Вариант 1-16.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что SM=6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, С и М. б) Найдите расстояние от вершины до плоскости ВСМ.
Решение. Основанием нашей пирамиды служит квадрат ABCD со стороной 6, вершина S проектируется в центр квадрата – точку О, гранями являются равные равнобедренные треугольники с основаниями 6 и боковыми сторонами 9.
а) Построим сечение ВСМ. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку . Секущая плоскость пересечет основание пирамиды по прямой ВС, грань SAB — по прямой ВМ (см. рис 1). Прямая пересечения секущей плоскости с гранью SAD пройдет через точку М. Как? Параллельно AD. Почему? Если бы прямая MN была не параллельна AD, то она должна была бы пересекать AD в точке, принадлежащей прямой ВC (ведь все точки пересечения секущей плоскости с плоскостью основания лежат на прямой ВС), но это невозможно, ведь AD II BC. Проводим MN II AD и соединяем точку N с точкой С. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, С и М построено и представляет собой равнобедренную трапецию BMNC c основаниями BC и MN.
б) Найдем расстояние от вершины S до плоскости ВСМ. Выполним построения: проведем EF II AB (заметим, что Е – середина AD, F — середина BC). Соединим точки E и F c вершиной S. Плоскость SEF пересечет трапецию BMNC по прямой KF, которая является осью симметрии трапеции (рис. 2). Расстоянием от точки S до плоскости сечения будет служить высота треугольника SKF, проведенная к стороне KF. Построение этого перпендикуляра будет зависеть от величины угла SKF (обозначим его через α). Если угол α — острый, то высота треугольника SKF будет лежать внутри треугольника. Если же угол α – тупой, то вне треугольника. С помощью теоремы косинусов определим косинус угла α в треугольнике SKF.
SF – высота и медиана равнобедренного Δ SBC с боковой стороной SB=9 и основанием ВС=6. SF 2 = SB 2 - BF 2 = 8 1- 9 = 72. Грани SAD и SBC равны, поэтому:
Найдем SK (рис. 3). Определим угол φ.
В прямоугольном ΔMKS гипотенуза SM = 6, тогда MK = SM ∙ cosφ; МК = 2. SK = SM ∙ sinφ (можно найти и по теореме Пифагора).
Из Δ МАВ по теореме косинусов найдем МВ.
МВ 2 = МА 2 + АВ 2 – 2 ∙ МА ∙ АВ ∙ cos∠MAB; заметим, что cos∠MAB=φ.
Рассмотрим трапецию BMNC (рис. 4). Проведем MP⟘BC. MK=2, BF=3, BP=1. Из прямоугольного треугольника ВРМ по теореме Пифагора:
МР 2 = МВ 2 – ВР 2 = 33-1=32.
Следовательно, угол α – тупой, и высота ΔSKF будет лежать вне треугольника. Построим ST ⊥ KF и найдем длину ST – катета прямоугольного треугольника TKS, противолежащего углу (π-α). ST = SK ∙ sin(π-α) = SK ∙ sinα. Зная косинус α, найдем синус α.
Вариант 1-17.
Решите неравенство: log 3 (9 x +16 x -9∙4 x +8)≥2x.
Решение. Представим правую часть в виде логарифма по основанию 3:
log 3 (9 x +16 x -9∙4 x +8)≥log 3 3 2x . Это неравенство будет верным при выполнении условий:
9 x +16 x -9∙4 x +8≥3 2 x и 9 x +16 x -9∙4 x +8>0. Так как 3 2 x >0, то решить можно только первое из неравенств. Запишем его в виде: 3 2 x +4 2 x -9∙4 x +8≥3 2 x ; преобразуем и получим: 4 2 x -9∙4 x +8≥0. Сделаем замену: 4 x =y. Решим неравенство: y 2 -9y+8≥0. Нули трехчлена y 2 -9y+8 – у 1 =1, у 2 =8. Неравенство будет верным при y<1 и y>8. Но у=4 х, а 4 x >0 при любом х. Следовательно, 4 х будет принадлежать объединению промежутков (0; 1] и и ,"en":["8-yYYSdzGpE"],"de":["WdBtNfapbHk","l4g4yGpfqIc"],"es":["fc4otil8UTE"],"pt":["QruxFE8Ouno","eIt-AzICZrM","_EVKxSIiQHg"],"pl":["iplrpLjcmnw","TVgaedyu_zc"],"ro":["7COIPYhkWn8","7COIPYhkWn8"],"lt":["xDsdCWxakxk","7ieqsOukivc","xBJq0QP6o0A","SvpFoOsSxjk","551rtBJyYe0"],"el":["KhipRx4bM4Y"]}