Продолжаем рассматривать задачи входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, где в условии дан и требуется найти расстояние между двумя данными точками либо угол.
В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение правильной пирамиды. Это пирамиды в основании которых лежит правильный многоугольник (в представленных задачах равносторонний треугольник или квадрат).
Требуется найти какой-либо элемент, площадь боковой поверхности, объём, высоту. Разумеется, необходимо знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу для нахождения объёма пирамиды.
В статье « » представлены все формулы, которые нужны для решения. Итак, задачи:
SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите боковое ребро SC .
В данном случае в основании лежит квадрат. Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отметим, что в правильной пирамиде высота опущенная из её вершины проходит через центр основания пирамиды. Таким образом, SO является высотой, а треугольник SOC прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:
Как извлекать корень из большого числа .
Ответ: 85
Решите самостоятельно:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC .
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO .
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC .
SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):
Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае:
Ответ: 168
Решите самостоятельно:
В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.
В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR .
В правильной треугольной пирамиде SABC L - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB .
Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 6. Точка L - середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2.
а) Пусть O - центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AS и OL параллельны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Решение.
а) В основании правильной пирамиды лежит квадрат, то есть ABCD – квадрат. Диагонали в квадрате пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Точка L – середина SC по условию задачи. Отсюда следует, что OL – средняя линия треугольника SAC и, следовательно, и .
б)
Сначала найдем
длину бокового ребра AS. Учитывая пункт а) можно заключить, что
в задаче дано значение 
(см. рисунок). Рассмотрим равнобедренный треугольник
DLB (так как DL=LB), в котором
точка O лежит по
середине BD, следовательно,
LO – медиана и
высота треугольника DLB, то есть и треугольник LOB – прямоугольный.
Тогда можно записать, что
.
В свою очередь OB равно половине BD и из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора, имеем:
.
В пункте а) было показано, что , то есть
9 марта 2012
Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек , входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды . И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины - настоящий ад.
Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же - тетраэдр ). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.
Для начала вспомним определение:
Правильная пирамида - это такая пирамида, у которой:
- В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
- Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.
В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат . Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.
Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются - просто числа будут другими.
Вершины четырехугольной пирамиды
Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S - вершина, основание ABCD - квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:
Вводим систему координат с началом в точке A :
- Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
- Ось OY - параллельно AD . Поскольку ABCD - квадрат, AB ⊥ AD ;
- Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .
Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH - высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:
- A = (0; 0; 0) - совпадает с началом координат;
- B = (1; 0; 0) - шаг на 1 по оси OX от начала координат;
- C = (1; 1; 0) - шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
- D = (0; 1; 0) - шаг только по оси OY .
- H = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина отрезка AC .
Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .
Рассмотрим треугольники ASH и ABH :
- AS = AB = 1 по условию;
- Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH - высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
- Сторона AH - общая.
Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD - диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:
Итого координаты точки S :
В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:
Что делать, когда ребра разные
А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :
Треугольник AHS - прямоугольный , причем гипотенуза AS - это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора . Это и будет координата z для точки S .
Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S .
Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:
- Проекция точки S на плоскость OXY - это точка H ;
- Одновременно точка H - центр квадрата ABCD , все стороны которого равны 1.
Осталось найти координату точки S . Рассмотрим треугольник AHS . Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH - половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:
Теорема Пифагора для треугольника AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Имеем:
Итак, координаты точки S :
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, SD=26, AC=20. Найдите длину отрезка SO.
Решение задачи
В видео уроке представлена вычислительная задача из ЕГЭ (В13) на нахождение бокового ребра четырёхугольной пирамиды. При решении задачи вспоминается, что высотой в правильной четырёхугольной пирамиде является отрезок, который соединяет вершину данной пирамиды с центром основания. Используется понятие правильной четырёхугольной пирамиды. Это пирамида, у которой основанием является квадрат, а боковые рёбра равны. Делается вывод, что точка в центре квадрата, разделяет диагональ на две равные части. Рассматривается прямоугольный треугольник. Для нахождения катета в прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Выражается искомая величина.
Решение данной задачи предназначен для учащихся 10 класса при изучении темы: «Правильная пирамида» (Понятие правильной пирамиды. Решение задач). Обучающий видео урок будет полезным учащимся 11 класса при подготовке к ЕГЭ.