Что называется многоугольником? Виды многоугольников. МНОГОУГОЛЬНИК, плоская геометрическая фигура с тремя или более сторонами, пересекающимися в трех или более точках (вершинах). Определение. Многоугольник - это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев). Треугольник безусловно является многоугольником. А многоугольник — это фигура, у которой от пяти углов и больше.
Определение. Четырехугольник - это плоская геометрическая фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих их отрезков (сторон четырехугольника).
Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Они называются в соответствии с числом сторон или вершин: ТРЕУГОЛЬНИК (трехсторонний); ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК (четырехсторонний); ПЯТИУГОЛЬНИК (пятисторонний) и т.д. В элементарной геометрии М. называется фигура,ограниченная прямыми линиями, называемыми сторонами. Точки, в которыхстороны пересекаются, называются вершинами. У многоугольника углов больше, чем три. Так принято или условлено.
Треугольник — он и есть треугольник. И четырехугольник тоже не многоугольник, да и четырехугольником не зовется — это либо квадрат, либо ромб, либо трапеция. Тот факт многоугольник с тремя сторонами и тремя углами имеет собственное название «треугольник» не лишает его статуса многоугольника.
Смотреть что такое «МНОГОУГОЛЬНИК» в других словарях:
Мы узнаем, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной, которая в свою очередь бывает простой, замкнутой. Поговорим о том, что многоугольники бывают плоскими, правильными, выпуклыми. Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? А ведь знакомый нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.
Хотя конечно фигура, состоящая из трёх углов тоже может считаться многоугольником
Но для характеристики фигуры этого не достаточно. Ломаной А1А2…Аn называется фигура, которая состоит из точек А1,А2,…Аn и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3,…. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис.5). Подставьте в слове “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 3. Вы получите треугольник. Заметим, что, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.
Пусть А1А2…А n – данный выпуклый многоугольник и n>3. Проведем в нем (из одной вершины) диагонали
Сумма углов каждого треугольника равна 1800, а число этих треугольников n – 2. Поэтому сумма углов выпуклого n – угольника А1А2…А n равна 1800* (n — 2). Теорема доказана. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.
В четырехугольнике, проведите прямую так, чтобы она разделила его на три треугольника
У четырехугольника никогда на одной прямой не лежат три вершины. Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис.2,3).
Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев (рис.4). В случае n=3 теорема справедлива. Так что квадрат можно назвать по-другому – правильным четырехугольником. Такие фигуры давно интересовали мастеров, украшавших здания.
Число вершин равняется числусторон. Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Из них получались красивые узоры, например на паркете. Наша пятиконечная звезда – правильная пятиугольная звезда.
Но не из всех правильных многоугольников можно было сложить паркет. Рассмотрим подробнее два вида многоугольников: треугольник и четырехугольник. Многоугольник у которого все внутренние углы равны называется правильным. Многоугольники называются в соответствии с числом его сторон или вершин.
На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.
Тема: Четырехугольники
Урок: Многоугольники
В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах - многоугольниках .
С частным случаем многоугольников мы уже знакомы - это треугольник (см. Рис. 1).
Рис. 1. Треугольник
В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.
Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник
Определение. Многоугольник - фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами . При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.
Определение. Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику .
Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).
Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).
Определение. Периметр многоугольника - сумма длин сторон многоугольника.
Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые . Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.
Рис. 3. Невыпуклый многоугольник
Определение 1. Многоугольник называется выпуклым , если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники .
Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.
Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.
Определение 2. Многоугольник называется выпуклым , если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.
Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков на Рис. 2 и 3.
Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.
Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника . Рассмотрим их.
Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).
Где - количество его углов (сторон).
Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.
Рис. 4. Выпуклый n-угольник
Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника - , то сумма внутренних углов n-угольника:
Что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.
Рис. 5.
Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол . Имеем:
Что и требовалось доказать.
Доказано.
По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов - и т.д.
Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).
Где - количество его углов (сторон), а , …, - внешние углы.
Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.
Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами
Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:
В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника .
Доказано.
Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Домашнее задание
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
В курсе гео-мет-рии мы изу-ча-ем свой-ства гео-мет-ри-че-ских фигур и уже рас-смот-ре-ли про-стей-шие из них: тре-уголь-ни-ки и окруж-но-сти. При этом мы об-суж-да-ли и кон-крет-ные част-ные слу-чаи этих фигур, такие как пря-мо-уголь-ные, рав-но-бед-рен-ные и пра-виль-ные тре-уголь-ни-ки. Те-перь при-шло время по-го-во-рить о более общих и слож-ных фи-гу-рах - мно-го-уголь-ни-ках .
С част-ным слу-ча-ем мно-го-уголь-ни-ков мы уже зна-ко-мы - это тре-уголь-ник (см. Рис. 1).
Рис. 1. Тре-уголь-ник
В самом на-зва-нии уже под-чер-ки-ва-ет-ся, что это фи-гу-ра, у ко-то-рой три угла. Сле-до-ва-тель-но, в мно-го-уголь-ни-ке их может быть много, т.е. боль-ше, чем три. На-при-мер, изоб-ра-зим пя-ти-уголь-ник (см. Рис. 2), т.е. фи-гу-ру с пятью уг-ла-ми.
Рис. 2. Пя-ти-уголь-ник. Вы-пук-лый мно-го-уголь-ник
Опре-де-ле-ние. Мно-го-уголь-ник - фи-гу-ра, со-сто-я-щая из несколь-ких точек (боль-ше двух) и со-от-вет-ству-ю-ще-го ко-ли-че-ства от-рез-ков, ко-то-рые их по-сле-до-ва-тель-но со-еди-ня-ют. Эти точки на-зы-ва-ют-ся вер-ши-на-ми мно-го-уголь-ни-ка, а от-рез-ки - сто-ро-на-ми . При этом ни-ка-кие две смеж-ные сто-ро-ны не лежат на одной пря-мой и ни-ка-кие две несмеж-ные сто-ро-ны не пе-ре-се-ка-ют-ся.
Опре-де-ле-ние. Пра-виль-ный мно-го-уголь-ник - это вы-пук-лый мно-го-уголь-ник, у ко-то-ро-го все сто-ро-ны и углы равны.
Любой мно-го-уголь-ник раз-де-ля-ет плос-кость на две об-ла-сти: внут-рен-нюю и внеш-нюю. Внут-рен-нюю об-ласть также от-но-сят кмно-го-уголь-ни-ку .
Иными сло-ва-ми, на-при-мер, когда го-во-рят о пя-ти-уголь-ни-ке , имеют в виду и всю его внут-рен-нюю об-ласть, и гра-ни-цу. А ко внут-рен-ней об-ла-сти от-но-сят-ся и все точки, ко-то-рые лежат внут-ри мно-го-уголь-ни-ка, т.е. точка тоже от-но-сит-ся к пя-ти-уголь-ни-ку (см. Рис. 2).
Мно-го-уголь-ни-ки еще ино-гда на-зы-ва-ют n-уголь-ни-ка-ми, чтобы под-черк-нуть, что рас-смат-ри-ва-ет-ся общий слу-чай на-ли-чия ка-ко-го-то неиз-вест-но-го ко-ли-че-ства углов (n штук).
Опре-де-ле-ние. Пе-ри-метр мно-го-уголь-ни-ка - сумма длин сто-рон мно-го-уголь-ни-ка.
Те-перь надо по-зна-ко-мить-ся с ви-да-ми мно-го-уголь-ни-ков. Они де-лят-ся на вы-пук-лые и невы-пук-лые . На-при-мер, мно-го-уголь-ник, изоб-ра-жен-ный на Рис. 2, яв-ля-ет-ся вы-пук-лым, а на Рис. 3 невы-пук-лым.
Рис. 3. Невы-пук-лый мно-го-уголь-ник
2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Опре-де-ле-ние 1. Мно-го-уголь-ник на-зы-ва-ет-ся вы-пук-лым , если при про-ве-де-нии пря-мой через любую из его сто-рон весь мно-го-уголь-ник лежит толь-ко по одну сто-ро-ну от этой пря-мой. Невы-пук-лы-ми яв-ля-ют-ся все осталь-ные мно-го-уголь-ни-ки .
Легко пред-ста-вить, что при про-дле-нии любой сто-ро-ны пя-ти-уголь-ни-ка на Рис. 2 он весь ока-жет-ся по одну сто-ро-ну от этой пря-мой, т.е. он вы-пук-лый. А вот при про-ве-де-нии пря-мой через в че-ты-рех-уголь-ни-ке на Рис. 3 мы уже видим, что она раз-де-ля-ет его на две части, т.е. он невы-пук-лый.
Но су-ще-ству-ет и дру-гое опре-де-ле-ние вы-пук-ло-сти мно-го-уголь-ни-ка.
Опре-де-ле-ние 2. Мно-го-уголь-ник на-зы-ва-ет-ся вы-пук-лым , если при вы-бо-ре любых двух его внут-рен-них точек и при со-еди-не-нии их от-рез-ком все точки от-рез-ка яв-ля-ют-ся также внут-рен-ни-ми точ-ка-ми мно-го-уголь-ни-ка.
Де-мон-стра-цию ис-поль-зо-ва-ния этого опре-де-ле-ния можно уви-деть на при-ме-ре по-стро-е-ния от-рез-ков на Рис. 2 и 3.
Опре-де-ле-ние. Диа-го-на-лью мно-го-уголь-ни-ка на-зы-ва-ет-ся любой от-ре-зок, со-еди-ня-ю-щий две не со-сед-ние его вер-ши-ны.
3. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника
Для опи-са-ния свойств мно-го-уголь-ни-ков су-ще-ству-ют две важ-ней-шие тео-ре-мы об их углах: тео-ре-ма о сумме внут-рен-них углов вы-пук-ло-го мно-го-уголь-ни-ка и тео-ре-ма о сумме внеш-них углов вы-пук-ло-го мно-го-уголь-ни-ка . Рас-смот-рим их.
Тео-ре-ма. О сумме внут-рен-них углов вы-пук-ло-го мно-го-уголь-ни-ка (n -уголь-ни-ка).
Где - ко-ли-че-ство его углов (сто-рон).
До-ка-за-тель-ство 1. Изоб-ра-зим на Рис. 4 вы-пук-лый n-уголь-ник.
Рис. 4. Вы-пук-лый n-уголь-ник
Из вер-ши-ны про-ве-дем все воз-мож-ные диа-го-на-ли. Они делят n-уголь-ник на тре-уголь-ни-ка, т.к. каж-дая из сто-рон мно-го-уголь-ни-ка об-ра-зу-ет тре-уголь-ник, кроме сто-рон, при-ле-жа-щих к вер-шине . Легко ви-деть по ри-сун-ку, что сумма углов всех этих тре-уголь-ни-ков как раз будет равна сумме внут-рен-них углов n-уголь-ни-ка. По-сколь-ку сумма углов лю-бо-го тре-уголь-ни-ка - , то сумма внут-рен-них углов n-уголь-ни-ка:
До-ка-за-тель-ство 2. Воз-мож-но и дру-гое до-ка-за-тель-ство этой тео-ре-мы. Изоб-ра-зим ана-ло-гич-ный n-уголь-ник на Рис. 5 и со-еди-ним любую его внут-рен-нюю точку со всеми вер-ши-на-ми.
Мы по-лу-чи-ли раз-би-е-ние n-уголь-ни-ка на n тре-уголь-ни-ков (сколь-ко сто-рон, столь-ко и тре-уголь-ни-ков). Сумма всех их углов равна сумме внут-рен-них углов мно-го-уголь-ни-ка и сумме углов при внут-рен-ней точке, а это угол . Имеем:
Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.
До-ка-за-но.
По до-ка-зан-ной тео-ре-ме видно, что сумма углов n-уголь-ни-ка за-ви-сит от ко-ли-че-ства его сто-рон (от n). На-при-мер, в тре-уголь-ни-ке , а сумма углов . В че-ты-рех-уголь-ни-ке , а сумма углов - и т.д.
4. Теорема о сумме внешних углов выпуклого n-угольника
Тео-ре-ма. О сумме внеш-них углов вы-пук-ло-го мно-го-уголь-ни-ка (n -уголь-ни-ка).
Где - ко-ли-че-ство его углов (сто-рон), а , …, - внеш-ние углы.
До-ка-за-тель-ство. Изоб-ра-зим вы-пук-лый n-уголь-ник на Рис. 6 и обо-зна-чим его внут-рен-ние и внеш-ние углы.
Рис. 6. Вы-пук-лый n-уголь-ник с обо-зна-чен-ны-ми внеш-ни-ми уг-ла-ми
Т.к. внеш-ний угол свя-зан со внут-рен-ним как смеж-ные, то и ана-ло-гич-но для осталь-ных внеш-них углов. Тогда:
В ходе пре-об-ра-зо-ва-ний мы вос-поль-зо-ва-лись уже до-ка-зан-ной тео-ре-мой о сумме внут-рен-них углов n-уголь-ни-ка .
До-ка-за-но.
Из до-ка-зан-ной тео-ре-мы сле-ду-ет ин-те-рес-ный факт, что сумма внеш-них углов вы-пук-ло-го n-уголь-ни-ка равна от ко-ли-че-ства его углов (сто-рон). Кста-ти, в от-ли-чие от суммы внут-рен-них углов.
Далее мы более по-дроб-но будем ра-бо-тать с част-ным слу-ча-ем мно-го-уголь-ни-ков - че-ты-рех-уголь-ни-ка-ми. На сле-ду-ю-щем уроке мы по-зна-ко-мим-ся с такой фи-гу-рой, как па-рал-ле-ло-грамм, и об-су-дим его свой-ства.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Свойства многоугольников
Многоугольник - это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис. 1а)), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым).
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины -угольника при > 3 выходят - 3 диагонали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно.
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя - четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т.д.
Многоугольник с n вершинами называется n- угольником.
Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.
Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
- 1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т.е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
- 2. он является пересечением (т.е. общей частью) нескольких полуплоскостей;
- 3. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.
Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности
Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.
Свойства многоугольников:
1 Каждая диагональ выпуклого -угольника, где >3, разлагает его на два выпуклых многоугольника.
2 Сумма всех углов выпуклого -угольника равна.
Д-во: Теорему докажем методом математической индукции. При = 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где <, и докажем ее для -угольника.
Пусть- данный многоугольник. Проведем диагональ этого многоугольника. По теореме 3 многоугольник разложен на треугольник и выпуклый -угольник (рис. 5). По предположению индукции. С другой стороны, . Складывая эти равенства и учитывая, что ( - внутренний луч угла ) и (- внутренний луч угла), получаем.При получаем: .
3 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Д-во: Пусть правильный многоугольник, а и - биссектрисы углов, и (рис. 150). Так как, то, следовательно, * 180° < 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О. Докажем, что O = ОА 2 = О =… = ОА п . Треугольник О равнобедренный, поэтому О = О . По второму признаку равенства треугольников, следовательно, О = О . Аналогично доказывается, что О = О и т.д. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром О радиуса О является описанной около многоугольника.
Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, А 2 , . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника… нельзя описать более чем одну окружность.
- 4 В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.
- 5 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
- 6 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
- 7 Симметрия:
Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична), если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.
- 7.1. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.
- 7.2. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120°.
7.3 У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота.
При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.
При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.
Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.
8 Подобие:
При подобии и -угольник переходит в -угольник, полуплоскость - в полуплоскость, поэтому выпуклый n -угольник переходит в выпуклый n -угольник.
Теорема: Если стороны и углы выпуклых многоугольников иудовлетворяют равенствам:
где - коэффициент подия
то эти многоугольники подобны.
- 8.1 Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.
- 8.2. Отношение площадей двух выпуклых подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
многоугольник треугольник периметр теорема