Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является ее высотой. S. 6.
Слайд 6 из презентации «Пирамида 10 класс» . Размер архива с презентацией 226 КБ.Геометрия 10 класс
краткое содержание других презентаций«Прямая и плоскость» - Свойства параллельных прямых. Аксиома плоскости. Аксиома прямой. Геометрия в пространстве. Аксиома: имеются 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Аксиома пересечения плоскостей. Следствие из теоремы. Следствие из аксиомы. Параллельность прямых и плосткостей в пространстве. Параллельность. 10. Параллельность прямой и плоскости.
«Пирамиды» - Апофемы. ?А1А2Р = … = ?Аn-1АnР – р/б. Sполн. = Sбок. + Sосн. Высота – перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания. Четырехугольная пирамида. Площадь пирамиды. Пирамида – многогранник, составленный из n - угольника А1А2…Аn и n треугольников. Автор: Карсанова Алина, ученица 10Б класса. Sосн. Шестиугольная пирамида. Пирамиды. МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный. Правильная пирамида. Sбок. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.
«Вектор в геометрии» - Вектор называется суммой векторов и: . Очевидно, вектор является противоположным вектору. Правило параллелограмма. Свойства сложения векторов. Длина вектора (вектора) обозначается так: . Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Сумма не зависит от выбора точки А, от которой при сложении откладывается вектор. Разность векторов а и b можно найти по формуле Где - вектор, противоположный вектору.
«Египетские пирамиды» - Почему Египетские пирамиды называют немым трактатом по геометрии? Гипотеза. Пирамида Мейдум. Изобразите правильную пирамиду РАВСМ. Проведите высоту РО. Исследования. Египетские пирамиды являются правильными. МОУ СОШ с.Становое. 2008 год. Что означает владение математикой?
«Многогранники вокруг нас» - Как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: Многогранники в архитектуре. Общая высота маяка составляла 117 метров. Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе». Геологические находки. Александрийский маяк. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Простейшее животное. Высотки. Многогранник.
«Пирамида 10 класс» - Содержание. Боковое ребро. Р. А. МБОУ «СОШ№22 с углубленным изучением английского языка» г.Нижнекамска РТ. 2. А3. Вершина пирамиды. подготовила учитель математики первой категории Идиятуллина А.М. Высота. B. Урок математики в 10 классе по теме «Пирамида».
ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
§ 114. ПИРАМИДА.
1. Определения.
Пирамидой называется геометрическое тело, ограниченное многоугольником, называемым основанием пирамиды, и треугольниками с общей вершиной, которые называются боковыми гранями.
Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на её основание (черт. 426).
Пирамида, у которой основанием служит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания, называется правильной. Боковые грани правильной пирамиды - равные между собой равнобедренные треугольники.
Выcота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины на сторону основания, называется апофемой пирамиды.
На чертежах 427, 428, 429 даны изображения и развёртки правильных пирамид: треугольной, четырёхугольной и шестиугольной. На чертеже 430 изображены египетские пирамиды.
Упражнения.
Сделать развёртки правильных пирамид, изображённых на чертежах 427, 428, 429, и изготовить из них модели пирамид.
2. Площадь поверхности пирамиды.
Чтобы определить площадь боковой поверхности пирамиды, надо найти сумму площадей всех её боковых граней.
Если к площади боковой поверхности пирамиды прибавить площадь её основания, получится площадь полной поверхности пирамиды.
Для краткости говорят: боковая поверхность пирамиды и полная поверхность пирамиды, опуская слово «площадь».
Упражнения.
1. В основании правильной пирамиды - треугольник со стороной в 12 см. Апофема пирамиды - 20 см.
Вычислить:
а) площадь основания,
б) боковую поверхность,
в) полную поверхность этой пирамиды.
2. Боковые грани правильной треугольной пирамиды - равносторонние треугольники. Сторона основания равна а см. Вычислить боковую и полную поверхность этой пирамиды (черт. 431).
3. Решить вторично эту задачу, расположив грани пирамиды в виде параллелограмма (черт. 432).
3. Объём пирамиды.
В старших классах средней школы доказывается, что объём пирамиды составляет 1 / 3 объёма призмы, имеющей одинаковое основание с пирамидой и одну и ту же высоту (черт. 433).
Следовательно, объём пирамиды вычисляется по формуле:
где V-объём пирамиды, S - площадь основания, H - высота пирамиды.
Для иллюстрации этой формулы рекомендуется сделать из картона прямую четырёхугольную призму и четырёхугольную пирамиду, имеющие равные основания и равные высоты. Если эту пирамиду заполнить, например, песком и затем пересыпать этот песок в сделанную призму, то песок заполнит только 1 / 3 вместимости призмы. Чтобы заполнить призму песком, необходимо трижды пересыпать в неё песок из заполненной пирамиды (черт. 434).
Упражнения.
По указанной выше формуле решить ряд задач по данным, помещённым в нижеследующей таблице.
Определение 1 . Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.
Определение 2 . Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Правильная усеченная пирамида
Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.
Свойства правильной пирамиды
- боковые ребра равны
- апофемы равны
- боковые грани равны
- все боковые грани являются равные равнобедренными треугольниками
- в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно, где n - количество сторон многоугольника основания
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Правильная пирамида
Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" .
Задача
Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.
Решение .
Поскольку пирамида правильная, учтем следующее:
- Высота пирамиды проецируется на центр основания
- Центр основания правильной пирамиды по условию задачи - равносторонний треугольник
- Центр равностороннего треугольника является одновременно центром вписанной и описанной окружности
- Высота пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол
Объем пирамиды можно найти по формуле:
V = 1/3 Sh
Поскольку апофема правильной пирамиды образует вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, для нахождения высоты используем теорему синусов. Кроме того, примем во внимание:
- Первый катет рассматриваемого прямоугольного треугольника является высотой, второй катет - радиусом вписанной окружности (в правильном треугольнике центр одновременно является центром вписанной и описанной окружности), гипотенуза является апофемой пирамиды
- Третий угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам (сумма углов треугольника - 180 градусов, угол 60 градусов дан по условию, второй угол - прямой по свойствам пирамиды, третий 180-90-60 = 30)
- синус 30 градусов равен 1/2
- синус 60 градусов равен корню из трех пополам
- синус 90 градусов равен 1
Согласно теореме синусов:
4 / sin(90) = h / sin (60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
откуда