764. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания равна 6 см, а боковое ребро равно 3 см.
а) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ABC1.
б) Докажите, что прямая А1В1 параллельна плоскости АС1В.
в) Найдите угол, который составляет прямая В1С с плоскостью ABC.
г) Найдите угол между плоскостями АВ1С и ABC.
д) Найдите длину вектора ВВ1 - ВС + 2А1А – С1С.
е) Найдите объем призмы.
765. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона АВ основания равна 6√2 см, а боковое ребро МА равно 12 см. Найдите:
б) объем пирамиды;
в) угол наклона боковой грани к плоскости основания;
г) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
д) скалярное произведение векторов (АВ + AD) AM;
е) площадь сферы, описанной около пирамиды.
766. В правильной треугольной пирамиде DABC высота DO равна 3 см, а боковое ребро DA равно 5 см. Найдите:
а) площадь полной поверхности пирамиды;
б) объем пирамиды;
в) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
г) угол наклона боковой грани к плоскости основания;
д) скалярное произведение векторов 1/2(DB + DC)MA, где М - середина ребра ВС;
е) радиус шара, вписанного в пирамиду.
767. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое ребро МА, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите:
а) площадь боковой поверхности пирамиды;
б) объем пирамиды;
в) угол между противоположными боковыми гранями;
г) угол между боковой гранью и плоскостью основания;
д) скалярное произведение векторов 1/2(MB + MD)MK, где К - середина ребра АВ;
е) радиус описанного около пирамиды шара.
Тест № 7 Объём прямой призмы Вариант 1.
1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2√3 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.
а) 15√3 см 3 ; б) 45 см 3 ; в) 10√3 см 3 ; г) 12√3 см 3 ; д) 18√3 см 3 .
2. Выберите неверное утверждение.
а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;
a 2 h, где а
г) объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле V = a 2 ∙h, где а –
д) объём правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле V = 1,5a 2 h√3, где а – сторона основания, h – высота призмы;
3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна √3 см. Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость, которая находится под углом 45˚к основанию. Найдите объём призмы.
а) 9√3 см 3 ; б) 9 см 3 ; в) 9√3/2 см 3 ; г) 9√3/4 см 3 ; д) 9√3/8 см 3 .
4. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого 13 см, а одна из диагоналей – 24 см. Найдите объём призмы, если диагональ боковой грани равна 14 см.
а) 720√3 см 3 ; б) 360√3 см 3 ; в) 180√3 см 3 ; г) 540√3 см 3 ; д) 60√3 см 3 .
5. Найдите объём правильной шестиугольной призмы со стороной основания, равной – 2 , и высотой, равной √3.
а) 18√3; б) 36; в) 9√3; г) 18; д) 6√3.
6. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10, 12. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60˚. Найдите объём призмы. а) 480√3; б) 960√3; в) 240√3; г) 480; д) 240.
7. Основание прямой призмы – параллелограмм, диагонали которого пересекаются под углом 30˚. Найдите объём призмы, если площади его диагональных сечений равны 16 см 2 и 12 см 2 , а высота – 4 см. а) 8 см 3 ; б) 12 см 3 ; в) 16 см 3 ; г) 24 см 3 ; д) 12√3 см 3 .
8. Вычислите с точностью до 0,001 объём правильной восьмиугольной призмы со стороной основания, равной 2, и высотой, равной √3. а) 33,450; б) 5,740; в)5,739; г)33,452; д)33,453.
9. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник. Катеты основания и боковое ребро относятся между собой как 3:4:4. Объём призмы равен 24. Найдите площадь боковой поверхности призмы. а) 24; б) 55; в) 48; г) 39; д) 12.
10. Найдите объём прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 , если ВАС = , АС = а, ВС 1 составляет с плоскостью основания угол β. а) V = 0,25a 2 sin2sintgβ; б) V = a3sin2sintgβ;
в) V = 0,25a 3 sin2sintgβ; г) V = 0,5a 3 sin2sintgβ; д) V = 0,25a 3 sin2sinβtg.
Тест № 7 Объём прямой призмы Вариант 2.
1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 4√3, сторона основания – 5 см. Найдите объем призмы. а) 75√3 см 3 ; б) 75 см 3 ; в) 50√3 см 3 ; г) 50 см 3 ; д) 51,6 см 3 .
2. Выберите верное утверждение.
а) Объём прямой призмы, основанием которой является правильный восьмиугольник, вычисляется по формуле V=a 2 h(2√2+2), где а – сторона основания, h – высота призмы;
б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a 2 h√3, где а – сторона основания, h – высота призмы;
в) объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту;
г) объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле V = 2a 2 ∙h, где а – сторона основания, h – высота призмы;
д)объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен половине произведения площади основания на высоту;
3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см. Через сторону основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость, которая находится под углом 60˚к основанию. Найдите объём призмы.
а) 3√3/4см 3 ; б) 3 см 3 ; в) 3√3/2 см 3 ; г) 3√3 см 3 ; д) 3√3/8 см 3 .
4. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, AB = 12 см, AD = 13 см. Найдите объём призмы, если BAD = 45 0 .
а) 180√3 см 3 ; б) 900√2 см 3 ; в) 180√2 см 3 ; г) 450√3 см 3 ; д) 450√2 см 3 .
5. Найдите объём правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной – 2 , и высотой, равной √3.
а) 2√3; б) 12; в) 8√3; г) 4√3; д) 6.
6. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 5, 5, 6. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 30˚. Найдите объём призмы. а) 40√3; б) 60√3; в) 20; г) 40; д) 20√3.
7. Основание прямой призмы – параллелограмм, диагонали которого пересекаются под углом 60˚. Найдите объём призмы, если площади его диагональных сечений равны 18 см 2 и 24 см 2 , а высота – 3 см. а) 36√3 см 3 ; б) 12 см 3 ; в) 18√3 см 3 ; г) 18 см 3 ; д) 12√3 см 3 .
8. Найдите с точностью до 0,001 объём правильной шестиугольной призмы со стороной основания, равной 4 √√2 + 2 , и высотой, равной 3. а)14,402; б)14,401; в)26,611; г)26,612; д)14,40.
9. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник. Катеты основания и боковое ребро относятся между собой как 3:4:2. Объём призмы равен 96. Найдите площадь боковой поверхности призмы. а) 180; б) 96; в) 132; г) 160; д) 48.
10. Найдите объём прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 , если ACB = 90 0 , CAB =, BС = а и двугранный угол ABCA 1 равен φ . а) V = 0,5a 3 ctg 2 tgφ; б) V = 0,25a 3 ctg 2 tgφ;
в) V = 0,5a 2 ctg 2 tgφ; г) V = a 3 ctg 2 tgφ; д) V = 0,5a 3 ctg 2 φtg.