В приведенных примерах оси проходят через центр инерции тела. Момент инерции относительно других осей вращения определяется при помощи теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и величины произведения массы тела на квадрат расстояния между ними. где m масса тела, а - расстояние от центра инерции тела до выбранной оси вращения, т.е.
, где m - масса тела, а - расстояние от центра
инерции тела до выбранной оси вращения.
Покажем
на одном примере применение теоремы
Штейнера. Вычислим момент инерции
тонкого стержня относительно оси,
проходящей через его край перпендикулярно
стержню. Прямое вычисление сводится к
тому же интегралу (*),но взятому в других пределах:
Расстояние до оси, проходящей через центр масс, равно а = ℓ/2. По теореме Штейнера получаем тот же результат.
.
§22.Основной закон динамики вращательного движения.
Формулировка закона: Скорость изменения момента импульса относительно полюса равна главному моменту силы относительно того же полюса, т.е.
.
В
проекциях на оси координат:
.
Если
вращение тела происходит относительно
неподвижной оси, то основной закон
динамики вращательного движения примет
вид:
.
В данном случае момент импульса легко
выразить через угловую скорость и момент
инерции тела относительно рассматриваемой
оси:
.
Тогда основной закон динамики вращательного
движения примет вид:
.
Если тело не рассыпается и не деформируется,
то
,
вследствие чего
.
Если ко всему
,
то
и, оно равно:
.
Элементарная
работа, совершаемая моментом силы, при
вращательном движении относительно
неподвижной оси вычисляется по формуле:
(*). Полная работа
.
Если
,
то
.
На
основании формулы (*), получим выражение
для кинетической энергии вращательного
движения твёрдого тела относительно
неподвижной оси. Т.к.
,
то.
После интегрирования, получим окончательный
результат для кинетической энергии
вращательного движения относительно
неподвижной оси
.
§23.Закон сохранения момента импульса.
Как уже указывалось, законы сохранения энергии и импульса связаны с однородностью времени и пространства, соответственно. Но у трехмерного пространства, в отличие от одномерного времени, имеется еще одна симметрия. Пространство само по себе изотропно, в нем нет выделенных направлений. С этой симметрией связанзакон сохранения момента импульса. Эта связь проявляется в том, что момент количества движения, является одной из основных величин, описывающих вращательное движение.
По
определению момент импульса отдельной
частицы равен
.
Направление вектора L определяется по правилу буравчика (штопора), а его величина равна L = r p sin , где
угол между направлениями радиус-вектора частицы и ее импульса. Величина ℓ = r sin равна расстоянию от начала координатО до прямой, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта величина называетсяплечом импульса. ВекторL зависит от выбора начала координат, поэтому говоря о нем, обычно указывают: "момент импульса относительно точкиО ".
Рассмотрим производную по времени от момента импульса:
.
Первое
слагаемое равно нулю, т.к.
. Во втором слагаемом, согласно второму
закону Ньютона, производную по импульсу
можно заменить на действующую на тело
силу. Векторное произведение радиус-вектора
на силу называетсямоментом силы
относительно точкиО:
.
Направление момента силы определяется тем же правилом буравчика. Его величина М = r F sin , где
угол между радиус-вектором и силой. Аналогично тому, как это было сделано выше, определяется и плечо силы
ℓ =
r
sin
- расстояние от точкиО
до
линии действия силы. В итоге получаем
уравнение движения для момента импульса
частицы:
.
По форме уравнение аналогично второму
закону Ньютона: вместо импульса
частицы стоит момент импульса, а вместо
силы -момент силы. Если
,то
,
т.е. момент импульса постоянен в отсутствие
внешних моментов сил.
Формулировка закона: Момент импульса замкнутой системы относительно полюса не изменяется с течением времени.
В
частном случае вращения относительно
неподвижной оси, имеем:
,
где
начальные
момент инерции и угловая скорость тела
относительно рассматриваемой оси, а
конечные
момент инерции и угловая скорость тела
относительно рассматриваемой оси.
Закон сохранения полной механической энергии с учётом вращательного движения: полная механическая энергия консервативной системы постоянна: .
Пример: Найти скорость системы при прохождении расстояния h.
Дано: m, M, h. Найти: V - ?
Теорема Штейнера - формулировка
Согласно теореме Штейнера, установлено, что момент инерции тела при расчете относительно произвольно оси соответствует сумме момента инерции тела относительно такой оси, которая проходит через центр масс и является параллельной данной оси, а также плюс произведение квадрата расстояния между осями и массы тела, по следующей формуле (1):
Урок: Столкновение тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары
Введение
Для изучения строения вещества, так или иначе, используются различные столкновения. Например, для того, чтобы рассмотреть какой-то предмет, его облучают светом, или потоком электронов, и по рассеянию этого света, или потока электронов получают фотографию, или рентгеновский снимок, или изображение данного предмета в каком-либо физическом приборе. Таким образом, столкновение частиц – это то, что окружает нас и в быту, и в науке, и в технике, и в природе.
Например, при одном столкновении ядер свинца в детекторе ALICE Большого Адронного Коллайдера рождаются десятки тысяч частиц, по движению и распределению которых можно узнать о самых глубинных свойствах вещества. Рассмотрение процессов столкновения с помощью законов сохранения, о которых мы говорим, позволяет получать результаты, независимо от того, что происходит в момент столкновения. Мы не знаем, что происходит в момент столкновения двух ядер свинца, но мы знаем, какова будет энергия и импульс частиц, которые разлетаются после этих столкновений.
Сегодня мы рассмотрим взаимодействие тел в процессе столкновения, иными словами движение невзаимодействующих тел, которые меняют свое состояние только при соприкосновении, которое мы называем столкновением, или ударом.
При столкновении тел, в общем случае, кинетическая энергия сталкивающихся тел не обязана быть равной кинетической энергии разлетающихся тел. Действительно, при столкновении тела взаимодействуют друг с другом, воздействуя друг на друга и совершая работу. Эта работа и может привести к изменению кинетической энергии каждого из тел. Кроме того, работа, которую совершает первое тело над вторым, может оказаться неравной работе, которую второе тело совершает над первым. Это может привести к тому, что механическая энергия может перейти в тепло, электромагнитное излучение, или даже породить новые частицы.
Столкновения, при которых не сохраняется кинетическая энергия сталкивающихся тел, называют неупругими.
Среди всех возможных неупругих столкновений, есть один исключительный случай, когда сталкивающиеся тела в результате столкновения слипаются и дальше движутся как одно целое. Такой неупругий удар называют абсолютно неупругим (рис. 1) .
А) 
б)
Рис. 1. Абсолютное неупругое столкновение
Рассмотрим пример абсолютно неупругого удара. Пусть пуля массой летела в горизонтальном направлении со скоростью и столкнулась с неподвижным ящиком с песком массой , подвешенным на нити. Пуля застряла в песке, и дальше ящик с пулей пришел в движение. В процессе удара пули и ящика внешние силы, действующие на эту систему, – это сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная вертикально вверх, если время удара пули было настолько мало, что нить не успела отклониться. Таким образом, можно считать, что импульс сил, действующих на тело во время удара, был равен нулю, что означает, что справедлив закон сохранения импульса:
.
Условие, что пуля застряла в ящике, и есть признак абсолютно неупругого удара. Проверим, что произошло с кинетической энергией в результате этого удара. Начальная кинетическая энергия пули:
конечная кинетическая энергия пули и ящика:
простая алгебра показывает нам, что в процессе удара кинетическая энергия изменилась:
Итак, начальная кинетическая энергия пули меньше конечной на некоторую положительную величину. Как же это произошло? В процессе удара между песком и пулей действовали силы сопротивления. Разность кинетических энергий пули до и после столкновения как раз и равны работе сил сопротивления. Другими словами, кинетическая энергия пули пошла на нагрев пули и песка.
Если в результате столкновения двух тел сохраняется кинетическая энергия, такой удар называется абсолютно упругим.
Примером абсолютно упругих ударов могут быть столкновения бильярдных шаров. Мы рассмотрим простейший случай такого столкновения – центральное столкновение.
Центральным называется столкновение, при котором скорость одного шара проходит через центр масс другого шара. (Рис. 2.)
Рис. 2. Центральный удар шаров
Пускай один шар покоится, а второй налетает на него с какой-то скоростью , которая, согласно нашему определению, проходит через центр второго шара. Если столкновение центральное и упругое, то при столкновении возникают силы упругости, действующие вдоль линии столкновения. Это приводит к изменению горизонтальной составляющей импульса первого шара, и к возникновению горизонтальной составляющей импульса второго шара. После удара второй шар получит импульс, направленный направо, а первый шар может двигаться как направо, так и налево – это будет зависеть от соотношения между массами шаров. В общем случае, рассмотрим ситуацию, когда массы шаров различны.
Закон сохранения импульса выполняется при любом столкновении шаров:
В случае абсолютно упругого удара, также выполняется закон сохранения энергии:
Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными величинами. Решив ее, мы получим ответ.
Скорость первого шара после удара равна
,
заметим, что эта скорость может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от того, масса какого из шаров больше. Кроме того, можно выделить случай, когда шары одинаковые. В этом случае после удара первый шар остановится. Скорость второго шара, как мы ранее отметили, получилась положительной при любом соотношении масс шаров:
Наконец, рассмотрим случай нецентрального удара в упрощенном виде – когда массы шаров равны. Тогда, из закона сохранения импульса мы можем записать:
А из того, что кинетическая энергия сохраняется:
Нецентральным будет удар, при котором скорость налетающего шара не будет проходить через центр неподвижного шара (рис. 3). Из закона сохранения импульса, видно, что скорости шаров составят параллелограмм. А из того, что сохраняется кинетическая энергия, видно, что это будет не параллелограмм, а квадрат.
Рис. 3. Нецентральный удар при одинаковых массах
Таким образом, при абсолютно упругом нецентральном ударе, когда массы шаров равны, они всегда разлетаются под прямым углом друг к другу.
Модель представляет собой демонстрацию, иллюстрирующую закон сохранения импульса. Рассматриваются упругие и неупругие соударения шаров.
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой.
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой .
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона .
Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона Если эти тела взаимодействуют в течение времени t , то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны:
Применим к этим телам второй закон Ньютона:
Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, то есть векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.
б) Закон сохранения энергии
Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.
В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Потенциальная энергия материальной точки – функция только ее (точки) координат, значит силы можно определить так: . – потенциальная энергия материальной точки. 
Помножим обе части на и получим 
. Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии
.
в) Потери механической энергии
Теорему Бернулли совместно с теоремой Эйлера, изложенной в 110, можно применить для вывода теоремы Борда (1733-1792)-Карно о потере механической энергии потока жидкости при внезапном его расширении (рис. 328). Теорема эта служит аналогом теоремы Кар-
Потерю механической энергии в прямом скачке уплотнения можно характеризовать отношением полного давления за скачком к полному давлению Poi перед ним. Формулы, определяющие это отношение, имеют вид
Это уравнение свидетельствует о том, что при движении жидкой среды ее внутренняя энергия изменяется как вследствие внешнего притока тепла, так и вследствие диссипации механической энергии. Процесс диссипации, как показывает выражение (5-84), связан с вязкостью р и для идеальной жидкости (р = 0) не имеет места. Поскольку этот процесс необратим, диссипирован-ную энергию Эд можно рассматривать как величину потери механической энергии.
Так как в любой машине потери механической энергии неизбежны, то мощность, затрачиваемая двигателем на привод насоса (потребляемая мощность Л), всегда больше полезной мощности N - Эти потери оцениваются общим КПД насоса
При выводе уравнений (136) вязкость жидкости и связанная с ней потеря механической энергии при движении частицы жидкости не учитывались.
При движении жидкости в трубе происходит потеря механической энергии, следовательно, должны быть области, в которых влияние вязкости существенно. Вследствие прилипания жидкости к стенкам трубы мгновенная и средняя скорости жидкости на стенках равны нулю. Поэтому в непосредственной близости у стенок трубы не может быть интенсивного перемешивания жидкости. Это служит основанием для вывода, что непосредственно около стенок резкое изменение скорости должно определяться свойством вязкости жидкости и что около стенок должен существовать слой с ламинарным движением. Опытные данные хорошо подтверждают этот вывод.
Работа сил вязкости, произведенная между двумя сечениями потока и отнесенная к единице массы, веса или объема движущейся жидкости, называется потерями механической энергии, или гидравлическими потерями. Если эта работа отнесена к единице веса, то гидравлические потери называются потерями напора Л.
Модель невязкой жидкости не может объяснить происхождение потерь механической энергии при движении жидкости по трубопроводам и вообще эффекта сопротивления. Для описания этих явлений используется более сложная модель вязкой жидкости. Простейшей и наиболее употребительной моделью вязкой жидкости является ньютоновская жидкость.
Работа сил давления р расходуется на преодоление сил сопротивления, что и обусловливает потери механической энергии. Эти потери прямо пропорциональны длине пути движения, поэтому их называют потерями удельной энергии по длине. Если потери выражены в единицах давления, их называют потерями давления по длине и обозначают pi. Если потери энергии выражены в линейных единицах EJg), их называют потерями напора по длине и обозначают /г.
Получение регулярных потоков с малыми потерями при торможении в диффузорах - задача гораздо более трудная, чем получение ускоренных потоков с малыми потерями в соплах. В диффузорах идеальные обратимые движения нарушаются за счет тех же причин и свойств среды, что и в соплах, однако при торможении потоков влияние перечисленных выше факторов проявляется в более сильной степени. В диффузорах из-за движения против возрастающего давления условия отрыва потока от стенок более благоприятны, чем в соплах, в которых
а) Трение −− один из видов взаимодействия тел. Оно возникает при соприкосновении двух тел. Трение, как и все другие виды взаимодействия, подчиняется третьему закону Ньютона: если на одно из тел действует сила трения, то такая же по модулю, но направленная в противоположную сторону сила действует и на второе тело. Силы трения, как и упругие силы, имеют электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел или наличия неровностей и шероховатостей.
Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки. Они всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям.
Сухое трение, возникающее при относительном покое тел, называют трением покоя . Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону.
Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения (Fтр)max(Fтр)max. Если внешняя сила больше (Fтр)max(Fтр)max, возникает относительное проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения . Она всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения и, вообще говоря, зависит от относительной скорости тел. Однако во многих случаях приближенно силу трения скольжения можно считать независящей от величины относительной скорости тел и равной максимальной силе трения покоя. Эта модель силы сухого трения применяется при решении многих простых физических задач.
б)Сила трения скольжения - сила, возникающая между соприкасающимися телами при их относительном движении.
Опытным путём установлено, что сила трения зависит от силы давления тел друг на друга (силы реакции опоры), от материалов трущихся поверхностей, от скорости относительного движения. Так как никакое тело не является абсолютно ровным, сила трения не зависит от площади соприкосновения, и истинная площадь соприкосновения гораздо меньше наблюдаемой; кроме того, увеличивая площадь, мы уменьшаем удельное давление тел друг на друга.
Величина, характеризующая трущиеся поверхности, называется коэффициентом трения , и обозначается чаще всего латинской буквой {\displaystyle k} или греческой буквой {\displaystyle \mu }. Она зависит от природы и качества обработки трущихся поверхностей. Кроме того, коэффициент трения зависит от скорости. Впрочем, чаще всего эта зависимость выражена слабо, и если большая точность измерений не требуется, то {\displaystyle k} можно считать постоянным. В первом приближении величина силы трения скольжения может быть рассчитана по формуле:
{\displaystyle F=kN}
{\displaystyle k} - коэффициент трения скольжения,
{\displaystyle N} - сила нормальной реакции опоры.
в) Коэффициент трения устанавливает пропорциональность между силой трения и силой нормального давления, прижимающей тело к опоре. Коэффициент трения является совокупной характеристикой пары материалов которые соприкасаются и не зависит от площади соприкосновения тел.
Виды трения
Трение покоя проявляется в том случае, если тело находившееся в состоянии покоя, приводится в движение. Коэффициент трения покоя обозначается μ 0 .
Трение скольжения проявляется при наличии движения тела, и оно значительно меньше трения покоя.
Сила трения качения зависит от радиуса катящегося предмета. В типичных случаях (при расчетах трения качения колес поезда или автомобиля), когда радиус колеса известен и постоянен, его учитывают непосредственно в коэффициенте трения качения μ кач .
Коэффициент трения покоя
тело начинает двигаться
(коэффициент трения покоя μ 0
)
А) 5.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела
Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)
Вектор иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы и и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).
Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) системы относительно точки О:
Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому . Сучетом связи линейных и угловых величин
и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .
Таким образом.
Момент импульса тела относительно оси вращения
| (5.9) |
Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.
« 5.5. Второй закон Ньютона для вращательного движения и его анализ
5.7. Основное уравнение динамики вращательного движения »
Раздел: Динамика вращательного движения твердого тела, Физические основы механики
Б) Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Моментом силы относительно неподвижной точкиO называется псевдовекторная величина равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу
Модуль момента силы:
- псевдовектор, его направление совпадает с направлением плоскости движения правого винта при его вращении от к . Направление момента силы
можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в котоой лежат векторы и .
Где кратчайшее расстояния между линией действия силы и точкой О называется плечом силы.
Моментом силы относительно неподвижной оси
Z
называется скалярная величина равнаяпроекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z. Если ось Z
перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. совпадает с направлением вектора , то момент силы 
представляется в виде вектора совпадающего с осью.
Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил,называется свободной осью тела.
Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями:они называются главными осями инерции тела.
Найдем выражение для работы при вращательном движении тела. Пусть на массу m твердого тела действует внешняя сила . Тогда работа этой силы за время dt равна
Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, воспользовавшись правилом
Работа при вращении тела равна произведению момента действия силы на угол поворота . Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
Следовательно,
- уравнение динамики вращательного движения
Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то выполняется векторное равенство
І - главный момент инерции (момент инерции относительно главной оси)
Крутильные колебания
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ - механич. колебания, при к-рых упругие элементы испытывают деформации сдвига. Имеют место в разл. машинах с вращающимися валами: в поршневых двигателях, турбинах, генераторах, редукторах, трансмиссиях транспортных машин.
К. к. возникают в результате неравномерности периодич. момента как движущих сил, так и сил сопротивления. Неравномерность крутящего момента вызывает неравномерность изменения угловой скорости вала, т. е. то ускорение, то замедление вращения. Обычно вал представляет собой чередование участков с малой массой и упругой податливостью с более жёсткими участками, на к-рых закреплены значит. массы. В каждом сечении вала будет своя степень неравномерности вращения, поскольку в одинаковый промежуток времени массы проходят разные углы и, следовательно, движутся с разными скоростями, что создаёт переменное кручение вала и динамич. знакопеременные напряжения, гл. обр. касательные.
При совпадении частот собств. колебаний системы с частотой периодич. крутящего момента движущих сил и сил сопротивления возникают резонансные колебания. В этом случае повышается уровень динамич. переменных напряжений; возрастает акустич. шум, излучаемый работающей машиной. Динамич. знакопеременные напряжения при неправильно выбранных (заниженных) размерах вала, недостаточной прочности его материала и возникновении резонанса могут превысить предел выносливости, что приведёт к усталости материала вала и его разрушению.
При расчёте К. к. валов машин часто пользуются расчётной схемой с двумя дисками, соединёнными упругим стержнем, работающим на кручение. В этом случае собств. частота
где I 1 - момент инерции 1-го диска, I 2 - момент инерции 2-го диска, С -крутильная жёсткость стержня, Для круглого стержня диаметром d и длиной l С где G - модуль сдвига. Более сложные расчётные схемы содержат большее число дисков, соединённых стержнями и образующих последоват. цепи, а иногда - разветвлённые и кольцевые цепи. Расчёт собств. частот форм и вынужденных К. к. по этим расчётным схемам производится на ЭВМ.
Др. примером К. к. является крутильный маятник, к-рый представляет собой диск, закреплённый на одном конце стержня, работающего на кручение и жёстко заделанного др. концом. Собств. частота такого маятника 
где I
- момент инерции диска. Приборы с использованием крутильного маятника применяют для определения модуля упругости при сдвиге, коэф. внутр. трения твёрдых материалов при сдвиге, коэф. вязкости жидкости.
К. к. возникают в разнообразных упругих системах; в нек-рых случаях возможны совместные колебания с разл. видами деформации элементов системы, напр. изгибно-крутильные колебания. Так, при определ. условиях полёта под действием аэродинамич. сил иногда возникают самовозбуждающиеся изгибно-крутильные колебания крыла самолёта (т. н. флаттер), к-рые могут вызывать разрушение крыла.
Лит.: Ден-Гартог Д. П., Механические колебания, пер. с англ., М., 1960; Маслов Г. С., Расчёты колебаний валов. Справочник, 2 изд., М., 1980; Вибрации в технике. Справочник, под ред. В. В. Болотина, т. 1, М., 1978; Силовые передачи транспортных машин, Л., 1982. А. В. Синев
Амплитудаколебаний (лат. amplitude - величина) - это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется шарик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины - метрах, сантиметрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как максимальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний - это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т ) - это время, за которое совершается одно полное колебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четырем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени - секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющейся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармонических колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяющихся величин, например, для затухающих колебаний .
Частота колебаний.
Частота колебаний - это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота - это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
а) Колебания. Затухающие и незатухающие
Повторяющиеся процессы определяют нашу жизнь. Зима сменяет лето, день сменяет ночь, вдох сменяет выдох. Бежит время, и его мы тоже отмеряем повторяющимися процессами. Повторяющиеся процессы и есть колебания .
Колебаниями называются повторяющиеся во времени изменения физической величины.
Если эти изменения повторяются через определенный интервал времени, то колебания называются «периодическими» . Наименьший интервал времени T, через который повторяются значения физической величины A(t) , называется периодом ее колебаний A(t + Т) = A(t). Число колебаний в единицу времени v называется частотой колебаний . Частота колебаний и период связаны соотношением v = 1 / Т. Колебания системы, которые совершаются в отсутствие внешнего воздействия, называются свободными . Для возбуждения колебаний необходимо внешнее воздействие. Системе извне сообщается запас энергии, за счет которой и происходят колебания. Это внешнее воздействие выводит систему из положения равновесия, и в дальнейшем она совершает движение около положения равновесия, уходя и возвращаясь к нему, по инерции проскакивая его. И так повторяется раз за разом. Движение в данном контексте означает изменение состояния. В механических системах это может быть перемещение в пространстве или изменение давления, в электрических - изменение величины заряда или напряженности поля. Существует бесконечное множество различных движений и соответствующих им колебательных процессов.
Любую систему, совершающую колебательное движение, именуют «осциллятор» (в пер. с лат. oscillo - «колеблюсь»), соответственно и слово «колебания» часто заменяют термином «осцилляции».
Если амплитуда колебаний не меняется во времени, гармонические колебания называются незатухающими .
Дифференциальное уравнение, описывающее гармонические незатухающие колебания , имеет вид:
d 2 A(t) / dt 2 + ω 0 2 A(t) = 0.
Ȧ + ω 0 2 A = 0.
Если амплитуда уменьшается с течением времени, колебания называются затухающими .
Часто встречающийся пример затухающих колебаний - колебания, в которых амплитуда уменьшается по закону
A 0 (t) = a 0 e -βt .
Коэффициент затухания β > 0.
В системе СИ время измеряется в с, а частота соответственно в обратных секундах (с -1). Эта единица измерения имеет специальное название «герц» , 1 Гц = 1 с -1 . Немецкий физик Генрих Рудольф Гер
Момент инерции определяется как , если распределение массы равномерно, то заменяется на – элементарный объём, – плотность вещества. .
Теорема Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тала на квадрат расстояния а между осями: .
Момент инерции:
1) однородного тонкого стержня массы , длины относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню:
2) однородного тонкого стержня массы , длины относительно оси, проходящей через один из концов стержня:
3) тонкого кольца массы , радиуса R относительно оси симметрии, перпендикулярной плоскости кольца:
4) однородного диска (цилиндра) массы , радиуса R, высоты h относительно оси симметрии, перпендикулярной основанию: .
21. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
При вращении тела с угловой скоростью все его элементарные массы движутся со скоростью они обладают кинетической энергией , – для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. При вращении на материальные точки массы , образующие твёрдое тело, действуют как внешние, так и внутренние силы. За промежуток времени испытывает перемещение ,при этом силы совершают работу . Работа всех сил будет равна . При сложении с учётом 3-его закона Ньютона сумма работ внутренних сил = 0. Следовательно, . В соответствии с теоремой о кинетической энергии, приращение кинетической энергии = работе всех сил, действующих на тело .
Вычислим кинетическую энергию твёрдого тела, совершающего произвольное плоское движение. все точки движутся в параллельных плоскостях. Вращение совершается вокруг оси, перпендикулярно плоскостям, и движется вместе с некоторой точкой О. Скорость материальной точки массы представим в виде . Тело перемещается поступательно, следовательно, , – выражение кинетической энергии тела, совершающего произвольное плоское движение. Если в качестве точки О выбрать центр масс, тогда и .
Гироскопы.
Гироскоп (или волчок) – массивное твёрдое тело, симметричное некоторой оси, совершающее вращения вокруг неё с большой угловой скоростью. В силу симметрии гироскопа выполняется . При попытке повернуть вращающийся гироскоп вокруг некоторой оси наблюдается гироскопический эффект – под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой О’O’, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О’’О’’ (ось ОО и прямая О’O’ предполагаются лежащими в плоскости чертежа, а прямая О’’О’’ и силы f1 и f2 – перпендикулярными к этой плоскости). Объяснение эффекта основано на использование уравнения момента . Момент импульса поворачивается вокруг оси ОХ в силу соотношения . Вместе с вокруг ОХ поворачивается и гироскоп. Вследствие гироскопического эффекта на подшипнике, на котором вращается гироскоп, начинают действовать гироскопические силы . Под действием гироскопических сил ось гироскопа стремиться занять положение, параллельное угловой скорости вращения Земли.
Описанное поведение гироскопа положено в основу гироскопического компаса . Преимущества гироскопа: указывает точное направление на географический северный полюс, его работа не подвержена воздействию металлических предметов.
Прецессия гироскопа
– особый вид движения гироскопа имеет место в том случае, если момент действующих на гироскоп внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Рассмотрим движение гироскопа с одной закреплённой точкой на оси под действием силы тяжести , – расстояние от закреплённой точки до центра инерции гироскопа, – угол между гироскопом и вертикалью. направлен момент перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа. Уравнение движения: приращение импульса = Следовательно, изменяет своё положение в пространстве таким образом, что его конец описывает окружность в горизонтальной плоскости. За промежуток времени гироскоп повернулся на угол 
ось гироскопа описывает конус вокруг вертикальной оси с угловой скоростью – угловая скорость прецессии.
Уважаемые посетители сайта , предлагает Вашему вниманию работу по математике на тему , где представлены материалы теоретического и практического характера, рекомендации по решению задач с использованием указанной теоремы.
Теорема Штейнера , или, как именуется она в других источниках, теорема Гюйгенса-Штейнера, получила свое название в честь ее автора – Якоба Штейнера (швейцарского математика), а также благодаря дополнениям – Христиана Гюйгенса (голландского физика, астронома и математика). Рассмотрим кратко их вклад в и других наук.
Теорема Штейнера — об авторах теоремы
Якоб Штейнер
(1796—1863)
Якоб Штейнер (1796—1863) — один из , который считается основателем, как синтетической геометрии кривых линий, так и поверхностей второго и высших порядков.
Что касается Христиана Гюйгенса, то его вклад в различные науки тоже не мал. Он значительно усовершенствовал (до 92-кратного увеличения изображения), открыл кольца Сатурна и спутник его — Титан, а в 1673 году в своем довольно содержательном труде «Маятниковые часы», представил работы по кинематике ускоренного .
Теорема Штейнера — формулировка
Согласно теореме Штейнера, установлено, что момент инерции тела при расчете относительно произвольно оси соответствует сумме момента инерции тела относительно такой оси, которая проходит через центр масс и является параллельной данной оси, а также плюс произведение квадрата расстояния между осями и массы тела, по следующей формуле (1):
J= J 0 + md 2 (1)
Где в формуле принимаем соответственно величины: d
– расстояние между осями ОО 1 ║О’O 1 ’;
J 0
– момент инерции тела, рассчитанный относительно оси, что проходит сквозь центр масс и будет определяться соотношением (2):
J 0 = J d = mR 2 /2 (2)
Так как d = R, тогда и момент инерции относительно оси, которая проходит через указанную на рисунке точку А будет определяется формулой (3):
J = mR 2 + mR 2 /2 = 3 / 2 mR 2 (3)
Более подробная информация о теореме представлена в реферате и презентации, которые можно скачать по ссылкам перед статьей.
Теорема Штейнера. Момент инерции – содержание работы
Введение
Часть 1. Динамика вращения твердого тела
1.1. Моменты инерции шара и диска
1.2. Теорема Гюйгенса-Штейнера
1.3. Динамика вращательного движения твердого тела — теоретические основы
Момент импульса
Момент силы
Момент инерции относительно оси вращения
Главный закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
При математическом описании вращательного движения важно знать момент инерции системы относительно оси. В общем случае процедура нахождения этой величины предполагает реализацию процесса интегрирования. Облегчить вычисления позволяет так называемая теорема Штейнера. Рассмотрим ее подробнее в статье.
Что такое момент инерции?
До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:
Здесь величина M представляет суммарный момент сил, который придает ускорение α всей системе. Коэффициент пропорциональности между ними - I, называется моментом инерции. Эта физическая величина рассчитывается по следующей общей формуле:
Здесь r - это дистанция между элементом с массой dm и осью вращения. Это выражение означает, что необходимо найти сумму произведений квадратов расстояний r 2 на элементарную массу dm. То есть момент инерции не является чистой характеристикой тела, что его отличает от линейной инерции. Он зависит от распределения массы по всему объекту, который вращается, а также от расстояния до оси и от ориентации тела относительно нее. Например, стержень будет иметь разный I, если его вращать относительно центра масс и относительно конца.
Момент инерции и теорема Штейнера
Известный швейцарский математик, Якоб Штейнер, доказал теорему о параллельных осях и моменте инерции, которая теперь носит его фамилию. Эта теорема постулирует, что момент инерции для абсолютно любого твердого тела произвольной геометрии относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, которая пересекает центр масс тела и параллельна первой, и произведения массы тела на квадрат дистанции между этими осями. Математически эта формулировка записывается так:
I Z и I O - моменты инерции относительно оси Z и параллельной ей оси O, которая проходит через центр масс тела, l - расстояние между прямыми Z и O.
Теорема позволяет, зная величину I O , рассчитать любой другой момент I Z относительно оси, которая параллельна O.
Доказательство теоремы
Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции I O которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x 2 + y 2), тогда получаем интеграл:
I O = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ m ((x 2 +y 2) *dm)
Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:
I Z = ∫ m (((x+l) 2 +y 2)*dm)
Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:
I Z = ∫ m ((x 2 +l 2 +2*x*l+y 2)*dm) = ∫ m ((x 2 +y 2)*dm) + 2*l*∫ m (x*dm) + l 2 *∫ m dm
Первое из этих слагаемых является величиной I O , третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l 2 *m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.
Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.
Проверка формулы Штейнера на примере стержня
Приведем простой пример, на котором продемонстрируем, как пользоваться рассмотренной теоремой.
Известно, что для стержня длиной L и массой m момент инерции I O (ось проходит через центр масс) равен m*L 2 /12, а момент I Z (ось проходит через конец стержня) равен m*L 2 /3. Проверим эти данные, воспользовавшись теоремой Штейнера. Поскольку расстояние между двумя осями равно L/2, тогда получаем момент I Z:
I Z = I O + m*(L/2) 2 = m*L 2 /12 + m*L 2 /4 = 4*m*L 2 /12 = m*L 2 /3
То есть мы проверили формулу Штейнера и получили такое же значение для I Z , что и в источнике.
Аналогичные вычисления можно проводить и для других тел (цилиндра, шара, диска), получая при этом необходимые моменты инерции, и не производя интегрирования.
Момент инерции и перпендикулярные оси
Рассмотренная теорема касается параллельных осей. Для полноты информации полезно также привести теорему для перпендикулярных осей. Она формулируется так: для плоского объекта произвольной формы момент инерции относительно перпендикулярной ему оси будет равен сумме двух моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных и лежащих в плоскости объекта осей, при этом все три оси должны проходить через одну точку. Математически это записывается так:
Здесь z, x, y - три взаимно перпендикулярные оси вращения.
Существенное отличие этой теоремы от теоремы Штейнера заключается в том, что она применима только к плоским (двумерным) твердым объектам. Тем не менее на практике ее достаточно широко используют, мысленно разрезая тело на отдельные слои, а затем, складывая полученные моменты инерции.