Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти

ТОЧКА ВЫБОРА - 1. Вообще – любой набор обстоятельств, при которых требуется сделать выбор из нескольких альтернатив. 2. Специальное употребление: физическая точка в лабиринте, где субъект может выбрать любое из двух или более направлений … Толковый словарь по психологии

точка выбора курсора экрана - Курсор манипулятора типа «мышь» представляет собой изображение, занимающее область из n х m пикселей на экране (где n и m>1). Точка выбора – это пиксель в изображении курсора, который используется для определения координат последнего.… … Справочник технического переводчика

- (в титриметрическом анализе) момент титрования, когда число эквивалентов добавляемого титранта эквивалентно или равно числу эквивалентов определяемого вещества в образце. В некоторых случаях наблюдают несколько точек эквивалентности, следующих… … Википедия

точка - 4.8 точка (pixel): Минимальный элемент матрицы изображения, расположенный на пересечении п строки и т столбца, где п горизонтальная компонента (строка), т вертикальная компонента (столбец). Источник …

Точка плана - 37. Точка плана Упорядоченная совокупность численных значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта Источник: ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

РДМУ 109-77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов - Терминология РДМУ 109 77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов: 73. Адекватность модели Соответствие модели с экспериментальными данными по выбранному параметру оптимизации с… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

опорная точка - 3.7 опорная точка (reference position): Точка, в которой измеряют уровень звука (эквивалентный уровень звука) или уровень звукового давления для контроля идентичности характеристик источника шума при проведении испытаний с экраном и без экрана (5 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

порог выбора - 02.02.27 порог выбора [ reference threshold]: Граничная точка, используемая в рекомендуемом алгоритме декодирования для принятия решения об отнесении измерения к элементу или комбинации элементов. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Центральная точка плана - 38. Центральная точка плана Центр плана Точка плана, соответствующая нулям нормализованной (безразмерной) шкалы по всем факторам Источник: ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Эта статья содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, переведя её до конца. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне. Список серий канадского т … Википедия

1) Н. т. отображения Fмножества X такая точка, что. Доказательства существования Н. т. и методы нахождения Н. т. важные задачи математики, т. к. решение всякого уравнения путем преобразования его к виду сводится к нахождению Н. т. отображения … Математическая энциклопедия

Книги

Уязвимая точка: роман , Стовер М.. Мейс Винду – живая легенда. Старший член Совета джедаев, опытный дипломат и великолепный воин. Многие утверждают, что среди живущих нет человека опаснее его. Но он человек мира, а сейчас,…

«Критические точки функции» - Критические точки. Примеры. Но, если f" (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Критические точки функции Точки экстремумов. Определение. Точки экстремума (повторение). Необходимое условие экстремума. Среди критических точек есть точки экстремума.

«Виды треугольников» - Точки называются вершинами, а отрезки- сторонами. По величине углов различают следующие виды. Виды треугольников. По сравнительной длине сторон различают следующие виды треугольников.

«Предел функции в точке» - Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются: Определено в любой точке. Составлено из. Непрерывна в любой точке, в любой. Не определено в точке. Имеем: А потому предел. , То в таком случае. Исключается из рассмотрения. Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках:

«Средняя линия треугольника» - Чему равны отрезки DK, KF, FL, LE? Определите стороны треугольника АВС. Является ли отрезок EF средней линией треугольника АВС? MK и PK – средние линии треугольника АВС. DE - средняя линия треугольника АВС. а) Определите сторону АВ, если DE = 4 см. б) DС = 3 см, DЕ = 5 см, СЕ = 6 см. KL – средняя линия треугольника DFE, DF =10см, FE= 12 см.

«Колебание точки» - - Комплексно сопряженные. 1. Примеры колебаний. Общее решение = общее решение + частное решение однородного у-я неоднородного у-я. Жесткость пружины. 7. Свободные колебания с вязким сопротивлением. При p=k амплитуда неограниченно растет со временем. Лекция 3: прямолинейные колебания материальной точки.

«Случайные события» - 3. Событие А – в результате стрельбы по мишени хотя бы одна пуля попала в цель. 1. Ниже перечислены разные события. 3. Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. Случайным считается событие, связанное со случайным экспериментом. События «Брошена игральная кость. Событие «При бросании кубика выпало не более 6 очков».

План-конспект разработанный

Трофимовой Людмилой Алексеевной

Геометрическая вероятность

Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания

вероятности;

2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации

текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.

Результаты обучения:

1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки

внутри фигуры на плоскости и прямой;

2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,

зная площади фигур или умея их вычислять.

I . Выбор точки из фигуры на плоскости.

Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?

В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.

Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».

Обычно это выражение трактуют так:

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

Подведем итог: пусть и - площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F », равна

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому

Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.

Задача. Нетерпеливые дуэлянты.

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

Дуэлянты встречаются, если , т. е. x - < y < x + .

Изобразим это на чертеже.

Заштрихованная часть квадрата отвечает случаю, когда дуэлянты встречаются.

Площадь всего квадрата 1, площадь заштрихованной части:

Значит, шансы на поединок равны .

II . Выбор точки из отрезка и дуги окружности.

Рассмотрим мысленный эксперимент, который состоит в случайном выборе одной точки Х из некоторого отрезка MN.

Это можно понимать так, будто точку Х случайным образом «бросают» на отрезок. Элементарным событием в этом опыте может стать выбор любой точки отрезка.

Пусть отрезок CD содержится в отрезке MN. Нас интересует событие А , состоящее в том, что выбранная точка Х принадлежит отрезку CD.

Метод вычисления этой вероятности тот же, что для фигур на плоскости: вероятность пропорциональна длине отрезка CD.

Следовательно, вероятность события А «точка Х принадлежит отрезку CD, содержащемуся в отрезке MN» равна, .

Пример 1. Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение: Пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

Тогда .

Ничего не меняется, если точка Х выбирается не из отрезка, а из дуги некоторой кривой линии.

Пример 2. На окружности даны точки А и В, причем эти точки не являются диаметрально противоположными. На этой же окружности выбирается точка С. Найти вероятность того, что отрезок ВС пересечет диаметр окружности, проходящий через точку А.

Решение: Пусть длина окружности равна L. Интересующее нас событие К «отрезок ВС пересекает диаметр DA» наступает, только если т. С лежит на полуокружности DA, не содержащей точку В. Длина этой полуокружности равна L.

Пример 3. На окружности взята точка А. На окружность «бросают» точку В. Какова вероятность того, что длина хорда АВ будет меньше радиуса окружности.

Решение: Пусть r – радиус окружности.

Для того чтобы хорда АВ была короче радиуса окружности, точка В должна попасть на дугу В1АВ2, длина которой равна длины окружности.

Вероятность того, что длина хорды АВ будет меньше радиуса окружности, равна:

III . Выбор точки из числового отрезка

Геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число Х, удовлетворяющее условию . Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка на числовой прямой выбирается точка с координатой Х.

Рассмотрим событие, состоящее в том, что точка с координатой Х выбрана из отрезка , содержащегося в отрезке . Это событие обозначим . Его вероятность равна отношению длин отрезков и .

Пример 1. Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка , принадлежит отрезку .

Решение: По формуле геометрической вероятности находим:

Пример 2. Согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.

Решение: Воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком . Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 км от каждого перехода, т. е. 0,1

Пример 3. Поезд проходит мимо платформы за полминуты. В какой-то момент, совершенно случайно выглянув из своего купе в окно, Иван Иванович увидел, что поезд идет мимо платформы. Иван Иванович смотрел в окно ровно 10 секунд, а затем отвернулся. Найдите вероятность того, что он видел Ивана Никифоровича, который стоял ровно посередине платформы.

Решение: Воспользуемся геометрическим методом. Будем вести отсчет в секундах. За 0 секунд примем момент, когда Иван Иванович поравнялся с началом платформы. Тогда конца платформы он достиг в момент 30 секунд. За Х сек. Обозначим момент, когда Иван Иванович выглянул в окно. Следовательно, число Х случайным образом выбирается из отрезка . С Иваном поравнялся в момент 15 секунд. Он увидел Ивана Никифоровича, только если он выглянул в окно не позже этого момента, но не раньше, чем за 10 секунд до этого. Таким образом, нужно найти геометрическую вероятность события . По формуле находим

«Вероятностная подоплека»

В самом начале поэмы «Мертвые души» два мужика спорят относительно того, как далеко доедет колесо в экипаже Чичикова:

«…два русских мужика, стоявших у дверей кабака против гостиницы, сделали кое-какие замечания, относившиеся впрочем, более к экипажу, чем к сидевшему в нем. «Вишь ты», сказал один другому: «вон какое колесо! Что ты думаешь, доедет то колесо, если б случилось, в Москву, или не доедет?» - «Доедет», отвечал другой. «А в Казань-то, я думаю, не доедет?» «В Казань не доедет», отвечал другой».

Задачи для решения.

1. Найти вероятность того, что точка случайным образом брошенная в квадрат ABCD со стороной 4 попадет в квадрат A1B1C1D1 со стороной 3, находящийся внутри квадрата ABCD.

Ответ. 9/16.

2. Два лица А и В договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 900 до 1000. Каждый из них приходит наудачу (в указанный промежуток времени), независимо от другого и ожидает 10 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

Ответ. 11/36.

3. В отрезке АВ длины 3 случайно появляется точка С. Определить вероятность того, что расстояние от точки С до В превосходит 1.

Ответ. 2/3.

4. В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определите вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.

5. Буратино посадил на прямоугольный лист размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

6. В окружность вписан квадрат ABCD. На этой окружности случайным образом выбирается точка М. Найдите вероятность того, что эта точка лежит на: а) меньшей дуге АВ; б) большей дуге АВ.

Ответ. а) 1/4; б) 3/4.

7. На отрезок случайным образом бросается точка Х. С какой вероятностью выполняется неравенство: а) ; б) ; в) ?

Ответ. а) 1/3; б) 1/3; в) 1/3.

8. Про село Иваново известно только, что оно находится где-то на шоссе между Миргородом и Старгородом. Длина шоссе равна 200 км. Найдите вероятность того, что:

а) от Миргорода до Иваново по шоссе меньше 20 км;

б) от Старгорода до Иваново по шоссе больше 130 км;

в) Иваново находится менее чем в 5 км от середины пути между городами.

Ответ. а) 0,1; б) 0,35; в) 0,05.

Дополнительный материал

Геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы множество элементарных событий F и множество G, представляющее событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений.

2. Случайная точка Х равномерно распределена в квадрате . Найти вероятность того, что квадрат с центром Х и сторонами длины b, параллельными осям координат, целиком содержится в квадрате А.

Литература:

1. Теория вероятностей и статистика / , . – 2-е изд., переработанное. – М.: МЦНМО: учебники», 2008. – 256 с.: ил.

2. Теории вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel / , . – Изд. 4-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 475 с.: ил. – (Высшее образование).

3. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Пер. с англ./Под ред. . 3-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 88 с.

4. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. Пособие для вузов./, – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит. – 1989. – 320с.

5. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. Пособие для 9-11 кл. сред. шк./ – 3-е изд. перераб. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с.