углубили знания по теме урока. Уделили внимание задачам со скрещивающимися прямыми. Компьютерная программа помогла наглядно представить комбинации геометрических фигур в пространстве.

Оценивание учащихся.

VII Домашнее задание:

Оформить решение разобранных задач в тетради.

Приложение

Задания теста

Даны две скрещивающиеся прямые a и b . Сколько существует плоскостей, проходящих через a и параллельных b ?

ни одной
только одна
бесконечно много
ни одной или одна

Сколько существует плоскостей, проходящих через три данные различные точки пространства?

только одна
бесконечно много
одна или бесконечно много
ни одной или одна
ни одной, одна или бесконечно много

В пространстве даны прямая a и точка М вне a . Сколько существует плоскостей, проходящих через М и параллельных прямой a ?

одна или бесконечно много
ни одной
бесконечно много
ни одной или бесконечно много
только одна

Даны плоскость альфа и не лежащая в ней прямая a . Сколько существует плоскостей, проходящих через a и параллельных альфа?

бесконечно много
ни одной или одна
одна или бесконечно много
ни одной
только одна

В пространстве даны прямая a и точка М. Сколько существует прямых, проходящих через М и параллельных прямой a ?

бесконечно много
ни одной
ни одной или одна
только одна
одна или бесконечно много

Даны плоскость альфа и точка М вне альфа. Сколько существует плоскостей, проходящих через М и параллельных плоскости альфа?

ни одной
только одна
ни одной или одна
ни одной или бесконечно много
бесконечно много

Примечание. Задания теста как и ответы к ним выбираются случайным образом. Тест можно ограничить во времени.

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

Задачи к главе IV

4.1. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через точку; б) через две различные точки; в) через три различные точки, не лежащие на одной прямой; г) через три различные точки; д) через четыре точки?

4.2. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через одну прямую; б) через две пересекающиеся прямые; в) через две произвольные прямые?

4.3. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через прямую и точку; б) через две пересекающиеся прямые и точку?

4.4. В пространстве даны четыре точки, никакие три из них не принадлежат одной прямой. Через каждую пару данных точек проведена прямая. Сколько можно провести таких прямых?

4.5. В пространстве даны четыре точки, никакие три из них не принадлежат одной прямой. Через каждые три из этих точек проведена плоскость. Сколько можно провести таких плоскостей?

4.6. Верно ли утверждение: если прямая l 1 пересекает прямую l 2 , а прямая l 2 пересекает прямую l 3 , то прямая l 1 пересекает прямую l 3 ?

4.7. Верно ли утверждение: если прямые l 1 , l 2 скрещивающиеся и прямые l 2 , l 3 скрещивающиеся, то l 1 и l 3 скрещивающиеся?

4.8. Сколько пар скрещивающихся ребер, т. е. ребер, лежащих на скрещивающихся прямых, имеется в треугольной пирамиде?

4.9. Сколько пар параллельных и скрещивающихся ребер имеется в параллелепипеде?

4.10. Доказать, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

4.11. Как построить прямую, скрещивающуюся:

а) с каждой из двух пересекающихся прямых;

б) с каждой из двух параллельных прямых?

4.12. Сколько плоскостей, параллельных прямой l , можно провести через данную вне этой прямой точку А?

4.13. Прямая l параллельна плоскости р . Сколько прямых, параллельных прямой l , можно провести в плоскости р ? Каково взаимное расположение всех этих прямых?

4.14. Известно, что прямая l параллельна прямой т , которая параллельна плоскости р . Будет ли прямая l параллельна плоскости р ?

4.15. Пусть прямые l и т параллельны, и через каждую из них проведено по одной плоскости. Доказать, если эти плоскости пересекаются, то прямая их пересечения параллельна прямым l и т .

4.16. Доказать, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

4.17. Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

4.18. Докажите, что если плоскость р 1 параллельна плоскости р 2 , а р 2 параллельна плоскости р 3 , то р 1 параллельна р 3 . (Свойство транзитивности.)

4.19. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, имеют равные длины.

4.20. Постройте плоскость, проходящую через данную прямую l , параллельно прямой т (прямые l и т скрещивающиеся).

4.21. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямыми: a) AD и ВВ 1 б) AD и A 1 D 1)в) АС и В 1 D 1 г) АС и A 1 D 1 .

4.22. Докажите, что если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то эти прямые параллельны.

4.23. Докажите, что если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то эти плоскости параллельны.

4.24. Отрезки АВ и ВС -стороны квадрата ABCD. Через прямые АВ и ВС проведены соответственно плоскости р 1 и р 2 . Прямая l - линия пересечения плоскостей р 1 и р 2 , причем l _|_ (АВ). Докажите, что (АВ) _|_ р 2 .

4.25. Точка О - центр квадрата со стороной т . Отрезок ОМ перпендикулярен плоскости квадрата, |ОМ| = m / 2 . Найдите расстояние от точки М до вершины квадрата.

4.26. Найдите расстояние от точки М до плоскости равностороннего треугольника, если сторона этого треугольника равна 3 √3 см, а расстояние от точки до каждой из вершин треугольника равно 5 см.

4.27. Найдите множество всех точек пространства, равноудаленных от трех данных точек.

4.28. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC катеты равны а см. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости /\ ABC перпендикуляр CD, причем
| CD | = 2а см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

4.29. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 4 см и 3 см. Через вершину прямого угла С треугольника проведен перпендикуляр п к плоскости ABC. Найдите расстояние от точки М n до гипотенузы треугольника, если | МС | = 2,6 см.

4.30. Если грани одного двугранного угла служат продолжением граней другого, то такие двугранные углы называются вертикальными. Докажите, что вертикальные двугранные углы конгруэнтны.

4.31. Из точки М окружности проведен к плоскости круга, ограниченного этой окружностью, перпендикуляр МА. Из точки M проведен диаметр MB; [ВС] - произвольная хорда. Точка А соединена с точками В и С. Определите вид треугольника ABC.

4.32. Докажите, что если плоскости р и q перпендикулярны, а прямая 1 р перпендикулярна прямой т = p q , то 1 _|_ q .

4.33. Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости р, q, r. Докажите, что если
р _|_ r и q _|_ r , то прямая т = p q перпендикулярна плоскости r .

4.34. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

4.35. Полуплоскость, имеющая своим ребром ребро двугранного угла и делящая его на две конгруэнтные части, называется биссекторной . Докажите, что биссекторные полуплоскости двух смежных углов перпендикулярны между собой.

4.36. На модели куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 укажите проекции следующих фигур на плоскость грани АА 1 В 1 В: , , , , /\ С 1 СВ, /\ ACD, квадрата BB 1 C 1 C.

4.37. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . а) Найдите проекцию точки M на плоскости граней ABCD, AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B. б) Найдите проекцию точки N = [СD 1 ] на плоскости указанных граней.

4.38. Каковы проекции двух прямых l 1 и l 2 на плоскость р , если:

а) прямые l 1 и l 2 пересекаются;

б) прямые l 1 и l 2 скрещиваются;

в) прямые l 1 и l 2 параллельны. Рассмотрите все возможные случаи.

4.39. Точки А и В принадлежат плоскости р ; конгруэнтные отрезки АА 1 и BB 1 перпендикулярны плоскости р и расположены по разные стороны от нее. Найдите величины углов четырехугольника AA 1 ВВ 1 , если |AA 1 | = |АВ|.

4.40. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна т , величина его острого угла 60°. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 30°.

4.41. Стороны треугольника равны 3,9 см, 4,1 см и 2,8 см. Найдите площадь его проекции на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 60°.

4.42. Постройте сечение куба AВСDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки М, N и К, если

М = А 1 , | ND 1 | = | ND |, | DK | == 2| KС |, N , K .

4.43. Постройте сечение куба ABCDA"B"C"D" с ребром а плоскостью, проходящей через середины ребер и [В"С"] и вершины А" и С. Найдите площадь сечения.

4.44. Постройте сечение куба плоскостью так, чтобы оно было правильным шестиугольником.

4.45. В тетраэдре МАВС проведите сечения через середину ребра [АВ] параллельно ребрам: а) [АС] и ; б) [ВС] и [СМ]; в) [ВС] и [АМ].

4.46. Найдите площадь сечения, проведенного через середины двух смежных боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной а и высотой h перпендикулярно основанию пирамиды.

4.47. Существует ли трехгранный угол, плоские углы которого равны: а) 120°, 97°, 33°;
б) 120°, 120°, 130°; в) 108°, 92°, 160°; г) 157°, 82°, 64°.

4.48. В трехгранном угле два плоских угла по 45°, а двугранный угол между ними - 90°. Найдите третий плоский угол.

4.49. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3√2 см и 14 см, угол между ними 135°, боковое ребро 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

4.50. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см; полная поверхность призмы 144 см 2 . Найдите сторону основания и боковое ребро призмы.

4.51. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда равна 352 см 2 . Найдите его измерения, если они относятся, как 1:2:3.

4.52. Ребро куба равно а . Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы ребер, выходящих из одной вершины.

4.53. Ребро куба равно а . Найдите длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер.

4.54. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона основания равна а , апофема пирамиды равна 3 / 2 а . Найдите высоту пирамиды.

4.55. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно т , а плоский угол при вершине равен β .

4.56. Дана пирамида, высота которой равна 16 м, а площадь основания 512 м 2 . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проведенной параллельно основанию на расстоянии 5 м от вершины.

4.57. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 14 см, а площадь диагонального сечения 14 см 2 .

4.58. Ромб с диагоналями 12 см и 16 см служит основанием пирамиды. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна 6,4 см. Найдите полную поверхность пирамиды.

4.59. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 28 см, а боковое ребро
36 см. Найдите сторону основания.

4.60. Докажите, что боковое ребро правильной треугольной пирамиды перпендикулярно противоположному ребру основания.

4.61. Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна площади основания, деленной на косинус угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

4.62 У двух правильных многогранников ребра равны, а площади поверхностей относятся, как √3 : 6. Определите эти многогранники.

4.63. Если обозначить ребро правильного многогранника через а , то площадь его поверхности равна S = 5a 2 √3 . Определите многогранник.

4.64. Найдите двугранный угол между гранями правильного тетраэдра.

4.65. Найдите двугранный угол между соседними гранями правильного октаэдра.

4.66. Точки M, A, В и С не принадлежат одной плоскости; (MA) _|_ (BС),
(MB) _|_ (AC). Докажите, что (МС) _|_ (АВ).

4.67. На точку A действуют силы F 1 , F 2 , F 3 , причем | F 1 ] = 3 Н, | F 2 | = 4 Н и | F 3 | = 5 Н. Величина угла между силами F 1 и F 2 равна 60°, а сила F 3 перпендикулярна каждой из них. Найдите величину равнодействующей.

ДЛЯ МОЛОДЕЖИ И ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ»

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОЛОВНОЙ КООРДИНАЦИОННЫЙ ЦЕНТР

«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЫ ХХI ВЕКА»

ПИРАМИДА И СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Творческая работа на Х VII Челябинскую

городскую научно-практическую конференцию молодых

исследователей и интеллектуалов «Шаг в будущее»

(секция 3.1)

г. Челябинск, лицей № 000, класс 10.

Научный руководитель:

учитель математики,

лицей № 000.

Челябинск - 2009г.

Введение

Величайшим и самым загадочным из семи чудес древнего мира является комплекс пирамид Гизы в Египте, наиболее впечатляющей из которых является пирамида Хеопса. Ученые и теологи уже многие столетия изучают Великую Пирамиду, поражаясь величию гигантского труда по ее созданию. Пирамида была построена между 10490 и 10390 годами до нашей эры. О пирамиде Хеопса говорят как о наиболее совершенном сооружении в мире - эталоне мер и весов. О том, что в ее геометрической форме закодирована информация о строении Вселенной, Солнечной системы и человека.

Слово пирамида происходит от греческого "пирамис", этимологически связанного с "пир" - "огонь", обозначая символическое представление Единого Божественного Пламени, жизни всех созданий. Посвященные прошлого считали пирамиду идеальным символом Тайной Доктрины. Квадратное основание пирамиды обозначает Землю , четыре его стороны - четыре элемента материи или субстанции, из комбинации которых создана материальная природа. Треугольные стороны ориентированы в направлении четырех сторон света, что символизирует противоположности тепла и холода (юг и север), света и тьмы (восток и запад). Три главных камеры пирамиды соотносятся с мозгом, сердцем и воспроизводящей системой человека, а также с тремя главными его энергетическими центрами. Основное назначение Великой Пирамиды тщательно скрывалось.

Оказалось, что энергия формы пирамиды "умеет делать" очень многое: растворимый кофе, постояв над пирамидой, приобретает вкус натурального; дешевые вина значительно улучшают свои вкусовые качества; вода приобретает свойства способствовать заживлению, тонизирует организм, уменьшает воспалительную реакцию после укусов, ожогов и действует, как естественное вспомогательное средство для улучшения пищеварения; мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты мумифицируются, но не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет…

Так ли универсальна пирамида? Попытаемся применить эту замечательную фигуру для решения школьных задач.

Мы поставили задачу найти условия, при которых легко можно определить расстояние между скрещивающими прямыми.

Цель работы – найти метод, с помощью которого можно измерять расстояние между скрещивающими прямыми и проверить этот метод для решения практических задач.

Объектом исследования в данной работе являются скрещивающиеся прямые.

Метод исследования – конструирование модели, помогающей определить расположение скрещивающихся прямых в пространстве.

Метод определяет предмет исследования : связь между стереометрическими объектами.

В ходе исследования были найдены условия, при которых поставленная задача решается рациональным способом, а также сформулирован алгоритм применения метода пирамид для решения конкретных задач. В процессе работы изучены существующие методы по данной теме, а также сконструирован удобный и рациональный способ решения данной задачи. Основные понятия

1.1 Скрещивающиеся прямые

На уроках стереометрии в десятом классе мы познакомились со скрещивающимися прямыми.

В этом же учебнике мы читаем о расстоянии между параллельными плоскостями и в п.3 о расстоянии между скрещивающимися прямыми.

Используя эти материалы, мы приступили к решению практических задач. Решения задач были громоздкими и плохо просматривались на рисунках. Поэтому данную тему я решил отыскать в справочниках и других пособиях.

1.2 Методы определения расстояний между скрещивающимися прямыми

Журнал «Математика для школьников» в этом году (№1, 2008г.) опубликовал статью «О расстоянии вообще и расстоянии между скрещивающимися прямыми в частности», где подробно описывает все известные способы построения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Рассматриваются конкретные задачи. В научно-теоретическом и методическом «Математика в школе» (№1,2008г) опубликована статья и «О некоторых способах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми».

Стоит заметить, что задача на построение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым требует весьма кропотливой работы. В то же время при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми нет необходимости строить их общий перпендикуляр! Часто бывает достаточно лишь увидеть (провести) более подходящий отрезок, длина которого и будет искомым расстоянием. При этом целесообразно опираться на одно из следующих утверждений.

1. Расстояние между скрещивающимися прмыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

3. Расстояние 1 между скрещивающимися прямыми, содержащими отрезки АВ и СВ соответственно, можно вычислять по формуле

где -угол между прямыми AB и CD, а -объем треугольной пирамиды ABCD (рис.1)

Подходы, основанные на применении первых двух утверждений, будучи чисто геометрическими, требуют от решающего хорошего пространственного воображения. Однако второй подход иногда выгоднее реализовывать в координатно-векторной форме. В справочной литературе встречается общее уравнение плоскости - в прямо угольной системе координат ,то можно применить известную в курсе аналитической геометрии формулу расстояния от точки M () до плоскости, заданной этим уравнением:

После изученного материала, я приступил к конструированию изучаемого объекта, с помощью стереометрических моделей, имеющегося в кабинете математики.

В результате я нашел рациональный способ решения поставленной задачи.

2.Теоретическая часть.

Разработанный мною способ нахождения расстояния и угла между скрещивающимися прямыми, который условно назван «Метод пирамиды», дает возможность решить задачу быстро и рационально.

Почему «метод пирамиды»? Дело в том, что при решении задач этим способом строится пирамида РАВСD, а смыслом такого построения является утверждение: «Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, которая является проекцией одной из двух данных скрещивающихся прямых на перпендикулярную к ней плоскость, к ортогональной проекции другой прямой на эту же плоскость».

В журнале «Математика в школе» (№ 6, 1986 год) использовал приведенное утверждение, привел примеры решения задач, но способ построения отличается от «метода пирамиды». Вся последовательность построения состоит из пяти шагов:

1. Пусть прямая и скрещивающиеся и произвольная точка Р принадлежит прямой .

2. Проведем перпендикуляр РА к прямой . Пусть РА и принадлежат плоскости.

3. Проведем из точки М, которая принадлежит прямой , к плоскости перпендикуляр МN. Пусть прямая РN, которая принадлежит плоскости , пересекает прямую в точке В. Проведем перпендикуляры ВС и АD к плоскости так, чтоб ВС=АD, а точки С и D принадлежали одной полуплоcкости и точка С принадлежала прямой . После этого можно утверждать, что четырехугольник АВСD - прямоугольник, а значит параллельна (РСD) по признаку параллельности прямой и плоскости.

4. Задача свелась к нахождению расстояния от прямой к параллельной ей плоскости РСD. Прямая перпендикулярна к (РАD) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости; плоскости (АВС) и (РАD) - перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей. Прямая СD перпендикулярна (РАD), поскольку прямые СD и параллельны. Плоскости (РАD) и (РСD) перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей. Проведем перпендикуляр АК к прямой РD пересечения перпендикулярных плоскостей РАD и РСD. Значит АК будет перпендикуляром и к плоскости (РОС). Итак, отрезок АК, который является высотою прямоугольного треугольника РАD равен расстоянию между скрещивающимися прямыми и .

5. Проведя КL, точка L принадлежит прямой и LF KA, точка F принадлежит прямойполучаем что LЕ-общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым и . Если же скрещивающимися прямые пересекаются под прямим углом ( совпадает с РD или РD принадлежит ), то задача значительно упрощается, что часто встречается во многих упражнениях. Кстати, не для всех задач необходимо брать точку М. Выше указанный способ достаточно простой, но при помощи такого подхода мгновенно решаются практически все задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми и построение к ним общего перпендикуляра. Угол между скрещивающимся прямыми и можно найти как угол РСD из прямоугольного треугольника РDС.

1. Практическая часть. Построение пирамиды. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

3.1 Задача 1. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а . Определите расстояние между стороною основания и скрещивающейся с нею диагональю боковой грани.

Решение.

РВSPCS - правильная треугольная призма. Найдем расстояние между ВS и РС. Проведем:

б) АD ВС, АD= ВС, точка А ВS.

в) АК РD; К . Из ранее доказанного отрезок АК будет равен искомому расстоянию. Применив метод площадей к прямоугольному треугольнику РАD, получаем:

АК= АР *AD:РD = а .

3.2.Задача 2. Ребро правильного тетраэдра равно а . Найдите расстояние между двумя ребрами тетраэдра, которые являются скрещивающимися.

СРQR - правильный тетраэдр. СО - высота тетраэдра. Будем искать расстояние между РС и RQ.

Проведем РА RQ. Точка А RQ. Поскольку скрещивающимися прямые РС и RQ пересекаются под прямим кутом (за теоремою о трех перпендикулярах), то задача упрощается (совпадает с РD)). АК -высота прямоугольного треугольника РАD и будет искомым расстоянием, но конечно легче найти АК как высоту равнобедренного треугольника РАС (АС=АР)

3.3. Задача З . Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания куба, которая с нею скрещивается.

Решение:- куб. Будем искать расстояние между РМ и RQ. По ранее доказанному утверждению отрезок АК, который является высотой прямоугольного треугольника РАD будет равен искомому расстоянию:

3.4. Задача 4. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба.

Урок позволяет рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве; формирует навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам. Развивает пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;

Скачать:

Предварительный просмотр:

Взаимное расположение прямых в пространстве

Цели урока:

обучающие:

рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве;
формировать навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.

развивающие:

развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

воспитательные:

воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества;
формировать эмоциональную культуру и культуру общения,
развивать чувство патриотизма, любви к родному городу.

Методы обучения:

словесный,
наглядный,
деятельностный

Формы обучения:

коллективная,
индивидуальная

Средства обучения: (в том числе технические средства обучения)

компьютер,
мультимедийный проектор,
экран,
принтер,
печатные средства (раздаточный материал),
кроссворд.

Вступительное слово учителя.

Применяя изученные знания из курса планиметрии о взаимном расположении прямых на плоскости, попытаемся решить вопрос о взаимном расположении прямых в пространстве.

Урок помогли подготовить учащиеся Скотникова Ольга и Штефан Юлия, которые методом самостоятельного поиска фотографий с достопримечательностями города Хабаровска рассмотрели различные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.

Они не только сумели рассмотреть различные варианты взаимного расположения прямых в пространстве, но и выполнили творческую работу - создали мультимедийную презентацию.

Презентации творческих отчетов с кратким пояснением и исторической справкой достопримечательностей нашего города:

К 150-летнему юбилею нашего города постарались мастера света и на набережной устроили великолепное лазерное шоу. Слайд№2

Внимание многочисленных гостей Хабаровска привлекает монументальный памятник, установленный на Комсомольской площади. Двадцатидвухметровый монумент увековечил память о героическом подвиге дальневосточных красногвардейцев и партизан, навсегда освободивших край от белогвардейцев и иностранных интервентов. Памятник был открыт в октябре 1956г. Слайд№3

Железнодорожный вокзал Хабаровска был построен в 1929 г. и в те годы считался одним из самых больших и красивых вокзалов Дальнего Востока. В настоящее время вокзал реконструирован, полностью изменен его интерьер и он снова приобрел облик русского вокзала 20 века. Слайд№4

Вывод по слайдам №3№4 . Слайд№5

Аэропорт г. Хабаровска имеет статус международного, оснащен современным оборудованием, авиационно-техническая База способна обслуживать любые типы самолетов, вплоть до Боинга-747.

Широкая сеть регулярных маршрутов связывает Хабаровск с десятками городов России, СНГ, Дальнего зарубежья. Комфортабельные воздушные суда уходят из аэропортов Хабаровска и возвращаются обратно в самое удобное для пассажиров время.

Необходимо принимать правильные решения в течение ограниченного времени при управлении полетами самолетов в зависимости от их взаимного расположения в воздушном пространстве и на аэродроме. Слайд№6

Утес - это замечательное место стало одним из символов Хабаровска. Можно сказать, что история города началась именно с этого места.

В 1858г. капитан Я.В.Дьяченко высадился здесь со своим отрядом и решил основать здесь свой лагерь. Позднее он стал военным поселением, затем деревней Хабаровкой, а теперь это прекрасный город Хабаровск.

Здание располагает большим балконом, который является великолепной смотровой площадкой, позволяющей увидеть набережную, пляж и просторы Амура, уходящие за горизонт. Слайд№7

Подведение итогов презентаций.

Как вы оцениваете творческую подготовку к уроку Ваших одноклассниц?

Сделаем вывод.. Какие варианты взаимного расположения прямых в пространстве мы узнали сегодня на уроке? Слайд№8

Закрепление.

Математический диктант , учащиеся выполняют на отдельных листах по готовым чертежам и сдают на проверку помощникам-консультантам, которые проверяют и результаты проверки заносят в специальную ведомость.

Дано:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - КУБ.

K, M, N - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР

B 1 C 1 , D 1 D, D 1 C 1 СООТВЕТСТВЕННО,

P - ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

ДИАГОНАЛЕЙ ГРАНИ AA 1 B 1 B.

Определите взаимное расположение прямых. Слайд№9,10,11,12,13,14

Самопроверка. Слайд№15

2. Дано:

SABC - ТЕТРАЭДР.

K, M, N, P - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР

SA, SC, AB, BC СООТВЕТСТВЕННО.

Слайд№16,1,18,19,20

Самопроверка. Слайд№21

После выполнения математического диктанта - краткое устное объяснение с обоснованием всех заданий.

Тест, учащиеся выполняют по раздаточному материалу и также сдают на проверку помощникам-консультантам, которые проверяют и результаты проверки заносят в специальную ведомость

Вопрос 1.

Сколько существует случаев взаимного расположения двух различных прямых в пространстве?

а) 2

б) 3

в) 1

Вопрос 2.

В тексте дано определение скрещивающихся прямых. Правильно ли следующее определение: "Две прямые называются cкрещивающимися, если не существует плоскости, в которой лежат обе эти прямые".

а) нет

б) да

в) ответить однозначно нельзя

Вопрос 3.

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет треугольная пирамида?

а) 2

б) 3

в) 1

Вопрос 4.

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет четырехугольная пирамида?

а) 2

б) 4

в) 6

Вопрос 5.

Дана прямая a и точка A вне ее. Сколько прямых, скрещивающихся с a, можно провести через точку A?

а) 2

б) множество

в) 1

Вопрос 6.

Для того, чтобы две прямые не были скрещивающимися (необходимо или достаточно) чтобы они пересекались.

Вопрос 7.

Для того, чтобы две прямые были параллельными (необходимо или достаточно) чтобы они лежали в одной плоскости.

Самостоятельная работа по вариантам

1 вариант

Даны скрещивающиеся прямые a, b и точка T. Провести через точку T прямую, пересекающую прямые a и b.

2 вариант

Прямые a и b скрещивающиеся. Провести прямую, пересекающую b и параллельную прямой a.

Ведомость учета результатов математического диктанта и тестирования

ФИО

Математический диктант

Тест

См/р

Домашнее задание.

Подготовить творческий отчет о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

Подведение итогов.

Кроссворд.

Параллельные прямые Пересекающиеся прямые Скрещивающиеся прямые

Лежат в одной плоскости пересекаются параллельны а а а b b b скрещиваются

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – КУБ. K, M, N – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР B 1 C 1 , D 1 D, D 1 C 1 СООТВЕТСТВЕННО, P – ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДИАГОНАЛЕЙ ГРАНИ AA 1 B 1 B.

A B 1 A 1 P C B D D 1 M N K C 1 Определите взаимное расположение прямых.

A B 1 A 1 P C B D D 1 M N K C 1

Проверь себя Скрещиваются Пересекаются Параллельны Скрещиваются Пересекаются

A B P M N C S K Дано: SABC - ТЕТРАЭДР. ТОЧКИ K, M, N, P – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР SA, SC, AB, BC СООТВЕТСТВЕННО.

A B P M N C S K Определите взаимное расположение прямых.

Проверь себя Параллельны. Скрещиваются. Пересекаются. Пересекаются.

2 1. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. 2.Математическое утверждение не требующее доказательства. 3. Одна из простейших фигур и планиметрии и стереометрии. 4. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости. 5. Защитное приспособление воина в виде круга, овала, прямоугольника. 6. Теорема, в которой по заданному свойству нужно определить предмет 7. Направленный отрезок 8. Планиметрия - плоскость, стереометрия - … 9. Женская одежда в форме трапеции. 10. Одна точка, принадлежащая обеим прямым. 11. Какую форму имеют гробницы фараонов в Египте? 12. Какую форму имеет кирпич? 13. Одна из основных фигур в стереометрии. 14. Она может быть прямой, кривой, ломаной.

Цели урока:

обучающие:

рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве;
формировать навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.

развивающие:

развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

воспитательные:

воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества;
формировать эмоциональную культуру и культуру общения,
развивать чувство патриотизма, любви к родному городу.

Методы обучения:

словесный,
наглядный,
деятельностный

Формы обучения:

коллективная,

индивидуальная

Средства обучения:(в том числе технические средства обучения)

компьютер,
мультимедийный проектор,
экран,
принтер,
печатные средства (раздаточный материал),
кроссворд.

Вступительное слово учителя.

Вывод по слайдам №3№4 . Слайд№5

Подведение итогов презентаций.

Как вы оцениваете творческую подготовку к уроку Ваших одноклассниц?

Закрепление.

Математический диктант, учащиеся выполняют на отдельных листах по готовым чертежам и сдают на проверку помощникам-консультантам, которые проверяют и результаты проверки заносят в специальную ведомость.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - КУБ.

K, M, N - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР

B 1 C 1 , D 1 D, D 1 C 1 СООТВЕТСТВЕННО,

P - ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

ДИАГОНАЛЕЙ ГРАНИ AA 1 B 1 B.

Определите взаимное расположение прямых. Слайд№9,10,11,12,13,14

Самопроверка. Слайд№15

SABC - ТЕТРАЭДР.

K, M, N, P - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР

SA, SC, AB, BC СООТВЕТСТВЕННО.

Слайд№16,1,18,19,20

Самопроверка.Слайд№21

После выполнения математического диктанта - краткое устное объяснение с обоснованием всех заданий.

Сколько существует случаев взаимного расположения двух различных прямых в пространстве?

в) ответить однозначно нельзя

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет треугольная пирамида?

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет четырехугольная пирамида?

Дана прямая a и точка A вне ее. Сколько прямых, скрещивающихся с a, можно провести через точку A?

б) множество

Для того, чтобы две прямые не были скрещивающимися (необходимо или достаточно) чтобы они пересекались.

Для того, чтобы две прямые были параллельными (необходимо или достаточно) чтобы они лежали в одной плоскости.

Самостоятельная работа по вариантам

1 вариант

Даны скрещивающиеся прямые a, b и точка T. Провести через точку T прямую, пересекающую прямые a и b.

2 вариант

Прямые a и b скрещивающиеся. Провести прямую, пересекающую b и параллельную прямой a.

Ведомость учета результатов математического диктанта и тестирования

ФИО	Математический диктант									Тест							См/р
ФИО	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7

Домашнее задание.

Подготовить творческий отчет о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

Подведение итогов.

Кроссворд. Слайд №22,23